数列与解析几何 专题

专题：数列与解析几何综合——点列问1．如图，直线)21,0(1:1±≠≠-+=k k k kx y l 与:2l 2121+=x y 相交于点P.直线l 1与x 轴交于点P 1，过点P 1作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 1，过点Q 1作y 轴的垂线交直线l 1于点P 2，过点P 2作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P 1、Q 1、P 2、Q 2，…，点P n （n=1，2，…）的横坐标构成数列{}.n x（Ⅰ）证明*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+； （Ⅱ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅲ）比较5||4||22122+PP k PP n 与的大小.【解析】（Ⅰ）证明：设点P n 的坐标是),(n n y x ， 由已知条件得点Q n 、P n+1的坐标分别是：).2121,(),2121,(1+++n n n n x x x x 由P n+1在直线l 1上，得.121211k kx x n n -+=++ 所以 ),1()1(211-=-+n n x k x 即 .*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+（Ⅱ）解：由题设知 ,011,1111≠-=--=k x k x 又由（Ⅰ）知 )1(2111-=-+n n x kx ，所以数列 }1{-n x 是首项为,11-x 公比为k21的等比数列.从而 .*,)21(21,)21(111N n k x k k x nn n n ∈⨯-=⨯-=--即（Ⅲ）解：由⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2121,1x y k kx y 得点P 的坐标为（1，1）.所以,)21(2)21(8)11(2)1(2||2222222-+⨯=--++-=n n nn n kk k kx x PP .945])10()111[(45||42222212+=+-+--=+k kk PP k （i ）当2121,21||>-<>k k k 或即时，5||4212+PP k >1+9=10.而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|021222+<=+⨯<<<PP k PP PP kn n 故所以 （ii ）当1110||,(,0)(0,)222k k <<∈-U 即时，5||4212+PP k <1+9=10.而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|21222+>=+⨯>>PP k PP PP kn n 故所以EX ：已知点()n n n b a P ,都在直线22:+=x y l 上，1P 为直线l 与x 轴的交点，数列{}n a 成等差数列，公差为1. （+∈N n ）(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n b -12的前n 项和n T . (3)求证：+2211P P+2311P P …… +52121<nP P (n ≥2, +∈N n ) 【解析】(1)()22,2,0,11-=-=-n b n a P n n 4分（2）令n c =nb -12=14n 2-则它的前n 项的和ns =132n n -，7=cn T =()⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-78413)7(1322n n n n n n 4分(3) ())0,1(,22,21---P n n P n Θ )1(51-=∴n P P n )2(≥n 2分()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++=+++∴22221231221113121151111n P P P P P P nΛΛ ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⨯+⨯+<)1(11151121321211151n n n Λ 52)1(1251<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n 4分2、如图，曲线2(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形111221,,,,.n n n OPQ Q P Q Q P Q -L L 设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .(1) 求1a 的值;(2) 求数列{n a }的通项公式n a ;(3) 求证:当2≥n 时,2222122111132nn n na a a a ++++++<L .【解析】（1）由条件可得11112P a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,代入曲线2(0)y x y =≥得21111312,0,423a a a a =>∴=Q ; (2) 12n n S a a a =+++Q L ∴点1111()2n n n n P S a ++++代入曲线2(0)y x y =≥并整理得 2113142n n n S a a ++=-,于是当*2,n n N ≥∈时,221113131()()4242n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--- 即11113()()()24n n n n n n a a a a a a ++++=+⋅- PP 2PQ 1 Q 2O*1120,(2,)3n n n n a a a a n n N ++>>∴-=≥∈Q又当2122231421,,(4233n S a a a ==-∴=-时舍去）2123a a ∴-=,故*12()3n n a a n N +-=∈ 所以数列{n a }是首项为23、公差为23的等差数列, 23n a n =; (3) 由（2）得23n a n =，当2n ≥时，22221221111n n n na a a a ++++++L22299944(1)44n n n =+++⋅L 22291114(1)4n n n ⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦L 91114(1)(1)2(21)n n n n n n ⎡⎤<++⎢⎥-+-⎣⎦L 9111111()()()411212n nn n n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥-+-⎣⎦L 9119(1)()4128(1)n n n n n +=-=--， 欲证9(1)38(1)2n n n +<-，只需证23344n n n +<-，即证24730n n -->，设2()473f n n n =--， 当78n ≥时，f （n ）递增.而当3n ≥时,有()0f n >成立.所以只需验证n=2时不等式成立.------ 13分事实上,919529613164646464642++=+=<. 综上,原不等式成立. ------------------------------------------14分3、已知曲线C ：x y 1=， n C ：n x y -+=21 （*∈N n ）。

数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。

答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。

1、已知等差数列{an} 的首项为1，公差为d，且a3，a5，a9成等比数列，则d的值为？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案：B）2、设等比数列{bn} 的公比为q，前n项和为Sn，若b1 = 1，S3 = 3，则q等于？A. -1/2B. 1/2（舍去）或-1C. 1D. 2（答案：B，注：通常等比数列公比不能为0，且此题中q=1应被舍去，因为若q=1，则不构成等比数列）3、已知直线y = kx + b与x轴交于点A(m,0)，与y轴交于点B(0,n)，若m，n是等差数列{an} 的第2项和第5项，且a1 = -1，公差d = 2，则k的值为？A. -1B. -1/2C. 1/2D. 1（答案：C）4、抛物线y2 = 2px的焦点到准线的距离为6，若该抛物线上一点P的横坐标为4，则点P 到焦点的距离为？A. 5B. 6C. 7D. 8（答案：D）5、已知等差数列{an} 的前n项和为Sn，且a1 = 1，S5 = 35，若直线l的方程为ax - y +1 = 0，其中a为等差数列的第3项，则直线l的斜率为？A. 3B. 4C. 5D. 6（答案：A）6、设等比数列{bn} 的前n项积为Tn，若b1 = -1/2，且T4 = T6 ≠0，则b5的值为？A. -1B. -1/2C. 1/2D. 1（答案：A）7、已知椭圆C的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0)，且长轴长为6，离心率为1/3，则椭圆C的短轴长为？A. 2√2B. 4C. 4√2D. 8（答案：C）8、设数列{an} 的前n项和为Sn，且an = 2n - 1，若点P(n, Sn/n)在直线l上，则直线l的斜率k为？A. 1B. 2C. 3/2D. 5/2（答案：A）。

高中数学解析几何与数列的应用与推理解析几何和数列是高中数学中重要的两个概念和方法，它们在数学领域及实际问题中有着广泛的应用与推理。

本文将从几何的角度出发，探讨解析几何与数列的应用与推理。

一、解析几何的应用解析几何是通过代数方法来研究几何图形的一门数学分支。

在解析几何中，我们可以通过点、直线、曲线的坐标表示，由此可以推导出一系列几何性质。

下面将分别从直线、圆和曲线三个方面来说明解析几何的应用。

1. 直线的解析几何应用在平面直角坐标系中，直线的表示方式为y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。

通过解析几何的方法，我们可以轻松求解直线的斜率、截距、交点等问题。

此外，直线的解析几何应用还包括直线的方程转化、直线与圆的关系等问题。

2. 圆的解析几何应用在平面直角坐标系中，圆的表示方式为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

通过解析几何的方法，我们可以求解圆的圆心坐标、半径、与直线的关系等问题。

此外，圆的解析几何应用还包括圆的方程转化、圆与圆的关系等问题。

3. 曲线的解析几何应用曲线是解析几何中一个相对复杂的概念，常见的曲线包括抛物线、双曲线、椭圆等。

通过解析几何的方法，我们可以求解曲线的方程、拐点、渐近线等问题。

此外，曲线的解析几何应用还包括曲线与直线的交点、曲线与圆的关系等问题。

二、数列的应用与推理数列是按照一定规律排列的一组数，它在数学和实际问题中有着重要的应用与推理。

下面将从等差数列、等比数列和斐波那契数列三个方面来说明数列的应用与推理。

1. 等差数列的应用与推理等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

通过等差数列的应用与推理，我们可以求解等差数列的通项公式、前n项和等问题。

此外，等差数列的应用与推理还包括等差数列与几何图形的关系等问题。

2. 等比数列的应用与推理等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

通过等比数列的应用与推理，我们可以求解等比数列的通项公式、前n项和等问题。

三、填空题29．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，1//AC 平面α，//BD 平面α，则正方体在平面α内的正投影面积为________．30如图，在矩形OABC 与扇形OCD 拼接而成的平面图形中，3OA =，5AB =，6COD π∠=，点E 在弧CD 上，F 在AB 上，3EOF π∠=.设FOC x ∠=，则当平面区域OECBF （阴影部分）的面积取到最大值时cos x =__________31．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为_____．32．已知函数3()f x x mx n =++，对任意的[2,2]x ∈-，使得()2f x ≤，则m n +=___________.33．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．（结果保留一位小数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）34．将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法.35．有两个分类变量x 和y ，其中一组观测值为如下的2×2列联表：其中a ，15a -均为大于5的整数，则a =__________时，在犯错误的概率不超过0.01的前提下为“x 和y 之间有关系”.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++36．已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba=___________. 37．如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.38．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点作直线l ，使l 垂直于x 轴且交C 于M 、N 两点，双曲线C 虚轴的一个端点为A ，若AMN 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围___________．39．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 的右支上，2OP OF =（O 为坐标原点）．若直线2PF 与C 的左支有交点，则C 的离心率的取值范围为______．40．已知点P ，Q 是椭圆上()2222:10x y C a b a b+=>>的两点，且线段PQ 恰为()2220x y r r +=>的一条直径，点P 关于x 轴的对称点为A ，设35PD PA =，直线QD 与椭圆C 的另一个交点为B ，且直线PQ ，PB 斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率e 为____.41．已知圆22:1C x y +=，点(,2)M t ，若C 上存在两点,A B 满足2MA AB =，则实数t 的取值范围___________42．（2021·河南高二期末（理））已知点O 为坐标原点，点P 为圆22:146540A x y x y +--+=上一动点，点Q 为圆22:8120B x y x +-+=上一动点，设||||||OQ PQ AQ ++的最小值为m ，则m 的值为___________．43．过点()P 0,3作直线l ：()()m n x 2n 4m y 6n 0++--=的垂线，垂足为点Q ，则点Q 到直线x 2y 80--=的距离的最小值为______．44．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 分别是线段1CC 、BD 上的点，R 是直线AD 上的点，且12CP C P =，//PQ 平面11ABC D ，PQ RQ ⊥，则PR 的长为______.答案及解析29． 【分析】由题设知：面1//AHC K 面α，且正方体在平面α内的正投影面积为菱形1AHC K 面积与△ABH 、△11KC D 、△11HB C 、△ADK 在平面α上的投影面积之和，构建空间直角坐标系，应用向量法求△ABH 、△11KC D 、△11HB C 、△ADK 与面1AHC K 的夹角余弦值，进而求它们在面1AHC K 上的投影面积，即可求正方体在平面α内的正投影面积. 【详解】△1//AC 平面α，//BD 平面α，知：面1//AHC K 面α.△正方体在平面α内的正投影面积为如上图所示的菱形1AHC K 面积与△ABH 、△11KC D 、△11HB C 、△ADK 在平面α上的投影面积之和，又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，则1AC HK ==，可构造如下图示，空间直角坐标系：△33(3,0,0),(0,0,),(3,3,)22A K H ，则有33(3,0,),(0,3,)22AK AH =-=，若面1AHC K 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则111133023302n AK x z n AH y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，可得(1,1,2)n =-，而面//ABH 面11KC D ，它们的一个法向量为(1,0,0)m =，△6cos ,6||||n m n m n m ⋅<>==，即面1AHC K 与面ABH 、面11KC D 同理，面11//HB C 面ADK ，它们的一个法向量为(0,1,0)l =，△6cos ,6||||n l n l n l ⋅<>==-1AHC K 与面11HB C 、面ADK 夹角余弦值为 △△ABH 、△11KC D 、△11HB C 、△ADK 的面积均为94S =，△正方体在平面α内的正投影的面积为19692(|cos ,||cos ,|)22AHC K S S n m n l +<>+<>== 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据正方体的性质，结合正投影的定义可知正方体在平面α内的正投影面积为如上图所示的菱形1AHC K 面积与△ABH 、△11KC D 、△11HB C 、△ADK 在平面α上的投影面积之和，应用向量法求各面与面1AHC K 的夹角，进而求投影面积. 30．45【分析】先将阴影部分的面积表示为251915(25)62tan x x π+-+，9()25tan h x x x=+，只需求使得()h x 取最小值的0x 即可得到答案. 【详解】由已知，0[,]3x πθ∈，03tan 5θ=，易得扇形EOC 的面积为212525()52362x x ππ⨯-⨯=-， 四边形OCBF 的面积为133532tan x⨯-⨯⨯，故阴影部分的面积为251915(25)62tan x x π+-+，设9()25tan h x x x =+，则22'29sin 9cos ()25sin x x h x x--=+=2(4sin 3cos )(4sin 3cos )sin x x x x x +-，令'()0h x =，得33tan [45x =∈，记其解为0x ， 并且()h x 在00[,]x θ上单调递减，在0[,]3x π单调递增，所以()h x 得最小值为0()h x ，阴影部分的面积最大值为25156π+-0()h x ，此时03tan 4x =，04cos cos 5x x ===. 故答案为：45.【点睛】本题考查三角函数在平面几何中的应用，涉及到利用导数求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道有一定难度的题. 31【分析】设正四棱柱的高为h ，底面边长为a ，用h 表示出a ，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V 取最大值时对应的h 值． 【详解】设正四棱柱的高为h ，底面边长为a ，如图所示；则h 2+2a 2＝（2×2）2， 所以a 2＝812-h 2，所以正四棱柱容器的容积为V ＝a 2h ＝（812-h 2）h 12=-h 3+8h ，h △（0，4）；求导数得V ′32=-h 2+8，令V ′＝0，解得h =所以h △（0V ′＞0，V （h ）单调递增；h △4）时，V ′＜0，V （h ）单调递减；所以h =V 取得最大值．【点睛】本题考查了球内接正四棱柱的体积的最值问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是中档题． 32．-3 【分析】由题设易知()()g x f x n =-为奇函数且2()3g x x m '=+，当0m ≥由导数研究()g x 单调性并确定最值，可得82()82n m f x n m --≤≤++，结合已知判断是否符合题设；当0m <由导数确定()g x 的零点，2、02<<判断是否符合题设，若符合结合恒成立，列不等式组求参数m 、n 即可. 【详解】由题意，令3()()g x f x n x mx =-=+，易知()g x 是奇函数，2()3g x x m '=+，1、当0m ≥时，()0g x '≥，即()g x 单调递增，min ()(2)82g x g m =-=--，max ()(2)82g x g m ==+， △82()82n m f x n m --≤≤++，任意的[2,2]x ∈-，使得()2f x ≤， 当0n ≥时，8282n m ++≥>，不合题意； 当0n <时，8282n m --<-<-，不合题意；2、当0m <时，()0g x '=有x =△2，则[2,2]x ∈-上()0g x '<，即()g x 单调递减，故82()82n m f x n m ++≤≤--，同1可知不合题意；当02<，则[2,-、2]上()0g x '>，即()g x 单调递增，(上()0g x '<，即()g x 单调递减，△△(2)822(2)822f n m f n m -=--≥-⎧⎨=++≤⎩得3m ≤-，或△2((23223m f n m f n ⎧=⋅+≤⎪⎪⎨⎪=+≥-⎪⎩得3m ≥-，△3m =-，代入△得0n =，故3m n +=-. 故答案为：3- 【点睛】关键点点睛：构造奇函数并利用导数研究单调性，进而确定()f x 的范围，结合分类讨论及不等式恒成立，列不等式组求参数. 33．2.6． 【详解】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{}n a ，其13a = ，公比为12 ，其前n 项和为n A ．莞（植物名）的长度组成等比数列{}n b ，其11b =，公比为2 ，其前n 项和为n B ．则131212,12112nnn nA B ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--，令n n A B = ，化为：6272nn+=， 解得26n = 或21n = （舍去）． 即：lg 6lg 31 2.6lg 2lg 2n ==+≈ . 所需的时间约为2.6 日. 34．535 【分析】根据每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，将每个盒子能放入的球个数列举出来，由总球数为5，以可能的球数组合列举分组，结合组合数求出它们所有不同放法 【详解】四个盒子放球的个数如下 1号盒子：{0，1} 2号盒子：{0，1，2}3号盒子：{0，1，2，3} 4号盒子：{0，1，2，3，4}结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法5 = 1 + 4：153C 种5 = 2 + 3：254C 种5 = 1 + 1 + 3：31526C C 种 5 = 1 + 2 + 2：22536C C 种 5 = 1 + 1 + 1 + 2：2115323C C C 种△5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种 故答案为：535 【点睛】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算 35．9 【分析】由题意，计算2K ，列出不等式求出a 的取值范围，再根据题意求得a 的值. 【详解】解：由题意知：2 6.635K ≥, 则()()()()2265302015131360 6.635204515505400a a a a a +---⎡⎤-⎣⎦=≥⨯⨯⨯，解得：8.65a ≥或0.58a ≤， 因为：5a >且155a ->，a Z ∈， 综上得：8.6510a ≤<，a Z ∈， 所以：=9a . 故答案为：9. 【点睛】本题考查独立性检验的应用问题. 36．12 【分析】由()n a b +的二项展开式的通项1C r n rr r n T a b -+=，可知6(12)x +展开式的二项式系数为6(0,1,,6)r C r =，当3r =时，二项式系数的最大值为a ，6(12)x +展开式的系数为62(0,1,,6)r rC r =，当满足116611662222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩时，系数的最大值为b ，求解即可. 【详解】 由题意可知6(12)x +展开式的二项式系数为6(0,1,,6)r C r =，当3r =时，取得最大值3620a C ==6(12)x +展开式的系数为62(0,1,,6)r r C r =，当满足116611662222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩时，系数最大. 即116!6!22!?(6)!(1)!?[6(1)]!6!6!22!?(6)!(1)!?[6(1)]!rr r r r r r r r r r r +-⎧≥⎪-+-+⎪⎨⎪≥⎪----⎩∴1261217r r r r ⎧≥⎪⎪-+⎨⎪≥⎪-⎩，即12(6)2(7)r r r r +≥-⎧⎨-≥⎩解得111433r ≤≤又0,1,,6r =4r ∴=时，系数的最大值为4462240b C ==则2401220b a == 故答案为：12 【点睛】本题考查二项式定理，求二项式系数最大值时，列出不等式组116611662222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩是解决本题的关键.属于一道较难的题. 37．168 【分析】分,,,E F G H 涂4种，3种或2种颜色，再分别计算涂色的方法种数.【详解】△对,,,E F G H 涂4种颜色，对于剩下的,,,A B C D 各剩2种颜色，且相邻的都含一种颜色是相同的，即当某个点取一种颜色时，其他点的颜色是确定的，那么,,,A B C D 共有2种情况，共有44248A ⨯=种，△对,,,E F G H 涂3种颜色，对于,,,E F G H 从4种颜色中取3种，即344C =，从这3种颜色中取1种来作重复的一种，即133C =，再对这四种颜色进行排列，重复的那种只能在对角，有2个对角，再对其他不重复的2种进行排列222A =，即2224A =对于剩下的,,,A B C D 同△一样，各剩2个颜色，当其中一点取一种颜色时，其他点颜色是确定的，共有2种，故共有312432224322296C C A ⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=种，△,,,E F G H 涂2种颜色，则选2种颜色，涂在对角位置，有24212C ⨯=种方法，,,,A B C D 共2种颜色，故共有242224C ⨯⨯=种方法， 所以一共有489624168++=种方法. 故答案为：168 【点睛】关键点点睛：本题考查排列，组合，计数原理的综合应用，本题的关键是正确分类,,,E F G H 的涂色方法种数，并且先涂,,,E F G H ，再涂,,,A B C D .38．【分析】根据已知条件确定M ，N ，A 的坐标，要使AMN 是锐角三角形，有0AM AN ⋅>且2b b a<，结合向量数量积的坐标表示，并整理为关于双曲线参数a 、c 的齐次不等式组，求离心率范围. 【详解】由题意知：2(,)b M c a ，2(,)b N c a -，不妨假设(0,)A b ，△AMN 是锐角三角形，△2MAN π∠<，即2242222()()0b b b AM AN c b b c b a a a⋅=+---=+->，且2b b a <，△42242222222201c a c a c a a c a a ⎧-+-->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，整理得422420{2e e e -+<>，解得e ∈，故答案为：【点睛】关键点点睛：根据锐角三角形的性质，易知0AM AN ⋅>且2b b a<，由不等式组求离心率范围. 39．)+∞【分析】设P 位于第四象限，可知20PF bk a<<，设(),P x y ，由2OP OF =和P 在双曲线上可构造方程组求得P 点坐标，由此表示出2PF k ，由20PF b k a <<化简可得2b a >，根据e 可求得结果. 【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：by x a=±； 不妨设P 位于第四象限，则若直线2PF 与C 的左支有交点，则20PF b k a<<； 设(),P x y ，由2OP OF =得：222x y c +=，又22221x y a b-=，x ∴=2b yc =-，2220PF b k --∴==，20ba<，即2c ab ->，()()22222c ab a b c ∴->+， 整理可得：222a c ab <-，即2222c a b ab -=>，2ba∴>，e ∴=C的离心率的取值范围为)+∞.故答案为：)+∞.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种： （1）根据已知条件，求解得到,a c 的值或取值范围，由ce a=求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于,a c 的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率e ，从而得到结果. 40． 【分析】已知得,P Q 关于原点对称，设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，00(,)A x y -，由向量线性运算求得D 点坐标，求得,QP QB 的斜率关系，再设11(,)B x y ，用点差法可求得22BP BQb k k a=-，再由已知斜率之积可得,a b 的等式，从而求得离心率．【详解】因为线段PQ 是圆222x y r +=的一条直径，所以,P Q 关于原点对称， 设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，00(,)A x y -，又35PD PA =，即003(2)5D y y y -=⨯-，015D y y =-，即001(,)5D x y -，所以00PQy k x =，000000122555QB QDPQ y y y k k k x x x -+===⋅=+，△ 设11(,)B x y ，则2210101022101010BP BQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，又22112222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减得22221010220x x y y a b --+=，2221022210y y b x x a -=--， 所以22PB QB k k b a =-⋅，△，而12PQ PB k k =-，△，由△△△可得222152b a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，22215a c a -=，所以c e a ==．． 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的齐次等式．解题方法是设0011(,),(,)P x y B x y ，由对称性得,,Q A 坐标，再得D 点坐标，用点差法求得22PB QB k k b a =-⋅，这样可利用直线的斜率得出关系式． 41．⎡⎣【分析】令(,)A x y ，根据2MA AB =得332(,)22x t y B --，由,A B 在圆C 上代入坐标，整理可将问题转化为两个圆有公共点，则两圆的圆心距离在15[,]33内，进而求t 的范围.【详解】由题意，可得如下示意图，令(,)A x y ，由2MA AB =知：332(,)22x t y B --，又,A B 在C 上， △22221(3)(32)144x y x t y +=--+=⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22221{24339x y t x y +=⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即两圆有公共点，△两圆的圆心距离为d =，半径分别为1、23，故当1533d ≤≤时符合题意，△2021t ≤≤，即t∈[.故答案为：[. 【点睛】关键点点睛：设(,)A x y ，利用向量共线的坐标表示求B 坐标，将点代入圆的方程将问题转化为两圆有公共点，求参数范围. 42．8 【分析】将圆化为标准式，画出图形，利用圆的性质和三角形相似（线段长度关系）进行两次放缩即可得到答案. 【详解】 如图，P 为圆22:(7)(3)4A x y -+-=上一动点，Q 为圆22:(4)4B x y -+=上一动点，O 为坐标原点，取(3,0)T ，连接BQ ，TQ ，则||||1||||2TB BQ BQ OB ==，所以易得TBQ QBO ∽，所以||2||OQ TQ =，又易知||||2PQ AQ ≥-，所以||||||||2||22||2||22||28OQ PQ AQ OQ AQ QT AQ AT ++≥+-=+-≥-=． 故答案为：8. 43【分析】直线l ：()()m n x 2n 4m y 6n 0++--=，化为()()m x 4y n x 2y 60-++-=，可得直线l 经过定点()M 4,1.线段PM 的中点G.根据PQ l.⊥可得点Q 在以点G 为圆心，以PG 为半径点圆上.利用点到直线的距离公式可得点Q 到直线x 2y 80--=的距离的最小值． 【详解】解：直线l ：()()m n x 2n 4m y 6n 0++--=，化为()()m x 4y n x 2y 60-++-=，联立x 4y 0x 2y 60-=⎧+-=⎨⎩，解得x 4=，y 1=．∴直线l 经过定点()M 4,1．线段PM 的中点()G 2,2． PQ l ⊥．∴点Q 在以点G 为圆心，以PG其圆的标准方程为：22(x 2)(y 2)5-+-=．圆心G 到直线x 2y 80--=点距离d ==∴点Q 到直线x 2y 80--=【点睛】本题考查了直线系的应用、圆的方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．44【分析】如图所示，过点P 作1//PM BC 交MC 于点M ，连接,,QM QC RC ，证明2DQ QB =，RQ QC ⊥，再利用勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：过点P 作1//PM BC 交MC 于点M ，连接,,QM QC RC .1//PM BC ，1BC ⊂平面11ABC D ，故//PM 平面11ABC D ，//PQ 平面11ABC D ， PMPQ P =，故平面//PQM 平面11ABC D ，故//QM AB ，故2DQ QB =.1CC ⊥平面ABCD ，RQ ⊂平面ABCD ，故1CC RQ ⊥，PQ RQ ⊥，PQ RQ Q =.故RQ ⊥平面PQC ，QC ⊂平面PQC ，故RQ QC ⊥.故CR ==PR =.3.【点睛】本题考查了立体几何中的线段长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.。

解析几何和数列综合练习1．在平面直角坐标系xOy 中，点()(),0P a b a b >>为动点，1F 、2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点．已知11PF F ∆为等腰三角形.（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2PF 与椭圆相交于A 、B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程.【答案】（1）12e =；（2）218150x --=. 【解析】试题分析：（1）先利用平面向量的数量积确定12F PF ∠为钝角，从而得到当12PF F ∆时，必有212F F F P =，根据两点间的距离公式列有关a 、b 、c 的方程，求出a 与c 之间的等量关系，从而求出离心率的值；（2）先求出直线2PF 的方程，与椭圆方程联立求出交点A 、B 的坐标，利用2AM BM ⋅=-以及P 、M 、2F 三点共线列方程组消去c ，从而得出点M 的轨迹方程.试题解析：（1）设椭圆22221x y a b+=的焦距为2c ，则c =()1,0F c -，()2,0F c ，()()()21,0,02,0F F c c c =--=- ，()()()2,,0,F P a b c a c b =-=-， ()21220F F F P c a c ∴⋅=-⋅-<，所以12F F P ∠为钝角，由于12PF F ∆为等腰三角形，212F F F P ∴=，2c ∴=，即()2224a c b c -+=，即()()22224a c a c c -+-=，整理得2220c ac a +-=，即()()20c a c a -+=，由于0a c >>，故有122c c a e a =⇒==，即椭圆的离心率为12； （2）易知点P的坐标为()2c ，则直线2PF的斜率为k ==故直线2PF的方程为)y x c =-，由于2a c =，b ==，故椭圆的方程为2222143x y c c+=，即22243x y c +=， 将直线2PF 的方程代入椭圆方程并化简得2580x cx -=，解得85cx =或0x =，于是得到点85c A ⎛⎝⎭，()0,B ， （2）设点M 的坐标为(),x y ，由于点M 在直线2PF 上，所以)3y x c c x y =-⇒=-， ()88,,,5555c c AM x y x y ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()(),0,,BM x y x y x =-=+=，8255c AM BM x x y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即825x x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅+=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，整理得218150x --=，即点M的轨迹方程为218150x --=. 考点：1.椭圆的方程；2.两点间的距离；3.平面向量的数量积；4.动点的轨迹方程2．如图，F 1，F 2C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l ：x ＝－12将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1:3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB的中垂线与C 交于P ，Q 两点，线段AB 的中点M 在直线l 上．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)求22F P F Q ⋅的取值范围．【答案】(Ⅰ)2212x y +=； (Ⅱ)[1-，125232）． 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意比例关系先求c ，再由离心率求a ，从而可求椭圆的方程；（Ⅱ）分直线AB 斜率是否存在两种情况讨论：（1）当直线AB 垂直于x 轴时，易求；（2）当直线AB 不垂直于x 轴时，先设直线AB 的斜率，点M 、A 、B 的坐标，把点A 、B 坐标代入椭圆方程求k 、m 之间的关系，再求PQ 直线方程，然后与椭圆方程联立方程组，由韦达定理求22F P F Q ⋅的表达式，最后求其范围．试题解析：(Ⅰ) 设F 2(c ，0)，则1212c c -+＝13，所以c ＝1． 因为离心率e2，所以a所以椭圆C 的方程为2212x y +=． 6分(Ⅱ)当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－12，此时P(2-，0)、Q(2,0)221F P F Q ⋅=-．当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k ，M(－12，m) (m ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由 221122221,21,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)1212y y x x -⋅-＝0，则－1＋4mk ＝0，故k ＝14m ．此时，直线PQ 斜率为m k 41-=，PQ 的直线方程为)21(4+-=-x m m y ．即m mx y --=4．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=12422y x m mx y 消去y ，整理得2222(321)16220m x m x m +++-=． 所以212216321m x x m +=-+，212222321m x x m -=+． 于是=⋅F F 22(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2)4)(4(1)(212121m mx m mx x x x x +++++-=22122121))(14()161(m x x m x x m +++-++=2222222(116)(22)(41)(16)1321321m m m m m m m +---=+++++22191321m m -=+． 令t ＝1＋32m 2，1＜t ＜29，则tF F 3251321922-=⋅． 又1＜t ＜29，所以221251232F P F Q -<⋅< ．综上，F F 22⋅的取值范围为[1-，125232）． 15分考点：1、椭圆的方程及性质；2、直线与椭圆相交的性质；3、向量的坐标运算.3．P 为椭圆2212516x y +=上任意一点，1F 、2F 为左右焦点．如图所示：（1）若1PF 的中点为M ，求证1152MO PF =-；（2）若1260F PF ︒∠=，求12PF PF 的值． 【答案】（1）)证明：在12F PF ∆ 中，MO 为中位线21112152222PF a PF PF MO a PF -∴===-=- （2）643【解析】试题分析：（1）由椭圆定义知12210PF PF a +==，则2110PF PF =-，由条件知点O 、M 分别是1PF 、12F F 的中点，所以MO 为12F PF ∆的中位线，则22PF MO =，从而命题得证；（2）根据椭圆定义，在12F PF ∆中有1210PF PF +=，126F F =，又由条件1260F PF ︒∠=，从这些信息中可得到提示，应从余弦定理入手，考虑到22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅，所以需将1210PF PF +=两边平方，得2212121002PF PF PF PF +=-，将其代入余弦定理，得到关于12PF PF 的方程，从而可得解.试题解析：(1)证明：在12F PF ∆ 中，MO 为中位线21112152222PF a PF PF MO a PF -∴===-=- 5分 (2)2212121210,1002PF PF PF PF PF PF +=∴+=- ，126F F =在12PF F ∆中，222121212cos 602PF PF F F PF PF ︒+-=⋅，1212100236PF PF PF PF ∴⋅=-⋅-12643PF PF ∴=12分 考点：1.椭圆定义；2.余弦定理.4．如图，已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为1l 、2l .过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于点P ，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B .（1）若1l 与2l 的夹角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程； （2）求||||AP FA 的最大值.【答案】（1）2213x y +=；（21. 【解析】试题分析：（1）先确定双曲线的渐近线方程，根据条件两条渐近线的夹角为60，确定a 与b 的等量关系，再结合c 的值，确定a 与b 的值，最终确定椭圆C 的方程；（2）设点A 的坐标为()00,x y ，并设||||FA AP λ=得到FA AP λ= ，利用向量的坐标运算得到()2201c a x c λλ+=+，()01ab y c λλ=+，再由点A 在椭圆C 上这一条件将点A 的坐标代入椭圆方程，通过化简得到λ与离心率e 之间的关系式2222232e e λ⎛⎫=--++ ⎪-⎝⎭，结合基本不等式得到λ的最大值.试题解析：（1）因为双曲线方程为12222=-by a x ，所以双曲线的渐近线方程为x aby ±=． 因为两渐近线的夹角为60且1<ab，所以30POF ∠= ．所以a b tan 303== ，所以b a 3=．因为2c =，所以2222=+b a ，所以a =1b =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=； （2）因为1l l ⊥，所以直线l 与的方程为()ay x c b=-，其中c = 因为直线2l 的方程为by x a=， 联立直线l 与2l 的方程解得点2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.设||||FA AP λ=，则FA AP λ= . 因为点(),0F c ，设点()00,A x y ，则有()20000,,a abx c y x y c c λ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．解得()2201c a x c λλ+=+，()01ab y c λλ=+.因为点()00,A x y 在椭圆22221x y a b+=上，所以()()()()2222222222111c a ab a c b c λλλλ++=++． 即()()222224221c aa a c λλλ++=+．等式两边同除以4a 得()()222221e e λλλ++=+，()0,1e ∈，所以24222222322e e e e e λ-⎛⎫==--++ ⎪--⎝⎭，)2331≤-=-=所以当22222e e-=-，即e =λ1． 故FA AP1.考点：1.双曲线的渐近线方程；2.椭圆的方程；3.三点共线的转化5．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连结EC 、CD.（Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若tan ∠CED=21,⊙O 的半径为3，求OA 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）5OA =【解析】 试题分析：（1）连接OC ，要证明AB 是圆O 的切线，根据切线的判定定理，只需证明OC AB ⊥，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥；（2）由已知OA OB =，所以求OB 即可，因为圆O 的半径已知，所以求BD 即可，这时需要 寻求线段BD 长的等量关系，或者考虑全等或者考虑相似，由（1）知AB 是圆O 的切线，有弦切角定理可知,BCD E ∠=∠还有公共角B B ∠=∠，所以可判定BCD ∆∽BEC ∆，从而列出关于线段BD 的比例式，从中计算即可.试题解析：（1）连接OC ，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥，所以AB 是圆O 的切线；（2）因为AB 是圆O 的切线，所以,BCD E ∠=∠又B B ∠=∠，所以BCD ∆∽BEC ∆,BC CE BE BD CD BC ==，所以2()CE BECD BD=，因为DE 是圆O 的直径，所以EC CD ⊥，在ECD ∆中，1tan 2CED ∠=，所以4BE BD =，64BD BD +=，∴2BD =，5OA =. 考点：1、圆的切线的判定；2、三角形的相似；3、弦切角定理.6．如图，设F(－c,0)是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，直线l ：x ＝－c a 2与x轴交于P 点，MN 为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。

立体几何、解析几何、数列公式和结论
立体几何是研究空间中物体的形状、大小、位置关系等的数学学科。

它包括了点、线、面、体等概念以及与它们相关的性质和定理。

常见的内容包括立体的体积、表面积、几何体的投影等。

解析几何是运用代数的方法研究几何问题的数学学科。

它将几何
问题转化为代数方程的形式，通过求解方程，推导几何对象的性质。

解析几何主要研究平面几何和空间几何。

平面几何主要研究平面上的点、直线、曲线等几何对象，而空间几何则包括了空间中的点、直线、平面、曲面等几何对象。

数列公式和结论是指数列中各项之间的关系及其推导的结论。

数
列是一组按照一定规律排列的数，其中每个数称为数列的项。

数列公
式指的是根据数列的前几项或其中某些特殊性质，得出数列项之间的
关系式。

数列结论则是通过数列的公式，推导出数列的性质、求和公
式等等。

在几何学的拓展中，除了立体几何和解析几何外，还有其他几何
学的分支，如非欧几何学、微分几何学、拓扑学等等。

非欧几何学是
在传统几何学的基础上，对欧几里得公理系统进行了扩展，考察了不满足欧几里得公理的几何性质。

微分几何学研究了曲线、曲面及其在更高维度空间中的推广的几何性质，结合了微分方程和流形理论。

拓扑学研究了空间的形状和连续变化的性质，关注于点集和集合之间的关系。

总之，立体几何、解析几何、数列公式和结论是数学中重要的几何和代数概念，它们在数学学科的发展中起到了重要作用。

此外，我们还可以进一步拓展几何学的其他相关领域，如非欧几何学、微分几何学和拓扑学等，来深入研究各种几何问题。

数列训练（5） 数列与解析几何数列与解析几何1.数列{}n a 中，11=a ，且点),(1+n n a a 在直线012=+-y x 上 (1) 设1+=n n a b ，求证：数列{}n b 是等比数列； (2) 设)23(+=n n a n c ，求数列{}n c 的通项公式； (3) 求数列{}n c 的前n 项和n S（1）证明：由已知得121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a即n n b b 21=+，所以数列{}n b 是等比数列（2）解：nn b 2=，12-=∴n n a ，)123(-⋅=∴nn n c（3）解：)321()2232221(3321n n S nn ++++-⋅++⋅+⋅+⋅=设nn n T 2222121⋅++⋅+⋅=132222212+⋅++⋅+⋅=n n n T所以22)1(1+⋅-=+n n n T所以2)1(]22)1[(31+-+⋅-=+n n n S n n 2、已知直线:2n y x n =- 与圆22:22()n n C x y a n n N ++=++∈交于不同点A n 、B n ,其中数列{}n a 满足：21111,4n n n a a A B +==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(2),3n n nb a =+求数列{}n b 的前n 项和n S .（1）圆心到直线的距离d n =，21111()22,22(2)2322n n n n n n n n a A B a a a a ++-∴==++=+∴=⨯-则易得 （2）10121123(2)2,3122232*********n n n n n nn nb a n S n S n --=+=⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯相减得(1)21nn S n =-+3．已知数列}{n a 是公差为()0≠d d 的等差数列，n S 为其前n 项和. （Ⅰ）若2a ，3a ，6a 依次成等比数列，求其公比q ； （Ⅱ）若),(nS n OP nn =)(*∈N n ，求证：对任意的m ，*∈N n ，向量n m P P 与向量()d b ,2=共线；（Ⅲ）若11=a ，21=d ，),(2n S n a OQ n n n =)(*∈N n ，问是否存在一个以坐标原点为圆心，半径最小的圆，使得对任意的*∈N n ,点n Q 都在这个圆内或圆周上. 解：（Ⅰ）因为2a ，3a ，6a 成等比数列，所以6223a a a ⋅=，)5)(()2(1121d a d a d a ++=+. 所以12a d -=，323==a a q . （Ⅱ）因为),(),(),(mSn S m n m S m n S n OP OP P P m n m n m n n m --=-=-=. 而d mn d m a d n a m S n S m n 2]2)1([]2)1([11-=-+--+=-. 所以()b mn d m n d m n m n P P n m ⋅-=⋅-=--=2,22)2,( 所以,向量n m P P 与向量()d b ,2=共线.（Ⅲ）因为21,11==d a ,所以212121)1(1+=⋅-+=n n a n ，n n S n 4342+=. 所以42222nSn a OQ n n n+=42222)3(161)]1(21[nn n n n +++= )51413(161161314524234++=++=n n n n n n .=131137116132+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n . 因为1≥n ,所以110≤<n,2131137116132≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴n ,当1=n 时取等号. 所以22≤nOQ ，即2≤n OQ 所以存在半径最小的圆，最小半径为2，使得对任意的*∈N n ，点n Q 都在这个圆内或圆周上.4、设函数,103)(223-++-=a ax x x x f 若它是R 上的单调函数，且1是它的零点。

数列与其他知识的交汇——数列与函数、数列与平面向量、数列与解析几何等，又0n a >且()1n f a ++)2n n a a +⨯()f x 是定义在(12n n S a =1n =时，a 10,0,a >∴2n ≥时，21n n a a ---0,n a >∴）ln q，即考点二数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．【温馨提醒】数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问题，主要题型有两大类：一是在解三角形中，一些条件用数列语言给出，常见的如三角形三内角A，B，C成等差数列；已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足11221a b a b ==+=，直线l 上三个不同的点A ，B ，C 与直线l 外的点P 满足33PA a PB b PC =+，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．12n n -B ．23n n -C ．21n -D ．12n-【答案】A22nnd +=项和为n B ，试比较1+；（2）见解析；58n -⎛⎫< ⎪⎝⎭21n c -+2158n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由此能够证明；）由∵1n n n a x x n +=-=，∴22n n d ++=112n n d --+=（2n ≥），而12{2n n n n +=，，()1121x n =++++-54554558428488n n n n ⨯-⨯-<<⨯-⨯-， 58n -⎛⎫< ⎪⎝⎭21n c -+ 258n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭1n x n -=，∴)1+，22n nd +=112n n d --+=2），而1d =11 2n n +=≥，，，3412222n n d -+=++++124n ++-2426n +-=-．2-．1n n C -++212n nn Cn -++>+= 提升素养1121n AB AP AP AP AP AC -⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，若给出四个数值：的值可能的共有（ ） C ．2个D ．3个1k AP AB kBP =+，则()111k AP AB k BP +=++， ()()1111k k AP AP AB k BP AB k BP +⎡⎤⋅=+⋅++⎣⎦()()(2221122121111,2,...,1,2k k k AB k AB BP k k BP k n k N n n+++++⋅++=-+=-∈所以1121n n T AB AP AP AP AP AC-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ()()(2111357...2112n AB AP n n+++++-⋅+--+()(()()11211n n AB AB BP n ++⎡-+⎣⋅++(111cos120n n +⨯⨯+()(1n -(n f n-+23n -+n f n -⎛+ ⎝1f n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭)1n +，6.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =.过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ，过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.【答案】14【详解】在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =，所以12AB AC a ===，1212222AA a AB a ===，1231222122A A a AA a ====，所以1122i i i i A A A A +++=，即3222n n a a ++=1++(n n =+-32n1)，+2(2n +-(2n ++-5211122n -⎫++⎪⎭211122n ⨯=＋10.已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2．（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)…P n +1(x n +1，n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积．【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2n n n T -⨯+=n T))11212,n n --+-+⨯∴。