第十五章 傅立叶级数
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x1 ， x2 ，
， xn ，且 a ≤ x1 < x2 <
< xn ≤ b ，
在 [ x1 , x2 ] 上作导函数 f '( x ) 的连续开拓 g ( x ) ，即
⎧ f ' ( x1 + 0), ⎪ g ( x) = ⎨ f ' ( x), ⎪ f ' ( x − 0), 2 ⎩
x = x1 , x1 < x < x2 , x = x2 ,
4 [(−1) n − 1]cos nx 2 n =1 n
∞
+∑
∞ 2π 2 π2 2 sin nx + ∑ ( − 3 )(1 − (−1) n )isin nx n n n =1 n n =1 π ∞
= −π 2 + ∑
−8 cos(2n − 1) x 2 n =1 (2 n − 1)
∞
+∑
其中
补例 1
⎧ x, x ≠ 0 都在区间 [ −1,1] 按段光滑。 ⎩1, x = 0
为了证明定理 15.13，下面介绍按段光滑函数的性质。设函数 f 在 [ a , b] 按段光滑，那 么： ； （1）导函数 f 在 [ a , b] 可积（在不可导点随意规定其值） ； （2） ∀x ∈ [ a, b] ，都有 f ( x − 0) 与 f ( x + 0) 存在（在点 a , b 指单侧极限） （3） ∀x ∈ [ a, b] 有
( −3π , −π ] ，
的周期延拓。 补例 2 此外函数
，这就得到一个定义在 ( −∞, +∞ ) 的周期函数 f * ，它是 f ( x ) 以 2π 为周期
把 f ( x) = ⎨
⎧ x, 0 ≤ x ≤ π 在 ( −∞, +∞ ) 作周期延拓后的图象如图 15.1（1） 。 ⎩0, −π < x < 0
f ( x) sin nxdx ， π∫π
−
1
π
证明： 式（15.1）两边同乘以 1 或 cos nx ，并逐项积分（应用了结论：一致收敛的函 数级数乘以有界函数后仍然一致收敛）得
∫π
−
π
f ( x ) dx = ∫
π
−π
a0 ∞ π + ∑ ( an cos nx + bn sin nx) dx 2 n =1 ∫−π
f ( x) sin nxdx = nπ ∫ π∫π
−
1
π
−1
π
0
xd cos nx
=
π π −1 [ x cos nx − ∫ cos nxdx] 0 0 nπ
−1 sin nx π (−1) n −1 n = [π (−1) − ]= ， nπ n 0 n
其中 n = 1, 2,3 。
②傅立叶级数展开式
。 那么 g ( x ) 在 [ x1 , x2 ] 连续，从而可积，这就证得（1）
∀ x 、 x ∈ ( x1 , x2 ) ，那么
∫
x
x
g (t )dt = ∫ f ' (t )dt = f ( x) − f ( x) ，
x
x
令 x → x1+ ，则左边极限存在（因为变上限积分连续） ，故右边极限也存在，即 f ( x1 + 0) 存 在，这就证得（2） 。同时推出
2°
正交性：三角函数系中两两不同的函数之乘积，可分为 5 种：
1⋅ cos nx ， 1⋅ sin nx ； sin nx sin mx 、 cos nx cos mx ， ( m ≠ n) ； sin nx cos mx ；
容易证明 5 种乘积在 [ −π , π ] 的定积分都为 0，这个性质叫做三角函数的正交性。
并计算 I = 1 +
0 < ,
1 1 + + 32 52
+
1 + (2n − 1) 2
。
解：① 计算 f 的傅立叶系数
a0 =
π∫
1
2π
0
f ( x) dx =
π
0
π∫
2π
1
π
0
x 2 dx −
π ∫π
1
2π
x 2 dx
=
an = =
其中
1 x3 ⋅ π 3
bn =
π∫
1
2π
0
f ( x) sin nxdx =
π∫
1
π
0
x 2 sin nxdx −
π ∫π
1
2π
x 2 sin nxdx
=
② 傅立叶级数展开
2π 2 π 2 2 + ( − 3 )[1 − (−1) n ] ， n π n n
f ( x + 0) + f ( x − 0) 2
= −π 2 + ∑
⎧ 0, x ∈ (−π , 0), f ( x + 0) + f ( x − 0) ⎪ ⎪ x, x ∈ [0, π ), =⎨ 2 ⎪π , x = ±π ° ⎪ ⎩2
图象参见图 15.1（1）与图 15.1（2） 。 例 2.把函数 f 展成傅立叶级数，其中
⎧ x2 , ⎪ f ( x) = ⎨ 0, ⎪− x 2 , ⎩
f ( x + 0) + f ( x − 0) a0 ∞ nπ x nπ x = + ∑ (an cos + bn sin )， 2 2 n =1 l l
∫
x1
x
g (t )dt = f ( x1 + 0) − f ( x) = f '(ξ )( x1 − x)
（积分中值定理）
其中 ξ ∈ ( x1 , x) ，令 x − x1 = t 得
f ( x1 + t ) − f ( x1 + 0) = f '(ξ ) ， t
令 t → 0 + ，由按段光滑定义推知 lim f '(ξ ) = f '( x1 + 0) 存在，故有 +
3°
三角函数系中每两个函数自身的平方的定积分值不为 0，且
∫π
−
π
12 dx = 2π ， ∫ cos 2 nxdx = π ， ∫ sin 2 nxdx = π 。
−π −π
π
π
4° 三角级数，是指级数
a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 。 2 n =1
二 以 2π 为周期的函数的傅立叶级数 设
an = bn =
为 f 的傅立叶系数，称三角级数
f ( x) cos nxdx ， π ∫π
−
1
π
n = 0,1, 2 n = 1, 2,3
； 。
f ( x) sin nxdx ， π∫π
−
1
π
f ( x) ∼
为 f ( x ) 的傅立叶级数。 三 收敛定理
a0 ∞ + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) 2 n =1
f ( x + 0) + f ( x − 0) 2
∞ 1 (−1)n −1 n = + ∑ 2 [(−1) − 1]cos nx + ∑ sin nx n 4 n =1 n π n =1 ∞
π
=
其中
π
4
+∑
∞ −2 (−1) n −1 n x cos(2 − 1) + sin nx ， ∑ 2 n n =1 (2n − 1) π n =1 ∞
⎧π , x = ±π , f *( x + 0) + f *( x − 0) ⎪ ⎪2 =⎨ 0, −π < x ≤ 0, 2 ⎪ ⎪ ⎩ x, 0 < x < π °
的图象如图 15.1（2） 。
⎧ x2 ⎪ 补例 3 把 f ( x ) = ⎨ 0 ⎪− x 2 ⎩
（1） 。此外函数
0< x <π x = π 在 ( −∞, +∞ ) 作周期延拓的图象如图图 15.2 π < x ≤ 2π
定理 15.2
f ( x) =
a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
（15.1）
若右边的三角级数在 ( −∞ , +∞ ) 一致收敛，则有
an = bn =
f ( x) cos nxdx ， π ∫π
−
1
π
n = 0,1, 2 n = 1, 2,3
， 。
（15.2） （15.3）
f ( x + 0) + f ( x − 0) a0 ∞ = + ∑ (an cos nx + bn sin nx) ， 2 2 n =1
其中 an , bn 为 f 的傅立叶系数。 例1 求 f ( x) = ⎨
⎧ x, ⎩0,
0 ≤ x ≤π, 的傅立叶级数展开式。 −π < x < 0,
解：①计算傅立叶系数
1 2 x d sin nx n∫
1 x2 2 1 = [ x 2 sin nx − 2∫ x sin nxdx] = sin nx + ⋅ ∫ xd cos nx n n n n = x2 2 1 sin nx + 2 [ x cos nx − sin nx] n n n
x2 2x 2 = sin nx + 2 cos nx − 3 sin nx 。 n n n
[教学时数]：10 学时。 [教学要求]： 1、能准确叙述并理解收敛定理的证明。 2、能将简单的函数展成傅立叶级数，应用奇、偶开拓的办法将区间（0，π）上的函 数展成正弦、余弦级数。
