第10讲 特殊的平行四边形(学生版)

专题 平行四边形的性质与判定【能力提升】例1.如图已知△ABC ，分别以△ABC 的三边为边在△ABC 的同侧作三个等边三角形：△ABE ．△BCD ．△ACF ，求证：四边形DEAF 是平行四边形．例2.（1）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，若AE ＝4，AF ＝6，AD +CD ＝20，则平行四边形ABCD 的面积为 ．（2）在平面直角坐标系中，以O （0，0），A （1，1），B （3，0），C 为顶点构造平行四边形，请你写出满足条件的点C 坐标为 ．例3.一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是_______. 例4.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、点E 为边AB 上的点，且AD ＝BE ，点M 、N 分别为边AC 、BC 上的点．已知：AB ＝a ，DE ＝b ，则四边形DMNE 的周长的最小值为 ．例5.如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，点P 在AD 边上以每秒1cm 的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返运动，两个点同时出发，当点P 到达点D 时停止（同时点Q 也停止），在运动以后，以P 、D 、Q 、B 四点组成平行四边形的次数有多少次？例6.理论探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM＝；（2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM＝；（3）如图3，当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM＝；拓展推广：如图4，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．实践应用：如图5是我市某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行于DC、AD，它们相交于点O，其中S四边形AMOP＝300m2，S四边形MBQO＝400m2，S四边形NCQO＝700m2，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域MQD（连接DM、QD、QM，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．【课后巩固】1．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ．如果△CDM 的周长为8，那么▱ABCD 的周长是 ．2.△D、G上，点E 、F分别在边BC 上，若BE ＝DE ，CF ＝FG ，则∠A 的大小为 度．3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为（ ）A ．28或32B ．28或36C ．32或36D ．28或32或364.如图，△ABC 是等边三角形，P 是形内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，若△ABC 的周长为18，则PD +PE +PF ＝（ ）A ．18B ．9C ．6D ．条件不够，不能确定5.如图，已知▱ABCD 的顶点A 是直线l 上一定点，过点B 作BM ⊥l 于点M ，过点D 作DN ⊥l 于点N ，AM ＝1，MN ＝3，则对角线AC 长的最小值为 ．。

八年级下学期春季班（学生版）最新讲义本节主要根据平行四边形的判定定理进行证明四边形是平行四边形，以及利用平行四边形的性质得出边和角之间的关系，以证明题为主，让同学们更好的运用判定定理．平行四边形判定定理①如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．②如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．③如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．④如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形的判定及综合内容分析知识结构模块一：平行四边形判定知识精讲【例1】 判断题：（1）夹在两平行线间的平行线段长度相等（ ） （2）对角线互相平分的四边形的对边一定相等（）（3）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（ ）（4）一组对角相等，另一组对角互补的四边形是平行四边形 （）【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 是对角线BD 的三等分点．求证：四边形AECF 是平行四边形（请用两种方法证明）． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 如图，Y ABCD 中，AF =CE ，MF ∥NE .求证：EF 和MN 互相平分． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例4】 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ；⑥∠B ＝∠D ．从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形?请具体写出这些组合． 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析ABCDEMFNA BCDEF【例5】 已知：AC 是Y ABCD 的一条对角线，BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，垂足分别是M 、N ．求证：四边形BMDN 是平行四边形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例6】 已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12BC ，点E 是BC 的中点， 求证：AB ∥DE ，∠C =∠AEB ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 如图，在Y ABCD 中，∠DAB =60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE =AD ，CF =CB ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若去掉已知条件的∠DAB =60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 已知在Y ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，BE =DF ，点G 、H 分别在BA 和DC 的延长线上，且AG =CH ，联结GE ，EH ，HF ，FG ，求证：四边形GEHF 是平行四边形．若G 、H 分别在线段BA ，DC 上，其余条件不变，则（1）结论否成立? （说明理由）． 【难度】★★ 【答案】 【解析】A BCDE A BCDEF G H【例9】 如图所示，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 、CF ⊥AD ，DN =BM ．求证：EF 与MN 互相平分． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例10】 如图，过Y ABCD 的顶点A 的直线l （形外），分别过B 、C 、D 作直线l 的垂线，E 、F 、G 为垂足．求证：CF =BE +DG ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例11】 如图，ABCD Y 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别在BC 、AD 上，且BE =13BC ，DF =13AD ，AE 、CF 分别交BD 于点M 、N ，求证：四边形AMCN 是平行四边形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例12】 如图所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，BF ⊥AC 于F ，CG ⊥BD 于G ，DH ⊥AC 于H ．求证：四边形EFGH 是平行四边形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDE FGLA BCDEF M N OPN M BCAEFABCD【例13】 如图，以△ABC 的三边分别作等边△DAC 、△ABE ，△BCF ，求证：四边形ADFE是平行四边形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例14】 已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH ∥AB ，交BC 于H ． 求证：CE =BH ． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例15】 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P ．求证：∠BPM ＝45°． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例16】 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ，以AD为边作等边△ADE ．（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDEF【例17】 如图所示，平行四边形ABCD 中，∠BAD 的角平分线AF 交BC 于E ，交DC 的延长线于点F ，若∠ABC =120°，FG ∥CE ，FG =CE ，分别连接DB 、DG ，求∠BDG 的度数． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例18】 在Y ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过O 点任意作两条直线交Y ABCD的AB 、CD 边于E 、F ，交BC 、DA 边于G 、H ，那么四边形EGFH 是什么图形?证明你的结论． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例19】 如图，Y ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BC =2AB ，M 是BC 的中点． 试求∠EMC 与∠BEM 的数量关系． 【难度】★★ 【答案】 【解析】模块二：综合题例题解析ABCDEFG A BC DE M【例20】 平面直角坐标系中有三点A （2，1），B （3，1），C （4，3），求平面内第四点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】 已知平面内有两点A （1-，0）B （3，0）P 点在y 轴上，M 点在直线1y x =-上，若以A 、B 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求M 点的坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =63，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，顶点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，联结PQ ，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止移动，设运动的时间是t 秒 （t ≥0）．（1） 直接用含t 的代数式分别表示：BQ =___________，PD =__________；（2） 是否存在t 的值，使四边形PDBQ 是平行四边形?若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】AB CDPQ【例23】 如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是平行四边形，点A 的坐标为(34)-，，点C 在x 轴的正半轴上，且OA =OC ，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）联结BM ，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为(0)S S ≠，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】 直线3-6y x =+与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发， 同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△APQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当63S =时，求出点Q 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】xA OQPB y【例25】 已知：反比例函数2ky x=和一次函数21y x =-，其中一次函数的图形经过点 ()()1a b a b k ++，和，．（1）求反比例函数的解析式；（2）已知反比例函数和一次函数的图像交于第一象限的点A 、P （2，0），平面内存在一点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形，求Q 点的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例26】 已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB =BC ，6AB =，60B MAN ∠=∠=︒．绕顶点A 逆时针旋转MAN ∠，边AM 与射线BC 相交于点E （点E 与点B 不重合），边AN 与射线CD 相交于点F ．（1）当点E 在线段BC 上时，求证：BE CF =；（2）设BE x =，ADF △的面积为y ．当点E 在线段BC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，写出函数的定义域；（3）联结BD ，如果以A 、B 、F 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】A M ND CBEFACB （备用图）【例27】如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以P A、PC为邻边作平行四边形P ADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，联结DE．（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段AC之间有怎样的位置关系?请选择其中的一个图形证明你的猜想；（3）观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论?请直接写出．【难度】★★★【答案】【解析】随堂检测【习题1】若AD是△ABC的中线，延长AD到E使DE=AD，联结BE、CE，那么四边形ABEC 是_____四边形．【难度】★【答案】【解析】11/ 1812 / 18【习题2】 如图，直线l 与双曲线交于A 、C 两点，将直线l 绕点O 顺时针旋转α°（0°＜α≤45°），与双曲线交于D 、B 两点，则四边形ABCD 的形状一定是_______________________， 理由是________________________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（ ）A ．两组角分别相等的四边形B ．平行四边形C ．对角线互相垂直的四边形D ．对角线相等的四边形【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题4】 已知四边形ABCD 的对角线相交于O ，给出下列5个条件①AB ∥CD ，②AD ∥BC ，③AB =CD ，④∠BAD =∠DCB ，从这四个条件中任选2个一组，能推出四边形ABCD 为平行四边形的有（ ） A ．6组 B ．5组C ．4组D ．3组【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题5】 如图，在Y ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上点，AE =CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中点，求证：四边形ENFM 是平行四边形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】A BCDxyl OAB CDEFM N13 / 18【习题6】 已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，ED ∥BC ，EF ∥AC ，求证：EB =FC ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】 如图，四边形EFGH 是平行四边形ABCD 的内接平行四边形，即顶点E 、F 、G 、H 分别在平行四边形ABCD 的四边上．求证：这两个平行四边形的对角线交于同一点． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 如图，在Y ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ． 求证：四边形AECF 是平行四边形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 已知平行四边形ABCD 和平行四边形DCFE ，求证：ADE BCF ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】 【解析】A BCDEFABCDEFGHABC DE FABCD EF14 / 18【习题10】 如图，在平行四边形ABCD 中，BC AB >，A B ∠∠、的平分线交于点E ，D C ∠∠、的平分线交于点F ，联结EF ．求证：EF BC AB =-．【难度】★★【答案】 【解析】【习题11】 如图，在四边形ABCD 中，//AD BC 且AD BC >，6BC cm =，点P Q 、分别从A C 、同时出发，点P 以1/cm s 的速度由A 向D 运动，点Q 以2/cm s 的速度由C 向B 运动，几秒时，四边形ABQP 是平行四边形?【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题12】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3, 0)，点B 的坐标为A (0, 4)．（1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为平行四边形，且BC =BD ，求点D 坐标；（3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点 的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDEF ADCB PQ ABOxy【习题13】如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC边的中点，∠BEM=50°，则∠B的大小是多少?【难度】★★★【答案】【解析】课后作业【作业1】下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（）A．1:2:3:4B．2:2:3:3C．2:3:2:3D．2:3:3:2.【难度】★【答案】【解析】【作业2】下列给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角相等，另一组对角互补【难度】★【答案】【解析】15/ 1816 / 18【作业3】 下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平 行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是 平行四边形；其中，正确的命题的个数是（ ） A ．1个 B ． 2个C ．3个D ．4个【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】 如图，在Y ABCD 中，∠B 、∠D 的平分线分别交对边于点E 、F ，交四边形的对角线AC 于点G 、H ，求证：AH =CG ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业5】 如图，Y ABCD 的两边AB 、DC 的中点分别是E 、F ，延长BA 、DC 到G 、H ，使AG =CH ．求证：EH ∥GF ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 如图，Y ABCD 中，E 、G 分别为AD 、BC 的三等分点，DH =BF ，求证：∠FEH =∠HGF ．ABC D EF GH ABCDE FGH17 / 18【答案】 【解析】【作业7】 E 为ABC ∆中AC 边上一点，//ED AB 交BC 于点D ，F 为AB 边上一点，AF DE =， 延长FD 到点G ，使DG FD =，联结AG ，求证：DE 、AG 互相平分．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 如图，E 、F 分别是Y ABCD 的边AD 、BC 的中点，且AG =CH ．求证：EF 与HG 互相平分． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业9】 已知，平行四边形ABCD 中，8AB =，60C ︒∠=，A ∠的角平分线与B ∠的角平分线相交于点E ，EF AB ⊥．求EF 的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业10】 已知，ABC ∆中，AD 是ABC ∆的角平分线，点E 、F 分别在AC 、AB 两边上，且AE BF =，//EG AB 交AD 于点G ，求证：BG EF =．A BCD EFGHABCDEF ABCDEF G A BCDEF G18 / 18【答案】 【解析】【作业11】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标．【拓展】如果以A 、C 、P 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业12】 如图，平行四边形ABCD 中，4AB cm =，8BC cm =，AB ⊥BC ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O .如图，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周.即点P 自A F B A →→→停止，点Q 自C D E C →→→停止.在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值；②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b （单位：cm ，0ab ≠），已知A 、C 、P 、Q 四 点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABC Oxy AB CDEFPQ。

2015年中考解决方案特殊的平行四边形学生姓名：上课时间：内容基本要求略高要求较高要求矩形 会识别矩形掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质及判定解决简单问题 会运用矩形的知识解决有关问题菱形 会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质及判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关问题正方形 会识别正方形掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质及判定解决简单问题会用正方形的知识解决有关问题一、矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、特性：矩形的对角线相等。

矩形的四个角都是直角。

3、直角三角形斜边中线等于斜边一半。

二、菱形1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．特殊的平行四边形自检自查必考点中考说明判定③：四边相等的四边形是菱形．三、正方形1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：①边的性质：对边平行，四条边都相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）正方形菱形矩形平行四边形3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．一、矩形【例1】 如图，将矩形ABCD 沿AC 翻折，使点B 落在点E 处，连接DE 、CE ，过点E 作EH AC ⊥，垂足为H ．(1)判断ACED 是什么图形,并加以证明； (2)若8AB =，6AD =．求DE 的长；(3)四边形ACED 中，比较AE EC +与AC EH +的大小．DCBA E H【例2】 如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN交BC 于点M ，交AD 于点N ． （1）求证：CM CN =；（2）若CMN ∆的面积与CDN ∆的面积比为3：1，求MNDN的值。

几何10 平几综合问题本讲概述本讲将综合应用前六讲所学习的平几知识与技巧解决一些综合性较强的平几问题，这些问题的难度大致相当于联赛二试以及冬令营中较易的问题，个别题目较难.例题精讲【例1】 在ABC ∆中，AB AC =，其内切圆I 分别切三边于点,,D E F ，P 为弧EF （不含点D 的弧）上一点.设线段BP 交圆I 于另一点Q.直线EP,EQ 分别交直线BC 于点M,N.证明： （1）,,,P F B M 四点共圆；（2）EM BDEN BP=.N【例2】 如图，在锐角△ABC 中，AB AC >，cos cos 1B C +=．E F 、分别是AB 、AC 延长线上的点，且90ABF ACE ∠=∠=︒． ⑴求证：BE CF EF +=；⑵设EBC ∠的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分BCF ∠．【例3】 在三角形ABC 中，AB AC =，CAB ∠和ABC ∠的内角平分线分别与边BC 和CA 相交于点D 和E ．设K 是三角形ACD 的内心．若45BEK ∠=︒，求CAB ∠所有可能的值．PFECBA【例4】（*）过圆外一点P向圆O作切线PA、PB及割线PCD，过C作PA的平行线，分别交AB、AD 于E、F．求证：CE EF．【例5】在ABC⊙与BC CA AB∠≠∠，ABC△中，B C△的内切圆I，，．记AD与，，的切点分别为D E F I⊙的不同于点D的交点为P．过点P作AD的垂线交EF于点Q，X Y，分别是AQ与直线DE DF，的交点．求证：A是线段XY的中点．【例6】 如图，C 为扇形AOB 的弧AB 上一点，在射线OC 上任取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ AP ∥交OC 于点Q ．证明：五边形OAQPB 的面积与点C 、P 的选取无关．XQD【例7】 给定圆1ω和2ω相交于点X 和Y ．1l 是一条过1ω的圆心的直线且与2ω交于P 、Q ．2l 是一条过2ω的圆心的直线且与1ω交于R 、S ．求证：若P 、Q 、R 、S 四点共圆，则此圆的圆心在直线XY 上．OP大显身手1．设不过平行四边形ABCD顶点的任意一条直线分别与直线AB、BC、CD、DA交于E、F、G、H，则圆EFC与圆GHC的另一个交点Q必在定直线上.2． 已知⊙O 与ABC ∆的边AB AC 、分别相切于P 和Q ，与ABC ∆外接圆相切于D ，M 是PQ 的中点（如图）．求证：2POQ MDC ∠=∠．3． 两圆1O ⊙、2O ⊙相切于点M ，2O ⊙的半径不小于1O ⊙的半径．点A 是2O ⊙上的一点，且满足1O 、2O 和A 三点不共线．AB 、AC 是点A 到1O ⊙的切线，切点分别为B 、C ，直线MB 、MC 与2O ⊙的另一个交点分别为E 、F ，点D 是线段EF 和2O ⊙的以A 为切点的切线的交点．证明：当点A 在2O ⊙上移动且保持1O 、2O 和A 三点不共线时，点D 沿一条固定的直线移动．QOMPDC BA4．(*选做，不作要求)水平直线m通过圆O的中心，直线l⊥m，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A，B，C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP，BQ，CR为圆O的三条切线，P，Q，R为切点．试证：(1)l与圆O相切时，AB⨯CR+BC⨯AP＝AC⨯BQ；(2)l与圆O相交时，AB⨯CR+BC⨯AP＜AC⨯BQ；(3)l与圆O相离时，AB⨯CR+BC⨯AP＞AC⨯BQ．提示与解：1、画图可得到Q点应在在定直线AC上，即证A、C、Q共线. 连AQ、CQ、EQ、HQ，往证∠EQA=∠EQC，E、F、C、Q共圆→∠EQC=∠GFC，G、H、Q、C共圆→∠HQC=∠FGC，∠GFC+∠FGC+∠FCG=1800→∠EQC+∠HQC+∠GFC=1800，∵∠BAD=∠FCG，∴∠EQH+∠EAH=1800→A、E、Q、H共圆→∠EQA=∠EHA ，而AH ∥BC →∠GFC=∠EHA →∠EQA=∠EQC→A 、C 、Q 共线，即Q 必在定直线AC 上.2、 如图，连接AO 、AD 、DO 和DQ ．∵ AP AQ 、分别与⊙O 相切于P 、Q ． ∴ AP AQ =∵OP 和OQ 都是⊙O 的半径，90APO AQO ∠=∠=︒∴ 由对称性知2POQ AOQ ∠=∠，且OA PQ ⊥于M ．∴ 22OD OQ OM OA ==⋅，即OD OAOM OD=又∵DOM AOD ∠=∠，∴DOM ∆∽AOD ∆∴ ODM OAD ∠=∠ 过D 作两圆的公切线DE ，则CDE CAD ∠=∠ 又∵OD DE ⊥，即90ODE ∠=︒∴ 9090MDC ODM COE OAD DAC ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠ 90OAQ AOQ =︒-∠=∠ 故2POQ MDC ∠=∠．3、以M 为原点，12O O 为x 轴建立直角坐标系，如图所示，设1O ⊙方程为()2211x y ++=，2O ⊙方程为()()2221x r y r r -+=>．设()()()cos sin 0ππ2πA r r r θθθ+∈，，，，．因为BC 是1O ⊙的切点弦， 所以BC方程为()()1c o s 1r r x y r θθ++++=， 即()()()1cos sin 1cos 0r r x r y r θθθ+++++=OEDQMP CB A．又易得EF BC ∥，设EF 方程为()()1cos sin 0r r x r y t θθ++++=． 又因为12O C O F ∥，所以F FC Cy x r y x ==-， 所以11C F C F y y x x r r =-=-，（其中()F F F x y ，，()C C C x y ，）．所以()()()111cos sin 1cos 0F F r r x r y r r r θθθ⎛⎫-++⋅+⋅-++= ⎪⎝⎭，所以()()()21cos sin 1cos 0F F r r x r y r θθθ+++⋅-+=，所以直线EF 方程为()()()21cos sin 1cos 0r r x r y r θθθ+++⋅-+=． 又因为AD 是2O ⊙的以点A 为切点的切线，所以直线AD 方程为()()2cos sin 0r x r r y r θθ-+-=． 即()2cos sin (1cos )0rx r y r θθθ+-+=设()D D D x y ，，因为点D 在EF 和AD 上，所以()10D r x +=，即0D x =，所以点D 在定直线y 轴上移动．4、其实只要第一问完成了，后面两问可类似完成.本题实际上是一道计算题，先设基本量然后代入计算，通过漫长的化简得到显然成立的等价式.具体过程略.学习之外中科院数学研究所的实力中科院数学研究所的实力：中国科学院院士、中国工程院院士吴文俊王元杨乐陆启铿万哲先丁夏畦石钟慈陈翰馥丁伟岳林群马志明崔俊芝陆汝黔李邦河严加安刘源张郭雷国家杰出青年科学基金获得者（A类）郭雷席南华袁亚湘高小山张纪峰贾朝华朱力行吉敏周向宇冯琦张汉勤李嘉禹王友德孙笑涛陈志明程兵汪寿阳王跃飞巩馥洲姚鹏飞徐飞张立群郭宝珠国家杰出青年科学基金获得者（B类）张寿武戴建岗刘克峰赵修利王沅陈秀雄董崇英宋京生中国科学技术大学数学系简介中国科学技术大学数学系于1958年由著名数学家华罗庚教授亲自主持创办并任首任系主任，关肇直、吴文俊、冯康等一大批知名专家曾在此任教。

专题11特殊的平行四边形中的图形的折叠模型几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。

翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。

无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。

本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【知识储备】折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。

有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。

"折”就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。

特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。

折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。

【知识储备】（1）矩形的翻折模型【常见模型】BC A ．3.6B ．4.8例2．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，在长方形使得点D 落在BC 边上D ¢处，则DE 的长是（A ．3B ．4例3．（2023春·广东潮州·八年级统考期末）如图矩形交于点E ，若4,8AB AD ==．(1)求证：例4．（2023·贵州·八年级统考期末）如图，在矩形得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长A ．5B ．2ABA．35B．25例6．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，矩形心，点E为边AB上的动点，连接EO例7．（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，将矩形EH=，EF=重叠的四边形EFGH，3cmA．18cm B．18.4cm（2）菱形的翻折模型【常见模型】A ∠结论I ：当'A N AD ∥时，四边形'ANA M 是菱形；结论Ⅱ：当点'A 在线段MC 上时，'AC 的长度为A ．I 对Ⅱ不对B ．I 不对Ⅱ对A ．①②④B ．①②③如图所示，点A ．90CEF ∠=︒B ．CE AG ∥C（3）正方形的翻折模型【常见模型】上取一点例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图，在正方形翻折，使点D的对应点D¢恰好落在的垂直平分线分别交EF、A D''于点在边例6．（2023·广东深圳·统考中考模拟）如图在正方形对角线AC上，将AD沿AF翻折，使点例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形ABCD 中，6AB =，点F 是边AD 上一点（点F 不与,A D 重合），将CDF 沿直线CF 翻折，点D 落在点E 处．(1)如图2，当点E 落在对角线AC 上时，求DF 的长．(2)如图3，连接,,AC BD BD 分别交,CF AC 于点M ，点O ，连接OE 并延长交AD 于点G ，当M 为OD 中点时，试判断OG 与CF 的位置关系，并说明理由．(3)如图4，在线段CE 上取一点Q ，且使2CQ =，连接,AE BQ ，则在点F 从点A 运动到点D 的过程中，AE BQ +的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．课后专项训练A．23B．232-C．52．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，菱形ABCD的对角线相交于点所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为EF，则五边形A．14B．16C上，将A．3个B．2个C．0个边上，连接A ．230α-︒B ．30α+︒C ．1208．（2023春·重庆合川·八年级统考期末）如图，在矩形沿BE 所在直线翻折至四边形BCDE 所在平面内，得的面积为（）A ．63B ．83，将矩形纸片翻折，使点A．12B．1511．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，正方形连接BE，将ABE沿BE翻折得到A．5510-B．512．（2023·陕西西安·八年级校考期末）如图，正方形A．107B．52C的对角线17．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形翻折，使边18．（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，矩形得到AD C '，CD '与AB 交于点E ，再以CD19．（2023·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，将BCE 沿CE 翻折得到GCE ．延长CG 交AD 于点H ，连接EH ．(1)求证：EAH EGH ≌△△；(2)若10AB =，求CH 的长．20．（2022秋·江西景德镇·九年级统考期中）【操作体验】如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，点F 在CD 边上．将四边形EBCF 沿直线EF 翻折，得到四边形EHGF ，顶点B 落在AD 边上的点H （不与点A 、D 重合）处，点C 落在正方形右侧的点G 处，HG 与CD 相交于点P ．（1）在图1中，若4cm AE =，45AEH ∠=︒，则HD =_____cm ，EFG ∠的度数为_________【操作体验】（2）当2BE AE =时，如图2，求证：2PF CF =．【操作体验】（3）利用图3探究，当正方形边长不变时，随着折痕EF 的变化，DHP 的周长是否会发生变化？如果会，请说明变化规律；如果不会，请加以证明，并探究正方形周长与DHP 的周长的关系．，。

专题01特殊的平行四边形中的最值模型-将军饮马“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。

上图中A’是A关于直线m的对称点。

A．62B．35、A．5B．35例4．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，正方形顺时针旋转90︒得到线段EF，连接变式1．（2023·湖南湘西·统考三模）如图所示，正方形上移动，则PCE周长的最小值是（A．5B．变式2．（2023春·成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，5BC =，E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且4EF =，M 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则CP PM +的最小值是______．变式3．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，点P 、Q 分别是BC 、BD 上的动点，CQ PQ +的最小值为______．模型2.【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM+NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A’位置（图2）．问题化为求A’N+NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1图2图3【最值原理】两点之间线段最短。

专题11 平行四边形与特殊的平行四边形一．选择题1．（2022·四川内江）如图，在▱ABCD 中，已知AB ＝12，AD ＝8，▱ABC 的平分线BM 交CD 边于点M ，则DM 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．（2022·内蒙古赤峰）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD ，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）A ．四边形ABCD 周长不变B ．AD CD =C ．四边形ABCD 面积不变 D ．AD BC =3．（2022·黑龙江大庆）如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在E 处．若156∠=︒，242∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．108︒B ．109︒C ．110︒D ．111︒4．（2022·广东）如图，在ABC 中，4BC =，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．25．（2022·广东）如图，在ABCD 中，一定正确的是（ ）A ．AD CD =B ．AC BD = C ．AB CD = D ．CD BC =6．（2022·江苏无锡）如图，在ABCD 中，AD BD =，105ADC ∠=，点E 在AD 上，60EBA ∠=，则EDCD 的值是（ ）A ．23 B ．12 C D 7．（2022·山东烟台）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ） A ．正方形 B ．正六边形 C ．正八边形 D ．正十边形8．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，点E 是DA 中点，F 是对角线AC 上一点，且45DEF ∠=︒，则:AF FC 的值是（ ）A ．3B 1C ．1D ．2+9．（2022·贵州黔东南）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ，则DF 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D 110．（2022·海南）如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若:1:2,BF CE EF ==ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4C ．5D 11．（2022·江苏无锡）下列命题中，是真命题的有（ ）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形 ④四边相等的四边形是菱形A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④12．（2022·广西玉林）若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 一定是( )A ．互相平分B ．互相垂直C ．互相平分且相等D ．互相垂直且相等13．（2022·内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上，120ABC ∠=︒，点()30A -,，点E 是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD PE +的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．D 14．（2022·内蒙古包头）如图，在矩形ABCD 中，AD AB >，点E ，F 分别在,AD BC 边上，,EF AB AE AB =∥，AF 与BE 相交于点O ，连接OC ，若2BF CF =，则OC 与EF 之间的数量关系正确的是（ ）A ．2OC =B 2EF =C ．2OC =D ．OC EF =15．（2022·黑龙江）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -=；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（ ）A ．①②④⑤B ．①②③⑤C ．①②③④D ．①③④⑤16．（2022·江苏泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 一边作正方形DEFG .设DE =d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2，d 3，则d 1＋d 2＋d 3的最小值为( )A B ．2 C ．D ．417．（2022·四川广安）如图，菱形ABCD 的边长为2，点P 是对角线AC 上的一个动点，点E 、F 分别为边AD 、DC 的中点，则PE + PF 的最小值是（ ）A ．2 BC ．1.5D 18．（2022·辽宁营口）如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF EC ⊥，垂足为F ，若1,2CD CF ==，则线段AE 的长为（ ）A 2B 1C ．13D ．12 19．（2022·湖北恩施）如图，在四边形ABCD 中，▱A =▱B =90°，AD =10cm ，BC =8cm ，点P 从点D 出发，以1cm/s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（ ）A ．当4s t =时，四边形ABMP 为矩形B ．当5s =t 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD PM =时，4s t = D ．当CD PM =时，4s t =或6s20．（2022·湖北恩施）如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，分别以B 、D 为圆心，大于12BD 的长为半径画弧，两弧交于P 、Q 两点，作直线PQ ，分别与AD 、BC 交于点M 、N ，连接BM 、DN ．若4=AD ，2AB =．则四边形MBND 的周长为（ ）A ．52B ．5C ．10D ．20二．填空题21．（2022·广西梧州）如图，在ABC 中，90ACB ∠=，点D ，E 分别是,AB AC 边上的中点，连接,CD DE ．如果5m AB =，3m BC =，那么CD DE +的长是_______m ．22．（2022·贵州毕节）如图，在Rt ABC 中，90,3,5BAC AB BC ∠=︒==，点P 为BC 边上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为_________．23．（2022·山东烟台）如图1，▱ABC 中，▱ABC ＝60°，D 是BC 边上的一个动点（不与点B ，C 重合），DE ∥AB ，交AC 于点E ，EF ∥BC ，交AB 于点F ．设BD 的长为x ，四边形BDEF 的面积为y ，y 与x 的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P 的坐标为（2，3），则AB 的长为 _____．24．（2022·山东临沂）如图，在正六边形ABCDEF 中，M ，N 是对角线BE 上的两点，添加下列条件中的一个：①BM EN =；②FAN CDM ∠=∠；③AM DN =；④AMB DNE ∠=∠．能使四边形AMDN 是平行四边形的是__________（填上所有符合要求的条件的序号）．25．（2022·江苏泰州）正六边形一个外角的度数为____________．26．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD 中，AC ▱BD ，垂足为O ，AB CD ，要使四边形ABCD 为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可）27．（2022·海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，,30AE AF EAF =∠=︒，则AEB ∠=___________︒；若AEF 的面积等于1，则AB 的值是___________．AC BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F 28．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，菱形ABCD的对角线,OA=，则线段OF的长为___________．为CD的中点，连接OF，若AE BE=，3OE=，429．（2022·山东青岛）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色∠的度数是__________︒．后，再次镶嵌便得到图①，则图④中ABC30．（2022·江苏常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若60∠=︒，则橡皮筋AC_____断裂（填“会”BAD或“不会” 1.732）．31．（2022·贵州铜仁）如图，四边形ABCD为菱形，▱ABC=80°，延长BC到E，在▱DCE内作射钱CM，使得▱ECM=30°，过点D作DF▱CM，垂足为F．若DF BD的长为______（结果保留很号）．32．（2022·湖北十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF ，AG 分别架在墙体的点B ，C 处，且AB AC =，侧面四边形BDEC 为矩形，若测得55FBD ∠=︒，则A ∠=_________︒．33．（2022·湖北随州）如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，连接EF ．如图2，将▱AEF 绕点A 逆时针旋转角()090θθ<<︒，使EF AD ⊥，连接BE 并延长交DF 于点H ，则▱BHD 的度数为______，DH 的长为______．34．（2022·贵州黔东南）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，DE //AC ，CE //BD ．若10AC =，则四边形OCED 的周长是_______．35．（2022·辽宁辽宁·中考真题）如图，CD 是▱ABC 的角平分线，过点D 分别作AC ，BC 的平行线，交BC 于点E ，交AC 于点F ．若▱ACB ＝60°，CD ＝CEDF 的周长是_______．36．（2022·广西贺州）如图，在矩形ABCD 中，86AB BC ==，，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，ADC ∠的平分线交AB 于点G ，点P 是线段DG 上的一个动点，则PEF 的周长最小值为__________．37．（2022·江苏无锡）如图，正方形ABCD 的边长为8，点E 是CD 的中点，HG 垂直平分AE 且分别交AE 、BC 于点H 、G ，则BG ＝________．38．（2022·黑龙江）在矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点E 在边CD 上，且4CE =，点P 是直线BC 上的一个动点．若APE 是直角三角形，则BP 的长为________．39．（2022·黑龙江大庆）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边,AB BC 上的两个动点，且正方形ABCD 的周长是BEF 周长的2倍，连接,DE DF 分别与对角线AC 交于点M ，N ．给出如下几个结论：①若2,3AE CF ==，则4EF =；②180EFN EMN ∠+∠=︒；③若2,3AM CN ==，则4MN =；④若2,3MN BE AM ==，则4EF =．其中正确结论的序号为____________．40．（2022·四川雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC ＝9，CD ＝3，那么阴影部分的面积为 _____．41．（2022·黑龙江）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD ∠=︒，3AD =，AH 是BAC ∠的平分线，CE AH ⊥于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP PE +的最小值是________．42．（2022·辽宁锦州）如图，四边形ABCD 为矩形，3AB AD ==，点E 为边BC 上一点，将DCE 沿DE 翻折，点C 的对应点为点F ，过点F 作DE 的平行线交AD 于点G ，交直线BC 于点H ．若点G 是边AD 的三等分点，则FG 的长是____________．43．（2022·四川内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF▱BC，则AF+CE的最小值是_____．三．解答题44．（2022·湖南长沙）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB AD=．(1)求证：AC BD⊥；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，322EF AO==，，求BD的长及四边形ABCD的周长．45．（2022·江苏无锡）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．求证：(1)△DOF▱△BOE；(2)DE=BF．46．（2022·黑龙江大庆）如图，在四边形ABDF 中，点E ，C 为对角线BF 上的两点，,,AB DF AC DE EB CF ===．连接,AE CD ．(1)求证：四边形ABDF 是平行四边形；(2)若AE AC =，求证：AB DB =．47．（2022·广西贺州）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且ED BF =，连接AF ，CE ，AC ，EF ，且AC 与EF 相交于点O ．(1)求证：四边形AFCE 是平行四边形；(2)若AC 平分8FAE AC ∠=，，3tan 4DAC ∠=，求四边形AFCE 的面积．48．（2022·贵州毕节）如图1，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，,AO CO BCA CAD ．(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)如图2，E ，F ，G 分别是,,BO CO AD 的中点，连接,,EF GE GF ，若2,15,16BD AB BC AC ，求EFG 的周长．49．（2022·内蒙古包头）如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是一条对角线，且5AB AC ==，6BC =，E ，F 是AD 边上两点，点F 在点E 的右侧，AE DF =，连接CE ，CE 的延长线与BA 的延长线相交于点G ．(1)如图1，M 是BC 边上一点，连接AM ，MF ，MF 与CE 相交于点N ．①若32AE =，求AG 的长；②在满足①的条件下，若EN NC =，求证：AM BC ⊥； (2)如图2，连接GF ，H 是GF 上一点，连接EH ．若EHG EFG CEF ∠=∠+∠，且2HF GH =，求EF 的长．50．（2022·北京）如图，在ABCD 中，AC BD ，交于点O ，点E F ，在AC 上，AE CF =．(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形；(2)若,BAC DAC ∠=∠求证：四边形EBFD 是菱形．51．（2022·黑龙江哈尔滨）已知矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点E 是边AD 上一点，连接,,BE CE OE ，且BE CE =．(1)如图1，求证：BEO CEO △≌△；(2)如图2，设BE 与AC 相交于点F ，CE 与BD 相交于点H ，过点D 作AC 的平行线交BE 的延长线于点G ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（AEF 除外），使写出的每个三角形的面积都与AEF 的面积相等．52．（2022·湖北鄂州）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且▱CDF =▱BDC 、▱DCF =▱ACD ．(1)求证：DF=CF；(2)若▱CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积．53．（2022·山东威海）如图:(1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；②求四边形AGCH的面积．(2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝BC＝7，CF AGCH的面积．54．（2022·内蒙古赤峰）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：(1)【问题一】如图①，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形111A B C O 的一个顶点，1OA 交AB 于点E ，1OC 交BC 于点F ，则AE 与BF 的数量关系为_________；(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m 、n 经过正方形ABCD 的对称中心O ，直线m 分别与AD 、BC 交于点E 、F ，直线n 分别与AB 、CD 交于点G 、H ，且m n ⊥，若正方形ABCD 边长为8，求四边形OEAG 的面积；(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上，顶点E 在BC 的延长线上，且6BC =，2CE =．在直线BE 上是否存在点P ，使APF 为直角三角形？若存在，求出BP 的长度；若不存在，说明理由．55．（2022·江苏泰州）如图，线段DE 与AF 分别为▱ABC 的中位线与中线．(1)求证：AF 与DE 互相平分；(2)当线段AF 与BC 满足怎样的数量关系时，四边形ADFE 为矩形？请说明理由．56．（2022·四川雅安）如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线BD 上的两点，且BE ＝DF ．(1)求证：▱ABE ▱▱CDF ；(2)若AB ＝BE ＝2，求四边形AECF 的面积．57．（2022·广西玉林）如图，在矩形ABCD 中，8,4AB AD ==，点E 是DC 边上的任一点（不包括端点D ，C ），过点A 作AF AE ⊥交CB 的延长线于点F ，设DE a =．(1)求BF 的长（用含a 的代数式表示）；(2)连接EF 交AB 于点G ，连接GC ，当//GC AE 时，求证：四边形AGCE 是菱形．58．（2022·江苏无锡）如图，已知四边形ABCD 为矩形AB =4BC =，点E 在BC 上，CE AE =，将▱ABC沿AC 翻折到▱AFC ，连接EF ．(1)求EF 的长；(2)求sin▱CEF 的值．59．（2022·山东聊城）如图，ABC 中，点D 是AB 上一点，点E 是AC 的中点，过点C 作CF AB ∥，交DE 的延长线于点F ．(1)求证：AD CF =；(2)连接AF ，CD ．如果点D 是AB 的中点，那么当AC 与BC 满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形，证明你的结论．60．（2022·内蒙古通辽）已知点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，正方形AFEG 与正方形ABCD 有公共点A ．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．61．（2022·湖南）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，连接OE ，过点C作CF BD ∥交OE 的延长线于点F ，连接DF ．(1)求证：ΔΔODE FCE ≅；(2)试判断四边形ODFC 的形状，并写出证明过程．62．（2022·贵州贵阳）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上，且MF AD ∥．(1)求证：ABE FMN ≌△△；(2)若8AB =，6AE =，求ON 的长．63．（2022·山东青岛）如图，在四边形ABCD 中，AB ▱CD ，点E ，F 在对角线BD 上，BE =EF =FD ，▱BAF =▱DCE =90°．(1)求证：△ABF ▱△CDE ；(2)连接AE ，CF ，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF 的形状，并证明你的结论．条件①：▱ABD =30°； 条件2：AB =BC ．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）64．（2022·湖南永州）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A 、B 、C 、D 四个位置安装四个自动喷酒装置（如图1所示），A 、B 、C 、D 四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）． 方案一：如图2所示，沿正方形ABCD 的三边铺设水管；方案二：如图3所示，沿正方形ABCD 的两条对角线铺设水管．(1)请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；(2)小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），满足120AEB CFD =∠∠=°，AE BE CF DF ===，EF AD ∥、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由． 1.4≈ 1.7≈）65．（2022·贵州遵义）将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上．(1)求证：ADE CDG ≌；(2)若2AE BE ==，求BF 的长．。

H G 特殊的平行四边形与相似1.正方形ABCD中，点P, Q分别是边AB, AD上的点，连接PQ、PC、QC,下列说法:①若ZPCQ=45°,则PB+QD=PQ；②若AP=AQ=J^, ZPCQ=36°,则PC二娘+1；③若△ PQC 是正三角形，若PB=1,则AP=\&+1.其中正确的说法有（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个2.如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分ZABO交AO于E点，CF_LBE于F点，交B0于G点，连结EG、OF.则ZOFG的度数是（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 75°3.如图所示，已知正方形ABCD的面积是8平方厘米，正方形EFGH的面积是62平方厘米，BC落在EH±, AACG的面积是4.9平方厘米，则ZiABE的面积是（）A. 0.5平方厘米B. 2平方厘米C.桓平方厘米D. 0.9平方厘米4.如图，E, F分别是矩形ABCD边AD、BC ±的点，且△ ABG, ADCH的面积分别为15和20,则图中阴影部分的面积为（）A. 15B. 20C. 35D. 405.如图，在正方形ABCD中，N是DC上的点，且理=岂，M是AD上异于D的点，且NNC 4B. —C. —D.—11 13 15 176.如图，矩形ABCD中，BC=2AB,对角线相交于0,过C点作CE1BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH=AB；②/ABG=/HEC； ©AABG^AHEC；④S“AD=S 四边形GHCE;⑤CF=BD.正确的有（）个.A. 2B. 3C. 4D. 57.如图，已知在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1, PB=成.下列结论：①左APD丝ZXAEB ;②点B到直线AE的距离为如;③EB_LED ;④S AAPD+S A APB=0.5+V2.其中正确结论的序号是（）A.①③④B.①②③C.②③④D.①②④8.如图，在正方形ABCD 中，E为AD的中点，DF±CE于M,交AC于点N,交AB于点F,连接EN、BM.有如下结论：©AADF^ADCE；②MN=FN；③CN=2AN；④S MDN：S四边形CNFB=2： 5； ®ZADF=ZBMF.其中正确结论的个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个9.如图，正方形ABCD的边R为2, E为线段AB±一点，点M为边AD的中点，EM的延长线与CD的延长线交于点F, MG1EF,交CD于N,交BC的延长线于G,点P是MG 的中点.连接EG、FG.下列结论：①当点E为边AB的中点时，S^EFG=5;②MG=EF；③当AE冷时，FG= 2施；④若点E从点A运动到点B,则此过程中点P移动的距离为2.其中正确的结论的个数为（）C GA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E, F,使DE=AD, DF=BD,连接BF 分别交CD, CE于H, G下列结论：①EC=2DG；②ZGDH=ZGHD；③S ACDG=S DHGE；④图中有8个等腰三角形.其中正确的是（）A D E FB ------------ CA.①③B.②④C.①④D.②③11.如图，以RtAABC的斜边BC为一边在AABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为0,连接A0,如果AB=4,A0=6姬，那么AC的长等于（）A. 12B. 16C. 4如D. 8柄12.如图四边形ABCD是菱形，旦NABC=60, AABE是等边三角形，M为对角线BD （不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60。

特殊的平行四边形中的最值模型-瓜豆模型(原理)动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，故只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型：运动轨迹为直线型1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。

专题10平行四边形的存在性问题_、知识导航考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：(1) 对应边平行且相等；(2) 对角线互相平分.这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中:(1)对边平行且相等可转化为:x A -x B =x D - x cy A -y B = yD-y c可以理解为点B 移动到点A,点。

移动到点O,移动路径完全相同.(2)对角线互相平分转化为：\ z 乙，、2 一 2可以理解为AC 的中点也是BQ 的中点.D【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一:X A~X B =X D~ X C -y B = yD-y c + x c = + X by A + % = % + 为x A +x c ^x B +x D2 _ 2 \X A +X C=X B +X D总 + % 二 % + 北 U a + %=% + %、2 — 2当AC 和BQ 为对角线时，结果可简记为：A+C = B + D (各个点对应的横纵坐标相加)以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系 中的4个点A 、B 、。

、D 满足"A+O8+ZT,则四边形ABCQ 是否一定为平行四边形？反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCQ 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化, 故存在反例.虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：(1) 四边形A8CQ 是平行四边形：AC. BQ 一定是对角线.(2) 以A 、B 、。

、。

四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论.平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.1.三定一动已知A (1, 2) B (5, 3) C (3, 5),在坐标系内确定点。

使得以A 、B 、。

、。

四个点为顶点的四边形是 平行四边形.思路1:利用对角线互相平分，分类讨论：设。

特殊的平行四边形中的最值模型--胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。

本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.补充知识：在直角三角形中锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A =∠A 的对边斜边。

若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形(含30°，45°，60°)的三边关系。

【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BC V 1的值最小．(注意与阿氏圆模型的区分)1)AC V 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值.2)构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH AC=k ，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.3)过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．(若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可)。

初中数学教师班级学生日期上课时间学生情况：主课题：特殊的平行四边形与梯形重点内容：1.掌握菱形、矩形的性质定理和判定定理。

2.理解正方形与菱形和矩形的关系，能用正方形的性质定理与判定定理判定正方形。

3.掌握梯形的概念，会判断梯形的类型，会判定等腰梯形，直角梯形。

难点内容：1.根据矩形、菱形、正方形的性质求解一些相关图形问题。

2.根据梯形的性质来判断梯形类型，会根据条件求解梯形。

特殊的平行四边形与梯形知识精要一、特殊的平行四边形1、矩形：有一个内角是直角的平行四边形。

2、菱形：有一组邻边相等的平行四边形。

3、正方形：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。

二、性质定理图形性质定理判定定理矩形1、四个角都是直角；2、两条对角线相等。

1、有三个内角是直角的四边形。

2、对角线相等的平行四边形。

菱形1、四条边都相等；2、对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。

1、四条边都相等的四边形。

2、对角线互相垂直的平行四边形。

正方形 1、 四个角都是直角，四条边都相等； 2、 对角线相等，且互相垂直，每条对角线平分一组内角。

1、 一组邻边相等的矩形；2、 有一个内角是直角的菱形。

三、梯形（一）梯形的有关概念 1、 四边形的演变与汇总2、 梯形：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形注：（1）梯形是特殊的四边形。

（2）有且只有一组对边平行。

3、 梯形中平行的两边叫做梯形的底，短边为上底，长边为下底，与位置无关，不平行的两边叫做梯形的腰，梯形两底之间的距离叫做梯形的高，它是一底上的一点向另一底作的垂线段的长度。

4、 梯形的分类梯形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等腰梯形直角梯形特殊梯形一般梯形：（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形 （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形（二）梯形的性质1. 一般梯形的性质：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，则∠A+∠B=︒180，∠C+∠D=︒1802. 直角梯形具有的特征在直角梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，∠B=︒90，则∠A=︒90，∠C+∠D=︒180 3. 等腰梯形具有的性质（1）性质定理1：等腰梯形同一底上的两个内角相等 （2）性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等（3）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。

特殊的平行四边形中的最值模型-费马点模型费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。

本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

【模型解读】结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+ MB+MC的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。

(这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°)图3【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．∵△ABE为等边三角形，∴AB=BE，∠ABE=60°．而∠MBN=60°，∴∠ABM=∠EBN．在△AMB与△ENB中，∵AB=BE∠ABM=∠EBNBM=BN，∴△AMB≌△ENB(SAS)．连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM=EN．∵∠MBN=60°，BM=BN，∴△BMN为等边三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC=180°-∠NMB=120°；∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°；∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。

专题01特殊平行四边形中的最值问题题型一菱形中的最值问题1．如图，在菱形ABCD 中，10AB AC ==，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，且3AM =，点P 为线段BD 上的一个动点，则12MP PB +的最小值是．2．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，12AC =，16BD =，点P 为边BC 上一点，且P 不与写B 、C 重合．过P 作PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，连接EF ，则EF 的最小值等于．3．如图，在菱形ABCD 中，45B ∠=︒，BC =，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为．4．如图所示，四边形ABCD 中，AC BD ⊥于点O ，4AO CO ==，3BO DO ==，点P 为线段AC 上的一个动点．过点P 分别作PM AD ⊥于点M ，作PN DC ⊥于点N ．连接PB ，在点P 运动过程中，PM PN PB ++的最小值等于．5．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点(5,0)A，45OB=，点P是对角线OB上的一个动点，(0,1)D，当CP DP+最短时，点P的坐标为()A．(0,0)B．1(1,)2C．6(5，3)5D．10(7，5)76．如图所示，在菱形ABCD中，4AB=，120BAD∠=︒，AEF∆为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD 上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE CF=；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和CEF∆的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．7．如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是()A．15B．16C．19D．208．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，60∠=︒，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上DAB一动点，且1+=．AM CN（1）证明：无论M，N怎样移动，BMN∆总是等边三角形；（2）求BMN∆面积的最小值．9．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，12AC=，16BD=，点P为边BC上一点，且P不与B、C重合．过⊥于F，连接EF，则EF的最小值为()P作PE AC⊥于E，PF BDA．4B．4.8C．5D．610．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为6BD=，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为(AC=，8)A．4B．4.8C．5D．5.5题型二矩形中的最值问题1．如图，点P 是Rt ABC ∆中斜边AC （不与A ，C 重合）上一动点，分别作PM AB ⊥于点M ，作PN BC ⊥于点N ，连接BP 、MN ，若6AB =，8BC =，当点P 在斜边AC 上运动时，则MN 的最小值是()A ．1.5B ．2C ．4.8D ．2.42．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒且3AB =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为()A ．125B ．52C ．3D ．43．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中6AB =，2BC =．运动过程中点D 到点O 的最大距离是．4．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是()A ．2B ．4C 2D ．225．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是()A ．22-B ．222+C ．252-D 22+6．如图，点E 、F 、G 、H 分别是矩形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且HG 与EF 交于点I ，连接HE 、FG ，若6AB =，5BC =，//EF AD ，//HG AB ，则HE FG +的最小值是．7．如图，在ABC ∆中，9AC =，12AB =，15BC =，P 为BC 边上一动点，PG AC ⊥于点G ，PH AB ⊥于点H ．（1）求证：四边形AGPH 是矩形；（2）在点P 的运动过程中，GH 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．8．如图，菱形EFGH的顶点E、G分别在矩形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在矩形ABCD的对角线BD 上．（1）求证：BG DE=；（2）若3BC=，则菱形EFGH的面积最大值是．AB=，49．如图，在矩形ABCD中，3AE=，P是BC上一动点，连接AP，取APAB=，6AD=，E是AD上一点，1的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是．10．如图，在ABC∠=︒，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，90∠=︒，EDFBAC∆中，90M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若6-的最大值为．AC=，5AB=，则AM MN题型三正方形中的最值问题1．如图，正方形ABCD中，3AB=，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG．点H是CD上一点，且23DH CD=，连接GH，则GH的最小值为．2．如图，在正方形ABCD中，26AB=，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H是CD的中点，连接GH，则GH的最小值为．3．如图，平面内三点A、B、C，5AB=，4AC=，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是()A．5B．9C．92D．9224．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为()A．52B．2C．351-D．255．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE CF=，连接BF、DE，则BF DE+的最小值为()A12B20C48D806．如图，在ABCBC=，D为边AB上一动点(B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，AB AC∆中，5==，45连接BE，则BDE∆面积的最大值为．7．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，4OC=，点D为BC边上一点，OA=，3以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是．8．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为cm ．9．如图，M 、N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足AM BN =，连接AC 交BN 于点E ，连接DE 交AM 于点F ，连接CF ，若正方形的边长为6，则线段CF 的最小值是．10．如图，正方形ABCD 边长为4，点O 在对角线DB 上运动（不与点B ，D 重合），连接OA ，作OP OA ⊥，交直线BC 于点P ．（1）判断线段OA ，OP 的数量关系，并说明理由．（2）当OD =时，求CP 的长．（3）设线段DO ，OP ，PC ，CD 围成的图形面积为1S ，AOD ∆的面积为2S ，求12S S -的最值．。

五、教学过程教学过程教师活动学生活动应对措施预测用时设计意图及资源准备程序1：导入提问：判断四边形的形状？猜想、交流回答老师问题：哪个是平行四边形? 哪个是矩形 ? 哪个是长方形？哪个是正方形？面对开放式的问题思考、交流、讨论引领思考教师对课堂生成问题采取相应措施3分钟从生活中简单的图形出发，激发学生学习兴趣。

改变问题的呈现方式，调动学生的思维。

激发学生思考讨论、交流，培养逆向思维程序2：自主学习主题1 从图形识别开始，怎样的四边形是平行四边形？它的性质和判别是什么？并结合图形用几何语言表述．观看屏幕明确学习内容积极回忆学生代表发言在学案上用几何语言写出平行四边形的性质和判定，交流点成绩中等学生发言，有鼓励＋督促意图配合学生回答，点击投影，与学生交流3分钟导入课题，板书：《特殊的平行四边形》复习课用几何语言表述平行四边形的性质和判定，有利于学生更好的理解定理，并且提高熟练运用的能力（这是我在长期教学一线，得出的辅助几何定理学习的方法，对学困生帮助作用是很明显的）(1)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？不一定！(2) 有一组对边平行，并且另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？不一定！等腰梯形平行四边形❖平行四边形性质平行四边形对边相等且平行、对角相等、对角线互相平分❖平行四边形判别一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形AB CDO平行四边形❖平行四边形性质∵□ABCD∴AB=DC AD=BCAB∥DC AD∥BC∠BAD=∠BCD ∠ABC=∠ADCOA=OC OB=OD❖平行四边形判别∵AB=DC且AB∥DC ∴□ABCD∵AB∥DC AD∥BC ∴□ABCD∵AB=DC AD=BC ∴□ABCD∵OA=OC OB=OD ∴□ABCDAB CDO、观察图形怎样的四边形是矩形？它的性质和判别是什么？并结合图形用几何语言表述．菱形❖菱形性质菱形对边平行且四边相等、对角相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角❖菱形判别一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形A BCD O 菱形❖菱形性质∵菱形ABCD∴AB ∥DC AD ∥BC 且AB ＝DC ＝AD ＝BC∠BAD=∠BCD ∠ABC=∠ADCOA=OC OB=OD 且AC ⊥BD , ∠DAO=∠BAO 等❖菱形判别∵在□ABCD 中AB=AD ∴菱形ABCD ∵在□ABCD 中AC ⊥BD ∴菱形ABCD ∵四边形ABCD 中AB ＝DC ＝AD ＝BC ∴菱形ABCDA BCD O 矩形❖矩形性质∵矩形ABCD∴AB=DC AD=BC 且AB ∥DC AD ∥BC∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC= 90°AC=BD 且OA=OC OB=OD❖矩形判别∵在□ABCD 中∠ABC= 90°∴矩形ABCD ∵在□ABCD 中AC=BD ∴矩形ABCD在四边形ABCD 中∠BAD=∠BCD=∠ABC= 90°∴矩形ABCDADCBO矩形❖矩形性质矩形对边相等且平行、四个角相等且等于90度、对角线相等且互相平分❖矩形判别有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形A DCBO正方形❖正方形性质正方形对边平行且四边相等四个角相等且等于90度对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角❖正方形判别一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形一组邻边相等、有一个角是直角的平行四边形是正方形你能用恰当的方式表示平行四边形，菱形，矩形，正方形之间的关系吗？正方形❖正方形性质正方形对边平行且四边相等四个角相等且等于90度对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角❖正方形判别一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形一组邻边相等、有一个角是直角的平行四边形是正方形ADCB O平行四边形要继续探索的问题？四边形两组对边分别平行平行四边形菱形矩形正方形11.如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，BE=CF.（1）AE 与BF 相等吗？为什么？（2）AE 与BF 是否垂直？说明理由。