三角函数的射影定理

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四 直角三角形的射影定理

1.通过实践，结合生活中的实例，理解点在直线上的正射影，线段在直线上的正射影的概念.

2.理解射影定理，能应用定理解决相关的几何问题.

已知：如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D.

(1)图中有几条线段？

(2)图中有几对相似三角形？可写出几组比例式？

(3)有几个带有比例中项的比例式？由上可得到哪些等积式？

提示 (1)6条，分别记为AB，AC，BC，CD，AD，BD.

(2)由图中△ACD∽△CBD∽△ABC，可分别写出三组比例式：CBAB＝BDBC＝CDAC；CBAB＝BDBC＝CDAC；ACAB＝CDBC＝DACA.

(3)只有三个比例中项的表达式：

CDBD＝ADCD，CBAB＝BDBC，ACAB＝DACA.

可得到等积式：CD2＝AD·BD，BC2＝BD·BA，AC2＝AD·AB.

1.射影

从一点向一直线所引垂线的垂足，叫作这个点在这条直线上的正射影.一条线段高中数学-打印版

精心校对完整版 的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段，叫作这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.

2.射影定理

文字语言 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项

符号语言 在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，则CD2＝BD·AD；AC2＝AD·AB；BC2＝BD·BA

图形语言

作用 确定成比例的线段

要点一 射影的概念

例1 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，

∠BCD＝60°，AD＝1，AB＝2.求：

(1)线段AD在直线BC上的射影长；

(2)线段DC在直线BC上的射影长；

(3)线段BC在直线DC上的射影长.

解 (1)过D作DD1⊥BC于D1，则BD1就是线段AD在直线BC上的射影，如图所示，

∵四边形ABD1D为矩形，∴BD1＝AD＝1，

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射影定理

所谓射影，就是正投影。直角二角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理)： 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边 是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式：如图，Rt△ ABC中, / ABC=90 , BD是斜边AC上的高，则有射影定理如

下：(1) (BD)2=AD- DC, (2) (AB)2=AD- AC , (3) (BC)2=CD- CA

一、(主要是从三角形的相似比推算来的)

在厶BAD与△ BCD中, vZ ABDy CBD=90，且/ CBD# C=90° ,

•••/ ABDZ C,

又 vZ BDAZ BDC=90

•••△ BAD^ CBD

••• AD/BD=BD/CD

即BC2=AD- DC其余同理可得可证

有射影定理如下：

AB2=AD- AC BC2=CD- CA

两式相加得：

AB2+BC2= (AD- AC) + (CD- AC) = (AD+CD》AC=AC。

二、用勾股证射影

v AC2=ABZ-BD2=AC2-CD2,

••• 2AC2=ABZ+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD=(BC+BD)CD-C2=( BC+BD-CD)CD=2BDCD.

故 AC2=BDX CD.

运用此结论可得:AB2=BC2+AC2=BD2+BDX CD=BK (BD+CD) =BD< BC,

AC2 =CD2+AD2=CQ+BDX CD=CD(BD+CD)=CECB.

综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。 精选资料，欢迎下载

三、用三角函数证明

由等积法可知：ABX BC=BK AC 在 Rt△ ABD和 Rt △ ABC中，tan /

BAD=BD/AD=BC/AB 故ABX BC=BK AC两边各除以tan / BAD

射影定理

所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)2=AD·DC， （2）(AB)2=AD·AC ， （3）(BC)2=CD·CA。

直角三角形射影定理的证明

一、（主要是从三角形的相似比推算来的）

在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，

∴∠ABD=∠C，

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即BD2=AD·DC。其余同理可得可证

有射影定理如下：

AB2=AD·AC，BC2=CD·CA

两式相加得：

AB2+BC2=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC2 。

二、用勾股证射影

∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,

∴2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD2=(BC+BD)CD-CD2=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.

故AD2=BD×CD.

运用此结论可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,

AC2 =CD2+AD2=CD2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.

综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。

三、用三角函数证明

由等积法可知：AB×BC=BD×AC

在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB

故AB×BC=BD×AC两边各除以tan∠BAD 得：AB^2=AD×AC 同理可得BC2=CD·CA

在Rt△ABD和Rt△BCD中

tan∠BAD=BD/AD cot∠BCD=CD/BD

三角形的射影定理

篇一：

三角形的射影定理是指在三角形中,如果两条边的长度比等于斜边的长度比,那么这个三角形是一个等腰三角形。这个定理可以帮助我们确定三角形的形状,并且在某些情况下可以用来求解三角形的相关问题。

正文:

三角形的射影定理是指:在一个三角形ABC中,如果AB、AC、BC三条边的长度比等于斜边AB/斜边AC=BC/斜边BC,那么这个三角形ABC是一个等腰三角形。

这个定理可以通过以下方式证明:

假设三角形ABC是一个等腰三角形,并且顶点C的坐标为(x0,y0),顶点A的坐标为(x1,y1),顶点B的坐标为(x2,y2)。那么根据勾股定理,有:

AB^2 = AC^2 + BC^2

即:

(x1-x0)^2 + (y1-y0)^2 + (x2-x0)^2 + (y2-y0)^2 = x0^2 + y0^2

(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (x0-y1)^2 + (y0-x1)^2 = x1^2 + y1^2

(x0-x2)^2 + (y0-y2)^2 + (x1-y2)^2 + (y1-x2)^2 = x2^2 + y2^2

将上述三个式子相加,得到:

2(x1-x0)^2 + 2(y1-y0)^2 + 2(x2-x1)^2 + 2(y2-y1)^2 + 2(x0-y1)^2 +

2(y0-x1)^2 = x0^2 + y0^2 + x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2

化简得:

0 = x0^2 + x1^2 + x2^2 + y0^2 + y1^2 + y2^2

因此, x0^2 + x1^2 + x2^2 = y0^2 + y1^2 + y2^2

即

(x0+x1+x2)^2 = (y0+y1+y2)^2