数学：12《应用举例》课件(新人教必修
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数学12应用举例人教A版必修5课件1
西
B
A东
思考3：在上述条件下，若在A处还测得 山顶D的方位角是西偏北θ方向，能否求 出此山的高度？
问题提出
1.测量水平面内两点间的距离，有哪两 种类型？分别测量哪些数据？
一个可到达点与一个不可到达点之间的 距离；两个不可到达点之间的距离.
基线长和张角.
2.测量物体的高度时，对角的测量有哪几种类型？ 在实际问题中如何选择？
北
东C
甲船的航行速度
B A
思考4：在上述问题中，若甲船的航速为 20 3 n mile/h，那么甲船应沿什么方向 航行才能与乙船在C处相遇？
北 东C
B A
沿北偏东30°的方向航行
探究（二）：测量相对位置
思考1：甲船在A处，乙船在点A的东偏南45°
方向，且与甲船相距9 n mile的B处.在点B南
处，测得C、D间的距离是21km；问这个人还
要走多远才能到达A城？
北
A 15
东
D
C
B
问题提出
1.测量一个可到达点与一个不可到达点 之间的距离，应如何测量和计算？
B
A C
2.测量两个不可到达点之间的距离，应如何 测量和计算？
A
B
D
C
3.竖直方向两点间的距离，通常称为高度.如
何测量顶部或底部不可到达的物体的高度，
飞机与山顶的海拔差
A
思考2：如图，设飞机在飞临山顶前，在 B、C两处测得山顶A的俯角分别是α、β， B、C两点的飞行距离为a，飞机的海拔飞 行高度是H，那么山顶的海拔高度h的计 算公式n
H
a sin sin sin( )
探究（三）：借助方位角测量高度
思考1：一辆汽车在一条水平的公路上向正西
人教B版高中数学必修五第一章12应用举例课件共15张
解：选择一条水平基线 HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。 由在H,G两点用测角仪器测得 A的仰角分别是 α,β，CD=a, 测 角仪器的高是 h. 那么，在 ⊿ACD中，根据正弦定理可得
AC ? a sin ? ， sin(? ? ? )
a sin ? sin ?
AB ? AE ? h ? AC sin ? ? h ?
sin[180?
?
(30?
?
45?
?
? 60?)]
40 sin 105?? sin 45?
20(
3 ? 1),
BC
?
40sin 45? sin[180? ? (60? ? 30? ?
? 45?)]
40sin 45? ?
sin 45?
40.
不可到达点 A
？
B
可到达点
60? 45?
D
60? 30?
C
这样在⊿ABC中,∠BCA=60°, AC ? 20( 3 ? 1), BC ? 40. 由余弦定理得： AB ? AC2 ? BC2 ? 2AC? BC cos?
分析：由于建筑物的底部 B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高 . 由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点 C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点 C观 察A的仰角,就可以计算出建 筑物的高。所以应该设法借 助解三角形的知识测出 CA 的长。
例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为 建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB的方法.
例2. 如图A、B两点都在河的对岸（不可到达），设
计一种测量两点间的距离的方法。
不可到达点 A
？
B
可到达点
《应用举例》公开课ppt人教版1
《应用举例》公开课ppt人教版1
练习
在地面上某处，测得县一中钟楼的仰角为，由此处 向塔走30米，测得钟楼仰角为2，再向钟楼走10 3米， 测得钟楼仰角为4，试求钟楼PD的高度。
《应用举例》公开课ppt人教版1
《应用举例》公开课ppt人教版1
总结提升
实际问题 实际问题的解
画图 检验
数学模型
解 三 角 形
《应用举例》公开课ppt人教版1
《应用举例》公开课ppt人教版1
如图，在山顶铁塔B处测得地面上一点A的俯 角α=60°，在塔底C处测得A处的俯角β=30°， 已知铁塔BC部分的高为28m，求山高CD。
思考：还有没有别的方法？
《应用举例》公开课ppt人教版1
《应用举例》公开课ppt人教版1
例题
为测得湘潭县一中旗杆的高度h，在地面上取一线段AB，记旗杆的 顶部为P点，底部为O点，AB=20m，在A处测得P的仰角<OAP=30°,在B 处测得P的仰角<OBP=45°，又测得<AOB=30°，求旗杆的高度。
模型的解
《应用举例》公开课ppt人教版1
《应用举例》公开课ppt人教版1 《应用举例》公开课ppt人教版1
A
α
β
D
C
B
《应用举例》公开课ppt人教版1
例题
如图，在山顶铁塔B处测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处 测得A处的俯角β=30°，已知铁塔BC部分的高为28m，求山高CD。
《应用举例》公开课ppt人教版1
《应用举例》公开课ppt人教版1
如图，在山顶铁塔B处测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处 测得A处的俯角β=30°，已知铁塔BC部分的高为28m，求山高CD。
高中数学人教版《应用举例》ppt教学课件1
＝sin
A＋
3 2 cos
A＋12sin
A
＝ 3sinA＋6π≤ 30<A<23π， 当A＝π3，即△ABC为等边三角形时取等号．
所以sin A＋sin B的最大值为 3.
6高.中4 .数3应学用人举教例版三《角应形用中举的例几》何上计课算课-件山 东1 省枣 庄市第 八中学 人教版 高中数 学新教 材必修 第二册 课件(共 31张P PT)
无解
高 中 数 学 人 教版《 应用举 例》上 课课件 1
[基础自测] 1．思考辨析 (1)公式S＝21absin C适合求任意三角形的面积．( ) (2)三角形中已知三边无法求其面积．( ) (3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ 提示：已知三边可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面积故(2) 错．
高 中 数 学 人 教版《 应用举 例》上 课课件 1
高 中 数 学 人 教版《 应用举 例》上 课课件 1
[解] (1)∵角A，B，C为△ABC的内角，
且B＝π3，cos A＝45，
∴C＝23π－A，sin A＝35.
∴sin
C＝sin23π－A＝
3 2 cos
A＋12sin
A＝3＋140
3 .
6高.中4 .数3应学用人举教例版三《角应形用中举的例几》何上计课算课-件山 东1 省枣 庄市第 八中学 人教版 高中数 学新教 材必修 第二册 课件(共 31张P PT)
[规律方法] 1．解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识 外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握 正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键． 2．三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应 用．
高中数学人教版《应用举例》公开课件-ppt1
间的距离？
如图在河这边取一点D，构造三 角形ABD，能否求出AB?为什 么？？
高中数学人教版《应用举例》教研课 件1
A
B D
高中数学人教版《应用举例》教研课 件1
解三角形的应用---实地测量举例
例2、 为了测定河对岸两点A、B
间的距离，在岸边选定a公里长 的基线CD，并测得∠BCA=α， ∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠BDA=δ，求A、B两点的距离.
2020/11/25
的应用
高在形什和后形一的算已度物的么“来两世记圆经解及理方解是测，部我纪载内取三工学法三三量三分国的，接得角程中。角角”角内古公正了《形建，形学。学容代元六某周的筑有问？最才的很三边些髀方等关题三初被一早世形特算法生向是角的看门就纪、殊经在产量三学理作数有，正角》度实的角来解包学测十的里我际量计学自 是 括 分量二正，国中工算的希 解 三 学方已边 弦数，件也基角腊 三 科面有形…学…有、要本函文 角 。的关的家广测用问数“ 形知于边刘泛量到题和三 的识平长徽的距解之解角 计，面时在应离三一三形 算公测，计用和角。角” ，元量就，
北 C105 0 9X
解： 设舰艇A从 处靠近渔船所用的 x小时时间，
则AB21x,BC9x, AC10。
A C B 40 5 ( 10 8 10 0 0 ) 1 5 0 20
在 A B C 中 ， A B = A C 2 B C 2 2 A C B C c o s.
B
αC
A
δγ β
∠BCA=α，∠ACD=β， ∠BDC=γ，∠ADB=δ，
D
高中数学人教版《应用举例》教研课 件1
高中数学人教版《应用举例》教研课 件1
练习1.一艘船以32.2n mile / h的速度向 正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o 的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域， 这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
如图在河这边取一点D，构造三 角形ABD，能否求出AB?为什 么？？
高中数学人教版《应用举例》教研课 件1
A
B D
高中数学人教版《应用举例》教研课 件1
解三角形的应用---实地测量举例
例2、 为了测定河对岸两点A、B
间的距离，在岸边选定a公里长 的基线CD，并测得∠BCA=α， ∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠BDA=δ，求A、B两点的距离.
2020/11/25
的应用
高在形什和后形一的算已度物的么“来两世记圆经解及理方解是测，部我纪载内取三工学法三三量三分国的，接得角程中。角角”角内古公正了《形建，形学。学容代元六某周的筑有问？最才的很三边些髀方等关题三初被一早世形特算法生向是角的看门就纪、殊经在产量三学理作数有，正角》度实的角来解包学测十的里我际量计学自 是 括 分量二正，国中工算的希 解 三 学方已边 弦数，件也基角腊 三 科面有形…学…有、要本函文 角 。的关的家广测用问数“ 形知于边刘泛量到题和三 的识平长徽的距解之解角 计，面时在应离三一三形 算公测，计用和角。角” ，元量就，
北 C105 0 9X
解： 设舰艇A从 处靠近渔船所用的 x小时时间，
则AB21x,BC9x, AC10。
A C B 40 5 ( 10 8 10 0 0 ) 1 5 0 20
在 A B C 中 ， A B = A C 2 B C 2 2 A C B C c o s.
B
αC
A
δγ β
∠BCA=α，∠ACD=β， ∠BDC=γ，∠ADB=δ，
D
高中数学人教版《应用举例》教研课 件1
高中数学人教版《应用举例》教研课 件1
练习1.一艘船以32.2n mile / h的速度向 正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o 的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域， 这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
《应用举例》新教材PPT完美课件
6 . 4 . 3应用举 例三角 形中的 几何计 算-山 东省枣 庄市第 八中学 人教版 高中数 学新教 材必修 第二册 课件(共 31张P PT)
【答案】D [sin A＋cos A＝ 2sinA＋π4. ∵A 为△ABC 中最小内角， ∴A∈0，π3，∴A＋π4∈π4，172π， ∴sinA＋π4∈ 22，1， ∴sin A＋cos A∈(1， 2]．]
且B＝π3，cos A＝45，
∴C＝23π－A，sin A＝35.
∴sin
C＝sin23π－A＝
3 2 cos
A＋12sin
A＝3＋140
3 .
(2)由(1)知 sin A＝35，sin C＝3＋140
3 .
又∵B＝3π，b＝ 3，
∴在△ABC 中，由正弦定理得 a＝bssiinnBA＝65.
∴△ABC 的面积 S＝12absin C＝12×65× 3×3＋140 3＝36＋509 3
[提示] (1)适用．三角形的面积公式对任意的三角形都成立．(2)能．利 用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解．
2．三角形中常用的结论
(1)A＋B＝
π－C
，A＋2 B＝
π 2
－
C 2
；
Байду номын сангаас
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
2．（2019 年南京模拟）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC 的外接圆直径为( )
A．4 3
B．60 C．5 2
D．6 2
【答案】C [∵S△ABC＝12ac·sin B＝12c·sin 45°＝ 42c＝2，
高中数学 1.2 应用举例(在解三角形中的应用)课件 新人教A版必修5
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
ma
1 2
（ 2 b2 c2） a 2
mb
1 2
（ 2 a 2 c2） b2
mc
1 2
（ 2 a 2 b2） c2
自我训练
已知三角形的3边为a，b，c，设P 1（a b c）， 2
求证： （1）三角形的面积公式S P( p a)( p b)( p c)；
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
A
ห้องสมุดไป่ตู้
B
C
（2）r为三角形的内切圆半径，则 r ( p a)( p b)( p c)；
P
（3）把边BC，CA，AB上的高分别记为
ha，hb，hc，则：
ha
2 a
P( p a)( p b)( p c)；
hb
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
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（ 2 b2 c2） a 2
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（ 2 a 2 c2） b2
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（ 2 a 2 b2） c2
自我训练
已知三角形的3边为a，b，c，设P 1（a b c）， 2
求证： （1）三角形的面积公式S P( p a)( p b)( p c)；
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
A
ห้องสมุดไป่ตู้
B
C
（2）r为三角形的内切圆半径，则 r ( p a)( p b)( p c)；
P
（3）把边BC，CA，AB上的高分别记为
ha，hb，hc，则：
ha
2 a
P( p a)( p b)( p c)；
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B
A C
D
编辑ppt
知
道
它
有
多
长
吗
7
练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
的应用
高在形什和后形一的圆经度物的“来两么世记内取解及理方解测，部是我纪载接得三工学法三量三分三国的，正了程角中。角”角内角古公六某《建，形形学。学容些元边周代筑有的问？最才的三形特髀很等关方题初被一三世、殊算早生向法是的看门角角纪正经就产量在三理作数学，十的》有实的度角解包学来二正里测我际计量学自是括分弦边，量国中算工的希解 三 学形已…方数…，也件基三 角 科腊的有面学有要、本角 函 。文边关的家广用测问形 数“长于知刘泛到量题的 和三时平识徽的解距之角计 解，面，在应三离一形算 三就测公计用角和。， 角”已量元算，
BD AB sin BAD BC cos b sin a sin(a b )
知道它有多高吗？
编辑ppt
13
例8 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
解：在⊿ABC中，
∠BCA=90°+β,
∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，
sin B a (C b)sin9A(0 Bb)
编辑ppt
16
所A 以 B Bs ， sC ia i9 n n b 0 ()(b)sB ia c n C b o b()s
解RtABD , 得
a ab A A B h E AsC i n h a sis ni n h ab 编辑s ppt i n)(
15
例9 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α＝54°40′，在塔底 C处测得A处的俯角β＝50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m， 求出山高CD(精确到1m)
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
编辑ppt
1
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C （R为三角形的外接圆半径）
B
余弦定理
A
c
b
a
C
a2 b2 c2 2bccosA
b2 c2 a2 2cacosB
c2 a2 b2 2abcosC
b2 c2 a2 cos A
2 bc
c2 a2 b2 cos B
2 ca
cos C a 2 b 2 c 2 2 ab
编辑ppt
2
知道它有多远吗？
例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从
A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望
C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛
间的距离是
。
解：应用正弦定理，C=45 °
C
BC/sin60°=10/sin45° BC=10sin60 °/sin45°A
夹角∠CAB＝66°20′，求BC． 解：由余弦定理，得
最大角度
B2C A2B A2C 2AB AC coAs 1.925 1.420 21.9 51.4 0co 6s2 60 3.571
B C 1.8(m 9)
答：顶杆BC约长1.89m。
编辑ppt
A
C
9
B
解斜三角形应用举例
小结 实际问题
抽象概括 示意图
编辑ppt
14
例8 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 器的高是h.那么，在⊿ACD中， 根据正弦定理可得
ACsiansa(inbb)
8
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B
与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’6，02A0C 长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
60° 75°
答：5 6 12.23海里
B
编辑ppt
3
请回答下列问题：
（1）什么是解三角形，我们学了 哪些相关的定理？ （2）关于解斜三角形，你掌握了 哪几种类型？
编辑ppt
4
知道它有多宽吗？
例2.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,为
此在山的一侧选取适当的点C(如图),测得 CA=482m,CB=631.5m,∠ACB=56018’,又测得A,B 两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长
解：在ASB中，SBA＝115，
S 45，由正弦定理得
SB ABsin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线A B的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile)
h 6.5n mile此船可以继续沿正北方向航行
答：此船可以继续沿正 编辑北 ppt 方向航行
构造三角形 算演
还原说明 实际问题的解
解三角形
注意合理性！
编辑ppt
10
试试看！
围墙
A
教室
B
编辑ppt
11
例6 在离湖面高为 h米的A处，测得云的仰
角为a，而湖中云之影（云在 湖中的象） 的仰角为b，试求云的高度 H。
知
道
它
有
多
高山上的灯 塔顶部离地面的高 度？
析：由余弦定理可解AB
A
长。进而求DE。
D
思1：能否直接解三角形
ABC？ 2：能否保证A、D、
E、B在一直线上？
C
编辑ppt
E B5
解斜三角形理论 在实地测量中的应用
编辑ppt
6
解三角形的应用---实地测量举例
例3、 为了测定河对岸两点A、B
间的距离，在岸边选定1公里长 的基线CD，并测得∠ACD=90o， ∠BCD=60o，∠BDC=75o， ∠ADC=30o，求A、B两点的距离.