第一讲 集合的概念与运算技巧【例题解析】题型1． 正确理解和运用集合概念理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.例1.已知集合M={y|y=x 2＋1,x ∈R},N={y|y=x ＋1,x ∈R}，则M∩N=（ ）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y≥1} 思路启迪：集合M 、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对(x,y)，因此M 、N 分别表示函数y=x 2＋1(x ∈R)，y=x ＋1(x ∈R)的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集． 解：M={y|y=x 2＋1,x ∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x ＋1,x ∈R}={y|y ∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y ∈R}={y|y≥1},∴应选D ．点评：①本题求M∩N ，经常发生解方程组21,1.y x y x ⎧=+⎨=+⎩0,1,x y =⎧⎨=⎩得1,2.x y =⎧⎨=⎩或 从而选B 的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是点，因此M 、N 是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x 2＋1}、{y|y=x 2＋1,x ∈R}、{(x,y)|y=x 2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．例2.若P={y|y=x 2,x ∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x ∈R}，则P∩Q 等于（ ）A ．PB ．QC ．D ．不知道思路启迪：类似上题知P 集合是y=x 2（x ∈R ）的值域集合，同样Q 集合是y= x 2＋1（x ∈R ）的值域集合，这样P∩Q 意义就明确了．解：事实上，P 、Q 中的代表元素都是y ，它们分别表示函数y=x 2,y= x 2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知Q P ，即P∩Q=Q ．∴应选B ．例3. 若P={y|y=x 2,x ∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2,x ∈R}，则必有（ ）A ．P∩Q=∅B ．P QC ．P=QD ．P Q思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q ，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x 2,x ∈R 相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P 集合是函数值域集合，Q 集合是y=x 2,x ∈R 上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．解：正确解法应为： P 表示函数y=x 2的值域，Q 表示抛物线y=x 2上的点组成的点集，因此P∩Q=∅．∴应选A ．例4（2007年安徽卷文）若}032|{}1|{22=--===x x x B x x A ，，则B A ⋂= （ ）A．{3} B．{1} C．∅D．{－1}思路启迪：{}==-===-=∴⋂=-，A x x xB x x x A B{|1,1}{|1,3},1.解：应选D．点评：解此类题应先确定已知集合．题型2．集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．(a2－3a－8), a3＋a2＋例5.若A={2，4, a3－2a2－a＋7},B={1, a＋1, a2－2a＋2,－123a＋7}，且A∩B={2，5}，则实数a的值是________．解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴a3－2a2－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1．A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．当a=1时，a2－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1．当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1．当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故a=2为所求．例6.已知集合A={a,a＋b, a＋2b}，B={a,a c, a c2}．若A=B，则c的值是______．思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=a c且a＋2b=a c2，消去b得：a＋a c2－2a c=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=a c2且a＋2b=a c，消去b得：2a c2－a c－a=0，．∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－12点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．例7.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－a x＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为______．思路启迪：由A ∪B=A B A ⇒⊆而推出B 有四种可能，进而求出a 的值．解： ∵ A ∪B=A ， ,B A ∴⊆∵ A={1，2}，∴ B=∅或B={1}或B={2}或B={1，2}．若B=∅，则令△<0得a ∈∅；若B={1}，则令△=0得a =2，此时1是方程的根；若B={2}，则令△=0得a =2，此时2不是方程的根，∴a ∈∅；若B={1，2}则令△>0得a ∈R 且a ≠2，把x=1代入方程得a ∈R ，把x=2代入方程得a =3． 综上a 的值为2或3．点评：本题不能直接写出B={1，a －1}，因为a －1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去． 例8.设集合A={a |a =3n ＋2,n ∈Z}，集合B={b|b=3k －1,k ∈Z}，则集合A 、B 的关系是________．解：任设a ∈A ，则a =3n ＋2=3(n ＋1)－1(n ∈Z)，∴ n ∈Z,∴n ＋1∈Z.∴ a ∈B,故A B ⊆． ①又任设 b ∈B ，则 b=3k －1=3(k －1)＋2(k ∈Z),∵ k ∈Z,∴k －1∈Z.∴ b ∈A ，故B A ⊆ ②由①、②知A=B ．点评：这里说明a ∈B 或b ∈A 的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理． 例9（2006年江苏卷）若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（ ）A . C A ⊆B .AC ⊆ C .C A ≠D . A =∅[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.解：由A B B C =知，,A B B A B C A B C ⊆⊆∴⊆⊆，故选A.（2007年福建卷文）已知全集{}12345U =，，，，，且{}234A =，，，{}12B =，，则B C A U ⋂等于（ C ） A ．{2} B ．{5} C ．{3，4} D ．{2，3，4，5}例10．（2006年辽宁卷）设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A . 1B .3C .4D . 8[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想. 解：{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个.故选C.例11．（2007年北京卷文）记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．思路启迪：先解不等式求得集合P 和Q ．解：（I ）由301x x -<+，得{}13P x x =-<<．（II ）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤．由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以0a >，即a 的取值范围是(2)+∞，．题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．例12. 已知A={x|x 2－3x ＋2=0},B={x|a x －2=0}且A ∪B=A ，则实数a 组成的集合C 是________．解：由x 2－3x ＋2=0得x=1或2．当x=1时，a =2，当x=2时，a =1．这个结果是不完整的，上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=∅时，仍满足A ∪B=A ，当a =0时，B=∅，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}． 例13．（2007年北京卷理）已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅，则实数a 的取值范围是 ． 思路启迪：先确定已知集合A 和B ． 解：{}{}|111,A x x a x a x a =-=-≤≤≤+{}{}25404,1.B x x x x x x =-+=≤≥≥14,1 1.2 3.a a x ∴+<->∴<<故实数a 的取值范围是(23)，． 例14. 已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x ∈R}，若A∩R *=∅，则实数m 的取值范围是_________．思路启迪：从方程观点看，集合A 是关于x 的实系数一元二次方程x 2＋(m ＋2)x ＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩R *=∅可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围．解：由A∩R *=∅又方程x 2＋(m ＋2)x ＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，()()2240,20,m m ⎧∆=+-≥⎪⎨-+<⎪⎩或△=(m ＋2)2－4<0．解得m≥0或－4<m<0，即m>－4． 点评：此题容易发生的错误是由A∩R *=∅只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=∅漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言． 例15.已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p －1}．若BA ，则实数p 的取值范围是________．解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5．欲使B A ，只须213 3.215p p p -≤+⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩∴ p 的取值范围是－3≤p≤3． 上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=∅时，符合题设．应有：①当B≠∅时，即p ＋1≤2p －1p≥2． 由B A 得：－2≤p ＋1且2p －1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.②当B=∅时，即p ＋1>2p －1p ＜2． 由①、②得：p≤3．点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=∅、A ∪B=∅，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．题型5．要注意利用数形结合解集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．例16.设全集U={x|0<x<10,x ∈N *}，若A∩B={3}，A∩C U B={1，5，7}，C U A∩C U B={9}，则集合A 、B 是________．思路启迪：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．解：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．例17.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．解：∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}．如图所示，∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0<x≤1}．点评：本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．例18.设A={x|－2<x<－1，或x>1}，B={x|x2＋a x＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1<x≤3}，求a、b的值．思路启迪：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答．解：如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1<x<3}，才能使A∪B={x|x>－2}，且A∩B={x|1<x≤3}．根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋a x＋b=0的两根，∴a=－(－1＋3)=－2，b=(－1)×3=－3．点评：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．【专题训练与高考预测】一.选择题:1．设M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是（）A 、{a }=MB 、M ≠⊆{a }C 、{a }≠⊇MD 、M ⊇{a }2．已知全集U =R ，A={x|x-a |<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=∅，则a 的取值范围是（ ）A 、 [0，2]B 、（-2，2）C 、（0，2]D 、（0，2）3．已知集合M={x|x=a 2-3a +2，a ∈R}，N={x|x=b 2-b ，b ∈R}，则M ，N 的关系是（ ）A 、 M ≠⊆NB 、M ≠⊇NC 、M=ND 、不确定4．设集合A={x|x ∈Z 且-10≤x≤-1}，B={x|x ∈Z ，且|x|≤5}，则A ∪B 中的元素个数是（ ）A 、11B 、10C 、16D 、155．集合M={1，2，3，4，5}的子集是（ ）A 、15B 、16C 、31D 、32 6 集合M ={x |x =42π+kx,k ∈Z },N ={x |x =42k ππ+,k ∈Z },则( ) A M =N B M N C M N D M ∩N =∅7. 已知集合A={x|x 2－4mx ＋2m ＋6=0,x ∈R}，若A∩R －≠∅，求实数m 的取值范围．8． 命题甲：方程x 2＋mx ＋1=0有两个相异负根；命题乙：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m 的取值范围． 9 已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,若A ∪B =A ，则( ) A －3≤m ≤4 B －3<m <4 C 2<m <4 D 2<m ≤410．集合M={}220,x x x a x R +-=∈，且M ∅⊂≠.则实数a 的取值范围是( )A. a ≤-1B. a ≤1C. a ≥-1D.a ≥111．满足｛a ，b ｝U M=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合M 的个数是（ ）A. 7B. 6C. 5D. 412．若命题P ：x ∈A B ，则⌝P 是（ ）A. x ∉A BB. x ∉A 或x ∉BC. x ∉A 且x ∉BD. x ∈A B13．已知集合M=｛2a ,a ｝.P=｛-a ,2a -1｝；若card(M P)=3，则M P= ( )A.｛-1｝B.｛1｝C.｛0｝D.｛3｝14．设集合P=｛3,4,5｝.Q=｛4,5,6,7｝.令P*Q=(){},,a b a p b Q ∈∈，则P*Q 中元素的个数是 () A. 3 B. 7 C. 10 D. 12二．填空题：15．已知M={Z 24m |m ∈-}，N={x|}N 23x ∈+，则M∩N=__________.16．非空集合p 满足下列两个条件：（1）p ≠⊆{1，2，3，4，5}，（2）若元素a ∈p ，则6-a ∈p ，则集合p 个数是__________.17．设A=｛1，2｝，B=｛x ｜x ⊆A ｝若用列举法表示，则集合B 是 .18．含有三个实数的集合可表示为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20072008a b+= ． 三．解答题：19．设集合A={(x ，y)|y=a x+1}，B={(x ，y)|y=|x|}，若A∩B 是单元素集合，求a 取值范围.20.设A={x|x 2+px+q=0}≠∅，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=∅，A∩N=A ，求p 、q 的值.21．已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M∩N ．22．已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-mx+2=0}，且A∩B=B ，求实数m 范围．23．已知全集U =R ，且{}{}22120,450A x x x B x x x =--≤=-->，求()()U U C A C B . 24．已知集合{}{}22230,0A x x x B x x ax b =-->=++≤, 且{},34A B R A B x x =<≤，{},34A B R A B x x ==<≤，求a ,b 的值.【参考答案】1． C 2. A 3. C 4. C 5. D6. C 解析对M 将k 分成两类 k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ), M ={x |x =nπ+4π,n ∈Z }∪{x |x =nπ+43π,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =nπ+2π,n ∈Z }∪{x |x =nπ+43π,n ∈Z }∪{x |x =nπ+π,n ∈Z }∪{x |x =nπ+45π,n ∈Z } 7．解：设全集U ={m|△=(－4m)2－4(2m ＋6)≥0}={m|m≤－1或m≥32}． 若方程x 2－4mx ＋2m ＋6=0的二根为x 1、x 2均非负，1212340,226m U x x m m x x m ∈⎧⎪+=≥⇒≥⎨⎪=+⎩则 因此，{m |m≥32}关于U 补集{m|m≤－1}即为所求．8．解：使命题甲成立的条件是：211240, 2.0m m x x m ⎧∆=->⇒>⎨+=-<⎩∴ 集合A={m|m>2}．使命题乙成立的条件是：△2=16(m －2)2－16<0，∴1＜m ＜3．∴ 集合B={m|1<m<3}． 若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：（1）m ∈A∩C R B ，（2）m ∈C R A∩B ．若为（1），则有：A∩C R B={m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3}；若为（2），则有：B∩C R A={m|1<m<3}∩{m|m≤2}={m|1<m≤2};综合（1）、（2）可知所求m 的取值范围是{m|1<m≤2，或m≥3}．9.D 解析 ∵A ∪B =A ，∴B ⊆A,又B ≠∅,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤--≥+12171221m m m m ，即2＜m ≤410.C 11.D 12.B 13.D 14.B二.填空题:15. ∅； 16. 7 ； 17. {,{1},{2},{1,2}}∅； 18.-1.三.解答题:19. a ≥1或a ≤-1，提示：画图.20．8,16,p q =-⎧⎨=⎩或20,10,p q =-⎧⎨=⎩或14,40.p q =-⎧⎨=⎩ 21．解：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征．M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。
