人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程之间的关系》同步测试(含答案)

人教版九年级数学上册第22章二次函数

22.2.1 二次函数与一元二次方程之间的关系

同步测试

题号 一 二 三 总分

得分

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（共10小题，3*10=30）

1．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两个实数根是（ ）

A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2

C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3

2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则ax2＋bx＋c＝0的解是（ ）

A．x1＝－3，x2＝1

B．x1＝3，x2＝1

C．x＝－3

D．x＝－2

3．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是（ ）

A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9

C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4

4．已知抛物线y＝ax2－2x＋1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

5. 表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：

x 1 1.1 1.2 1.3 1.4

y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16

那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是（ ）

A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3

6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)，对称轴为直线x＝－1，当y＞0时，x的取值范围是（ ）

A．－1＜x＜1 B．－3＜x＜－1

C．x＜1 D．－3＜x＜1

7. 对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

8. 根据下表可以确定方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解的取值范围是（ ）

x 2 2.23 2.24 2.25

ax2+bx+c -0.05 -0.02 0.03 0.07

A.2

C.2.24

9 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表:

x … -

-1 -

0 1 …

y … -

-2 -

-2 -

0 …

从上表可知,下列说法正确的个数是（ ）

①(-2,0)为抛物线与x轴的一个交点; ②抛物线与y轴的交点为(0,-2);

③抛物线的对称轴是x=1; ④在对称轴左侧,y随x的增大而增大. A.1 B.2

C.3 D.4

10. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac-b2<0;②3b+2c<0;③4a+c<2b;④m(am+b)+b

A.1 B.2

C.3 D.4

第Ⅱ卷（非选择题）

二．填空题（共8小题，3*8=24）

11．若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为_____.

12. 抛物线y=x2-2x+1与坐标轴的交点有_________个

13. 若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是 .

14. 已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是 .

15．已知二次函数y=x2-x+14m-1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是___________.

16. 抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标是_________，________，方程x2－2x－3＝0的解是__________．

17．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴只有一个交点，则a的值为___________________________.

18. 如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是 ．

三．解答题（共7小题， 46分）

19．(6分) (1)请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象;

(2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2-2x=1的根在图上近似地表示出来(描点);

(3)观察图象,直接写出方程x2-2x=1的根(精确到0.1).

20. (6分) 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴相交于点(0，－3)，并经过点(－2，5)，它的对称轴是直线x＝1，如图为函数图象的一部分．

(1)求二次函数的解析式，写出函数图象的顶点坐标；

(2)在原题图上，画出函数图象的其余部分；

(3)利用图象写出方程ax2＋bx＋c＝0的解；

(4)利用图象写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集．

21. (6分) 已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)，(m为常数)．

(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？

22．(6分) 先阅读理解下面的例题的解题过程，然后解答后面的问题．

例题：解一元二次不等式x2－3x＋2＞0.

解：令y＝x2－3x＋2，画出y＝x2－3x＋2的图象，如图所示．由图象可知当x<1或x>2时，y>0，∴一元二次不等式x2－3x＋2>0的解集为x<1或x>2.

(1)填空： ①x2－3x＋2<0的解集为_______________；

②x2－1>0的解集为_______________；

(2)用类似方法解一元二次不等式－x2－5x＋6>0.

23．(6分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）．

（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．

24．(8分) 二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．

(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；

(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；

(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.

25．(8分) ) 已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．

（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；

（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．

参考答案

1-5 BADDC

6-10 DCBBC

11. -1

12. 2

13. m<1

14. -3

15. m≤5

16.(3，0) (－1，0) x1＝3，x2＝－1

17. －1或1或2

18. x1=﹣2，x2=1

19. 解：(1)y=x2-2x=(x-1)2-1的大致图象如图.

(2)点M,N即为所求.

(3)方程x2-2x=1的根为-0.4,2.4.

20. 解：(1)二次函数的解析式为y＝x2－2x－3

函数图象的顶点坐标是(1，－4)

(2)略

(3)x1＝－1，x2＝3

(4)x＜－1或x＞3

21. 解：(1)证明：当y＝0时，2(x－1)(x－m－3)＝0，

解得x1＝1，x2＝m＋3.

当m＋3＝1，即m＝－2时，方程有两个相等的实数根；

当m＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根．

∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点

(2)当x＝0时，y＝2(x－1)(x－m－3)＝2m＋6，

∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m＋6， ∴当2m＋6＞0，

即m＞－3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方

22. 解：(1)①1＜x＜2

②x＜－1或x＞1

（2）设y＝－x2－5x＋6，

当y＝0时，x1＝－6，x2＝1，

故y＝－x2－5x＋6与x轴交于(－6，0)，(1，0)．

∴一元二次不等式－x2－5x＋6>0的解集为－6

23. 解：（1）∵顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0），

∴点C的坐标为（﹣1，0），

设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x+1），

把A（1，﹣4）代入，可得

﹣4=a（1﹣3）（1+1），

解得a=1，

∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1），

即y=x2﹣2x﹣3；

（2）由图可得，当函数值为正数时，自变量的取值范围是x＜﹣1或x＞3．

24. 解：(1)由题意Δ＝b2－4·a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0，

∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个

(2)当x＝1时，y＝a＋b－(a＋b)＝0，

∴抛物线不经过点C，

把点A(－1，4)，B(0，－1)分别代入得4＝a－b－（a＋b），－1＝－（a＋b），

解得a＝3，b＝－2，

∴抛物线解析式为y＝3x2－2x－1

(3)当x＝2时，m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＞0①，

∵a＋b＜0，∴－a－b＞0②，

①②相加得：2a＞0，∴a＞0

25. （1）证明：由题意可得：