2021年考研数学三真题及全面解析

1 2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题

1 设生产函数为QALK; 其中Q是产出量; L 是劳动投入量; K 是资本投入量;而

A; α; β均为大于零的参数;则当Q =1时K关于L的弹性为

2 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以tW表示第t 年的

工资总额单位：百万元;则tW满足的差分方程是___

3 设矩阵111111,111111kkAkk且秩A=3;则k =

4 设随机变量X;Y 的数学期望都是2;方差分别为1和4;而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不

等式-6PXY .

5 设总体X服从正态分布2(0,0.2),N而1215,,XXX是来自总体X的简单随机样本;则随

机变量221102211152XXYXX服从___分布;参数为_______

二、选择题

1 设函数f x的导数在x=a处连续;又'()lim1,xafxxa则

A x = a 是f x的极小值点.

B x = a 是f x的极大值点.

C a; fa是曲线y= fx的拐点.

D x =a不是f x的极值点; a; fa也不是曲线y=fx的拐点.

2 设函数0()(),xgxfudu其中21(1),012(),1(1),123xxfxxx则gx在区间0;2 内

A无界 B递减 C 不连续 D 连续

3 设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000aaaaaaaaaaaaaaaaABPaaaaaaaaaaaaaaaa

2 210000010,01000001P其中A 可逆;则1B等于

A112APP B112PAP C112PPA D121PAP.

4 设A 是n 阶矩阵;α是n维列向量.若秩0TA秩(A);则线性方程组

(A)AX =α必有无穷多解 ()BAX =α 必有惟一解.

()C00TAXy仅有零解 ()D00TAXy必有非零解.

5 将一枚硬币重复掷n 次;以X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数;则X和Y的相关系数等于

A -1 B 0 C12 D 1

三 、本题满分5 分

设u= fx;y;z有连续的一阶偏导数;又函数y=yx及z=zx分别由下列两式确定:

2xyexy和0sin,xzxtedtt求dudx

四 、本题满分6 分

已知f x在−∞;+∞内可导;且lim'(),xfxelim()lim[()(1)],xxxxcfxfxxc 求c的值.

五 、本题满分6 分

求二重积分221()2[1]xyDyxedxdy的值;其中D 是由直线y=x; y= −1及x =1围成的平面区域

六、本题满分7 分

已知抛物线2ypxqx其中p<0;q>0在第一象限与直线x+y=5相切;且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.

1 问p和q为何值时;S达到最大 2求出此最大值.

七、本题满分6 分

设f x在区间0;1上连续;在0;1内可导;且满足1130(1)(),(1).xfkxefxdxk

证明：存在ξ∈0;1; 使得1'() 2(1)().ff

3 八、本题满分7 分

已知()nfx满足'1()()nxnnfxfxxen为正整数且(1),nefn求函数项级数

1()nifx之和.

九、本题满分9 分

设矩阵11111,1.112aAaa已知线性方程组AX =β有解但不唯一;试求:

1 a的值;

2 正交矩阵Q;使TQAQ为对角矩阵.

十、本题满分8 分

设A为n阶实对称矩阵;秩A=n;ijA是ijnnAa中元素ija的代数余子式i;j =1;2;…;n;二次型1211(,,).nnijnijijAfxxxxxA

1 记12(,,),nAxxx把1211(,,).nnijnijijAfxxxxxA写成矩阵形式;并证明二次型()fX的矩阵为1A;

2 二次型()TgXXAX与()fX的规范形是否相同 说明理由.

十一、本题满分8 分

生产线生产的产品成箱包装;每箱的重量是随机的;假设每箱平均重50 千克;标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运;试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱;才能保障不超载的概率大于0.977. Φ2=0.977;其中Φx 是标准正态分布函数.

十二、本题满分8 分

设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G={x;y|1≤x≤3;1≤y≤3}上的均匀分布;试求随机变量U={X−Y} 的概率密度().pu

4 2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题

1答案

使用概念设yfx在x处可导;且0fx;则函数y关于x的弹性在x处的值为

EyxxyfxExyfx

详解由QALK;当1Q时;即1ALK;有1,KAL于是K关于L的弹性为：

EKELLKK11dALLdLAL111ALLAL

2答案 11.22tW

详解tW表示第t年的工资总额;则1tW表示第1t年的工资总额;再根据每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万;所以由差分的定义可得tW满足的差分方程是：

11(120)21.22tttWWW

3答案-3

详解

方法1：由初等变换既可作初等行变换;也可作初等列变换.不改变矩阵的秩;故对A进行初等变换

111111111111kkAkk11111001(1)2,3,410101001kkkkkkk行分别加到行

311101002,3,400100001kkkk列分别加到1列

5 可见只有当k =−3时;rA=3.故k =−3.

方法2：由题设rA=3;故应有四阶矩阵行列式0A.由

111111111111kkAkk11111001(1)2,3,410101001kkkkkkk行分别加到行

311101002,3,400100001kkkk列分别加到1列3(3)(1)0,kk

解得 k =1或k = −3. 当k =1时;

1111111111111111A111100001(1)23400000000行分别加到，，行

可知;此时rA=1;不符合题意;因此一定有k =−3.

4答案112

所用概念性质切比雪夫不等式为：2()()DXPXEX

期望和方差的性质：()EXYEXEY；()2cov(,)DXYDXXYDY

详解 把XY看成是一个新的随机变量;则需要求出其期望和方差.

故 ()220EXYEXEY

又相关系数的定义：cov(,)(,)XYXYDXDY

则 cov(,)(,)(0.5)141XYXYDXDY

()2cov(,)12(1)43DXYDXXYDY

所以由切比雪夫不等式：

2()316()663612DXYPXYPXYEXY

5答案F；(10,5)

6 所用概念1. F分布的定义：12XnFYn 其中21~()Xn 22~()Yn

2. 2分布的定义：若1,,nZZ相互独立;且都服从标准正态分布(0,1)N;则221~()niiZn

3. 正态分布标准化的定义：若2~(,)ZNu;则~(0,1)ZuN

详解因为2(0,2)1,2,,15iXNi;将其标准化有0(0,1)22iiXXN;从而根据卡方分布的定义

2222221015111(10),(5),2222XXXX

由样本的独立性可知;2210122XX与22151122XX相互独立.

故;根据F分布的定义

22101221102222111515112210(10,5).2225XXXXYFXXXX

故Y服从第一个自由度为10;第二个自由度为5的F分布.

二、选择题

1答案 B

详解

方法1：由'()lim1,xafxxa知

lim'()xafx'()limxafxxaxa'()limlimxaxafxxaxa100

又函数()fx的导数在xa处连续;根据函数在某点连续的定义;左极限等于右极限等于函数在这一点的值;所以()0fa;于是有

'()'()'()"()limlim1,xaxafxfafxfaxaxa

即()0fa;()10fa;根据判定极值的第二充分条件：设函数()fx在0x处具有