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基模高斯光束
拉盖尔高斯光束
基模高斯光束与高阶厄米、拉盖尔高斯光束具 有类似的传输性质； 伤其十指不如断其一指； 对于大多数激光器和应用而言，基模高斯光束 是最常见的光束； 高斯光束是亥姆霍兹方程在缓变振幅近似下的 一个特解。
下面回顾：傍轴方程及其积分解的步骤
稳态传输中包络不含时间， E ( x, y, z, t ) A( x, y, z )ei ( k0 z 0t ) , k0 n00 , E为标量场 c
F ( k ,k )
f ( x , y ) x2 y 2 1 2 2 （1）令w0 =a ，得 exp 2 w0 2
F ( k ,k )
2 2 2 2 2 k x2 k y 2 k x2 k y w0 k x2 k y 2 w0 (k k z ) （2）A x , y , exp w0 exp i z exp w0 (1 iz / Z R ) 2 2 4 2k 4 1 A( x, y, z ) A(k x, k y , z) exp i(k x x k y y) dk x dk y 2 2 2 k x2 k y 2 w0 1 exp w0 (1 iz / Z R ) exp i (k x x k y y ) dk x dk y、 2 2 4 2 a 2 k 2 k 2 a 2 w0 (1 iz / Z R ) 1 1 x y 2 exp w0 (1 iz / Z R ) exp i (k x x k y y ) dk x dk y 1 iz / Z R 2 2 4 1 x2 y 2 = exp 2 1 iz / Z R w0 (1 iz / Z R )
2 2 k x2 k y 2 w0 作傅里叶变换得：A(k x , k y , 0) exp w0 2 4
代入（3）式，得
2 k x2 k y A(k x , k y , z ) A(k x , k y , 0) exp i 2k 2 2 2 w0 k x2 k y 2 k x2 k y z= exp w0 exp i 2 4 2k
x
y
y ) dxdy (5)
综上，由
A(0)
求
A(z)
的过程可分为三步：
A( x, y,0) A(kx , k y ,0) A(kx , k y , z) A(x, y, z )
F 乘以相位因子 逆FT
以下按此步骤求高斯光束解
x2 y 2 设初始光场为高斯分布：A( x, y, 0) （实虚部分开）为： x2 y 2 x2 y 2 w0 A( x, y, z ) exp 2 exp i k ( z) w( z ) w ( z) 2 R( z )
振幅部分 相位部分
1.高斯光束的束宽
2 w( z )=w0 1 z 2 / Z R
高斯光束在z=常数的面内，场振幅以高斯函数的形式从 中心向外平滑的减小。束宽随坐标z按双曲线 w2 ( z ) z 2 2 1 2 w0 ZR
规律向外扩展，
z 0时，w( z) w0取最小值。
x2 y 2 x2 y 2 w0 A( x, y, z ) exp 2 exp i k ( z) w( z ) w ( z) 2 R( z )
1 x2 y 2 高斯光束的表达式为：A( x, y, z ) exp 2 （6） 1 iz / Z R w0 (1 iz / Z R ) 引入q参数q( z ) z iZ R , (6)式变为： x 2 y 2 iZ R r 2 q(0) A( x, y, z ) exp ik q( z ) exp i 2cq( z ) q( z ) 2q ( z ) （7）
脉冲高斯光束为单色连续高斯光束解的傅立叶变 换，其数学依据： 二者的方程互为傅立叶变换！
具体推导如下：
矢量光场 E (r , z , t )在自由空间传输的波动方程为 : 2 1 E 1 2 2 E 2 2 =0 其中c c t 0 0 引入随动坐标t ' t z / c, z ' z 我们可以用其载波频率和包络来表示： E (r , z ' , t ) exp(i0t ' ) 其中0 2 / T0和T0分别为载波频率和振荡周期
z （5）
附录1 对（5）式作反傅里叶变换得高斯光束的表达式为：
1 x2 y 2 A( x, y, z ) exp 2 1 iz / Z R w0 (1 iz / Z R ) 2 2 kw0 w0 其中Z R 是Rayleigh距离。 2
考虑到对于脉冲长度T 在一个振荡周期T0以上的脉冲光束E，
对其包络有： 2 2 2 2 '2 2ik0 ' z z c z 't ' 引进傍轴近似，可得傍轴方程为： 2 2 2ik0 ' z c z 't ' 此即在自由空间中脉冲光束的传输方程。
那么引进傍轴近似[1]可得： A 空间域的傍轴方程为： 2ik0 2 A 0 (1) z
傅立叶变换
2 2 kx k y A 角谱域的傍轴方程为： i A (2) z 2k0
[1]胡巍讲义近似7
由（2）式可得：
2 k x2 k y 角谱域中的解：A(k x , k y , z ) A(k x , k y , 0) exp i z 2k0
高斯光束的基本性质
x2 y 2 x2 y 2 w0 A( x, y, z ) exp 2 exp i k ( z) w( z ) w ( z) 2 R( z )
4、连续单色高斯光束及超短脉冲高斯 光束的基本性质
主要内容
单色连续高斯光束的解析解 高斯光束的基本性质 超短脉冲高斯光束的解析解 超短脉冲光束的时空耦合作用之一：时延效应
横模：腔内电磁场在垂直于其传输方向的横向x-y面内存 在的稳定场分布。不同的横模对应不同的横向稳定光场分 布和频率。一般用 TEMmn 来标记，TEM00称为基模。 厄米高斯光束
(1) 1um, w0 0.1mm 100um
实证：
2 2 kw0 w0 ZR 30mm 2 (2) 1mm, w0 10mm 1000um
ZR
2 2 kw0 w0 3m 2
超短脉冲光束的解析解（基模）
随着固体激光器技术的发展，人们已经能够产生 几周期甚至是亚周期的脉冲光束。
i0 r 2 iZ R r2 ' 由(8)式：E ( x, y, z , t ) F (t ) exp( ) exp(i0t ' )，其中q ( z ) z iZ R q( z ) 2cq( z ) 2cq( z ) ' r2 ' r2 取 Re t t Re , 可看出脉冲的时间延迟。 2cq( z ) 2cq( z )
利用傅里叶变换性质
超短脉冲厄米、拉盖尔高斯光束的 求解：
直接作傅立叶变换难以得到解析解
上帝在关上一扇门的同时，会为你打开一扇窗-》泰勒展开
具体见文献：
LuDQ09_物理学报_58(3)1566-1611等衍射超短脉冲厄米高斯光束在 自由空间中的传输及其时空耦合效应
超短脉冲光束的时空耦合作用之一：时延效应
F 高斯脉冲光束可以看作是不同频率脉冲的叠加， ( 0 ) 为频谱分布函数。
E ( x, y, z , t ) F ( 0 ) A( x, y, z ) exp(it ' )d r 2 iZ R ' F ( 0 ) exp i exp(it )d q( z ) 2cq( z ) ( 0 )r 2 i0 r 2 iZ R F ( 0 ) exp i ) exp i ( 0 )t ' exp(i0t ' )d exp( q( z ) 2cq( z ) 2cq( z ) ( 0 )r 2 i0 r 2 iZ R ' ' exp( ) exp(i0t ) F ( 0 ) exp i exp i ( 0 )t d (8) q( z ) 2cq( z ) 2cq( z ) i0 r 2 iZ R r2 ' ' exp( ) exp(i0t ) F (t ) q( z ) 2cq( z ) 2cq( z )
无论在自由空间，线性介质，还是非线性介质中， 其传输性质都由于时空耦合效应的存在而与准单色光 束有着很大的区别。 在前人的研究中，很多超短脉冲 所特有的现象，诸如时间微分效应、光周期缩短、脉 冲的时间延迟、红移等效应都得到了深入的研究。 对于一个具体的脉冲光束，如果知道了其解析表达 式，则可以方便而直观地研究其传输性质。因此对于脉 冲光束的求解一直是脉冲光束传输研究的一个重要内容。
(3)
傅立叶逆变换
空间域中的解： 1 A( x, y, z ) A(kx , k y , z ) exp i (kx x k y y ) dkx dk y (4) 2
其中：A(k x , k y , 0)
