2021考研数学三真题及答案解析

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数学（三）试题及解析第1页（共12页）2021 年全国硕士研究生招生考试

数学（三）数学（三）试题及解析第2页（共12页）一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的．

1.当0x

，2

0(e1)dx

tt



是7x

的

A.低阶无穷小.B.等价无穷小.C.高阶无穷小.D.同阶但非等价无穷小.

【答案】C

【解析】2

755

000e1d2e1

limlimlim0

77x

xxxt

xxx





,故选C.

函数e1

,0,

()

1,0x

x















在0x

处

A.连续且取极大值.

B.连续且取得最小值.

C.可导且导数等于零.

D.可导且导数不为零.

【答案】D

【解析】因为

)0(11e

lim

x

，故连续；又因为

211e11e

lim

0



xx

xxxx

x，故可导，

所以选D

3.设函数

()ln(0)fxaxbxa有2个零点，则b

a的取值范围

A.

e,

.B.

0,e

.C.1

e



.D.1

e





.

【答案】A

【解析】

lnfxaxbx,

若0b

，不满足条件，舍去

若0b

令

=0b

fxa

x

，得b

a

.在

000bb

,fx,,fx.

aa







，，+数学（三）试题及解析第3页（共12页）

xlimfx,limfx







，令=ln1ln0bbb

fbbb,

aaa





得ln1b

a，即eb

a

故选A.

4.设函数

,fxy

可微，且

222+1,e(1),(,)2ln,xfxxxfxxxx

则

d1,1f

A.ddxy

.B.ddxy

.C.dy

.D.dy

【答案】选C

【解析】由于2(1,e)(1)xfxxx

两边同时对x

求导得2

12(1,e)(1,e)e(1)2(1)xxxfxfxxxx



令0x

得

12(1,1)(1,1)10ff



222

121

(,)(,)24ln2fxxfxxxxxx

x



令1x

得

12(1,1)2(1,1)02ff



因此

1(1,1)0f



；

2(1,1)1f



所以d(1,1)dfy

，答案选C

5.二次型222

123122331(,,)()()()fxxxxxxxxx

的正惯性指数与负惯性指数依

次为

A.02，

B.11，

C.12，

D.21，

【答案】B

【解析】222

123122331,,fxxxxxxxxx

222222

112222333131222xxxxxxxxxxxx

21223132222xxxxxxx数学（三）试题及解析第4页（共12页）二次型对应矩阵为011

121

110



,

11101

||121=121

1111EA









100

(1)122

111

(1)((2)(1)2]

(1)(3)













则11pq

6.设

1234(,,,)Aaaaa

的4阶正交矩阵，若矩阵T

1











a

a

，k

表示任意常数，则

线性方程组Bx

的通解x

2341.kaaaa

1342.kaaaa

1243.kaaaa

1234.kaaaa

【答案】D

【解析】T

21234

1k











α

ααααα

α，不难验证A,B,C均不是方程组的解.

7.已知矩阵101

211

125











A

，若下三角可逆矩阵P

和上三角可逆矩阵Q

，使得PAQ

为数学（三）试题及解析第5页（共12页）对角矩阵，则、PQ

分别取（）.

100101100100

.010,013.210,010

001001321001

100101100123

.210,013.010,012

321001131001AB

CD

























【答案】C

【解析】通过代入验证100101100

210013010.

321001101

211

1250010



















选C

8.设BA,

为随机事件，且

10BP

，下列为假命题的是

A.若



APBAP

，则



APBAP

B.若



APBAP

，则



APBAP

C.若

BAPBAP，则



APBAP

D.若

BAAPBAAP

，则

BPAP

【答案】选D

【解析】A.条件失效，独立，显然成立B.

()

(|)()()()()

()PAB

PABPAPABPAPB

PB数学（三）试题及解析第6页（共12

页）()1()()()

(|)

()1()

1()()()()

1()

1()()[()1]

1()

1()PABPAPBPAB

PAB

PBPB

PAPBPAPB

PBPAPB

PAPA



















故B正确.

C.显然()()()PABPAPB，

()

(|)()

()PAB

PABPA

PB

故C正确.D.[()]()()()

()

()()()()()PAABPABPBPAB

PAAB

PABPABPAPBPAB



∣

，

()()()PAPBPAB

，不能说明()()PAPB

，错误.

故选D.

9.设

1122,,,,,,

nnXYXYXY

为来自总体

1212,;,;N的简单随机样本，令

1111

=,,,nn

iiXXYYXY

nn



,则

A.22

12,ED

n





B.22

12122

,ED

n





C.22

12,ED

n





D.22

12122

,ED

n





【答案】B

2018年考研数学三真题与答案解析

. . .

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2007考研数学三真题及答案解析

2007年考研数学（三）真题解析

一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，

只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）

（1）当0x





时，与x等价的无穷小量是（B）

.1xe

.ln(1)Bx

.11Cx

.1cosDx

（2）设函数()fx在

0x处连续，下列命题错误的是：(D)

A.若

0()

lim

xfx

存在，则(0)0f.B若

0()()

lim

xfxfx



存在，则(0)0f

.C.若

0()

lim

xfx

存在，则'(0)f存在

.D若

0()()

lim

xfxfx



存在，则'(0)f存

在

（3）如图.连续函数

()yfx在区间

3,2,2,3

上的图形分别是直径为1的上、

下半圆周，在区间

2,0,0,2

上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设

0()(),x

Fxftdt

则下列结论正确的是：（C）

.A.(3)F3

(2)

4F

.B(3)F5

(2)

4F

.C(3)F3

(2)

4F

.D(3)F5

(2)

4F

（4）设函数(,)fxy连续，则二次积分1

sin

2(,)

xdxfxydy

等于（B）

.A1

0arcsin(,)

xdyfxydx



.B1

0arcsin(,)

ydyfxydx



.C1arcsin

2(,)y

dyfxydx



.D1arcsin

2(,)y

dyfxydx





（5）设某商品的需求函数为1602Q

，其中Q，

分别表示需要量和价格，如

果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D）

.A10

.B20

.C30

.D40

（6）曲线1

ln(1),xye

x渐近线的条数为（D）

.A0

.B1

.C2

.D3

（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是(A)（A）

12



2131,,

(B)

21



2331,,



(C)

1223312,2,2

(D)

2017考研数学三真题及答案解析

2017年考研数学三真题及解析

一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．

1．若函数1cos

()

,0x

bx













在0x

处连续，则

（A）1

2ab

（B）1

2ab

（C）0ab

（D）2ab【详解】

0001

1cos1

lim()limlim

xxxx

axaxa







，

0lim()(0)

xfxbf





，要使函数在0x

处连续，必须满足11

22bab

a

．所以应该选（A）

2．二元函数(3)zxyxy

的极值点是（）

（A）(0,0)

（B）03(,)

（C）30(,)

（D）11(,)【详解】2(3)32z

yxyxyyxyy

x



，232z

xxxy

y



，

2222

222,2,32zzzz

yxx

xyxyyx



解方程组2

2320

320z

yxyy

xxxy

y

















，得四个驻点．对每个驻点验证2ACB

，发现只有在点11(,)

处满足

230ACB

，且20AC

，所以11(,)

为函数的极大值点，所以应该选（D）

3．设函数()fx

是可导函数，且满足()()0fxfx

，则

（A）(1)(1)ff

（B）11()()ff

（C

）11()()ff

（D

）11()()ff

【详解】设2()(())gxfx

，则()2()()0gxfxfx

，也就是2

()fx

是单调增加函数．也就得到

22

(1)(1)(1)(1)ffff

，所以应该选（C）

4．若级数

211

sinln(1)

nn









收敛，则k

（）

（A）1

（B）2

（C）1

（D）2【详解】ivn时2

2221111111111

sinln(1)(1)

22k

kkoko

nnnnnnnnn















显然当且仅当(1)0k

1996考研数学三真题及答案解析

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1)设方程yxy

确定y

是x

的函数,则dy___________.

(2)设()arcsinxfxdxxC

,则1

()dx

fx___________..

(3)设

00,xy

是抛物线2yaxbxc

上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足

的关系是___________.

(4)设

123

2222

123

1111

1231111

nnnn

naaaa

Aaaaa

aaaa













,1

x







,1

1B







,

其中(;,1,2,,)

ijaaijijn

.则线性方程组TAXB

的解是___________.

(5)设由来自正态总体2~(,0.9)XN

容量为9的简单随机样本,

得样本均值5X

,则未

知参数

的置信度为0.95的置信区间为___________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合

题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)

累次积分cos

00(cos,sin)dfrrrdr



可以写成()

(A)2

00(,)yy

dyfxydx



(B)2

00(,)y

dyfxydx



00(,)dxfxydy

(D)2

00(,)xx

dxfxydy



(2)下述各选项正确的是()

(A)若2

nu



和2

nv



都收敛,则2

1()

nuv



收敛

(B)

1nn

nuv



收敛,则2

nu



与2

nv



都收敛

(C)若正项级数

nu



发散,则1

n

(D)若级数

nu



收敛,且(1,2,)

nnuvn

,则级数

nv



也收敛

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