电磁感应线框问题

电磁感应线框问题一、线框平动切割所谓线框平动切割，通常是指矩形线框平动进入磁场切割磁感线而产生电磁感应现象。

中学阶段通常讨论的是线框垂直磁感线平动切割。

1．水平平动切割例1．如图所示,Ⅰ、Ⅱ为两匀强磁场区域,Ⅰ区域的磁场方向垂直纸面向里,Ⅲ区域的磁场方向垂直纸面向外,磁感强度为B,两区域中间为宽为s 的无磁场区域Ⅱ，有一边长为L(L ＞s)、电阻为R 的正方形金属框abcd 置于Ⅰ区域,ab 边与磁场边界平行,现拉着金属框以速度v 向右匀速移动。

(1)分别求出ab 边刚进入中央无磁场区域Ⅱ和刚进入磁场区域Ⅲ时,通过ab 边的电流大小和方向。

(2)把金属框从Ⅰ区域完全拉入Ⅲ区域过程中拉力所做的功。

(93‘上海市高考试题)［分析］(1)金属框以速度v 向右做匀速直线运动时，当ab 边刚进入中央无磁场区域时，由于穿过金属框的磁通量减小,因而在金属框中产生感应电动势,形成adcb 方向的感应电流，其大小为I 1＝ε1/R ＝BLv/R.当ab 边刚进入磁场区域Ⅲ时,由于ab ，dc 两边都切割磁感线而产生感应电动势,其大小为εab ＝εdc ＝BLv ，方向相反,故两电动势所对应的等效电源在回路中组成串联形式，因此，在线框中形成了adcb 方向的感应电流，其大小为： I 2＝(εab ＋εdc )/R ＝2BLv/R(2)金属线框从Ⅰ区域完全拉入Ⅲ区域过程中，拉力所做的功分为三个部分组成,其中一、三两部分过程中，金属框在外力作用下匀速移动的位移均为s,第二部分过程中金属框在外力作用下增速移动的距离为(L －s)。

因金属框匀速运动，外力等于安培力，所以 W 外＝W 安＝W 1＋W 2＋W 3又W 1＝F 1s ＝BI 1Ls ＝(B 2L 2v/R)sW 2＝2F 2(L －s)＝2BI 2L(L －s)＝[4B 2L 2v/R](L －s)W 3＝F 3s ＝(B 2L 2v/R)s因此整个过程中拉力所做的功等于：W 1＋W 2＋W 3＝[4B 2L 2v/R](L －s/2)［评述］本题所要求解问题，是电磁感应中最基本问题，但将匀强磁场用一区域隔开，并将其反向，从而使一个常规问题变得情境新颖，增加了试题的力度，使得试题对考生思维的深刻性和流畅性的考查提高到一个新的层次。

2、如图10-11所示，在光滑绝缘的水平面上有一个用一根均匀导体围成的正方形线框abcd ，其边长为L ，总电阻为R ，放在磁感应强度为B ．方向竖直向下的匀强磁场的左边，图中虚线MN 为磁场的左边界。

线框在大小为F 的恒力作用下向右运动，其中ab 边保持与MN 平行。

当线框以速度v 0进入磁场区域时，它恰好做匀速运动。

在线框进入磁场的过程中，（1）线框的ab 边产生的感应电动势的大小为E 为多少？ （2）求线框a 、b 两点的电势差。

（3）求线框中产生的焦耳热。

12、解析：（1）E = BLv 0 （2）a 、b 两点的电势差相当于电源的外电压∴000434BLv R RBLv BLv r I E U ab ab =⋅-=⋅-=（3）解法一：由于线圈在恒力F 作用下匀速进入磁场区，恒力F 所做的功等于线圈中产生的焦耳热，所以线圈中产生的热量为Q = W = FL解法二：线圈进入磁场区域时产生的感应电动势为E = BLv 0电路中的总电功率为RE P 2=线圈中产生的热量图10-110v LP Pt Q ==联解可得：Rv L B Q 032=2．斜向平动切割例2．一边长为L 的正方形金属线框(其截面积为S ，电阻率为ρ)。

线框以速率v 通过均匀磁场区域(线框平面始终与磁场垂直)速度的方向与水平方向成45°角。

如图所示，磁场区域宽度为a ，长为b ，磁感强度为B 。

(1)若b≥L，a ＞L 时线框通过匀强磁场后释放多少焦耳热。

(2)若b≥L，a ＜L 时线框通过匀强磁场后释放多少焦耳热。

［分析］(1)线框进入磁场中因切割磁感线产生感应电流，并通过线框本身的电阻而产生焦耳热。

由焦耳定律可得Q ＝(s 2/R)t ① 由法拉第电磁感应定律可得：ε＝BLvcos45° ② 由电阻定律可得：R ＝4ρ(L/S) ③ 由于a ＞L ，故产生的焦耳热的时间为：t ＝2L/vcos45° ④ 解以上①②③④式可得：Q ＝(B 2L 2vS)/(2ρ)(2)当a ＜L ，b≥L 时，同理由焦耳定律可得：Q ＝(ε2/R)t ⑤ 由法拉第电磁感应定律可得：ε＝BLvcos45° ⑥ 由电阻定律可得：R ＝4ρ(L/S) ⑦ 由于a ＜L ，故产生焦耳热的时间为：t ＝2a/vcos45° ⑧解以上⑤⑥⑦⑧式可得：Q ＝(B 2LavS)/(2ρ)［评述］试题将常规的水平垂直进入磁场改为斜向进入磁场切割磁感线，并将线框宽度与磁场宽度分两种情况要求，不仅突出考查了同学对运动独立性原理的掌握情况，同时体现了对同学思维深刻性和灵活性的考核。

3．竖直平动切割例3．用密度为D ，电阻率为ρ的导线做正方形线框。

线框平面在竖直平面内从高处自由落下，初速度为零，有一沿水平方向的匀强磁场区域，在竖直方向其宽度与线框边长相等，如图所示，磁感强度的大小为B,方向与线框平面垂直，若要通过磁场区域时的速度恒定，试求线框下落时的高度h(不计空气阻力)。

［分析］设线框的边长为L ，线框导线的截面积为S ，则线框的质量为： m ＝4LSD ① 线框的电阻为：R ＝4Lρ/S ② 若线框从h 高度落下，其下边进入磁场时速度为： v ＝③若线框以此速度通过磁场，则线框中感应电动势为： ε＝BLv ④感应电流：I ＝ε/R＝BLv/R ⑤ 线框通过磁场时所受的安培力方向向上，大小为：F ＝BLI ＝B 2L 2v/R ⑥ 由于通过磁场时速度恒定，则F ＝mg ，即： (B 2L 2S)/4Lρ＝4DLSg所以得：h ＝128D 2ρ2g/B 4［评述］该题是一道综合性较大的题目，考查了同学正确解答本题所需六个方面的知识点，突出对同学分析能力和综合能力的考查。

一、导体线框运动与图像综合例题1、如图所示，等腰三角形内分布有垂直于纸面向外的匀强磁场，它的底边在x 轴上且长为2L ，高为L .纸面内一边长为L 的正方形导框沿x 轴正方向做匀速直线运动穿过磁场区域，在t ＝0时刻恰好位于图中所示的位置．以顺时针方向为导线框中电流的正方向，在下面四幅图中能够正确表示电流—位移(I —x )关系的是 ( )【解析】 线框进入磁场的过程中，线框的右边做切割磁感线运动，产生感应电动势，从而在整个回路中产生感应电流，由于线框做匀速直线运动，且切割磁感线的有效长度不断增加，其感应电流的大小不断增加，由右手定则，可判定感应电流的方向是顺时针的；线框全部进入磁场后，线框的左边和右边同时切割磁感线，当x ≤32L 时，回路中的感应电流不断减小，由右手定则可判定感应电流的方向是顺时针；当32L <x <2L 时，回路中的感应电流不断增加，但感应电流的方向是逆时针．线框出磁场的过程，可依照同样方法分析． 【答案】 A例题2在质量为M=1kg 的小车上, 竖直固定着一个质量为m=0.2kg ，高h=0.05m 、总电阻R=100Ω、n=100匝矩形线圈，且小车与线圈的水平长度I 相同。

现线圈和小车一起在光滑的水平面上运动，速度为v1=10m/s ，随后穿过与线圈平面垂直，磁感应强度B=1.0T 的水平有界匀强磁场，方向垂直纸面向里，如图（1）所示。

已知小车运动(包括线圈)的速度v 随车的位移s 变化的s v -图象如图(2)所示。

求: （1）小车的水平长度l 和磁场的宽度d（2）小车的位移cm s 10=时线圈中的电流大小I 以及此时小车的加速度a （3）线圈和小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q【解析】(1) 由图可知，从cm s 5=开始，线圈进入磁场，线圈中有感应电流，受安培力作用，小车做减速运动，速度v 随位移s 减小，当cm s 15=时，线圈完全进入磁场，线圈中感应电流消失，小车做匀速运动。

因此小车的水平长度cm l 10=。

当cm s 30=时，线圈开始离开磁场 ，则cm cm d 25)530(=-= （2）当cm s 10=时，由图象中可知线圈右边切割磁感线的速度s m v /82= 由闭合电路欧姆定律得线圈中的电流R nBhv R E I 2==解得AA I 4.0100805.01100=⨯⨯⨯=此时线圈所受安培力N N nBIh F 205.04.01100=⨯⨯⨯==小车的加速度22/67.1/2.12)(s m s m m M F a ==+=（3） 由图象可知，线圈左边离开磁场时，小车的速度为sm v /23=。

线圈进入磁场和离开磁场时，克服安培力做功，线卷的动能减少，转化成电能消耗在线圈上产生电热。

))((212321v v m M Q -+=解得线圈电阻发热量Q=57.6J二、导体线框运动与电路综合例题2、用相同导线绕制的边长为L 或2L 的四个闭合导体线框，以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图所示.在每个线框进入磁场的过程中，M 、N 两点间的电压分别为U a 、U b 、U c 和U d .下列判断正确的是( ) A.U a ＜U b ＜U c ＜U d B.U a ＜U b ＜U d ＜U c C.U a =U b ＜U d =U cD.U b ＜U a ＜U d ＜U c 解析:线框进入磁场后切割磁感线,a 、b 产生的感应电动势是c 、d 电动势的一半.而不同的线框的电阻不同.设a 线框电阻为4r,b 、c 、d 线框的电阻分别为6r 、8r 、6r,则4343BLv r r BLv U a =⋅=,,6565BLv r r BLv U b =⋅=,23862BLvr r Lv B U c =⋅=.34642Blvr r Lv B U d =⋅=所以B 正确.三、导体线框运动与力学综合例题3、变式训练3、如图所示,一边长L=0.2 m 、质量m 1=0.5 kg 、电阻R=0.1 Ω的正方形导体线框abcd,与一质量为m 2=2kg 的物块通过轻质细线跨过两定滑轮相连.起初ad 边距磁场下边界为d 1=0.8 m,磁感应强度B=2.5 T,磁场宽度d 2=0.3 m,物块放在倾角θ=53°的斜面上,物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.5.现将物块由静止释放,经一段时间后发现当ad 边从磁场上边缘穿出时,线框恰好做匀速运动.(g 取10 m/s 2,sin53°=0.8,cos53°=0.6)求: (1)线框ad 边从磁场上边缘穿出时绳中拉力的功率; (2)线框刚刚全部进入磁场时速度的大小; (3)整个运动过程中线框产生的焦耳热.【解析】(1)由于线框匀速出磁场,则对m 2有:m 2gsin θ-μm 2gcos θ-F T =0得F T =10 N 对m1有:F T -m1g-BIL=0 又因为I=BLvR联立可得：v=2 m/s所以绳中拉力的功率P=F T v=20 W(2)从线框刚刚全部进入磁场到线框ad 边刚要离开磁场,由动能定理得 F T (d 2-L)-m 1g(d 2-L)= 12(m 1+m 2)v 2-E k 且E k =12(m 1+m 2)v 02 代入数据解得v 0=1.9 m/s.四、导体线框运动与能量综合例题4、如图所示，边长为L 的正方形导线框质量为m ，由距磁场H 高处自由下落，其下边ab 进入匀强磁场后，线圈开始做减速运动，直到其上边cd 刚刚穿出磁场时，速度减为ab 边进入磁场时的一半，磁场的宽度也为L ，则线框穿越匀强磁场过程中产生的焦耳热为( )A.2mgLB.2mgL +mgHC.mgH mgL 432+D.mgH mgL 412+解析:设刚进入磁场时的速度为v 1,刚穿出磁场时的速度212v v =① 线框自开始进入磁场到完全穿出磁场共下落高度为2L .由题意得mgH mv =2121②Q mv L mg mv +=⋅+222121221③由①②③得mgH mgL Q 432+=.C 选项正确. 变式训练4、正方形金属线框abcd ，每边长l =0.1m ，总质量m =0.1kg ，回路总电阻02.0=R Ω，用细线吊住，线的另一端跨过两个定滑轮，挂着一个质量为M =0.14kg 的砝码。