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《等边三角形的判定》证明PPT课件-北师大版九年级数学上册

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探索三角形全等的条件角边角、角角边判定PPT课件(北师大版)

探索三角形全等的条件角边角、角角边判定PPT课件(北师大版)
1.（2015.广东）如题21图，在边长为6的正方 形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折 至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.(1)求证： △ABG≌△AFG；(2) 求BG的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠D=90°，AD=AB.
由折叠的性质，得AD=AF，∠AFE=∠D=90°. ∴∠AFG=90°，AB=AF.
（1）证明：∵△ABC是等边Байду номын сангаас角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵EG∥BC ∴∠ADG=∠ABC=60°∠AGD=∠ACB=60°． ∴△ADG是等边三角形． ∴AD=DG=AG． ∵DE=DB， ∴EG=AB ∴GE=AC．
∵EG=AB=CA，∴∠AGE=∠DAC=60°， 在△AGE和△DAC中，
A
• 边”或“_S_S_S__”).
A1
B
C B1
C1
•6.两条边和它们的夹角对应SA相S 等的两个A 三角形A1全等
• (简记为“边角边”或“_____”)B.
C B1
C1
•7.两个角和它们的夹边对AS应A 相等的两A 个三角A形1 全等(
简
B
C B1
C1
•8.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形
AAS
或BF=EC A
D SAS
BC=EF
B CFE
●议一议
2.(202X·南京市)如图，四边形ABCD的对角线
AC,BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：
①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC. 其中正确结论的序号是____①__②__③____.

【北师大版】九年级数学上册：4.5《相似三角形判定定理的证明》ppt课件

【北师大版】九年级数学上册：4.5《相似三角形判定定理的证明》ppt课件
A. 一个 C. 三个 B. 两个 D. 四个
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������ . 其中正确的有( ������������
)
关闭
A
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5
2. 已知△ABC∽△DEF, 若∠A=30° , ∠B=100° , 则∠F= AB=2, BC=3, DE=1, 则 EF= .
;若
关闭
50° 1.5
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5
3. 三角形的三边长度之比为 2∶5∶6, 另一个与它相似的三角形最长 边为 24 cm, 则此三角形最短边为 .
求:(1)∠C 的度数. (2)DE 的长.
关闭
解 :(1)∠AED=180° -∠A-∠ADE=180° -58° -40° =82° .因为△ABC∽△ADE,所以∠C=∠ AED=82° . (2) 因为△ABC∽△ADE, 所以
������������ ������������
=
������������ 6 ,即 ������������ 12
*5.相似三角形判定定理的证明
快乐预习感知
证明以下定理: 1. 两角分别相等的两个三角形相似. 2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 3. 三边成比例的两个三角形相似.
轻松尝试应用 1 2 3 4 5
1. 如图, △AOB ∽△COD, ∠A=∠C, 有下列各式:
①������������ = ������������, ②������������ = ������������, ③������������ = ������������, ④������������ =

北师大版数学九年级上册相似三角形判定定理的证明课件

北师大版数学九年级上册相似三角形判定定理的证明课件

∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. D
E
∴ AD DE AE . AB BC AC
B
C
A′
又 A' B' B'C' A' C' ，AD=A′B′，
AB BC AC
∴ DE B' C'， AE A' C' . BC BC AC AC
B′
C′
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
第四章 图形的类似
*4.5 类似三角形判定定理的证明
导入新课
问题：类似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形类似. ② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形类似. ③ 三边对应成比例,两三角形类似.
讲授新课
一 证明类似三角形的判定定理
在上两节中，我们探索了三角形类似的条件，稍候 我们将对它们进行证明．
A 2
D
B
2 C
(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝ AB : AC ， 即 6 : 2 =AB : 6 ，解得 AB= 3 2 ． ∴ 当 AB 的长为 3 或 3 2 时，这两个直角三角形类 似．
A
2
D
B
2 C
练一练 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，
①
②
③
④
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，
AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 1 ，求AD的长.
2
解:
∵ ∴
AB=6，BC=4，AC=5，CD
AB CD . BC AC

北师大版九年级数学上册教学课件：4.5相似三角形判定定理的证明 (共17张PPT)

北师大版九年级数学上册教学课件：4.5相似三角形判定定理的证明 (共17张PPT)

,AD= 6 2.问当AB的长为多少
分析:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 在Rt△ABC和Rt△ACD中,直角边的对应需分情况讨论.
解: ∵AC= 6,AD=2,
∴CD= ������������ 2 -������������ 2 = 2.
1
拓展点一
拓展点二
(2)假设经过 t s 时,以 A,M,N 为顶点的三角形与△ACD 相似,在 矩形 ABCD 中,∠CDA=∠MAN=90°. 因此有 即 或
������ 6-2������ ������ 6-2������ ������������ ������������ 3
=
������������ ������������ 或 ������������ ������������
(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N, 求证:△BEM∽△CNE; (2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点 M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出 一对相似三角形并证明你的结论.
拓展点一
拓展点二
分析:因为此题是特殊的三角形,所以首先要分析等腰直角三角 形的性质:可得锐角为45°,根据角之间的关系,利用如果两个三角形 的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;再根据性质得到 比例线段,由夹角相等证得△ECN∽△MEN.
解: (1)设经过 x s 后,△AMN 的面积等于矩形 ABCD 则有2(6-2x)x=9×3×6,即 x2-3x+2=0. 解方程,得 x1=1,x2=2. 经检验,可知 x1=1,x2=2 符合题意.
1 1

《等边三角形的判定》证明PPT课件教学课件

《等边三角形的判定》证明PPT课件教学课件

结论:在直角三角形中, 300角所对 的直角边等于斜边的一半.
驶向胜利 的彼岸
能证明你的结论吗？
我能行 4
命题的证明
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等 A 于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300. 300
求证:BC=1 AB. 证明:如图2, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
等的三角形是等边三角形).
600
C
这又是一个判定靠边三角形的根据之一.
驶向胜利 的彼岸
我能行 3
命题的猜想
1 操作:用两个含有300角的三角
尺，你能拼成一个怎样的三角形？
300
300 300 300
300
300
能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的 直角边与斜边有怎样的大小关系？
∴∠1＝∠2=∠3＝600(等边三角形的三个角都相等并且每个
又∵EF∥BC,DE∥AC(已知),
角都等于600 ).
∴∠4＝∠2＝600,∠5＝∠1＝600(两直线平行,内错角相等).
∴∠E＝600(三角形内角和定理).
同理,∠D=600,∠F＝600.
∴ ∠D＝∠E=∠F＝600(等量代换).
驶向胜利 的彼岸
∴∠A=∠B（等式性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形 意义).
驶向胜利 的彼岸
回顾反思 1
几何的三种语言
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
在△ABC中,
A
∵AB=AC,∠B=600(已知).

《等边三角形》PPT优质课件

《等边三角形》PPT优质课件

∴∠DBE= 1 ∠ABC=30°.
2
∵DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°.
B
D CE
∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°.
探索新知
知识点1 等边三角形的性质 【变式】如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC 的延长线上，若DE=DB，求CE的长.
知识点1 等边三角形的性质
A
BC边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.
AB边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.
B
C AC边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重 合，即“三线合一”.
探索新知
知识点1 等边三角形的性质
思考3 把等腰三角形的对称性用于等边三角形，能得到什么结 论？
知识点1 等边三角形的性质
图形 性边 质角
三线 合一
等腰三角形
两条边相等 两个底角相等
底边上的中线、高和顶角 的平分线互相重合
对称 性
1条对称轴
等边三角形
三条边都相等 三个角都相等， 且都是60º 每一边上的中线、高和这一边 所对的角的平分线互相重合
3条对称轴
探索新知
知识点1 等边三角形的性质 例1 如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使 得CE=CD．求证：BD=DE．
有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形.
探索新知
知识点2 等边三角形的判定
例2 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.
求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.

等边三角形的性质和判定PPT课件(华师大版)(1)


解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°， ∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°， ∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°. 同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°. 即△DEF各个内角的度数都是60°.
例5 AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB，AE⊥AC. (1)∠C＝________，∠B＝________； (2)求证：△ADE是等边三角形．
导引：(1)由AB＝AC，∠BAC＝120°， 可求出∠B，∠C 的度数为30°. (2)三个角都是60°的三角形是等 边三角形．
解：(1)30°；30°. (2)∵AD⊥AB，AE⊥AC(已知)， ∴∠BAD＝∠EAC＝90°(垂直的定义)． ∴∠B＝∠C＝30°(已知)， ∴∠ADB＝∠AEC＝60°(直角三角形的两个锐角 互余)． ∴∠ADB＝∠AEC＝∠EAD＝60°. ∴△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是 等边三角形)．
要点精析：(1)它是特殊的等腰三角形，具备等腰三 角 形的所有性质；(2)它是特殊的等腰三角形，任意两边都 可作为腰，任意一个角都可以作为顶角．
（来源于教材）
2．等边三角形的性质：(1)等边三角形的三条边 都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有 三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(4)各边上的 高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．
例1 如图13.3-5， △ABC是等边三角形，D，E，
F分别是三边AB，AC，BC上的点，且
DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF
各个内角的度数．

北师大版九年级数学上册《等腰三角形的判定》证明ppt课件


公理:
两角及其夹边对应相等的两
个三角形全等（ASA）.
●
A
C
B′
●●
′
在△ABC与△A′B′C′中 ∵∠A=∠A′ （已知）,
A′ ●
AB=A′B′ （已知）,
∠B=∠B′ （已知）,∴
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
C′
驶向胜利 的彼岸
第五页，共十七页。
回顾与思4 公理考:
几何的三种语言 B ●●
公理:
两边及其夹角对应相等的 ●
两个三角形全等（SAS）. A
C
B′
′
在△ABC与△A′B′C′中
∵AB=A′B′（已知）, ∠A=∠A′ （已知）,
A′ ●
C′
BC=B′C′ （已知）,
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
驶向胜利 的彼岸
第四页，共十七页。
回顾与思4 考
几何的三种语言 B ●●
A
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
B
C
∴∠B=∠C(等角对等边).
证明后的结论,以后可以直接运用.
第十一页，共十七页。
想一想P41
命题的证明
推论:
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互
相已知重:合(三线合一).
A
如图,在△ABC中, AB=AC, ∠1=∠2.
求证:BD=CD,AD⊥BC.
C′ ● ●
驶向胜利 的彼岸
回顾与思6 考
几何的三种语言 B
推论: 两角及其一角的对边 对应相等的两个三角形
全等（AAS）.
●
A
C ● ● B′
′
在△ABC与△A′B′C′中

北师大版八年级下册 第一章 1.1 等边三角形的判定 课件(共26张PPT)


A
B
C
总 结
等边三角形的判定方法有：
从边的角度
定义：三条边都相等的三角形是 等边三角形. 定理：三个角都相等的三角形是 等边三角形. 定理：有一个角等于 60°的等腰 三角形是等边三角形.
从角的角度
从边和角的角度
1.已知△ABC 的三个外角都相等，且 AB=3cm，则
△ABC的周长为（ A.6cm B.8cm
知识点
2
含30°角的直角 三角形的性质
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个
怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能
发现什么结论？说说你的理由.
结论：在直角三角形中，如果一个锐角
等于30°，那么它所对的直角边等于斜边
的一半．
知识点
2
含30°角的直角 三角形的性质
求证：在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半. A
（2）含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半． 2．经验与能力方面： 这节课你又获得了哪些能力？和同学们一起分享！
1. 必做：完成教材 P12-13 习题、《作业本》上相 应的练习； 2.选做：探索定理“在直角三角形中，如果一个 锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边 的一半．”的逆命题是否成立，如果成立，请
又∵ AC ＝AC， ∴△ABC≌△ADC ( SAS ).
A
30°
∴AB＝AD(全等三角形的对应
边相等）. ∴△ABD是等边三角形（有一
个角等于60°的等腰三角形
是等边三角形）. 1 1 ∴ BC＝ — BD＝ — AB. 2 2
B

_4.5相似三角形判定定理的证明课件 北师大版数学九年级上册

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数学 九年级上册 BS版
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ ABE ＝∠ ECF ＝90°. ∵ EF ⊥ AE ， ∴∠ AEB ＋∠ FEC ＝90°. 又∵∠ AEB ＋∠ BAE ＝90°， ∴∠ BAE ＝∠ CEF . ∴△ ABE ∽△ ECF .
图1
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数学 九年级上册 BS版
数学 九年级上册 BS版
第四章 图形的相似
*5 相似三角形判定定理的证明
数学 九年级上册 BS版
目录
CONTENTS
课前预习
典例讲练
数学 九年级上册 BS版
01
课前预习
数学 九年级上册 BS版
三角形相似的判定定理. （1）定理一： 两角分别相等的两个三角形相似 ；
⁠
（2）定理二： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ； ⁠
图2
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数学 九年级上册 BS版
∴ CR ＝2 MR . 在Rt△ EMR 中，由勾股定理，得
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数学 九年级上册 BS版
【点拨】注意数形结合思想的应用，以及有两组角对应相等的 两个三角形相似的判定定理的应用.
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数学 九年级上册 BS版
如图，在平面直角坐标系中，已知点 A ， C 分别在 x 轴和 y 轴 上，四边形 AOCB 为矩形， AB ＝16， BC ＝12，点 D 与点 A 关于 y 轴对称.点 E ， F 分别是线段 AD ， AC 上的动点（点 E 不与点 A ， D 重合），且∠ CEF ＝∠ ACB .
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数学 九年级上册 BS版
【点拨】当无法证明“比例式”或“等积式”线段所在的两个 三角形相似时，可以考虑“等线段替换”或者“等比替换”， 将问题进行转化.
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九年级数学（上册）第一章 证明(二)
你能证明它们吗
等边三角形的判定
开启 智慧
八仙过海
一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形?
一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三 角形?
你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形 吗?你能证明你的结论吗?
A
A
A
600
驶向胜利
的彼岸
600
B
CB
CB
与同伴交流你在探索思路的过程中的
150
150
C
′
解：∵∠B=∠ACB=150(已知)，
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个外角
，等于和不相邻的两内角的和)．
∴CD=1 AC=1 ×2a=a(在直角三角形中， 如果有一个锐
2
2
角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
这里有一个化归的数学思想——即 把问题转化为一个纯数学问题．
600
B
C
一个角是600的等腰三角
形是等边三角形)．
这又是一个判定等边三角形的 根据之一．
驶向胜利 的彼岸
我能行 2
命题的证明
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C A
．
证求明证：：∵△A∠BAC=是∠等B 边(三已角知形)，．
∴ BC=AC，(等角对等边)．
等的三角形是等边三角形)．
600
C
这又是一个判定靠边三角形的根据之一 ．
驶向胜利 的彼岸
我能行 3
命题的猜想
1 操作：用两个含有300角的三角
尺, 你能拼成一个Biblioteka 样的三角300形?
300 300 300
300
300
能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由．
由此你想到, 在直角三角形中， 300角所对 的直角边与斜边有怎样的大小关系?
又∵∠B=∠C(已知)，
B
C
∴ AB=AC，(等角对等边)．
∴AB=BC=AC(等式性质)．
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义)．
驶向胜利 的彼岸
回顾反思 2
几何的三种语言
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形．
A
600
在△ABC中，
′ ∵∠A=∠B=∠C(已知)，
600
B
∴△ABC是等边三角形(三个角都相
结论：在直角三角形中， 300角所 对的直角边等于斜边的一半．
驶向胜利 的彼岸
能证明你的结论吗?
我能行 4
命题的证明
定理：在直角三角形中， 如果有一个锐角 A 等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一
半已．知：如图，在△ABC中，∠ACB=900，
300
∠A=300．1 求证证明：B如C=图2 A，B．延长BC至D，使CD=BC，连
2
角所对的直角边等于斜边的一半)．
A 300
C
这又是一个判定两条线段成倍 分关系的根据之一．
驶向胜利 的彼岸
例题欣赏 1
学无止境
例2．已知：如图，等腰三角形的底角为150，腰长为2a
．
分求析：：腰如上图的，高在．△ABC中
D
AB=AC=2a，∠B=∠ACB=150
A
，CD⊥AB于D．
求：CD=?
B
． 你能规范地写出证明过程吗?你 的证题能力有所提高吗?
驶向胜利 的彼岸
隋堂练习 3
三角形，认识我吗
2．已知：如图，点P，Q在BC上，且 BP=AP=AQ=QC=a，∠PAQ=600，AH⊥BC于H． (1)求证：AB=AC； (2)试在图中标出各个角的度数； (3)求出图中各线段的长度，并说明理由．
∴∠A=∠B（等式性质）．
∴ AC=CB（等角对等边）．
∴AB=BC=AC（等式性质）．
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形 意义)．
驶向胜利 的彼岸
回顾反思 1
几何的三种语言
定理：有一个角是600的等腰三角形是等边三角 形．
在△ABC中，
A
∵AB=AC，∠B=600(已知)
．
′
∴△ABC是等边三角形(有
300
BC
驶向胜利 的彼岸
心动 不如行动
反过来怎么样— —逆向思维
证明：如图， 延长BC至D，使CD=BC，连 接AD．
在△ABD中，∵∠ACB=900(已知)，
∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两
端的距离相等)．
又∵BC=AB/2(已知)，
BC=BD/2(作图)，
B
∴AB=BD(等量代换)．
驶向胜利 的彼岸
∴△ABD是等边三角形(有一个角600是的等腰三角形是等边三角形)
∴BC=
1 2
BD=12
AB(等式性质)．
回顾反思 3
几何的三种语言
定理：在直角三角形中， 如果有一个锐角等 于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
在△ABC中，
∵∠ACB=900，∠A=300．
B
′
∴BC= 1 AB．(在直角三角形中， 300
′
A
B
PHQ C
胜利属于敢想敢干的人！ 你能与同学们交流探索证题的全 过程吗?
驶向胜利 的彼岸
心动 不如行动
样——逆向思 维
命题：在直角三角形中， 如果一条直角边等于斜 边的一半，那么它所对的锐角等于300．是真命题吗
如果是，请你证明它．
A
已知：如图，在△ABC中 ，∠ACB=900，BC=AB/2． 求证：∠A=300．
∴AB=BD=AD(等式性质）．
∴△ABD是等边三角形(等边三角形意义)
．
∴∠B=600(等边三角形意义)．
∴∠A=300(直角三角形两锐角互余)．
A
300
CD
驶向胜利 的彼岸
回顾反思 4
几何的三种语言
定理：在直角三角形中， 如果一条直角边等 于斜边的一半，那么它所对的锐角等于300．
具体做法．
600
C
我能行 1
命题的证明
定理：有一个角是600的等腰三角形是等边三角 形已．知：如图，在△ABC中AB=AC，∠B=600A ．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵AB=AC， ∠B=600(已知)， 600
∴∠C=∠B=600．(等边对等角)． B
C
∴∠A=600(三角形内角和定理)．
驶向胜利 的彼岸
隋堂练习 2
含300角的直角三角形
1．已知：如图，
在△ABC中，∠ACB＝900，∠A=300，CD⊥AB于D
．
求分证析：：B因D=为AB∠/4A．=300，所以 C
BC=AB/2．要证明BD=AB/4，
′
只要能使BD=BC/2即可，此时B
A
若∠BCD=300就可以了．而由 D
“双垂直三角形”即可求得
在接A△DA．BC中，∵∠ACB=900，∠A=300(已知B)， C D
∴∠B=600(直角三角形两锐角互余)．
又∵ ∠ACB=900， (已知)，
∴∠ACD=900(平角意义)．
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图），
∠ACB=∠ACD（已证），
AC=AC（公共边）， ∴△ABC≌△ADC（SAS）．