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《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生(辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ，用三点式求得≈')1(f 。
答案:2。
367,0。
252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微，求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f ( 1 ）,=]4,3,2,1,0[f （ 0 ）；6、计算方法主要研究（ 截断 ）误差和（ 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程f (x ）=0在区间（a ,b ）内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n ab ）；8、已知f (1)＝2，f （2）＝3,f （4）＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ）； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f ），代数精度为( 5 ）；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ,为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为 199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间［0,1]内的根，进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5,0.75 。
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
1习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？2解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
习题三 2 解：()()2112230.2()10.210.80.80.20.80.20.80.61440.4613n n n n n y y y x y y y y +=+--=+⨯-==+⨯--⨯==同理，7. 解：()()()22212111,0.1(2)11,0.1(2)112pn n n n n nc n n n n p n n p c y y hf x y y y x y y hf x y y y x y y y +++⎧=+=+⨯-⎪+⎪⎪=+=+⨯-⎨+⎪⎪=+⎪⎩111230.1,0.097,0.09850.1913,0.2737p c y y y y y =====同理，11. 解：()112341213243123412340.2226833830.223830.228330.21, 1.4, 1.58, 1.05,(0.2) 2.30041.0986,0.7692,0.8681,0.5780,(0.4)2.4654n n nn n n y y k k k k k y k y k k y k k y k k k k k y k k k k y +⎧=+⨯+++⎪⎪=-⎪⎪⎪=--⨯⨯⎨⎪⎪=--⨯⨯⎪⎪=--⨯⨯⎪⎩==========同理，13. 解：()()[]()[]()110.220.22321,00,(0.2)0.181(0.4)(0.2)3(0.2)10.1810.1310.18110.3267(0.6)(0.4)3(0.4)(0.2)0.32670.1310.3267(10.181)0.4468n n nn hy y y y y y y y y y y y y y y +-''=+-'=-=='=+-=+⨯⨯--=⎡⎤⎣⎦''=+-=+⨯⨯---=⎡⎤⎣⎦(0.8)0.5454,(1)0.6265y y ==同理，习题四),(,121)('sin 21)('cos 21)(.2∞-∞∈<≤-==x x xx x x ϕϕϕ证明：迭代函数所以在均收敛。
第1章 数值计算引论1．1 内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。
1． 截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。
这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。
例如，要计算级数∑∞==+++++1!1!1!31!211k k n的值，当用计算机计算时，用前n 项（有限项）的和∑==+++++nk k n 1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n 项后边的无穷多项，因而产生了截断误差∑∞+=1!1n k k2． 舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。
例如，用3.141 59表示圆周率π时产生的误差0.000 002 6…,用0.333 33表示1÷3的运算结果时所产生的误差1÷3-0.333 33 = 0.000 003 3…都是舍入误差。
二．近似数的误差表示1． 绝对误差设x *是准值x 的一个近似值，称**)(x x x e -=为近似值x *的绝对误差，简称误差。
令|)(|*x e 的一个上界为*ε，即***|||)(|ε≤-=x x x e把*ε称为近似数*x 的绝对误差限，简称误差限。
2． 相对误差设*x 是精确值x 的一个近似值，称xx x xx e **)(-=为近似值x *的相对误差。
在实际应用中常取***)(xx x x e r -=为*x 的相对误差。
令相对误差绝对值 |)(|*x e r 的一个上界为ε*r，即 ****|||||)(|r r x x x x e ε≤-=把ε*r称为近似数*x 的相对误差限。
3． 有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。
设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯±= ，其中，i x 是0~9之间的任一个数，但i x ≠0，n i ,2,1=是正整数，m 是整数，若nm x x -⨯≤-1021||*则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值，*x 准确到第n 位，n x x x ,,,21 是*x 的有效数字。
有效数字位数越多，绝对误差越小。
4． 有效数字和相对误差若近似值m n x x x x 10.021*⨯±= 具有n 位有效数字，则其相对误差)1(1*1021||--⨯≤n r x e有效数字位数越多，相对误差越小。
若近似值m n x x x x 10.021*⨯±= 的相对误差)1(1*10)1(21||--⨯+≤n r x e则该近似数*x 至少有n 位有效数字。
三．数值计算误差分析1． 函数运算误差设一元函数)(x f ，自变量x 的近似值为*x ，函数)(x f 的近似值为)(*x f ，则函数)(x f 的绝对误差限)(|)(|)]([***x x f x f εε'≈相对误差限)(|)()(|)]([****x x f x f x f r εε'≈设多元函数),,,(21n x x x f y =，自变量n x x x ,,,21 的近似值为**2*1,,,n x x x ，函数y 的近似值为),,,(**2*1*n x x x f y =，则函数y 的绝对误差限)(|)(|)(*1**x x f y ni iεε∑=∂∂=相对误差限**1**)(|)(|)(yx xfy ni iεε∑=∂∂=上二式中in ix x x x f x f ∂∂=∂∂),,,()(**2*1*2． 算术运算误差以21,x x 两数为例，设*2*1,x x 分别为准确值21,x x 的近似值，其误差限分别为)(),(*2*1x x εε，则)()(),(*2*1*2*1x x x x εεε+≈±)(||)(||)(*1*2*2*1*2*1x x x x x x εεε+≈0,)()(||)(||)(*22*2*1*2*2*1*2*1≠+≈x x x x x x x x εεε三．数值稳定性和减小运算误差1． 数值稳定性在数值计算过程中，舍入误差在一定条件下能得到控制，或者说是舍入误差的增长不影响产生可靠的结果，则该计算是数值稳定的，否则是数值不稳定。
在实际计算时，要选用数值稳定的方法，不稳定的数值方法不能使用。
2． 减小运算误差（1） 避免相近的数相减，防止有效数字位数损失。
（2） 防止大数“吃掉”小数，保护重要的物理参数。
（3） 绝对值小的数不宜做除数。
（4） 简化计算步骤，减少运算次数。
1．2 习题及解答1．已知π=3.141 592 654S ，问：（1）若其近似值取5位有效数字，则该近似值是多少？其误差限是多少？（2）若其近似值精确到小数点后面4位，则该近似值是什么？其误差限是什么？ （3）若其近似值的绝对误差限为5105.0-⨯, 则该近似值是什么？ 解 （1）近似值 *π= 3.141 6，误差限4*1021-⨯=ε。
（2）和（1）相同，*π= 3.141 6，4*1021-⨯=ε。
（3）*π= 3.141 59。
2．下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，求各数的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。
（1）3 580解 绝对误差限 5.010210*=⨯=ε。
相对误差限%014.0104.135805.0||4***=⨯===-x rεε。
经过四舍五入得到的近似值3 580，其各位都是有效数字，故有4位有效数字。
（2）0.047 6解 绝对误差限44*105.01021--⨯=⨯=ε。
相对误差限%11.000105.00476.0105.0||4***≈≈⨯==-x rεε。
经过四舍五入得到的近似值0.047 6，其各位都是有效数字，故有效数字的位数为3位。
（3）30.120解 绝对误差限0005.010213*=⨯=-ε相对误差限%0017.0120.300005.0||***≈==x rεε经过四舍五入得到的近似值30.120，其各位都是有效数字，故有效数字的位数为5位。
（4）5103012.0-⨯ 解 绝对误差限954*105.0101021---⨯=⨯⨯=ε相对误差限%017.0103012.0105.0||59***≈⨯⨯==--x rεε经过四舍五入得到的近似值5103012.0-⨯，其各位都是有效数字，故有效数字的位数为4位。
1． 确定圆周率π如下近似值的绝对误差限、相对误差限，并求其有效数字的位数。
（1） 722解 722 = 3.142 857…，π=3.141 592…。
|π-722| = | 3.141 592… - 3.142 857…| = 0.001 264…，取绝对误差*e =0.001 3，则相对误差%04138.00013.0||***===πx ee r或取绝对误差限2*1021005.0-⨯==ε。
因为m=1，m-n=-2，所以n=3，有3位有效数字。
此时相对误差限%159.0314.01021||2***=⨯==-x r εε。
又解，相对误差限%17.010321)13(*=⨯⨯=--r ε。
前者比后者更精确。
（2）71223解 71223=3.140 84…，π=3.141 59…。
|π-71223| = | 3.141 59… - 3.140 84…| = 0.000 75…，取绝对误差*e =0.000 76，则相对误差%02419.000076.0||***===πx ee r或取绝对误差限2*1021005.0-⨯==ε。
因为m=1，m-n=-2，所以n=3，有3位有效数字。
此时相对误差限%159.0314.01021||2***=⨯==-x r εε。
又解，相对误差限%17.010321)13(*=⨯⨯=--r ε。
前者比后者更精确。
（3）113355解 113355=3.141 592 92…，π=3.141 59…。
|π-113355| = | 3.141 592 654… - 3.141 592 920…| = 0.000 000 266…，取绝对误差*e =0.000 000 267，则相对误差%0000085.0000000267.0||***===πx ee r或取绝对误差限6*10210000005.0-⨯==ε。
因为m=1，m-n=-6，所以n=7，有7位有效数字。
此时相对误差限%0000159.0314.01021||6***=⨯==-x r εε。
又解，相对误差限%000017.010321)17(*=⨯⨯=--r ε。
前者比后者更精确。
设x =108.57t ln ，其近似值*x 的相对误差1.0)(*≤x e ，证明*t 的相对误差%1.0)(*<t e r 。
证 )(*x e =108.57（lnt - lnt *）= 108.57ln(*t t )≤0.10<*tt≤57.1081.0e%1.01021.911)(457.1081.0****<⨯≈-≤-=-=-ett tt t t e r 。
1． 要使6近似值的相对误差限小于0.1%，需取几位有效数字？解 方法1：因为6=2.449 4…，有1x =2，设近似值*x 有n 位有效数字，由定理)1(1*1021--⨯=n r x ε有%1.010221)1(<⨯⨯--n3)1{1011041---⨯<⨯n比较不等式141<，所以n-1=3，n=4，故取4位有效数字，*x =2.449。
方法2：根据相对误差限||***x rεε=，有||***x r εε=，所以*3310210005.00012247.0449.21021ε=⨯=<=⨯⨯--即m-n=-3，由于m=1，所以n=4，故取*x =2.449。
方法3：解法1和解法2的结果都是偏于保守的。
在解法1中，对定理所有具有n 位有效数字的近似值都正确，故对误差估计偏大；在解法2中，取绝对误差限确定有效数字n 位是偏大的。
对于本例题，根据上述的结论，试取3位有效数字2.45进行试算，其相对误差%1.0000208.045.2|45.26|<=-实际已满足要求。
1． 已知近似数*x 的相对误差限为0.3%，问*x 至少有几位有效数字？ 解 由*r ε=0.3%，根据定理，有0.3%=)1(110)1(21--⨯+n x1x 的取值范围是1~9，由于1x 未给出，取1x =1，n=2.92；取1x =9，n=2.22，按量不利的情况，*x 至少有2位有效数字。
2． 设x > 0，其近似数*x 的相对误差限对δ，求*ln x 的绝对误差和相对误差。
解 由函数运算的误差限***|)(|)]([εεx f x f '≈，并考虑到x>0，有δεεε=='≈*****)(ln ))(ln(xx x或解|ln||ln||ln ln |)(ln ******xxx x xx x x x +-==-=ε=δδ≈+=+-|)1ln(||1ln|**xx x由函数运算的相对误差限****|)()(|)]([εεx f x f x f r '≈，有|ln ||ln 1||ln )(ln |)(ln ********x xxxx x r δεεε=='≈8．计算球体积334r V π=时，为使V 的相对误差不超过0.3%，问半径r 的相对误差允许是多少？解 设r 的近似值为*r ，V 的近似值为*V解法1：根据定义 3*3*33*3*3*343434)(rr rrrr V e r -=-=πππ=2*2**2**rrrr rrr r ++-注意到2*r r ≈，有)(33)()(*2*2***r e rr r e V e r r r =≈令|%3.0|)(3||)(**≤≈r e V e r r ，可知半径r 允许的相对误差%1.0|)(*≤V e r 。
