高中数学_幂函数教学设计学情分析教材分析课后反思

3.3 幂函数一、引入新课 (一) 回顾引入本部分结合旧知，给出以下函数,)4(,)3(,)2(,)1(2132x y x y x y x y ====201)7(,)6(,)5(--===x y x y x y【师生互动】师：1.这些函数是咱们以前学过和接触过的函数，同学们有没有想过这些函数的表达式有什么共同的特征？生：这些函数都是幂的形式，并且幂指数不同，但底都是x 。

2.如果把这些函数看成一类函数，那么这类函数表达式的一般形式又应该如何表示？ 生：可以看成同一类函数，底都一样，不同函数幂指数不同，表达式应该表示为a x y =。

3. 那么上面这个解析式中谁是自变量呢？a 是什么呢? 生：ax y = 中底数x 是自变量，a 是常数。

4.那么这一类函数应该如何命名呢？你觉着叫什么名字比较合适，这里常用α来表示常数，哪位同学能试着给这类函数下个定义？ 生:因为都是幂的形式，底数x 是自变量，所以我觉着应该叫幂函数。

生：一般地，形如αx y =的函数称为幂函数(power function) ，其中x 为自变量，α为常数。

发现问题，解决问题，并培养学生的数学抽象的能力。

二、探究新知通过回顾引入师生共同抽象出幂函数的定义。

1．幂函数的定义一般地，形如αx y =（α∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.如,)4(,)3(,)2(,)1(2132x y x y x y x y ====,)6(,)5(01x y x y ==-2)7(-=x y 等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.【师生互动】师：1．幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本【设计意图】(1)通过具体作图，可使学生加深对图象的直观印象，记忆比较牢固；同时也提高了学生数形结合的思维能力；(2)符合学生的认知规律，由特殊到一般，从具体到抽象；（3）充分发挥学生学习的能动性，以学生为主体，展开课堂教学.师生共同分析幂函数性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0(+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（4）幂函数在第一象限都有图象，在第四象限都没有图象。

【设计意图】 锻炼学生对数学问题进行归纳总结、类比的能力，培养学生数形结合意识和进行合作探究的意识。

三、理解新知例1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）8.08.03.5,2.5 （2）3.03.03.0,2.0（3）21219.0,1.1--（4） 利用幂函数或指数函数比较大小关键在于构造出适当的函数。

1.若指数相同底数不同，考虑幂函数；2.若指数不同底数相同，考虑指数函数；3.若底数指数都不同，经常要引入中间量。

例2 讨论函数32xy =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性【师生互动】师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤． 并指出函数单调性是判别大小的重要工具， 生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析． 思考：如何做出幂函数的图象？1. 把幂函数化成根式，判断定义域、奇偶性。

2. 观察α的值，确定幂函数在第一象限的大致走势。

3. 描点（特殊点）、画图象。

【设计意图】使学生能根据幂函数的单调性，比较同指数的两个幂函数值的大小（其目的是培养学生用函数的观点解决问题的思想）,并且加深学生对性质的理解。

而（4）的设计则是与指数函数形成对比，让学生更熟练的掌握何时是幂函数值比较大小，何时是指数函数值比较大小，何时需要引入中间量（指数函数和幂函数区别与联系一个难点，让学生在自己解决问题的过程中突破难点显得自然）。

例2则是让学生理解幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出．525352)52(,)52(,)53(===c b a四、运用新知练习5.已知幂函数3222)1()(----=m m x m m x f ,且当),0(+∞∈x 时为减函数，求实数m 的值，并画出幂函数图象。

【设计意图】通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人，更可加深对所得到结论的理解。

当堂练习：1. 已知幂函数),()(R R k kx x f ∈∈=αα的图象过点)2,(21 ,则 =+αk 2.设323132)(,)(,)(523232===c b a ，则c b a ,,的大小关系是3.函数2-=x y 在区间],2[21--上的最大值是 4.若2121)23()1(a a -<+，则实数a 的取值范围为【设计意图】 巩固学生对函数单调性证明的掌握程度，加深对幂函数进一步的理解, 体现了以学生练为主体，提高学生推理的能力五、课堂小结提问方式（1）谈谈今天你的收获是什么？【设计意图】(1)因为学生的能力层次参差不齐，上完一节课之后未必每个学生都能接受全部的知识内容，因而必须给出适当的时间让他（她）们去理清知识脉络.（2）归纳整理知识，形成知识网络让学生进一步体会数形结合思想在本节课中的应用。

六、布置作业课后书面作业1、必做题 课本110页A ，1（1），2（3）， 3, 4，B,1.2、选做题：课本110页B ，3 课后思考作业：1．谈谈七个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？ 2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？【设计意图】作业(必做题)按循序渐进的原则布置，既巩固本节课所学知识，又培养学生自觉学习的习惯，同时也锻炼了学生的解题能力；而选做题是提高型题，它是为了使高层次的学生在理解概念的基础上能力能够得到提高，进而拓宽学生的视野，增强学生思考问题的逻辑性，严密性.幂函数学情分析本节课授课的对象是高一年级的学生, 他们对函数的概念及性质已经有了一定的认识, 基本上掌握了研究函数性质的一般方法. 这节课是学生在学习了指数函数、对数函数的基础上, 研究的第三种函数. 由于刚从初中升入高一, 学生仍保留着初中生的许多学习特点, 能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段, 通过学习幂函数知识, 既可以体验类比研究的过程, 又能通过对幂函数的学习重温研究函数的一般思想方法, 从而掌握研究函数的一般方法.幂函数效果分析1.知识的掌握：80%以上的同学能掌握基本知识。

会用幂函数的图象性质解决简单比较大小问题。

能根据幂函数画出相应图象。

2.能力的发展:少部分同学还不能很快的，很准确的利用幂函数去处理应用问题，需要课下进一步巩固，提升。

3.数学抽象能力：通过小组讨论，学生通过具体幂函数去总结幂函数的性质的数学抽象过程还是不错的。

学生踊跃展示，通过不同同学展示，能够把基本性质总结出来。

总的来说，班里积极回答老师问题、主动参与讨论、交流和展示的学生占到85%以上。

整个课堂气氛活跃，课堂检测效果较好，基础知识巩固、落实效果好。

学生通过导学案和课堂探究问题，能够进行全方位训练和提升。

达到本节课的预期效果。

幂函数教材分析幂函数人教B版必修1第二章基本初等函数(Ⅰ) 的第三节.教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后,并且将幂函数研究的对象限定为几个具体函数,本节课主要内容为通过实例引出幂函数的概念,使学生了解幂函数的模型, 了解幂函数与指数函数的区别. 通过一些特殊的幂函数的图象, 观察总结出幂函数的变化情况与性质, 培养学生的数学抽象概括能力. 通过对幂函数的研究, 结合一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等具体函数的学习, 使学生加深对函数的理解. 重要的是, 这段内容还蕴涵着归纳类比、数形结合、从特殊到一般,从一般到特殊等重要的数学思想和数学方法.x一、学习目标1.明确幂函数的定义，会判断函数是否是幂函数；2.根据具体函数图像总结幂函数的性质，并能利用性质解决简单的幂函数问题.二、自主学习1、①幂函数的定义是什么？②幂函数与指数函数的区别?2、下列函数是幂函数的是： 指数函数的是 . （1）0x y =； （2）x y 2=； （3）xy 1=； （4）x y 2=； （5）32x y =；（6）xy 2)3(-=3、在同一坐标系中，作出下列函数的图像并完成下表:（1）x y =；（2）2x y =（3）3x y =（4）21x y =（5）1-=x y （6）y=0x （7）y=2-x方法指导：根据具体幂函数的性质（定义域、值域、图像、奇偶性、单调性、公共点）概括、归纳出幂函数的性质.4、结合以上函数的图像特征，可得幂函数的性质：（1）所有的幂函数在区间 上都有定义,并且函数图像都通过点（ ， ）. （2）当1>α时，图像过定点 ；在(0,)+∞上是 函数(增减性).（3）当10<<α时，图像过定点 ；在(0,)+∞上是 函数(增减性).（4）当0α<时，图像过定点 ；在(0,)+∞上是 函数；在 (0,)+∞上，图像向上及向右都与坐标轴无限趋近. （5）幂函数的图像不过第 象限. 5、【思考】如何具体作出幂函数的图像？三、尝试练习（A ）1.判断下列命题正确的是 .（1）幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0,0）； （2）幂函数的图象不可能在第四象限；（3）n =0时，函数y =x n 的图像是一条直线； （4）幂函数y =x n ，当n >0时是增函数；（5）幂函数y =x n ，当n <0时在第一象限是减函数； （A ）2.比较大小：))333322441. 2.3 2.4 2.23--；；333322441. 2.32.42.--；；()()21.51.5233.1;4.2a a a -++ )()221.51.5233;4.22.a a --+（B ）3.已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--,当(0,)x ∈+∞时,y 随x 的增大而减小,求实数m 的值.四、巩固提高（A ）1.幂函数()f x 的图像过点1(2,)4，则()f x 的解析式是 . （A ）2.比较大小：（1）5631.0 5635.0；（2）211.1- 219.0-；（B ）（3）设525352)52(,)52(,)53(===c b a ，则a ，b ，c 的大小关系是： .（A ）3.设}3,2,1,21,31,21,1,2{---∈α，则使αx x f =)(为奇函数且在（0+∞）上单调递减的α的值的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4（C ）4.下图中的曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图像，已知α取±2，±21四个值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为( )A 、－2，－21，21，2 B 、2，21，－21，－2 C 、－21，－2，2，21D 、2，21，－2，－215.已知幂函数)(x f 的图像过点)2,2(，幂函数)(x g 的图像过点)41,2(. （A ）（1）求)(x f ，)(x g 的解析式；（C ）（2）当x 为何值时：①)(x f ＞)(x g ；②)(x f =)(x g ；③)(x f ＜)(x g .五、反思感悟。