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常见分布的期望与方差的计算

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常见分布的期望与方差的计算

期望和方差是描述一个随机变量的两个最常用的统计量。期望（也称为均值）表示随机变量的中心位置，方差则表示随机变量的离散程度。在概率论和统计学中，有许多常见的概率分布，每个分布都有自己的期望和方差的计算方法。在下面的文章中，我们将讨论一些常见的概率分布，包括离散分布和连续分布，以及它们的期望和方差的计算。

离散分布的期望和方差

1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）

伯努利分布是一种最简单的二元离散分布，它描述了一个只有两个可能取值的随机变量，例如抛一枚硬币正面向上的概率为p，反面向上的概率为1-p。其期望计算公式为E(X) = p，方差计算公式为Var(X) = p(1-p)。

2. 二项分布（Binomial Distribution）

二项分布描述了一定次数的伯努利试验中成功的次数。例如，投掷n次硬币，成功（正面朝上）的次数即为二项分布的取值。其期望计算公式为E(X) = np，方差计算公式为Var(X) = np(1-p)。

3. 泊松分布（Poisson Distribution）

连续分布的期望和方差

1. 均匀分布（Uniform Distribution）

均匀分布是一种在指定区间上所有取值概率相等的连续分布，例如在0和1之间均匀分布的随机变量。其期望计算公式为E(X) = (a + b) / 2，方差计算公式为Var(X) = (b - a)²/12 2. 正态分布（Normal Distribution）

正态分布是一种非常常见的连续分布，也称为高斯分布。它被广泛应用于自然和社会科学中。正态分布由两个参数完全描述，即均值μ和方差σ²。期望和方差分别等于μ和σ²，即E(X) = μ，Var(X) = σ²。

3. 指数分布（Exponential Distribution）

指数分布是描述等待时间（或间隔时间）的连续分布，例如两个事件之间的时间间隔。其期望为1/λ，方差为1/λ²，其中λ是事件发生率。

4. 伽马分布（Gamma Distribution）

伽马分布是指数分布的推广，用于描述事件发生的持续时间。伽马分布由两个参数完全描述，即形状参数k和比例参数θ。其期望计算公式为E(X) = kθ，方差计算公式为Var(X) = kθ²。

结论

期望和方差是概率论和统计学中常见分布的重要统计量。对于离散分布，伯努利分布的期望为p，方差为p(1-p)；二项分布的期望为np，方差为np(1-p)；泊松分布的期望和方差都为λ。对于连续分布，均匀分布的期望为(a + b) / 2，方差为(b - a)²/12；正态分布的期望为μ，方差为σ²；指数分布和伽马分布的期望和方差的计算公式有所不同。

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常用分布的期望和方差

常用分布的期望和方差

分布类型 分布律或概率密度函数 期望 方差

0-1分布B（1，p） iniippiXPp)1(，)1，0(i p

二项分布B（n，p） iniinippCiXPp)1(，)3,210(，，i

泊松分布P(λ) eiiXPpii! ，)3,210(，，i λ λ

几何分布G（p） 1)1(iippiXPp，)3,21(，i

超几何分布

H（n，M，N） CCCnNinMNiMiiXPp,)3,210(，，i

均匀分布U（,ab）

正态分布N（2,）

指数分布E（λ）

2分布，2()n

t分布，()tn 0

分布列、期望、方差

分布列、期望、方差

龙源期刊网

分布列、期望、方差

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2013年第03期

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由于离散型随机变量的分布列、期望与方差与现实生活联系密切，能充分体现数学的应用价值，也符合高考发展的方向，是近几年高考考查的热点与重点内容. 预计在今后的高考中，它仍然是考查的重点，题型有选择题、填空题、解答题，不同的地区，在命题设计上不尽相同，但以解答题为主的可能性更大.

■

求离散型随机变量的期望和方差，一般先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，再根据数学期望和方差的公式计算. 这类题多为解答题，常常综合考查排列组合知识、随机事件的概率等，有时还会根据概率、期望、方差等数据对某些现象进行说理. 因此在复习时要注意对概率综合题的研究，既要落实“模型题”训练，又要注重从生活情境出发进行思考.

■

■ 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表. 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求工期延误天数的均值与方差.

■

破解思路 先根据条件信息求出Y=0，2，6，8时的相应概率，列出Y的分布列，再根据分布列计算期望和方差. 这类题为容易题，体现对分布列、期望、方差等的最低要求.

经典答案 由已知条件和概率的加法公式可得到：P（X

■

于是，EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，DY=9.8. 故工期延误天数的均值为3，方差为9.8.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

■ 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是■；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是■. 龙源期刊网

常见分布的期望与方差的计算

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常见分布的期望与方差的计算

常见分布的期望与方差的计算

这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。

1.0－1分布

已知随机变量X的分布律为

X

10

p

p1 p

则有

E(X)=1 p+0 q=p,

D(X)=E(X2) [E(X)]

2

=12

p+02

(1 p) p2

=pq.

2.二项分布

设随机变量X 服从参数为n, p 二项分布,

(法一)设Xi为第i 次试验中事件A 发生的次数，i=1,2,“,n则

X=∑Xi

i=1

n

n

显然，Xi 相互独立均服从参数为p 的0－1分布，

所以E(X)=∑E(Xi)=np.

i=1

D(X)=∑D(Xi)=np(1 p).

i=1

n

(法二) X的分布律为 n k P{ X= k}= p (1 p )n k, ( k= 0,1,2,", n), k n n n k则有 E ( X )=∑ k P{ X= k}=∑ k p (1 p )n k k=0 k k=0kn!=∑ p k (1 p )n k

k= 0 k ! ( n k )! np( n 1)!=∑ p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!n

n

( n 1)!= np∑ p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!n

= np[ p+ (1 p )]n 1=

np

E ( X 2 )= E[ X ( X 1)+ X]= E[ X ( X 1)]+ E ( X ) k k=∑ k ( k 1) p (1 p )n

二项分布的期望和方差的计算方法综述

二项分布的期望和方差的计算方法综述

第３２卷第ｌ２期　２０１０年１２月　宜春学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｙｉｃｈｕｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｖｏ１．３２，Ｎｏ．１２　ＤＣＣ．２０１０　

二项分布的期望和方差的计算方法综述　

程志明　

（暨南大学经济学院统计学系，广东　广州　５１０６３２）　

摘要：介绍了四种二项分布期望和方差的计算方法，并对其进行评价，希望能帮助读者更深刻地理解二项　

分布，掌握好期望和方差的性质。　

关键词：二项分布；阶乘矩；条件期望；矩母函数　

中图分类号：Ｏ２１１．３文献标志码：Ａ文章编号：１６７１—３８０Ｘ（２０１０）１２—００２１－０２　

二项分布是一种常见的离散概率分布，它在理论和实　

践中都有很重要的作用；同时，期望和方差是各种分布的　

基本的数学特征。对于统计学的初学者，掌握二项分布的　

期望和方差的计算方法，是必不可少的。在计算连续概率　分布的期望和方差时，初学者能够运用到积分（ｆ）运算。　

与此不同，计算离散概率分布的期望和方差时，积分（Ｉ）　

运算变成了加总（∑），计算过程变得相对复杂了。一个　好的计算方法既要有助于人们理解期望和方差，又要计算　简便以免打击学习的积极性。　

将对四种二项分布的期望和方差的计算方法加以介绍，　并综述各自的优缺点，希望能帮助读者更深刻地理解二项　分布，掌握好期望和方差的性质，夯实概率论和数理统计　学的理论基础。　１阶乘矩法　设Ｘ是一个非负整数的离散随机变量，Ｐ（Ｘ＝　）＝Ｐ，，　ｘ＝０，１，２，…，那么　ｒ阶阶乘矩为：　Ｅ［（　），］＝Ｅ［Ｘ（Ｘ一１）（　一２）…（　—ｒ＋１）］　

＝∑ｘ（ｘ一１）（　一２）…（　一，＋１）　，且当ｒ＝０时，　

Ｅ（（　）０）ｓ　ｌ。　令ｒ＝１和２，Ｅ［（　）。］＝　（　）　

Ｅ［（　）　］＝Ｅ［Ｘ（　一１）］＝Ｅ（　）一Ｅ（Ｘ）　于是，方差　Ｖａｒ（Ｘ）＝　（　）一［Ｅ（ｘ）］　＝Ｅ［Ｘ（Ｘ一１）］＋Ｅ（　）一［Ｅ（　）］　

＝Ｅ［（Ｘ）　］＋Ｅ［（　）。］一［Ｅ（Ｘ）。］