函数不等式恒成立问题经典总结

关于不等式恒成立问题的几种求解方法不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。

这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。

不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。

下面我们一起来探讨其中一些典型的问题一、一次函数型——利用单调性求解例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。

若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。

这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。

能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。

分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。

解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立,设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有：此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于ⅰ），或ⅱ）可合并成同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3;若改为：,构造函数，画出图象，得a<3利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围。

函数专题：函数不等式恒成立与能成立一、单变量不等式恒成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、∀∈x D ，()()min ≤⇔≤m f x m f x2、∀∈x D ，()()max ≥⇔≥m f x m f x3、∃∈x D ，()()max ≤⇔≤m f x m f x4、∃∈x D ，()()min ≥⇔≥m f x m f x 二、双变量不等式与等式一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ 1、不等关系（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，故()()min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <． 2、相等关系记()[],,y f x x a b =∈的值域为A , ()[],,y g x x c d =∈的值域为B, （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12=f x g x 成立，则有A B ⊆； （2）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12=f x g x 成立，则有A B ⊇； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12=f x g x 成立，故A B ⋂≠∅；题型一 单变量不等式恒成立问题【例1】已知函数()42+=x xb f x 为奇函数． （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1x ∈，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1=-b ；（2）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）∵函数()42+=x x bf x 的定义域为R ，且为奇函数，∴()010=+=f b ，解得1=-b ，经验证：()411222-==-x x x x f x 为奇函数，符合题意，故1=-b ；（2）∵()122=-xxf x ， ∴()f x 在R 上单调递增，且()131222-=-=-f ． ∵()23202--+<f x kx k ，则()()23212--<-=-f x kx k f ，又函数()f x 在R 上单调递增，则221x kx k --<-在[]0,1x ∈上恒成立， ∴()32141k x x >++-+在[]0,1x ∈上恒成立，设()()32141g x x x =++-+，令1t x =+，则[1,2]t ∈，函数32y t t=+在3]2上递减，在3[,2]2上递增， 当1t =时，5y = ，当2t =时，112y =， 故()max 113422g x =-=，则32k > ，∴实数k 的取值范围为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【变式1-1】已知定义在R 上的函数()22x xf x k -=-⋅是奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若对任意的R x ∈，不等式()()240f x tx f x ++->恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）1k =；（2）()3,5-【解析】（1）函数()22x x f x k -=-⋅是定义域R 上的奇函数，∴(0)0f =，即()000220f k =-⋅=，解得1k =．此时()22x xf x -=-，则()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-，符合题意；（2）因为()22x x f x -=-，且2xy =在定义域R 上单调递增，2x y -=在定义域R 上单调递减，所以()22x xf x -=-在定义域R 上单调递增， 则不等式()()240f x tx f x ++->恒成立， 即()()24f x tx f x +>-恒成立，即24x tx x +>-恒成立，即()2140x t x +-+>恒成立，所以()21440t ∆=--⨯<，解得35t -<<，即()3,5t ∈-.【变式1-2】已知()21212xxm m ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤-对任意(],1x ∈-∞-恒成立，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】[]2,3-【解析】依题意，()21212xxm m ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤-对任意(],1x ∈-∞-恒成立，可等价为221122x x m m ⎛⎫- ⎪⎝+⎭≤对任意(],1x ∈-∞-恒成立，即2in2m 1122x x m m ≤+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 令[)12,2x t =∈+∞，()[)2211,2,24f t t t t t ⎛⎫∴=+=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，()()2min 1122624f t f ⎛⎫∴==+-= ⎪⎝⎭，26m m ∴-≤，解得23m -≤≤，∴实数m 的取值范围为[]2,3-.【变式1-3】已知()()2log 124x xf x a =-⋅+ ，其中a 为常数（1）当()()102f f -= 时，求a 的值；（2）当[1x ∈+∞，）时，关于x 的不等式()1f x x ≥-恒成立，试求a 的取值范围；【答案】（1）32a =；（2）2a ≤【解析】（1）()()102f f -=得()()222log 124log 11log 4a a -+-+=－⇒()()22log 52log 42a a -=－ ⇒352842a a a -=-⇒=；（2）()122log 1241log 2x x x a x --⋅+≥-=1111242222x x x xx a a -⇒-⋅+≥⇒≤+-， 令2x t =，[)1[2x t ∈+∞∴∈+∞，，），设()112h t t t =+- ，则()min a h t ≤，()h t 在[2+∞，）上为增函数⇒2t =时，()112h t t t =+-有最小值为2，2a ∴≤.【变式1-4】已知函数()()4log 65x xf x m =+⋅.（1）当1m =-时，求()f x 的定义域；（2）若()2f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）()0,∞+；（2）(]1,2-【解析】（1）当1m =-时()()4log 65x x f x =-，令650x x ->，即65xx>，即615x⎛⎫> ⎪⎝⎭，解得0x >，所以()f x 的定义域为()0,∞+.（2）由()2f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，所以06516x x m <+⋅≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，即6166555xxx m ⎛⎫⎛⎫-<≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的[]0,1x ∈恒成立，因为165x y =是单调递减函数，65xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是单调递减函数，所以()16655xx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,1上单调递减，所以()()min 12g x g ==，所以()65xh x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,1上单调递减，所以()()max 01h x h ==-，所以12m -<，即m 的取值范围为(]1,2-.题型二 单变量不等式能成立问题【例2】定义在[]3,3-上的奇函数()f x ，已知当[]3,0x ∈-时()143x xaf x =+（a R ∈）． （1）求()f x 在(]0,3上的解析式； （2）若存在[]2,1x ∈--时，使不等式()1123x x m f x -≤-成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）()34x x f x =-；（2）5m ≥【解析】（1）根据题意，()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，则()010f a =+=，得1a =-．经检验满足题意：故1a =-； 当[]3,0x ∈-时，()1114343x x x xa f x =+=-， 当(]0,3x ∈时，[]3,0x -∈-，()114343---=-=-x x x x f x ． 又()f x 是奇函数，则()()34x xf x f x =--=-． 综上，当(]0,3x ∈时，()34x xf x =-．（2）根据题意，若存在[]2,1x ∈--，使得()1123x x m f x -≤-成立， 即11114323x x x x m --≤-在[]2,1x ∈--有解，即12243x x x m ≥+在[]2,1x ∈--有解．又由20x>，则12223xx m ⎛⎫≥+⋅ ⎪⎝⎭在[]2,1x ∈--有解．设()12223xx g x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，分析可得()g x 在[]2,1x ∈--上单调递减，又由[]2,1x ∈--时，()()11min1212523g g x --⎛⎫=-=+⋅= ⎪⎝⎭，故5m ≥．即实数m 的取值范围是[)5,+∞．【变式2-1】已知函数()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（1）求()f x 的定义域B ；（2）对于（1）中的集合B ，若x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12,4B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦；（2）13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）∵()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴114x ≤≤．∴12134x -≤-≤，则12,4B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．（2）令()21g x x x =-+，x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，即a 大于()g x 在12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．∵()21324g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()g x 在12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为113416g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴实数a 的取值范围是13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【变式2-2】已知函数()1422x x f x a +=-⋅+，其中[]0,3.x ∈（1）若()f x 的最小值为1，求a 的值；（2）若存在[]0,3x ∈，使()33f x ≥成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）5a =；（2）1a ≥ 【解析】（1）因为[]0,3x ∈，()()()22242224x x x f x a a =-⋅+=-+-，当22x =时，即当1x =时，函数()f x 取得最小值， 即()()min 141f x f a ==-=，解得5a =.（2）令[]21,8xt =∈，则()24f x t t a =-+，由()33f x ≥可得2433a t t ≥-++，令()2433g t t t =-++，函数()g t 在[)1,2上单调递增，在(]2,8上单调递减，因为()136g =，()81g =， 所以，()()min 81g t g ==，1a ∴≥.【变式2-3】已知函数()e e x xf x -=+.（1）当[0,)x ∈+∞时，试判断并证明其单调性.（2）若存在[ln 2,ln3]x ∈-，使得(2)()30f x mf x -+≥成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）单调递增，证明见解析；；（2）109,30⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）()e e x xf x -=+在[0,)+∞上单调递增，证明如下：12,[0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则()()()()()112221212211211221e e e e ee eeee e e e 1e x x x x x x x x x x x x x x x xf x f x +--+⎛⎫--=+-+=-+=- ⎝-⎪⎭，由120x x ≤<得：21e e 0x x ->，12e 1x x +>，所以()()21f x f x >，即()f x 在[0,)+∞上的单调递增 （2）由题设，[ln 2,ln 3]x ∃∈-使()()()()222(2)()3e e e e 3e e e e 10x x x x x xx x f x mf x m m -----+=+-++=+-++≥，又()()e ee e ()x x x xf x f x -----=++==，即()f x 是偶函数， 结合（1）知：()f x 在[ln 2,0]-单调递减，在[0,ln 3]上单调递增， 又510(ln 2)(ln3)23f f -=<=， 所以(0)()(ln 3)f f x f ≤≤，即102()3f x ≤≤， 令e e xxt -=+，则102,3t ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使210t mt -+≥，可得211t m t t t+≤=+，令1()g t t t =+在102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，故max 10109()330g t g ⎛⎫==⎪⎝⎭； 所以max ()m g t ≤，即109,30m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.【变式2-4】已知1≤x ≤27，函数33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b (a ＞0)的最大值为4，最小值为0． （1）求a 、b 的值；（2）若不等式()(3)0tg t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1,2a b ==；（2）43⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 【解析】（1）()()()()3333log 3log 2log 1log 3227xf x a x b a x x b =⋅++=+-++()23log 142a x a b =+--+，由1≤x ≤27得[]3log 0,3t x =∈，()[]23log 10,4x -∈，又a ＞0，因此33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b 的最大值为24+=b ， 最小值为420a b -++=， 解得1,2a b ==．（2）()()23log 1f x x =-，()()()2310tg t f kt t kt =-=--≥又1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2112t k t t t-≤=+-， 而1()2h t t t =+-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上单调递增．由不等式()()30tg t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，得：max 12k t t ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭43=． 因此，k 的取值范围是43⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，．题型三 任意-任意型不等式成立问题【例3】已知()()()21ln 12xf x xg x m ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，，若对任意[]10,3x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．14⎛⎥-∞⎤ ⎝⎦， C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 【答案】C【解析】易知()2(ln 1)f x x =+在[0,3]上单调递增，()()min 00f x f ==，()1()2x g x m =-在[1,2]上单调递减，()()max 112g x g m ==-，对任意[]10,3x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥，则()()min max f x g x ≥ 所以102m -≤，即12m ≥.故选：C.【变式3-1】已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ，其中2()24(1)f x x ax a =-+≥，2()1x g x x =+.（1）求函数()y f x =的最小值()m a ；（2）若对任意12,[0,2]x x ∈，21()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）24,12()84,2a a m a a a ⎧-≤<=⎨-≥⎩；（2）261a ≤<【解析】（1）由()()222244f x x ax x a a =-+=-+-，则二次函数的对称轴为x a =，则当12a ≤<时，()f x 在[)0,a 上单调递减，在(],2a 上单调递增，所以()()()2min 4m a f x f a a ===-；当2a ≥时，()f x 在[0,2]上单调递减，()()()min 284m a f x f a ===- ，所以()24,1284,2a a m a a a ⎧-≤<=⎨-≥⎩；（2）()()1121g x x x =++-+，当[0,2]x ∈时，[]11,3x +∈， 又()g x 在区间[0,2]上单调递增，所以()40,3g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 若对任意12,[0,2]x x ∈，()()21f x g x >恒成立 则()()21minmax f x g x >，故212443a a ≤<⎧⎪⎨->⎪⎩或24843a a ≥⎧⎪⎨->⎪⎩解得：261a ≤<.【变式3-2】已知函数()2xf x =，31()log 1xg x x-=+. （1）求()21log 20202f g ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值；（2）试求出函数()g x 的定义域，并判断该函数的单调性与奇偶性；（判断函数的单调性不必给出证明.）（3）若函数()(2)3()F x f x f x =-，且对[]10,1x ∀∈，211,22x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，都有()()12F x g x m>+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2021；（2）定义域为()1,1-，函数()g x 在()1,1-上为减函数；奇函数；（3）13,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）()2log2020231log 20202log 320212f g ⎛⎫+-=+= ⎪⎝⎭；（2）由101xx->+有11x -<<，∴函数()g x 的定义域为()1,1-. ∵3312()log log 111x g x x x -⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭，∴函数()g x 在()1,1-上为减函数； 31()log ()1xg x g x x+-==--，且定义域关于原点对称，∴函数()g x 为奇函数；（3）∵对[]10,1x ∀∈，211,22x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，都有()()12F x g x m >+恒成立，∴min max ()()F x g x m >+，由（2）知()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，∴max 1()12g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∵2()(2)3()232x x F x f x f x =-=-⋅，令2x t =，则23y t t =-，当[]0,1x ∈时，12t ≤≤，∴当32t =即223log log 312x ==-时，min 9()4F x =-， ∴914m ->+，即134m <-， ∴m 的取值范围为13,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.【变式3-3】已知函数()()2,f x x bx c b c =++∈R ，且()0f x ≤的解集为[]1,2-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()()312f x x g x +-=，若对于任意的1x 、[]22,1x ∈-都有()()12g x g x M -≤，求M 的最小值.【答案】（1）()22f x x x =--；（2）M 的最小值为1516. 【解析】（1）因为()0f x ≤的解集为[]1,2-，所以20x bx c ++=的根为1-、2，由韦达定理可得1212b c-+=-⎧⎨-⨯=⎩，即1b =-，2c =-，所以()22f x x x =--.（2）由（1）可得()()2312322f x x xx g x +-+-==，当[]2,1x ∈-时，()[]2223144,0x x x +-=+-∈-，故当[]2,1x ∈-时，()22112,116x x g x +-⎡⎤∈⎢⎣=⎥⎦， 因为对于任意的1x 、[]22,1x ∈-都有()()12g x g x M -≤， 即求()()12max g x g x M -≤，转化为()()max min g x g x M -≤， 而()max 1g x =，()min 116g x =，所以，()()max min11511616M g x g x ≥-=-=. 所以M 的最小值为1516.题型四 任意-存在型不等式成立问题【例4】已知函数()9f x x x=+和函数()g x x a =--，若对任意的[]124x ∈，，总存在[]201x ∈，，使得()()21g x f x <成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】7a >-【解析】对任意的[]124x ∈，，总存在[]201x ∈，，使得()()21g x f x <，即()()min min g x f x <，因对勾函数()9f x x x=+在[]23，上递减，在[]34，上递增， 故当[]124x ∈，时，()()min 36f x f ==， 函数()g x x a =--在[]01，上递减，所以()()min 11g x g a ==--，由()()min min g x f x <得16a --<，即7a >-．【变式4-1】已知()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，函数()22.g x x x m =-+如果对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]22,2x ∈-，使得()()21g x f x ≥，则实数m 的取值范围是__________．【答案】[)5,-+∞【解析】若对于[]12,2x ∀∈-，[]22,2x ∃∈-，使得()()21g x f x ≥，则等价为()()max max g f x x ≥()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，()00f ∴=，当(]0,2x ∈时，()(]210,3x f x =-∈，则当[]2,2x ∈-时，()[]3,3f x ∈-，()222(1)1g x x x m x m =-+=-+-，[]2,2x ∈-， ()max ()28g x g m ∴=-=+，则满足83m +≥，解得5m ≥-.【变式4-2】已知函数()()log 1xa f x a bx =+-（a ＞0且1,R ab ≠∈）是偶函数，函数()x g x a =（a ＞0且1a ≠）．（1）求实数b 的值；（2）当a ＝2时，若1(1,)∀∈+x ∞，2R ∃∈x ，使得()()()112220g x mg x f x +->恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）12b =；（2）32m ≥-.【解析】（1）由题设，()()f x f x -=，即()()log 1log 1x x a a a bx a bx -++=+-，所以log (1)(1)log (1)x xa a ab x a bx ++-=+-，则1b b -=-，可得12b =. （2）由（1）及a ＝2知：2()log (21)2x x f x =+-，()2xg x =，所以12122log ()2144xx x x m +⋅->+在1(1,)∀∈+x ∞，2R ∃∈x 上恒成立，令42x xy m +⋅=且(1,)x ∈+∞，2log (41)x t x =+-且R x ∈，只需min y t >恒成立，而21log (2)2xx t =+，由20x m =>在R x ∈上递增， 1n m m=+在(0,1)m ∈上递减，(1,)m ∈+∞上递增，2log t n =在定义域上递增，所以t 在(,0)-∞上递减，(0,)+∞上递增，故min 0|1x t t ===，综上，4210x x m +⋅->在(1,)x ∈+∞上恒成立，令2(2,)xk =∈+∞，则210k mk ->+在(2,)+∞上恒成立，而240m ∆=+>，故2{2230m m -≤+≥，可得32m ≥-.【变式4-3】已知函数2(1)()()x x a f x x ++=为偶函数. （1）求实数a 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用定义法证明你的判断：（3）设()52g x kx k =+-，若对任意的1[12]x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1-；（2）()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，证明见解析；（3）9(,]2-∞【解析】（1）()f x 为偶函数，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故()()f x f x -=对定义域内x 恒成立，22(1)()(1)()x x a x x a x x++-+-+=，即2(1)0a x +=对定义域内x 恒成立， 故1a =-；（2）22211()1x f x x x-==-，在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减， 证明：设120x x <<，21212122221212()()11()()0x x x x f x f x x x x x -+-=-=>， 故()f x 在(0,)+∞上单调递增，同理可证()f x 在(,0)-∞上单调递减； （3）由题意得()()12max max f x g x ≤，而()1max 1(2)2f x f ==，①0k ≥时，()2max (1)5g x g k ==-，152k -≥，解得902k ≤≤，②0k <时，()2max (0)52g x g k ==-，1522k -≥，故0k <时恒满足题意， 综上，k 的取值范围是9(,]2-∞．题型五 存在-存在型不等式成立问题【例5】已知函数()212=+f x x x ，()()ln 1=+-g x x a ，若存在1x ，[]20,2∈x ，使得()()12>f x g x ，则实数a 的取值范围是 . 【答案】a ＞－4【解析】问题可转化为f (x )max >g (x )min ，易得f (x )max =4，g (x )min =－a ，由f (x ) ma x > g (x ) min 得：4＞－a ，故a ＞－4即为所求.【变式5-1】已知函数()11f x x =+，()1g x x =-，若1x ∃，[]2,1x a a ∈+，使得()()12f x g x >成立，求正实数．．．a 的取值范围．【答案】2)【解析】存在1x ，2[x a ∈，1]a +，使得()()12f x g x >成立，等价为在[a ，1]a +上，()()max min f x g x >．由()1g x x =-在[a ，1]a +递增，可得()g x 的最小值为()1g a a =-， 又0a >，所以()f x 在[a ，1]a +递减，可得()f x 的最大值为1()1f a a =+， 由111a a >-+，解得22a -<02a < 综上可得，a 的范围是2)．【变式5-2】已知()2f x x x=+，()g x x a =-+，对于[]11,3x ∃∈，[]21,3x ∃∈，()()12f x g x ≥成立．【答案】20,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为对于[]11,3x ∃∈，[]21,3x ∃∈，()()12f x g x ≥成立故当1x ，[]213x ∈，时，()()12max min f x g x ， 因为()2f x x x =+在2⎡⎤⎣⎦，2⎤⎦，递增，且()13f =，()2113333f =+=， 故()()max 1133f x f ==， 而()g x x a =-+在[]13，递减， 故()()min 33g x g a ==- 所以1133a -，解得203a ，即a 的取值范围是20,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【变式5-3】已知函数()222x xf x m m -=+⨯+是R 上的偶函数，()2g x a x m =--．（1）求m 的值；（2）若存在1x ，2[1x ∈，4]，使得12()()f x g x 成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1；（2）92a． 【解析】（1）因为()222x xf x m m -=+⨯+是R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，即222222x x x x m m m m --+⨯+=+⨯+，即(1)(22)0x xm ---=，解得1m =， 故()222x xf x -=++；（2）由（1）可得2,2()2{2,2x a x g x a x x a x -++=--=+-<， 因为2,2(){2,2x a x g x x a x -++=+-<，所以()g x 在[1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，所以()max g x g =（2）a =，设2x t =，[1x ∈，4]，可得[2t ∈，16]，则12y t t=++在[2，16]递增，可得2t =时，f （2）取得最小值92，存在1x ，2[1x ∈，4]，使得12()()f x g x 成立，可得()()min max f x g x ，即为92a．题型六 任意-存在型等式成立问题【例6】已知函数1()423x x f x +=--，2()42(1)g x x mx m m =--≥，若对于任意1[0,1]x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,2)D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】定义1()423x x f x +=--，[0,1]x ∈，值域为A ；令2x t =，[1,2]t ∈，则1()423x x f x +=--可化为()222314y t t t =--=--在[1,2]t ∈上单增，所以()2max 2143y =--=-，()2min 1144y =--=-，即集合[]4,3A =--.定义2()42(1)g x x mx m m =--≥，[0,1]x ∈，值域为B ；因为对称轴22x m =≥，所以2()42g x x mx m =--在[0,1]x ∈上单调递减，所以max max ()(0)2,()(1)16g x g m g x g m ==-==-，即集合[]16,2B m m =-- 因为对于任意1[0,1]x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =成立， 所以A B ⊆.只需162164231m m m m m -<-⎧⎪-≤-⎪⎨-≥-⎪⎪≥⎩解得：1456321m m m m ⎧>⎪⎪⎪≥⎪⎨⎪≤⎪⎪⎪≥⎩， 即312m ≤≤。

重难点04 不等式恒成立、能成立问题【题型归纳目录】题型一：“Δ”法解决恒成立问题题型二：数形结合法解决恒成立问题题型三：分离参数法解决恒成立问题题型四：主参换位法解决恒成立问题题型五：利用图象解决能成立问题题型六：转化为函数的最值解决能成立问题【方法技巧与总结】在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养．【典型例题】题型一：“Δ”法解决恒成立问题例1．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意R x ∈恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．[0,1]B ．(0,1]C ．∞∞(-,0)(1,+)D ．(][),01,∞∞-+例2．已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．{}10m m -<<B ．{}10m m -≤≤C ．{|1m m ≤-或}0m >D ．{}10m m -<≤例3．已知不等式22210x x k -+->对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A．k >B ．k <C．k >k <D ．k <变式1．已知不等式2620ax x a -++<的解集为{}|12x x <<，且不等式()()225610m m x m x a --+++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为 （ ）A ．1m ≤-或7m >B ．1m <-或7m ≥C ．1m <-或7m >D ． 1m ≤-或7m ≥变式2．已知函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围为（ ）A ．{}119k k <<B ．{}119k k ≤<C ．{}119k k <≤D ．{}119k k ≤≤变式3．已知关于x 的不等式2230kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．[]0,3B ．(]0,3C ．[)0,3D ．()0,3题型二：数形结合法解决恒成立问题例4．若关于x 的不等式270x ax -+>在()2,7上有实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．8a <B ．8a ≤C ．a <D ．112a < 例5．当26x ≤≤时，关于x 的不等式2250mx mx --<恒成立，则m 的取值集合是 ． 例6．当1≤x ≤2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围．题型三：分离参数法解决恒成立问题例7．若“()02,∃∈+∞x ，210x x λ-+<”是假命题，则实数λ的取值范围是 ．例8．若0x ≥时，关于x 的一元二次不等式230x tx t --+≥恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 例9．当40x -≤≤时，关于x 的不等式2150x ax a ++-≥恒成立，则a 的取值范围是 ． 变式4．已知当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),8∞-B ．(],8∞-C ．[)8,+∞D ．()6,+∞变式5．已知不等式220x a a ---≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A a ≤≤B ．12a -≤≤C ．a ≤或a ≥D ．1a ≤-或2a ≥ 变式6．不等式2220x axy y -+≥，对于任意12x ≤≤及13y ≤≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{|a a ≤B ．{|a a ≥C ．1|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭D ．9|2⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤a a 变式7．若存在(]0,2x ∈，使不等式2230ax x a -+<成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．aB ．407a ≤≤C ．a >D ．47a > 题型四：主参换位法解决恒成立问题例10．已知函数y ＝mx 2－mx －6＋m ，若对于1≤m ≤3，y <0恒成立，求实数x 的取值范围．例11．当12m ≤≤时，210mx mx --<恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A x <<B x <<C x <<D x <<例12．若[]1,1m ∀∈-，()24420x m x m +-+->为真命题，则x 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．()1,3C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．[]1,3题型五：利用图象解决能成立问题 例13．当1<x <2时，关于x 的不等式x 2＋mx ＋4>0有解，则实数m 的取值范围为________． 例14．若关于x 的不等式22860x x a -+-≥在14x ≤≤时有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．6a ≤B ．2a ≥-C ．6a ≥D ．2a ≤-题型六：转化为函数的最值解决能成立问题例15．已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞-B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞例16．若命题“[]22,1,231x ax ax a ∃∈-++>”为假命题，则a 的最大值为（ ）A ．16B ．13C ．12 D ．14例17．已知对一切[2,3]x ∈，[3,6]y ∈，不等式220mx xy y -+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．6m ≤B ．60m -≤≤C ．0m ≥D ．06m ≤≤变式8．若存在04x ≤≤，使得不等式220x x a -+>成立，则实数a 的取值范围为 ． 变式9．若关于x 的不等式22840x x a ---≤在14x ≤≤内有解，则实数a 的取值范围为 ． 变式10．若 [0,1]x ∃∈ 使得不等式 24x m x ≥+ 成立，则实数m 的取值范围是变式11．已知不等式240ax ax -+>的解集为M ．（1）若0a >，且R M =，求实数a 的取值范围．（2）若24ax ax a -+>-对于13x <<有解，求实数a 的取值范围．变式12．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，且对于[]1,5x ∀∈，不等式220bx amx c ++>恒成立，则m 的取值范围为（ ）A ．(,-∞B ．(,∞-C ．[)13,+∞D ．。

5 1 2
即a ≥
5 1 2
小结：
4、 通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)
（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求
函数最值的方法，使 问题获解。
a sin x cos x, x [0, ]
恒成立的实数a的范围。
例（1）求使不等式
（2）求使不等式
a sin x cos x, x
-2 2 <k<2 2 。 取值范围是 ——————————
②解：原不等式可化为：x2+2>kx
11
y
y=x2+2
y=2 2 x
设 y1= x2+2 (x [-3,3]) y2= kx
在同一坐标系下作它们的图
2
y=kx
象如右图:
由图易得: -2
-３ -
2 0 2 ３
x
2 <k<2 2
y= - 2
2x
2、若不等式ax2-2x+2>0 对x(1,4)恒成立，求实数a的取
值范围。
3.若不等式
ax 1 0 对 x 1, 2
2
恒成立，求实数a的取值范围
Байду номын сангаас
4.当x 1, 2时，不等式x mx 4 0恒成立， 则m的取值范围是 _______
3 1<m< 2
适合条件的m的范围是:
-11<m < 2 。
3
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0
................
(*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；