第一章 有理数

第一章有理数一、知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数；2)有理数的分类: ①②2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：或；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；若ab=1? a、b互为倒数；若ab=-1? a、b互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.10 .有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或(a-b)n=(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a³10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

第一章 有理数知识框架：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧则、除法法则有理数的乘除：乘法法近似数、科学记数法有理数的乘方则、减法法则有理数的加减：加法法相反数、绝对值数轴（三要素）示的意义正数与负数：定义及表有理数第一课 正数与负数正数与负数、有理数的分类定义：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示；把与它意义相反的量规定为负，用过去学过的数（零除外）前面放上一个“-”（读作负）号表示。

注意：零既不是正数，也不是负数。

为了表示具有相反意义的量，上面我们引进了-5，-2，-237，-0．7，-20等，像这样的数是一种新数，叫做负数。

过去学过的那些数(零除外)，如3，10，500，1．2，等，叫做正数。

正数前面也可以放上一个“+”(读作“正”)号。

如3可以写成+3。

一般情况下，正数前面的“+”号省略不写。

有理数的分类：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯---⋯⎪⎩⎪⎨⎧⋯---⋯655.3512.53121321321，，负分数：如，，正分数：如分数，，负整数：如零，，正整数：如整数有理数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧---⋯---⎪⎩⎪⎨⎧⋯⋯655.351321413121321:，，负分数：如，，负整数：如负有理数零，，正分数：如，，如正整数正有理数有理数 例1.在下列横线上填上适当的词,使前后构成意义相反的量: (1)收入1300元,800元；(2)80米,下降64米；(3)向北前进30米,50米；(4)高出海平面10米,______海平面25米； (5)减少5千克，_______20千克；(6)______3万吨，增产2万吨。

例2.在5分钟内背过5个单词为过关，超过的记为正。

现在小明的记录为－3，小华的记录为0，小军的记录为2，小丽的记录为+1，则：（1）四个人中有几个人过关？（2）他们分别背过了几个单词？ （3）记录中的四个数字统属哪一类有理数？例3.把下列各数填入表示它所在的数集的圈内：－5，－1.2，50，0.618，0，722，－1.01001，π，－5%，0.3负分数集合 非负整数集合正有理数集合课堂同步：一、填空题：1.气温升高1℃记作+1℃，那么气温下降6℃记作_________2.在知识竞赛中，如果＋10分表示加10分，那么________表示扣20分；3.如果物体向右移动10m 记作10+m 的话，那么-2m 表示物体，“0”表示物体4.仪表指针顺时针旋转900记作-900，那么逆时针旋转800记作_____________；5.在数-100, 70.8, -7, π, -3.8, 0, 32π-, ∙3.0, 722-中,不是分数的是_______________;不是小数的是_____________;不是有理数的是6.北京与纽约的时差为-13h ，北京时间是10月16日16：00，纽约时间是____________7.把下列各数填在相应的大括号里1，51,9,28,05.0,1006,2.3,65,7,9.8,54+--+----正整数集合{ } 负整数集合{ } 正分数集合{ } 负分数集合( ) 8.如果水位下降3m 记作-3m ，那么水位上升4m ，记作（ ）A.1mB.7mC.4mD.-7m 9.下列有关“0”的数选中，错误的是( )A.不是正数，也不是负数B.不是有理数，是整数C.是整数，也是有理数D.不是负数，是有理数10.下列有正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是（ ）A. 一天凌晨的气温是-50C ，中午比凌晨上升100C ，所以中午的气温是+100C B. 如果生产成本增加12%，记作+12%，那么-12%表示生产成本降低12%C. 如果+5.2米表示比海平面高5.2米，那么-6米表示比海平面低-6米D. 如果收入增加10元记作+10元，那么-8表示支出减少8元11.欢欢发烧了,妈妈带她去看医生,结果测量出体温是39.2℃ ，.用了退烧药后，以每15分钟下降0.2℃ 的速度退烧,则两小时后,欢欢的体温是( ) ℃。

第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳有理数是我们学习数学的基础，掌握有理数的知识是进行后续学习的关键。

本章将对有理数的知识点、考点和难点进行总结归纳，帮助我们更好地理解和掌握有理数。

一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比值，包括正整数、负整数和零。

有理数的表示形式为分数或整数。

二、有理数的基本运算1. 加法和减法：有理数的加法和减法运算都可以通过分数的相加相减来完成，要注意同分母的分数之间的加减法运算规则，并进行合并和化简。

2. 乘法和除法：有理数的乘法和除法运算也可以通过分数的乘法和除法来完成，要注意分数的乘法规则和除法规则，并进行化简。

三、有理数的大小比较比较两个有理数的大小，可以首先将它们转化为相同分母的分数形式，然后按照分数的大小关系进行比较。

四、有理数的相反数与绝对值1. 相反数：一个有理数的相反数是它的数值相反而符号不变。

2. 绝对值：一个有理数的绝对值是它去掉符号后的数值，即该数的非负值。

五、有理数的混合运算混合运算是指同时进行加减乘除等多种运算的情况。

在有理数的混合运算中，需要根据运算法则和优先级进行计算，并注意括号的运用。

六、有理数的分数表示和小数表示有理数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。

分数形式适用于精确计算，而小数形式便于运算和比较大小。

七、有理数的化简有理数的化简是指将其写成最简形式，即分子与分母没有公约数的分数表示。

通过寻找最大公约数，可以将有理数化简为最简形式。

八、有理数的乘方运算乘方运算是指一个数自乘若干次的运算。

在有理数的乘方运算中，可以根据乘方运算法则简化计算过程，并注意负次幂的运算规律。

九、有理数与实际问题的应用有理数在实际问题中有广泛的应用，如温度计的读数、海拔高度的表示、财务账目的计算等。

通过将实际问题转化为有理数运算，可以得出准确的答案。

总结：有理数是我们日常生活和学习中经常遇到的数，掌握有理数的知识对于数学学习至关重要。

本章总结了有理数的定义，基本运算，大小比较，相反数与绝对值，混合运算，分数与小数表示，化简，乘方运算以及应用等知识点、考点和难点。

《数学》第一章有理数的所有概念基础知识：1、大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数。

2、0既不是正数也不是负数。

3、正整数、0、负整数、正分数、负分数这样的数称为有理数。

（有限小数和无限循环小数都可化为分数）4、通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴满足以下要求：（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度。

5、绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。

6、一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

记做|a|。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

7、有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0. （3）一个数同0相加，仍得这个数。

加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

表达式：a+b=b+a。

加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。

表达式：（a+b）+c=a+（b+c）8、有理数减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数。

表达式：a-b=a+（-b）9、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0.乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

表达式：ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

表达式：（ab）c=a（bc）乘法分配律：一般地，一个数同两个的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

表达式：a（b+c）=ab+ac10、有理数的除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

第一章有理数（一）有理数的有关概念1.1 正数与负数一、知识点回顾：1、像3、2、0.5这样的数（即小学学过的大于0的数）叫做，有时在前面也加上，如+3、+2。

2、像－3、－2、－0.5这样的数（即在小学学过的大于0数的前面加上负号“－”的数）叫做。

3、一个数前面的“+”、“－”号叫做它的符号。

4、0既不是正数，也。

5、生活中，常常用正数和负数表示具有相反意义的量。

如果上升10米记作+10米，那么下降5米记作。

注：相反意义的量中的单位不要忘记写了。

（如果相反意义的量没有单位就不要写，如果有单位一定要记住写上）二、知识点练习：（一）判断题:1、在小学学过的数前面添上“－”号，就是负数。

（）2、一个物体可以左右移动，设向左移动为正，那么向右移动3米记作3米。

（）3、不是正数的数是负数。

（）4、0不是负数。

（）（二）选择题：5、下列结论中错误的是（）A、零是整数B、零不是正数C、零是偶数D、零不是自然数6、下列说法中正确的是（）A、正数都带“+”号B、小学数学中学过的数都可以看作正数C、不带“+”号的数都是负数D、小学数学中学过的数中除零以外，都可以看作是正数7、下列不是具有相反意义的量是（）A、前进5米和后退3米B、节约3吨和消费10吨C、身高增加2厘米和体重减少2千克D、超过5克和不足2克8、在下面四组数：①－3，2.3，14；②34，0，122；③113，0.3，7；④12，15，2中，三个数都不是负数的一组是（）A、①②B、②④C、③④D、②③④（三）填空题：9、如果顺时针旋转30°记作－30°，那么逆时针旋转45°记作。

10、某人向东走5米，又回头向西走5米，此人实际距原地米。

11、如果中午以后的2小时记作+2小时，那么+2小时前3小时应记作。

12、观察下面依次排列的一列数，你能发现它们排列的规律是什么吗？后面空格内的三个数是什么，试把它写出来。

（1）－1 ，2，－3，4，－5，6，，，，…，第n个数是。

第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳大家好，今天我们来聊聊有理数这个知识点。

有理数是我们日常生活中经常会遇到的一种数，它们可以表示为两个整数的比值，比如1/2、3/4等等。

有理数在数学中非常重要，因为它们可以帮助我们解决很多问题。

有理数有哪些知识点呢？下面我们就来一一梳理。

我们来说说有理数的基本概念。

有理数包括正有理数、负有理数和零。

正有理数就是大于零的有理数，比如1/2、3/4等等；负有理数就是小于零的有理数，比如-1/2、-3/4等等；零是有理数，但它既不大于零也不小于零。

我们来看一下有理数的运算。

有理数的加法、减法、乘法和除法都很简单，我们可以通过以下几个例子来说明。

例一：正有理数相加。

假设我们有两个正有理数a和b,那么它们的和就是a+b。

例如，1/2+1/3=5/6。

例二：正有理数相减。

假设我们有两个正有理数a和b,那么它们的差就是a-b。

例如，3/4-1/2=1/4。

例三：正有理数相乘。

假设我们有两个正有理数a和b,那么它们的积就是a*b。

例如，1/2*3/4=3/8。

例四：正有理数相除。

假设我们有两个正有理数a和b(b≠0),那么它们的商就是a/b。

例如，3/4÷1/2=3/2=1.5。

有理数的运算还有很多其他的形式，比如负有理数的加法、减法、乘法和除法等。

但是这些都比较复杂，我们以后再学吧。

除了基本的运算之外，有理数还有一些重要的性质和定理。

比如，有理数的相反数是它的负倒数；有理数的绝对值是它的大小；有理数的平方根有两个，一个是正的，一个是负的；有理数的小数部分可以无限精确地表示为分数形式等等。

这些性质和定理在解决一些实际问题时非常有用。

我们来说说有理数的解题方法。

其实，有理数的解题方法和其他类型的题目差不多。

我们需要先理解题目的意思，然后根据题目的要求选择合适的方法进行计算。

有时候，我们还需要运用一些特殊的技巧来简化计算过程。

只要我们掌握了有理数的基本知识和解题方法，就可以轻松地解决很多数学问题了！今天我们就来聊到这里。

第一章：有理数
1.1自然数和整数的平方根
-平方根的定义和性质
-平方数
-二次方程
-平方跟的概念和计算方法
1.2有理数
-有理数的定义和性质
-有理数的加减运算和乘除运算
-有理数的比较和排序
-有理数的绝对值
-小数和有理数的表示方法
-实数的概念和实数在数轴上的表示1.3数轴及其应用
-数轴的定义和性质
-有理数和实数在数轴上的表示
-数轴上的有理数运算
-数轴上的加法和减法
-数轴上的乘法和除法
-数轴上的相反数和绝对值
1.4运算律的应用
-结合律、交换律和分配律的定义和性质
-运算律在有理数计算中的应用
-有理数运算中的应用问题
1.5有理数的乘方
-乘方及其运算法则
-幂次运算法则
-乘方的应用和问题
-有理数的开方
-有理数乘方的应用和问题
1.6有理数应用问题
-有理数的应用问题：交通运输、财务管理等实例
-有理数的实际应用问题解决方法和步骤
总结：第一章主要介绍了有理数的概念和基本性质，包括平方根、加减乘除运算、比较和排序、绝对值、小数表示、实数的概念和数轴表示等内容。

此外，还学习了运算律的应用和有理数的乘方运算，以及有理数的应用问题解决方法。

通过这一章的学习，学生可以掌握有理数的基本运算和应用，为后续数学学习打下坚实基础。

第一章《有理数》复习总结有理数是整数和分数的统称，包括正数、负数和零。

有理数可以表示为p/q的形式，其中p和q都是整数，且q不等于0。

p称为分子，q称为分母。

1.有理数的大小比较：(1)对于同号的有理数，绝对值越大，数值越大；(2)对于异号的有理数，正数大于负数，绝对值越小，数值越大。

2.有理数的加减乘除：(1)加法：拆分有理数，按照整数部分和小数部分相加；(2)减法：将减数变为相反数，再进行加法运算；(3)乘法：分别计算分子和分母的乘积，然后化简；(4)除法：将除数变为倒数，再进行乘法运算。

3.有理数的约分和化简：(1)约分：将分子和分母同时除以最大公因数，使得分数不可再约分；(2)化简：将带有分数线的有理数化为最简形式。

4.有理数的绝对值：(1)正数的绝对值是其本身；(2)负数的绝对值是其相反数；(3)零的绝对值是零。

5.有理数的相反数：(1)正数的相反数是负数；(2)负数的相反数是正数；(3)零的相反数是零。

6.计算混合数的值：(1)将整数部分和小数部分分开，分别计算；(2)将结果相加或相减，得到最终的结果。

7.有理数的乘方：(1)有理数的整数次方，将底数连乘或连除相应次数；(2)底数是分数，将底数化为整数的形式进行计算。

8.有理数的乘法逆元：(1)有理数的乘法逆元是其倒数；(2)除零外，任意非零有理数的乘法逆元存在。

9.有理数的混合运算：(1)先进行括号内的运算，再进行乘除法运算，最后进行加减法运算；(2)若有多个加法或减法运算，按照从左到右的顺序进行。

10.有理数在坐标轴上的表示：(1)正数表示点在原点的右侧；(2)负数表示点在原点的左侧；(3)零表示点在原点。

有理数在数学中有着广泛的应用，比如在数轴上定位、计算中的加减乘除、分数和小数的运算等。

学好有理数不仅需要掌握各种运算规则和性质，还需要大量的练习和实践。

通过不断的练习和思考，可以提高解决实际问题的能力，培养思维和逻辑思维能力。

总之，有理数作为数学的一个重要概念，是我们平日生活中接触最多的数的形式。

第一章 有理数一、全章知识结构二、回顾正数、负数的意义及表示方法1、大于0的数叫做正数；正数的表示方法：a>0，2、在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；负数的表示方法：a<03、0即不是正数也不是负数。

正数，负数表示具有相反意义的量。

三、有理数的分类1、定义：整数和分数统称为有理数有限小数和无限循环小数都是有理数而无限不循环小数却不是有理数 2、有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：3、数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：（1）用数轴上的点表示有理数； （2）在数轴上比较有理数的大小；（3）可用数轴揭示一个数的绝对值和互为相反数的几何意义；（4）在数轴上可求任意两点间的距离：两点间的距离=|x －y|=|y －x|四、有理数中具有特殊意义的数：相反数、倒数、绝对值、非负数 1、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。

（1）几何意义：在数轴上表示一对相反数的两个点与原点的距离相等。

（2）代数意义：只有符号不同的两个数。

（3）互为相反数的特性：a+b=0，0的相反数是0。

（4）会求一个数的相反数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数a 的相反数为 a-b 的相反数为 2、倒数:（1）乘积是1的两个数互为倒数 （2）互为倒数的特性: ab=1, （3）0没有倒数（4）互为负倒数: 乘积是－1的两个数互为负倒数; ab=－1 3、非负数：（1）就是大于或等于0的数：a 0（2）数轴上，在原点的右边包括原点的点表示的数 （3）任何数的平方数都是非负数（4）非正数：就是小于或等于0的数：a 0（5）数轴上，在原点的左边包括原点的点表示的数 4、绝对值：（1）几何意义：一个数的绝对值就是它到原点的距离。

（2）代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

第一章 有理数1、正数和负数的有关概念（1）正数：比0大的数叫做正数；负数：比0小的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数。

（2）正数和负数表示相反意义的量。

2、有理数的概念及分类有理数是整数和分数的统称。

通常有两种分类：0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正数正分数有理数负整数负数负分数 3、有关数轴（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

数轴是一条直线。

（2）所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。

（3）数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表示负数的点在原点的左侧。

4、绝对值与相反数（1）绝对值：在数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做a 的绝对值，记作：a 。

一个正数的绝对值等于本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）相反数：符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。

若a 、b 互为相反数，则a+b=0；相反数是本身的是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。

（3）绝对值最小的数是0；绝对值是本身的数是非负数。

任何数的绝对值是非负数。

本身之迷①倒数是它本身的数是±1②绝对值是它本身的数是非负数（正数和0）③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于经本身的数是±1，0 ⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1，0 ⑦相反数是它本身的数是0数之最①最小的正整数是1 ②最大的负整数是-1 ③绝对值最小的数是0 ④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0 ⑦没有最大和最小的有理数 ⑧没有最大的正数和最小的负数5、利用绝对值比较大小两个正数比较：绝对值大的那个数大；两个负数比较：先算出它们的绝对值，绝对值大的反而小。