绝对值及其几何意义

绝对值及其几何意义

绝对值是初中代数乃至高中代数的重要内容，它伴随着我们学习代数知识的全过程。我们知道：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。这是绝对值的代数意义。

绝对值的几何意义可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，如|a|表示数轴上表示数a的点到原点的距离，推而广之：∣x-a∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离，∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、b 两点的距离之和。

对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。下面通过几个例题谈谈绝对值的几何意义的妙用。

例1：已知，∣x-4∣=3，求x的值。

解：由绝对值的几何意义可知，∣x-4∣=3表示x到4的距离为3，结合数轴不难发现到4这个点的距离为3的点共有二个，分别是1和7，故x=1或7.

例2：求∣x-1∣+∣x+2∣的最小值。

分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。

解：根据绝对值的几何意义可知，∣x-1∣表示数轴上点x到1的距离，

∣x+2∣=∣x-（-2）∣表示数轴上点x到-2的距离。实际上此题是要在数轴上找一点x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x应在数轴上1到-2（含-2及1）当中的任一点，且最短距离为3，即∣x-1∣+∣x+2∣的最小值为3。

此题实际上也说明了这么一个结论：∣x-a∣+∣x-b∣的最小值为∣a-b∣。通过分析我们亦不难理解，∣∣x-a∣-∣x-b∣∣的几何意义是数轴上一点x到a、b两点之间距离之差的绝对值，它有一个最大值∣a-b∣，即-3≤∣x-a∣-∣x-b∣≤3。我们再看下面的一个问题：

例3：对于任意实数，若不等式∣∣x+1∣-∣x-2∣∣＜k恒成立，则实数k的取值范围是什么？

解：由∣∣x+1∣-∣x-2∣∣的几何意义可知，它表示数轴上一点x到-1和2两点距离之差的绝对值，它有一个最大值为3即∣∣x+1∣-∣x-2∣∣≤3，而∣∣x+1∣-∣x-2∣∣恒小

于k，所以k＜3

例4：如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？

分析：本题就是在数轴上存在一个点x，它到3和-1的距离之和为4，由数轴可知符合条件的x应在3和-1（包括3和-1）之间，此时该点到3和-1的距离之和为4，即∣x-3∣+∣x+1∣=4，所以，-1≤x≤3。此题若采用“零点分段法”将会有较长的计算过程，比较繁琐。

绝对值的几何意义的运用是一个高超的技巧，这种简捷、巧妙的方法应引起我们的重视。

绝对值的性质：

（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；

（2）|a|={a,a>0 0,a=0

−a,a<0

（代数意义）

（3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；

（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a；

（5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）

（6）|a∙b|=|a|∙|b|

（7）|a

b |=|a|

|b|

(b≠0)

（8）|a|2=|a2|=a2

（9）||a|−|b||≤|a+b|≤||a|+|b||

左边的等号当且仅当ab≤0时取到，右边的等号当且仅当ab≥0时取到（10）||a|−|b||≤|a−b|≤||a|+|b||

左边的等号当且仅当ab≥0时取到，右边的等号当且仅当ab≤0时取到