反比例函数一数
反比例函数是数学中常见的一种函数形式，它表示两个变量之间的关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比。在反比例函数中，当其中一个变量的值增大时，另一个变量的值会相应地减小，反之亦然。本文将探讨反比例函数的特点、图像以及在实际生活中的应用。
反比例函数的一般形式可以表示为y = k/x，其中k是一个常数，x 和y分别表示两个变量的值。在这个函数中，x和y的值是相互依赖的，它们的乘积始终等于常数k。这意味着当x的值增大时，y的值会相应地减小，反之亦然。可以看出，反比例函数中的变量之间存在着一种倒数的关系。
反比例函数的图像特点是一个双曲线。当x趋近于无穷大或无穷小时，y趋近于0；当x等于0时，y是不存在的。这是因为在反比例函数中，当x等于0时，分母为0，因此y的值无法确定。除此之外，反比例函数的图像关于y轴和x轴都对称，且永远不会与这两个轴相交。
反比例函数在实际生活中有着广泛的应用。其中一个常见的应用是电阻和电流之间的关系。根据欧姆定律，电阻R和电流I之间的关系可以表示为R = k/I，其中k是一个常数。这里的反比例函数描述了电阻和电流之间的关系，当电流增大时，电阻会减小，反之亦然。这是因为电阻是电流通过的障碍物，当电流增大时，通过电阻
的电压降也会增大，从而导致电阻的值减小。
另一个应用是速度和时间之间的关系。根据物理学的定义，速度V 和时间T之间的关系可以表示为V = k/T，其中k是一个常数。这里的反比例函数描述了速度和时间之间的关系，当时间增加时，速度会减小，反之亦然。这是因为速度是路程对时间的比值，当时间增加时，路程相同的情况下，速度必然减小。
除了以上两个应用，反比例函数还可以用来描述很多其他的实际问题，例如质量和密度之间的关系、人口密度和土地面积之间的关系等等。反比例函数的特点使得它在描述一些相互制约的变量之间的关系时非常有用。
反比例函数是数学中一种常见的函数形式，它描述了两个变量之间的反比关系。反比例函数的图像是一个双曲线，具有特定的对称性和趋势。在实际生活中，反比例函数可以用来描述许多相互制约的变量之间的关系，例如电阻和电流、速度和时间等。通过研究反比例函数，我们可以更好地理解和应用数学在实际问题中的作用。
教学目标 知识梳理 第四讲 一轮复习—函数专题之反比例函数 1、掌握反比例函数的定义，会用待定系数法求解析式，理解其图像的性质； 2、理解反比例函数与方程及不等式的关系，学会利用图像解决相关问题。 知识点一、反比例函数的定义 反比例函数：形如y ＝ x k （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy =k 、 1 -=kx y 。 知识点二、反比例函数的图像 1、图像形状：反比例函数的图像属于双曲线。
【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论 知识点三、|k |的几何意义 1、过反比例函数()0k y k x = ≠，图像上一点()P x y ， ，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S x y xy k =⋅==。 2、与反比例函数上的点有关的三角形的面积 【误区警示】应用比例系数k 的几何意义时的易错点 (1)忽略图像所在的象限而导致k 的符号出错 (2)混淆矩形或三角形与|k |的倍数关系 3、与反比例函数上的点有关的梯形的面积 S △OCD =S 梯形ABCD 知识点四、反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数x k y = 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。 知识点五、反比例函数的应用 1、 反比例函数在实际问题中的应用反比例函数在实际问题中,通常自变量的取值范围因实际背景而受到限 制,这时对应的函数图像会是双曲线的一支或一段.在实际问题中,要注意标明自变量的取值范围. 2、 反比例函数图像与一次函数图像的交点问题
2021年中考数学一轮复习(通用版) 第11章反比例函数 考点梳理 考点一反比例函数的概念、图象和性质 1．反比例函数的概念 一般地，函数y＝(k为常数，且k≠0)叫做反比例函数． 【点拨】(1)函数y＝kx－1或xy＝k都是反比例函数；(2)反比例函数中自变量的取值范围是x≠0. 2．反比例函数的图象和性质 (1)反比例函数y＝k x (k为常数，且k≠0)的图象是． (2)反比例函数的图象无限接近，但永不与相交． (3)反比例函数的图象和性质 第一、三象限第二、四象限
一象限，再结合每个象限内反比例函数图象的增减性来比较，解决这种问题的一个有效办法是画出草图，标上各点，再比较大小． 3．确定反比例函数的表达式 (1)求反比例函数的表达式可用待定系数法．由于反比例函数的表达式中只有一个待定系数，因此只需已知一组对应值即可． (2)求反比例函数表达式的一般步骤： ①设反比例函数的表达式； ①把已知的一组对应值代入函数表达式，建立方程； ①解方程求得待定系数的值． 4．反比例函数的系数k的几何意义 如图，设点P(x，y)是反比例函数y＝ k x 图象上任一点，过点P作x轴的垂线，垂足为A，则①OP A的面积＝1 2 OA·P A＝ 1 2 |xy|＝ 1 2 |k|，这就是反比例函数的系数k的几何意义． 【点拨】根据比例系数k的几何意义，求k值时，要根据双曲线所在的象限正确确定k的符号.
考点二反比例函数的应用 1．反比例函数与一次函数的综合应用 (1)求函数解析式 一般先通过一个已知点求出反比例函数解析式，再由反比例函数的解析式求出另一个交点的坐标，再将这两点的坐标代入一次函数的解析式中，解方程(组)即可． (2)求交点坐标 将一次函数的解析式与反比例函数的解析式联立成方程组求解即可；对于正比例函数与反比例函数，其均关于原点对称，只要知道一个交点的坐标，就可以求出其关于原点对称的另一个交点的坐标． (3)求面积 ①当有一边在坐标轴上时，通常将坐标轴上的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，然后利用面积公式求解； ①当两边均不在坐标轴上时，一般可采用割补法将其转化为一边在坐标轴上的两个三角形面积的和或差来求解． 此外，求面积时要充分利用“数形结合”的思想，即用“坐标”求“线段”，用“线段”求“坐标”． (4)比较两个函数值的大小，求自变量的取值范围 2．反比例函数的实际应用 利用反比例函数解决实际问题，首先要建立反比例函数的数学模型，这也是关键一步，一般地，建立反比例函数模型有两种思路：(1)题目中明确指出变量间存在反比例函数关系，在这种情况下，可利用待定系数法求反比例函数的解析式.(2)题目中未指出变量间存在反比例函数关系，在这种情况下可利用基本数量关系求反比例函数的关系式，反比例函数模型建立后，进一步地可利用反比例函数的图像及性质解决问题．
新人教版九年级数学下册第26章反比例函数学问点归纳和典型例题 （一）学问构造 〔二〕学习目的 1．理解并驾驭反比例函数的概念，能依据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式〔k为常数，〕，能推断一个给定函数是否为反比例函数． 2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点． 3．能依据图象数形结合地分析并驾驭反比例函数〔k 为常数，〕的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简洁的实际问题． 4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，探讨函数模型，解决实际问题〞的过程，体会函数是刻画现实世界中改变规律的重要数学模型． 5．进一步理解常量及变量的辨证关系和反映在函数概念中
的运动改变观点，进一步相识数形结合的思想方法． 〔三〕重点难点 1．重点是反比例函数的概念的理解和驾驭，反比例函数的图象及其性质的理解、驾驭和运用． 2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和驾驭． 二、根底学问 〔一〕反比例函数的概念 1．〔〕可以写成〔〕的形式，留意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特殊留意系数这一限制条件； 2．〔〕也可以写成的形式，用它可以快速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象及x轴、y 轴无交点． 〔二〕反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应留意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点〔关于原点对称〕． 〔三〕反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：〔〕 2．自变量的取值范围：
沪科版数学九年级上册21.5.1反比例函数教学设计
上述几个函数都具有 的形式，一般地，形 如y=k/x(k 是常数，k ≠0)的函数叫反比例函数。 1、反比例函数y=k/x,自变量x 的取值范围是不等于 0的一切实数，函数y 的值也不等于0。k 叫做比例系数，k ≠0。 2、有时反比例函数也可写成xy=k(k ≠0)或 y=k/x(k ≠0). 练习 1.下列函数中，哪些是反比例函数(x 是自变量)？并说出反比例函数的比例系数。 2. 如果反比例函数y=k/x 的图像过点P(-2，3)，那么k 的值是( ) 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 例1.在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p Pa 是它的受力面积S m 2的反比例函数，如图（1）求p 与S 之间的函数表达式； （2）当S=0.5时，求p 的值. 变式：已知y ＝(m 2＋2m)x m2 ＋m －1 是y 关于x 的 反比例函数，求m 的值及函数关系式 变式1、已知函数 熟记反比例函数的定义，理解 概念 梳理知识点，理解概念。 注意反比例函数图像的步骤 k y x =(2)(1)k k y x -+=
是反比例函数，则k 必须满足___。 变式3、已知函数y＝2y1－y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，当x＝1时，y＝4，当x＝2时，y＝3，求y与x的函数关系式。 中考链接 若函数 是反比例函数，求k的值，并写出该反比例函数的解析式. 学生要独立完 成练习，然后进 行展示，其他学 生相互补充。 通过例题 的学习，由易到 难，加深对知识 点的理解和掌 握． 作业必做题: 随堂练习P44 选做题: 习题21.5第1、2、3题独立完成学生独立完成 例题变式，养成 独立完成作业 的习惯 课堂小结反比例函数：定义/三种表达方式 用待定系数法求反比例函数解析式学生独自总结回顾课堂知识， 强化基础
第12讲 反比例函数及其应用 一、考点知识梳理 【考点1 反比例函数的图像及性质】 1.反比例函数的概念：1．一般地，如果变量y 与变量x 之间的函数关系可以表示成y ＝k x (k 是常数，且k ≠0)的形式，则称y 是x 的反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。 2.函数图像的性质：对于反比例函数y ＝k x (k ≠0)，k ＞0时，反比例函数图像经过第一、三象限(x ，y 同号)，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，关于直线y ＝－x 对称；k ＜0时，反比例函数图像经过第二、四象限(x ，y 异号)，在每个象限内，y 随x 的增大而增大关于直线y ＝x 对称。 【考点2 反比例函数的实际应用】 1.反比例函数表达式的确定的步骤： (1)设所求的反比例函数为y ＝k x (k ≠0)； (2)根据已知条件列出含k 的方程； (3)由代入法求待定系数k 的值； (4)把k 代入函数表达式y ＝k x 中． 2.求表达式的两种途径： (1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出； (2)在已知两个变量x ，y 具有反比例关系y ＝k x (x ≠0)的前提下，根据一对x ，y 的值，列出一个关于k 的方程，求得k 的值，确定出函数的表达式． 【考点3 反比例函数的图像与几何图形的关系】 反比例函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据． 【考点4 反比例函数的图像与其它函数的关系】 反比例函数与一次函数、反比例函数与二次函数是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。 二、考点分析 【考点1 反比例函数的图像及性质】 【解题技巧】1.对于反比例函数y ＝k x (k 是常数，且k ≠0)k 的几何意义：
反比例函数一数 反比例函数是数学中常见的一种函数形式，它表示两个变量之间的关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比。在反比例函数中，当其中一个变量的值增大时，另一个变量的值会相应地减小，反之亦然。本文将探讨反比例函数的特点、图像以及在实际生活中的应用。 反比例函数的一般形式可以表示为y = k/x，其中k是一个常数，x 和y分别表示两个变量的值。在这个函数中，x和y的值是相互依赖的，它们的乘积始终等于常数k。这意味着当x的值增大时，y的值会相应地减小，反之亦然。可以看出，反比例函数中的变量之间存在着一种倒数的关系。 反比例函数的图像特点是一个双曲线。当x趋近于无穷大或无穷小时，y趋近于0；当x等于0时，y是不存在的。这是因为在反比例函数中，当x等于0时，分母为0，因此y的值无法确定。除此之外，反比例函数的图像关于y轴和x轴都对称，且永远不会与这两个轴相交。 反比例函数在实际生活中有着广泛的应用。其中一个常见的应用是电阻和电流之间的关系。根据欧姆定律，电阻R和电流I之间的关系可以表示为R = k/I，其中k是一个常数。这里的反比例函数描述了电阻和电流之间的关系，当电流增大时，电阻会减小，反之亦然。这是因为电阻是电流通过的障碍物，当电流增大时，通过电阻
的电压降也会增大，从而导致电阻的值减小。 另一个应用是速度和时间之间的关系。根据物理学的定义，速度V 和时间T之间的关系可以表示为V = k/T，其中k是一个常数。这里的反比例函数描述了速度和时间之间的关系，当时间增加时，速度会减小，反之亦然。这是因为速度是路程对时间的比值，当时间增加时，路程相同的情况下，速度必然减小。 除了以上两个应用，反比例函数还可以用来描述很多其他的实际问题，例如质量和密度之间的关系、人口密度和土地面积之间的关系等等。反比例函数的特点使得它在描述一些相互制约的变量之间的关系时非常有用。 反比例函数是数学中一种常见的函数形式，它描述了两个变量之间的反比关系。反比例函数的图像是一个双曲线，具有特定的对称性和趋势。在实际生活中，反比例函数可以用来描述许多相互制约的变量之间的关系，例如电阻和电流、速度和时间等。通过研究反比例函数，我们可以更好地理解和应用数学在实际问题中的作用。
1.反比例函数概念 一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成(k为常数,k 0)的形式,那么称y是x的反比例函数.反比例函数的自变量x不能为. 2.反比例函数的等价形式 y是x的反比例函数?y=(k≠0)?y=kx-1(k≠0)?xy=k(k≠0). 探究一:反比例函数的概念 【例1】若函数y=(m+1)是反比例函数,则m的值为() (A)m=1 (B)m=-2 (C)m=-2或m=-1 (D)m=2或m=1 【导学探究】 判断形如y=(k≠0)的反比例函数时,要特别注意:①自变量x的指数是,②k的取值范围是. 反比例函数y=(k≠0)中应注意三点:(1)k≠0;(2)x≠0;(3)其解析式的另外两种写法是xy=k,y=kx-1(k≠0),其中(1)是最容易被忽视的. 变式训练1-1:下列各式中的两个字母都表示变量,哪些式子中的两个变量可以成反比例函数关系?每一个反比例函数相应的常数“k”值是多少? (1)y=;(2)xy=-6; (3)s=-;(4)y=+1. 变式训练1-2:写出下列问题中y与x之间的函数关系式,并判断是否为反比例函数.
(1)三角形的面积为36 cm2,底边长y(cm)与该边上的高x(cm); (2)圆锥的体积为60 cm3,它的高y(cm)与底面的面积x(cm2). 探究二:求反比例函数解析式 【例2】已知y是x的反比例函数,(,-)是它图象上的一点,该图象是否经过点 -6,? 【导学探究】 1.设函数关系式为. 2.把点代入关系式. 确定反比例函数的关系式:(1)设:设出关系式y=(k≠0);(2)代:把一组x、y的值代入;(3)写:写出函数关系式. 变式训练2-1:已知y与x成反比例,并且当x=-1时,y=3,那么该函数的表达式为() (A)y=-3x (B)y=- (C)y=-x (D)y=x 变式训练2-2:已知函数y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5.
反比例函数基本知识 反比例函数基本知识 知识点一：反比例函数的概念 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成或y=kx-1(k为常数，)的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点： (1)k是常数，且k不为零;(2)中分母x的指数为1，如不是反比例函数。(3)自变量x的取值范围是一切实数.(4)自变量y的取值范围是一切实数。 知识点二：反比例函数的图象及性质 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 画反比例函数的图象时要注意的问题： (1)画反比例函数图象的方法是描点法; (2)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来。 (3)由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。
反比例函数的性质： 的变形形式为(常数)所以： (1)其图象的位置是： 当时，x、y同号，图象在第一、三象限; 当时，x、y异号，图象在第二、四象限。 (2)若点(m,n)在反比例函数的图象上，则点(-m,-n)也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。 (3)当时，在每个象限内，y随x的增大而减小; 当时，在每个象限内，y随x的增大而增大; 知识点三：反比例函数解析式的确定 (1)反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。 (2)用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：(); ②根据已知条件，列出含k 的方程;③解出待定系数k的值; ④把k值代入函数关系式中。 知识点四：用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点： ①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。 ②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 ③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。
正比例函数与反比例函数
正比例函数和反比例函数 综合解说 客观世界是不断运动和变化着的，在这些变化着的事物中，存在各种各样的变量。在同一变化过程中，一些变量之间相互依存，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化。函数是体现运动变化的基本数学概念，它从数量角度刻画事物变化的过程，表达变量之间确定的依赖关系。 本章引入了函数的概念，重点讨论正比例函数和反比例函数，并借助与图像的直观，得到它们的一些基本性质，进而应用这些概念和性质，解决一些简单的实际问题。 1 正比例函数 【知识结构框图表】 【本节解读】 人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征，量是用“数”来表明大小的。数与度量单位结合在一起，就是数量。反比例函数 正比例函数定义域和值域函数解析式 函数
经常涉及的量有长度、面积、体积、质量、温度、时间、速度等。 【基础知识与要点拨】 1.变量和常量 在变化过程中，可以去不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量。 比如：圆的周长C与直径D的关系为C＝πD。 C、D是变量，π是常量。 2.函数和自变量 在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。“y是x的函数”用记号y＝f(x)表示，括号内的字母表示自变量，括号外的字母f表示y随着x的变化而变化的规律。f(a)表示当x＝a时的函数值。 3.定义域和值域 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。对应于自变量的函数值的取值范围，叫做值域。
4.正比例 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例。用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是y k =或者y kx=，其中，k是不为零的常数。 x 5.正比例函数 定义域是一切实数的函数y k x =（k是不为零的常数）叫做正比例函数。其中常数k叫做比例系数。确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数。 6.函数解析式 表示两个变量之间依赖关系的数学式子叫做函数解析式。 7.正比例函数的图像和性质 正比例函数y kx=（k是不为零的常数）的图像是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线。 当0 k>时，直线经过第一、三象限，自变量x的 值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大；当0 k<时，
反比例函数编辑 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例。形如y=k/x（k为常数，k≠0，x≠0）的函数就叫做反比例函数。 变形公式为xy=k或y=kx^-1或y=k1/x 1定义编辑 一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0）[1]，其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k>0时，图像在 一、三象限。k<0时，图像在二、四象限.k的绝对值表示的是x与y的坐标形成 的矩形的面积。 2表达式 x是自变量，y是因变量，y是x的函数 （即：y=kx^-1） (k为常数且k≠0，x≠0） 若此时比例系数为： 自变量的取值范围 ① 在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是不等于0的任意实
合并图册(5张) 数；②函数 y 的取值范围也是任意非零实数。 解析式 其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数， 即{x|x≠0,x属于R这个范围。R是实数范围。也就是x是实数}。下面是一些常见的形式： （k为常数(k≠0），x不等于0） 3函数图像编辑 反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。 当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交. 图象画法 1）列表 2）在平面直角坐标系中标出点。 3）用平滑的曲线连接点。 . 当，K>0，Y随X的增大而减小。 . . 当，K<0，Y随X的增大而增大。 . 当两个数相等时那么曲线呈弯月型。 k的意义及应用
第二十六章反比例函数 第一节反比例函数的图像和性质一、课标导航 二、核心纲领 1.反比例函数 ⑴定义：一般地，形如 k y x =（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函 数. 注：①自变量x在分母上，指数为1. ②比例系数k≠0. ③自变量x的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是y≠0. ④反比例函数的其他形式：xy=k（k≠0）或y=kx-1（k≠0）. ⑵图像：反比例函数的图像是双曲线，也称双曲线 k y x =（k≠0） ⑶性质（如下表所示）
注：⑴y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件. ⑵ k y x =（k为常数，k≠0）中自变量x≠0，函数值y≠0，所以双曲线不经过原点，两个分支逐渐靠近 坐标轴，但是永远不与坐标轴相交. 2.待定系数法求反比例函数的解析式 只需图像上一个点的坐标即可求出k. 3.反比例函数的图像的对称性 ⑴中心对称：对称中心是原点. ⑵轴对称：对称轴是直线y=x和直线y=—x. 4.k的几何意义（如下表所示）
5.数学思想 ⑴数形结合；⑵分类讨论. 本节重点讲解：一个定义，一个性质，一个对称性，一个几何意义. 三、全能突破 基础演练 1.如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） A. 反比例函数 B. 正比例函数 C.一次函数 D. 反比例或正比例函数 2.若反比例函数22 (21) m y m -=-的图像在第二、四象限，则m 的值是（ ） A.-1或1 B.小于 1 2 的任意实数 C.-1 D.不能确定 3.如图26-1-1所示，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在 反比例函数221 k k y x ++=的图像上.若点A 的坐标为（-2，2）则k 的值为（ ） A. 1 B.-3 C.4 D.1或-3
26.1.1反比例函数教案 篇一：九年级下册数学26.1反比例函数教学设计 26.1反比例函数 板书设计：反比例函数 定义： 等价形式： 篇二：26.1.1反比例函数教案 第26章反比例函数 26．1．1反比例函数 【学习目标】 1、经历抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的 概念。 2、理解反比例函数的意义，根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反 比例函数关系式 3、让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际 问题的习惯，体会数学在解决实际问题中的作用 学情分析：虽然学生在八（上）已学过一次函数及特例“正比例函数”
的内容，对函数有了初步的认识。从学生接触函数所蕴含的“变化与对应”思想至今已经半年有余，学生对与函数相关的概念不可避免会有所遗忘或生疏。因此，学习本节课的关键是处理好新旧知识的联系，尽可能地减少学生接受新知识的困难。 【学习重点】理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式【学习难点】反比例函数的解析式的确定【学法指导】自主、合作、探究篇三：26.1反比例函数教案 26.1反比例函数 学习目标、重点、难点 【学习目标】 1、理解反比例函数的定义； 2、用待定系数法确定反比例函数的表达式； 3、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质； 【重点难点】 1、用待定系数法确定反比例函数的表达式； 2、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质； 知识概览图 反比例函数的定义 反比例函数的图象与性质 新课导引 【生活链接】学校课外生物小组的同学准备自己动手，用围 24m2的矩形饲养场（如右图所示），设它的一边长为x(m)，求
备战2020年中考数学一轮专项复习——反比例函数综合问题 一、反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ； （B ）xy = k （k ≠ 0）； （C ）y=kx -1（k ≠0） 二、反比例函数的图象和性质： 知识要点： 1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内； （2）当k<0时, 双曲线分别位于第二、四象限内。 3、增减性：（1）当k>0时,y = x k （k ≠ 0）为减函数,y 随x 的增大而减小； （2）当k<0时,y = x k （k ≠ 0）为增函数,y 随x 的增大而增大。 4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点成中心对称；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x 6 ）来说，它们是关于x 轴，y 轴成轴对称。 一、选择题： 1．下列函数，①y ＝2x ，②y ＝x ，③y ＝x ﹣1，④y ＝ 是反比例函数的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是 （k ≠0）判定则可． 【解析】①y ＝2x 是正比例函数； ②y ＝x 是正比例函数； ③y ＝x ﹣1是反比例函数；
④y＝不是反比例函数，是反比例关系； 所以共有1个． 故选：B． 2．（2019•济南）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（） A．B． C．D． 【解析】a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合． a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合； 故选：D． 3．如图，过原点的直线l与反比例函数y＝﹣的图象交于M，N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是（） A．B．2C．2 D．1 【分析】设N的横坐标是a，则纵坐标是﹣，利用a即可表示出ON的长度，然后根据不等式的性质即可求解． 【解析】设N的横坐标是a，则纵坐标是﹣． 则OM＝ON＝≥．则MN的最小值是2． 故选：B．
高一数学必修1函数的知识点归纳总结 【导语】函数是数学学习里的重点内容，高一要学好数学第一要 掌控好最基础的知识。下面是作者为大家收集整理的高一数学必修1函 数的知识点篇，期望能对你有帮助! 高一数学必修1函数的知识点篇一：反比例函数 形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。 自变量x的取值范畴是不等于0的一切实数。 反比例函数图像性质： 反比例函数的图像为双曲线。 由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。 另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上 任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形 面积是定值，为∣k∣。 上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。 当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数 当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数 反比例函数图像只能无穷趋向于坐标轴，没法和坐标轴相交。 知识点： 1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂 线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。 2.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数(即 y=k/(x±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)
高一数学必修1函数的知识点篇二：对数函数 对数函数的一样情势为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。 对于不同大小a所表示的函数图形： 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x 的对称图形，由于它们互为反函数。 (1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。 (2)对数函数的值域为全部实数集合。 (3)函数总是通过(1，0)这点。 (4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。 (5)明显对数函数无界。 高一数学必修1函数的知识点篇三：二次函数 I.定义与定义表达式 一样地，自变量x和因变量y之间存在以下关系：y=ax^2+bx+c (a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一样式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]
18.4 反比例函数 教学目标 1、知识与技能 第一课时：理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式；利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式。 第二课时：理解反比例函数的图象是双曲线，利用描点法画出反比例函数的图象，说出它的性质；利用反比例函数的图象解决有关问题。 2、过程与方法 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力。 3、情感、态度与价值观 探索反比例函数的图象的性质，体会用数形结合思想解数学问题。 重点与难点 1、重点：反比例函数的性质。 2、难点：反比例函数的性质。 教学方法 教学中要注意和一次函数，尤其中正比例函数的类比，引导学生体会到在探索的途径和方法上是和一次函数相仿的，但对反比例函数不能笼统地说：“当k＞0时y随着x的增大而减小”，只能说成“当k＞0时，在某个象限内y随着x的增大而减小”。这是一个难点，可以根据反比例函数中自变量的取值范围为x≠0，以及图象分成两支的特征给以直观解释，让学生理解即可。 18.4.1 反比例函数 (第1课时) 教学过程 一、复习引入 教师讲解：前面我们比较详细地介绍过一次函数。从今天开始的以下几课时我们将介绍另外一种函数。这个函数关系到中的两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，但两个数的积保持不变，我们把这两个量的关系叫做反比例关系。我们要研究的就是这种关系。 二、探究新知 （一）几个实例 1、教师提出问题：小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇上去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了。假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关
27.2 反比例函数的图像与性质（1） 教学目标 【知识与能力】 1.会用描点法画出反比例函数y= 的图像. 2.能用待定系数法求反比例函数的解析式. 【过程与方法】 1.经历画反比例函数的图像并观察函数图像的过程,进一步体会数形结合思想在数学中的应用. 2.经历画反比例函数图像的探究过程,了解从特殊到一般的认识过程,培养学生观察、探究、归纳及动手能力. 【情感态度价值观】 1.经历观察、思考、交流等数学活动,获得探索数学知识和合作交流的方法和经验,体验数学活动中的探索性和创造性. 2.在数学学习过程中,体验学习数学的成功感,领悟和感受数学美,发现学习的乐趣. 教学重难点 【教学重点】 用描点法画反比例函数的图像. 【教学难点】 探究反比例函数的图像特点的过程. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 复习提问: 1.以前学习一次函数时,用什么思路和方法研究的? (先根据函数解析式画出函数的图像,然后观察、分析、归纳得到函数的性质) 2.一次函数的图像是什么? (直线) 3.画函数图像的基本步骤是什么? (列表、描点、连线) 4.什么是待定系数法?如何用待定系数法求一次函数的解析式? 【师生活动】 学生思考回答,教师对学生的答案进行点评. 导入二: 思考并回答下列问题: 1.点(2,3)在正比例函数y =kx 的图像上,你能求出这个正比例函数的表达式吗? 将点(2,3)代入y =kx ,得k =32,所以函数表达式为y =32 x
2.判断点(1,2)是否在正比例函数y=2x的图像上?点(-1,-2),(3,6)呢?你是如何判定的? (点(1,2)在函数y=2x的图像上;点(-1,-2),(3,6)也在函数y=2x的图像上;将点的坐标代入函数解析式,满足函数解析式,所以点在函数的图像上) 教师归纳:判定点是否在函数图像上,将点的坐标代入函数解析式,判断是否满足函数解析式即可. [设计意图]通过复习画函数图像的基本步骤、判断点是否在函数图像上导入新课,为本节课的学习做好铺垫,通过复习研究一次函数的基本思路和方法,让学生用类比的方法自然地构建出新知识,降低本节课的学习难度,激发学生学习本节课的兴趣. 二、新知构建： 活动一:画反比例函数y=6 x 的图像. 思路一 教师引导思考: (1)该函数中自变量x的取值范围是什么?函数值y的取值范围是什么? (2)画函数图像列表时,取哪些x的值使函数图像完整、准确? (3)在课前准备的平面直角坐标系下描点. (师生共同完成列表) (4)如何用平滑的曲线连接各点? (5)从左到右连线时,图像与x轴、y轴有没有交点?为什么? (6)仅凭两个点的坐标,能画出反比例函数y=6 x 的图像吗? 【课件展示】 (1)列表: x…-6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 … y=6 x …-1 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1. 5 1 … (2)描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在如图所示的直角坐标系中描出相应的点.
九年级数学第三十章 第1－2节 反比例函数及其性质冀教版 【本讲教育信息】 一、教学内容： 反比例函数及其性质 1. 反比例函数的定义. 2. 反比例函数的图像和性质. 二、知识要点： 1. 反比例函数 （1）一般地，如果变量y 和x 之间的函数关系可以表示成y ＝k x （k 是常数，且k ≠0）的形式，则称y 是x 的反比例函数. （2）一般地，反比例函数y ＝k x （k ≠0）的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线. 双曲线是由两个分支组成的. 它不是连续的整体图形，而是断开的两个独立的分支，它无限接近两坐标轴但永远也不能到达坐标轴. （3）确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数y ＝k x 中，只有一个待定系数，因此只需一对对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定解析式 . 注：如果xy ＝k （k 是常数，k ≠0），那么x 与y 这两个量成反比例关系，这里x 、y 既可代表单独的一个字母，也可代表多项式或单项式，成反比例的关系式，不一定是反比例函 数，如y －3＝k z ＋2中，y －3与z ＋2成反比例，但y 与z 不是反比例函数；又如y ＝2 x 2中，y 与x 2 成反比例，但y ，x 不是反比例函数，但反比例函数y ＝k x （k ≠0）中的两个变量必成反比例关系. 2. 反比例函数的性质和图象 反比例函数y ＝k x ，当k ＞0时，图像的两个分支位于一、三象限. 在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，图像的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大. 3. 反比例函数y ＝k x （k ≠0）中的比例系数k 的几何意义 过双曲线y ＝k x 上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，所得的矩形PMON 的面积为S ＝ PM ·PN ＝︱y ︱·︱x ︱＝︱xy ︱，∵y ＝k x ，∴xy ＝k ，∴S ＝︱k ︱. 即①过双曲线上任意一 点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形的面积为︱k ︱. ②过双曲线上任意一点作x 轴（y 轴） 的垂线，由该点、垂足和原点所构成的三角形的面积都是1 2 ︱k ︱.