081期中试卷C

13.如果等腰三角形两边长分别为3和7，那么它的周长是___________.
14.如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB的度数为_____
15.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．
北京市八一学校2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试卷
数学
（本份试卷共三道大题，26道小题，满分100分，时间90分钟）
一、选择题（每小题3分共30分）
1.计算3-² 结果是（）
A. -9B. 9C. D.
2.已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是()．
A. 5B. 6C. 12D. 16
8.根据分式的基本性质，分式 可变形为（）
A. B. C. D.
9.若9x²+ +16y2是完全平方式，则m为（）
A. 12B. 24C. ±12D. ±24
二、填空题（每小题2分，共16分）
10.计算∶π0=__________．
11.当x_______时，分式 有意义．
12.如图，已知∠1＝100°，∠2＝140°，那么∠3＝_____度．
5.下列各式运算正确的是（）
A.a²+a³=a5B. C.（ab2）3=ab6D.a10÷a2=a
6.如图，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A.20°B.25°C.30°D.35°
7.若(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）
A. -3B. 3C. 0D. 1

2020-2021学年广东省广州市海珠区中山大学附中八年级第一学期期中数学试卷一、选择题，本大题共10小题，每小题3分，共30分1．下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．一个三角形的三个内角度数之比为4：5：9，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．斜三角形4．在平面直角坐标系中，P点坐标为（3，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标为（）A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（2，﹣3）5．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D6．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝8cm2，则阴影部分△BEF的面积等于（）A．4cm2B．2cm2C．cm2D．1cm28．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图2中，∠BAC的大小是（）A．72°B．36°C．30°D．54°9．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A为（）A．40°B．42°C．30°D．52°10．已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分11．在△ABC中，∠C＝60°，∠A﹣∠B＝20°，则∠B的度数为．12．已知△ABC三边为a，b，c，则|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|c﹣b+a|＝．13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为．15．一个多边形的内角和比它的外角和多540°，并且这个多边形的各个内角都相等，则这个多边形边数是．16．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是．三、解答题：本大题共8小题，满分72分，解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．18．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）19．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，且三个顶点都在正方形网格的格点上．（1）把△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，画出△A′B′C′，并写出点A′的坐标；（2）若点P（m，n）在△ABC内部，当△ABC沿y轴翻折后，点P对应点P′的坐标是；（3）求△ABC的面积．20．如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．21．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD 于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．22．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC上一点，且∠BPQ+∠BAQ＝180°．（1）若∠ABP＝α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）；（2）求证：BP＝PQ．23．△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB＝60°．（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC＝DB；（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、（﹣b，0）且a、b满足+|a﹣2b+2|＝0（1）求证：∠OAB＝∠OBA；（2）如图1，若BE⊥AE，求∠AEO的度数；（3）如图2，若D是AO的中点，DE∥BO，F在AP的延长线上，∠EOF＝45°，连接EF，试探究OE和EF的数量和位置关系．参考答案一、选择题，本大题共10小题，每小题3分，共30分1．下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：第一个图形是轴对称图形；第二个图形是轴对称图形；第三个图形不是轴对称图形；第四个图形是轴对称图形；综上共有3个轴对称图形．故选：C．2．已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．3．一个三角形的三个内角度数之比为4：5：9，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．斜三角形解：∵一个三角形的三个内角度数比为4：5：9，∴设三个内角的度数分别为4x，5x，9x，∴4x+5x+9x＝180°，解得x＝10°，∴9x＝90°，∴此三角形是直角三角形．故选：C．4．在平面直角坐标系中，P点坐标为（3，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标为（）A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（2，﹣3）解：∵P点坐标为（3，﹣2），∴点P关于x轴的对称点的坐标为（3，2）．故选：A．5．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；故选：C．6．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS解：∵O是AA′、BB′的中点，∴AO＝A′O，BO＝B′O，在△OAB和△OA′B′中，∴△OAB≌△OA′B′（SAS），故选：A．7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝8cm2，则阴影部分△BEF的面积等于（）A．4cm2B．2cm2C．cm2D．1cm2解：∵E是AD的中点，S△ABC＝8cm2，∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ACD，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABD+S△ACD＝（S△ABD+S△ACD）＝S△ABC＝×8＝4（cm2），∴S△CBE＝S△ABC＝4（cm2），∵F是CE的中点，∴S△FBE＝S△EBC＝×4＝2（cm2），故选：B．8．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图2中，∠BAC的大小是（）A．72°B．36°C．30°D．54°解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝36°．故选：B．9．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A为（）A．40°B．42°C．30°D．52°解：∵∠1＝70°，∠2＝152°，∴∠B+∠C＝360°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣70°﹣152°＝138°，∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣138°＝42°，故选：B．10．已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），…①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，…②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE＝EC．…③正确；④过E作EG⊥BC于G点，∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF．…④正确．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分11．在△ABC中，∠C＝60°，∠A﹣∠B＝20°，则∠B的度数为50°．解：∵∠C＝60°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝120°，∵∠A﹣∠B＝20°，∴∠A＝70°，∠B＝50°，故答案为50°．12．已知△ABC三边为a，b，c，则|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|c﹣b+a|＝3b﹣a﹣3c．解：∵△ABC三边为a，b，c，∴a+b＞c，a+c＞b，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|c﹣b+a|＝a+b﹣c+b﹣a﹣c﹣c+b﹣a＝3b﹣a﹣3c，故答案为：3b﹣a﹣3c．13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是4．解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝3，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴×3×AC+×3×6＝15，∴AC＝4．故答案为4．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为65°或25°．解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40°，则顶角是50°，因而底角是65°；如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD＝40°，BD⊥CD，故∠BAD＝50°，所以∠B＝∠C＝25°因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°．故填25°或65°．15．一个多边形的内角和比它的外角和多540°，并且这个多边形的各个内角都相等，则这个多边形边数是7．解：设边数为n，根据题意，得（n﹣2）×180°＝360°+540°，所以（n﹣2）×180°＝900°，所以n﹣2＝5，所以n＝7．故答案为：7．16．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是80°．解：作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN．此时△PMN的周长最小．∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∴∠EPF＝130°，∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80°．三、解答题：本大题共8小题，满分72分，解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．【解答】证明：如图，连接AC，在△ACE和△ACF中，，∴△ACE≌△ACF（SSS），∴∠EAC＝∠FAC，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（AAS），∴CB＝CD．18．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）解：19．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，且三个顶点都在正方形网格的格点上．（1）把△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，画出△A′B′C′，并写出点A′的坐标（2，3）；（2）若点P（m，n）在△ABC内部，当△ABC沿y轴翻折后，点P对应点P′的坐标是（﹣m，n）；（3）求△ABC的面积．解：（1）如图，△A′B′C′即为所求，A′（2，3）．故答案为（2，3）．（2）若点P（m，n）在△ABC内部，当△ABC沿y轴翻折后，点P对应点P′的坐标是（﹣m，n），故答案为（﹣m，n）．（3）△ABC的面积＝4×6﹣×3×5﹣×1×4﹣×1×6＝11.5．20．如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．解：∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝38°，∠C＝74°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°．∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣34°＝18°．∵DF⊥AE，∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°．21．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD 于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．【解答】证明：连接DF，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BCE＝∠CAE．∵AC⊥BC，BF∥AC．∴BF⊥BC．∴∠ACD＝∠CBF＝90°，∵AC＝CB，∴△ACD≌△CBF．∴CD＝BF．∵CD＝BD＝BC，∴BF＝BD．∴△BFD为等腰直角三角形．∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°．∵∠FBD＝90°，∴∠ABF＝45°．∴∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，即AB垂直平分DF．22．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC上一点，且∠BPQ+∠BAQ＝180°．（1）若∠ABP＝α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）；（2）求证：BP＝PQ．解：（1）∵在四边形ABPQ中，∠BPQ+∠BAQ＝180°，∴∠ABP+∠AQP＝180°，∵∠AQP+∠CQP＝180°，∴∠CQP＝∠ABP，∵∠ABP＝α，∴∠CQP＝α；（2）连接PC，∵AB＝AC，AD为中线，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∵点P是AD上一点，∴PB＝PC，∵AP＝AP，AB＝AC，PB＝PC，∴△ABP≌△ACP（SSS），∴∠ABP＝∠ACP，由（1）知∠CQP＝∠ABP，∴∠ACP＝∠CQP，∴PQ＝PC，∴PB＝PQ．23．△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB＝60°．（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC＝DB；（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【解答】证明：（1）∵D点在AC的垂直平分线上，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠DAC＝30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BAD＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝30°，∴BD＝2AD＝AD+CD；（2）成立．理由：在DB上截取DE＝AD，∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝AD，∠EAD＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∴BD＝DE+BE＝AD+CD．24．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、（﹣b，0）且a、b满足+|a﹣2b+2|＝0（1）求证：∠OAB＝∠OBA；（2）如图1，若BE⊥AE，求∠AEO的度数；（3）如图2，若D是AO的中点，DE∥BO，F在AP的延长线上，∠EOF＝45°，连接EF，试探究OE和EF的数量和位置关系．解：（1）∵+|a﹣2b+2|＝0又∵≥0，|a﹣2b+2|≥0∴，解得，∴A（0，2），B（﹣2，0），∴OA＝OB＝2，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，（2）如图1中，设AE交OB于K．∵AE⊥BE，∴∠AOK＝∠BEK＝90°，∵∠AKO＝∠BKE，∴△AKO∽△BKE，∴＝，∴＝，∵∠AKB＝∠OKE，∴△AKB∽△OKE，∴∠AEO＝∠ABK＝45°．（3）如图2中，设AB交DE于K，连接OK，OE交AB于H．∵DA＝DO，DE∥OB，∴AK＝BK，∠KEH＝∠BOH，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴OK⊥AB，∠KOA＝∠KOB＝45°，∠OBA＝∠OAB＝45°，∵∠EOF＝45°＝∠EOB+∠FOB，∠ABO＝45°＝∠FOB+∠BFO，∴∠BFO＝∠BOH＝∠KEH，∵∠EHK＝∠FHO，∴△EHK∽△FHO，∴＝，∴＝，∵∠EHF＝∠KHO，∴△EHF∽△KHO，∴∠FEH＝∠HKO＝90°，∵∠EOF＝45°，∴△EFO是等腰直角三角形，∴EF＝EO，EF⊥OE．。

2020-2021北京第八十一中学小学五年级数学上期中试卷及答案一、选择题1．下列各数中不是循环小数的是（）A. 0.1818…B. 0.3333C. 1.25151…D.2．下列算式中，计算结果与0.028÷0.14相等的是（）。

A. 2.8÷0.14B. 0.28÷1.4C. 0.028÷1.4D. 28÷14 3．除法算式47.88÷24=1.995的商按“四舍五入”法精确到百分位应写作（）。

A. 2.0B. 2.00C. 1.994．9.5÷b（b≠0），当b是（）时，商一定大于9.5。

A. 大于1B. 小于1C. 等于D. 无法确定5．在平面图上，长方形四个顶点分别是A、B、C、D，如果A点的位置是（1，1），B点的位置是（4，1），C点的位置是（4，3），那么D点的位置是（）A. （1，3）B. （1，4）C. （3，4）6．如果A点用数对表示为（2，5），B点用数对表示数（5，1），C点用数对表示为（2，1），那么三角形ABC一定是（）三角形。

A. 锐角B. 钝角C. 直角7．小红的位置用数对表示是（4，6），小冬的位置用数对表示是（6，6），而小丽的位置刚好在小红和小冬中间，小丽的位置用数对表示是（）A. （5，6）B. （4，5）C. （ 3，6）8．王鹏坐在教室的第4列第4排，用数对（4，4）表示，下面数对（）所表示的位置离王鹏最近。

A. （3，2）B. （4，5）C. （5，6）9．A×0.94=B（A、B都不为0），A和B相比，A（）B。

A. 大于B. 小于C. 等于10．1.24×0.24的积保留两位小数是（）A. 0.29B. 0.30C. 0.3D. 0.03 11．李老师骑车的速度是14千米/时，他从家骑到学校要用0.26小时。

如果他改为步行，每小时走5km，用0.8小时能到学校吗?（）A. 能B. 不能C. 无法确定12．超市里最便宜的玩具车是每辆26.50元，最贵的是每辆68.90元，贝贝要买4辆送人，一共需要花（）元。

2022北京一零一中石油分校初二（上）期中数学一、选择题1.下列长度的三条线段能组成三角形的是()A.1，2，3B.2，2，4C.3，4，5D.3，4，82.不一定在三角形内部的线段是（）A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.以上皆不对3.张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是（）A.带Ⅰ去B.带Ⅱ去C.带Ⅲ去D.三块全带去4.已知图中的两个三角形全等，则1∠等于（）A.72︒B.60︒C.58︒D.50︒5.如图，如果△ABC≌△FED，那么下列结论错误的是（）A.EC=BDB.EF∥ABC.DF=BDD.AC∥FD6.在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B等于（）A.50°B.100°C.75°D.125°7.下列条件，可以确定△ABC是直角三角形的是（）A.∠A+∠B+∠C＝180°B.∠A+∠B＝∠CC.∠A ＝∠B ＝∠CD.∠A ＝∠B ＝2∠C8.如图所示，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，作PR AB ⊥于点R ，作PS AC ⊥于点S ，若AQ PQ =，PR PS =，下面三个结论：AS AR =①；QP AR ②；③BRP CSP △≌△．其中正确的是（）A.①③B.②③C.①②D.①②③9.如图，在五边形ABCDE 中，A B E α∠+∠+∠=，DP 、CP 分别平分EDC ∠、BCD ∠，则P ∠的度数是（）A.1902α- B.1902α︒+C.12α D.15402α︒-10.如图，正方形ABCD 的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A 处，该三角板的两条直角边与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ，四边形AECF 的面积是（）．A.16B.12C.8D.4二、填空题11.已知△ABC 的一个外角为50°，则△ABC 一定是__________三角形．12.1.如图，在ABC 中，BD 是角平分线，BE 是中线，若24AC =cm ，则AE =_______cm ，若72ABC ∠=︒，则ABD ∠=_____︒．13.已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是________________．14.一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．15.如图，直线AB CD ∥，155∠=︒，232∠=︒，则3∠=____________．16.如图所示：要测量河岸相对的两点A 、B 之间的距离，先从B 处出发与AB 成90︒角方向，向前走50米到C 处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D 处，在D 处转90︒沿DE 方向再走17米，到达E 处，使A 、C 与E 在同一直线上，那么测得A 、B 的距离为_____米．17.在锐角ABC 中，AB AC =，AB 垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为50︒，则B ∠=________．18.在ABC 中，AD 是中线，已知7AB =，4AC =，则中线AD 的取值范围是___________．三、解答题：19.已知：如图，12,.C D AC AD∠=∠∠=∠=求证：20.如图，校园有两条路OA OB 、，在交叉口附近有两块宣传牌C 、D ，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P 离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P ．（请保留作图痕迹）21.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =．求证：（1）CF EB =；（2）2AB AF BE =+．22.如图，ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作DE BC ∥，交AB 于点E ，交AC 于点D ．（1）试确定BE 、ED 、CD 之间的数量关系；（2）若AB AC a +=，求AED △的周长．23.如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD 称为“基本图形”，且各点的坐标分别为()4,4A ，()1,3B ，()3,3C ，()3,1D ．（1）画出四边形1111D C B A ，使它与“基本图形”关于x 轴成轴对称，并求出1A ，1B 的坐标．1A （，），1B（，）；（2）画出四边形2222A B C D ，使它与“基本图形”关于y 轴成轴对称；并求出2C ，2D 的坐标2C （，），2D （，）；（3）画出四边形3333A B C D ，使之与前面三个图形组成的图形是轴对称图形．24.如图，AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F ，交AD 于E ，连接AF ，试判断B ∠、CAF ∠的大小关系，并说明理由．25.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．（1）如图①，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E =90°，根据，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．（2）如图②，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角，求证：△ABC ≌△DEF ．第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．（3）在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF ？请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，若，则△ABC ≌△DEF ．26.在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，AC BC =，顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上．（1）如图，已知点()0,2A -，()1,0C ，点B 在第四象限时，则点B 的坐标为；（2）如图，点C、A分别在x轴、y轴的负半轴上，BC边交y轴于点D，AB边交x轴于点E，若AD平分∠BAC，点B坐标为(),m n．探究线段AD、OC、OD之间的数量关系．请回答下列问题：①点B到x轴的距离为，到y轴的距离为；②写出点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为；③直接写出线段AD、OC、OD之间的数量关系：．2022北京一零一中石油分校初二（上）期中数学一、选择题1.下列长度的三条线段能组成三角形的是()A.1，2，3B.2，2，4C.3，4，5D.3，4，8【答案】C【详解】A、1+2=3，不能构成三角形，故A错误；B、2+2=4，不能构成三角形，故B错误；C、3+4＞5，能构成三角形，故C正确；D、3+4＜8，不能构成三角形，故D错误．故选C．2.不一定在三角形内部的线段是（）A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.以上皆不对【答案】C【详解】试卷解析：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.故选C.3.张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是（）A.带Ⅰ去B.带Ⅱ去C.带Ⅲ去D.三块全带去【答案】B【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带Ⅱ去．【详解】解：由图形可知，Ⅱ有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带Ⅱ去．故选B．【点睛】此题考查了全等三角形的应用．4.已知图中的两个三角形全等，则1 等于（）A.72︒B.60︒C.58︒D.50︒【答案】C∠的度数，【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，先根据三角形内角和为180度求出2∠的度数．再根据全等三角形对应角相等即可求出1【详解】解：如图所示，∠=︒-︒-︒=︒，由三角形内角和定理得2180507258∠=∠=︒，由全等三角形的性质可得1258故选：C．5.如图，如果△ABC≌△FED，那么下列结论错误的是（）A.EC=BDB.EF∥ABC.DF=BDD.AC∥FD【答案】C【详解】∵△ABC≌△FED，∴DE=CB，DF=AC，∠E=∠B，∠ACB=∠FDE，∴DE-CD=CB-CD，EF∥AB，AC∥FD，∴EC=BD，∴选项A、B、D都正确，而DF和BD不能确定是否相等，故选C．6.在△ABC 中，∠A=55°，∠B 比∠C 大25°，则∠B 等于（）A.50°B.100°C.75°D.125°【答案】C【详解】∵∠B 比∠C 大25°，∴设∠B=x ，则∠C=x-25°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=55°，∴55°+x+x-25°=180°，解得x=75°，故选C.7.下列条件，可以确定△ABC 是直角三角形的是（）A.∠A +∠B +∠C ＝180°B.∠A +∠B ＝∠CC.∠A ＝∠B ＝∠CD.∠A ＝∠B ＝2∠C【答案】B【分析】根据直角三角形的定义“有一个角为90︒的三角形，叫做直角三角形”逐项分析即可.【详解】A.180A B C ∠+∠+∠=︒，三个角的度数不确定，此项不符合题意B.A B C ∠∠=∠+，根据三角形内角和定理可得90C ∠=︒，此项符合题意C.A B C ∠=∠=∠，则ABC ∆是等边三角形，此项不符合题意D.2A B C ∠=∠=∠，根据三角形内角和定理可得72,36A B C ∠=∠=︒∠=︒则ABC ∆是等腰三角形，此项不符合题意故选：B.【点睛】本题考查了直角三角形的定义，熟记定义是解题关键.8.如图所示，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，作PR AB ⊥于点R ，作PS AC ⊥于点S ，若AQ PQ =，PR PS =，下面三个结论：AS AR =①；QP AR ②；③BRP CSP △≌△．其中正确的是（）A.①③B.②③C.①②D.①②③【答案】C【分析】本题主要考查角平分线的判定，全等三角形的判定，连接AP ,直接证明()APS APR HL ≅ ，即可求证①，再利用等腰三角形的性质导角，可以判定QP AR ∥．【详解】证明：连接AP ，∵PR AB ⊥，PS AC ⊥，∴APR △和APS △均为直角三角形，∵AP AP =,PR PS =∴()APS APR HL ≅ ，∴AS AR =∵AQ PQ =，∴12∠=∠，∵APS APR ≅ ，∴13∠=∠∴32∠=∠，∴QP AR ∥，对于③，没有说三角形ABC 是等腰三角形，条件不足，即现有条件无法证明BRP CSP △≌△，故③不正确，只有①②正确，故选：C ．9.如图，在五边形ABCDE 中，A B E α∠+∠+∠=，DP 、CP 分别平分EDC ∠、BCD ∠，则P ∠的度数是（）A.1902α- B.1902α︒+ C.12α D.15402α︒-【答案】A【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=α，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【详解】∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=α，∴∠BCD+∠CDE=540°-α，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=12（∠BCD+∠CDE）=270°-12α，∴∠P=180°-（270°-12α）=12α-90°．故选：A．【点睛】此题考查多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．10.如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（）．A.16B.12C.8D.4【答案】A【分析】由四边形ABCD为正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，进一步得到∠DAF=∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S△AEB=S△AFD，那么它们都加上四边形ABCF的面积，即可四边形AECF的面积=正方形的面积，从而求出其面积．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，∴∠ABE=∠D=90°，∵∠EAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，在△AEB和△AFD中BAE DAF AB AD ABE D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEB ≌△AFD (ASA )，∴S △AEB =S △AFD ，∴它们都加上四边形ABCF 的面积，可得到四边形AECF 的面积=正方形的面积=16.故答案为A考点：1、正方形的性质.2、三角形全等的判定.二、填空题11.已知△ABC 的一个外角为50°，则△ABC 一定是__________三角形．【答案】钝角【详解】解：因为△ABC 的一个外角为50°，所以和它相邻的内角=130°，所以△ABC 一定是钝角三角形．故答案为：钝角．12.1.如图，在ABC 中，BD 是角平分线，BE 是中线，若24AC =cm ，则AE =_______cm ，若72ABC ∠=︒，则ABD ∠=_____︒．【答案】①.12②.36【详解】∵BD 是角平分线，24AC =cm ，∴1122AE AC ==（cm ），BE 是中线，72ABC ∠=︒，∴1362ABD ABC ∠=∠=︒．故答案为：12，36．13.已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是________________．【答案】11或13##13或11【分析】此题考查了等腰三角形的定义与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．由等腰三角形两边长为3、5，分别从等腰三角形的腰长为3或5去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形．【详解】解：①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5，3365+=> ，∴能组成三角形，∴它的周长是：33511++=；②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3，5385+=> ，∴能组成三角形，∴它的周长是：55313++=，综上所述，它的周长是：11或13．故答案为：11或1314.一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．【答案】1800°【详解】解：根据题意得：这个正多边形的边数为36030︒︒=12，所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．故答案为1800°．15.如图，直线AB CD ∥，155∠=︒，232∠=︒，则3∠=____________．【答案】87︒【分析】利用平行线的性质可得155C ∠=∠=︒，利用三角形外角的定义和性质可得32C ∠=∠+∠，代入数值即可得解．【详解】解：∵AB CD ∥，∴155C ∠=∠=︒，∴32553287C =+=︒+∠︒=∠∠︒，故答案为：87︒．【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的定义和性质，难度较小，解题的关键是熟练掌握“两直线平行，内错角相等”“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．16.如图所示：要测量河岸相对的两点A 、B 之间的距离，先从B 处出发与AB 成90︒角方向，向前走50米到C 处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D 处，在D 处转90︒沿DE 方向再走17米，到达E 处，使A 、C 与E 在同一直线上，那么测得A 、B 的距离为_____米．【答案】17【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．先分别证明ABC EDC ∠∠=，BC CD =，ACB ECD ∠∠=，进而得ABC EDC ≌，从而得AB DE =，即可求解．【详解】∵先从B 处出发与AB 成90︒角方向，∴90ABC ∠=︒，∵50m BC =，50m CD =，90EDC ∠=︒，∴ABC EDC ∠∠=，BC CD =，又∵ACB ECD ∠∠=，∴ABC EDC ≌，∴AB DE =，∵沿DE 方向再走17米，到达E 处，即17DE =∴17AB =，故答案为：17．17.在锐角ABC 中，AB AC =，AB 垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为50︒，则B ∠=________．【答案】70︒##70度【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，首先根据题意作图，然后由AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50︒，即可得50ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，即可求得A ∠的度数，又由AB AC =，根据等边对等角与三角形内角和的定理，即可求得B ∠．【详解】解：∵AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为50︒，∴50ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，∴90905040A ADE ∠=︒-∠=︒-︒=︒．∵AB AC =，∴18040702B C ︒-︒∠=∠==︒，故答案为：70︒．18.在ABC 中，AD 是中线，已知7AB =，4AC =，则中线AD 的取值范围是___________．【答案】31122AD <<【分析】通过倍长中线，构造ABD ECD ∆≅∆，从而得到7AB CE ==，利用三角形三边关系可得CE AC AE CE AC -<<+，再通过12AD AE =即可求解．【详解】解：如图，延长AD 至E ，令DE AD =，连接CE，∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，在ABD △和ECD 中，AD EDADB EDC BD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ΔΔSAS ABD ECD ≅，∴7AB CE ==，在AEC △中，根据三角形的三边关系可得CE AC AE CE AC -<<+，即7474AE -<<+，∴311AE <<，∵DE AD =，∴12AD AE =，∴31122AD <<．故答案为：31122AD <<．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用等，通过倍长中线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题：19.已知：如图，12,.C D AC AD∠=∠∠=∠=求证：【答案】证明见解析【分析】结合已知条件再加上公共边AD 根据“AAS”即可证得△CAB ≌△DAB ，根据全等三角形的对应边相等即得结果．【详解】证明:,12,AB AB C D=∠=∠∠=∠ CAB DAB∴∆≅∆AC AD∴=20.如图，校园有两条路OA OB 、，在交叉口附近有两块宣传牌C 、D ，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P 离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P ．（请保留作图痕迹）【答案】如图，点P 为所作．【分析】本题考查了作图，分别作线段的垂直平分线和角平分线，根据角平分线上的点到线段两端的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到它们的交点，熟知角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．【详解】连接CD ，作CD 的垂直平分线，作AOB ∠的角平分线，两线交于P ，此时点P 为所求灯柱位置，如图所示：21.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =．求证：（1）CF EB =；（2）2AB AF BE =+．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得DE DC =．再根据()Rt Rt HL CDF EBD ≌，得CF EB =；（2）利用角平分线性质证明()Rt Rt HL ADC ADE ≌△△，得到AC AE =，再将线段AC 进行转化．【小问1详解】证明：∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，90C ∠=︒，∴DE DC =，在Rt CDF △和Rt EBD △中，BD DF DC DE =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL CDF EBD ≌，∴CF EB =；【小问2详解】证明：在Rt ADC 与Rt ADE △中，CD DE AD AD=⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADC ADE ≌△△，∴AC AE =，∴2AB AE BE AC BE AF CF BE AF BE =+=+=++=+．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．22.如图，ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作DE BC ∥，交AB 于点E ，交AC 于点D ．（1）试确定BE 、ED 、CD 之间的数量关系；（2）若AB AC a +=，求AED △的周长．【答案】（1）ED BE CD=+（2）AED △的周长为a【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质，通过等量代换可得EFB EBF ∠=∠，DFC DCF ∠=∠，进而得到BE EF =，CD DF =，即可推出ED BE CD =+．（2）利用（1）中结论，通过等量代换可得AE AD ED a ++=．【小问1详解】解：由题意知，BF 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，∴EBF CBF ∠=∠，DCF BCF ∠=∠，∵DE BC ∥，∴EFB CBF ∠=∠，DFC BCF ∠=∠，∴EFB EBF ∠=∠，DFC DCF ∠=∠，∴BE EF =，CD DF =，∴BE CD EF DF ED +=+=，即ED BE CD =+．【小问2详解】解：∵AB AC a +=，∴AE BE AD CD a +++=，由（1）知ED BE CD =+，∴AE AD ED a ++=，即AED △的周长为a ．【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，以及等腰三角形“等角对等边”等知识点，掌握上述知识点，熟练进行等量代换是解题的关键．23.如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD 称为“基本图形”，且各点的坐标分别为()4,4A ，()1,3B ，()3,3C ，()3,1D ．（1）画出四边形1111D C B A ，使它与“基本图形”关于x 轴成轴对称，并求出1A ，1B 的坐标．1A （，），1B （，）；（2）画出四边形2222A BCD ，使它与“基本图形”关于y 轴成轴对称；并求出2C ，2D 的坐标2C （，），2D （，）；（3）画出四边形3333A B C D ，使之与前面三个图形组成的图形是轴对称图形．【答案】（1）4，4-，1，3-；图形见解析（2）3-，3，3-，1；图形见解析（3）见解析【分析】（1）根据关于x 轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数，即可得到对应点的坐标，描点连线即可；（2）根据关于y 轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数，即可得到对应点的坐标，描点连线即可；（3）根据轴对称图形的特点可知，四边形1111D C B A 关于y 轴的轴对称图形即为四边形3333A B C D ．【小问1详解】解：根据四边形1111D C B A 与四边形ABCD 关于x 轴对称，可知对应点的横坐标相等、纵坐标互为相反数，因此()14,4A -，()11,3B -，()13,3C -，()13,1D -，描点连线可得四边形1111D C B A ；【小问2详解】解：根据四边形2222A B C D 与四边形ABCD 关于y 轴对称，可知对应点的纵坐标相等、横坐标互为相反数，因此()24,4A -，()21,3B -，()23,3C -，()23,1D -，描点连线可得四边形2222A B C D ；【小问3详解】解：如图所示，作四边形1111D C B A 关于y 轴的轴对称图形，该图形即为四边形3333A B C D ．【点睛】本题考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x 轴，y 轴成轴对称图形的对应点坐标的特点．24.如图，AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F ，交AD 于E ，连接AF ，试判断B ∠、CAF ∠的大小关系，并说明理由．【答案】CAF B ∠=∠．理由见解析【分析】根据垂直平分线的性质得FA FD =，再根据等边对等角得∠∠FAD FDA =，利用外角的性质得FDA B BAD ∠=∠+∠，再利用角平分线的定义和角的和差关系，即可推出CAF B ∠=∠．【详解】解：CAF B ∠=∠．理由如下：∵EF 垂直平分AD ，∴FA FD =，∴∠∠FAD FDA =，∵FDA B BAD ∠=∠+∠，FAD CAF DAC ∠=∠+∠，又∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAC ∠=∠，∴CAF B ∠=∠．【点睛】本题考查角平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形外角的定义和性质等，难度不大，解题的关键是通过等量代换得出B ∠与CAF ∠的联系．25.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．（1）如图①，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E =90°，根据，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．（2）如图②，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角，求证：△ABC ≌△DEF ．第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．（3）在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF ？请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，若，则△ABC ≌△DEF ．【答案】（1）HL ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠B ≥∠A ．【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL ”证明；（2）过点C 作CG AB ⊥交AB 的延长线于G ，过点F 作FH DE ⊥交DE 的延长线于H ，根据等角的补角相等求出CBG FEH ∠=∠，再利用“角角边”证明CBG ∆和FEH ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得CG FH =，再利用“HL ”证明Rt ACG ∆和Rt DFH ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得A D ∠=∠，然后利用“角角边”证明ABC ∆和DEF ∆全等；（3）以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧，与AB 相交于点D ，E 与B 重合，F 与C 重合，得到DEF ∆与ABC ∆不全等；（4）根据三种情况结论，B ∠不小于A ∠即可．【详解】解：（1）在ABC ∆和DEF ∆，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，根据斜边直角边对应相等的两个三角形全等可以知道Rt ABC Rt DEF ∆≅∆，故答案为：斜边直角边对应相等的两个三角形全等或HL ．（2）如图，过点C 作CG AB ⊥交AB 的延长线于G ，过点F 作FH DE ⊥交DE 的延长线于H ，ABC DEF ∠=∠ ，且ABC ∠、DEF ∠都是钝角，180180ABC DEF ∴︒-∠=︒-∠，即CBG FEH ∠=∠，在CBG ∆和FEH ∆中，90CBG FEH G H BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()CBG FEH AAS ∴∆≅∆，CG FH ∴=，在Rt ACG 和Rt DFH 中，AC DF CG FH =⎧⎨=⎩，()Rt ACG Rt DFH HL ∴ ≌，A D ∴∠=∠，在ABC ∆和DEF ∆中，A D ABC DEF AC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC DEF AAS ∴∆≅∆；（3）如图，DEF ∆和ABC ∆不全等；以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧，与AB 相交于点D ，E 与B 重合，F 与C 重合，得到DEF ∆与ABC ∆不全等．（4）若B A ∠≥∠，则ABC DEF ∆≅∆，故答案为：B A ∠≥∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．26.在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，AC BC =，顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上．（1）如图，已知点()0,2A -，()1,0C ，点B 在第四象限时，则点B 的坐标为；（2）如图，点C 、A 分别在x 轴、y 轴的负半轴上，BC 边交y 轴于点D ，AB 边交x 轴于点E ，若AD 平分∠BAC ，点B 坐标为(),m n ．探究线段AD 、OC 、OD 之间的数量关系．请回答下列问题：①点B 到x 轴的距离为，到y 轴的距离为；②写出点C 的坐标为，点A 的坐标为，点D 的坐标为；③直接写出线段AD 、OC 、OD 之间的数量关系：．【答案】（1）（3，-1）（2）①n ，m ；②（-n ，0），（0，-m -n ），（0，m n -）；③22AD OC OD=+【分析】（1）过B 点作x 轴垂线，垂足为D ，由题意可证得()OCA DBC AAS ≅ ，故CD =OA =2,BD =OC =1，OD =OC +CD =3，即可知B 点坐标为（3，-1）．（2）过B 点作x 轴垂线，垂足为F ，连接DE①因为B 点在第一象限，故B 点横坐标为B 点到y 轴的距离，B 点纵坐标为B 点到x 轴的距离．②由题意可证得()OCA FBC AAS ≅ ，故可求ACE △为等腰三角形，则可证得()ODE FEB AAS ≅ ，便可知OC =n ，OA =OF +OC =m +n ，DO =OF -OE =m -n 即点C 的坐标为（-n ，0），点A 的坐标为（0，-m -n ），点D 的坐标为（0，m n -）．③由②问知AD =OD +AO =m -n +m +n =2m ，OC =n ，OD =m -n ，故有22AD OC OD =+．【小问1详解】过B 点作x 轴垂线，垂足为D由题意知AO =2，OC =1，AC =BC ，90COA BDC ∠=∠=︒∵∠OCA +∠OAC =90°，∠OCA +∠DCB =90°∴∠OAC =∠BCD ，在OCA 和DBC △中有90OAC BCD COA BDC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()OCA DBC AAS ≅ ∴CD =OA =2,BD =OC =1，OD =OC +CD =3故B 点坐标为（3，-1）【小问2详解】过B 点作x 轴垂线，垂足为F ，连接DE①∵点B 坐标为(),m n ，且点B 在第一象限∴m ＞0，n ＞0故点B 到x 轴的距离为n ，到y 轴的距离为m ．②由题意知BC =AC ，90COA BFC ∠=∠=︒∵∠BCF +∠OAC =90°，∠OCA +∠OAC =90°∴OAC BCF∠=∠在OCA 和FBC 中有90OAC BCF COA BFC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()OCA FBC AAS ≅ ∴BF =CO ，OA =CF由①知BF =n ，OF =m故OC =n ，OA =OF +OC =m +n∵AD 平分∠BAC∴∠OAC =∠OAE∴∠OCA +∠OAC =∠OEA +∠OAE∴AC =AE∴ACE △为等腰三角形，AD 为角平分线，中线，高线三线合一，故DCE △也为等腰三角形．∴CO =OE =BF ，∠DCO +∠OCA =∠DEO +∠OEA =90°∵∠ODE +∠OED =90°，∠OED +∠BEF =90°∴∠ODE =∠BEF在ODE 和FEB 中有90ODE BEF DOE BFE OE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ODE FEB AAS ≅ ∴EF =DO∴DO =OF -OE =m -n则点C 的坐标为（-n ，0），点A 的坐标为（0，-m -n ），点D 的坐标为（0，m n -）．③由②可知AD =OD +AO =m -n +m +n =2m ，OC =n ，OD =m -n故有22AD OC OD=+【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，坐标轴中点坐标的性质，点到坐标轴的距离点P 的坐标为(,)x y ，那么点P 到x 轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即y ．点P 到y 轴的距离为这点横坐标的绝对值，即x ．AAS 表示角角边,即已知两个三角形的两个角都相同,且两角夹边以外的任意一条边长度相等,即可证明两个三角形全等．。