函数的极大值、极小值

1 极大值与极小值讲义

一 回顾练习：1求函数 的单调区间。

2 函数 在(2,)单调递增，求m的取值范围。

二 问题1：观察下图，看函数的极值与函数的导数有怎样的关系呢? （完成下表）

极大值与导数的关系：（图1）

x 0x左侧 0x 0x右侧

)(xf（符号）

)(xf（单调性）

极小值与导数的关系：（图2）

x 0x左侧 0x 0x右侧

)(xf（符号）

)(xf（单调性）

问题2：极大值一定大于极小值吗？极大值是不是定义域内函数的最大值？同一个函数可以有多个极大值吗？可以有多个极小值吗？

问题3：函数3yx是否有极值？如果有，请求出；如果没有，请说明理由.

问题4：如何判断0()fx是极大值或是极小值？ o a x0 b x y

图1 o a x0 b x y

图2 33xyex3xyemx 2 三【数学应用】

例1:求f（x）＝x２－x－２的极值.

例3:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，求a、b的值

例4:函数 1()sinsin33fxaxx 在 3x 处具有极值，求a的值

【回顾小结】

请同学们想一想，本节课我们主要学习了哪些知识？ 3112.433yxx例求的极值

正德中学高二数学导学案

极大值与极小值（2） 等第：

班级： 组别： 学生姓名： 组长签名：

一、学习目标

1、巩固对函数极值与导数关系的理解

2、熟练掌握求可导函数的极值的步骤，并灵活应用

二、学习重点、难点

重点：极值的求法及应用

难点：极值的求法及应用

三、学习方法

阅读自学，合作交流，课堂讨论

四、自学导引

1.常见函数的求导公式

2. 函数和、差、积、商的导数法则

3. 极大值、极小值的概念

4. 求可导函数)(xf的极值的步骤:

五、例题分析

例1、求下列函数的极值.

（1）xxyln2 （2）xxeey2

例2.设函数2132()xfxxeaxbx，已知2x和1x为()fx的极值点

求a、b的值及()fx的极值

例3. 函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b的值。

变式练习：y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，求a、b的值

六、当堂检测

1.已知函数33yxxm的极大值为10，求m的值。

2． 已知函数 f(x)=x5+ax3+bx+1,仅当x=-1,x=1时取得极值，且极大值比极小值大4

（1）求常数a,b

（2）求 f(x)的极值

编写人员： 韩香芬

审核人员： 吴春梅

编定时间： 2013-5月

函数的极值

函数的极值：极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大，这函数在该点处的值就是一个极大值。

扩展资料

极值的定义

若函数f(x)在x的一个邻域D有定义，且对D中除x的所有点，都有f(x)

同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x)，则称f(x)是函数f(x)的'一个极小值。

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果极值点不是边界点，就一定是内点。因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。

极大值和极小值点的性质和求解方法

一、 引言

极值是函数在变量取值范围内的最大值和最小值，是数学中的一个基本概念。极值在实际问题中具有重要的应用价值，如求最大利润、最小成本、最大效益等。本文将介绍极大值和极小值点的性质和求解方法，以及该概念在实际问题中的应用。

二、 概念定义

1. 求解最大值和最小值的方法

最常用的方法是导数法。当函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且在

$(a,b)$ 内可导时，如果 $f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递增；如果 $f'(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递减；如果 $f'(x)=0$，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可能取得极值。

2. 极值点的分类

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，则：

（1）当 $f'(x_0)=0$ 时，$x_0$ 称为 $f(x)$ 的稳定极值点。当

$f(x)$ 在 $x_0$ 左边单调递增，在 $x_0$ 右边单调递减时，$x_0$ 为 $f(x)$ 的极大值点；当 $f(x)$ 在 $x_0$ 左边单调递减，在

$x_0$ 右边单调递增时，$x_0$ 为 $f(x)$ 的极小值点。

（2）当 $f'(x_0)$ 不存在时，根据函数的单调性分类。

（3）当 $x_0$ 在定义域之外时，点 $x_0$ 可能是分段函数的分段点。分段函数在分段点处可能存在极值。

三、 经典例题

1. 求函数 $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$ 在区间 $[-1,5]$ 上的极值。

解：首先求导，得到 $f'(x)=3x^2-12x+9$。令其等于零，解得

$x_1=1,x_2=3$。将这两个点代入原函数中，并比较大小，得到

$x_1=1$ 为极小值，$x_2=3$ 为极大值。

2. 设函数 $f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求其在 $[-1,3]$ 上的极值点。