三角函数的最值问题初探
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创世纪教育
三角函数的最值问题初探
三角函数式的最值问题是函数最值的重要组成部分，也是历屉高考的热点之一。三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次议程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。因此，三角函数的最值问题的求解，往往要综合应用多方面的知识。
三角函数的最值问题的类型很好，其常见类型有以下几种：
一、正弦函数y=a+b sin x (xR)的最值。
例1：求y=sin6x+cos6x的最值。
解：y=(sin2x+cos2) ( sin4x-- sin2x cos2+cos4x)
=(sin2x+cos2x)2 --3 sin2x cos2x
=1--43 sin22x
=1--83(1—cos4x)
=8385 cos4x
∴当x=2k（kz）时，有ymax=1
当x=2k+4（kz）时，有ymin=41
解这类的三角函数的最大值、最小值问题的主要依据就是正弦、余弦函数的值域。求三角函数的最值时，常常通过恒等变换，使它转化为反含同名函数的各项。而恒等变换，一般要综合运用同角三角函数间的关系、和角、半角、半角的三角函数及和差化积、积化和差公式。
二、形如y=a sin x + b cos x及y=a sin2x +b sin x cos x + c cos2x (b≠0)r 的最值。
例2：求函数y=a sin x + b cos x的最值。
解：y=a sin x + b cos x=22basin(x + arc tgab)
∴当x=2k+2--arc tgab时，ymax =22ba
当x=2k+2--arc tgab时，ymin =--22ba
例3：求函数y= sin2x+2sinx cosx+3 cos2x的最小值、最大值。并写出函数y 取
最值时的x的集合。
解：∵y= sin 2x + 2cos2x + 1 = sin 2x + cos 2x + 2 = 2 sin（2x +4）+ 2 创世纪教育
∴当sin（2x +4）= --1时， 有ymin = 2 --2.
当sin（2x +4）= 1时，有ymax = 2 +2.
此时有2x +4 = 2k--2, x = k--83 (kz)
2x +4 = 2k + 2, x = k+ 83 (kz)
故函数y取最小值2--2时x 的集合是{x∣x = k--83, kz }
y取最大值2 +2时x 的集合是{x∣x = k+83, kz }
从上而两例可以清晰地看出，这一类的三角函数的最值求解中运用的基本的方法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“Asin(x)” 的形式，将异名三角比化归成同名三角比。同时，也应对自变量的取值范围要仔细地考察。
三、正弦的二次函数y=a sin2x + b sin x + c (xz ) 的最值。
例4：如果∣x∣≤4求函数f(x)=cos2x + sin x 的最大、最小值。
解：y= -- sin2x + sin x + 1 = --（sin x --21）2 + 45
设 sin x = t 得y = --（t -- 21）2 + 45 由题设∣x∣≤4.
∴ -22 ≤sin x ≤22 ∴- 22 ≤ t ≤22
因为f(x)在[-22，21]是增函数，在[21，22]是减函数
∴当x = -4时，min)(xf= 221
当x = 6时， min)(xf= 45
上例就是利用在闭区间上求二次函数最值的方法，就可以求含三角式的二次函数的最值。但是在运用这个方法前，首先要将引用三角比之间的转换使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比视为二次函数的自变量。
四、形如y =
22211cossincossincxbxacxbxa的最值
例5：求函数y = 1cossin1cossinxxxx的最小值 （0< x < 2） 创世纪教育
解：∴0 < x < 2 ∵sin x + cos x – 1 ≠0
y = 1 + 1cossin2xx= 1+1)4sin(2x (0 < x < 2)
4344x ∴0 < )4sin(2x-1 ≤2-1
∴y≥1+122=3+22
∴函数y在0 < x 2范围内的最小值3+22
这是一例分子、分母只有常数项不同的三角函数式，便可以在分子中添置辅助项后，通过恒等变形把它化成只有分母含有自变量的三角函数式，只需研究分母的最值，就能求出原函数的最值。在这样的变形中若遇到要把分子“翻下去”作为繁分式分母一部分时，这个“翻下去”的式子不能为零，如果这个式子可能为零，则应将为零的情况另作处理。“设其不为零的”情况下继续解下去，最后把各种情况下求得的值综合起来考虑最值。
五、用三角代换求某些代数函数的最值。
例6：求函数y=x+21x的最大、最小值
解：∵xR ∴可设x=sin(-22)
则有y=sin +∣cos ∣
∵-22 ∴cos≥0
∴y=sin + cos=2sin(+4)
∵-22 ∴-4≤≤+4≤43
∴-1≤sin(+4)2
当=-2 亦即x=-1 函数ymin=-1
当=4 亦即x=22 函数ymax=2
上述二例中都运用了三角代换能使某些代数函数的最值问题得到最解决。在这类题型的解题中，必需确定所设三角中角的变化范围，这是十分重要的环节，否则在后创世纪教育
面的解题就得分类讨论或者发生矛盾的现象，甚至使整题前功尽弃。
六、三角函数在实际生活中的运用。
例7：如图，在一个半径为R的半圆铁板中截取一个矩形ABCD
BC为何值时，矩形的面积最大？并求出此时的矩形面积。
解：设∠COB= 则BC=R sin AB=2R cos
S=2R2•sincos= R2•sin2 ∈[0,2] ∴sin2∈[-1,1]
∴Smax=R2
上述例子就很好地证明了三角在实际生活中确实运用也是挺实在并且广泛的，它也能很好地解决实际生活中的问题。
当然，三角的学问很深、很广、，我今天只是说了一部分而已，但是这些都是我所总结的经验和体会。现在或许不全面，那么，在今后学习了更多地知识后再进行补充吧，但首要任务就是要牢固地掌握基础知识，为今后的学习打下扎实的基础。
