2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1nn u∞=∑收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)nn n un ∞=-∑(B)21nn u∞=∑(C)2121()n n n uu ∞-=-∑(D)11()nn n uu ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示 (B)向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示(C)向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价(D)矩阵1(,,)m =A αα与矩阵1(,,)m =B ββ等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分)求142e sin lim().1exx xxx→∞+++四、(本题满分5分)设(,)()x x z f xy g y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.zx y∂∂∂五、(本题满分6分)计算曲线积分224L xdy ydxI x y -=+⎰,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e 0,x Sx f x d y d zx y f xd z d x z d x d y --=⎰⎰其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分) 求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A(2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中0θ>为未知参数.又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设e (sin cos )(,xy a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)222z y x r ++=,则(1,2,2)div(grad )r -= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C) (D)(2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则 (A)(0,0)|3dz dx dy =+(B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}(C)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )lim h f h h→-存在(B) 0(1e )lim h h f h→-存在(C)2(sin )limh f h h h→-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在(4)设111140001111000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为(A) -1 (B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e exxdx ⎰.四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设()f x = 21a r c t a n 010x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n n n的和.六、(本题满分7分) 计算222222()(2)(3)LI y z d x z x d y x y d z =-+-+-⎰,其中L 是平面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于)1,0()0,1( -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使 )(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立. (2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分)设有一高度为t t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设12,,,s ααα为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x . (1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP . (2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥样本均值∑==ni i X n X 2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________. (2)已知2e 610yxy x ++-=,则(0)y ''=_____________.(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① (C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim=∞→n n u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0ex t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分22max{,}ex y Ddxdy ⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y y x dx xy f y y I ]1)([)](1[1222-++=⎰, (1)证明曲线积分I 与路径L 无关.(2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n n n x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e xy y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X 的概率密度为()f x =1c o s 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体的概率分布为其中θ(02θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 . (5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立(B)n n c b <对任意n 成立(C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则(A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 (4)设向量组I:12,,,r ααα可由向量组II:12,,,s βββ线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关 (C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是 (A)①②(B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~XY n n t X =>,则 (A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ-(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证: (1)sin sin sin sin e e e e y x y x LLx dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰.(2)sin sin 2e e 2.y x Lx dy y dx π--≥⎰六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为()y y x =满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ,⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx , :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为()f x =2()2e 0x θ--x x θ>≤其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1)求总体X 的分布函数()F x .(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ. (3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .(2)已知(e )e x xf x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n na收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na发散(C)若级数∑∞=1n na收敛,则0lim 2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f (C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ= (C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化. (22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(n u∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有 (A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数(D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B)2222yu x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222x uy x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xzxy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B (C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b ==(D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n(B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y xxy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明: (1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f (19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx y φ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式. (20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2. (1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解. (21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x <<<<其它 求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim1cos x x x x→+=-. (2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面z (01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)(,)xf x y dy ⎰⎰(B)(,)f x y dy ⎰⎰(C)(,)yf x y dx ⎰⎰(C)(,)f x y dx ⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a ∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '= (B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠ (C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP (B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T =C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A > (B)()()P A B P B >(C)()()P AB P A =(D)()()P AB P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ, 且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ<(B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y xy x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰. (16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x=+-展开成x 的幂级数. (18)(本题满分12分)设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(1)验证()()0f u f u u'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰.(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,(A)1-(B)1(D)1-(2)曲线1ln(1e )x y x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2(D)3(3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设()()xF x f t dt =⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =-- (B)5(3)(2)4F F =(C)3(3)(2)4F F =(D)5(3)(2)4F F =--(4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是(A)若0()limx f x x→存在,则(0)0f =(B)若0()()limx f x f x x→+- 存在,则(0)0f =(C)若0()lim x f x x→ 存在,则(0)0f '=(D)若0()()lim x f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=(5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散(C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是(A)(,)x y dx Γ⎰(B)(,)f x y dy Γ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰(D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A),,122331---αααααα (B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p -(B)26(1)p p -(C)223(1)p p -(D)226(1)p p -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为(A)()X f x(B)()Y f y(C)()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)31211e x dx x⎰=_______. (12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)yxz f x y =,则zx∂∂=______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e xy y y -+=的通解为y =____________. (14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰=_____________.(15)设矩阵01000010********⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(17)(本题满分11分)求函数 2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值. (18)(本题满分10分)计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中 ∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=. (20)(本题满分10分) 设幂级数nn n a x∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===(1)证明:22,1,2,.1n n a a n n +==+(2)求()y x 的表达式. (21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解. (22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 (1)求{2}.P X Y >(2)求Z X Y =+的概率密度.(24)(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为1,021(;),12(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12,,n X X X 是来自总体x 的简单随机样本,X 是样本均值(1)求参数θ的矩估计量ˆθ. (2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.。
2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上) (1) 30arctan lim.ln(12)x x xx →-=+(2) 设函数()y y x =由方程2xyx y =+所确定,则0.x dy==(3)2.+∞=⎰(4) 曲线1(21)xy x e =-的斜渐近线方程为.(5) 设1000230004500067A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦,E 为4阶单位矩阵,且1()()B E A E A -=+-则 1()E B -+=.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数()bx xf x a e=+在(,)-∞+∞内连续,且lim ()0,x f x →-∞=则常数,a b 满足 ( ) (A)0,0.a b << (B)0,0.a b >> (C)0,0.a b ≤> (D)0,0.a b ≥<(2) 设函数()f x 满足关系式2()[()]f x f x x '''+=,且(0)0f '=,则 ( )(A)(0)f 是()f x 的极大值. (B)(0)f 是()f x 的极小值.(C)点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点.(D)(0)f 不是()f x 的极值,点(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点.(3 ) 设(),()f x g x 是大于零的可导函数,且'()()()'()0,f x g x f x g x -<则当a x b << 时,有 ( )(A)()()()()f x g b f b g x > (B) ()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b >(D) ()()()()f x g x f a g a >(4) 若30sin 6()lim 0x x xf x x →+⎛⎫=⎪⎝⎭,则206()lim x f x x →+为 ( ) (A)0. (B)6. (C)36. (D)∞.(5) 具有特解123,2,3x x xy e y xe y e --===的3阶常系数齐次线性微分方程是 ( )(A)0.y y y y ''''''--+= (B)0.y y y y ''''''+--= (C)61160.y y y y ''''''-+-= (D)220.y y y y ''''''--+=三、(本题满分5分)设ln(1)(ln )x f x x+=,计算()f x dx ⎰. 四、(本题满分5分)设xoy 平面上有正方形{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤及直线:(0)l x y t t +=≥.若()S t 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积,试求0(),(0)xS t dt x ≥⎰.五、(本题满分5分)求函数2()ln(1)f x x x =+在0x =处的n 阶导数(0)(3)nf n ≥.六、(本题满分6分)设函数0()|cos |xS x t dt =⎰,(1)当n 为正整数,且(1)n x n ππ≤≤+时,证明2()2(1)n S x n ≤<+； (2)求()limx S x x→+∞.七、(本题满分7分)某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V,流入湖泊内不含A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3V,已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过0mV.问至多需要经过多少年,湖泊中污染物A 的含量降至0m 以内(注：设湖水中A 的浓度是均匀的) 八、(本题满分6分)设函数()f x 在[]0,π上连续,且()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰,试证明：在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ,使12()()0.f f ξξ== 九、(本题满分7分)已知()f x 是周期为5的连续函数,它在0x =的某个邻域内满足关系式(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+其中()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小,且()f x 在1x =处可导,求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程.十、(本题满分8分)设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形.问a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？ 十一、(本题满分8分)函数()f x 在[0,)+∞上可导,(0)1f =且满足等式01()()()0,1xf x f x f t dt x '+-=+⎰ (1)求导数()f x '；(2)证明：当0x ≥时,成立不等式()1xe f x -≤≤成立十二、(本题满分6分)设11012,,0,,2180T TA B αβγαββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中T β是β的转置,求解方程22442B A x A x B x γ=++十三、(本题满7分)已知向量组12301,2,1110a b βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭与向量组1231392,0,6317ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭具有相同的秩,且3β可由123,,ααα线性表出,求,a b 的值.2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】16-【详解】()()()33ln 1222232322000011arctan arctan 11limlim lim lim 266ln 1261x x x x x x x x x x x x x x xx x +→→→→----+====-++洛(2)设函数()y y x =由方程2xyx y =+所确定,则0.x dy==【答案】(ln 21)dx - 【详解】 方法1：对方程2xyx y =+两边求微分,有2ln 2().xy xdy ydx dx dy ⋅+=+由所给方程知,当0x =时1y =. 将0x =,1y =代入上式,有ln 2dx dx dy ⋅=+. 所以,0(ln 21)x dy dx ==-.方法2：两边对x 求导数,视y 为该方程确定的函数,有2ln 2()1.xy xy y y ''⋅+=+当0x =时1y =,以此代入,得ln 21y '=-,所以0(ln 21)x dy dx ==-. (3)【答案】3π【详解】由于被积函数在2x =处没有定义,则该积分为广义积分.对于广义积分,可以先按照不定积分计算,再对其求极限即可.作积分变量替换,2,22,t x t dx tdt =-==02202122arctan .(9)33323t t dt t t ππ+∞+∞+∞==⋅=⋅=+⎰⎰(4)【答案】21y x =+【公式】y kx b =+为()y f x =的斜渐近线的计算公式：()()lim,lim [()]x x x x x x yk b f x kx x →∞→∞→+∞→+∞→-∞→-∞==-【详解】11lim lim (2)2,x x x y k e x x→+∞→+∞==-=10122lim (2)lim[(21)2]lim()u uxx u x e b y x x e x u e x u+→+∞→→+∞-=-=--= - 令 002(1)2lim()1lim()211u u u uu u e u e e u e uu ++→→-=- - -=-= 所以,x →+∞方向有斜渐近线21y x =+. 当x →-∞时,类似地有斜渐近线21y x =+. 总之,曲线1(21)xy x e =-的斜渐近线方程为21y x =+.(5)【答案】1000120002300034⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦【详解】先求出1()E B -+然后带入数值,由于1()()B E A E A -=+-,所以11111()()()()()()()12()()22000100024001200104600230200680034E B E E A E A E A E A E A E A E A E A -----⎡⎤+=++-⎣⎦⎡⎤=++++-⎣⎦⎡⎤=+=+⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥ ==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦－１－１－１二、选择题 (1)【答案】D【详解】排除法：如果0a <,则在(,)-∞+∞内()f x 的分母bx a e +必有零点0x ,从而()f x 在0x x =处不连续,与题设不符.不选()A ,若0b >,则无论0a =还是0a ≠均有lim (),x f x →-∞=∞与题设lim ()0x f x →-∞=矛盾,不选()B 和()C .故选()D .(2)【答案】C【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 出具有二阶导数且0()0f x '=,0()0f x ''≠,那么：(1) 当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极大值；(2)当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极小值；【详解】令等式2()[()]f x f x x '''+=中0x =,得[]2(0)0(0)0f f '''=-=,无法利用判断极值的第二充分条件,故无法判断是否为极值或拐点.再求导数(因为下式右边存在,所以左边也存在)：[]2()(())12()()f x x f x f x f x ''''''''=-=-以0x =代入,有(0)1f '''=,所以0()(0)()(0)limlim 10x x f x f f x f x x→→''''''-'''===-. 从而知,存在0x =去心邻域,在此去心邻域内,()f x ''与x 同号,于是推知在此去心邻域内当0x <时曲线()y f x =是凸的,在此去心临域内0x >时曲线()y f x =是凹的, 点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点,选(C).(3)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明,关键在于寻找待证的函数. 题设中已知'()()()'()0,f x g x f x g x -< 想到设函数为相除的形式()()f xg x . 【详解】设()()()f x F xg x =,则()2'()()()'()()0,()f x g x f x g x F x g x -'=< 则()F x 在a x b <<时单调递减,所以对a x b ∀<<,()()()F a F x F b >>,即()()()()()()f a f x f bg a g x g b >> 得 ()()()(),f x g b f b g x >a x b <<,()A 为正确选项.(4)【答案】()C【分析】本题有多种解法：(1)将含有()f x 的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式,或反之；(2)利用极限与无穷小的关系,从已知极限中解出()f x 代入要求极限式中；(3)将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限. 【详解】方法1： 凑成已知极限2336()6()6sin 6sin 6()f x x xf x x x x xf x x x x ++-++==而 23222000012(6)6sin 666cos66(1cos6)2lim lim lim lim 3633x x x x x x x x x x x x x→→→→⋅---====洛 (由于211cos 2x x -⇒211cos(6)(6)2x x -)所以 2330006()6sin 6sin 6()lim lim lim 36036x x x f x x x x xf x x x x →→→+++=+=+=方法2：由极限与无穷小关系,由已知极限式解出3sin 6()x xf x a x+=,0lim 0x a →= 从而 3sin 6()x xf x ax +=⇒3sin 6()ax xf x x-=33223sin 666()6sin 6ax x f x ax x x x x x x-+++-== 所以 323300006()6sin 66sin 6lim lim lim lim x x x x f x ax x x x xa x x x→→→→++--==+极限的四则运算 2220012(6)66cos620lim lim 3x x x x x x→→⋅-=+=36= 方法3： 将sin 6x 在0x =处按佩亚诺余项泰勒公式展开至3x 项：3333(6)sin 66()636(),3!x x x x x x x οο=-+=-+于是 3333sin 6()6()36()x xf x x xf x x x x x ο++-+=3236()()36,f x x x x ο+=-+ 从而 32330006()sin 6()()limlim 36lim 036036.x x x f x x xf x x x x xο→→→++=+-=+-=(5)【答案】B【详解】由特解12,2x xy e y xe --==,对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与解的对应关系知道,21r =-为特征方程的二重根；由33xy e =可知11r =为特征方程的单根,因此特征方程为232(1)(1)10,r r r r r -+=+--=由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系,得该微分方程为0.y y y y ''''''--+=三【详解】方法1：为了求不定积分,首先需要写出()f x 的表达式.为此,令ln x t =,有tx e =ln(1)ln(1)()(ln )t tx e f t f x x e ++===()ln(1)ln(1)x x x x f x dx e e dx e de --=+=-+⎰⎰⎰ln(1)1xxxxxe e e e dx e--=-+++⎰ 分部积分 1ln(1)1x xxxxe e e e dx e -+-=-+++⎰ 拆项ln(1)(1)1ln(1)111ln(1)111ln(1)1(1)1ln(1)ln(1)xxxxx x xxx x xxx x xxx x x e e e dxe e e e dx dx e e e dx de e e e dx d e ee e x e C-----=-++-+=-++-+=-++-+=-++-++=-++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 方法2：作积分变量替换,命ln x t =,21ln(1)1()(ln )ln(1)t f x dx f t dt dt t d t t t +⎛⎫=⋅==-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ln(1)1[](1)t dt t t t +=--+⎰ 分部积分 ln(1)11()1t dt t t t +=-+-+⎰ 部分分式求和 ln(1)11(1)1t dt d t t t t +=-+-++⎰⎰ln(1)ln ln(1)t t t C t+=-+--+ln(1)ln(1).x x x e e x e C -=-++-++四【详解】先写出面积()S t 的(分段)表达式,当01t <<时,图形为三角形,利用三角形的面积公式：21()2S t t =；当12t <<时,图形面积可由正方形面积减去小三角形面 积,其中由于x y t +=与1y =交点的纵坐标为1t -,于是, 小三角形的边长为：1(1)2t t --=-,所以222111()1(2)1(44)21222S t t t t t t =--=--+=-+-；当2t >时,图形面积就是正方形的面积：()1S t =, 则221, 01,21()1(2), 12,21, 2.t t S t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪<⎪⎪⎩当01x ≤≤时,3320011();2236xxxt x S t dt t dt ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰当12x <≤时,1122010111()()()[1(2)]22xx x S t dt S t dt S t dt t dt t dt =+=+--⎰⎰⎰⎰⎰3321111(1)(2)66663x x x x x =+----=-+-+ 当2x >时,2022()()()11 1.xx xS t dt S t dt S t dt dt x =+=+=-⎰⎰⎰⎰因此 3320101611()126312x x x S t dt x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+-+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩⎰五【详解】方法1：按莱布尼茨高阶导数公式：()()1(1)()()()().n n n k n k k n n n uv u v C u v C u v uv --'=+++++为了求ln(1)x +的n 阶导数,设ln(1)y x =+,11y x'=+；()()221111y x x ''=-=-++；()()()33112211y x x ⋅'''=--⋅=++；()()(4)4412123311y x x ⋅⋅⋅=-=-++一般地,可得1()(1)(1)!(1)n n nn yx ---=+即 []1()(1)(1)!ln(1)(1)n n nn x x ---+=+设ln(1)u x =+,2v x =,利用上述公式对函数展开,由于对2x 求导,从三阶导数开始就为零,故展开式中只含有前三项.123()212(1)(1)!(1)(2)!(1)(1)!()2(1).(1)(1)(1)n n n n n n n n n n fx x nx n n x x x -----------=++-+++代入0x =,得：1()3(1)!(0)(1)(1)(3)!,3,4.2n n n n fn n n n n ---=---==-方法2：()y f x =带佩亚诺余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x x n ο'''=+++++求(0)(3)nf n ≥可以通过先求()y f x =的的麦克劳林展开式,则展开式中nx 项的系数与!n 的乘积就是()y f x =在点0x =处的n 阶导数值)0()(n f.由麦克劳林公式,23212ln(1)(1)(),232n n n x x x x x x n ο---+=-+++-+- 所以 452231ln(1)(1)().232n n n x x x x x x x n ο--+=-+++-+- 对照麦克劳林公式()2(0)(0)(0)()(0)(),1!2!!n nn f f f f x f x x x x n ο'''=+++++从而推知()1(0)(1)!2n n f n n --=- 得 1()(1)!(0),3,4.2n n n f n n --==-六【详解】因为cos 0x ≥,且(1)n x n ππ≤<+, 所以(1)0cos cos cos .n x n x dx x dx x dx ππ+≤<⎰⎰⎰定积分的性质又因为cos x 具有周期π,所以在长度为π的积分区间上的积分值均相等：cos cos a ax dx x dx ππ+=⎰⎰,从而20(1)cos cos cos cos n n n x dx x dx x dx x dx ππππππ-=+++⎰⎰⎰⎰202cos (cos cos )n x dx n xdx xdx ππππ==-⎰⎰⎰202(sin sin )(1(01))2n x x n n πππ=-=--= 所以(1)0cos 2(1).n xdx n π+=+⎰所以 02cos 2(1),x n xdx n ≤<+⎰即 2()2(1).n S x n ≤<+(2) 由(1)有,当(1)n x n ππ≤≤+时,2()2(1)(1)n S x n n x n ππ+<<+命n →∞取极限,222lim lim 1(1)(1)n n n n nπππ→∞→∞==++,12(1)2(1)2lim lim n n n n n πππ→∞→∞++== 由夹逼定理,得()2limx S x x π→∞=.七【详解】设从2000年初(相应0t =)开始,第t 年湖泊中污染物A 的总量为m ,浓度为mV,则在时间间隔[,]t t dt +内,排入湖泊中A 的量为：00()66m mV t dt dt dt V ⋅+-=,流出湖泊的水中A 的量为33m V mdt dt V ⋅=. 因而时间从t 到t dt +相应地湖泊中污染物A 的改变量为：0()63m mdm dt =-. 由分离变量法求解：0()63dm dt m m =-两边求积分：001100()6333ln()63()()6363m m d m dm m dt t C t C m m m m -=⇔-=+⇔--=+--⎰⎰⎰ 10013ln()63363t C m m t C m m e +-+⇔-=⇔-=-103336C tm m e e --⇔-=-+⋅110033333,(3)22C C t tm mm e e m C e C e ----⇔=-⋅⇔=-⋅=初始条件为0(0)5m m =,代入初始条件得092C m =-. 于是03(19)2tm m e -=+,要满足污染物A 的含量可降至0m 内,命0m m =,得6ln3t =. 即至多需经过6ln3年,湖泊中A 的含量降至0m 以内.八【证明】 方法1：令0()(),0xF x f t dt x π=≤≤⎰,有(0)0,F =由题设有()0F π=.又由题设()cos 0f x xdx π=⎰,用分部积分,有0()cos cos ()f x xdx xdF x ππ==⎰⎰()cos ()sin F x xF x xdx ππ=+⎰0()sin F x xdx π=⎰由积分中值定理知,存在(0,)ξπ∈使0()sin ()sin (0)F x xdx F πξξπ==⋅-⎰因为(0,)ξπ∈,sin 0ξ≠,所以推知存在(0,),ξπ∈使得()0F ξ=. 再在区间[0,]ξ与[,]ξπ上对()F x 用罗尔定理,推知存在1(0,)ξξ∈,2(,)ξξπ∈使12()0,()0F F ξξ''==,即 12()0,()0f f ξξ== 方法2：由()0f x dx π=⎰及积分中值定理知,存在1(0,)ξπ∈,使1()0f ξ=. 若在区间(0,)π内()f x 仅有一个零点1ξ,则在区间1(0,)ξ与1(,)ξπ内()f x 异号. 不妨设在1(0,)ξ内()0f x >,在1(,)ξπ内()0f x <. 于是由()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰,有111101100()cos ()cos ()(cos cos )()(cos cos )()(cos cos )f x xdx f x dx f x x dxf x x dx f x x dxπππξπξξξξξ=-=-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当10x ξ<<时,1cos cos x ξ>,1()(cos cos )0f x x ξ->；当1x ξπ<<时,1cos cos x ξ<,仍有1()(cos cos )0f x x ξ->,得到：00>. 矛盾,此矛盾证明了()f x 在(0,)π仅有1个零点的假设不正确,故在(0,)π内()f x 至少有2个不同的零点.九【详解】为了求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程,首先需要求出()y f x =在6x =处的导数,即切线斜率. 而函数又是以周期为5的函数,且在1x =处可导,则在6x =处可导,且其导数值等于函数在1x =处的导数值.将(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+两边令0x →取极限,由f 的连续性得(1)3(1)lim(8())0x f f x x α→-=+= ⇒ 2(1)0f -=故(1)0f =,又由原设()f x 在1x =处可导,两边同除sin x ,000(1sin )(1)(1sin )(1)8()lim3lim lim limsin sin sin sin x x x x f x f f x f x x x x x xα→→→→+---+=+- 根据导数的定义,得008()(1)3(1)limlim 8sin sin x x x x x x f f x x x xα→→''+=⋅+⋅= ⇒ 4(1)8f '= 所以(1)2f '=,又因(6)(51)(1)f f f '''=+=,所以(6)2f '=,由点斜式,切线方程为((6))(6)(6).y f f x '-=-以(6)(1)0,(6)2f f f '===代入得2(6).y x =- 即 2120.x y --=十【详解】首先联立两式,求直线与曲线的交点：221x ax -=,得：x =,而0x ≥,则交点坐标为：(,))1a x y a =+. 由点斜式,故直线OA的方程为y =由旋转体体积公式2()b aV f x dx π=⎰,要求的体积就是用大体积减去小体积：()2222224000()1a x V dx ax dx a x dx a =-=-+232525223(1)515(1)a x a x a a a ππ⎛=-=+⎝+为了求V 的最大值,对函数关于a 求导,225522221515(1)(1)dV a a da a a ππ''⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭53222552(1)(1)2215(1)a a a a a π⋅+-⋅+=⋅+ 322275255(1)[2(1)][2(1)]222215(1)15(1)a a a a a a a a a ππ++-+-=⋅=⋅++ 222277722251[22][2]22[4]22151515(1)(1)(1)a a a a a a a a a a πππ+---=⋅=⋅=⋅+++ 0a > 命0,dVda=得唯一驻点4a =,所以4a =也是V 的最大值点,最大体积为41875a V ==.十一【详解】(1) 为了求()f x ',将01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰两边同乘(1)x +,得 0(1)()(1)()()0,xx f x x f x f t dt '+++-=⎰两边对x 求导,得()(1)()()(1)()()0f x x f x f x x f x f x ''''+++++-=即 (1)()(2)()0x f x x f x '''+++=.上述方程为二阶可降阶微分方程,令()u f x '=,化为(1)(2)0x u x u '+++=,即(2)(1)du x dx u x +=-+ 两边求积分：(2)1(1)(1)1du x dx dx u x x +=-=-+++⎰⎰⎰即 1ln (ln(1))u x x C =-+++ 所以 11(ln(1))1()1x x C C x u ee e x --++-=±=±⋅⋅+ 令1C C e =±,则1xCe u x -=+,于是()1x Ce f x u x -'==+.再以0x =代入原方程001(0)(0)()(0)(0)01f f f t dt f f ''+-=+=⎰,由(0)1f =,有(0)1f '=-,于是1,()1xe Cf x x -'=-=-+. (2)方法1：用积分证.()(0)()1.1tx xe f x f f t dt dt t -'=+=-+⎰⎰而 0-000011t t xx x tt x e dt e dt e e t ->---≤≤=-=-+⎰⎰牛莱公式两边同乘以(1)-,得：101txxe e dt t ---≤-≤+⎰, 即 0()111txxe ef x dt t --≤=-≤+⎰方法2 ：用微分学方法证.因(0)1,()0f f x '=<,即()f x 单调递减,所以当0x ≥时()1f x ≤. 要证()xf x e-≥,可转化为证明()0xf x e--≥,令()()x x f x e ϕ-=-,则(0)110ϕ=-=,且()()()01xxe xf x ef x x ϕ--'''=+≥+=+ (0x ≥)所以,当0x ≥时()0x ϕ≥,即()xf x e -≥. 结合两个不等式,推知当0x ≥时,()1xef x -≤≤. 证毕.十二【详解】由题设得110121210210211102T A αβ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎡⎤ ⎪===⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦,11102221T B βα⎛⎫⎡⎤ ⎪===⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭. 所以 ()22T T T A A αβαβααββ===,48AA =；24B =,216B =代入原方程22442B A x A x B x γ=++中,得16816Ax Ax x γ=++,即()82A E x γ-=其中E 是三阶单位矩阵,令[]123Tx x ,x ,x =,代入上式,得线性非齐次方程组1212123102201212x x x x x x x ⎧-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩(1) 显然方程组得同解方程为12123201212x x x x x -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ (2) 令自由未知量 1x k,=解得23122x k,x k ==- 故方程组通解为1231022011122x k x k k x k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,(k 为任意常数)十三【详解】方法1：先求()123,,,γααα将矩阵作初等行变换,得()123139139139206061201231701020000,,ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦知()1232,,.γααα= 故()()1231232,,,,γβββγααα==,[]123,,βββ作初等行变换[]1230110121031110030a b ,,a b βββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因为()1232,,γβββ=,所以3a b =又3β可由123,,ααα线性表出,故()()12331232,,,,,γαααβγααα== 将[]1233,,,αααβ作初等行变换13913920610612123170110203b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦()13912012600053123bb b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦由()12332,,,γαααβ=,得()531203b b +-=,解得5b =,及315a b .== 方法2：由方法1中的初等变换结果可以看出12,αα线性无关,且31232ααα=+,故()1232,,γααα=,12,αα是123,,ααα的极大线性无关组. 又()()1231232,,,,γβββγααα==,123,,βββ线性相关. 从而得12301211310110100a ba b ,,,βββ===--计算三阶行列式得30a b -+=,得3a b =又3β可由123,,ααα线性表出 ,即可由12,αα线性表出,12,αα3β线性相关,有()123131313201061206120310010310003126b b b,,b b b b b ααβ==--=--=-+-行列式展开得()10631206b b ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,所以()531203b b +-=,得5b =及315a b .== 方法3：先利用3β可由123,,ααα线性表出,故方程组()123,,X αααβ=有解,即12313920613170x b x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦有解. 对其增广矩阵施行初等行变化13913920610612123170110203b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦()13921012600053123bb b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦由其次线性方程组有解的条件(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩),知()53123b b +-51033b =-= 解得5b .=又因为1α和2α线性无关,且31232ααα=+,所以向量组123,,ααα的秩为2 ,由题设条件知()1232,,γβββ=,从而123001211310110100a b a b ,,,βββ===--解得15a =。
1993/1999/2000/2005同济大学普通化学试题同济大学1993年硕士生入学考试试题（普通化学A）一、名词解释（20分）1.简单反应、复杂反应2.同离子效应、盐效应3.外轨型配位化合物、内轨型配位化合物4.加聚反应、缩聚反应5.举例说明：三电子π键、离域π键二、选择题：（20分）1.铁原子的外层电子构型是4s?d6 在轨道中未成对电子数是（）A 0B 2C 4D 62.反应2SO3(g)=2SO2(g)+O2(g)的K=32，如果[SO3]=[O2]=2.0mol/L 那么[SO2]等于（）A 0.032mol/LB 8.0mol/LC 0.25mol/LD 2.7mol/L3.下列氯化物中，可以在室温下发生水解反应生成HCl气体的是（）A CCl4B Al2Cl6C Fe2Cl6D PCl54.用酸化的重铬酸盐（Cr2O7￣)滴定亚铁离子溶液，应该用哪种指示剂最合适（）A 二苯胺溶于磷酸中B 铬酸钾C 酚酞D 甲基橙5.欲除去CuSO4酸性溶液中的杂质Fe3+ 加入的最合适试剂是（)A KSCNB 氨水C NaOHD H2S6.对一特定反应化学反应速度越快是由于该反应的（）A 活化能越小B 活化能越大C ΔG越负D ΔH越负7.下列酸中酸性最强的是（）A HClO4B HFC HCND HCl8.一个反应的活化能可通过下列中一法获得的斜率来确定（）A LnK对TB LnK对1/TC LnK/T对1/TD T/LnK对1/T9.配位化合物K4[Fe(CN)6]的名称是（）A 六氰合铁酸钾B 氰合铁（Ⅱ）酸钾C 六氰合铁（Ⅲ）酸钾D六氰合铁（Ⅱ）酸钾10.在下列晶体中，熔化是需要破坏共价键的是（）A SiF4B AgC CsFD SiC三、填空（20分）1.C2H2分子中有——个σ键，另外有——键。
2.硫酸亚铁溶液中加入烧碱并通入氯气产生的沉淀物是————。
3.[Co(CN)6]?(原子序数Co27 ),已知其磁矩为零，其杂化轨道属于——类型，空间构型为————。
考研试题三同济大学2000年研究生入学考试题
一、若负离子呈面心立方最紧密堆积排列，正离子在下述情况填入空隙时，将形成何种结构型式：（1）填入所有四面体空隙；（2）填入所有八面体空隙；（3）填入四面体空隙的1/2。
（6分）
二、某硅酸盐矿物结构在（010）面上的投影图如图l所示，图中●为Si4+，○为
O2-，☉为M3+，各离子标高见图中所示。
（注意，图中仅绘出近晶胞底部的半个晶胞各离子的排列情况，有重叠的已稍行移动）。
50处有一平行（010）面的反射面（即镜面），通过此反射面的反映，可获得一个完整的晶胞。
看图后回答下列问题：
（1）该矿物属何种结构类型？写出分子式；
（2）说明各配位多面体之间的连接方式；
（3）通过计算，说明注有A、B二个O2-的电价是否饱和；
（4）通过计算，说明一个晶胞内含有几个“分子”。
（12分）
三、（1）A12O3晶体中掺入x mo1%NiO和y mo1%Cr2O3可得人造黄玉，试写出缺陷反应方程式（置换型固溶体）以及掺杂A12O3的化学式。
（2）非化学计量化合物TiO x中，Ti3+/Ti4+=0.1，求TiO x中的x值。
（10分）
四、（1）试说明晶界能总是小于相邻二个晶粒表面能之和；
（2）掺入添加物的铁，其表面张力和组成的关系如图2所示，试述Fe-S和Fe-C二个
系统的表面组成特点。
（8分）。
