高考数学导数与函数的极值、最值专题卷

第 1 页 共 7 页 高考数学导数与函数的极值、最值专题卷

一、单选题（共12题；共24分）

1.已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数，若存在 使

成立，则实数 的值为( )

A. B. C. D.

2.若函数 在 上为增函数，则 的取值范围为（ ）

A. B. C. D.

3.某生产厂家的年利润 （单位：万元）与年产量 （单位：万件）的函数关系式为

，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ）

A. 300万元 B. 252万元 C. 200万元 D. 128万元

4.设可导函数 在R上图象连续且存在唯一极值，若在x＝2处，f(x)存在极大值，则下列判断正确的是( )

A. 当 时， ，当 时， .

B. 当 时， ，当 时， .

C. 当 时， ，当 时， .

D. 当 时， ，当 时， .

5.若函数 在 内有极小值，则 的取值范围为（ ）

A. B. C. D.

6.已知函数 ，若对任意的 且 ，都有

，则实数 的取值范围是( )

A. B. C. D.

7.函数 在区间 上的最大值、最小值分别为 、 ，则 （ ）

A. 2 B. 4 C. 20 D. 18

8.已知关于 的方程 有2个不相等的实数根，则 的取值范围是( ).

A. B. C. D.

9.已知 是 的极小值点，则实数 的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

第 2 页 共 7 页 10.若函数 在区间 上有两个极值点 ，则实数 的取值范围是( )

A. B. C. D.

11.若函数f（x）=ex-ax-b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是（ ）

A. （-1，0） B. （0，1） C. （-∞，-1） D. （1，+∞）

12.设直线 与函数 的图像分别交于点 ，则当 达到最小时 的值为（ ）

A. 1 B. C. D.

二、填空题（共5题；共5分）

13.已知函数 （其中 ），若对任意的 ，

恒成立，则实数 的取值范围是________.

14.函数 的极大值为________.

15.如图，在平面直角坐标系 中，角 的始边与 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于 点，它的终边与单位圆相交于 轴上方一点 ，始边不动，终边在运动.若

，则弓形 的面积 的最大值为________.

16.已知函数 既有极大值又有极小值，则实数 的取值范围是________．

17.已知函数 ，则满足 的实数 的取值范围是________.

三、解答题（共5题；共45分）

18.已知 ，函数 ．

（1）当 时，求函数 在 上的最值；

（2）若函数 在 上单调递增，求 的取值范围．

19.已知函数 (其中 是实数)

（1）求 的单调区间；

（2）若设 ,且 有两个极值点 , ,求 取值范围.(其中 为自然对数的底数)

20.已知函数f（x）=（m，n∈R，e是自然对数的底数）．

（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（x））处的切线方程为x+ey﹣3=0，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当n=﹣1，m∈R时，若对于任意都有f（x）≥x恒成立，求实数m的最小值；

（Ⅲ）当m=n=1时，设函数g（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x（t∈R），是否存在实数a，b∈[0，1]，使得2g（a）＜g（b）？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

21.设函数 ，若函数 在 处与直线 相切．

第 3 页 共 7 页 （1）求实数a，b的值；

（2）求实数 在 上的最大值．

22.设函数 在 时取得极值．

（1）求实数 的值；

（2）求函数 在区间 上的最值．

答案

一、单选题

1. D 2. D 3. C 4.A 5. A 6. D 7. C 8. D 9. D 10. D 11. B 12. D

二、填空题

13. 14. 15. 16. 17.

三、解答题

18. （1）解：当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex ， f′(x)＝(－x2＋2)ex.

令f′(x)=0，则x=－ 或x=

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x 0 (0， )

(

，2)

2

f′(x) + 0 -

f(x) f(0)=0 ↗ 极大值f( ) ↘ f(2)=0

所以，f(x)max= f( )=(-2+2 ) ,f(x)min= f(0)=0

（2）解：因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．

又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex ， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，

因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，

也就是a≥ ＝x＋1－ 在(－1,1)上恒成立．

设y＝x＋1－ ，则y′＝1＋ >0，

即y＝x＋1－ 在(－1,1)上单调递增，

则y<1＋1－ ＝ ，A≥

19. （1）解: 的定义域为 , ,

第 4 页 共 7 页 令 , ,对称轴 , ,

（i）当 ,即 时, ,

于是,函数 的单调递增区间为 ,无单调递减区间.

(ii) 当 ,即 或 时,方程 有两个不等实根，

①若 ，, 恒成立,,函数 的单调递增区间为 ,无单调递减区间.

②若 ，方程 有两个不等实根，

当 时， 当 ，故函数 在 和

上单调递增，在 上单调递减

综上，当 时, ,函数 的单调递增区间为 ,无单调递减区间.

当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减

（2）由（1）得函数 由两个极值点，则 ，且 ，又 ，

， ，

于是，

令 恒成立，故 在

上单调递减，

的取值范围为 .

20.解：（Ⅰ）函数f（x）=，

∴f′（x）=

∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey﹣3=0，

∴f（1）=，f′（1）=﹣

∴，∴m=1，n=1

∴f（x）=（x+1）e﹣x ，

第 5 页 共 7 页 ∴f′（x）=﹣xe﹣x ，

∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），单调减区间为（0，+∞），

（Ⅱ）∵n=﹣1，m∈R，∴f（x）≥x，

∴（mx﹣1）e﹣x≥x

即m≥ex+，

对于任意x∈[，1]都有f（x）≥x恒成立，等价于m≥ex+对于任意x∈[，1]恒成立，

记g（x）=ex+，

则g′（x）=ex﹣，

设h（x）=ex﹣，

∴h′（x）=ex+＞0在x∈[，1]恒成立，

∴h（x）在[，1]上单调递增，

又h（）=﹣4＜0，h（2）=e2﹣＞0，

∴g（x）在[，1]上有唯一的零点x0 ，

∴当x∈[，x0）时，g′（x）＜0，x∈（x0 ， 2）时，g′（x）＞0，

∴g（x）的最大值是g（）与g（2）中的较大的一个，

∵g（）=+2＜g（2）=e2+，

∴m≥e2+，

∴实数m的最小值为e2+．

（Ⅲ）假设存在实数a，b∈[0，1]，使得2g（a）＜g（b），则2g（x）min＜g（x）max ，

∵g（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x=，

∴g′（x）=，

①当t≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上单调递减，

∴2g（1）＜g（0），即2•＜1，得t＞3﹣＞1．

②当t≤0时，g′（x）＞0，g（x）在[0，1]上单调递增．

∴2g（0）＜g（1），即2＜，得t＜3﹣2e＜0，

③当0＜t＜1时，