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六年级奥数 应用同余问题

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第38讲应用同余问题一、知识要点同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的. 同余的定义是这样的：两个整数a, b, 如果它们除以同一自然数m所得的余数想同, 则称a, b对于模m同余. 记作：a≡b（mod ｍ）. 读做：ａ同余于ｂ模ｍ. 比如, 12除以5, 47除以5, 它们有相同的余数2, 这时我们就说, 对于除数5, 12和47同余, 记做12≡47（mod 5）.同余的性质比较多, 主要有以下一些：性质（1）：对于同一个除数, 两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余. 比如：32除以5余数是2, 19除以5余数是4, 两个余数的和是2+4=6. “32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数. 也就是说, 对于除数5, “32+19”与它们的余数和“2+4”同余, 用符号表示就是：32≡2（mod 5）, 19≡4（mod 5）, 32+19≡2+4≡1（mod 5）性质（2）：对于同一个除数, 两个数的乘积与它们余数的乘积同余.性质（3）：对于同一个除数, 如果有两个整数同余, 那么它们的差就一定能被这个除数整除.性质（4）：对于同一个除数, 如果两个整数同余, 那么它们的乘方仍然同余.应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质. 把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数, 使复杂的题变简单, 使困难的题变容易.二、精讲精练【例题1】求1992×59除以7的余数.应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积, 使计算简化. 1992除以7余4, 59除以7余3. 根据同余性质, “4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的, 通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了.因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）所以1992×59除以7的余数是5.练习1：1、求4217×364除以6的余数.2、求1339655×12除以13的余数.3、求879×4376×5283除以11的余数.【例题2】已知2001年的国庆节是星期一, 求2010年的国庆节是星期几？一星期有7天, 要求2010年的国庆节是星期几, 就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的余数就行了. 但在甲酸中, 如果我们能充分利用同余性质, 就可以不必算出这个总天数.2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年, 即有“366×2+365×7”天. 因为366×2≡2×2≡4（mod 7）, 365×7≡1×7≡0（mod 7）, 366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）答：2010年的国庆节是星期五.练习2：1、已知2002年元旦是星期二. 求2008年元旦是星期几？2、已知2002年的“七月一日”是星期一. 求2015年的“十月一日”是星期几？3、今天是星期四, 再过365的15次方是星期几？【例题3】求2001的2003次方除以13的余数.2001除以13余12, 即2001≡12（mod 13）. 根据同余性质（4）, 可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13）, 但12的2003次方仍然是一个很大的值, 要求它的余数比较困难. 这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的. 经试验可知12的平方≡1（mod 13）, 而2003≡2×1001+1. 所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13）, 即12的2002次方≡1（mod 13）, 而12的2003次方≡12的2002次方×12. 根据同余性质（2）可知12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）因为：2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13）12的平方≡1（mod 13）, 而2003≡2×1001+112的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）所以2001的2003次方除以13的余数是12.练习3：1、求12的200次方除以13的余数.2、求3的92次方除以21余几.3、9个小朋友坐成一圈, 要把35的7次方粒瓜子平均分给他们, 最后剩下几粒？【例题4】自然数16520, 14903, 14177除以m的余数相同, m最大是多少？自然数16520, 14903, 14177除以m的余数相同, 换句话说就是16520≡14903≡14177（mod m）. 根据同余性质（3）, 这三个饿数同余, 那么它们的差就能被m整除. 要求m最大是多少, 就是求它们差的最大公约数是多少？因为16520—14903=1617=3×7的平方×1116520—14177=2343=3×11×7114903—14177=726=2×3×11的平方M是这些差的公约数, m最大是3×11=33.练习4：1、若2836、4582、5164、6522四个整数都被同一个两位数相除, 所得的余数相同. 除数是多少？2、一个整数除226、192、141都得到相同的余数, 且余数不为0, 这个整数是几？3、当1991和1769除以某一个自然数m时, 余数分别为2和1, 那么m最小是多少？【例题5】某数用6除余3, 用7除余5, 用8除余1, 这个数最小是几？我们可从较大的除数开始尝试. 首先考虑与1模8同余的数, 9≡1（mod 8）, 但9输以7余数不是5, 所以某数不是9. 17≡1（mod 8）, 17除以7的余数也不是5. 25≡1（mod 8）, 25除以7的余数也不是5. 33≡1（mod 8）, 33除以7的余数正好是5, 而且33除以6余数正好是3, 所以这个数最小是33. 上面的方法实际是一种列举法, 也可以简化为下面的格式：被8除余1的数有：9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 73, 81, 89, ……其中被7除余5的数有：33, 89, ……这些数中被6除余3的数最小是33.练习5：1、某数除以7余1, 除以5余1, 除以12余9. 这个数最小是几？2、某数除以7余6, 除以5余1, 除以11余3, 求此数最小值.3、在一个圆圈上有几十个孔（如图38-1）, 小明像玩跳棋那样从A孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步, 希望一圈以后能跑回A孔, 他先试着每隔2孔跳一步, 也只能跳到B 孔. 最后他每隔6孔跳一步, 正好跳回A孔. 问：这个圆圈上共有多少个孔？面积计算一、知识要点计算平面图形的面积时, 有些问题乍一看, 在已知条件与所求问题之间找不到任何联系, 会使你感到无从下手. 这时, 如果我们能认真观察图形, 分析、研究已知条件, 并加以深化, 再运用我们已有的基本几何知识, 适当添加辅助线, 搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”, 就会使你顺利达到目的. 有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征, 添加一些辅助线, 运用平移旋转、剪拼组合等方法, 对图形进行恰当合理的变形, 再经过分析推导, 方能寻求出解题的途径.二、精讲精练【例题1】已知如图, 三角形ABC的面积为8平方厘米, AE＝ED, BD=2/3BC, 求阴影部分的面积.练习1：1、如图, AE＝ED, BC=3BD, S△ABC＝30平方厘米. 求阴影部分的面积.2、如图所示, AE=ED, DC＝1/3BD, S△ABC＝21平方厘米. 求阴影部分的面积.3、如图所示, DE＝1/2AE, BD＝2DC, S△EBD＝5平方厘米.求三角形ABC的面积.【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, 如图所示, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积各是多少？练习2：1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, （如图所示）, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积是多少？2、已知AO＝1/3OC, 求梯形ABCD的面积（如图所示）.【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分, 且四边形AECF的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.练习3：1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分, 且四边形AECG的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图）.2、如图所示, 求阴影部分的面积（ABCD为正方形）.【例题4】如图所示, BO＝2DO, 阴影部分的面积是4平方厘米. 那么, 梯形ABCD的面积是多少平方厘米？练习4：1、如图所示, 阴影部分面积是4平方厘米, OC＝2AO. 求梯形面积.2、已知OC＝2AO, S△BOC＝14平方厘米. 求梯形的面积（如图所示）.3、已知S△AOB＝6平方厘米. OC＝3AO, 求梯形的面积（如图所示）.【例题5】如图所示, 长方形ADEF的面积是16, 三角形ADB的面积是3, 三角形ACF的面积是4, 求三角形ABC的面积.练习5：1、如图所示, 长方形ABCD的面积是20平方厘米, 三角形ADF的面积为5平方厘米, 三角形ABE的面积为7平方厘米, 求三角形AEF的面积.2、如图所示, 长方形ABCD的面积为20平方厘米, S△ABE＝4平方厘米, S△AFD＝6平方厘米, 求三角形AEF的面积.三、课后练习1、已知三角形AOB的面积为15平方厘米, 线段OB的长度为OD的3倍. 求梯形ABCD的面积. （如图所示）.2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分, 且阴影部分面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.3、如图所示, 长方形ABCD的面积为24平方厘米, 三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米, 求三角形AEF的面积.。

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六年级奥数用同余法解题

六年级奥数用同余法解题

练习2：
1.已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期几？
2.已知2002年的七月一日是星期一。求2015年的十月一日是星期几？
练习3：
1.若2836,4582,5164,6522四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相同。除数最大是多少？
2.一个整数除226,192,141都得到相同的余数，且余数不为0，这个整数是几？
性质1：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如32除以5的余数是2,19除以5的余数是4，两个余数的和是6,32+19除以5的余数就恰好等于它们的余数的和6除以5的余数。
性质2：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质3：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
（提示：一个星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的余数就行了；也可以利用同余的性质求出余数。）
例3：
自然数16520,14903,14177除以m的余数相同，m的最大值是多少？
（提示：利用同余性质3）
例4：
某数用6除余3，用7除余5，用8除余1.这个数最小是几？
性质2：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质3：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
应用同余性质解题的关键是在于正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的问题变简单，使困难的题变容易。
（提示：可以用列举法）
个 性 化 辅 导 学 案
学科奥数学生年级授课时间2014年12月27日 授课教师汪
六年级奥数：同余问题

六年级奥数：同余问题

六年级奥数：同余问题1求1992×59除以7的余数。

应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。

1992除以7余4，59除以7余3。

根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。

因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）所以1992×59除以7的余数是5。

2已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。

但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。

2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。

因为366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）答：2010年的国庆节是星期五。

3求2001的2003次方除以13的余数。

2001除以13余12，即2001≡12（mod 13）。

根据同余性质（4），可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。

这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。

经试验可知12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。

所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。

六年级奥数举一反三应用同余解题

六年级奥数举一反三应用同余解题

应用同余解题同余性质1.对于同一个除数，两个数之和（差）与它们的余数之和（差）同余。

比如32÷5余数是2，19÷5余数是4，两个余数的和是2＋4＝6。

“32＋19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。

也就是说，对于除数5，“32＋19”与它们的余数和“2＋4”同余，用符号表示是：32≡2(mod 5)，19≡4(mod 5)，32＋19≡2＋4≡1(mod 5)；2.对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余；3.对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除；4.对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。

应用同余性质解题的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质，把求一个较大的书除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。

例1：求1992×59除以7的余数思路导航：应用同余性质2可将1992×59转化为1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。

1992除以7余4，59除以7余3。

根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。

∵1992×59≡4×3≡5（mod 7）∴1992×59除以7的余数是5。

疯狂演练11.求4217×364除以6的余数2.求1339655×12除以13的余数3.求879×4376×5283除以11的余数例2：已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？思路导航：一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年代国庆节的总天数被7除的余数就行了。

但在实际计算中，如果我们能够充分利用同余性质，就可以不必算出总天数。

六年级奥数专题训练-同余问题

六年级奥数专题训练-同余问题

同余问题1、求437×309×1993被7除的余数。

2、求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．3、分别求满足下列条件的最小自然数（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。

（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。

（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。

4、有一个整数,除300、262、205得到相同的余数.这个整数是几?5、今天是星期四，过14389天后是星期几？7千克大米，用每袋50千克的袋子装，最后余下多少千克？6.试一试：粮库有717、数2001，2232除以整数n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n.8、用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.9、若2836，4582，5146，6522四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？10、有三个不同的三位数，它们分别除以 a ，得到的余数相同而且是最大二位偶数，当a为两位数时，这三个数最小的和是多少？11、某年级有将近400名学生。

有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？12、希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人.六年级先坐满几车，剩下的16人与五年级坐满一车，五年级又坐满若干车.到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？13、甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下几个人？14、试一试：乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球，每只盒子里装的小球同样多.真巧！剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个？15、计算机录入员平均每分钟可以输入72个汉字，输入一篇有X679Y个汉字的文章所用的分钟数恰好是整数，求五位数X679Y。