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六年级奥数习题精选——余数与同余

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六年级奥数习题精选——余数与同余
216 两数相除，商是499，余数是3，被除数最小是几？
217 两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被 13除余几？
218 用108除一个数余100，如果改用36除这个数，那么余数是几？
219 1111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数。

220 用1—9这9个数码连续不断地排列成一个100位数
123456789123456789…
这个100位数除以9余几？
221 把自然数从小到大依次无间隔地写成一个数。

问：从第1个数码到第300个数码所构成的数除以9余几？
222 求这样的三位数，它除以9所得的余数等于组成它的三个数字的平方和。

223 求下列各数除以11的余数：
224 将自然数1—40从左至右依次排列成一个71位数，求这个数除以11的余数。

225 已知大小两数之和是789，大数去掉个位数字后等于小数。

求大数。

226 分别求满足下列条件的最小自然数：
(1)用3除余2，用5除余1，用7除余1；
(2)用3除余1，用5除余2，用7除余2；
(3)用3除余2，用7除余4，用11除余1。

227 一个自然数在1000到1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3。

求这个自然数。

228 A，B，C三人绕校园一周的时间分别为6分、7分、11分。

由开始点A出发后，B 比A晚1分钟出发，C比B晚5分钟出发，那么A，B，C初次同时通过开始出发的地点是在A出发后多少分钟？
229 有一类自然数，其中每一个数与2的和都是5的倍数，与5的差都是6的倍数。

问：这类自然数中最小的是几？
230 有一类自然数，其中每一个数与5的和都是9的倍数，与5的差都是7的倍数。

请按从小到大的顺序写出这类自然数中的前三个。

231 在一个四位数除以19的竖式中，每商一次后的余数都是8。

满足条件的四位数有哪些？
232 一个自然数，减去它除以7所得余数的5倍，结果是100，求原来的自然数。

233 两数相除商9余4。

如果被除数、除数都扩大到原来的3倍，则被除数、除数、商、余数之和等于2583。

求原来的被除数和除数。

234 甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲3张，再给乙2张，再给丙1张，最后给丁2张，然后再按照甲3张、乙2张，……的顺序发牌。

问：最后一张(第54张)牌发给了谁？
235 节日的街上挂起了长长一排彩灯，从第1盏开始，按照5盏红灯、4盏黄灯、3盏绿灯、2盏蓝灯的顺序周而复始地排下去。

问：第2000盏灯是什么颜色？
236 右图中，从A点出发沿顺时针方向绕正方形走，到B点拐第1个弯，在哪个点拐第67个弯？
237 某班学生列队时，排三路纵队多1人，排四路纵队多2人，排五路纵队多3人。

问：这班学生至少有多少人？
238 有一个数除以3余2，除以4余1。

问：此数除以12余几？
239 2000除以自然数a的不完全商是46，求a。

240 678除以一个数的不完全商是13，并且除数与余数的差是8，求除数和余数。

241 从6月 25日12时起，过10000分钟后是哪月哪日的几时几分？
242 求1 2＋2 2＋…＋99 2除以4的余数。

243 计算下列各式的余数：
(1)81547×118÷7；(2)2758×3361÷9；
(3)9642×2879×4787÷13；(4)2461×135×6047÷11；
(5) 6443 12 ÷19；(6)253 16×187 19÷83。

244☆求下列各式的余数；
(1) 2123÷6； (2) 4848÷5； (3)10100÷7；
(4) 345÷7； (5) 5100÷11； (6)1013÷13。

245☆求19992000÷ 7的余数。

246☆将一批货物共 328千克装入纸箱，每箱13千克，最后余多少千克？
个数对，那么这样的数对有哪几组？
248 有一串数1，1，2，3，5，8，…从第3个数起，每个数都是前2个数之和，在这串数的前100个数中，有多少个是5的倍数？
249☆70个数排成一排，除了两头的两个数外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数的和。

已知最左边的几个数是：0，1，3，8，21，…问：最右边的一个数除以6的余数是几？
250 在小于1000的自然数中，除以18及33而余数相同的数有多少个？
251 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差11。

求这个数。

252 张霞在计算有余数的除法时，把被除数115当成了151，结果商比正确结果大了3，但余数恰好相同。

求这道除法算式的除数。

253 用一个整数去除454和546所得的余数都是17，求这个数。

254 某个自然数除以512余83，除以513也余83。

这个自然数除以38余几？
255 有一个大于1的整数，除365，450，314所得的余数都相同，求这个数。

256 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网。

如果将这三种物品分别平分给每个班，那么这三种物品剩下的数量相同。

学校共有多少个班？
257 有一个数，用它去除120，余数是1，用它去除50，余数比它小1。

求这个数。

258 用一个自然数去除700余4，除900余12，除1000余16，求这个数。

259 两个数的和是357，用较大的数除以较小的数商5余15。

求这两个数。

260 有一个整数，用它分别去除157，234和324，得到的三个余数之和是100。

求这个整数。

261 一个三位数，除以28余25，除以29余10，求这个三位数。

262 一个自然数被7，8，9除的余数分别为1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数。

263☆一个自然数，分别除以3，4，6，7，12，42后，得到的余数分别为2，1，5，6，5，41。

又知这六个商的和为877，求这个自然数。

264 计算下式除以7所得的余数；
1111+2×1111+3×1111+…+111l×1111。

265 证明：奇数的平方除以8都余1。

266 有四个不同的自然数，其中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数。

为使这四个数的和尽可能小，这四个数应分别是几？
267 号码分别为37，57，77和97的四名运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和除以3的余数，那么打球盘数最多的运动员是几号？他打了多少盘？
268 在一个圆圈上有几十个孔(见下图)，小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回A孔。

他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B 孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔，最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。

问：这个圆上共有多少个孔？
269☆两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人，两代表团坐满若干辆车后，第一个代表团余下的13人与第二个代表团余下的成员正好又坐满一辆车。

参观完，第一个代表团的每个成员与第二个代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。

如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？。

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小学生六年级奥数数论考点：余数问题

小学生六年级奥数数论考点：余数问题

小学生六年级奥数数论考点：余数问题
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m);
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);
⑦同倍性：若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、费尔马小定理：
如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

六年级奥数：同余问题

六年级奥数：同余问题

六年级奥数：同余问题1求1992×59除以7的余数。

应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。

1992除以7余4，59除以7余3。

根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。

因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）所以1992×59除以7的余数是5。

2已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。

但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。

2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。

因为366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）答：2010年的国庆节是星期五。

3求2001的2003次方除以13的余数。

2001除以13余12，即2001≡12（mod 13）。

根据同余性质（4），可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。

这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。

经试验可知12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。

所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。

六年级奥数专题练习：余数问题

六年级奥数专题练习：余数问题

六年级奥数专题练习：余数问题
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。

二、同余的*质：
①自身*：a≡a(modm)；
②对称*：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
③传递*：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；
④和差*：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；
⑤相乘*：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；
⑥乘方*：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；
⑦同倍*:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M 的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；
五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。

投诉。

小学奥数同余定理单选题100道及答案

小学奥数同余定理单选题100道及答案

小学奥数同余定理单选题100道及答案1. 下列算式中，余数相同的是（）A. 24÷5 35÷6B. 39÷5 27÷4C. 48÷7 45÷6答案：B解析：39÷5 = 7......4，27÷4 = 6......3，余数都是4。

2. 一个数除以8 余5，除以9 余6，这个数最小是（）A. 69B. 72C. 77答案：C解析：这个数加上3 就能被8 和9 整除，8 和9 的最小公倍数是72，所以这个数是72 - 3 = 69。

3. 11÷4 = 2......3，如果被除数和除数都扩大10 倍，那么余数是（）A. 3B. 30C. 0.3答案：B解析：被除数和除数都扩大10 倍，商不变，余数扩大10 倍，3×10 = 30。

4. 有一个数，除以5 余数是2，除以7 余数是3，这个数最小是（）A. 22B. 23C. 27答案：B解析：通过列举，可得23 除以5 余数是2，除以7 余数是3。

5. 47 除以一个数，余数是7，这个数最小是（）A. 8B. 9C. 10答案：B解析：除数要大于余数，所以这个数最小是9。

6. 一个数除以6 余4，除以8 余6，这个数最小是（）A. 22B. 20C. 26答案：A解析：这个数加上2 就能被 6 和8 整除，6 和8 的最小公倍数是24，所以这个数是24 - 2 = 22。

7. 35÷（）= 4......3，括号里应填（）A. 8B. 7C. 9答案：A解析：（35 - 3）÷4 = 8。

8. 下列算式中，余数最大的是（）A. 38÷5B. 47÷8C. 59÷9答案：C解析：38÷5 = 7......3，47÷8 = 5......7，59÷9 = 6......5，5 < 7 < 9。