[推荐学习]2017届高考数学二轮复习专题三数列第1讲等差数列等比数列的基本问题练习理

第1讲 等差数列及其前n 项和[考情分析] 等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).考点一 等差数列的性质及应用 多维探究角度1 等差数列项的性质【例1】在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.【变式1】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )． A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2解析 (1)S 8＝4a 3⇒8(a 1＋a 8)2＝4a 3⇒a 3＋a 6＝a 3，∴a 6＝0，∴d ＝－2，∴a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6.【变式2】已知数列{}{},n n a b 为等差数列，若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=_______思路：条件与所求都是“n n a b +”的形式，由{}{},n n a b 为等差数列可得{}n n a b +也为等差数列，所以()33a b +为()()1155,a b a b ++的等差中项，从而可求出55a b +的值解：{}{},n n a b 为等差数列{}n n a b ∴+也为等差数列 ()()()3311552a b a b a b ∴+=+++()()553311235a b a b a b ∴+=+-+= 答案：35【变式3】等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( )A.3B.4C.log 318D.log 324∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列，∵log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )， ∵log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2，解之得x ＝4，x ＝0(舍去). ∵等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318，∵公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∵数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.【例2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝45.【变式1】在等差数列{a n }中．若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和S n ＝286，则n ＝________.解析 (1)依题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67.由等差数列的性质知a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴4(a 1＋a n )＝88，∴a 1＋a n ＝22. 又S n ＝n (a 1＋a n )2，即286＝n ×222，∴n ＝26.【变式2】在等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则前3m 项的和为________． 记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.【例3】 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.解 由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3，∴S 2 019＝3×2 019＝6 057. 【变式1】在等差数列{}n a 中，12008a =-，其前n 项和为n S ，若121021210S S -=，则2008S 的值等于（ ） A. 2007- B. 2008- C. 2007 D. 2008 思路：由121021210S S -=观察到n S n 的特点，所以考虑数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的性质，由等差数列前n 项和特征2n S An Bn =+可得nS An B n=+，从而可判定n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且可得公差1d =，所以()1120091n S S n d n n =+-=-，所以()2009n S n n =-，即20082008S =-，答案：B【变式2】设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解 由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9a 1＋a 929b 1＋b 92＝a 5b 5＝2，故选A.【变式3】等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.考点二 等差数列的判定与证明典例迁移【例1】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n . 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1）， 所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）. 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列.【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 【变式1】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2.故a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝－23＋(－1)n2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋（－1）n·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.【变式2】 已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n .设b n ＝a n －2n3n .证明：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明 ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n 3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n3n ＋1＝1， ∴{b n }为等差数列，又b 1＝a 1－23＝0.∴b n ＝n －1，∴a n ＝(n －1)·3n ＋2n . 考点三 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16D ．S 17解∵a 1＝29，S 10＝S 20，∵10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∵S n ＝29n ＋nn －12×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∵当n ＝15时，S n 取得最大值． 规律方法 求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值.①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【变式1】 等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5【变式2】已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S nn ＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2122＋⎝⎛⎭⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.【变式3】在等差数列{}n a 中，10a >，若其前n 项和为n S ，且148S S =，那么当n S 取最大值时，n 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【变式4】在等差数列{}n a 中，10a >，054>+a a ，054<a a ，使前n 项和0n >S 成立的最大正整数n 的值为________3、从n S 的图像出发，由148S S =可得n S 图像中11n =是对称轴，再由10a >与148S S =可判断数列{}n a 的公差0d <，所以n S 为开口向下的抛物线，所以在11n =处n S 取得最大值，答案：D4、思路：0n >S 成立的最大正整数n ，即001<>+n n s s 且此时成立。

依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d. 依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，
解得d＝2或d＝－13(舍去)，
故{bn}的第3项为5，公比为2.
由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.
所以{bn}是以
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为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝
π 6
处取得最大
值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．
[解] (1)由q＝3，S3＝133， 得a111－－333＝133，解得a1＝13. 所以an＝13×3n－1＝3n－2. (2)由(1)可知an＝3n－2，所以a3＝3. 因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3； 因为当x＝π6时f(x)取得最大值， 所以sin(2×π6＋φ)＝1. 又0＜φ＜π，故φ＝π6. 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin(2x＋π6)．
[点评] 本题考查等比数列与三角函数的基本知识和 基本量的计算，属在知识交汇处命题的典型．
已知等差数列{an}中，a1，a99是函数f(x)＝x2－10x＋16的两 个零点，则12a50＋a20＋a80＝__________.
解析：由已知得a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个实根，则a1＋ a99＝10， 则12a50＋a20＋a80＝54(a1＋a99)＝225. 答案：225
54·2n－1＝5·2n－3.
(2)证明：数列{bn}的前n项和Sn＝5411－－22n＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2， 所以S1＋54＝52，SSn＋n＋1＋5454＝55··22nn－－12＝2. 因此{Sn＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．

最新整理高三数学2017高考数学知识点：数列2017高考数学知识点：数列高考数学知识点：数列知识点数列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

知识整合1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。

3.培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。

第1讲等差数列与等比数列一、选择题1．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝()A ．100B ．99C ．98D ．97解析：由S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3， 又a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，所以a 100＝a 10＋90d ＝98.答案：C2．5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为()A ．－2120B ．－2C ．－2110D ．－215 解析：由题意，设这5个数分别为a ，－2a ，4a ，－8a ，16a (a ≠0)．则S 奇S 偶＝a ＋4a ＋16a －2a －8a ＝－2110. 答案：C3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－4，S 6＝6，则S 5＝()A ．－1B ．0C ．－2D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 4＝－4，S 6＝6，所以4a 1＋4×32d ＝－4， 且6a 1＋6×52d ＝6， 解得a 1＝－4，d ＝2.则S 5＝5×(－4)＋5×42×2＝0. 答案：B4．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)根据此诗，可以得出塔的顶层与底层共有()A ．3盏灯B ．192盏灯C ．195盏灯D ．200盏灯解析：由题意设顶层的灯盏数为a 1，从顶层到底层的灯的盏数构成以a 1为首项，以2为公比的等比数列．则有S 7＝a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3， 所以a 7＝a 1×26＝3×26＝192，所以a 1＋a 7＝195.答案：C5．等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为() (导学号55410112)A ．3B ．3或4C ．4D ．5解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5， 由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，所以S n n ＝na 1＋n （n －1）2d n ＝－3＋n －1＝n －4.由n －4≥0，得n ≥4.且S 44＝0. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 的值为3或4. 答案：B二、填空题6．等差数列{a n }中的a 1，a 4033是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2017＝________．解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，依题意，a 1，a 4033是方程f ′(x )＝x 2－8x ＋6＝0的两根． 所以a 1＋a 4033＝8，则a 2017＝4.所以log 2a 2017＝log 24＝2.答案：27．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________． 解：设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32. 答案：328．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解：因为a n ＋1＝2S n ＋1，所以S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，所以S n ＋1＝3S n ＋1，所以S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n ＋12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列， 所以S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，所以S 1＝1，所以a 1＝1， 所以S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432， 所以S 5＝121.答案：1121三、解答题9．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解：(1)由a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，令n ＝1，得a 2＝12， 令n ＝2，得a 22－(2a 3－1)a 2－2a 3＝0，则a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)， 因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1. 10．对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n ，对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．(导学号55410113)(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列． 证明：(1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，则 a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n ≥4时，a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1，2，3， 所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ， 因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此， 当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，① 当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .② 由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③ a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4， 所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′. 在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4， 所以a 2＝a 3－d ′，在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3， 所以a 1＝a 3－2d ′，所以数列{a n }是等差数列．11．已知数列{a n }是等比数列，并用a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ，记S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：S n ＜163. (1)解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1＝a 1－3，a 3＝（a 2＋1）－3， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝－4，a 1q 2－a 1q ＝－2，解得a 1＝8，q ＝12. 所以a n ＝a 1q n －1＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n .(2)证明：因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2a 2n ＝14，所以数列{b n }是以b 1＝a 2＝4为首项，14为公比的等比数列． 所以S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝163·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＜163.。