三角函数极值问题的探讨

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页脚 三角函数极值问题的探讨

【摘要】极值是定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到 它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值.如果不是边界点就一定是点，因而是极值点.极值是自然科学、工程技术以及生产活动、生活实践中常常遇到的问题,类型是多种多样的,其中三角函数的极值却占着重要的地位,因为它不但能解决三角函数的极值问题,而且许多其它函数极值问题通过变换往往可化为这一类型.本文仅就三角函数极值问题进行讨论.

【关键字】三角函数;极值；解法

目录

摘 要 ......................................................................

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引言 ........................................................................ 2

一、正弦（或余弦）的线性函数baysin的极值. ............................ 2

二、正余弦线性函数cbaycossin的极值 ............................. 3

三、正、余弦二次奇次函数22coscossinsincbay的极值 .............

5

四、正弦二次函数qpysinsin2的极值 ................................. 7

五 、某些特殊类型三角函数极值问题 ...........................................

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结束语 ..................................................................... 12

参考文献....................................................................

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页脚 引言

三角函数极值问题是函数极值问题的一个重要部分，也是中学数学的重要容之一.他在实际生活中具有广泛的应用.解答三角函数式极值问题，不仅用到三角函数的特性，如有界性，以及三角函数恒等变形等知识，而且与代数中的基本不等式，二次三项式的配方法、一元二次方程的判别式及有关几何知识紧密联系.因此，解三角函数式的极值问题需灵活综合运用多方面的知识.

下面就几种三角函数的极值问题进行讨论.

一、正弦（或余弦）的线性函数baysin的极值.

根据正弦（或余弦）函数的有界性，有

1. 0a 当22k即1sin时，此时baymax；当22k即1sin时，此时baymin.

2. 0a当22k即1sin时，此时baymax；当22k即1sin时，此时baymin.

形如函20cottancy,cabaycossin，badcysinsin0sinba的三角函数式都可以通过恒等变形，转化为这种类型求解.

特别sinsincdyabsin0ab型，通过构造分母的办法进行转化

sinsinsinsinsin1sinsindcdccybabaabdbdbccacacabbaaaaa 这时问题转化为求sinba的极值 . .

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例 1、求函数4sin21sin5y的最大值和最小值.

解 ：

 2sin29252sin292sin54sin21sin5y

 当22kx时，12325maxy；

当22kx时，22925miny.

说明：经过恒等变形，所求函数的极值取决于分母2sin的极值，而2sin得极值的求法属于第一类型.

二、正余弦线性函数cbaycossin的极值.

cbacbabbaabacbaysincossincossin22222222

其中 abarctan

根据正弦函数的有界性，可得当abkarctan22时，cbay22max；当abkarctan22时，cbay22min.其中Zk

例2、求函数1sincossincosy，的最大值和最小值.

解：

22224cos224cos4cos21424cos22cos2sin1cos1cossincossin1y . .

页脚  当4时，2max2322122y；

当或2时，min0y

说明：通过和差化积将函数变形为22cos24y然后利用余弦函数的有界性求出最大值.但在求最小值时，由于函数的解析式是偶次方，恒有0y，因此当2cos42时，函数得最小值零.

例3、 在定圆的所有接等腰三角形中，怎样的三角形其底边和底边上的高之和为最大.

解: 如图，设定圆O的半径为R，其接等腰2θθθDBOCA

ABC的底边为BC,高为AD，并设BAO，则2BOD，OAOBR,

cos2ADAOODRR，22sin2BCBDR，底边BC与高AD之和为

2sin2cos22sin2cos25sin2,yBCADRRRRRRR

当且仅当 11arctan222时，max51yR，此时可算出底边455BCR, 高 515ADR . .

页脚 例 4、在单位圆，扇形AOB的顶角在0,2变动，PQRS是该扇形的接正方形（如图），试求OS的最小值.（1993年省高中联赛题）

解：如图设AOB,OSl,则诸点坐标为RSOABPQ

cos,0Pl，22cos,sin,1sin,sinSllRll，221sin,0Ql

PSSR,22sin1sincoslll，

由此，得

2131sin2cos2221,35sin222l

其中 1arctan2

 当 11arctan422 时，有 min512l.

三、正、余弦二次奇次函数22coscossinsincbay的极值.

因为

,2sin222cos22sin22sincos2cossin2coscossinsin222222cabcaacbcaacbcacba . .

页脚  当 backarctan214 时， 222maxcabcay；

当 backarctan214 时， 222mincabcay；

其中 bacarctan.

说明：函数sinsinay，coscosay，cossinay 这些类型的三角函数经变化，均可化为22coscossinsincbay 的形式求解.

例 5：求函数22cos3cossin2siny的最小值，并导出使函数y取最小值的Q的集合.(1991年高考文理第三 (21)题)

解： 利用三角函数的恒等变形，可得

,42sin222sin2312231cos3cossin2sin2222y 其中4213arctan

当 83arctan214kback Zk 时，22miny

例 6：求三角函数222sin11cossin8cos5sin2cos63y的最小值，其中为非零参数.

解：把原式改写成下列形式

222cos2cossin4sinsin2cos3y 因此 ，要求原三角函数的最小值，只需求出上式最后三项 22cos2cossin4sinu 取最小值时的值，并令0sin2cos即可求得 miny. . .

页脚 2225212sin25212cos232sin221cos2cossin4sinminmin22uyu

说明 :在本例若令 22，得 43arctan21424，此时还可以算出参数之值.

四、正弦二次函数qpysinsin2的极值.

令sint，则正弦二次函数便转化为二次函数442222pqptqptty 在闭区间 1,1 上的极值问题.

这个二次函数在开区间,有最小值；当2p时，即2pt时，442minpqy，且在区间2,p减小，在区间,2p增大，因此：

（1）当12p即 2p 时，函数 qptty2 在闭区间 1,1 上单调递增，这时，当1t即 22k 时，qpy1min；当 1t 即 22k时，qpy1max.

（2）当121p 即 22p 时，函数 qptty2在闭区间 1,1 上有顶点，即当 2arcsin2pk 时， 442minpqy ；此时，函数的最大值是 22k 或 22k 时，函数值中的较大者，即 qpy1max.

（3）当12p即 2p 时，函数 qptty2 在闭区间 1,1 上单调递