例 如图，已知半径OA=6cm ，C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分的面积．
解：过A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于D ，
则AD 是△ACO 的边OC 上的高，
∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°， ∴AD=OAsin60°=332
36=?．
∴S 阴影=S 扇形ABO -S △ACO =
)cm (32
9
1233321360612022-π=??-?π 说明：（1）此题应用解直角三角形，三角形面积公式和扇形面积公式；（2）阴影部分的面积
是由扇形和三角形组合而成，熟练拿握扇形面积公式和三角形面积公式是求此阴影部分面积的关键；（3）灵活选用三角形面积公式： ①a ah 21S =
?；②B sin ca 2
1
C sin bc 21C sin ab 21S ===?． 例 已知：弓形的弧的度数为240°，弧长是π3
8
，求弓形的面积．
解：如图，根据弧长公式有
π=?π3
8
180OA 240． ∴OA=2．∴ S 扇形OAmB =
π=?π3
8
36022402， S △OAB =
360sin 2221=???，∴S 弓形AmB =33
8
+π． 说明：（1）弓形面积的计算；（2）弓形面积可以看成是扇形面积和三角形面积的分解和组合，
实际应用时，要注意公式的选择．
例 如图，在边长l 的正方形中，以各顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为 ．
解：S 阴影=22121S S 4S 4
1
π
-=-π-=-?-）（）（正方形圆正方形． 说明：求面积问题的常用方法有：直接公式法，和差法，割补法等．
例 如图，已知半径为1的三个等圆⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切，切点分别为M 、N 、P ，求夹在三个等圆中间的曲边形MNP 的面积．
分析：连结AB 、BC 、CA ，则必分别过点M 、N 、P ．曲边形MNP 如果先借添上三个全等扇形即构成了正△ABC ，算出△ABC 的面积后再还掉三个扇形．这样一借一还，先借后还，剩下的就是曲边形MNP ．
解：S 曲边形
MNP =
三个扇形△三个扇形三个扇形曲边形）（S S S S S A BC M N P -=-+
=π-=?π?-
???2
1
3360160360sin 22212．
说明：求有关不规则图形的面积问题的关键是将图形分解为可求图形面积的和差问题，本题是作辅助线构造三角形和扇形的面积解决的．
典型例题五
例 已知扇形的圆心角150°，弧长为π20cm ，则扇形的面积为_______. 解：设扇形的面积为S ，弧长为l ，所在圆的半径为R ，由弧长公式，得180
15020R
ππ=. ∴24=R （cm ）. 由扇形面积公式，得
ππ240360
241502=?=S .故填π240.
说明：本题主要考察弧长公式180R n l π=和扇形面积公式360
2
R n S π=.
典型例题六
例 已知弓形的弦长等于半径R ，则此弓形的面积为________.（弓形的弧为劣弧） 解：∵弓形的弦长等于半径R ， ∴弓形的弧所对的圆心角为60°，
∴扇形的面积为6
360602
2R R S ππ==. 三角形的面积为
224
360sin 21R R =?. ∴弓形的面积为
2
2
4
36
R R -
π. 即
212332R -π.故应填2
12
332R -π.
说明：注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和或差.本题
若没有括号里的条件，则有两种情况.
典型例题七
例 如图，已知扇形AOB 的中心角为直角，若cm 4=OA ，以AB 为直径作半圆，求圆中阴影部分的面积.
分析：欲求图形中阴影部分的面积，必须弄清求这个面积没有直接的公式计算，只有通过可求面积的和差来解决，因为阴影部分的面积等于以AB 为直径的半圆面积减去弓形
AmB 的面积，而AO B AO B Am B S S S ?-=扇.
解 cm 4=OA ?=∠90O ，则cm 4=OB
22)cm (4360
490ππ=???=∴AOB
S 扇
cm 24=AB
)cm (82
=∴?AO B S
)cm (42
)22(22
ππ==
∴半圆S
)cm )(84(2-=∴πAm B S 弓形
即阴影部分面积)cm (8)84(42=--=-=ππAm B S S 弓形半圆
典型例题八
例 如图，A 为⊙O 外一点，AO 交⊙O 于P ，AB 切⊙O 于B ，5=AP 厘米，
35=AB 厘米，求图中阴影部分的面积.
分析：图中阴影部分面积计算无公式可用，可转化为OBA ?Rt 与扇形OBP 的面积差. 解 连结OB ，因AB 为⊙O 的切线，故AB OB ⊥ 设⊙O 的半径为r ，
在OBA ?Rt 中，r OB =，35=AB ，r OA +=5. 则有222)5()35(r r +=+，?=∠∴60O
O BP O BA S S S 扇形阴影-=∴?
360
560355212?-??=π 6
252325π
-
=
（平方厘米） 说明：本例求半径r 时，还可用切割线定理.
典型例题九
例 已知：如图，OA 和1OO 是⊙O 中互相垂直的半径，B 在
上，弧
的圆心是1O ，
半径是1OO ，⊙2O 与⊙O 、⊙1O 、OA 都相切，61=OO .求图中阴影部分的面积.
解析
设⊙2O 与⊙O 、⊙1O 、OA 分别切于点D 、C 、E ，设⊙2O 的半径为r ，
连结21O O ，E O 2，过点2O 作O O F O 12⊥于F ，连结B O 1、OB 、2OO .
r E O r F O r O O O O =-=+=∴=21211,6,6,6
212
212F O O O EO F O -==r r r 62)6()6(22=--+=
r r F O O O S O OO 666262
1
212121=???=?=∴?
又)69)(69)(69(921r r S O OO --+--?=∴?
)9(332r -=
)9(33662r r -=∴
2922r r -=，
2
98r r -=
1=∴r 或9-=r （舍去）
又OB O 1? 是等边三角形
?=∠=∠===∴60,61111BOO O BO O O OB B O
∴扇形BO O 1和扇形B OO 1的面积相等且都等于
ππ6360
602
1=?O O O O 1∴、
、
所组成的图形面积为扇形BO O 1和扇形B OO 1的面积之和减去
三角形OB O 1的面积.
即39122
3662166-=???-
+πππ 又 扇形1OAO 的面积为：ππ964
1
2
=?
∴阴影部分的面积为：ππππππ-+-=?---39129)3912(92r π439-=
说明：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加、减得出结论.本题较为复杂，考察的知识面较多，要正确作辅助线，找出解题的思路.
典型例题十
例 （1）已知扇形的半径为10cm ，弧长为π5cm ，则扇形的面积为______cm 2. （2）一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且面积相等，则这个扇形的圆心角等于________度.
（3）如图，已知半圆的直径?=∠==35,,cm 10ACD AD AB BC ，则图中阴影部分的面积等于_________.
解 （1）设扇形半径为R ，弧长为l ，则
).cm (251052
1
212ππ=??=?=
R l S 扇形 （2）设扇形的半径为R 3，则圆的半径为R ，
22)(R R S ππ=?=圆.依题意，得扇形的圆心角为：?=÷
120360
)3(2
2
R R ππ
（3）连结,,,AD AB OA OD = ∴
∴.2ACD ∠=∠又.352,35?=∠∴?=∠ACD 又.1,3521,ACD OC PA ∠=∠∴?=∠=∠∴=
)cm (9
25360540.,//22ππ=??==∴=∴∴??OCD
ADC ODC S S S S DC AO 扇形阴影
说明：本题考查面积公式的应用，弄清公式中字母的意义，善于进行图形的转换是解
题关键.
典型例题十一
例 如图，已知：⊙O 的
长l 是半径R 的
π3
2
倍，BC AC ,是方程01)1(22=++---m x m x 的根，1=OC ，求弓形AmB 的面积.
解 延长线段OC 交⊙O 于F E ,，作AB OG ⊥于G ，
∴.21AB GB =
又.120,120,3
2180?=∠=∴==AOB n R R n l ππ ∴.60?=∠GOB
在Rt OGB ?中，.2
360sin R R GB =??= ∴R AB 3=，又.2
1
,cos R OG OB OG GOB =∴=
∠ ∴.4
321321212
R R R OG AB S ABO =??=?=
? BC AC , 是方程01)1(22=++---m x m x 的根，
∴21
+-
=?m BC AC ，① 2
1m BC AC -=+ ② 又1))((2
2
2
-=-=+-=?=?R OC R OC R OC R CF CE BC AC ③ ∴R AB BC AC 3==+ ④ 由②④得213m R -=
，由①，③得.2
112
+=
-m R
解方程组???
????+=--=.211,2
132m R m R 得.3=R
∴.360
)3(120,433432
2ππ===?OAmB ABO S R S 扇形＝
∴弓形AmB 的面积.4
3
3-
=-=?πOAB OAmB S S 扇形 说明：本题考查方程与面积的综合应用，解题关键是求⊙O 的半径，应用一元二次方程的根与系数关系等求出面积.
典型例题十二
例 如图，已知：⊙O 的半径为R ，直径⊥AB 直径CD ，以B 为圆心，以BD 为半径作⊙B 交AB 于E ，交AB 的延长线于F ，连结DB 并延长交⊙B 于M ，连结MA 交⊙O 于N ，交CD 于H ，交⊙B 于G .（1）求图中阴影部分的面积S ；（2）求证：.HM HG HN HA ?=?
解 （1）连结BC ，则,,2
122
R S R S BCD BCED ==
?π扇形 .
2
1
21.
2
1
22222R R R R S S R S CED =+-=∴-=∴πππ弓形
（2）由相交弦定理，得HC HD HM HG HC HD HN HA ?=??=?,，
∴.HM HG HN HA ?=?
说明：本题综合考查阴影面积计算与比例线段的证明，解题关键是把组合图形的面积，化归为几个简单图形面积的和或差.
典型例题十三
例 如图，ABC ?为某一住宅区的平面示意图，其周长为800米，为了美化环境，计划在住宅区周围5米（虚线以内，ABC ?之外）作为绿化带，则绿化带的面积为______（米2
）.
解 分别过C B A ,,作
BC C C BC B B AC A A AC C C AB B B AB A A ⊥''⊥''⊥''⊥'⊥'⊥',,,,,，
则A A A S A A AC B B BC B B AB S '''+''?+''?+'?=3
.
25400058005180
18022
πππ+=?+?='??+?'=?B B l B B ABC 说明：本题考查不规则图形的面积计算，解题关键是通过作辅助线转化为规则几何图形求解.
选择题
1. 如图，在ABC ?Rt 中，?=∠90BAC ，2==AC AB 以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分面积为（）
A ．1
B ．2
C ．4
1π+
D ．4
2π
-
2. 如果扇形的圆心角为?150，扇形面积为2
cm 240
π，那么扇形的弧长为（） A ．cm 5π B ．cm 10π C ．cm 20π D ．cm 40π
3. 正方形的内切圆半径为r ，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为（） A ．
22
2
r -π
B ．
22
1
r -π C ．2
)2(r -π
D ．2
)1(r -π
4. 设三个同心圆的半径分别为1r ，2r ，3r ，且321r r r <<，如果大圆的面积被两个小圆分成三等分，那么321::r r r 为（） A ．1：2：3
B ．3:2:1
C ．9:4:1
D ．2:3:1
5．已知如图，扇形AOB 的半径为12，OB OA ⊥，C 为OB 上一点，以OA 为直径的半圆
1O 和以BC 为直径的半圆2O 相切于点D ，则图中阴影部分面积为（ ）
（A ）π6 （B ）π10 （C ）π12 （D ）π20
6．若⊙1O 的60°弧与⊙2O 的45°弧长度相等，则⊙1O 与⊙2O 的面积之比为（ ） A ．16：9 B ．9：16 C ．4：3 D ．3：4
7．若扇形的面积为π12，它的弧所对的圆心角为25°，则扇形的半径是（ ）
A ．212
B ．
305
12
C ．12
D ．612 8．两圆半径分别为R 和r ，另有一大圆的面积等于这两圆面积之和的4倍，则此大圆半径为（ ）
A ．
)(21r R + B ．)(2122r R + C ．222
1r R + D ．222r R + 9．两同心圆小圆切线被大圆所截部分为6cm ，则这两圆围成的环形面积为（ ）。
A ．9cm 2
B ．36cm 2
C ．2
cm 9π D ．2
cm 36π
10．两同心圆O 中，小圆的切线P A 切小圆于A ，交大圆于PC AB PB B ,,=切大圆于
3,=PC C cm ，则两圆围成的环形面积为（ ）
A ．3cm 2
B ．
2cm 32
3π
C ．
2cm 34
9π D ．2cm 3π
11．⊙O 的面积为2
cm 4π，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则夹在圆和六边形之间的部分的面积为（ ）cm 2。
A ．)364(-π
B ．334-π
C ．324-π
D ．34-π
12．如图，以边长为a 的正三角形的三个顶点为圆心，以边长一半为半径画弧，则三弧所围成的阴影部分的面积是（ ）
A ．)32(82π-a
B ．)32(42π-a
C ．482π+a
D ．2
4
3a 13．如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，以CD 为直长在正方形内画半圆，再以C 为圆心，
1cm 长为半径画弧BD ，则图中阴影部分面积为（ ）cm 2。
A ．
2π B ．4π C ．8
π D ．16π
14．三个半径为R 的圆两两外切，则夹在三个圆之间部分的面积是（ ）
A ．
2
22
123R R π- B ．22323R R π-
C ．2)13(R -
D ．22
2
3R R π
-
15．如图，在扇形OAB 中，?=∠90AOB ，再以AB 为直径作半圆，所得月牙形面积为（ ）
A ．大于OA
B S ? B ．等于OAB S ?
C ．小于OAB S ?
D ．都有可能 16．若两个扇形的弧长分别是1l 和2l ，中心角分别是1Q 和2Q ，且21212
1
,21Q Q l l ==
，则这两个扇形的面积比是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 17．如图，三个内发圆的面积之和与半圆内阴影部分的面积相比较，下列结论正确的是（ ）
A ．阴影部分面积较大
B ．阴影部分面积较小
C ．二者面积相等
D ．二者面积大小不能确定
18．已知AB 是两个同心圆中大圆的弦，也是小圆的切线，用AB 的长表示这两个同心圆中的圆环的面积为（ ）。
A ．
π241AB B ．π24
3
AB C ．π221AB D ．π243AB 19．等边三角形外接圆半径R 是内切圆半径r 的（ ）。
A ．2倍
B ．3倍
C ．4倍
D ．5倍 20．如图，正六边形的螺帽的边长a ，这个扳手的开口b 最应是（用含a 的代数式表示）（ ）。
A ．a 3
B ．
a 21 C ．a 23 D ．a 3
3
21．如图，Rt ABC ?中，4,2,90==?=∠AB AC C ，分别以BC AC ,为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（ ）。
A ．32-π
B ．3+π
C ．32+π
D ．322-π
22．如图，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于P ，大圆的弦经过点P ，且
4,13==PD CD ，则两圆组成圆环面积是（ ）
A ．π16
B ．π36
C ．π52
D ．π81
23．如图，AB 是半圆O 的直径，以O 为圆心，OE 长为半径的半圆交AB 于F E ,两点，弦AC 是小圆的切线，D 为切点，若2,4==EO AO ，则阴影部分面积是（ ）
A ．π3432+
B ．π353+
C ．π6532+
D ．π3
422+ 24．如图，在计算机白色屏幕上有一个矩形画刷ABCD ，它的边3,1==AD AB ，以B 点
为中心，按顺时针方向转动到D C B A ''''的位置（A '点在对角线BD 上），则这个画刷所着色的面积为（ ）
A ．π323+
B ．π3
1
3+ C ．π+3 D ．32 （画刷，指屏幕上的一个矩形块，它在屏幕上移动或转动时，它扫过的部位将改变颜色）
参考答案：
1. A
2. C
3. A
4. B
5. B
6.B
7.B
8. D
9. C 10. D 11. A 12. A 13. C 14.D 15. B 16. C 17. B 18. A 19．A 20．A 21．A 22．B 23．A 24．A
填空题
1. 扇形的面积为
π43 cm 2，扇形所在圆的半径2
3
cm ，则圆心角为 度． 2. 扇形的面积为2
cm 3π，且半径长cm 6，则扇形的圆心角为________
3. 已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面积为 ．
4. 已知扇形的半径为5cm ，面积为20 cm 2，则扇形弧长为 cm ．
5. 如图1所示，矩形中长和宽分别为10 cm
和6cm ，则阴影部分的面积为 ．
6. 如图2所示，边长为a 的正三角形中，阴
影部分的面积为 ．
7. 圆内接正六边形的周长为12cm ，同圆内
接正方形的边长为 cm ，此正方形的一边截得的小弓形的面积为 cm 2． ’
8. 弓形的弦长为23cm ，弓形高为1cm ，则弓形所在圆的半径为 cm ，弓形的面积为 cm2．
9. 扇形的周长为cm 30，面积为2
6cm 5，扇形的半径为________
10. 扇形的中心角为?120，弧长为cm 2π，则扇形面积为________ 11. 半径为2的圆中，圆心角为?60的扇形面积为__________
12. 半径为cm 10的圆上，一条含?30弧的弧长为________
，由该弧及半径所围成的扇形面
6
(1)
(2)
积为_______
13．扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的弧长是 .
14. 扇形的圆心角为?30，它的面积为2
cm 3π，则此扇形的半径长为________
15. 若圆内接正六边形的边长为cm 10，则它的边心距为________，正六边形的一边在圆上截得的弓形面积为_________
16. 圆的半径为cm 4，弓形弧的度数为?60，则弓形的面积为_______
17．如图，已知：A 为⊙O 外一点，连OA 交⊙O 于P ，AB 为⊙O 的切线，B 为切点，
5cm =AP ，cm 35=AB ，则劣弧与AP AB 、围成的阴影部分的面积为 2
cm .
18．已知：⊙O 的半径为R ，以⊙O 上任意一点为圆心，以R 为半径作弧与⊙O 相交于
B A 、，则
所围成的图形面积为 .
19．圆心角是1°的扇形面积是________．
20．半径为6的圆中，弦长为36的弓形（小于半圆）面积等于________．
21．已知扇形面积为2
cm 100
π，弧的度数为75°，则扇形的周长为______． 22．两直角边分别为13,3的直角三角形外接圆面积是___________． 23．圆心角为150°，弧长为π20cm 的扇形面积是______．
24．圆1O ，圆2O 外切，又都内切于圆3O ，三个圆心在一条直线上，821=O O cm ，则圆3O 的面积是_________．
25．在面积相等的正三角形和正方形中，边长大的是_________．
26．如图，AB 为半圆的直径，OC EF DC OD AB OC BO AO ⊥=⊥==,,,2，垂足为D ，交半圆于F E ,，则._____=阴影S
27．如图，半径为8的圆内有相距为8 的两条平等弦，且两弦相等，则圆内这两条平行弦所夹的面积是_______．
28．如图，以正方形ABCD 的顶点B ，D 为圆心，边长a 为半径作弧，则阴影部分面积为________．
29．弓形弧所对圆心角120°，弧的半径为1，则弓形面积为________． 30．圆内接正方形边长为a ，则此正方形截得的小弓形面积为_________． 31．弓形弦长为32cm ，高为1cm ，则弓形面积为________．
32．三个同心圆中，两小圆把大圆面积三等分，则三圆半径之比为________．
33．已知正三角形的边长为a ，则它的内切圆与外接圆组成的圆环面积为_________．
34．圆的两条半径把圆分成两个扇形，它们的面积比为7：2，且较大扇形的面积等于π，那么圆的半径._____=r
35．如图，AB 是半圆O 的直径，点D C ,是半圆O 的三等分点，如果3=BC ，那么图中阴影部分面积为________．
36．如图，两个同心圆被两条半径截得的
，又12=AC cm ，⊙O '与
都相切，则图中阴影部分面积为_________．
37．已知：如图，OA 是⊙O 半径，AB 是以OA 为直径的⊙O '的弦，B O '的延长线交⊙O 于点C ，且?=∠=45,4OAB OA ，则由
和线段BC 所围成的图形面积是_________．
参考答案与提示:
1．120 ；2. ?03 3. 336π ;4. 8 ; 5. （60-13π）cm 2
; 6. 2
2cm a )8
43(
π-; 7. 22、π-2 ； 8. 2 、
334-π . 9. cm 7或cm 8 10. 2cm 3π 11. 2cm 32π 12. 2cm 3
5
π、2cm 3
25
π13．π2 14.
cm 615. cm 35、2)cm 325-3
50
(π16. 2)cm 34-38(π17 ．6
252325π-.提示：连结OB ，在AOB ?Rt 中，设x OB =，由勾股定理得
222)35()5(+=+x x . ∴cm 5=x ，cm 10=AO .
∴?=∠30A ，?=∠60BOA . ∴S S S AOB 61-=?阴影⊙6
252325π
-=O . 18．2)4
3
3(
2R ?-π
. 19．
360
2
R π 20．3912-π 21．π303
5
308+
22．π4 23．2cm 240π 24．2cm 64π 25．正三角形 26．
334-π 27．π364332+ 28．222a -π 29．12
334-π 30．
28
2
a -π 31．
3
3
34-π 32．3:2:1 33．24a π 34．
773 35．2π 36．π60 37．323
5
-π．
解答题
1. 如图，已知正方形ABCD 的边长为10cm ，分别以B 、D 为圆心，
AB 为半径画弧，求阴影部分的面积．
2. 已知：如图⊙O 与⊙O 外切于C ，半径分别为3和1，AB
为两圆
的外公切线，A 、B 为切点，求阴影部分的面积．
3．如图，圆的半径为R ，在圆心O 的一旁引两条平行弦AB 、CD 它们所对的圆心角AOB ∠、
COD ∠分别为?60和?120，求这两条平行弦所夹的面积？
4．如图，A 是半径为1的⊙O 外一点，2=AO ，AB 是圆的切线，
B 是切点，弦OA B
C //，求图中阴影部分面积？
5．如图，ABC ?是⊙O 的内接正三角形，AD 是BC 边上的高，已知2=OD ，求图中阴影部分的面积
.
6．如图，一种零件的横截面是由矩形、三角形和扇形组成，矩形的长cm 45.2=AB ，扇形所在的圆的半径cm 1=OB ，扇形的弧所对的圆心角为300°，求这种零件的横截面的面积.
（精确到2
0.01cm ， 3.142=π，732.13≈）.
7．扇形的周长为14cm ，面积为12cm 2，求其半径。 8．如图，正方形ABCD 中，以A 为圆心，AD 为半径作弧交AC 于E ，若阴影部分面积为π2，求AC 的长。
9．Rt ABC ?中，?=∠30A ，其外接圆圆心为O ，斜边8=AB cm ，求AB AC ,和围成
图形的面积。
10．扇形的周长是5，圆心角为
π
360
度，求此扇形的面积。
11．如图，半径为2的⊙O 中有长为32的等弦AC AB ,，求图中阴影部分的面积。
12．如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点BC A ,是外公切线。若?=∠=30,2ACB BC 。求阴影部分面积。
13．一个扇形的面积为π6，它的弧长为π2，求圆心角及半径。
14．AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，且C 为的中点，若10=AB ，求由AB AC ,及
围
成图形的面积。
15．如图，矩形ABCD 中，a BC a DC 2,==，以C 为圆心，CB 为半径画弧，交AD 于E ；以D 为圆心，DC 为半径画弧，交DA 于F ，求阴影部分面积。
16．已知⊙O 与⊙1O 外切于C 点，一条外公切线分别与两圆相切于B A ,两点，且⊙O 与⊙
1O 的半径是1cm 和3cm ，求
与AB 所围成的图形的面积。
17．已知正方形的边长是4cm ，求它的内切圆与外接圆组成的圆环面积（答案保留π）。 18．如图，已知⊙1O 与⊙2O 外切于点CD AB P ,,是它们的外公切线，21O O 为连心线，?=∠1201D AO 。（1）求证：⊙2O 周长等于的弧长；（2）当⊙2O 半径为1cm 时，求
图中阴影部分面积。
19．已知：如图，四边形ABCD 是矩形，圆弧
与AD 相交于D E ,两点，与AB 相切，
B 是切点，若33,2:1:==AB ED AE ，求：B
C 的长；（2）图中阴影部分的面积。
20．已知：如图，BC AD ,是1O 的两条弦BC AD //，以DC 为直径的⊙2O 交BC 于2cm 321,cm 14,cm 6,===?BCD S BC AB E 。求：（1）EC 的长；（2）弓形EmC （阴影部分）的面积（不取近似值）。
21．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆周上一动点。 （1）若6,30=?=∠BC CAB ，求图中阴影部分的面积；
（2）若R AB 2=，问C 运动到何处时，阴影部分的面积最小？最小面积是多少？
参考答案：
1. 50（π-2）;
2. 61134π-
.3．2
6
R S π=阴 4．连OB 、OC 可求?=∠90BOC 4
π
=
∴阴S
5．连BO ，?=∠=∠=∠30OBD ABO BAO ，∴32=BD ，32=?BO D S ，⊙O 的半
径4==OB r .ππ3
16312==
r S AOB 扇形. ∴π3
16
32+=+=?BOD AOB S S S 扇形阴影.
6．∵)cm (618.26
5
3603002≈==
ππ扇形S .可证BOC ?为等边三角形， ∴1==OB BC ，?=∠60OBC .
过O 点作BC OE ⊥于E ，得2
360sin =
??=OB OE . ∴)cm (433.04
3212≈=?=
?OE BC S OBC ，45.2=?=BC AB S 矩形. ∴O BC S S S S ?++=矩形扇形
)cm (50.545.2433.0618.22
≈++≈ ∴这个零件的横截面积为2
5.50cm . 7．4,6,122
1
,142==∴==+r l lr r l 或3,8==r l 8．24
9．划分为OAC ?与扇形OBC 面积之和，面积为π3
834+ 10．
16
25 11．π3
432+
12．求出⊙1O 的半径为
3
3
，⊙2O 的半径为3。因2,921ππ==AC O AB O S S 扇形扇形，四边形
CB O O 21为直角梯形，334=
梯S ，故π18
11
334-=阴S 13．半径为6，中心角为60° 14．
)2(4
25
+π 15．连结CE ，证CBE AEB S S S ECB 扇形梯形-=∠?=∠ 30，∴2)36(12
1
a S +=π阴 16．)cm (6
11
342π-
17．2
cm 4π
18．（1）略 （2）2cm )3
11
38(π-
=阴S 19．（1）由)(2ED AE AE AD AE AB +=?=，得9,6,3===BC ED AE ，（2）连
32
9
,=
阴S BE 20．（1）3=EC ；（2）)cm (34
9
2
32-π 21．（1）318
18-π （2）当CB CA =时，222
1
R R S -=π最小.
圆的面积计算 教学内容：新课标数学六年级上册P67、68例1，圆的面积计算公式推导，圆面积计算的运用。 教学目标： 1、通过动手操作、认真观察，让学生经历圆面积计算公式的推导过程，理解掌握圆面积公式，并能正确计算圆的面积。 2、学生能综合运用所学的知识解决有关的问题，培养学生的应用意识。 3、利用已有知识迁移，类推，使学生感受数学知识间的联系与区别。培养学生的观察、分析、质疑、概括的能力，发展学生的空间观念。 4、通过学生小组合作交流，互相学习，培养学生的合作精神和创新意识，提高动手实际和数学交流的能力，体验数学探究的乐趣和成功。 教学重点：运用圆的面积计算公式解决实际问题。 教学难点：理解把圆转化为长方形推导出计算公式的过程。 教学准备：多媒体课件及圆的分解教具，学生准备圆纸片和圆形物品。 教学过程： 出示以下图形： 1、请同学们指出这些平面图形的周长和面积，并说说它们的区别。 2、你会计算它们的面积吗？想一想，我们是怎样推导出它们面积的计算公式的？（电脑课件演示） 二、合作交流，探究新知。 1 出示圆： （1）让学生说出圆周长的概念，并指出来。 （2）想一想：圆的面积指什么？让学生动手摸一摸。 （揭示：圆所占平面的大小叫做圆的面积。）
（3）对比圆的周长和面积，让学生感受他们的区别。 同时引出课题——圆的面积。 2、推导圆面积的计算公式。 （1）学生观察书本P67主题图，思考：这个圆形草坪的占地面积是多少平方米？也就是要求什么？怎样计算一个圆的面积呢？ （2）刚才我们已经回顾了利用平移、割、补等方法推导平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式的方法，那能不能把圆也转化成学过的图形来计算？猜一猜，圆可以转化成什么图形来推导面积公式呢？你打算用什么方式进行转化？ （3）请各小组先商量一下，你们想拼成什么图形，打算怎么剪拼，然后动手操作。 ①分小组动手操作，把圆平均分成若干(偶数)等份，剪开后，拼成其他图形，看谁拼得又快又好？ ②展示交流并介绍：小组代表给大家介绍一下你们组拼出来的图形近似于什么？是用什么方法剪拼的？为什么只能说是“近似”？能不能把拼出的图形的边变直一点？ ③当圆转化成近似长方形时，你们发现它们之间有什么联系？ 课件演示：
圆面积公式与扇形面积公式： 圆的面积：22 1 4 S r d ππ == 扇形面积：2 1 3602 n S r lr π == 扇形 如图正方形ABCD的边长为1厘米，现在依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到图中阴影部分。求阴影部分的面积。(保留π)。 求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为厘米) 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14) 如图以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧，直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。例4 例2 圆和扇形——面积 例3 例1
如图正方形的边长为10厘米，分别以两个对角顶点为圆心边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为？ 如图，ABCD 是边长为a 的正方形，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为半径画圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积。 已知直角三角形ABC 中三边分别为AB ＝5cm ，AC ＝4cm ，BC ＝3cm(如图)，分别以这三边为直径画圆，则阴影部分面积为多少？ 如图，同心圆中，两圆半径分别为2和1，∠AOB ＝120°，则阴影部分的面积为多少？ 测试题 1．如图，一个半径为1厘米的小圆盘沿着一个半径为4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动。当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(3π=) 例7 例8 例5 例6
2．如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形。(圆周率取3.14)。 3． 如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径。已知10AB BC ==，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14) D B P C A 4．如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率π取近似值 227 。 5．已知正方形ABCD 的面积为20平方厘米，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求阴影部分的面积。 6．已知，圆O 的半径为8厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？ O F E D C B A
第一讲圆的周长、面积 重难点分析 重点：圆周长、面积和弧、圆心角 难点：圆的周长和面积计算方法 知识概括 一、圆的周长：围成圆的曲线的长度。 1、圆的周长总是直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比 值叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取 3.14（约等于）。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 （约1500年前，数学家和天文学家祖冲之，他计算出圆周率在 3.1415926和3.1415927之间，是世 界上第一把圆周率的值精确到7 位小数的人。） 2、如果用字母 C 表示周长，那么就有：C= d 或者C=2 r 3、圆是轴对称图形。 二、圆的面积：圆所占面积的大小。 1、用纸片剪成一个圆，把圆分成若干等份（偶数），剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼在一起。我们发现份数越多，拼成的图形越接近于长方形。 长方形的宽为r，长为C 2 , 故面积为S=r C 2 r 2 2、圆的面积也可以写成： 1 2 C S d ， S 4 4 2 试想：半圆的周长和面积？ 圆的直径、周长、面积随着半径的变化有何规律？ 三、弧、扇形、圆心角 1、弧：圆上A、B 两点之间的部分叫“弧AB” 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。圆心角：顶点在圆心的角。扇形大小和圆心角有关。
典型例题 1】 判断是否： 的半径有无数条。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ） 的直径是半径的 2 倍。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ） 有无。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ） 的半径都相等。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ） 5、直径 4 厘与半径 2 厘大。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ） 6、半径 2 分大。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ） 周率除以它的直径所得的商。 （ ） 的直径越周率越大。 （ ） 的半径是 3c m 是 9.42cm.( ) 2】 圆的大 5 倍，大（ ）倍扩大（ ）倍扩大（ ）倍 3】 半径6厘米半径8 厘米半径的比是（ ）；直径的比是（ ）的 比是（ ）的比是（ ）。 组成环是多少？ 4】 丝成一个直径 2（ ）米；如成一个正方形，正方 （ ）米是（ ）平方米 5】 轮胎外直径 50 厘米，如果转 120 辆能行多少千米？ （得数保留整千米）
扇形面积计算公式 公式：S扇=n(圆心角度数)×r^2【半径的平方（2次方）】×π（圆周率）/360.(n×r×π/180） S扇=（n/360）πR^2 （n为圆心角的度数,R为底面圆的半径） 注：π为圆周率 扇形面积公式图解 扇形面积公式推导 解：对于扇形，设一个扇形的圆心角为n°，设其半径为R, 设其弧长为L， 先考察它的弧长L与其所在的圆的周长C的关系。 圆周所对的圆心角为360°，圆周的长为 2πR， 扇形弧长L=（360°/ n°）×（2πR）。 ∴（1/2）L = （360°/ n°）×（πR） 圆的面积为S=πR2， 扇形面积则为（360°/ n°）×πR2= （360°/ n°×πR）×R = （1/2）L × R 本题的关键是：扇形的弧长 = 圆周长的（360°/ n°）倍； 扇形的面积 = 圆面积的（360°/ n°）倍； 原因是圆周所对的圆心角为360°，扇形所对的圆心角是n°。 周长与弧长的比为 360°：n° 圆面积与扇形面积的比为 360°：n° 例题 扇形圆心角120°，弧长10πcm，则扇形面积为_____cm2． 答案: 75π 解析: 根据扇形面积公式，则必须知道扇形所在圆的半径．设其半径是r，则其弧长是120πx/18 0，再根据弧长是10π，列方程求解． 解：设扇形的半径是r，根据题意，得120πx/180 =10π， 解，得r=15． 则扇形面积是=75π（cm2）． 故答案为75π． 如图，圆心角为60°的扇形中，弦AB=6，则扇形面积为()
A.π B.（根号3）π C.6π D.12π 答案:C 解析: 过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据垂径定理和勾股定理求得AC的长，从而得出扇形面积．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D， ∵AB=6，∴AD=3， ∵∠C=60°，∴∠ACD=30°， ∴AC=6， ∴扇形面积60*π*6平方/360 =6π， 故选C． 测试题 环形面积比扇形面积大．_____． 圆心角为30°的扇形，所对应的扇形面积占整个面积的_____． 扇形面积的大小() A.只与圆心角大小有关 B.只与半径长短有关 C.与半径长短无关 D.与圆心角的大小、半径的长短都有关
初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项 一、圆的面积计算公式：S=R 2 ，圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的 1 360 ，圆心角是n 度的扇形面积等于圆的面积的 360n ，扇形的弧长等于l=180n R ,?S 扇=12 lR 。 二、运用公式法、割补法、拼凑法、等积变化法、平移法、旋转法、构造方程法等方法求组合图形的面积。 三、运用割补法、平移法、旋转法、等积变换法、容斥原理求阴影部分面积。 1、弓形面积 弓形的面积可以转化为扇形的面积与三角形的面积之差，如下图所示，弓形AmB 的面积S 弓形 =S 扇性AOB -S △AOB 弓形的面积可以转化为：扇形的面积与三角形的面积之和，如下图所示弓形AmB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB 注：①当弓形所含的弧是劣弧时如甲图所示，弓形AmB 的面积S 弓形=S 扇性AOB -S △AOB ②当弓形所含的弧是优弧时，如图乙所示，AnB 的面积S 弓形 = S 扇性AOB +S △AOB ③当弓形所含的弧是半圆时，弓形的面积S 弓形= 1 2 S 圆 如图：半径OA=6cm,C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分面积S 。 （右：乙图） 解：由图形可知，S 阴影ABC =S 扇性ABO -S △ACO ，而S 扇形ABO =21206360?=12，S △ACO =12×6×3×sin60°=2 ， 所以S 阴影ABC =(9312-)cm 2 。 2、割补法 凡求与圆有关的不规则图形面积问题，一般都要把它转化为三角形、扇形、弓形的面积来求解，在进行复杂的图形的面积计算时，时常通过添加辅助线，把图形分割成若干个基本图形求解，这种求解的方法是经常用到的。 如图：⊙O 中的弦AC=2cm ，圆周角∠ABC=45°,求图中阴影部分的面积。（部分与整体）
扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 ［学习目标］ 1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。 2. 扇形面积公式： n是圆心角度数，R是扇形半径，l是扇形中弧长。 3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高 r底面半径h圆柱高 4. 圆锥侧面积 圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。 侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。 5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。 6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。 7. 圆柱 圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。如图所示，若圆柱的
底面半径为r，高为h，则：， 。 8. 圆锥 圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。如图所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则 。 ［重点、难点］ 扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。 【典型例题】
例1. 已知如图1，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积。 图1 解：∵AB＝1，BC＝2，F点在以B为圆心， BC为半径的圆上， ∴BF＝2，∴在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，∠ABF＝60° ∴ 例2. 已知扇形的圆心角150°，弧长为，则扇形的面积为____________。 解：设扇形的面积为S，弧长为l，所在圆的半径为R， 由弧长公式，得： ∴ 由扇形面积公式，，故填。
数学案例教学 题目：弧长、弦长与扇形面积、弓形面积案例教学设计作者：左春香王瑞霞 单位：唐山市丰南区职教中心 教学内容分析： 下料问题是机械专业每天都要遇到的实际生产问题。经常要遇到的是长度、周长、弧长、弦长、扇形、弓形面积和各种体积重量的计算等数学知识。本节数学课紧密地和生产实习的实例相联系，学生经过自己充分地思考和讨论后，能够更深刻地理解和记忆公式，掌握数学知识在专业生产中的应用。
教学目的：（1）通过学习掌握圆周长、弧长、弦长、扇形面积和弓形的面积的计算。 （2）能熟练运用所学的数学知识解决机械专业中气割、钳工、钣金等工种 的计算和下料等实际问题。 教学重点：弧长、弦长、扇形面积、弓形面积的计算。 实际生产问题和数学问题的联系。 课时：2课时 教学方法：讲练结合、理论联系实际 教学用具：投影仪、黑板、硬纸板做成的两个防护罩和一个圆锥形的烟囱帽、胶片7张，如下所示：
教学过程：[投影本节课的学习目标][出示胶片1]
案例引入：[出示胶片2] （并用硬纸板按尺寸或比例做两个模型向学生展示，让学生边观察边回答问题）。 提出问题：[单独提问] [师]：左图中有几个侧面？是什么形状？ [生甲]：3个，A和B是扇形的一部分，展开后C可能是矩形。 [师]：回答得很正确，如何计算各侧面的面积和全面积？ [生乙]：要计算它的侧面积需要掌握扇形的面积公式，全面积当然就是矩形面积和另两个侧面积之和。 [师]：有道理，可是，你知道那个矩形的长是多少吗？如何计算？ [生丙]：要计算它的长度还需要掌握弧长公式。 [师]：右图中的前后侧面是什么形状？它的面积如何计算？ [生丙]：前后侧面是弓形 [师]：用气割方法下料时气割长度各是多少应如何计算？ [生丁]：是各面边线长度的总和。 引入数学知识： [师]：要解决这些问题，要用到数学中，弧长、弦长、扇形的面积的计算等。这次课我们就介绍这些知识，同时，共同探讨一下机械专业中有关的下料问题
《圆的面积》教学设计 正定回民小学吴彦霞 教材分析： 本课是学生学习了其它平面图形的面积后教学的，是小学平面几何的最后阶段，教材通过直观的组合图形面积的计算，让学生操作、观察、比较推导出圆的面积计算公式来解决生活中的实际问题。 学情分析： 学生已经掌握长方形、正方形、三角形、梯形的面积计算公式，并有了将一个图形转化成另一个面积相等的图形的转化思想，在此基础上将圆转化成长方形学生是乐于接受的。 教学目标： 知识与技能: 让学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积计算公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题，构建数学模型。 过程与方法： 让学生进一步体会“转化”的数学思想方法，感情极限思想的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思维。 情感态度价值观： 让学生进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。 教学重点：让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算
公式。 教学难点：“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受。 教学准备：平均分成16份的学具、课件。 教学策略： 1、本课是在学生掌握了面积的含义及长方形、正方形等平面图形面积的计算方法，认识了圆，会计算圆的周长的基础上进行教学的，教学时要注意遵循学生的认识规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生的生活经验和已有的知识出发。 2、教学本课时，重点引导学生参与知识形成的过程，从而培养学生的创新意识、实践能力，并发展学生的空间观念提出将圆割拼成已学过的图形，组织学生动手操作，让学生主动。 教学过程： 一、复习导入，激发探索欲望 1.复习圆的周长计算方方法，圆周长的一半计算方法。 2.复习圆的面积，学生自己总结圆的面积是什么？ 3.复习已学的平面图形的计算方法。 4.我们先来回忆一下平行四边形的面积计算公式是怎样推导出来？ 我们遇到没学过的图形可以转化成学过的图形来计算,那能否把圆也转化成学过的图形来计算呢？ 【设计意图:复习铺垫，让学生能很快联系所学过的知识，很快就能进入新课的学习。】 二、新课探究
设数计算 1、一个圆的直径扩大2倍，它的半径扩大（）倍，它的周长扩大（）倍。面积扩大（） 2、两个圆的半径的比是2:3，它们直径的比是（），周长的比是（）。面积比是（） 3、圆的半径增加3倍，周长增加（）倍，面积增加（）倍。 4、圆的半径增加20%，周长增加（）%，面积增加（）% 运用： 1、小圆半径2厘米，大圆半径6厘米，小圆半径是大圆半径的（），小圆直径是大圆直径的（），小圆周长是大圆周长的（），小圆面积是大圆面积的（）， 2、圆的半径增加2厘米，直径就增加（）厘米，周长增加（）厘米。 3、大圆半径是小圆半径的3倍，大圆的面积是84.78平方厘米，则小圆的面积是（） 4、大圆半径是小圆半径的2倍，比小圆面积多12平方厘米，小圆面积是（） 关于半圆的计算（公式C半圆=∏r+2r=5.14r） 1、在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的半径是（ ）厘米；如果画一个最大的半圆，这个圆的半径是（）厘米。 2、在长6分米，宽4分米的长方形中画一个最大的圆，圆的周长多少分米？ 3、在长6分米，宽4分米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的周长多少分米？ 4、在长10分米，宽8分米的长方形中画一个最大的圆，圆的周长和面积各是多少？ 5、在长10分米，宽8分米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的周长和面积各是多少？ 6、一个半圆形的花坛，它的周长是56.52米，求它的面积是多少？ 7、一个半圆的周长是10.28，它的直径是多少？ 8、一个养鸡场，一面靠墙，里一面用篱笆围成一个半圆，半圆的直径是6米，这个篱笆有多长？ 关于圆环的计算(算准半径，直径) 1、一个池塘的周长是251.2米。池塘周围是一条5米宽的水泥路，在路的外侧围着栏杆， 2、在圆形喷水池的周长是62.8米，在离水池边2米的地方围着栏杆，栏杆长多少米？其他题 1、一个直角三角形的面积是12平方厘米，一条直角边长3厘米，以另一条直角边为直径所画圆的面积是多少？ 2、一种压路机前轮直径1.5米，宽2米，如果每分钟滚5圈，他每分钟前进多少米，每分钟压路多少平方米？ 3、把一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长比原来多10厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？， 4、在半径是3厘米的圆中画一个最大的正方形，这个正方形的面积是多少？ 5、一只大钟的分针长80厘米，它的针尖一昼夜能走多少米？
弓形（弧形）面积全能公式计算表 弓形(弧形)面积计算全能公式表 静闲翡翠林于2014年6月27日创建2014年11月16日完善弧(弓)形面积==面积--扇形中的三角形面积 弦心距==2√[半径2--(弦长÷2)2] 弦心距==半径--矢高 扇形中的三角形面积==2√[半径2--(弦长÷2)2]×半径÷2
扇形面积==半径2×3.14÷360×弧对应圆心角 周长==半径×2×3.14==直径×3.14 弧与周长的%==弧÷周长×100 弧对应圆心角==(弧÷周长×100)×360÷100 弧对应圆心角==弧÷周长×360 矢高==半径--弦心距 说明：2√[……]：表示括号内的计算结果必须开二次方； 弧两端点对应圆心的三角形就是扇形中的三角形(等腰)； 弦中点到圆心的距离，简称“弦心距”，也可叫“中位线”；
弧中点到弦中点的距离，简称“矢高”； 弧长、弦长、半径、矢高、中心角等可全部或部分从电子图中获取；以上计算公式可利用电子表格创建一个非常方便的功能计算表如下弓形(弧形)面积全能公式计算表部位名称 弧长 矢高 弦长 弦心 距 半径 周长 弧/ 周%
中心角 弧面积 1 2 3 4 5 6
8 9计算式：2=5--4 6=5×2×3.14 7=1÷6×100 8=7×360÷100 8=1÷6×360 4=5--√[52--(3÷2)2] 9=5×5×3.14÷360×8--3×(5--2)÷2 2居室台顶 3.591 0.340 3.508 4.360 4.700 29.516 12.166 43.799 0.791 2居厅台顶 4.266 0.476 4.121
【例1】如图12-1，一个半径为8的轮子沿着一个半圆的直径滚动直到它撞到半圆上（半圆的半径为25）.问轮子不能接触到的 直径有多长 答案：20 【例2】已知AB=40厘米，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是多少平方厘米（∏取） 答案：628 【例3】如图12-7，在直径为12厘米的大半圆纸片上剪掉两个完全相同的小半圆，再在剩下图形中剪掉一个最大的小圆.剩下 图形的面积是多少平方厘米 答案：
【例4】如图12-9，一个半径为10cm的圆沿图中“凸”字形的内壁滚动“凸”字形的一圈又回到原地.圆扫过的面积是多少平 方厘米 答案：7699 【例5】将四个圆如图12-14方式安排，已知圆A的半径为12cm、圆B的半径为10cm、圆C的半径为8cm、圆D的半径为6cm.请 问圆中涂灰色部分的面积总和与涂黑色部分的面积总和的 ） 差为多少平方厘米（∏=22 7 答案：1584 7 【例6】如图12-16所示，AB是半圆的直径，O是圆心，弧AC＝弧CD＝弧DB，M是弧CD的中点，H是弦CD的中点.若N是OB 上的一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分 的面积是多少平方厘米
答案：2 随堂练习1 （1）如图12-4，用粗绳围上面的一个半圆，用细线围下面三个半圆. 请问粗绳与细线长度之差为多少厘米 （2）手工课上，小红用一张直径是20厘米的圆形纸片剪出如图12-5所示的风车图案（空白部分），则被剪掉的纸片（阴影部分）的 面积是多少平方厘米（∏取） （3）如图12-6，图中有半径分别为5厘米、4厘米、3厘米的三个圆，两小圆重叠部分A的面积与阴影部分的面积相比，哪个大 随堂练习2 （1）如图12-11，正方形边长为1，则阴影部分的面积是多少
各种面积计算公式 各种面积计算公式 长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 椭圆的面积S＝πab的公式求椭圆的面积。a＝b时， 当长半径a＝3(厘米)，短半径b＝2(厘米)时，其面积S＝3×2×π＝6π(平方厘米)。 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长
圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体） 的体积=底面积×高 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长
h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长
《圆的面积》教学设计 【教学内容】 义务教育课程标准实验教科书第十一册P69～71例1、例2。 【教学目标】 1、认知目标 使学生理解圆面积的含义；掌握圆的面积公式，并能运用所学知识解决生活中的简单问题。 2、过程与方法目标 经历圆的面积公式的推导过程，体验实验操作，逻辑推理的学习方法。 3、情感目标 引导学生进一步体会“转化”的数学思想，初步了解极限思想；体验发现新知识的快乐，增强 学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的兴趣。 【教学重点】：掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。 【教学难点】：理解圆的面积计算公式的推导。 【教学准备】：相应课件;圆的面积演示教具 【教学过程】 一、情境导入 出示场景?——《马儿的困惑》 师：同学们，你们知道马儿吃草的大小是一个什么图形呀？ 生：是一个圆形。 师：那么，要想知道马儿吃草的大小，就是求圆形的什么呢？ 生：圆的面积。 师：今天我们就一起来学习圆的面积。（板书课题：圆的面积） [设计意图：通过“马儿的困惑”这一场景，让学生自己去发现问题，同时使学生感悟到今天要学习的内容与身边的生活息息相关、无处不在，同时了解学习任务，激发学生学习的兴趣。] 二、探究合作，推导圆面积公式 1、渗透“转化”的数学思想和方法。 师：圆的面积怎样计算呢？计算公式又是什么？你们想知道吗？ 我们先来回忆一下平行四边形的面积是怎样推导出来？ 生：沿着平行四边形的高切割成两部分，把这两部分拼成长方形师：哦，请看是这样吗？（教师演示）。 生：是的，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。 师：同学们对原来的知识掌握得非常好。刚才我们是把一个图形先切，然后拼，就转化成别
【基础知识训练】 例1、填表 例2、剪圆问题 在一个长6分米，宽2分米的长方形内剪一个最大的圆，圆的直径是（），周长是（），面积是（）。最多可能剪（）这样的圆。 例3、组合问题的求解，求阴影部分的面积。 12cm
例4、把一个圆平均分成若干个小扇形，再拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是9.42 dm，周长是24.84dm。这个圆的周长是（），面积是（）。 例5、一辆自行车轮胎的外直径为72cm，如果平均每分钟转100周。通过一座2260.8m的大桥，需要几分钟？ 例6、一个圆形花坛，直径5米，在它周围有一条宽1米的环形鹅卵石小路，小路的面积是多少平方米？ 例7、用一根长16dm的铁丝做一个圆形铁圈接头处是0.3dm，这个铁圈的直径是多少dm？
【基础巩固】 一、填空。 1、如果圆的半径扩大2倍，那么圆的直径扩大（）倍，那么圆的周长扩大（）倍。 2、一个车轮的直径为55cm，车轮转动一周，大约前进（）m。 3、当圆规两脚间的距离为4厘米时，画出圆的周长是（）厘米。 4、两个圆的半径分别是3cm和5cm，它们的直径的比是（），周长的比是（），面积的比是（）。 5、一个圆的半径扩大2倍,它的周长扩大( )倍,面积扩大( )倍。 6、一个环形的外圆直径是10cm,内圆直径是8cm,它的面积是（）cm2。 7、用一根12.56分米的铁丝弯成一个圆形铁环（接口处不计），铁环 的直径是（）分米，面积是（）平方分米。 二、判断。 1、直径总比半径长。（） 2、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。（） 3、一个圆的面积和一个正方形的面积相等,它们的周长也一定相等。 （） 4、半圆的周长是这个圆的周长的一半。（） 5、两端都在圆上的线段，直径是最长的一条。（） 三、选择。 1、下面各图形中，对称轴最多的是（）。 A、正方形 B、圆 C、等腰三角形 2、一个钟表的分针长10cm，从2时走到4时,分针走过了（）cm。 A、31.4 B、62.8 C、314 3、一个圆的周长是31.4分米，它的面积是（）平方分米。
知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”， 例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角 为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示）
分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以 ， 所以 注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积
九年义务教育第十一册第94页 圆的面积计算公式的推导 江油市世纪奥桥小学吴琼 设计意图： 拓展学生的思路，培养学生的创新能力，多角度来推导圆的面积计算公式。教学目标： （一）知识与技能 1．知道圆面积的含义。 2．理解和掌握圆面积的计算公式。 （二）过程与方法 1. 通过公式推导培养操作、观察、比较、分析、判断、推理、归纳概括能力，发展空间观念。 2．培养学生迁移类推能力。 （三）情感态度价值观 1.通过对圆面积公式的推导，认识到事物在一定条件下可以互相转化，渗透转化和极限的思想和方法。 2.运用转化思考方法解决实际问题， 探究过程： 1．回忆学过的图形面积公式的推导过程。 2．推导圆面积的计算公式。 （1）教师指导转化。
将已分成16等份的圆用剪刀把每一份剪开，用这些近似等腰三角形的小纸片依次横着拼起来，并用固体胶粘在纸上，看能拼成什么图形？ （2）学生动手操作。 按照老师的示范，请同学们动手剪拼一下，看到底能拼成什么图形。（学生动手操作。） 谁能向大家汇报一下，你把圆拼成了一个什么图形？（生答：拼成了一个近似的平行四边形。请把你拼好的图形放在实物投影上展示给大家看。） （3）课件演示过程。 把圆分成16等份，这些小纸片可以拼成一个近似的平行四边形；把圆分成32等份，可以拼成一个近似的长方形；如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。） （4）推导面积公式。 拼成的长方形与圆有什么联系？同位讨论。 学生汇报讨论结果。生答师继续演示课件。 生：拼成的长方形的面积与圆的面积相等。 师：这个长方形的长和宽与圆的周长和半径有什么关系？ 生：长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径。 因为长方形的面积＝长×宽 所以圆的面积＝周长的一半×半径 S＝πr×r S＝πr2 [设计意图：动手操作是学生学习数学的重要方式，让学生经历公式的推导过程，
圆的周长和面积复习课 教学目标： 1进一步理解圆的周长和面积计算公式的推导过程，进一步掌握圆的周长和面积的计算公式。 2、能运用圆的知识熟练、正确解答有关圆的周长和面积的问题。 3、建立知识间的联系，使知识系统化、条理化，培养学生灵活全面的运用知识的能力，以及运用所学知识解决实际问题能力。体验数学与日常生活密切相关。 4、培养学生认真审题的学习习惯。 教学设计思想： 复习课是帮助学生复习、巩固已学过的知识，建立知识间的联系，使知识系统化、条理化，提高学生解决问题能力的一种课型。复习课不同于练习课，复习课虽然要继续训练解题的技能技巧，但其更重要的任务是把所学的知识进行归纳、整理，把原来分散学习的知识有机地联系起来，使它形成一个完整的知识系统。这样做的目的是使学生获得稳定、清晰的核心概念，形成良好的认知结构，便于对知识的理解和记忆，也为以后学习新概念打下良好的知识基础。 教学过程： 一、创设情境，揭示课题。 同学们，这节课我们应该复习第几单元的知识了你们还有印象吗我们大家一起来回顾。 二、回顾整理本单元的知识点， 1怎样求圆的周长怎样求圆的面积 2、圆的周长和面积公式是怎样推导出来的 3、怎样求圆环的面积 4、圆的周长和面积公式的推导过程对我们学习的启示。（转化思想） 5、学生交流：在计算圆的周长和面积时怎样能够提高计算速度 、走进美丽的数学城堡
（一）第一关 1、一个圆形花坛的直径是20米，这个花坛的面积是（），周长是（）。 2、要画周长是厘米的圆，圆规两脚间的距离是（）。 3、一块边长是4分米的正方形铁板，剪下一个最大的圆，圆的面积是 （）。 4、小圆半径3厘米，大圆半径4厘米，小圆周长和大圆周长的比是 （）,面积比是（）。 （二）第二关：数学诊所 （1）两个半圆一定能拼成一个圆。（） （2）半径是2厘米的圆，周长和面积相等（） （3）大圆的圆周率比小圆的圆周率大。（） （4）半圆形纸片的周长就是圆周长的一半。（） （5）把半径3厘米的圆等分成十六份，拼成一个近似长方形，长方形的周长比圆的周长长。（） （6）—个圆的半径扩大3倍，这个圆的周长也就扩大3倍。（）（7）—个圆的半径扩大4倍，它的面积扩大8倍。（）（三）第三关：求下面的周长和面积。 （四）第四关：智慧岛 （1）1、在一个长10dm,宽7dm的硬纸板里剪半径是2dm的圆，可剪（ ）个。
弓形弧形面积全能公式计 算表 The pony was revised in January 2021
弓形(弧形)面积全能公式计算表弓形(弧形)面积计算全能公式表 静闲翡翠林于2014年6月27日创建 2014年11月16日完善弧(弓)形面积==面积--扇形中的三角形面积 弦心距==2√[半径2--(弦长÷2)2] 弦心距==半径--矢高 扇形中的三角形面积==2√[半径2--(弦长÷2)2]×半径÷2 扇形面积==半径2×3.14÷360×弧对应圆心角 周长==半径×2×3.14==直径×3.14 弧与周长的%==弧÷周长×100 弧对应圆心角==(弧÷周长×100)×360÷100 弧对应圆心角==弧÷周长×360 矢高==半径--弦心距 说明：2√[……]：表示括号内的计算结果必须开二次方； 弧两端点对应圆心的三角形就是扇形中的三角形(等腰)； 弦中点到圆心的距离，简称“弦心距”，也可叫“中位线”；
弧中点到弦中点的距离，简称“矢高”； 弧长、弦长、半径、矢高、中心角等可全部或部分从电子图中获取；以上计算公式可利用电子表格创建一个非常方便的功能计算表如下弓形(弧形)面积全能公式计算表部位名称 弧长 矢高 弦长 弦心 距 半径 周长 弧/ 周% 中心 角 弧 面积
1 2 3 4 5 6 7 8 9计算式：2=5--4 6=5×2×3.14 7=1÷6×100 8=7×360÷100 8=1÷6×360 4=5--√[52--(3÷2)2] 9=5×5×3.14÷360×8--3×(5--2)÷2 2居室台顶 3.591 0.340 3.508 4.360 4.700
小学六年级数学（圆的周长和面积） 1、把4个啤酒瓶扎在一起（如图所示），捆4圈至少用绳子多少厘米？ 2、计算下图中阴影部分的周长。（单位：厘米） 3、一个街心花园如下图的形状，中间正文形的边长是20米，四周为半圆形，这个街心花园的周长是多少米？ 4、如下图，从点A到点B沿着大圆周走和沿着中、小圆周走的路程相同吗？ 5、下图中，从A点到B点沿着大圆周走和沿着小圆周走，路程相同吗？ 6、已知AB=50厘米，求图中各圆的周长总和。
7、将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如下图形状放置，求阴影部分的周长。 8、一个半圆的周长是20.56分米，这个半圆的直径是多少厘米？ 9、以B与C为圆心的两个半圆的直径都是4分米，求阴影部分的周长。 10、下图中圆的面积等于长方形的面积，已知圆的周长是36厘米，那么图中的阴影部分的周长是多少厘米？ 11、求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 12、下图小半圆的半径为4厘米，求阴影部分面积。
13、下图中三角形的面积是12平方厘米，求阴影部分的面积是多少？ 14、一个大圆内有三个大小不等的小圆（如图），这些小圆的圆心在大圆的同一直径上，连同大圆在内每相邻的两个圆相切，已知大圆的周长是20厘米，求这三个小圆的周长之和是多少？ 15、求下图中外围的周长。（单位：厘米） 16、正方形ABCD的边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，求阴影部分的周长。
17、下图中，直径为3厘米的半圆绕A逆时针旋转600，使AB到达AC的位置，求图中阴影部分的周长。 18、根据右下图中条件，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 19、右下图中阴影部分的面积是40平方厘米，那么环形的面积是多少平方厘米？ 20、如下图，三个圆的周长都是25.12厘米，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 21、下图正方形的边长是4厘米，求中间阴影部分的面积。
【本讲教育信息】 一. 教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”， 例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角 为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长
（3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示） 分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以 ， 所以 注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点4、圆锥的侧面积
例 如图，已知半径OA=6cm ，C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分的面积． 解：过A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于D ， 则AD 是△ACO 的边OC 上的高， ∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°， ∴AD=OAsin60°=332 36=?． ∴S 阴影=S 扇形ABO -S △ACO = )cm (32 9 1233321360612022-π=??-?π 说明：（1）此题应用解直角三角形，三角形面积公式和扇形面积公式；（2）阴影部分的面积 是由扇形和三角形组合而成，熟练拿握扇形面积公式和三角形面积公式是求此阴影部分面积的关键；（3）灵活选用三角形面积公式： ①a ah 21S = ?；②B sin ca 2 1 C sin bc 21C sin ab 21S ===?． 例 已知：弓形的弧的度数为240°，弧长是π3 8 ，求弓形的面积． 解：如图，根据弧长公式有 π=?π3 8 180OA 240． ∴OA=2．∴ S 扇形OAmB = π=?π3 8 36022402， S △OAB = 360sin 2221=???，∴S 弓形AmB =33 8 +π． 说明：（1）弓形面积的计算；（2）弓形面积可以看成是扇形面积和三角形面积的分解和组合， 实际应用时，要注意公式的选择． 例 如图，在边长l 的正方形中，以各顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为 ． 解：S 阴影=22121S S 4S 4 1 π -=-π-=-?-）（）（正方形圆正方形． 说明：求面积问题的常用方法有：直接公式法，和差法，割补法等． 例 如图，已知半径为1的三个等圆⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切，切点分别为M 、N 、P ，求夹在三个等圆中间的曲边形MNP 的面积． 分析：连结AB 、BC 、CA ，则必分别过点M 、N 、P ．曲边形MNP 如果先借添上三个全等扇形即构成了正△ABC ，算出△ABC 的面积后再还掉三个扇形．这样一借一还，先借后还，剩下的就是曲边形MNP ． 解：S 曲边形 MNP = 三个扇形△三个扇形三个扇形曲边形）（S S S S S A BC M N P -=-+ =π-=?π?- ???2 1 3360160360sin 22212．