二次根式化简常用技巧全

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文档 二次根式化简的常用技巧

江苏 朱元生

二次根式的化简和运算是初中数学的重要内容之一,也是中考和数学竞赛中的常见题型.对于特殊的二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还应根据根式的具体结构特征,灵活选用一些特殊的方法和技巧.这样做,不仅可以化难为易、化繁为简,提高解题速度,收到事半功倍的奇效,而且有助于培养学生分析问题、解决问题的能力及探索求新的学习习惯.现就几类常用的方法和技巧举例说明如下,供同学们参考：

一、巧用乘法公式

例1、化简：)303223)(532(

解析：本题的关键是对第二个因式提取6后，易发现与第一个因式的数量关系，再变形为两数和与两数差的形式，从而运用平方差公式.

原式=]5)32][(5)32[(6)523(6)532(

=12626)53622(6]5)32[(622

练习：化简：567567576675．

解：原式2222567765

42302304

104．

二、巧用逆运算

例3、化简20092008)322()322(

解析：本题的关键是巧用积的乘方的逆运算：nnnabba)(

原式=)322()]322)(322[()322()322()322(200820082008

=322)322()1(2008

练习：化简：19981999322322．

解：原式1998322322322

199898322322． 解题技巧 实用标准文案

文档 三、巧因式分解

对“分式型”代数式,分子分母都是多项式时,有时可以先分别因式分解,通过约分达到化简目的.

例2、化简 2356101528

解析：本题的关键是将分子中的8拆数配方因式分解，进而约分求得结果.

原式=2356103352522=235352352

=23523535=35

化简：。

分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采取。但我们发现（x-y）和（x+y-）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。

解：原式=

=

=0.

练习：化简1015142157

23231)57)(23(57)23(5)23(757：原式解

（1）5710141521 实用标准文案

文档 （2）1235(13)(35)

解：（1）575732101415217(23)5(23)

（2）1235(13)(35)11512(13)(35)(13)(35)3513

说明：对分母中含二次根式个数较多的式子进行分母有理化，需要较强的观察能力和灵活掌握式子变形的一些技巧。如本例（2），采用因式分解，就容易找到有理化因式；本例（4）逆用分式加法法则，将原式拆成两个式子的和，就容易进行分母有理化。

练：把下列各式分母有理化：

（1）12235

（2）11236

解：（1）

原式12(235)266(235)233230(235)(235)26

（2）原式=1112362(1-2)+3(1-2)(1-2)(1+3)

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四、巧拆项、裂项 添项

对于一些连续相加的分式型二次根式,如果拆项后能互相抵消,则可用此法.

例4、化简42356305627

解析：本题的关键是将分子中的62拆成66，分母因式分解，进而裂项化简

原式)76)(65()56()67()65(7)65(6)56()67(

=671561)76)(65(56)76)(65(67

=57)67()56(

练习1、化简：52315331 ．

解：原式 53315331

113153

315322512．

练习2、2004200320032004132231221化简

解:因为1nnn)1（n1 实用标准文案

文档 ,1n1n1)1n(nn1n)n1n()1n(n1

巧添项

例6．化简：210257．

解：原式 221057257

22257257

257257257257．

化简：53262 .

分析：本题若直接分母有理化显然较复杂，若将分子添加222)5()3()2(，利用完全平方公式和平方差公式来解决，则会非常简捷.

解：53262=532)5()32(532)5(62)3()2(22222 实用标准文案

文档 =.532532)532)(532(

五、巧换元

当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形式转化为简单形式，以便于发现解题规律。

例5、化简 1111xxxx+1111xxxx

解析：注意到11xx与11xx的和为12x，积为2

因此若设11xx=A， 11xx=B

则 A+B=21x ，2)1()1(xxAB

所以，原式=AB+BA=ABBA22=ABABBA22 =222122x=x2

练习：化简：2278983432aaaaaaaaaa．

解：设am，则原式233222278983432mmmmmmmm

22219432964321mmmmmmmmmm

25.

练习：化简：818283841。

分析：本题若先计算出81828384将十分复杂，如果将数字转化成字母积的形式，将会出现“柳暗花明又一村”的境界。

解：令81a，则

原式22123131aaaaaa2316805aa。 实用标准文案

文档 练习：化简2356102。

分析：观察式子的结构，分母中含有三项，若将分母中的根式去掉，必须进行两次以上的运算，运算量大。如果用字母代数的方法，将其转化为有理式运算，则可简化运算过程。

解：设5＝a, 3=b, 2=c,则10＝ac, 6=bc,a2－b2=2.

原式＝cbabcacba22＝cbabcbabacaba)()(22

＝cbacbaba))((＝a－b=5－3。

练习1、（第十届初二“希望杯”）已知a、b、c都为正数，且

,ac1bc1ab1y,c1b1a1x,ba则x与y的大小关系为（ ）

（A）x＞y （B）x＜y

（C）x=y （D）随a、b、c的取值变化而定

（A）。,mknk＞mnknm.0mk＞nkmnknm,knm,cba,)km()kn()nm(21mknkmnknm.mknkmny,knmx,c1k,b1n,a1m：222222222222222答案为故所以从而又因为因为则设解

练习2、（十二届初二“希望杯”）化简.______3426302352的结果是

.126621ac21)acb(ac2cba)caacabc(2cba,3c,5b,2a：22原式则设解

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六、巧构方程

方程法:对于一些带……号的无限循环式的化简,通常可设原式值为x,设法建立一个关于x的方程求解.

例6、化简 333

解析：本题整体设元可使问题化难为易迅捷获解，设 x=333

两边平方，得 xx32 即 0)3(xx

解得 0,321xx（不合舍去） 所以 333= 3

练习：化简求值666

解:设原式=x,则x=,x6两边平方得,06xx2

即(x-3)(x+2)=0,取正数x=3.

22122122129化简例

解:设原式=x,,m2x

.3,32m.3221222m原式取正值用求根公式得

.0122,1222mmmm所以则实用标准文案

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七、巧取倒数

如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解,常常可先取倒再来解决.

例7、化简 132533515

解析：此题先取倒数求出倒数的值，从而求得原式的值，可使问题化繁为简，迎刃而解。

设原式=a，则351131)13)(35()13()35(3351513251a

=215235213， ∴原式215152a

练习：.12232236化简