函数极值与最值的区别
摘要：
1.极值与最值的概念区分
2.极值的局部性质
3.最值的全局性质
4.极值与最值的联系
5.实际应用举例
正文：
在数学领域，函数的极值和最值是两个密切相关但又有所区别的概念。许多人常常会将它们混淆，但实际上它们有着明确的定义和性质。本文将详细探讨函数极值与最值的区别，并通过实例帮助大家更好地理解这两个概念。
首先，我们来区分一下极值和最值。极值是指函数在某个局部区域内的最大值或最小值，它是一个局部性质。最值则是指函数在整个定义域内的最大值或最小值，它是一个全局性质。简而言之，极值关注的是局部表现，而最值关注的是全局表现。
接下来，我们来了解极值的局部性质。在数学中，极值点通常是指函数在该点处可导且导数为零的点，或者是不可导的点。在极值点附近，函数的值会在某个方向上单调递增或递减。也就是说，极值点是函数在局部区域内最大或最小的点。需要注意的是，极值并不一定是最值，因为最值还包括端点值和不可导点的值。
然后，我们来了解最值的全局性质。最值通常出现在极值点、不可导点和端点（如果可取到）处。在这些点上，函数的值要么是最大值，要么是最小值。最值是函数在整个定义域内的最大值或最小值，具有唯一性。也就是说，一个函数只有一个最大值和一个最小值。
此外，我们还需要注意到极值与最值之间的联系。在许多情况下，极值点处的值会等于或接近最值。然而，这并不是绝对的，因为极值仅仅是在局部区域内的最大或最小值，而最值则是全局范围内的最大或最小值。因此，在寻找函数的极值时，我们需要关注局部性质，而在寻找最值时，我们需要关注全局性质。
最后，我们通过一个实际应用举例来进一步说明极值与最值的区别。假设我们有一个函数f(x) = x^2 - 2x + 1。我们可以求出该函数的导数f"(x) = 2x -
2，并令其等于零，得到极值点x = 1。在这个例子中，极值点处的值f(1) = 0确实是全局最值之一（另一个全局最值是f(x) = 1，对应于x = 0或x = 2）。然而，这并不是绝对的，因为函数在x = 0和x = 2处的值也是全局最值。
§3 5 函数的极值与最大值最小值
授课次序22
教 学 基 本 指 标
教学课题 §3 5 函数的极值与最大值最小值 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学
教学重点 函数极限的概念与性质 教学难点 概念的引入、极限的证明与性质的推导
参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》
自编教材《高等数学习题课教程》 作业布置 《高等数学》标准化作业
双语教学 函数：function；导数：derivative ；微分：differential calculus；中值定理：law of the mean；
极值：extreme values；
课堂教学目标 1． 掌握用导数求函数极值的方法；
2． 掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
教学过程 1．函数极值的定义（15min）；
2．用导数求函数极值的方法（30min）；
3．函数最大值和最小值的求法（20min）
4．最大值和最小值的简单应用（25min）
教 学 基 本 内 容
§3 5 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法
极值的定义
定义 设函数f(x)在区间(a, b)内有定义 x0(a, b) 如果在x0的某一去心邻域内有f(x)f(x0)
则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值 如果在x0的某一去心邻域内有f(x)f(x0) 则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义 如果在去心邻域U(x0)内有
f(x)f(x0) (或f(x)f(x0))
则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值)
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点
函数的极大值和极小值概念是局部性的 如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值 那只是就x0 附近的一个局部范围来说 f(x0)是f(x)的一个最大值 如果就f(x)的整个定义域来说 f(x0)不一定是最大值 关于极小值也类似
课 题： 3．8函数的最大值与最小值（一）
教学目的：
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(xf在闭区间ba,上所有点（包括端点ba,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf>)(1xf
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的极小值点，)(0xf是极小值
函数的最大值与最小值
江都市大桥高级中学 谈燕
教学目的：
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(xf在闭区间ba,上所有点（包括端点ba,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．
教学过程：
一、复习引入：
1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf>)(1xf
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
二、讲解新课：
1.函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间ba,上的函数)(xf的图象．图中)(1xf与3()fx是极小值，2()fx是极大值．函数)(xf在ba,上的最大值是)(bf，最小值是3()fx． x3x2x1baxOyy=x4-2x2+512108642-4-242xOy一般地，在闭区间ba,上连续的函数)(xf在ba,上必有最大值与最小值．
