初中数学专题训练--圆--圆扇形弓形的面积

圆、扇形、弓形的面积(一)圆的面积在几何学中，圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离都相等的点的集合。

圆的面积是围绕圆心一周的区域。

公式推导设圆的半径为r，我们可以使用数学公式计算圆的面积。

圆的面积公式如下：面积= πr²其中，π（pi）是一个常数，约等于3.14159。

例子例如，如果一个圆的半径为 5 cm ，那么它的面积可以用以下公式计算：面积= π × (5 cm)² ≈ 3.14159 × 25 cm² ≈ 78.53975 cm²所以，这个圆的面积约为 78.54 平方厘米。

扇形的面积扇形是一个由圆心、圆弧及两个半径所围成的图形，其中圆心角等于360度（或2π弧度）。

扇形的面积是扇形圆心角所对应的圆弧面积。

公式推导设扇形的半径为r，圆心角为θ（单位为弧度），我们可以使用下面的公式计算扇形的面积：面积= (θ/2π) × πr² = (θ/2) × r²例子例如，如果一个扇形的半径是 6 cm ，圆心角是 60 度，我们可以使用以下公式计算扇形的面积：面积= (60/360) × π × (6 cm)² = (1/6) × 3.14159 ×36 cm² ≈ 18.84956 cm²所以，这个扇形的面积约为 18.85 平方厘米。

弓形的面积弓形是一个由圆弧、半径和两个弦所围成的图形。

弓形的面积是弓形圆心角所对应的圆弧面积减去弓形中的三角形面积。

公式推导设弓形的半径为r，圆心角为θ（单位为弧度），我们可以使用下面的公式计算弓形的面积：面积= (θ/2π) × πr² - (1/2) × r² × sin(θ)其中，sin(θ) 是角度θ的正弦值。

例子例如，如果一个弓形的半径是 8 cm ，圆心角是 90 度，我们可以使用以下公式计算弓形的面积：面积= (90/360) × π × (8 cm)² - (1/2) × (8 cm)² × sin(90°)= (1/4) × 3.14159 × 64 cm² - (1/2) × 64 cm² × 1≈ 12.56637 cm² - 32 cm²≈ -19.43363 cm²因为弓形在这个例子中是开口向下的，并且sin(90°)等于1，所以面积为负数。

圆周长、弧长 圆、扇形、弓形的面积课后习题解答与提示7．20 圆周长、弧长【练习】（课本第168页）1．如下图：O 是△ABC 的中心，连OB ．作OD ⊥BC ，垂足为D ，则OD 、OB 分别是正三角形的内切圆、外接圆的半径．在Rt △BOD 中，321==BC BD ，ABC OBD ∠=∠21 ＝30°∴330tan ==⋅ BD OD ，322==OD OB 故内切圆周长是π32cm ，外接圆周长是π34cm ．图7-1112．提示：正多边形的边心距r 是它的内切圆的半径，正多边形的半径R 是它的外接圆的半径．∴ R r R r =2ππ2．3．∵ 1318' ≈18.52°∴ 1318' 的圆心角所对的弧长)cm (9.141800.46π52.18≈⨯⨯=l注意：扇形面积公式中的n 表示1°的倍数，所以在将1318' 代入公式时，必须先化成1°的倍数，即化成度．4．如下图所示图7-112由180πR n l = 得π8112180π180⨯⨯==n l R)m (5.8≈故这段弧的半径是8.5m ．【练习】（课本第170页）1．（1）π2C，a π2．（2）π180n l ，n l ．2．提示：如下图所示，先求这条弧所对的圆心角，图7-113由4286.03515cos ≈=α得=α7364' ，圆心角为129.23°∴3．提示：设弧的半径为R ，则)cm (49.1715922≈+=R 设弧所对的圆心角为α2，则由6.0159tan ==α，得=α8530'∴ =α26561' ＝61.93°故弧长)cm (9.18180π49.1793.61≈⨯=l ．7．21 圆、扇形、弓形的面积【练习】（课本第173页）1．设圆半径为R ，则由C ＝R π2，得π2C R = ∴π4)π2(ππ222C C R S ===⋅． 2．设扇形所在圆的半径为R ，则由180ππ20Rn =，150=n ．得cm 24=R又扇形的面积360π2R n S = ∴ )cm (π24036024π15022=⨯⨯=S ．3．设正六边形内切圆半径为r ，则R R r 2360sin ==⋅ 故所求的圆环的面积为222224π)23(ππππR R R r R S =-=-=⋅． 4．设两个扇形的半径分别为1R ，2R面积分别为1S ，2S则360π211R n S =，360π222R n S = 于是1S ∶2S ＝21R ∶22R ．【练习】（课本第175页）1．（1）21233π2a -．（2）21233π10a +． 2．提示：m 2.0=OD ．由316.02.0cos ==∠AOD ，得=∠AOD 2370' )m (443.0360)6.0(π07.14122≈⨯=扇形S)m (113.02≈∆AOB S)m (33.0113.0443.02≈-=弓形S ．【练习】（课本第177页）1．（1）三角，九边，九边，九边（本题是根据对图形的观察、比较得出答案，不要求计算）．（2）22，41．2．设所求图形的面积为S ，则S 等于半径为R ，弦长为R 3的两个弓形面积的和即)223π360120(22R R R S ⨯-= 2)433π(2R -=．图7-1143．提示：设所求作圆的半径为r则由22π2πr R =得R r 22=．【想一想】（课本第178页）只需测量与内圆相切的外圆的弦长，就可以算出圆管横截面的面积．【习题7．7】（课本第179页）A 组1．（略）．2．主动轮的周长为1.2 m ，每分钟行π2.1×400m ，从而每小时行π2.1×400×60m ≈90km ．3．如下图所示，图中管道的展直长度应是3000mm 与两个41倍圆周长的和 故所求管道的展直长度为)mm (614241000π223000≈⨯⨯+=L ．图7-1154．连B O 2，则C AO B AO 122∠=∠，A O A O 1221=又＝180π22A O B AO ⋅⋅∠ ＝180π11AO C AO ⋅⋅∠＝．图7-1165．如下图所示，设O 为圆心，作OC ⊥AB ，垂足为C ，交于D ，连结OA ．设拱形的高为h ，弧长为l ，在Rt △AOC 中29==R OA ，h OC -=29，2021==AB AC ，又222AC OC OA +=解得)m (8=h又2120tan 2tan =∠=AOC n ∴ 2.87=n ．因此18029π2.87⨯=lmm 11.44≈．故m 8=h ，m 11.44≈l ．图7-1176．cm 167≈l提示：两条外公切线长)cm (0.628322221≈-=l 大圆弧长)cm (9.7218020π2092≈⨯⨯=l ，小圆弧长)cm (6.3118012π1513≈⨯⨯=l而321l l l l ++=故可得)cm (167≈l ．图7-1187．（1）皮带长l ＝5.69m ；（2）大轮每分转277转．提示：作过切点的半径D O 1、C O 2．延长D O 1到E ，使DE ＝C O 2．连结E O 2．注意：所得Rt △21EO O 中的直角边E O 1等于两圆半径的和．图7-1198．如下图所示，设BC＝a，AC＝b，AC＝c，则BC、AC、AB为直径的圆的半径分别是a21，b21，c21．∴以AB为直径的半圆面积为22π81)21(π21cc=⋅．以BC为直径的半圆面积为2π81a，以AC为直径的半圆面积为2π81b，注意到=∠ACB90°，∴222bac+=，知222π81π81π81bac+=．图7-1209．如下图，2)12π(aS-=阴影．图7-121提示：正方形的面积减两个半圆的面积等于两个空隙的面积，所以阴影部分面积是2])2(π[222⨯--⋅aaa或由四个半圆的面积减去正方形的面积，即由22)2(π214aa-⨯⨯来计算．10．设圆的半径为R ，则扇形的半径为2R依题意有360)2(ππ22R n R = 解得90=n故这个扇形的圆心角为90°．11．设OA ＝Rn COD AOB =∠=∠则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==18012)( π10π180ππ6R n R n解得n ＝60° R ＝18∴)cm (π96360)18(π6036030π60222=⨯-⨯=-=OAB OCD S S S 扇扇阴影图7-12212．如下图所示，设弓形的弧的半径为R ，由222)()2(h R b R -+=，得)m (3=R设弓形的弧所对的圆心角为α2则8.034.2sin ==α∴ ≈α53.13°∴ )2.13(8.4213603π26.1062-⨯⨯-⨯⨯=ACB S 弓形2cm 0.4≈故所求弓形ACB 的面积为)cm (0.42．图7-12313．2a S =提示：四个新月形的面积为222)22(π)2(π214a a a S ⋅-⨯⨯⨯+=2a =2π21a + 22π21a a =-．图7-124B 组1．提示：设⊙O 的半径为R ，⊙O ′的半径为r ．如下图，连结EO ，过切点A 、C 作半径A O '、C O '．图7-1253060120=∠⇒⎭⎬⎫==∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=∠OEB OB OD EOB ED OD EB OB DOB⇒⎪⎭⎪⎬⎫'='⊥'⊥'C O A O EC C O EA A O 点O '在EO 上rR r R O O rE O R OE 322=⇒⎪⎭⎪⎬⎫+='='= 弧长r r l π21803π120=⨯=⋅． 2．提示：设两个新月形的面积分别为1S 、2S ，则+-+=-++=+⋅⋅⋅∆)(8π42π42π42π22222221AB BC AC AB S BC AC S S ABC ABC S ∆ ∵ 222AB BC AC =+∴ ABC S S S ∆=+21．图7-1263．提示：22228π8π8π8πBQ BP AP AQ S -+-=阴影)(8π2222BQ BP AP AQ -+-= )]()()()[(8πBQ BP BQ BP AP AQ AP AQ -++-+=⋅⋅)(8πBQ BP AP AQ PQ +++=AB PQ AB PQ ⋅⋅⋅==428ππ． 阴影S ∶AB PQ S ⋅=4π圆∶PQ AB =24π∶AB ．图7-1274．提示：作半径OB 、E O '．连结OE ．希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！OB E O O O A O EB AE AB OE //'⇒⎭⎬⎫'='=⇒⊥E O A AOB S S A O OA AOB E O A '=⇒⎭⎬⎫'=∠='∠⇒扇形扇形42E O A AOB S S A O OA OAB AE O OB E O '∆∆=⇒⎭⎬⎫'=∆'∆⇒'42∽//所以4=--='∆'∆E O A E O A AOB AOB AnE AmBS S S S S S 扇形扇形弓形弓形．图7-128（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

专题26 与弧长、扇形面积有关的问题1.扇形弧长面积公式（1）弧长的计算公式（2）扇形面积计算公式2.弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。

（2）弓形的周长＝弦长＋弧长（3）弓形的面积当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，3．圆柱侧面积体积公式（1）圆柱的侧面积公式S侧=2πrh（2）圆柱的表面积公式：S表=S底×2+S侧=2πr2+2πr h4.圆锥侧面积体积公式专题知识回顾1802360rnrnlππ=⋅=2360rnsπ⋅=lrs21=或（1）圆锥侧面积计算公式从右图中可以看出，圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，圆锥侧面积计算公式:S圆锥侧=S扇形== πrl（2）圆锥全面积计算公式:S圆锥全=S圆锥侧＋S圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr（l ＋r）【例题1】（2019•湖北武汉）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A.B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C.E两点的运动路径长的比是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】如图，连接E B．设OA＝r．易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C 的运动轨迹是，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．如图，连接E B．设OA＝r．∵AB是直径，专题典型题考法及解析∴∠ACB ＝90°， ∵E 是△ACB 的内心， ∴∠AEB ＝135°， ∵∠ACD ＝∠BCD ， ∴＝，∴AD ＝DB ＝r ，∴∠ADB ＝90°，易知点E 在以D 为圆心DA 为半径的圆上，运动轨迹是，点C 的运动轨迹是，∵∠MON ＝2∠GDF ，设∠GDF ＝α，则∠MON ＝2α∴＝＝．【例题2】(2019山西）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =32，BC =2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ） A.2435π- B.2435π+ C.π-32 D.234π-【答案】A【解析】作DE ⊥AB 于点E ，连接OD ，在Rt △ABC 中：tan ∠CAB =BC AB ==， ∴∠CAB =30°，∠BOD =2∠CAB =60°. 在Rt △ODE 中：OE =21OD =23，DE =3OE =23.S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形BOD =2116022360AB BC OD DE OB π︒⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅︒=21136022223602ππ︒⨯--⨯⨯=︒，故选A【例题3】（2019·贵州安顺）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l的长为．【答案】6【解析】根据题意得2π×2＝，解德l＝6，即该圆锥母线l的长为6．一.选择题1.（2019•四川省广安市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（）专题典型训练题A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣【答案】A．【解析】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积，中考常考题型．根据三角形的内角和得到∠B＝60°，根据圆周角定理得到∠COD＝120°，∠CDB＝90°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴∠COD＝120°，∵BC＝4，BC为半圆O的直径，∴∠CDB＝90°，∴OC＝OD＝2，∴CD＝BC＝2，图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣2×1＝﹣。

弓形面积练习题今天我们来解决一个有关弓形面积的练习题。

弓形是一个在圆周上的一部分，我们需要计算出它的面积。

让我们一起来解决下面这个练习题。

假设我们有一个圆，半径为r，我们需要找到一个弧度θ，使得这个圆的弓形面积为A。

我们可以使用以下公式来计算弓形面积：A = 1/2 * r^2 * θ现在让我们来看一个具体的练习题。

假设我们有一个半径为10cm的圆，我们需要计算它的1/4的弓形面积。

那么我们需要找出什么样的θ，使得弓形面积为这个数值。

首先，我们将给定的面积除以半径的平方，得到以下计算式：A/(r^2) = 1/2 * θ然后，我们将已知的弓形面积的1/4代入上式中，得到1/4 = 1/2 * θ我们将上式乘以2，得到1/2 = θ因此，我们可以得出结论，对于一个半径为10cm的圆，1/4弓形的面积所对应的弧度θ为1/2。

接下来，让我们使用这个公式来计算一些其他弓形面积的例子。

假设我们有一个半径为8cm的圆，我们需要计算它的1/3的弓形面积。

我们可以使用公式A = 1/2 * (r^2) * θ将已知的数值代入公式中，得到A = 1/2 * (8^2) * θA = 32 * θ我们将给定的弓形面积除以半径的平方，得到A/(r^2) = 1/2 * θ我们将1/3代入上式中，得到1/3 = 1/2 * θ我们将上式乘以2，得到2/3 = θ因此，对于一个半径为8cm的圆，1/3弓形的面积所对应的弧度θ为2/3。

通过这个练习题，我们学习了如何计算给定弓形面积所对应的弧度θ。

通过使用相关的公式，我们可以准确地计算出弓形的面积。

这个技巧在许多实际应用中都非常有用，比如在工程设计和建筑规划中。

弓形面积的计算可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

通过解决这个练习题，我们不仅提高了我们的计算能力，还加深了对弓形几何特性的理解。

总结起来，弓形面积的计算可以通过使用相关公式和数值代入来实现。

通过解决实际问题和练习题，我们可以提高我们的数学技能，并将其应用于实际生活和工作中。

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编圆的周长、弧长圆面积、弓形面积及简单组合图形的面积一、选择题1. （2011台湾，27，4分）如图为△ABC 与圆O 的重叠情形，其中BC 为圆O 之直径．若∠A ＝70°，BC ＝2，则图中灰色区域的面积为何？（ ）A ．π36055 B ．π360110 C ．π360125D ．π360140考点：扇形面积的计算；三角形内角和定理。

专题：计算题。

分析：由∠A ＝70°，则∠B ＋∠C ＝110°，从而得出∠ODB ＋∠OEC ＝110°，根据三角形的内角和定理得∠BOD ＋∠COE ＝140°，再由扇形的面积公式得出答案． 解答：解：∵∠A ＝70°， ∴∠B ＋∠C ＝110°， ∵BC ＝2，∴OB ＝OC ＝OD ＝OE ＝1， ∴∠ODB ＋∠OEC ＝110°， ∴∠BOD ＋∠COE ＝140°， ∴S 阴影＝π360140． 故选D ．点评：本题考查了扇形面积的计算和三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握． 2.（2011•宜昌，9，3分）按图1的方法把圆锥的侧面展开，得到图2，其半径04=3，圆心角∠AOB=120°，则的长为（ ）A 、πB 、2πC 、3πD 、4π考点：弧长的计算。

专题：常规题型。

分析：弧长的计算公式为180n rπ，把半径和圆心角代入公式可以求出弧长 解答：解 1203180AB π⋅==2π．故选B ．点评：本题考查的是弧长的计算，知道圆心角和半径，代入弧长公式计算．3. （2011福建省三明市，9,4分）用半径为12cm ，圆心角为90°的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（ ）A 、1.5cmB 、3cmC 、6cmD 、12cm考点：圆锥的计算。

分析：设圆锥的底面圆半径为r ，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解． 解答：解：设圆锥的底面圆半径为r ，依题意，得2πr =90π12180⨯⨯，解得r =3cm ． 故选B ．点评：本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．4. （2006•浙江，8，3分）在△ABC 中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC 绕点B 旋转60°，顶点C 运动的路线长是（ ）A 、3π B 、32πC 、πD 、34π考点：弧长的计算；旋转的性质。

一、选择题1．如图，EM 经过圆心O ，EM ⊥CD 于M ，若CD=4，EM=6，则弧CED 所在圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．83D ．1032．下列命题说法正确的有（ ）①三点确定一个圆；②长度相等的弧是等弧；③等边三角形都相似；④直角三角形都相似；⑤平分弦的直径垂直于弦．⑥一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BOD =120°，点C 为弧BD 的中点，AC 交OD 于点E ，DE =1，则AE 的长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．25 4．如图，AB 是O 的直径，8AB =，点C 、D 、E 在O 上，45CAB ∠=︒，CD DE EB ==，P 是直径AB 上的一动点，则PCE 周长的最小值为（ ）A ．243+B ．43+C ．83+D ．12 5．如图，O 是ABC 的外接圆，其半径为3cm ，若3BC cm =，则A ∠的度数是（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D E 、，则CDE △面积的最小值为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．347．已知⊙O 的半径是一元二次方程2690x x -+=的解，且点O 到直线AB 的距离为2，则⊙O 与直线AB 的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定 8．已知O 的半径为8cm ，如果一点P 和圆心O 的距离为8cm ，那么点P 与O 的位置关系是（ ）A ．点P 在O 内B ．点P 在O 上C ．点P 在O 外D ．不能确定 9．如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆上一点，且60COA ∠=º，设扇形AOC 、COB △、弓形BmC 的面积为1S 、2S 、3S ，则他们之间的关系是（ ）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．132S S S <<D ．321S S S <<10．图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）A ．52B ．62C ．21252π-D ．21162π- 11．如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点E ． 若BAC BDC ∠=∠，则下列结论中正确的是（ ）①AE BE DE CE = ②ABE △与DCE 的周长比为BE CE③ADE ABC =∠∠ ④ABE DCE ADE BCE SS S S ⋅=⋅ A ．③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 12．如图，点,,A B C 为O 上三点，40OAB ∠=︒，则ACB ∠的度数等于（ ）A ．100︒B ．80︒C ．50︒D ．40︒二、填空题13．圆锥的底面半径是13_____． 14．如图，AB 、CD 是O 的两条弦，连接AD 、BC ．若60BAD ∠=︒，则BCD ∠的度数为______度．15．如图，ABC 内接于O ，∠BAC=70°，D 是BC 的中点，且∠AOD=156°，AE ，CF 分别是BC ，AB 边上的高，则∠BCF 的度数是____________．16．如图，在矩形ABCD 中，线段DF 平分ADC ∠交BC 边于点F ，点E 为BC 边上一动点，连接AE ，若在点E 移动的过程中，点B 关于AE 所在直线的对称点有且只有一次落在线段DF 上，则:BC AB =_____________．17．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm ，则这个扇形的面积为_____cm 2． 18．如图，PA ，PB 是圆O 的切线，切点为A 、B ，∠P ＝50°，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，则∠ACB 等于_____．19．一个边长为4的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径_______．20．如图，在平面直角坐标系中，过点()11,0A 作x 轴的垂线交直线y x =于点B ，以О为圆心，1OB 为半径作弧，交x 轴于点2A ；过点2A 作x 轴的垂线交直线y x =于点2B ，以O 为圆心，2OB 为半径作弧，交x 轴于点3A ；过点3A 作x 轴的垂线交直线y x =于点3B ，以О为圆心，3OB 为半径作弧，交x 轴于点4A ，……，按此做法进行下去，设由11A B ，12A A ，弧21A B 围成的图形面积记为1S ，由22A B ，23A A ，弧32A B 围成的图形面积记为2S ，由33A B ，34A A ，弧43A B 围成的图形面积记为3S ，……，那么2020S 为_______：三、解答题21．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，连接AC ，若CA ＝CP ，∠A ＝30°．（1）求证：CP 是⊙O 的切线；（2）若OA ＝1，求弦AC 的长．22．如图，AB 为⊙O 的直径，D 为AB 延长线上的点，AC 为弦，且∠A ＝∠D ＝30°． （1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为1cm ，求图中阴影部分的面积．23．如图，AB 是O 的弦，半径OE AB ⊥，交AB 于点,G P 为AB 延长线上一点，PC 与O 相切于点,C CE 与AB 交于点F ．（1）求证：PC PF =；（2）连接,OB BC ，若3//,32,tan 4OB PC BC P ==，求FB 的长．24．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，AD 与过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，连接BC 并延长，交AD 饿延长线于点E ．（1）求证：AE AB =；（2）若20AB =，16BC =，求CD 的长．25．已知EF 为O 的一条弦，OB EF ⊥交O 于点B ，A 是弦EF 上一点（不与E ，F 重合），连接BA 并延长交O 于点C ，过点C 作O 的切线交EF 的延长线于点D ．（1）如图1，若EF 在圆心O 的上方，且与OB 相交于点H ，求证：ACD △是等腰三角形；（2）如图2，若EF 是O 的直径，25AB =O 的半径为4，求线段DC 的长； （3）如图3，若EF 在圆心O 的下方，且与BO 的延长线相交于点H ，试判断线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系，并说明理由．26．如图，AB 是O 的一条弦，⊥OD AB ，垂足为C ，OD 交O 于点D ，点E 在O 上．（1）若40AOD ∠=︒，求DEB ∠的度数；（2）若3OC =，5OA =，求弦AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连接OC ，设弧CED 所在圆的半径为R ，则OC ＝R ，OM ＝6−R ，根据垂径定理求出CM ，根据勾股定理得出方程，求出即可．【详解】解：连接OC ，设弧CED 所在圆的半径为R ，则OC ＝R ，OM ＝6−R ，∵EM 经过圆心O ，EM ⊥CD 于M ，CD ＝4，∴CM ＝DM ＝2，在Rt △OMC 中，由勾股定理得：OC 2＝OM 2＋CM 2，R 2＝（6−R ）2＋22，R ＝103， 故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中． 2．B解析：B【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；根据相似三角形的判定对③④进行判断；根据垂径定理对⑤进行判断；根据圆周角定理对⑥进行判断．【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；②在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故②错误；③等边三角形的三个角都是60°，根据“两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似”可判定等边三角形都相似，故③正确；④直角三角形只有一个直角可以确定对应相等，其他条件不确定，故④错误；⑤平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故⑤错误；⑥圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故⑥正确．故选B．【点睛】本题考查了确定圆的条件，等弧的定义，相似三角形的判定，垂径定理，圆周角定理等知识．熟练掌握基本知识是解题的关键．3．A解析：A【分析】连接AD，可证∠ODA=∠OAD=∠AOD=60°，根据弧中点，得出∠DAC=30°，△ADE是直角三角形，用勾股定理求AE即可．【详解】解：连接AD，∵∠BOD=120°，AB是⊙O的直径，∴∠AOD=60°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA =60°，∵点C为弧BD的中点，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠AED=90°，∵DE=1，∴AD=2DE=2，AE==故选：A．【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理，解题关键是通过连接弦构造直角三角形，并通过弧相等导出30°角．4．B解析：B【分析】根据圆周角定理可知∠COB=90°，结合圆的对称性可知PCE 周长的最小值为CE C E '+，根据圆周角定理可得90CEC '∠=︒，再根据弧与圆心角的关系可知30CC E '∠=︒，解直角三角形即可．【详解】解：如下图所示，连接CO 并延长至C '，连接CE ，OE ，EC '，∵45CAB ∠=︒，∴∠COB=90°，∴C 点与C '点关于AB 所在直线对称，故当P 为EC '与AB 的交点时，PCE 周长的最小，此时CP PE C E '+=，∵CD DE EB ==， ∴1303BOE BOC ∠=∠=︒ ，60COE BOC BOE ∠=∠-∠=︒， ∴30CC E '∠=︒，∵CC '为直径，∴90CEC '∠=︒，8CC AB '==，∴2214,()432CE CC C E CC CE '''===-=， ∴PCE 周长为CE EP CP ++，最小值为443CE C E '+=+，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理，弧、圆心角的关系，勾股定理，圆的对称性，含30°角的直角三角形．能结合圆的对称性正确作出辅助线是解题关键．5．D解析：D【分析】连接OB 、OC ，则判断△OBC 是等边三角形，则∠BOC=60°，再根据圆周角定理，即可得到答案．【详解】解：连接OB 、OC ，如图：∵3OB OC BC cm ===，∴△OBC 是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠BAC=30°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理进行解题．6．A解析：A【分析】连接OB ,取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN DE ⊥于N ，先证明点C 的运动轨迹是以点(1,0)M 为圆心，1为半径的M ，设M 交MN 于点C '，解得直线DE 与坐标轴的交点，即可解得OD OE 、的长，再由勾股定理解得DE 的长，接着证明DNM DOE 解得MN 的长，最后当点C 与点C '重合时， 此时CDE △面积的最小值，据此解题．【详解】解：如图，连接OB ,取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN DE ⊥于N ，,AC CB AM OM ==112MC OB ∴== C ∴的运动轨迹是以点(1,0)M 为圆心、半径为1的圆，设M 交MN 于点C '， 直线DE 的解析式为334y x =-， 令0x =，得3y =- (0,3)E ∴-令0y =，得4x =(4,0)D ∴3,4,OE OD ∴==3DM =22345DE ∴+=,MDN ODE MND DOE ∠=∠∠=∠DNM DOE ∴MN DM OE DE ∴= 335MN ∴= 95MN ∴= 94155C N '∴=-= 当点C 与点C '重合时，此时CDE △面积的最小值11452225DE C N '=⋅=⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合题，涉及一次函数与坐标轴的交点、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．7．A解析：A【分析】解方程确定圆的半径为3，圆心距d=2,比较半径与圆心距的大小，根据法则判断即可.【详解】∵2690x x-+=，∴123x x==，∴圆的半径为3，∵点O到直线AB的距离为2，即d=2，∴d＜R，∴直线与圆相交，故选A.【点睛】本题考查了用半径、圆心距判定直线和圆的位置关系，熟练解方程，熟记d，R法则是解题的关键.8．B解析：B【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可；【详解】∵圆的半径为8cm，P到圆心O的距离为8cm，即OP=8，∴点P在圆上故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种：设OO的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外→d>r；点P在圆上→d=r；点P在圆内→d<r；9．B解析：B【分析】设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．【详解】解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA＝60°，∴∠COB ＝120°，则∠COD ＝60°．∴S 扇形AOC ＝22603606ππ=R R ； S 扇形BOC ＝221203603ππ=R R ． 在三角形OCD 中，∠OCD ＝30°，∴OD ＝2R ，CD ＝3R ，BC ＝3R ， ∴S △OBC ＝23R ，S 弓形＝2233R R π-＝2(433)π-R ， 2(433)π-R ＞26πR ＞23R ， ∴S 2＜S 1＜S 3．故选：B ．【点睛】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形﹣三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系．10．D解析：D【分析】由题意得到四边形ABCD 为矩形，BC=2，再根据中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，得到BC•AB -（S 半圆AD +S 半圆BC -S ）=S ，即2AB-π•12+S=S ，可求出AB=2π，则OP=12AB=4π，在Rt △OEP 中，利用勾股定理可计算出EP ，即可得到两圆的公共弦长EF ． 【详解】解：∵AB ，CD 为两等圆的公切线，∴四边形ABCD 为矩形，BC=2，设中间一块阴影的面积为S ，∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，∴BC•AB -（S 半圆AD +S 半圆BC -S ）=S ，即2AB-π•12+S=S ，∴AB=2π．如图，EF 为公共弦，PO ⊥EF ，OP=12AB=4π， ∴EP=22OE OF -=222161()4ππ--=， ∴EF=2EP=21162π-． 故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，公切线，连心线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．11．C解析：C【分析】根据相似三角形可得①②正确，由四点共圆可知③不符合题意，面积比转化成边长比可得④正确．【详解】解：∵BAC BDC ∠=∠，AEB DEC ∠=∠∴ABE DCE ∴AE BE DE CE= ∴①正确；相似三角形周长比等于相似比，②正确∵BAC BDC ∠=∠，且△BDC 和△BAC 共有底BC∴得到A ，B ，C ，D 四点共圆；若ADE ABC =∠∠，则=ADE ABC ACB =∠∠∠，则AB=AC ，但题目中并没有告诉这个条件，所以③不一定正确；∵△ABE 和△ADE 共有高， ∴ABEADE SBE S DE =， ∵△CBE 和△CDE 共有高， ∴BCE DCE BE S DE S = ∴ABEBCEADE DCE S BE S S DE S ==即，ABE DCE ADE BCE S S S S ⋅=⋅，故 ④正确；∴①②④正确，选C.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判断及其性质，解决本题的关键是合理作辅助圆，熟练掌握相似三角的性质定理．12．C解析：C【分析】根据等边对等角得到40OBA OAB ∠=∠=︒，利用三角形内角和可得100AOB ∠=︒，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵OA OB =，∴40OBA OAB ∠=∠=︒，∴100AOB ∠=︒， ∴1502ACB AOB ∠=∠=︒， 故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 二、填空题13．180°【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为2进而求得展开图的弧长然后根据弧长公式即可求解【详解】解：设圆锥的母线为a 根据勾股定理得：a ＝＝2设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°根据题意得2π•1解析：180°【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为2，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【详解】解：设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得：a 2，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n °，根据题意得2π•1＝2180n π⋅⋅，解得n ＝180， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为180°．故答案为：180°．【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.14．【分析】利用同圆中同弧上的圆周角相等求解即可【详解】∵∴故答案为：60°【点睛】本题考查了圆的基本性质熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键解析：【分析】利用同圆中，同弧上的圆周角相等求解即可．【详解】∵BAD ∠=BCD ∠，60BAD ∠=︒∴60BCD ∠=︒，故答案为：60°．【点睛】本题考查了圆的基本性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．15．23°【分析】连接OBOC 根据垂径定理求出再根据角的性质计算出根据计算出从而能够求出最后根据⊥求出的大小【详解】连接OBOC ∵D 是BC 的中点∴∵∴∴∵⊥∴故答案为：【点睛】本题考查圆的垂径定理圆周角解析：23°【分析】连接OB 、OC ，根据垂径定理求出BOD ∠，再根据角的性质计算出AOB ∠，根据OA OB =计算出ABO ∠，从而能够求出ABC ∠，最后根据CF ⊥AB ，求出BCF ∠的大小．【详解】连接OB 、OC∵OB OC =，D 是BC 的中点 ∴1702BOD BOC BAC ===︒∠∠∠ 1567086AOB AOD BOD =-=︒-︒=︒∠∠∠∵OA OB =∴18086472ABO ︒-︒==︒∠ 907020OBC =︒-︒=︒∠∴472067ABC ABO OBC =+=︒+︒=︒∠∠∠∵CF ⊥AB∴90906723BCF ABC =︒-=︒-︒=︒∠∠故答案为：23︒【点睛】本题考查圆的垂径定理，圆周角和圆心角关系，以及直角三角形的性质，属于基础题． 16．：1【分析】先找到点B 关于AE 所在直线的对称点H 由直角三角形的性质可求解【详解】解：如图以点A 为圆心AB 为半径的圆与DF 相切于点H 则点H 为点B 关于AE 所在直线的对称点∴AB=AHAH ⊥DF ∵DF 平分解析：2：1【分析】先找到点B 关于AE 所在直线的对称点H ，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：如图，以点A 为圆心，AB 为半径的圆与DF 相切于点H ，则点H 为点B 关于AE 所在直线的对称点，∴AB=AH ，AH ⊥DF ，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF=45°，∴∠ADF=∠DAH=45°，∴AH=DH，∴AB，∴BC：：1，1．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．17．3π【分析】根据扇形的面积公式即可求解【详解】解：扇形的面积＝＝3πcm2故答案是：3π【点睛】本题考查了扇形的面积公式正确理解公式是解题的关键解析：3π【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：扇形的面积＝21203360π⨯＝3πcm2．故答案是：3π．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键．18．65°或115°【分析】连接OAOB进而求出∠AOB=130°再分两种情况：当C在劣弧AB上当C在劣弧AB上理由圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得出结论【详解】解：如图连接OAOB∵PAPB分别切解析：65°或115°．【分析】连接OA，OB，进而求出∠AOB=130°，再分两种情况：当C在劣弧AB上，当C在劣弧AB 上，理由圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可得出结论．【详解】解：如图，连接OA、OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP＝∠OBP＝90°；在四边形APBO中，∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠P﹣∠OBP＝360°﹣50°﹣90°﹣90°＝130°①当点C在优弧AB上时，∠ACB＝12∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠ACB＝65°；当点C在劣弧AB上时，记作C'，由①知，∠ACB＝65°，∵四边形ACBC'是⊙O的内接四边形，∴∠AC'B＝180°﹣∠ACB＝180°﹣65°＝115°，故答案为：65°或115°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出∠AOB是解本题的关键．19．【分析】先求出正多边形边数为6再根据正六边形性质即可求解【详解】解：设正多边形的边数为n由题意得解得n=6∴正多边形为正六边形∵边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形∴该正多边形的半径等于解析：4【分析】先求出正多边形边数为6，再根据正六边形性质即可求解．【详解】解：设正多边形的边数为n，由题意得()21803602n-︒=︒⨯，解得 n=6∴正多边形为正六边形，∵边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，∴该正多边形的半径等于4．故答案为：4【点睛】本题考查了正多边形的相关概念，和正六边形的性质，熟知相关概念是解题关键．20．【分析】根据点A的取法罗列出部分点A的横坐标由此可发现规律即的横坐标为：再结合已知即可得到答案【详解】观察发现规律：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：故答案为：【点睛】本题解析：20172018π-22【分析】根据点A的取法，罗列出部分点A的横坐标，由此可发现规律，即n A的横坐标为：)12n-，再结合已知即可得到答案．【详解】观察，发现规律：1A 的横坐标为：1，2A 的横坐标为：2，3A 的横坐标为：()22，⋯，∴n A 的横坐标为：()12n -n B ∴的横坐标为：()12n -()()()404020192019201720182020452122223602S ππ⨯⨯∴=-⨯⨯=⋅-故答案为：2017201822π⋅-．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及规律型中的点的变换，解题关键是找出n A 的横坐标为：()12n -这一规律．三、解答题21．（1）见解析；（2）AC ＝3．【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，∠P=30°，求出∠ACP 的度数，则可求出答案；（2）连接BC ，由勾股定理可求出答案．【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图1，∵OA ＝OC ，∠A ＝30°，∴∠A ＝∠ACO ＝30°，∵CA ＝CP ，∴∠A ＝∠P ＝30°，∴∠ACP ＝180°﹣∠A ﹣∠P ＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠OCP ＝∠ACP ﹣∠ACO ＝120°﹣30°＝90°，∴OC ⊥CP ，∴CP 是⊙O 的切线；（2）解：如图2，连接BC，∵OA＝OB＝1，∴AB＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，∴BC＝12AB＝1，∴AC＝22AB BC-＝3．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．22．（1）见解析；（2）36π-【分析】（1）连接OC．由圆周角定理得：∠COD＝2∠A ＝60°．根据三角形内角和可求∠OCD＝90°即可；（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积即可．【详解】解：（1）证明：连接OC，∵∠A ＝∠D＝30°，由圆周角定理得：∠COD＝2∠A ＝60°．∴∠DCO＝180°﹣∠COD-∠D=180°-60°﹣30°＝ 90°，∴OC⊥CD．∵OC为半径，∴DC 是⊙O 切线．（2）在Rt △OCD 中，∠D ＝30°，OC ＝1cm ，∴OD ＝2cm ，由勾股定理得：DC ＝3cm ． ∴图中阴影部分的面积21601313236026OCD OB SS S 扇形C ． 【点睛】此题综合考查了圆周角性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法，解题的关键是用割补法求引用面积阴影部分的面积OCD OB SS S 扇形C ．23．（1）见解析；（2）2FB =【分析】（1）由切线的性质可得∠OCP=90°，由等腰三角形的性质可得∠E=∠OCE ，可得∠CFP=∠FCP ，可得PC=PF ；（2）过点B 作BH ⊥PC ，垂足为H ，由题意可证四边形OCHB 是正方形，由勾股定理可得BH=CH=3，可求PH ，BP 的长，即可求BF 的长．【详解】解：（1）连接OC ．OE AB ⊥，90EGF ∴∠=︒． PC 与C 相切于点C ，90OCP ∠=︒，90E EFG OCF PCF ∴∠+∠=∠+∠=︒．OE OC =，E OCF ∴∠=∠，EFG PCF ∴∠=∠．EFG PFC ∠=∠，PCF PFC ∴∠=∠，PC PF ∴=．（2）过点B 作BH PC ⊥于点H ．//,90OB PC OCP ∠=︒，90BOC ∴∠=︒．OB OC =，∴四边形OCHB 是正方形，∴BH=CH ，∵BH2+CH 2=BC 2，BC=∴BH=CH=3，在Rt BHP 中，4tan BH PH P==， ∴PF=PC=3+4=7，5BP =，752FB ∴=-=．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线的性质，以及锐角三角函数等知识，需要学生灵活运用所学知识．24．（1）见解析；（2）485CD =【分析】（1）连接AC 、OC ，由题意易得OC CD ⊥，进而可得//OC AE ，然后有2AE OC =，最后根据圆的基本性质可求解；（2）由题意及（1）可得12CE CB ==，20AE AB ==，进而可得12AC =，然后根据等积法可求解．【详解】（1）证明：连接AC 、OC ，∵CD 是O 的切线，∴OC CD ⊥，∵CD AE ⊥，∴//OC AE ，∵O 是AB 中点，∴OC 是ABE △的中位线，∴2AE OC =，∵22AB OA OC ==，∴AE AB =；（2）解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒， ∵20AB =，16BC =，AB=AE∴16CE CB ==，20AE AB ==，∴在Rt △ACB 中，由勾股定理可得12AC =， ∵1122ACE S AE CD AC CE =⋅=⋅， ∴20CD 1612⨯=⨯， ∴485CD =． 【点睛】 本题主要考查切线的性质定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．25．（1）见解析；（2）线段DC 的长为3；（3）线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系为2DA DE DF =⋅，理由见解析．【分析】（1）连接OC ，由题意易得OC DC ⊥，∠B=∠OCB ，则有9090DCA ACO B ∠=︒-∠=︒-∠，进而可得DAC DCA ∠=∠，然后问题可求证； （2）连接OC ，则OC DC ⊥，由勾股定理可得2AO =，由（1）可得DA DC =，设DC x =，则2OD x =+，然后再由勾股定理可求DC 的长；（3）连接CF ，CE ，连接CO 并延长交O 于点G ，连接GF ，由题意可得9090DCA OCB HBA ∠=︒-∠=︒-∠，则有DA DC =，进而可得CED DCF ∠=∠，然后有CDF EDC ∽△△，则根据相似三角形的性质及线段的等量关系可求解．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，则OC DC ⊥，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB ，∴9090DCA ACO B ∠=︒-∠=︒-∠，又∵90DAC BAH B ∠=∠=︒-∠，∴DAC DCA ∠=∠，∴DA DC =，∴ACD △是等腰三角形；（2）如图，连接OC ，则OC DC ⊥，∵在Rt ABO △中，25AB =，O 的半径为4，∴2AO =，由（1）可得DA DC =，设DC x =，则2OD x =+，∴在Rt OCD △中，()22242x x +=+， ∴3x =，即线段DC 的长为3；（3）线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系为2DA DE DF =⋅，理由：如图，连接CF ，CE ，连接CO 并延长交O 于点G ，连接GF ， ∵DC 为O 的切线，∴9090DCA OCB HBA ∠=︒-∠=︒-∠，又∵90BAH HBA ∠=︒-∠，CAD BAH ∠=∠，∴∠=∠DCA CAD ，∴DA DC =，∵CG 是O 的直径，∴90CFG ∠=︒，∴90CED CGF GCF ∠=∠=︒-∠，又∵90DCF GCF ∠=︒-∠，∴CED DCF ∠=∠，又∵D D ∠=∠，∴CDF EDC ∽△△， ∴DC DF DE DC=， ∴2DC DE DF =⋅，∴2DA DE DF =⋅．【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质及切线的性质定理，熟练掌握相似三角形的性质及切线的性质定理是解题的关键．26．（1）20°；（2）8【分析】（1）欲求DEB ∠，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解； （2）利用垂径定理可以得到142A C B C B A ===，从而得到结论． 【详解】解：（1）OD AB ⊥，∴AD BD =，11402022DEB AOD ∴∠=∠=⨯︒=︒． （2）3OC =，5OA =，且⊥OD AB ，4AC ∴=，OD AB ⊥，∴12AD BD AB ==， 142AC BC AB ∴===， 8AB ∴=．【点睛】 此题考查了圆周角与圆心角定理以及垂径定理，熟练掌握垂径定理得出4AC CB ==是解题关键．。

圆、扇形、弓形的面积(三)教学目标：1、简单组合图形的分解；3、通过简单组合图形的分解，培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力.4、通过对s△与s扇形关系的探讨，进一步研究正多边形与圆的关系，培养学生抽象思维能力和归纳概括能力.教学重点：简单组合图形的分解.教学难点：正确分解简单的组合图形.教学过程：一、新课引入：上节课学习了弓形面积的计算，并且从中获得了简单组合图形面积的计算可转化为规则图形的和与差来解决的方法.今天我们继续学习“7.20圆、扇形、弓形的面积(三)”，巩固化简单组合图形为规则图形和与差的方法.学生在学习弓形面积计算的基础上，获得了通过分解简单组合图形，计算其面积的方法.但要正确分解图形，还需一定题量的练习，所以本堂课为学生提供练习题让学生们互相切磋、探讨.通过正多边形的有关计算的复习进一步理解正多边形与圆的关系，随着正多边形边数增加，周长越来越趋向于圆的周长，面积越来越趋向于圆的面积，使学生初步体会极限的思想，了解s△与s扇形之间的关系.二、新课讲解：(复习提问)：1.圆面积公式是什么？2.扇形面积公式是什么？如何选择公式？3.当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4.当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5.当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？(以上各题均安排中下生回答.)(幻灯显示题目)：如图7-168，已知⊙o上任意一点c为圆心，以r从题目中可知⊙o的半径为r，“以⊙o上任意一点c为圆心，以r为半径作弧与⊙o相交于a、b.”为我们提供的数学信息是什么？(安排中上生回答：a、b到o、c的距离相等，都等于oc等于r.) 转化为弓形面积求呢？若能，辅助线应怎样引？(安排中等生回答：能，连结ab.)大家观察图形不难发现我们所求图形实质是两个弓形的组合，即倍？(安排中下生回答：因已知oa=oc=ac所以△oac是等边三角同学们讨论研究一下，s△aob又该如何求呢？(安排中上等生回答：求s△aob，需知ab的长和高的长，所以设oc与ab交点为d.∵∠aoc=60°，oa=r∴解rt△aod就能求出ab与高od.)连结oc交ab 于d怎么就知od⊥ab？(安排中等生回答：根据垂径定理∵c是ab中点.)同学们互相研究看，此题还有什么方法？下面给出另外两种方法，供参考：幻灯展示题目：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积.请同学们仔细观察图形，思考如何分解这个组合图形.同学间互相讨论、研究、交流看法：现将学生可能提出的几种方案列出，供参考：方案1.s阴=s正方形-4s空白.观察图形不难看出sⅱ+sⅳ=s正方形-方案2.观察图形，由于正方形abcd∴∠aob=90°，由正方形的轴对称性可知阴影部分被分成八部分.观察发现半圆aob的面积-△即可.即s阴=4s瓣而s瓣=s半⊙-s△aob∴s阴=4.(s半⊙-s△aob)=2s⊙-4s△aob=2s⊙-s正方形.方案4.观察扇形eao，一瓣等于2个弓形，一个s弓形=s扇oa- 方案5.观察rt△abc部分.用半圆boc与半圆aob去盖rt△abc，发现这两个半圆的和比rt△abc大，大出一个花瓣和两个弓形，而这两个弓形的和就又是一个瓣.因此有2个s瓣=2个s半圆-srt△abc=方案6.用四个半圆盖正方形，发现其和比正方形大，大的部分恰是s即：。

2020年中考数学冲刺几何题型 专项突破 圆问题汇编
专题二 求弓形的面积问题中圆的应用
【知识精讲】
弓形的面积
(1)如图①，当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差，即S 弓形＝S 扇形－S ①OAB ；
(2)如图①，当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，即S 弓形＝S 扇形＋S ①OAB ；
(3)如图①，当弓形的弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半，即S 弓形＝12
S 圆． 【精典例题】
1、如图，正方形ABCD 内接于①O ，①O 的半径为2.以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E .交AD 的延长线于点F .则图中阴影部分的面积是( A )
A ．4π－4
B ．4π－8
C ．8π－4
D ．8π－8
2、如图，扇形AOB 的半径为1，①AOB ＝90°，以AB 为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为( C )
A.14
π B ．π－12 C.12 D.14π＋12
3、如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，以AB 为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( )
A ．25π－6
B.25π2－6
C.25π6－6
D.25π8
－6 4、如图，在平行四边形ABCD 中，AB <AD ，①D ＝30°，CD ＝4，以AB 为直径的①O 交BC 于点E ，则阴影
部分的面积为．
5、如图，已知AB 是①O 的直径，C 是①O 上的点，点D 在AB 的延长线上，①BCD ＝①BAC .。

第七章第二十节圆扇形弓形的面积习题精选例1、如图，已知半径OA=6cm，C为OB的中点，∠AOB=120°，求阴影部分的面积．解:过A作AD⊥BO交BO的延长线于D，则AD是△ACO的边OC上的高，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴AD=OAsin60°=．∴S阴影=S扇形ABO-S△ACO=说明:(1)此题应用解直角三角形，三角形面积公式和扇形面积公式；(2)阴影部分的面积是由扇形和三角形组合而成，熟练拿握扇形面积公式和三角形面积公式是求此阴影部分面积的关键；(3)灵活选用三角形面积公式:①；②．例2、已知:弓形的弧的度数为240°，弧长是，求弓形的面积．解:如图，根据弧长公式有．∴OA=2．∴ S扇形OAmB=，S△OAB= ，∴．说明:(1)弓形面积的计算；(2)弓形面积可以看成是扇形面积和三角形面积的分解和组合，实际应用时，要注意公式的选择．例3、如图，在边长l的正方形中，以各顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为_______．解:S阴影=．说明:求面积问题的常用方法有:直接公式法，和差法，割补法等．例4、如图，已知半径为1的三个等圆⊙A、⊙B、⊙C两两外切，切点分别为M、N、P，求夹在三个等圆中间的曲边形MNP的面积．分析:连结AB、BC、CA，则必分别过点M、N、P．曲边形MNP如果先借添上三个全等扇形即构成了正△ABC，算出△ABC的面积后再还掉三个扇形．这样一借一还，先借后还，剩下的就是曲边形MNP．解:S曲边形MNP==．说明:求有关不规则图形的面积问题的关键是将图形分解为可求图形面积的和差问题，本题是作辅助线构造三角形和扇形的面积解决的．1、扇形的面积为 cm2，扇形所在圆的半径 cm，则圆心角为______度．2、已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面积为______．3、已知扇形的半径为5cm，面积为20 cm2，则扇形弧长为______cm．4、如图1所示，矩形中长和宽分别为10 cm和6cm，则阴影部分的面积为______．5、如图2所示，边长为a的正三角形中，阴影部分的面积为______．6、圆内接正六边形的周长为12cm，同圆内接正方形的边长为______cm，此正方形的一边截得的小弓形的面积为______cm2．7、弓形的弦长为 cm，弓形高为1cm，则弓形所在圆的半径为_______cm，弓形的面积为______cm2．解得题:8、如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，求阴影部分的面积．9、已知:如图⊙O与⊙O外切于C，半径分别为3和1，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，求阴影部分的面积．参考答案1．120 ；2. 336π；3. 8 ； 4. (60-13π)cm2； 5. ； 6. 、π-2 ； 7. 2 、； 8. 50(π-2)； 9. .。