第一+二节(傅里叶级数和积分)

并称F(ω)为f (t)的象函数
或傅里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或傅里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
傅氏变换对的物理意义
• 1. f (t) 与 F（）构成一个傅氏变换对，它们是由
许多频率的正、余弦分量合成，且非周期函数包
含 0 - - 分量；
• 2. f (t) 是 F（）中各频率分量的分布密度，
即
lim
T
fT (t)
f
(t)
f (t) 1
2
f
( )e-j d e jtd
这个公式称为函数f (t)的傅里叶积分公式
• 余弦傅氏积分公式
f (t) 2
0 0
f
( ) cos
d
cost
d
• 正弦傅氏积分公式
f (t) 2
0
f
(
)
sin
d
sin
t
d
f
(t)
a0 2
n1
(an
cos nwt
bn
sin
nwt)
an cosnwt bn sin nwt an2 bn2 sin(nwt n )
An an2 bn2
n 1,2,;
f (t) Cne jwnt n
Cn
an
jbn 2
,
Cn
an
jbn 2
Cn Cn
an2 bn2 2
称为频谱密度函数 F（） 为振幅谱
arg F()为相位谱
正弦、余弦傅氏变换
余弦傅氏变换
f (t) 2
0 0
f
(
) cos
d
cost

2
ej jnω0t
代入 (A) 式并整理得
fT
(t)
a0 2
(an
n1
2
jbn
e jnω0t
an
2
jbn
e jnω0t
).
推导
fT
(t)
a0 2
(an
n1
2
jbn
e jnω0t
an
2
jbn
e
jnω0t
).
令
c0
a0 2
,
cn
an jbn , 2
cn
an
jbn 2
,
则有
fT (t ) e cn jnω0t ,
特点 (1) 周期性
(2) 正交性
T/2
T/2m (t ) n (t )d t 0 ,
T/2
T/2 k (t ) l (t )d t 0 ,
T/2
T/2
k
(t )
l
(t)d
t
0,
(k l)
由 {k (t)}, { k (t)} 组合叠加可以生成周期为 T 的复杂波。
问题 对于任何一个周期为 T 的(复杂)函数 fT (t)，能否：
(B)
n
其中,
cn
1 T
T /2 T /2
fT (t ) e jnω0td t ,
n 0, 1, 2,
定义 称 (B) 式为 Fourier 级数的指数形式。
注意 (1) 分解式是惟一的。 (2) 计算系数 cn 时, 其中的积分可以在任意 一个长度为 T 的区间上进行。
(3) 采用周期延拓技术，可以将结论应用到 仅仅定义在某个有限区间上的函数。
fT

Fourier变换是一种对连续时间函数的 积分变换,通过特定形式的积分建立函数之 间的对应关系. 它既能简化计算(如解微分 方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物
理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),
因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速
Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
Fourier 变换是在周期函数的 Fourier
6. 离散频谱与频谱图 a n jbn a0 a n jbn , , c n 分析 由 c0 , cn 2 2 2
An 1 2 2 a n bn ， 得 c0 A0 , | cn | | c n | 2 2
arg cn arg c n θn , ( n 0) .
1 j t j t (D) f (t ) [ f ( t ) e d t ] e dω 2π 1 在 f (t ) 的间断处，公式的左端应为 [ f ( t 0) f ( t 0)] . 2
级数的基础上发展起来的。在微积分课程
中已经学习了Fourier 级数的有关 内容，
因此本节将先简单地回顾一下 Fourier
级数展开。
§8.1 Fourier 级数与Fourier 积分
一、周期函数的 Fourier 级数 二、非周期函数的 Fourier级数即
Fourier积分
一、周期函数的 Fourier 级数
n 1
A0 a n cos n 0 t bn sin n 0 t
n 1

A0 An cos(n 0 t n ) .
n 1
3. Fourier 级数的三角形式 定理 ( Dirichlet 定理)设 fT (t )是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T /2 , T /2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)： (1) 连续或只有有限个第一类续点处有

若两个函数
与
在
上可积, 且
则称
与
在பைடு நூலகம்
上是正交的, 或在
上具有正
交性. 由此三角函数系(4)在
上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)
的和函数 f 与级数(4)的系数
之间的关系.
定理12.2 若在[-π,π]上
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
光滑弧段所组成,它至
收敛定理指出, f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 在
该点的左、右极限的算术平均值
而当 f 在点 x 连续时,则有
即此时f的傅里叶级数收敛于
. 这样便有
上按段光滑, 则 f 的傅里叶级数在
上收敛
于 f .
推论 若 f 是以 为周期的连续函数, 且在
上每一点都存在
, 如果在不连续
点补充定义
, 或
, 则
还有
(iii) 在补充定义
在
上那些至多有限个不存在
导数的点上的值后 ( 仍记为
),
在[a, b]上可积.
从几何图形上讲, 在
区间[a, b]上按段光滑
光滑函数,是由有限个
多有有限个第一类间
断点 (图15-1).
时,
于是当
当 时, 级数收敛到 0( 实际上级数每一项都为 0 ).
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函
数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
定理 12.1 若级数
其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数