解析几何和数列综合练习

专题：数列与解析几何综合——点列问1．如图，直线)21,0(1:1±≠≠-+=k k k kx y l 与:2l 2121+=x y 相交于点P.直线l 1与x 轴交于点P 1，过点P 1作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 1，过点Q 1作y 轴的垂线交直线l 1于点P 2，过点P 2作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P 1、Q 1、P 2、Q 2，…，点P n （n=1，2，…）的横坐标构成数列{}.n x（Ⅰ）证明*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+； （Ⅱ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅲ）比较5||4||22122+PP k PP n 与的大小.【解析】（Ⅰ）证明：设点P n 的坐标是),(n n y x ， 由已知条件得点Q n 、P n+1的坐标分别是：).2121,(),2121,(1+++n n n n x x x x 由P n+1在直线l 1上，得.121211k kx x n n -+=++ 所以 ),1()1(211-=-+n n x k x 即 .*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+（Ⅱ）解：由题设知 ,011,1111≠-=--=k x k x 又由（Ⅰ）知 )1(2111-=-+n n x kx ，所以数列 }1{-n x 是首项为,11-x 公比为k21的等比数列.从而 .*,)21(21,)21(111N n k x k k x nn n n ∈⨯-=⨯-=--即（Ⅲ）解：由⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2121,1x y k kx y 得点P 的坐标为（1，1）.所以,)21(2)21(8)11(2)1(2||2222222-+⨯=--++-=n n nn n kk k kx x PP .945])10()111[(45||42222212+=+-+--=+k kk PP k （i ）当2121,21||>-<>k k k 或即时，5||4212+PP k >1+9=10.而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|021222+<=+⨯<<<PP k PP PP kn n 故所以 （ii ）当1110||,(,0)(0,)222k k <<∈-U 即时，5||4212+PP k <1+9=10.而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|21222+>=+⨯>>PP k PP PP kn n 故所以EX ：已知点()n n n b a P ,都在直线22:+=x y l 上，1P 为直线l 与x 轴的交点，数列{}n a 成等差数列，公差为1. （+∈N n ）(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n b -12的前n 项和n T . (3)求证：+2211P P+2311P P …… +52121<nP P (n ≥2, +∈N n ) 【解析】(1)()22,2,0,11-=-=-n b n a P n n 4分（2）令n c =nb -12=14n 2-则它的前n 项的和ns =132n n -，7=cn T =()⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-78413)7(1322n n n n n n 4分(3) ())0,1(,22,21---P n n P n Θ )1(51-=∴n P P n )2(≥n 2分()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++=+++∴22221231221113121151111n P P P P P P nΛΛ ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⨯+⨯+<)1(11151121321211151n n n Λ 52)1(1251<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n 4分2、如图，曲线2(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形111221,,,,.n n n OPQ Q P Q Q P Q -L L 设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .(1) 求1a 的值;(2) 求数列{n a }的通项公式n a ;(3) 求证:当2≥n 时,2222122111132nn n na a a a ++++++<L .【解析】（1）由条件可得11112P a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,代入曲线2(0)y x y =≥得21111312,0,423a a a a =>∴=Q ; (2) 12n n S a a a =+++Q L ∴点1111()2n n n n P S a ++++代入曲线2(0)y x y =≥并整理得 2113142n n n S a a ++=-,于是当*2,n n N ≥∈时,221113131()()4242n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--- 即11113()()()24n n n n n n a a a a a a ++++=+⋅- PP 2PQ 1 Q 2O*1120,(2,)3n n n n a a a a n n N ++>>∴-=≥∈Q又当2122231421,,(4233n S a a a ==-∴=-时舍去）2123a a ∴-=,故*12()3n n a a n N +-=∈ 所以数列{n a }是首项为23、公差为23的等差数列, 23n a n =; (3) 由（2）得23n a n =，当2n ≥时，22221221111n n n na a a a ++++++L22299944(1)44n n n =+++⋅L 22291114(1)4n n n ⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦L 91114(1)(1)2(21)n n n n n n ⎡⎤<++⎢⎥-+-⎣⎦L 9111111()()()411212n nn n n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥-+-⎣⎦L 9119(1)()4128(1)n n n n n +=-=--， 欲证9(1)38(1)2n n n +<-，只需证23344n n n +<-，即证24730n n -->，设2()473f n n n =--， 当78n ≥时，f （n ）递增.而当3n ≥时,有()0f n >成立.所以只需验证n=2时不等式成立.------ 13分事实上,919529613164646464642++=+=<. 综上,原不等式成立. ------------------------------------------14分3、已知曲线C ：x y 1=， n C ：n x y -+=21 （*∈N n ）。

数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。

答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。

解析几何综合问题引例：已知)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,3(2F ，离心率为e ； （1）若e=23，求椭圆的方程； （2）设直线kx y=与椭圆相交于A 、B 两点，M 、N 分别为线段AF 2,BF 2的中点，若坐标原点O 在以直线MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围例1：椭圆C ：1422=+y x ，过点D （0，4）的直线l 与椭圆C 交于两点E 、F ，根据以下条件，尝试把几何关系转化为代数关系：（1）设B （0，41-），若BE=BF ，求直线l 的斜率；（2）A 是椭圆的右顶点，且∠EAF 的角平分线是x 轴，求直线l 的方程；（3）以线段OE 、OF 为邻边作平行四边形OEFP ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点，求O 到直线l 距离最小值；（4）若以EF 为直径的圆过原点，求直线l 的斜率；（5）点M 为直线y=21x 与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM 的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。

例2：设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1,F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2221=+Q F F F ,若过A 、Q 、F 2三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，过定点M(0,2)的直线l 1与椭圆C 交于G 、H 两点，（点G 在M 、H 之间）（1）求椭圆方程；（2）设直线l 1的斜率k>0,在x 轴上是否存在点P （m ，0），使得PG 、PH 为邻边的平行四边形是菱形，若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由。

小结：（1）借助几何直观，把几何条件准确代数化，尽量减少变量个数；（2）明确算理，注意量与量的关系；（3）要有坚强的毅力，只要目标明确，坚持比方法重要。

1、已知等差数列{an} 的首项为1，公差为d，且a3，a5，a9成等比数列，则d的值为？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案：B）2、设等比数列{bn} 的公比为q，前n项和为Sn，若b1 = 1，S3 = 3，则q等于？A. -1/2B. 1/2（舍去）或-1C. 1D. 2（答案：B，注：通常等比数列公比不能为0，且此题中q=1应被舍去，因为若q=1，则不构成等比数列）3、已知直线y = kx + b与x轴交于点A(m,0)，与y轴交于点B(0,n)，若m，n是等差数列{an} 的第2项和第5项，且a1 = -1，公差d = 2，则k的值为？A. -1B. -1/2C. 1/2D. 1（答案：C）4、抛物线y2 = 2px的焦点到准线的距离为6，若该抛物线上一点P的横坐标为4，则点P 到焦点的距离为？A. 5B. 6C. 7D. 8（答案：D）5、已知等差数列{an} 的前n项和为Sn，且a1 = 1，S5 = 35，若直线l的方程为ax - y +1 = 0，其中a为等差数列的第3项，则直线l的斜率为？A. 3B. 4C. 5D. 6（答案：A）6、设等比数列{bn} 的前n项积为Tn，若b1 = -1/2，且T4 = T6 ≠0，则b5的值为？A. -1B. -1/2C. 1/2D. 1（答案：A）7、已知椭圆C的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0)，且长轴长为6，离心率为1/3，则椭圆C的短轴长为？A. 2√2B. 4C. 4√2D. 8（答案：C）8、设数列{an} 的前n项和为Sn，且an = 2n - 1，若点P(n, Sn/n)在直线l上，则直线l的斜率k为？A. 1B. 2C. 3/2D. 5/2（答案：A）。

解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33解析：斜率k ＝－1－33－－3＝－33，故选D.答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．21313C.51326D．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝|1－－6|62＋22＝71020.故选D.4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是()A．x ＋2y －1＝0B．2x ＋y －1＝0C．2x ＋y －5＝0D．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值围是()A.π6，D．π3，π2解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l B.答案：B6．(2014一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为()A．x －2y ＋4＝0B．2x ＋y －7＝0C．x －2y ＋3＝0D．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝12，∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.答案：A7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为x a ＋yb ＝1，b ＝6，＋1b＝1，＝3＝3＝4＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即2a －1＋a 3－1－a <0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.＋3＝0，＋3＝0，＝－3，＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二由l 1∥l 22α－1＝0，α≠0，∴sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一＝k 1x ＋1，＝k 2x －1解得交点P而2x 2＋y 2＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二交点P 的坐标(x ，y－1＝k 1x ，＋1＝k 2x ，故知x ≠0.1＝y －1x，2＝y ＋1x.代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x 2＋(y －2)2＝1B．x 2＋(y ＋2)2＝1C．(x －1)2＋(y －3)2＝1D．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则12＋t －22＝1，得t ＝2，所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A2．(2014模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为()A．x 2＋y 2＝32B．x 2＋y 2＝16C．(x －1)2＋y 2＝16D．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则()A．l 与C 相交B．l 与C 相切C．l 与C 相离D．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是()A．x ＋y －1＝0B．x ＋y ＋3＝0C．x －y ＋1＝0D．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C5．(2013年高考卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x ＋y －2＝0B．x ＋y ＋1＝0C．x ＋y －1＝0D．x ＋y ＋2＝0解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，则直线方程为x ＋y －2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于()A．25B．23C.3D．1解析：因为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2，所以弦长|AB |＝222－12＝2 3.故选B.答案：B 二、填空题7．(2013年高考卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5.答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r ＝ 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2.答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝2mm 2＋1，∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x，代入x ＝m m 2＋1，得＋1＝y －1x，化简得x 2＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，|＝|4＋2a |a 2＋1，|2＋|DA |2＝22，|＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇第3节一、选择题1．设P 是椭圆x225＋y216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D2．(2014二模)P 为椭圆x24＋y23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于()A．3B．3C．23D．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，1|＋|PF 2|＝4，1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60°∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2.答案：D3．(2012年高考卷)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B．55C.12D．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝c a ＝55.故应选B.答案：B4．(2013年高考卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为()A.35B．57C.45D．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝12|AB |＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝c a ＝57.故选B.答案：B5．已知椭圆E ：x2m ＋y24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A．kx ＋y ＋k ＝0B．kx －y －1＝0C．kx ＋y －k ＝0D．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A、B、C，故选D.答案：D6．(2014省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值围为()A．(0，2－1)D．(2－1,1)解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1，所以由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1可得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝2a e ＋1.由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ，即1－e <2e ＋1<1＋e ，1－e 1＋e<2，1＋e2，解得2－1<e .又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D.答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝ca＝2－ 3.答案：2－39．(2014模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y225－m＋x29－m＝1(m <9)，代入点(3，－5)，得525－m ＋39－m＝1，解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.答案：y220＋x24＝110．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 12－b 2＝1，＝1，2＝2，2＝1.故椭圆C 1的方程为x22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2＝kx ＋b ，2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1kx ＋b ，y 2＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②＝1，k 2＝b 2－1，解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22.即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3，所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，y 2＝1，kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，＝－x ＋3，＝－1k x ，0＝3k k －1，0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝3|AO |，代入得9k 2＋9k －12＝33k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇第4节一、选择题1．设P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D.答案：D3．(2012年高考卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为()A.x220－y25＝1B．x25－y220＝1C.x280－y220＝1D．x220－y280＝1解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝bax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为x220－y25＝1.故选A.答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于()A.14B．35C.34D．45解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为()A.x242－y232＝1B．x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D．x2132－y2122＝1解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x242－y232＝1.故选A.答案：A6．(2014八中模拟)若双曲线x29－y216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，则实数m 的取值围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．[－5,5]D．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m 的取值围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考卷)已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝ca＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y23＝19．(2014市第三次质检)已知点P 是双曲线x2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ，e ＝ca ＝23－1＝3＋1.答案：3＋1三、解答题11．已知双曲线x 2－y22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .＝kx＋1－k，2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①∴x＝x1＋x22＝k1－k2－k2.由题意，得k1－k2－k2＝1，解得k＝2.当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l的斜率不存在，即x1＝x2不符合题意，所以由题得x21－y212＝1，x22－y222＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－y1＋y2y1－y22＝0，即2－y1－y2x1－x2＝0，即直线l斜率k＝2，得直线l方程y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，＝2x－1，2－y22＝1得2x2－4x＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y＝2x－1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P(1,1)的直线l不存在．12．(2014质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，－m ＝4，·13a＝3·13m，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.第八篇第5节一、选择题1．(2014模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为()B．(1,0)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y C.答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x24＋y29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()A．x 2＝－45y B．y 2＝－45x C．x 2＝－413yD．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A.答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C4．(2014高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为()A.53B．83C.103D．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，1＋1＝3x 2＋1，1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B.答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34B．1C.54D．74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，＝3x ＋b ，2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y .答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．联立方程y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得x 1＝13，y 1＝－233，或x 2＝3，y 2＝23，由已知得A 的坐标为(3,23)，∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为12，0.求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|PA |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，数m 的值．解：法一如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，＝－x ＋n ，＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n2由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M －14，由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．1＝2x 21，2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0.又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即－14，m∴AB 的方程是y 即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝3212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，即C (4λ＋1,42λ－22)，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。

三、填空题29．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，1//AC 平面α，//BD 平面α，则正方体在平面α内的正投影面积为________．30如图，在矩形OABC 与扇形OCD 拼接而成的平面图形中，3OA =，5AB =，6COD π∠=，点E 在弧CD 上，F 在AB 上，3EOF π∠=.设FOC x ∠=，则当平面区域OECBF （阴影部分）的面积取到最大值时cos x =__________31．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为_____．32．已知函数3()f x x mx n =++，对任意的[2,2]x ∈-，使得()2f x ≤，则m n +=___________.33．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．（结果保留一位小数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）34．将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法.35．有两个分类变量x 和y ，其中一组观测值为如下的2×2列联表：其中a ，15a -均为大于5的整数，则a =__________时，在犯错误的概率不超过0.01的前提下为“x 和y 之间有关系”.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++36．已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba=___________. 37．如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.38．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点作直线l ，使l 垂直于x 轴且交C 于M 、N 两点，双曲线C 虚轴的一个端点为A ，若AMN 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围___________．39．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 的右支上，2OP OF =（O 为坐标原点）．若直线2PF 与C 的左支有交点，则C 的离心率的取值范围为______．40．已知点P ，Q 是椭圆上()2222:10x y C a b a b+=>>的两点，且线段PQ 恰为()2220x y r r +=>的一条直径，点P 关于x 轴的对称点为A ，设35PD PA =，直线QD 与椭圆C 的另一个交点为B ，且直线PQ ，PB 斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率e 为____.41．已知圆22:1C x y +=，点(,2)M t ，若C 上存在两点,A B 满足2MA AB =，则实数t 的取值范围___________42．（2021·河南高二期末（理））已知点O 为坐标原点，点P 为圆22:146540A x y x y +--+=上一动点，点Q 为圆22:8120B x y x +-+=上一动点，设||||||OQ PQ AQ ++的最小值为m ，则m 的值为___________．43．过点()P 0,3作直线l ：()()m n x 2n 4m y 6n 0++--=的垂线，垂足为点Q ，则点Q 到直线x 2y 80--=的距离的最小值为______．44．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 分别是线段1CC 、BD 上的点，R 是直线AD 上的点，且12CP C P =，//PQ 平面11ABC D ，PQ RQ ⊥，则PR 的长为______.答案及解析29． 【分析】由题设知：面1//AHC K 面α，且正方体在平面α内的正投影面积为菱形1AHC K 面积与△ABH 、△11KC D 、△11HB C 、△ADK 在平面α上的投影面积之和，构建空间直角坐标系，应用向量法求△ABH 、△11KC D 、△11HB C 、△ADK 与面1AHC K 的夹角余弦值，进而求它们在面1AHC K 上的投影面积，即可求正方体在平面α内的正投影面积. 【详解】△1//AC 平面α，//BD 平面α，知：面1//AHC K 面α.△正方体在平面α内的正投影面积为如上图所示的菱形1AHC K 面积与△ABH 、△11KC D 、△11HB C 、△ADK 在平面α上的投影面积之和，又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，则1AC HK ==，可构造如下图示，空间直角坐标系：△33(3,0,0),(0,0,),(3,3,)22A K H ，则有33(3,0,),(0,3,)22AK AH =-=，若面1AHC K 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则111133023302n AK x z n AH y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，可得(1,1,2)n =-，而面//ABH 面11KC D ，它们的一个法向量为(1,0,0)m =，△6cos ,6||||n m n m n m ⋅<>==，即面1AHC K 与面ABH 、面11KC D 同理，面11//HB C 面ADK ，它们的一个法向量为(0,1,0)l =，△6cos ,6||||n l n l n l ⋅<>==-1AHC K 与面11HB C 、面ADK 夹角余弦值为 △△ABH 、△11KC D 、△11HB C 、△ADK 的面积均为94S =，△正方体在平面α内的正投影的面积为19692(|cos ,||cos ,|)22AHC K S S n m n l +<>+<>== 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据正方体的性质，结合正投影的定义可知正方体在平面α内的正投影面积为如上图所示的菱形1AHC K 面积与△ABH 、△11KC D 、△11HB C 、△ADK 在平面α上的投影面积之和，应用向量法求各面与面1AHC K 的夹角，进而求投影面积. 30．45【分析】先将阴影部分的面积表示为251915(25)62tan x x π+-+，9()25tan h x x x=+，只需求使得()h x 取最小值的0x 即可得到答案. 【详解】由已知，0[,]3x πθ∈，03tan 5θ=，易得扇形EOC 的面积为212525()52362x x ππ⨯-⨯=-， 四边形OCBF 的面积为133532tan x⨯-⨯⨯，故阴影部分的面积为251915(25)62tan x x π+-+，设9()25tan h x x x =+，则22'29sin 9cos ()25sin x x h x x--=+=2(4sin 3cos )(4sin 3cos )sin x x x x x +-，令'()0h x =，得33tan [45x =∈，记其解为0x ， 并且()h x 在00[,]x θ上单调递减，在0[,]3x π单调递增，所以()h x 得最小值为0()h x ，阴影部分的面积最大值为25156π+-0()h x ，此时03tan 4x =，04cos cos 5x x ===. 故答案为：45.【点睛】本题考查三角函数在平面几何中的应用，涉及到利用导数求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道有一定难度的题. 31【分析】设正四棱柱的高为h ，底面边长为a ，用h 表示出a ，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V 取最大值时对应的h 值． 【详解】设正四棱柱的高为h ，底面边长为a ，如图所示；则h 2+2a 2＝（2×2）2， 所以a 2＝812-h 2，所以正四棱柱容器的容积为V ＝a 2h ＝（812-h 2）h 12=-h 3+8h ，h △（0，4）；求导数得V ′32=-h 2+8，令V ′＝0，解得h =所以h △（0V ′＞0，V （h ）单调递增；h △4）时，V ′＜0，V （h ）单调递减；所以h =V 取得最大值．【点睛】本题考查了球内接正四棱柱的体积的最值问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是中档题． 32．-3 【分析】由题设易知()()g x f x n =-为奇函数且2()3g x x m '=+，当0m ≥由导数研究()g x 单调性并确定最值，可得82()82n m f x n m --≤≤++，结合已知判断是否符合题设；当0m <由导数确定()g x 的零点，2、02<<判断是否符合题设，若符合结合恒成立，列不等式组求参数m 、n 即可. 【详解】由题意，令3()()g x f x n x mx =-=+，易知()g x 是奇函数，2()3g x x m '=+，1、当0m ≥时，()0g x '≥，即()g x 单调递增，min ()(2)82g x g m =-=--，max ()(2)82g x g m ==+， △82()82n m f x n m --≤≤++，任意的[2,2]x ∈-，使得()2f x ≤， 当0n ≥时，8282n m ++≥>，不合题意； 当0n <时，8282n m --<-<-，不合题意；2、当0m <时，()0g x '=有x =△2，则[2,2]x ∈-上()0g x '<，即()g x 单调递减，故82()82n m f x n m ++≤≤--，同1可知不合题意；当02<，则[2,-、2]上()0g x '>，即()g x 单调递增，(上()0g x '<，即()g x 单调递减，△△(2)822(2)822f n m f n m -=--≥-⎧⎨=++≤⎩得3m ≤-，或△2((23223m f n m f n ⎧=⋅+≤⎪⎪⎨⎪=+≥-⎪⎩得3m ≥-，△3m =-，代入△得0n =，故3m n +=-. 故答案为：3- 【点睛】关键点点睛：构造奇函数并利用导数研究单调性，进而确定()f x 的范围，结合分类讨论及不等式恒成立，列不等式组求参数. 33．2.6． 【详解】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{}n a ，其13a = ，公比为12 ，其前n 项和为n A ．莞（植物名）的长度组成等比数列{}n b ，其11b =，公比为2 ，其前n 项和为n B ．则131212,12112nnn nA B ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--，令n n A B = ，化为：6272nn+=， 解得26n = 或21n = （舍去）． 即：lg 6lg 31 2.6lg 2lg 2n ==+≈ . 所需的时间约为2.6 日. 34．535 【分析】根据每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，将每个盒子能放入的球个数列举出来，由总球数为5，以可能的球数组合列举分组，结合组合数求出它们所有不同放法 【详解】四个盒子放球的个数如下 1号盒子：{0，1} 2号盒子：{0，1，2}3号盒子：{0，1，2，3} 4号盒子：{0，1，2，3，4}结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法5 = 1 + 4：153C 种5 = 2 + 3：254C 种5 = 1 + 1 + 3：31526C C 种 5 = 1 + 2 + 2：22536C C 种 5 = 1 + 1 + 1 + 2：2115323C C C 种△5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种 故答案为：535 【点睛】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算 35．9 【分析】由题意，计算2K ，列出不等式求出a 的取值范围，再根据题意求得a 的值. 【详解】解：由题意知：2 6.635K ≥, 则()()()()2265302015131360 6.635204515505400a a a a a +---⎡⎤-⎣⎦=≥⨯⨯⨯，解得：8.65a ≥或0.58a ≤， 因为：5a >且155a ->，a Z ∈， 综上得：8.6510a ≤<，a Z ∈， 所以：=9a . 故答案为：9. 【点睛】本题考查独立性检验的应用问题. 36．12 【分析】由()n a b +的二项展开式的通项1C r n rr r n T a b -+=，可知6(12)x +展开式的二项式系数为6(0,1,,6)r C r =，当3r =时，二项式系数的最大值为a ，6(12)x +展开式的系数为62(0,1,,6)r rC r =，当满足116611662222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩时，系数的最大值为b ，求解即可. 【详解】 由题意可知6(12)x +展开式的二项式系数为6(0,1,,6)r C r =，当3r =时，取得最大值3620a C ==6(12)x +展开式的系数为62(0,1,,6)r r C r =，当满足116611662222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩时，系数最大. 即116!6!22!?(6)!(1)!?[6(1)]!6!6!22!?(6)!(1)!?[6(1)]!rr r r r r r r r r r r +-⎧≥⎪-+-+⎪⎨⎪≥⎪----⎩∴1261217r r r r ⎧≥⎪⎪-+⎨⎪≥⎪-⎩，即12(6)2(7)r r r r +≥-⎧⎨-≥⎩解得111433r ≤≤又0,1,,6r =4r ∴=时，系数的最大值为4462240b C ==则2401220b a == 故答案为：12 【点睛】本题考查二项式定理，求二项式系数最大值时，列出不等式组116611662222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩是解决本题的关键.属于一道较难的题. 37．168 【分析】分,,,E F G H 涂4种，3种或2种颜色，再分别计算涂色的方法种数.【详解】△对,,,E F G H 涂4种颜色，对于剩下的,,,A B C D 各剩2种颜色，且相邻的都含一种颜色是相同的，即当某个点取一种颜色时，其他点的颜色是确定的，那么,,,A B C D 共有2种情况，共有44248A ⨯=种，△对,,,E F G H 涂3种颜色，对于,,,E F G H 从4种颜色中取3种，即344C =，从这3种颜色中取1种来作重复的一种，即133C =，再对这四种颜色进行排列，重复的那种只能在对角，有2个对角，再对其他不重复的2种进行排列222A =，即2224A =对于剩下的,,,A B C D 同△一样，各剩2个颜色，当其中一点取一种颜色时，其他点颜色是确定的，共有2种，故共有312432224322296C C A ⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=种，△,,,E F G H 涂2种颜色，则选2种颜色，涂在对角位置，有24212C ⨯=种方法，,,,A B C D 共2种颜色，故共有242224C ⨯⨯=种方法， 所以一共有489624168++=种方法. 故答案为：168 【点睛】关键点点睛：本题考查排列，组合，计数原理的综合应用，本题的关键是正确分类,,,E F G H 的涂色方法种数，并且先涂,,,E F G H ，再涂,,,A B C D .38．【分析】根据已知条件确定M ，N ，A 的坐标，要使AMN 是锐角三角形，有0AM AN ⋅>且2b b a<，结合向量数量积的坐标表示，并整理为关于双曲线参数a 、c 的齐次不等式组，求离心率范围. 【详解】由题意知：2(,)b M c a ，2(,)b N c a -，不妨假设(0,)A b ，△AMN 是锐角三角形，△2MAN π∠<，即2242222()()0b b b AM AN c b b c b a a a⋅=+---=+->，且2b b a <，△42242222222201c a c a c a a c a a ⎧-+-->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，整理得422420{2e e e -+<>，解得e ∈，故答案为：【点睛】关键点点睛：根据锐角三角形的性质，易知0AM AN ⋅>且2b b a<，由不等式组求离心率范围. 39．)+∞【分析】设P 位于第四象限，可知20PF bk a<<，设(),P x y ，由2OP OF =和P 在双曲线上可构造方程组求得P 点坐标，由此表示出2PF k ，由20PF b k a <<化简可得2b a >，根据e 可求得结果. 【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：by x a=±； 不妨设P 位于第四象限，则若直线2PF 与C 的左支有交点，则20PF b k a<<； 设(),P x y ，由2OP OF =得：222x y c +=，又22221x y a b-=，x ∴=2b yc =-，2220PF b k --∴==，20ba<，即2c ab ->，()()22222c ab a b c ∴->+， 整理可得：222a c ab <-，即2222c a b ab -=>，2ba∴>，e ∴=C的离心率的取值范围为)+∞.故答案为：)+∞.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种： （1）根据已知条件，求解得到,a c 的值或取值范围，由ce a=求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于,a c 的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率e ，从而得到结果. 40． 【分析】已知得,P Q 关于原点对称，设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，00(,)A x y -，由向量线性运算求得D 点坐标，求得,QP QB 的斜率关系，再设11(,)B x y ，用点差法可求得22BP BQb k k a=-，再由已知斜率之积可得,a b 的等式，从而求得离心率．【详解】因为线段PQ 是圆222x y r +=的一条直径，所以,P Q 关于原点对称， 设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，00(,)A x y -，又35PD PA =，即003(2)5D y y y -=⨯-，015D y y =-，即001(,)5D x y -，所以00PQy k x =，000000122555QB QDPQ y y y k k k x x x -+===⋅=+，△ 设11(,)B x y ，则2210101022101010BP BQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，又22112222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减得22221010220x x y y a b --+=，2221022210y y b x x a -=--， 所以22PB QB k k b a =-⋅，△，而12PQ PB k k =-，△，由△△△可得222152b a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，22215a c a -=，所以c e a ==．． 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的齐次等式．解题方法是设0011(,),(,)P x y B x y ，由对称性得,,Q A 坐标，再得D 点坐标，用点差法求得22PB QB k k b a =-⋅，这样可利用直线的斜率得出关系式． 41．⎡⎣【分析】令(,)A x y ，根据2MA AB =得332(,)22x t y B --，由,A B 在圆C 上代入坐标，整理可将问题转化为两个圆有公共点，则两圆的圆心距离在15[,]33内，进而求t 的范围.【详解】由题意，可得如下示意图，令(,)A x y ，由2MA AB =知：332(,)22x t y B --，又,A B 在C 上， △22221(3)(32)144x y x t y +=--+=⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22221{24339x y t x y +=⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即两圆有公共点，△两圆的圆心距离为d =，半径分别为1、23，故当1533d ≤≤时符合题意，△2021t ≤≤，即t∈[.故答案为：[. 【点睛】关键点点睛：设(,)A x y ，利用向量共线的坐标表示求B 坐标，将点代入圆的方程将问题转化为两圆有公共点，求参数范围. 42．8 【分析】将圆化为标准式，画出图形，利用圆的性质和三角形相似（线段长度关系）进行两次放缩即可得到答案. 【详解】 如图，P 为圆22:(7)(3)4A x y -+-=上一动点，Q 为圆22:(4)4B x y -+=上一动点，O 为坐标原点，取(3,0)T ，连接BQ ，TQ ，则||||1||||2TB BQ BQ OB ==，所以易得TBQ QBO ∽，所以||2||OQ TQ =，又易知||||2PQ AQ ≥-，所以||||||||2||22||2||22||28OQ PQ AQ OQ AQ QT AQ AT ++≥+-=+-≥-=． 故答案为：8. 43【分析】直线l ：()()m n x 2n 4m y 6n 0++--=，化为()()m x 4y n x 2y 60-++-=，可得直线l 经过定点()M 4,1.线段PM 的中点G.根据PQ l.⊥可得点Q 在以点G 为圆心，以PG 为半径点圆上.利用点到直线的距离公式可得点Q 到直线x 2y 80--=的距离的最小值． 【详解】解：直线l ：()()m n x 2n 4m y 6n 0++--=，化为()()m x 4y n x 2y 60-++-=，联立x 4y 0x 2y 60-=⎧+-=⎨⎩，解得x 4=，y 1=．∴直线l 经过定点()M 4,1．线段PM 的中点()G 2,2． PQ l ⊥．∴点Q 在以点G 为圆心，以PG其圆的标准方程为：22(x 2)(y 2)5-+-=．圆心G 到直线x 2y 80--=点距离d ==∴点Q 到直线x 2y 80--=【点睛】本题考查了直线系的应用、圆的方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．44【分析】如图所示，过点P 作1//PM BC 交MC 于点M ，连接,,QM QC RC ，证明2DQ QB =，RQ QC ⊥，再利用勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：过点P 作1//PM BC 交MC 于点M ，连接,,QM QC RC .1//PM BC ，1BC ⊂平面11ABC D ，故//PM 平面11ABC D ，//PQ 平面11ABC D ， PMPQ P =，故平面//PQM 平面11ABC D ，故//QM AB ，故2DQ QB =.1CC ⊥平面ABCD ，RQ ⊂平面ABCD ，故1CC RQ ⊥，PQ RQ ⊥，PQ RQ Q =.故RQ ⊥平面PQC ，QC ⊂平面PQC ，故RQ QC ⊥.故CR ==PR =.3.【点睛】本题考查了立体几何中的线段长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.。

数列训练（5） 数列与解析几何数列与解析几何1.数列{}n a 中，11=a ，且点),(1+n n a a 在直线012=+-y x 上 (1) 设1+=n n a b ，求证：数列{}n b 是等比数列； (2) 设)23(+=n n a n c ，求数列{}n c 的通项公式； (3) 求数列{}n c 的前n 项和n S（1）证明：由已知得121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a即n n b b 21=+，所以数列{}n b 是等比数列（2）解：nn b 2=，12-=∴n n a ，)123(-⋅=∴nn n c（3）解：)321()2232221(3321n n S nn ++++-⋅++⋅+⋅+⋅=设nn n T 2222121⋅++⋅+⋅=132222212+⋅++⋅+⋅=n n n T所以22)1(1+⋅-=+n n n T所以2)1(]22)1[(31+-+⋅-=+n n n S n n 2、已知直线:2n y x n =- 与圆22:22()n n C x y a n n N ++=++∈交于不同点A n 、B n ,其中数列{}n a 满足：21111,4n n n a a A B +==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(2),3n n nb a =+求数列{}n b 的前n 项和n S .（1）圆心到直线的距离d n =，21111()22,22(2)2322n n n n n n n n a A B a a a a ++-∴==++=+∴=⨯-则易得 （2）10121123(2)2,3122232*********n n n n n nn nb a n S n S n --=+=⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯相减得(1)21nn S n =-+3．已知数列}{n a 是公差为()0≠d d 的等差数列，n S 为其前n 项和. （Ⅰ）若2a ，3a ，6a 依次成等比数列，求其公比q ； （Ⅱ）若),(nS n OP nn =)(*∈N n ，求证：对任意的m ，*∈N n ，向量n m P P 与向量()d b ,2=共线；（Ⅲ）若11=a ，21=d ，),(2n S n a OQ n n n =)(*∈N n ，问是否存在一个以坐标原点为圆心，半径最小的圆，使得对任意的*∈N n ,点n Q 都在这个圆内或圆周上. 解：（Ⅰ）因为2a ，3a ，6a 成等比数列，所以6223a a a ⋅=，)5)(()2(1121d a d a d a ++=+. 所以12a d -=，323==a a q . （Ⅱ）因为),(),(),(mSn S m n m S m n S n OP OP P P m n m n m n n m --=-=-=. 而d mn d m a d n a m S n S m n 2]2)1([]2)1([11-=-+--+=-. 所以()b mn d m n d m n m n P P n m ⋅-=⋅-=--=2,22)2,( 所以,向量n m P P 与向量()d b ,2=共线.（Ⅲ）因为21,11==d a ,所以212121)1(1+=⋅-+=n n a n ，n n S n 4342+=. 所以42222nSn a OQ n n n+=42222)3(161)]1(21[nn n n n +++= )51413(161161314524234++=++=n n n n n n .=131137116132+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n . 因为1≥n ,所以110≤<n,2131137116132≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴n ,当1=n 时取等号. 所以22≤nOQ ，即2≤n OQ 所以存在半径最小的圆，最小半径为2，使得对任意的*∈N n ，点n Q 都在这个圆内或圆周上.4、设函数,103)(223-++-=a ax x x x f 若它是R 上的单调函数，且1是它的零点。

解析几何与数列函数的综合应用解析几何和数列函数是高等数学中两个重要的概念。

它们在实际问题中有着广泛而深入的应用。

本文将通过几个实例来解析几何与数列函数的综合应用。

一、平面几何中的数列函数应用在平面几何中，数列函数可以被广泛地应用于研究图形的性质以及求解相关问题。

以等差数列函数为例，我们可以借助它来推导等差数列图形的一些性质。

假设有一个等差数列 {an}，其中公差为 d，首项为 a1。

我们可以通过数列函数的方法来求解等差数列图形中的一些问题。

比如，给定一个等差数列的前 n 项和 Sn，我们可以通过等差数列的求和公式来得到一个关于 n 的数列函数，从而求解出 n 的取值范围。

另外，我们还可以通过数列函数来研究等差数列图形中的对称性问题。

例如，如果一个等差数列图形在直角坐标系中关于 x 轴对称，那么可以通过数列函数推导出数列中的对称性条件，并进一步求解出数列中的特殊项。

二、空间几何中的数列函数应用在空间几何中，数列函数同样具有广泛的应用。

以等比数列函数为例，我们可以利用它来研究等比数列图形的性质以及求解相关问题。

假设有一个等比数列 {bn}，其中公比为 r，首项为 b1。

利用数列函数的方法，我们可以得到等比数列图形的一些性质。

例如，我们可以通过等比数列的通项公式来推导等比数列图形中的特殊项和位置。

此外，空间几何中的数列函数还可以用于求解等比数列图形中的体积和表面积等问题。

通过将等比数列的项代入到空间图形的相关公式中，可以得到关于数列的函数表达式，从而进一步求解出几何体的体积和表面积。

三、解析几何和数列函数综合应用举例在实际问题中，解析几何和数列函数往往需要结合使用，以求解更加复杂且多变的问题。

下面以一个示例来说明解析几何和数列函数的综合应用。

假设有一座塔楼，高度为 H 米。

一球从塔楼顶端自由落下，每次落地后弹起的高度都是前一次的一半。

求球总共弹起的高度。

我们可以通过数列函数的方法来建立等比数列函数 {hn} 来描述球弹起的高度。