《特殊平行四边形》基础习题之欧阳光明创编

《特殊平行四边形》基础训练（一）填空题1.（2分）矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：四个角，对角线。

2.（1分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若100∠=o，AOB ∠=。

则OAB3.（1分）已知菱形一个内角为120o，且平分这个内角的一条对角线长为8cm，则这个菱形的周长为。

4.（3分）矩形的两条对角线把这个矩形分成了四个三角形。

菱形的两条对角线把这个菱形分成了四个三角形。

正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个三角形。

5.（2分）如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”型图案，则FAC∠=。

∠=,FCA6.（2分）正方形的边长为a，则它的对角线长，若正方形的对角线长为b，它的边长为。

7.（1分）边长为a的正方形，在一个角剪掉一个边长为的b正方形，则所剩余图形的周长为。

8.（4分）顺次连接四边形各边中点，所得的图形是。

顺次连接对角线的四边形的各边中点所得的图形是矩形。

顺次连接对角线的四边形的各边中点所得的四边形是菱形。

顺次连接对角线的四边形的各边中点所得的四边形是正方形。

（二）选择题1.正方形具备而菱形不具备的性质是（）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.每条对角线平分一组对角2.下列命题是真命题的是（）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C. 有三个角是直角的四边形是矩形D. 有三条边相等的四边形是菱形3.从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A.150oB. 135oC. 120oD.100o4.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③等腰梯形④对角线互相垂直的四边形A.①③B.②③C.③④D.②④5.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点，使该点到各顶点距离相等的图形是（）A.平行四边形和菱形B.菱形和矩形C.矩形和正方形D.菱形和正方形6.矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角的角平分线分长边为两部份，这两部份的长为（）A.6cm和9cmB. 5cm和10cmC. 4cm和11cmD. 7cm和8cm7.如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，AF BE于点F，交BD于点G，则下述结论中不成立的是（）A.AG=BEB.△ABG≌△BCEC.AE=DGD.∠AGD=∠DAGB（三）解答题1.已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。

（完整版）1特殊平⾏四边形经典练习题2015-2016学年九年级上册数学第⼀章经典练习题菱形的性质1、（2015?泸州）菱形具有⽽平⾏四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平⾏B．两组对⾓分别相等C．对⾓线互相平分, D．对⾓线互相垂直2、（2015?黔西南州）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（）A. 10B. 7C. 6D. 53、（2015?徐州）如图，菱形中，对⾓线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5, B．4, C．7, D．144、．（2015?衢州）如图，已知某⼴场菱形花坛ABCD的周长是24，∠BAD=60°，则花坛对⾓线AC的长等于A. 63B. 6C. 33D. 35、（2015?诏安县校级模拟）已知菱形的周长等于40cm，两对⾓线的⽐为3：4，则对⾓线的长分别是（）A．12cm，16cm, B．6cm，8cm, C．3cm，4cm D。

24cm，32cm6、（2015?兰州⼆模）如图，点P是菱形ABCD对⾓线BD上⼀点，PE⊥AB于点E，PE=4，则点P到BC的距离等于（）A．4, B．6, C．8, D．107、菱形ABCD的周长为20cm，两条对⾓线的⽐为3∶4，求菱形的⾯积。

8、如左下图，菱形ABCD的对⾓线AC、BD交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm，求菱形ABCD的⾼DH。

9、如右上图，在菱形ABCD中,∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对⾓线AC于点F，E为垂⾜，连接DF，则∠CDF 的度数为．10、在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数⽐为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对⾓线的长度；（2）菱形的⾯积．11、如图所⽰，在平⾯直⾓坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）12、（2010?襄阳）菱形的周长为8cm，⾼为1cm，则该菱形两邻⾓度数⽐为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：113、如左下图，菱形ABCD的对⾓线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂⾜为H，则点0到边AB的距离OH=_________．14、如右上图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的⾯积为cm2．15、【提⾼题】如图，在菱形ABCD中，顶点A到边BC、CD的距离AE、AF都为5，EF＝6，那么，菱形ABCD的边长是_____菱形的判定1、能够判别⼀个四边形是菱形的条件是（）A. 对⾓线相等且互相平分B. 对⾓线互相垂直且相等C. 对⾓线互相平分D. ⼀组对⾓相等且⼀条对⾓线平分这组对⾓2、平⾏四边形ABCD的两条对⾓线AC、BD相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？3、如左下图，AD是△ABC的⾓平分线。

平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题时间：2021.03.09 创作：欧阳法一．选择题（共5小题）1．如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．一般三角形D．等腰三角形2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D 在CG上，BC=，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5B．C．D．23．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD 于点E，则AE的长是（）A．3B．5C．2.4D．2.54．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17B．21C．24D．275．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10B．4.8C．6D．5二．填空题（共4小题）6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于．7．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=时，四边形ABEC是矩形．8．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是．三．解答题（共31小题）10．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，求∠BEF的度数．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．12．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．13．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE 的周长．14．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．15．如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=度．16．已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？17．如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠P DE的度数，并说明理由．18．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．20．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．21．已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD 的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．22．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？23．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．24．如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=，AF=．25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是EC、DB 的中点．求证：MN⊥BD．26．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q 从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．27．如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE 交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：（1）求证：BE⊥AG；（2）求线段DH的长度的最小值．28．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？29．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：AP=CQ；（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．30．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值．31．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请直接写出所有BP的值．32．已知：如图，BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F．EF分别交边AB、AC于点M、N．求证：（1）四边形AFBE是矩形；（2）BC=2MN．33．如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出OE、OF之间的数量关系，不用明理由．34．如图，已知Rt△ABD≌Rt△FEC，且B、D、C、E在同一直线上，连接BF、AE．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形．（2）若∠ABD=60°，AB=2cm，DC=4cm，将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动，设△ABD运动的时间为t，在△ABD运动过程中，试解决以下问题：（1）当四边形ABEF是菱形时，求t的值；（2）是否存在四边形ABFE是矩形的情形？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．35．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC 的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P 自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．36．如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H（1）求证：AG⊥BE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．37．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E时AD边的中点，点M时AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD 的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．38．如图，已知正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，点P （0，m）是线段oc上的一动点9点P不与点O、C 重合0，直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形，求m的值．39．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC 的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD 的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）证明：四边形BDFG是菱形；（2）若AC=10，CF=6，求线段AG的长度．40．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）若EB=4，则△BAE的面积为．初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2012春•炎陵县校级期中）如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．一般三角形D．等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC，∠G=∠C=90°，GB=CD，根据SAS证△FGB≌△BCD，推出∠FBG=∠BDC，BF=BD，求出∠DBC+∠FBG=90°，求出∠FBD的度数即可．【解答】解：∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD，∴FG=BE=AD=BC，GB=EF=AB=CD，∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°，∵在△FGB和△BCD中，∴△FGB≌△BCD，∴∠FBG=∠BDC，BF=BD，∵∠BDC+∠DBC=90°，∴∠DBC+∠FBG=90°，∴∠FBD=180°﹣90°=90°，即△FBD是等腰直角三角形，故选B．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，关键是证出△FGB≌△BCD，主要考查学生运用性质进行推理的能力．2．（2015春•江阴市期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5B．C．D．2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，∴AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=4，FM=EF﹣AB=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF==2，∴CH=，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH=AF，有一定的难度．3．（2015春•泗洪县校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3B．5C．2.4D．2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得出CE2=CD2+DE2，代入求出即可．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，∴∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=CD2+DE2，即AE2=42+（8﹣AE）2，解得：AE=5，故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是得出关于AE 的方程．4．（2015秋•无锡期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17B．21C．24D．27【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM=BC=×10=5，同理可得，ME=BC=×10=5，又∵EF=7，∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17．故选A．【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM 和ME的长．5．（2015春•乌兰察布校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D 重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10B．4.8C．6D．5【分析】连接OP，利用勾股定理列式求出BD，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA、OD，然后根据S△AOD=S△AOP+S△DOP列方程求解即可．【解答】解：如图，连接OP，∵AB=6，AD=8，∴BD===10，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD=×10=5，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP，∴××6×8=×5•PE+×5•PF，解得PE+PF=4.8．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．二．填空题（共4小题）6．（2016春•东平县期中）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD 交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于75°．【分析】由矩形ABCD，得到OA=OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，∴AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=45°﹣15°=30°，∠BAC=60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB=OB，∠ABO=60°，∴∠OBC=90°﹣60°=30°，∵AB=OB=BE，∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣30°）=75°．故答案为75°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE．7．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n= 2 时，四边形ABEC是矩形．【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．【解答】解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE=∠D，由题意易得AB∥EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，∴FC=FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理．8．（2015春•南长区期中）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．【分析】首先根据菱形的判定方法，判断出四边形ABCF是菱形，再根据菱形的性质，即可判断出AC⊥BF；然后根据勾股定理，可得OB2+OC2=BC2，据此推得AC2+BF2=4CD2即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC=CD=DE=EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2=BC2，∵AC=2OC，BF=2OB，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又∵BC=CD，∴AC2+BF2=4CD2．故答案为：AC2+BF2=4CD2．【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（2）此题还考查了勾股定理的应用：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，要熟练掌握．9．（2015春•株洲校级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC 边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【分析】先由矩形的性质求出OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；（2）当PD=OD=5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；②作PF⊥OA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．【解答】解：∵A（﹣10，0），C（0，3），∴OA=10，OC=3，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=10，AB=OC=3，∵D是OA的中点，∴AD=OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时，根据勾股定理得：PC==4，∴点P的坐标为：（﹣4，3）；（2）当PD=OD=5时，分两种情况讨论：①如图1所示：作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==4，∴PC=OE=5﹣4=1，∴点P的坐标为：（﹣1，3）；②如图2所示：作PF⊥OA于F，则DF==4，∴PC=O F=5+4=9，∴点P的坐标为：（﹣9，3）；综上所述：点P的坐标为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）；故答案为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三．解答题（共31小题）10．（2012春•西城区校级期中）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，求∠BEF的度数．【分析】设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．【解答】解：设∠BAE=x°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∵AE=AB，∴AB=AE=AD，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣∠BAE）=90°﹣x°，∠DAE=90°﹣x°，∠AED=∠ADE=（180°﹣∠DAE）=[180°﹣（90°﹣x°）]=45°+x°，∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED，=180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°），=45°，答：∠BEF的度数是45°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是有一定的难度．11．（2012秋•高淳县期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=2，也即得出了正方形EHGF的边长．【解答】（1）证明：在△ABC中，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=同理FG=，GH=，HE=在梯形ABCD中，∵AB=DC，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形．设AC与EH交于点M在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，同理GH∥AC又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°．∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形．（2）解：连接EG，在梯形ABCD中，∵E、G分别是AB、DC的中点，∴EG=（AD+BC）=（1+3）=2，在Rt△HEG中，EG2=EH2+HG2，4=2EH2，EH2=2，则EH=．即四边形EFGH的边长为．【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．12．（2013秋•青岛期中）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．【分析】延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，再证△CDF≌△AMF得BA=MA 由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP=BM，即AP=AB．【解答】证明：延长CF、BA交于点M，∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，CE=DF，∴△BCE≌△CDF，∴∠CBE=∠DCF．∵∠DCF+∠BCP=90°，∴∠CBE+∠BCP=90°，∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．又∵FD=FA，∠CDF=∠MAF，∠CFD=∠MFA，∴△CDF≌△AMF，∴CD=AM．∵CD=AB，∴AB=AM．∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，∴AP=BM，即AP=AB．【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键．13．（2015春•禹州市期中）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC 于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE 的周长．【分析】（1）连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=PC即可；（2）证△CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF，求出周长即可．【解答】解：证明：（1）连接PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠C=90°，在△ABP与△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．又∵∠C=90°，∴四边形PFCE是矩形，∴EF=PC，∴PA=EF．（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，∴PE=CF，PF=CE，又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，∴BE=PE，又BC=a，∴矩形PFCE的周长为2（PE+EC）=2（BE+EC）=2BC=2a．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出AP=PC 是解此题的关键．14．（2015秋•福建校级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC 沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DG A和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．15．（2016春•召陵区期中）如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=50 度．【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF，然后利用“边角边”证明即可；（2）易证∠FBE=∠FEB，又因为∠FBE=∠FDC，所以可证明∠FEB=∠FDC，进而可证明∠DFE=90°；（3）根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF，根据等边对等角可得∠CBF=∠E，然后求出∠DFE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得解．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS）；∴BF=DF；（2）证明：∵BF=EF，∴∠FBE=∠FEB，又∵∠FBE=∠FDC，∴∠FEB=∠FDC，又∵∠DGF=∠EGC，∴∠DFG=∠ECG=90°，即∠DFE=90°；（3）证明：由（1）知，△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵EE=FB，∴∠CBF=∠E，∵∠DGF=∠EGC（对顶角相等），∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E，即∠DFE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DFE=∠ABC=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键．16．（2015秋•泗县期中）已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？【分析】①由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可；②由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可．【解答】①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF；②解：OE=OF还成立；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．17．（2016春•邳州市期中）如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．【分析】（1）由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠B CP，由SAS证明△CDP≌△CBP，得出PB=PD，再由PE=PB，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB，由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC，即可得出∠PDC=∠PEB；（3）由四边形内角和定理得出∠DPE=100°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，在△DCP和△BCP中，，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PE=PD；（2）证明：∵PE=PB，∴∠PBC=∠PEB，∵△CDP≌△CBP，∴∠PDC=∠PBC，∴∠PDC=∠PEB；（3）解：如图所示：∠PDE=40°；理由如下：在四边形DPEC中，∵∠DPE=360°﹣（∠PDC+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（∠PEB+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（180°+80°）=100°，∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．（2016春•昆山市期中）如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；（2）设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，由已知条件得出DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a﹣b即可．【解答】（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，∴∠DAF=∠ABE，在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（AAS），∴AF=BE，DF=AE，∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；（2）解：设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，∵△ADF的周长为，AD=1，∴DF+A F=，即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣=，∴a﹣b=，即EF=．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题（2）的关键．19．（2015春•繁昌县期中）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．【分析】（1）根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°，OA=OB，再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE，然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）根据等腰直角三角形△EOF，当OE最小时，再根据勾股定理得出EF的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°，∠EAO=∠FBO=45°，∴∠AOE+∠BOE=90°，∵OE⊥OF，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE与△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF；（2）由（1）可知，△EOF是等腰直角三角形，∠EOF是直角，当OE最小时，EF的值最小，∵OA=OB，OE⊥AB，∴点E是AB的中点，∴OE=AB，∵AB=4，∴OE=2，∴EF=，即EF的最小值是2．【点评】本题考查了正方形的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．20．（2016春•江宁区期中）如图，在正方形ABCD 中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF≌△DAF，得出对应边相等即可；（2）由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．【解答】证明：如图所示：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF=DF；（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，∴BF=EF，∵BF=DF，∴EF=DF，∴∠FDE=∠FED，∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠FDE，∴∠ABF=∠FED，∵∠FED+∠FEA=180°，∴∠ABF+∠FEA=180°，。

特殊平行四边形一、关系结构图：二、特殊平行四边形：1．平行四边形的性质：四边形ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（2．平行四边形的判定：12345ABCD ⎫⎪⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎪⎭（）两组对边分别平行（）两组对边分别相等（）两组对角分别相等四边形是平行四边形（）一组对边平行且相等（）对角线互相平分.3．矩形的性质：四边形ABCD 是矩形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（4．矩形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是矩形. ABDOCABDOCA D BCAD BCOCDABA BCD O5. 菱形的性质：四边形ABCD 是菱形⇒123.⎧⎪⎨⎪⎩（）具有平行四边形的所有通性；（）四条边都相等；（）对角线互相垂直且平分对角6. 菱形的判定：123+⎫⎪⎬⎪⎭（）平行四边形一组邻边相等（）四条边都相等（）对角线互相垂直的平行四边形⇒四边形ABCD 是菱形.7. 正方形的性质：四边形ABCD 是正方形⇒123.⎧⎪⎨⎪⎩（）具有平行四边形的所有通性；（）四条边都相等，四个角都是直角；（）对角线相等、互相垂直且平分对角8. 正方形的判定：123++⎫⎪+⎬⎪+⎭（）平行四边形一组邻边相等一个直角（）菱形一个直角（）矩形一组邻边相等⇒四边形ABCD 是正方形.三、梯形1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、梯形的判定（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

3、直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

4、等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

性质：（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

*欧阳光明*创编 2021.03.07六年级数学上册欧阳光明（2021.03.07）解决问题分类训练册班级：六年级（1）班姓名：教师：吕伟题型一：求平均数（一个量里有多少个单位量）1、一台榨油机，43小时榨油1615吨，照这样计算，3小时可以榨油多少吨？2、某工厂54小时用了32吨煤，平均每小时用煤多少吨？平均1吨煤可以用多少小时？3、把43L 橙汁分装在容量是41L 的小瓶里，可以装几瓶？4、一辆自行车41小时行驶54千米，这辆自行车每小时行驶多少千米？行驶1千米需要多少小时？4小时行驶多少千米？5、甲、乙两台收割机收割小麦，甲收割机54小时收割了3吨小麦，乙收割机43小时收割了25吨小麦，哪台收割机收割的快一些？6、一辆汽车行驶9km ，用去汽油43L,平均每千米用汽油多少升？7、修一条长是97km 的公路，工程队4天修了全长的53，平均每天修多少千米？8、加工一个零件要61小时，21小时能加工多少个？9、丽丽看一本故事书，每天看这本书的152，看完这本书的32需要几天?10、3台碾米机23小时碾米59t ，每台碾米机平均每小时碾米多少吨？11、三角形的面积是83平方米，底是54米，高是多少米？12、平行四边形的面积是83平方米，底是54米，高是多少米？13、6里面有多少个52？14、把一根长是85米的钢管锯成若干相等的小段，一共锯4次，平均每段 钢管多长？15、5辆卡车43小时运走了215吨货物，平均每辆卡车每小时运货多少吨？16、摩托车32分钟行驶56千米，照这样计算，5分钟行驶多少千米？17、一堆苹果运走了第一辆车运走了41，第二辆运走了51，第一辆车比第二辆多运100kg ，这堆苹果共多少千克?18、一桶油用去53，又加入6kg ，这时桶里的油正好是全桶油的21，这桶油原有多少？19、一个水龙头1分钟浪费201L 的水，半小时将浪费多少升水？1小时呢？一天呢？20、某商店有10t 面粉，上午卖出52，下午卖出52t ，还剩多少吨？21、一根电线杆全长的27是2米，这根电线杆全长多少米？露出地面的部分占全长的57，露出地面的部分是几米？题型二：已知一个数的几分之几是多少，求这个数1、一个儿童体体重是35千克，水分占体重的54。

一、选择题1.如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5∘，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( )A．2B．4C．8−4√2D．6√2−82.下列说法正确的是( )A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线相等的四边形是矩形C．三条边相等的四边形是菱形D．三个角是直角的四边形是矩形3.下列关于菱形对角线的说法中，错误的是( )A．对角线互相垂直B．对角线所在直线是菱形的对称轴C．对角线相等D．对角线互相平分4.如果矩形的两条对角线所成的钝角是120∘，那么对角线与矩形短边的长度之比为( )A．3:2B．2:1C．1.5:1D．1:15.已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，则这个菱形的周长是A．20B．16C．12D．106.如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，AE=8，AC=20，则OE的长为( )A．4√3B．4C．6D．87.直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上的中线长是( )A．6B．6.5C．6或6.5D．6或2.58.菱形ABCD中，AB=2，∠D=120∘，则对角线AC的长为( )A．1B．√3C．2D．2√39.如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为( )A．60∘B．67.5∘C．75∘D．54∘10.顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形必定是( )A．邻边不等的平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形二、填空题11.如图甲所示，将边长为a cm的正方形纸片中间挖去一个正方形的洞，成为一个边宽为5cm的正方形方框．把3个这样的方框按如图乙所示平放在桌面上（边框互相垂直或平行），则桌面被这些方框盖住部分的面积是．12.如图，矩形ABCD，∠BAC=60∘，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于1MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP2交BC于点E，若BE=1，则矩形ABCD的面积等于．13.定理：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，用符号语言表示为，∵四边形ABCD是菱形，∴（菱形的对角线互相垂直），∴（菱形的每一条对角线平分一组对角）．14.如图，已知△ABC中，AB=5 cm，BC=12 cm，AC=13 cm，那么AC边上的中线BD的长为．BC，E，F分别是BC，AD的中点，15.如图，在等边△ABC中，D是BC延长线上一点，CD=12若AB=2，则线段EF的长是．16.在同一平面内，将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（∠C=60∘，∠F=45∘），其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则∠CGF=∘．17.若将一张矩形的纸片折叠成如图所示的形状，已知∠CBD=34∘，则∠ABC=．三、解答题18.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是BC，AD上的点，且BE=DF．(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；(2) 当BE长度为时，四边形AECF是菱形．19.如图，菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，求菱形的高是多少？20.如图，在正方形ABCD中，F是对角线AC上任意一点，BF⊥EF，求证：BF=EF．21.如图，O是矩形ABCD的对角线的中点，M是AD的中点，若AB=6，AD=8，求四边形ABOM的周长．22.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90∘，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P，Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1) 经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？(2) 经过多长时间，四边形PQBA是矩形？23.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1) 求证：△ABE≌△DCE；(2) 求∠AED的度数．24.阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答．(1) 若只改变图①中四边形ABCD的形状（如图②），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；（参考小敏思考问题方法）(2) 如图②，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，写出结论并证明；②当AC与BD满足时，四边形EFGH是正方形．25.福清某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10m的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长．答案一、选择题1. 【答案】C【知识点】角平分线的性质、正方形的性质2. 【答案】D【知识点】矩形的判定3. 【答案】C【解析】∵菱形对角线具有的性质有：对角线互相垂直，对角线互相平分，∴对角线所在直线是对称轴，故A，B，D正确，C错误．【知识点】菱形的性质4. 【答案】BBD，【解析】根据矩形的对角线相等且互相平分得OA=OD=12根据矩形的两条对角线所成的钝角是120∘，容易证出△OAD是等边三角形，所以得到对角线与矩形短边的长度之比．如图所示：∵四边形ABCD是矩形，BD，∴OA=OD=12∵∠DOC=120∘，∴∠AOD=60∘，∴△OAD是等边三角形，BD，∴AD=OA=12∴对角线与矩形短边的长度之比为2:1．所以选B．【知识点】矩形的性质5. 【答案】A【知识点】菱形6. 【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形，AC=10，∴AO=CO=12∴OE=√AO2−AE2=√100−64=6，故选：C．【知识点】矩形的性质7. 【答案】C×13=6.5．【解析】① 12是直角边时，斜边=√52+122=13，第三边上的中线长=12×12=6．② 12是斜边时，第三边上的中线长=12故选：C．【知识点】直角三角形斜边的中线8. 【答案】D【知识点】菱形的性质9. 【答案】A【解析】如图，连接DF，BF．∵FE⊥AB，AE=EB，∴FA=FB，∵AF=2AE，∴AF=AB=FB，∴△AFB是等边三角形，∵AF=AD=AB，∴点A是△DBF的外接圆的圆心，∠FAB=30∘，∴∠FDB=12∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90∘，∠ADB=∠DBC=45∘，∴∠FAD=∠FBC，∴△FAD≌△FBC，∴∠ADF=∠FCB=15∘，∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60∘．解法二：连接BF．易知∠FCB=15∘，∠DOC=∠OBC+∠FCB=45∘+15∘=60∘．【知识点】正方形的性质10. 【答案】D【解析】矩形的对角线相等，矩形ABCD各边中点连线也相等，所以此四边形必定是菱形．【知识点】菱形的判定二、填空题11. 【答案】60a−400【解析】由图甲知，单独一个方框覆盖的面积为：a2−(a−10)2=20a−100，由图乙知，三个方框放置后，有4个边长为5的小正方形重叠，故桌面被这些方框盖住部分的面积=3(20a−100)−4×5×5=60a−400．【知识点】完全平方公式、图形的分割与拼接、用代数式表示规律12. 【答案】3√3【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAD=90∘，∴∠BAC=60∘，∴∠ACB=30∘，由作图知，AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=30∘，∴∠EAC=∠ACE=30∘，∴AE=CE，过E作EF⊥AC于F，∴BF=BE=1，∴AC=2CF=2√3，∴AB=√3，BC=3，∴矩形ABCD的面积=AB⋅BC=3√3．【知识点】矩形的性质、30度所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的判定13. 【答案】AC⊥BD；∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD，∠BCA=∠DCA，∠ADB=∠CDB【知识点】菱形的性质14. 【答案】132cm【解析】∵AB=5 cm，BC=12 cm，AC=13 cm，由勾股定理的逆定理得，△ABC是直角三角形，∴BD=12AC=132cm．【知识点】直角三角形斜边的中线15. 【答案】√72【解析】连接AE，∵△ABC为等边三角形，点E是BC的中点，∴AE⊥BD，AC=BC=AB=2，BE=CE=12BC=1，∠ACE=60∘，∴DC=12BC=1，在Rt△AEC中，AC=2，∴AE=ACsin60∘=√3，ED=EC+CD=2，由勾股定理可得：AD2=AE2+ED2，∴AD=√7，∵在Rt△AED中，F为AD中点，∴EF=12AD=√72．【知识点】勾股定理、直角三角形斜边的中线16. 【答案】15°【知识点】直角三角形斜边的中线、等边三角形的判定17. 【答案】73°【知识点】图形成轴对称、矩形的性质三、解答题18. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC且AD=BC，又∵BE=DF，∴AF∥CE且AF=CE，∴四边形AECF为平行四边形．(2) 5【知识点】平行四边形的判定、菱形的判定19. 【答案】设菱形的高为ℎ，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴OA=OC，OB=OD．∵AC=6cm，BD=8cm，∴OA=OC=3cm，OB=OD=4cm．∴AB=√32+42=5(cm)．×6×8=24(cm2)，∵S=12．∴5ℎ=24，ℎ=245cm．答：菱形的高是245【知识点】勾股定理、菱形的性质20. 【答案】过点F作FG⊥AB于G，FH⊥AD于H，所以∠BGF=∠EHF=90∘，因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAC=∠BAC=45∘，∠DAB=90∘，所以FG=FH，∠GFH=90∘，又因为BF⊥EF，即∠BFE=90∘，所以∠1=∠2，在△BGF和△EHF中，∠BGF=∠EHF=90∘，FG=FH，∠1=∠2，所以△BGF≌△EHF，所以BF=EF．【知识点】正方形的性质、角边角21. 【答案】如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90∘，∴BD=2+AD2=√62+82=10，∵O是BD的中点，∴OB=12BD=5，∵M是AD的中点，∴AM=12AD=4，OM是△ABD的中位线，∴OM=12AB=3，∴四边形ABOM的周长=AB+OB+OM+AM=6+5+3+4=18．【知识点】矩形的性质、三角形的中位线、勾股定理22. 【答案】(1) 设经过x s，四边形PQCD为平行四边形．即PD=CQ，所以24−x=3x，解得：x=6．(2) 设经过y s，四边形PQBA为矩形，即AP=BQ，所以y=26−3y，解得：y=132．【知识点】矩形的性质、解析式法、平行四边形的判定23. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90∘，∠EBC=∠ECB=60∘，∴∠ABE=∠ECD=30∘，在△ABE和△DCE中，{AB=DC,∠ABE=∠DCE, BE=CE,∴△ABE≌△DCE(SAS)．(2) ∵BA=BE，∠ABE=30∘，∴∠BAE=12(180∘−30∘)=75∘，∵∠BAD=90∘，∴∠EAD=90∘−75∘=15∘，同理可得∠ADE=15∘，∴∠AED=180∘−15∘−15∘=150∘．【知识点】正方形的性质、等边对等角、边角边24. 【答案】(1) 四边形EFGH是平行四边形，理由如下：如答图1，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=12AC，同理HG∥AC，HG=12AC，综上可得：EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形．(2) 如答图2，连接BD．①当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同（1）得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90∘，∴四边形EFGH为矩形．② AC⊥BD，且AC=BD【解析】(2) ②结论：当AC⊥BD，且AC=BD时，四边形EFGH为正方形．理由：∵EH=12BD，EF=12AC，BD=AC，∴EH=EF，∵当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，∴四边形EFGH是正方形．【知识点】三角形的中位线、矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定25. 【答案】原绿化带的面积=102=100(m2)，扩大后绿化带的面积=4×100=400(m2)，则扩大后绿化带的边长是√400=20(m)，答：扩大后绿化带的边长为20m．【知识点】正方形的性质、算术平方根的概念，性质及运算。

第七讲平行四边形和梯形欧阳家百（2021.03.07）教学内容：义务教育课程标准实验教科书四年级上册第四单元《平行四边形和梯形整理和复习》教学目标：1、通过复习使学生进一步理解垂直与平行的概念，会用直尺、三角尺画垂线和平行线。

2、通过对平行四边形和梯形的整理与复习，使所学的知识条理化、系统化，提高计算的熟练程度。

3、培养良好的学习兴趣，学会归纳、整理和应用。

教学重点：对各知识点的知识的整理与复习。

教学难点：如何有序整理知识。

一、回忆梳理、构建网络课前让学生对第四单元的知识进行整理，上课以后小组交流。

师：四人小组讨论、交流。

（1）小组内交流（2）汇报：展示学生所写的，并引导说教师板书。

师：我们这一单元主要学习了什么内容？（板书：平行四边形和梯形的整理和复习）知识结构网络：垂直 同一平面内两条直线的位置关系平行四边形和梯形平行的整理和复习 平行四边形：两组对边分别平行的四边形。

梯形：只有一组对边平行的四边形。

二、 1、 法检验呢？你在日常生活中还见过哪些互相垂直或互相平行的例子？ 2、 复习画垂线和平行线。

画一个长5厘米，宽3厘米的长方形。

画完以后让学生说一说是如何画垂线和平行线的。

3、 在下面的点子图上画出平行四边形和梯形，并画出它们的高。

让学生来说一下平行四边形和梯形的特征，以及他们的联系和区别，并让孩子们说说在画高时注意什么？三、 知识应用、能力拓展1、 从下面的图形中找出平行四边形和梯形，并画出它们的高。

2、 给下面每条直线作两条垂线。

看一看这两条垂线有什么关系？3、 判断下面各题，对的画“√”，错的画“×”。

（1）长方形是特殊的平行四边形。

（ ）（2）两个高相等的平行四边形拼在一起还是一个平行四边形。

（ ）（3）两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。

（）（4）一个梯形中只有一组对边平行。

（）4、想一想，选一选。

(1)、长方形是特殊的（）。

①梯形②平行四边形③方形(2)、在梯形中，互相平行的一组对边叫做梯形的（）。

单元练习题：《特殊的平行四边形》一．选择题1．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．菱形的对角线平分一组对角C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．矩形的对角线互相平分2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形3．如图，菱形ABCD对角线AO＝4cm，BO＝3cm，则菱形高DE长为（）A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（）A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km5．已知平行四边形ABCD，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD6．如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（）A．BE＝EO B．EO＝AC C．AC⊥BE D．AE＝AF7．已知矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．50 B．48 C．24 D．128．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，∠AOD＝60°，则AB的长为（）A．3 B．2C．3D．69．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为（）A．100°B．120°C．135°D．150°10．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝（）A．20.5°B．30.5°C．21.5°D．22.5°11．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（）A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.512．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．2二．填空题13．如果菱形的边长为17，一条对角线长为30，那么另一条对角线长为．14．如图，正方形ABCD的边长为5，点E在CD上，DE＝2，∠BAE的平分线交BC于点F，则CF的长为．15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P为AD边上的一点，过点P 分别作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F．若PE+PF＝5，则正方形ABCD的面积为．16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD 于点E，则BE的长为．17．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）．三．解答题18．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．20．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．（1）求证：BG＝DE；（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．21．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH．在EF上取一点G，使∠ECG＝∠DAH．（1）若点F在边CD上，如图1，①求证：CH⊥CG．②求证：△GFC是等腰三角形．（2）取DF中点M，连接MG．若MG＝3，正方形边长为4，则BE＝．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为AB边的中点，连接DC过D作DE ⊥DC交AC于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）如图2，F为BC边上一点，连接DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF 与EG的数量关系，并说明理由．23．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．参考答案一．选择题1．解：A．平行四边形的对边相等，正确，不符合题意；B．菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；C．对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，符合题意；D．矩形的对角线互相平分，正确，不符合题意．故选：C．2．解：A、错误，有一个角为90°的平行四边形是矩形B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形；D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形；故选：C．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2OA＝2×4cm＝8cm，BD＝2BO＝2×3cm＝6cm，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5（cm），菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AB•DE，即×8×6＝5DE，解得：DE＝4.8（cm），故选：C．4．解：在Rt△ACB中，点M是AB的中点，∴CM＝AB＝×2.6＝1.3（km），故选：C．5．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C；故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD1矩形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；B、EO＝AC时，EF＝AC，∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；故选：B．7．解：∵矩形的两邻边之比为3：4，∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，∵对角线长为10，∴（3x）2+（4x）2＝102，解得：x＝2，∴矩形的两邻边长分别为：6，8；∴矩形的面积为：6×8＝48．故选：B．8．解：∵四边形AABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，OA＝OD＝OB，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝OD＝AD＝3，∴BD＝2OD＝6，∴AB＝＝3．故选：C．9．解：连接AC，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴BC＝AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°；即菱形ABCD的较大内角度数为120°；故选：B．10．解：设AC与BD交于点O，在四边形ABCD中，∠EOC＝90°，∠1＝∠2＝45°．∵BE＝BC，∴∠3＝∠ECB＝67.5°．∴∠ACE＝OCE＝90°﹣∠3＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：D．11．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠1＝∠E．又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠E．∴BE＝BD．∵AE＝10，∴BD＝BE＝10﹣AB．在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．∴AB＝4.2．故选：A．12．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P 1P 2∥CE 且P 1P 2＝CE ．当点F 在EC 上除点C 、E 的位置处时，有DP ＝FP ．由中位线定理可知：P 1P ∥CE 且P 1P ＝CF ．∴点P 的运动轨迹是线段P 1P 2，∴当BP ⊥P 1P 2时，PB 取得最小值．∵矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为AB 的中点，∴△CBE 、△ADE 、△BCP 1为等腰直角三角形，CP 1＝1．∴∠ADE ＝∠CDE ＝∠CP 1B ＝45°，∠DEC ＝90°．∴∠DP 2P 1＝90°．∴∠DP 1P 2＝45°．∴∠P 2P 1B ＝90°，即BP 1⊥P 1P 2，∴BP 的最小值为BP 1的长．在等腰直角BCP 1中，CP 1＝BC ＝1．∴BP 1＝．∴PB 的最小值是． 故选：C ．二．填空题（共5小题）13．解：在菱形ABCD 中，AB ＝17，BD ＝30，∵对角线互相垂直平分，∴∠AOB ＝90°，BO ＝15，在Rt △AOB 中，AO ＝＝＝8，∴AC ＝2AO ＝16．即另一条对角线长为16，故答案为：16．14．解：延长CD 到N ，使DN ＝BF ，连接AN ，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABF＝∠ADN＝90°，在△ABF和△ADN中，，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴∠BAF＝∠DAN，∴∠NAF＝90°，∴∠EAN＝90°﹣∠FAE，∠N＝90°﹣∠DAN＝90°﹣∠BAF，∵∠BAF＝∠FAE，∴∠EAN＝∠N，∴AE＝EN，∵，∴，∴，∴，故答案为：7﹣．15．解：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO，∠EAP＝45°，∵PE⊥AC，∴△AEP是等腰直角三角形，∴PE＝AE，∵PF⊥BD，∴四边形OEPF是矩形，∴PF＝OE，∴PE+PF＝AE+OE＝OA＝5，＝，∴S△AOD＝4×＝50．∴S正方形ABCD故答案为：50．16．解：如图，过点E作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，BD＝AC＝2，OD＝OB＝，∵EA平分∠BAO，EH⊥AB，EO⊥AC，∴EH＝EO，设EH＝EO＝a，则BE＝a，∴a+a＝，解得a＝2﹣，∴BE＝a＝2﹣2．故答案为：2﹣2．17．解：如图，连接DH，HM．由题可得，AM＝BE，∴AB＝EM＝AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，∴EH＝AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM＝2HM，故②正确；当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，∴Rt△ADM中，DM＝2AM，即DM＝2BE，故①正确；∵CD∥EM，EC∥DM，∴四边形CEMD是平行四边形，∵DM＞AD，AD＝CD，∴DM＞CD，∴四边形CEMD不可能是菱形，故③错误，∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC＝45°，∴∠CHM＞135°，故④正确；由上可得正确结论的序号为①②④．故答案为①②④．三．解答题（共6小题）18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：连接BD，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，即AF∥EC，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：如图所示：∵四边形ABCD为菱形，四边形AECF为矩形，且BE＝3，AD＝5 ∴OA＝OC，AB＝BC＝AD＝5 DF＝EB＝3，∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝4，CE＝BC+BE＝8，∴AC＝＝＝4，∵OA＝OC，∠AEC＝90°，∴OE＝OC＝AC＝×4＝2．20．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE；（2）连接BE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°．∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE．∵CG＝CE，BC＝BC，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE．∵由（1）可知BG＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°．21．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，在△DAH和△DCH中，，∴△DAH≌△DCH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH．∵∠ECG＝∠DAH，∴∠ECG＝∠DCH．∵∠ECG+∠FCG＝∠FCE＝90°，∴∠DCH+∠FCG＝90°，∴CH⊥CG；②∵在Rt△ADF中，∠DFA+∠DAF＝90°，由①得∠DCH+∠FCG＝90°，∠DAH＝∠DCH；∴∠DFA＝∠FCG，又∵∠DFA＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形；（2））①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝4+2．②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．综上所述，BE的长为 4+或4﹣．22．（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵D为AB边的中点，∴CD＝BD＝AD，∴△BCD是等边三角形，∠ACD＝∠A＝30°，∵∠CDE＝90°，∴∠CED＝60°，∴∠EDA＝30°；（2）解：如图2，在Rt△CDE中，∠ACD＝30°，∴tan30°＝，∴＝，∵∠FDG＝∠CDE＝90°，∴∠FDC＝∠GDE，∴∠FCD＝∠GED＝60°，∴△FCD∽GED，∴＝，∴FC＝GE．23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能在CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在DE上，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），t＝，第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；即t＝．。

专训一：矩形的性质与判定灵活运用时间：2021.03.01 创作：欧阳语名师点金：1.矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质，可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．2．判定一个四边形是矩形可从两个角度进行：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想) 1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙不重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．(第1题)利用矩形的性质与判定证明线段相等2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.求证：OE＝BC.(第2题)利用矩形的性质与判定判断图形形状3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1，连结AP，EC，分别交BE，PD于H，F.(1)判断△BEC的形状，并说明理由．(2)判断四边形EFPH是什么特殊的四边形？并证明你的判断．(第3题)利用矩形的性质与判定求面积4．如图，已知E是▱ABCD中BC边上的中点，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.(1)连结AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．(第4题)专训二：菱形的性质与判定灵活运用名师点金：1.菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．2．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．利用菱形的性质与判定证明角的关系1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．(第1题)利用菱形的性质与判定证明线段的位置关系2．(中考·兰州)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．(第2题)利用菱形的性质与判定解决周长问题3．(中考·贵阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连结DE，将△ADE绕点E旋转180°，得到△CFE，连结AF.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．(第3题)利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，交AB于点M，连结ME.(1)求证：四边形AEPM为菱形．(2)当点P在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？请说明理由．(第4题)专训三：正方形的性质与判定灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性质证明线段位置关系1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连结DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.(第1题)利用正方形的性质解决线段和差倍分问题2．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN 时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．(第2题)正方形性质与判定的综合运用3．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动时间多长，求证：连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．(第3题)正方形中的探究性问题4．如图①，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连结FM，易证：DM＝FM，DM⊥FM(无需写证明过程)；(1)如图②，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；(2)如图③，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．(第4题)专训四：利用矩形的性质巧解折叠问题名师点金：折叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等，且关于折痕或所在直线成轴对称；在计算时，常常通过设未知数列方程求解．利用矩形的性质巧求折叠中的角1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；(2)将纸片平展后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F.求∠AFE的度数．(第1题)利用矩形的性质巧求折叠中的线段的长2．如图，有矩形纸片ABCD，长AD为4 cm，宽AB为3 cm，把矩形折叠，使相对两顶点A，C重合，然后展开．求折痕EF 的长． (第2题)利用矩形的性质巧证线段的位置关系3．如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C落在点E 处，BE 交AD 于F ，连结AE.证明：(1)BF ＝DF ；(2)AE∥BD. (第3题)利用矩形的性质巧求线段的比(面积法)4．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；MN DN，求3∶1的面积比为△CDN 的面积与△CMN 若(2)的值．(第4题)专训五：用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看作特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)为条件解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动，且保持BE＝DF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．(第1题)矩形中的动点问题2．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.(1)如图①，连结AF、CE，求证：四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)如图②，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A 停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第2题)菱形中的动点问题3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)专训六：特殊四边形中的最值问题名师点金：求特殊四边形中的最值问题，一般都要用它们的轴对称的性质把几条线段转移到一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题．矩形中的最值问题1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，求点D到点O的最大距离．(第1题)菱形中的最值问题2．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点，求PK＋QK的最小值．(第2题)正方形中的最值问题(第3题)3．(中考·宿迁)如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是________．4．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B 逆时针旋转60°得到BN，连结EN，AM，CM.(1)求证：△AMB≌△ENB.(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由．(第4题)专训七：思想方法荟萃名师点金：本章中，由于涉及内容是各种特殊四边形，解决这类问题时，常将它们与三角形、直角坐标系、方程等知识结合在一起进行研究．而转化思想、分类讨论思想、方程思想、数形结合思想是解决四边形问题常要用到的思想方法．数形结合思想(第1题)1．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每块长方形地砖的面积为( )A．200 cm2B．300 cm2C．600 cm2D．2 400 cm2方程思想2．已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.(1)若AE＝3 cm，AF＝4 cm，AD＝8 cm，求CD的长；(2)若平行四边形ABCD的周长为36 cm，AE＝4cm，AF＝5 cm，求平行四边形ABCD的面积．转化思想3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O 点，点P是线段AD上一动点(不与点D重合)，PO的延长线交BC于Q点．连结BP，DQ.(1)求证：四边形PBQD为平行四边形．(2)若AB＝3 cm，AD＝4 cm，P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动．设点P运动的时间为t s，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．(第3题)4．如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，且CD ＝2 cm ，BC ＝8 cm ，AB ＝8 cm ，AF ＝5cm.试求此六边形的周长． (第4题)分类讨论思想①图形的位置不确定5．四边形ABCD 是正方形，△ADE 是等边三角形，求∠BEC 的度数．②等腰三角形的腰与底边不确定6．已知，如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A ，C 的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，求点P 的坐标． (第6题)答案解码专训一1．解：∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝＝∠EHG ，同理可得：90°＝×180°12＝∠FEM ＋∠HEM ∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH 为矩形，∴HG∥EF，HG＝EF，∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°，∴△HNG≌△FME，∴HN＝MF.又∵HN＝HD，∴HD＝MF，＝HM＋AH∴AD＝＋HDEH2＋EF2＝MF∵HF＝＝HF.又＝32＋425(cm)5 cm.，＝∴AD点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN＝MF，进而证明HD＝MF，从而将AD转化为直角三角形的斜边HF，进而得解，体现了转化思想．2．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°.∴四边形OCED是矩形．∴OE＝CD.∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD.∴OE＝BC.点拨：线段CD既是菱形ABCD的边，又是四边形OCED的对角线，可以用等量代换推出OE＝BC.3．解：(1)△BEC是直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2.1∴AE＝，＝∵DE＝BP5＝，CE由勾股定理得＝4.PC，25＝52＝25.∵BC2＝20＋5＝BE2＋E2∴C ，52＝BE ∴BE2＋CE2＝BC2.∴∠BEC＝90°.∴△BEC 是直角三角形．(2)四边形EFPH 为矩形，证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD＝BC ，AD∥BC.∵DE＝BP ，∴四边形DEBP 是平行四边形．∴BE∥DP.∵AD∥BC，AE ＝PC ，∴四边形AECP 是平行四边形．∴AP∥CE.∴四边形EFPH 是平行四边形．∵∠BEC＝90°，∴平行四边形EFPH 是矩形．4．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB∥DC，∴∠ABE＝∠ECF.又∵E 为BC 的中点，∴BE＝CE ，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE＝∠FCE，BE ＝CE ，∠AEB＝∠FEC，∵中，△FCE 和△ABE 在 ∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.又AB∥CF，∴四边形ABFC 为平行四边形，∴BE＝EC ，AE ＝EF ，∵∠AEC 为△ABE 的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB，∴AE＝BE ，∴AE＋EF ＝BE ＋EC ，即AF ＝BC ，∴四边形ABFC 为矩形．(2)解：∵四边形ABFC 是矩形，∴AC⊥DF.又∵△AFD ＝42－22＝∴AC ，2＝DF 2＝CD ＝∴CF 是等边三角形，.34＝×232＝ABFC 矩形∴S ，32 解码专训二⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，中，△ADC 和△ABC 在∵证明：(1)．1∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC.⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAF＝∠DAF，AF ＝AF ，中，△ADF 和△ABF 在∵ ∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD.∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE.(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD ，CB ＝CD ，∴AB＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．(3)解：当EB⊥CD 时，∠EFD＝∠BCD.理由：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC＝CD ，∠BCF＝∠DCF，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCF＝∠DCF，CF ＝CF ，中，△DCF 和△BCF 在 ∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD.(第2题)2．证明：(1)如图，过点B 作BM∥AC 交DC 的延长线于点M ，∵AB∥CD，∴四边形ABMC 为平行四边形．∴AC＝BM ＝BD ，∴∠BDC＝∠M＝∠ACD.在△ACD 和△BDC 中⎩⎪⎨⎪⎧AC＝BD ，∠ACD＝∠BDC CD＝DC ，BC.＝∴AD ，△BDC ∴△ACD≌， (2)如图，连结EH ，HF ，FG ，GE ，∵E，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，，AD 12＝FG ，且FG∥AD ，AD 12＝HE ，且∴HE∥AD∴四边形HFGE为平行四边形．由(1)知AD＝BC，∴HE＝EG，∴▱HFGE为菱形，∴EF与GH互相垂直平分．3．(1)证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，∴AE＝CE，DE＝FE，∴四边形ADCF是平行四边形．∵D，E分别为AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC.∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，∴DF⊥AC，∴四边形ADCF是菱形．(2)解：在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，∴AB＝10.∵D是AB边上的中点，∴AD＝5.∵四边形ADCF是菱形，∴AF＝FC＝AD＝5，∴四边形ABCF的周长为8＋10＋5＋5＝28.4．(1)证明：∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA，∴∠CAD＝∠EPA，∴EA＝EP，∴四边形AEPM为菱形．(第4题)四S 12＝AEPM 菱形S 的中点时，EF 为P 解：当点(2)边形EFBM.理由如下：∵四边形AEPM 为菱形，∴AP⊥EM.∵AB ＝AC ，∠CAD ＝∠BAD ，∴AD⊥BC ，∴EM∥BC.又∵EF∥AB，∴四边形EFBM 为平行四边形．过点E 作EN⊥AB 于点N ，如图，则S 菱形AEPM ＝AM·ENEFBM.四边形S 12＝EF·EN 12＝EP·EN ＝ 解码专训三1．证明：∵AC，BD 是正方形ABCD 的两条对角线，∴AC⊥BD ，OA ＝OD ＝OC ＝OB.∵DE＝CF ，∴OE＝OF.在Rt△AOE 与Rt△DOF 中，，∴Rt△AOE≌Rt△DOF ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD ，∠AOE＝∠DOF＝90°，OE ＝OF ，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠FDO＝90°，∴∠DFO＋∠FAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.2．解：(1)仍有BM ＋DN ＝MN 成立．证明如下：过点A 作AE⊥AN，交CB 的延长线于点E,易证△ABE≌△ADN，∴D N＝BE，AE＝AN.又∵∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM ，∴BM＋DN＝MN .(第2题)(2)有DN－BM＝MN.证明如下：如图，在DN上截取DE＝BM，连结AE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠D＝90°，AB＝AD.又∵DE＝BM，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB＝90°.∴∠MAE＝90°.∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.又∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN，∴DN－BM＝MN. 3．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.又∵在任何运动时刻，AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA，∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS，∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ，∴在任何运动时刻，四边形PQRS是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°，∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ )＝180°－90°＝90°.∴在任何运动时刻，四边形PQRS 总是正方形．(2)解：当P ，Q ，R ，S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD 的面积．(3)解：当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS 的面积是原正方形ABCD 面积的一半．理由：设原正方形ABCD 的边长为a.－a ＝SD －a ＝AS 中，Rt△APS 时，在a212＝PS2当AP.由勾股定理，得AS2＋AP2＝PS2，即(a －AP)2＋AP2，a212＝ a.12＝SD ＝CR ＝BQ 同理可得a.12＝AP 得解 ∴当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的面积为原正方形面积的一半．(第4题)4．解：(1)DM ＝FM ，DM⊥FM.证明：如图，连结DF 、NF.∵四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形，∴AD∥BC，BC∥GE，∴AD∥GE，∴∠DAM＝∠NEM.∵M是AE的中点，∴AM＝EM.∵∠AMD＝∠EMN，∴△MAD≌△MEN，∴DM＝MN，AD＝NE.∵AD＝CD，∴C D＝NE.∵CF＝EF，∠FCD＝∠FEN＝90°，∴△DCF≌△NEF，∴DF＝FN，∠CFD＝∠EFN.∵∠EFN＋∠CFN＝90°，∴∠CFD＋∠CFN＝90°，即∠DFN＝90°，∴DM＝FM，DM⊥FM.(2)DM＝FM，DM⊥FM.解码专训四(第1题)1．解：如图，由折叠性质得∠AEF＝∠A′EF，∠BEA＝∠AEB′，BE＝B′E，AE＝EA′，∵∠BAB′＝∠BEB′＝∠ABE＝∠AB′E＝90°，∴AE为∠BAB′的平分线，∴∠BEA＝∠BAE＝45°，又∠BEA＋∠AEF＋∠FEA′＝180°，∴∠FEA′＝67.5°，∵在矩形ABCD 中，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEA′＝67.5°.2．解：易得EF 为AC 的垂直平分线．∴AE＝EC ，AF＝FC.∵AE∥FC，∴∠AEO＝∠CFO.又∵OA＝OC ，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO，∴AE＝FC.∴四边形AECF 是菱形．设BF 为x cm ，则AF ＝FC ＝(4－x)cm.由勾股定理，得32＋x2＝(4－x)2，cm.258＝∴FC ，78＝∴x ＝32＋42＝∴AC ，4 cm ＝BC ，3 cm ＝∵AB 5(cm)．cm.52＝∴OC ＝FC2－OC2＝OF中，Rt△FOC 在．(cm)158＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2582－⎝ ⎛⎭⎪⎫522 cm.154＝2OF ＝∴EFcm.154的长为EF 即折痕 3．证明：(1)由折叠可知，∠FBD ＝∠CBD ，因为AD∥BC，所以∠FDB＝∠CBD，所以∠FBD＝∠FDB，所以BF ＝DF.(2)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ＝DC ，AD ＝BC ，由折叠可知DC ＝ED ＝AB ，BC ＝BE ＝AD ，又因为AE ＝AE ，所以△AEB≌△EAD，，而∠AFE)－(180°12＝∠AEB ，所以∠EAD ＝∠AEB 所以＝∠AEB ，所以∠BFD ＝∠AFE ，∠BFD)－(180°12＝∠DBE ∠DBE，所以AE∥BD .4．(1)证明：由折叠的性质可得：∠ENM＝∠DNM，即∠ENM＝∠ENA＋∠ANM，∠DNM＝∠DNC＋∠CNM，∵∠ENA＝∠DNC，∴∠ANM＝∠CNM，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC ，∴∠ANM ＝∠CMN ，∴∠CMN ＝∠CNM，∴CM＝CN.(2)解：过点N 作NH⊥BC 于点H ，则四边形NHCD是矩形，∴HC＝DN ，NH ＝DC ，∵△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，，3＝MC ND ＝12·MC·NH 12·DN·NH ＝S△CMN S△CDN ∴ ∴MC＝3ND ＝3HC ，∴MH＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x ，∴CM＝3x ＝CN.，x 22＝CN2－DN2＝DC 中，Rt△CDN 在 ，x 22＝∴NH ，x 32＝MH2＋HN2＝MN 中，Rt△MNH 在 .32＝23x x＝MN DN ∴ 解码专训五1．解：猜想：AE ＝CF ，AE∥CF .证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD ，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE 和△CDF 中，∵AB＝CD ，∠ABE＝∠CDF，BE ＝DF ，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF ，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF.2．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB、∠AEF＝∠CFE.∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ，∴OA＝OC ，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF ，∴四边形AFCE 为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE 为菱形．设菱形的边AF ＝CF ＝x cm ，则BF ＝(8－x)cm ，(第2题)在Rt△ABF 中，AB ＝4 cm ，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x ＝5，∴AF＝5 cm.(2)解：显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，如图，当以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC ＝QA.∵点P 的速度为每秒5 cm ，点Q 的速度为每秒4 cm ，运动时间为t 秒，，43＝t ，解得4t －12＝∴5t ，4t －12＝QA ，5t ＝∴PC ∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形.43＝t 时，3．证明：(1)连结AC.∵在菱形ABCD 中，∠B＝60°，∴AB＝BC ＝CD ，∠BCD＝180°－∠B＝120°，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°，∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°，∴∠FEC＝∠CFE，∴EC＝CF.∴BE＝DF.(2)连结AC.由(1)知△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC ，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF ，∴△AEF 是等边三角形．(第4题)4．(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD.∵AE＝BF ＝CG ＝DH ，∴BE＝CF ＝DG ＝AH ，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝EF ＝FG ＝GH ，∠1＝∠2.∴四边形EFGH 为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠HEF＝90°.∵四边形EFGH 为菱形，∴四边形EFGH 为正方形．(2)解：直线EG 必经过一定点．理由如下：如图，连结BD 、EG ，BD 与EG 交于O 点，连结ED ，BG.∵BE 綊DG ，∴四边形BGDE 为平行四边形，∴BD、EG 互相平分，易知O 为正方形中心，∴EG 必过正方形中心O.解码专训六(第1题)1．解：如图，取AB 的中点E ，连结OE 、DE 、OD ，，1＝AE ，1＝AB 12＝OE 则 ＋OE ＝OD 三点共线时，O ，E ，D ，当2＝DE 所以 1.＋2长的最大值是OD ，所以DE ＋OD<OE ，否则DE 点拨：在这个问题中，关键是运用三角形三边的不等关系确定点D 到点O 的距离何时最大，具体做法是取AB 的中点E ，连结OE 、DE 、OD 后，通过分情况讨论得出OD≤OE＋DE ，所以OD 的最大值等于OE ＋DE.(第2题)2．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－120°＝60°.如图，作点P 关于直线BD 的对称点P′，连结P′Q，P′C，则P′Q 的长即为PK ＋QK 的最小值，当P′Q⊥AB 时，P′Q 最短．假设点Q 与点C 重合，CP′⊥AB，此时CP′的长即为PK ＋QK 的最小值．连结AC.∵BC＝AB ＝2，∠ABC＝60°，∴△ABC 为等边三角形．，1＝AB 12＝AP′＝∴BP′，∵CP′⊥AB .3＝BC2－BP′2＝∴CP′ .3的最小值为QK ＋PK 即 53. 4．(1)证明：∵△ABE 是等边三角形，∴BA＝BE ，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠MBA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB；(2)解：①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小；②连结CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小．理由如下：由(1)知△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形，∴BM＝MN，∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM，根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短．∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长．解码专训七1．B点拨：设每块长方形地砖的长为x cm，宽为y解之得⎩⎨⎧x ＋y ＝40，x －3y ＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝40，2x ＝x ＋3y ，，由题意可得cm ⎩⎨⎧x＝30，y ＝10， 所以每块长方形地砖的面积是300 cm2.故选B.2．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝8cm ，∴BC＝AD ＝8 cm.∵S 平行四边形ABCD ＝BC·AE＝CD·AF，∴8×3＝4CD ，∴CD＝6 cm.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC ，AB ＝CD.∵平行四边形的周长为36 cm ，∴BC＋CD ＝18 cm ，由平行四边形的面积公式得：4BC ＝5CD ，则平行∴，8 cm ＝CD ，10 cm ＝BC 解得：⎩⎨⎧BC ＋CD ＝18，4BC ＝5CD ，四边形ABCD 的面积是4×10＝40(cm2)．3．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，OD＝OB ，∴∠PDO ＝∠QBO.在△POD 与△QOB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PDO＝∠QBO ，OD＝OB ，∠POD ＝∠QOB ， ∴△POD≌△QOB，∴OP＝OQ ，∴四边形PBQD 为平行四边形；(2)解：能．点P 从点A 出发运动t s 时，AP ＝t cm ，PD ＝(4－t) cm.当四边形PBQD 是菱形时，PB ＝PD ＝(4－t) cm.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAP＝90°.在直角三角形ABP 中，AB ＝3 cm ，AP2＋AB2＝PB2，即t2＋32＝(4－t)2，解能PBQD 时，四边形s 78运动的时间为P 当点∴，78＝t 得：够成为菱形．4．解：延长ED ，BC 交于点N ，延长EF ，BA 交于点M.∵∠EDC＝∠BCD＝120°，∴∠NDC＝∠NCD＝60°，∴∠N ＝60°.同理，∠MFA ＝∠MAF ＝60°，∴∠M ＝60°，∴△DC N 、△FMA 均为等边三角形，∵∠E＋∠N＝180°，∠E ＋∠M＝180°，∴EM∥BN，EN∥MB，∴四边形EMBN 是平行四边形，∴BN＝EM ，MB ＝EN.∵CD＝2 cm ，BC ＝8 cm ，AB ＝8 cm ，AF ＝5 cm ，∴CN＝DN ＝2 cm ，AM ＝FM ＝5 cm ，∴BN＝EM ＝8＋2＝10(cm)，MB ＝EN ＝8＋5＝13(cm)，∴EF＋FA ＋AB ＋BC ＋CD ＋DE ＝EF ＋FM ＋AB ＋BC ＋DN ＋DE ＝EM ＋AB ＋BC ＋EN ＝10＋8＋8＋13＝39(cm)，∴此六边形的周长为39 cm.5．解：当等边三角形ADE 在正方形ABCD 外部时，如图①所示．∵AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠AEB＝(180°－150°)÷2＝15°.同理，∠DEC＝15°，∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；当等边三角形ADE在正方形ABCD内部时，如图②所示．∵AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝(180°－30°)÷2＝75°.同理∠DEC＝75°，∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.(第5题)(第6题)6．解：易知OD＝5.当OP＝OD时，OP＝5，CO＝4，易得CP＝3，所以P(3，4)．当OD＝PD时(如图所示)，有两种情况．①过P0作P0M⊥OD于M，在Rt△P0MD中，P0D＝5，P0M＝4，易知MD＝3，所以OM＝OD－MD＝5－3＝2，从而可知CP0＝2，所以P0(2，4)；②过P1作P1M1⊥OA于M1，在Rt△P1M1D中，P1D＝5，P1M1＝4，易知M1D＝3，所以OM1＝OD＋M1D＝5＋3＝8，从而CP1＝8，所以P1(8，4)．当OP＝PD时，易知OP≠5，不符合题意．综上，满足题意的点P的坐标为(3，4)，(2，4)，(8，4)．点拨：本题运用了分类讨论思想．根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．。

第五章特殊平行四边形难题综合训练1、正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC 的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）A．10 B．12 C．14D．162、如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形的边长为 .第1题第2题第3题第4题3、如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是 平方单位． 4、如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A =60°.顺次连结菱形 ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形 A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…….则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是 ；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 .5、如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE =1，AG =4，则AB 的长为 .6、如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ）A ．2B ．3C ．22D ．32第5题 第6题 第7题 第8题7、如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A、（2-）C、,2,2-）B、（2（3,3-） D、（2,2--）8、如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③S△FGC=9/10．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③9、如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF=20A；（4）AE2+CF2=20P•OB．正确的结论有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．410、如图，在矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为 . 11、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N ．(1)如图11－1，当点M 在AB 边上时，连接BN ．求证：ABN ADN △≌△；(2)如图11－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）．试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形．12、如图所示，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE DG ，． (1）求证：BE DG ．(2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．C M ND （图11CB MAND （图11-1）13、请阅读，完成证明和填空． 数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：(1）如图13-1，正三角形ABC 中，在AB AC 、边上分别取点M N 、，使BM AN =，连接BN CM 、，发现BN CM =，且60NOC ∠=°．请证明：60NOC ∠=°．(2）如图13-2，正方形ABCD 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使AM BN =，连接AN DM 、，那么AN = ，且DON ∠= 度．(3）如图13-3，正五边形ABCDE 中，在AB BC、边上分别取点M N 、，使AM BN =，连接AN EM 、，那么AN = ，且EON ∠= 度．(4）在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ．ED AB CA A AB B BC C C DD O O O M M MN N NE 图13-1 图13-2 图13-3 …14、ABC △是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE △是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ．(1）如图（a ）所示，当点D 在线段BC 上时．①求证：AEB ADC △≌△；②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由；(2）如图（b ）所示，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？(3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形？并说明理由．15、如图，ABC △中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ． (1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；(2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；(3）当点O 运动到何处，且ABC △满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？A G C DB F E 图AC B F E 图A F N M E16、如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．(1）求ABC △(2）求矩形17、在ABC △中，AB =ABC △绕点B 顺时针旋转角A B 11，交AC 于点E ，11A C 分别交AC BC 、于D F 、两点．(1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2）如图2，当α30=°时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由18、在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．过点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ．(1）求BDE △的周长；(2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP DQ =．A D BECF1A1CA D BE 1A19、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．(1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；(2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．(3）若m = tn （t ＞1）时，试探究点E 在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE 成立？并求出点E 的坐标．20、如图，将正方形沿图中虚线（其中x ＜y ）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰． 能拼成一个．．．．．矩形（非正方形）． (1）画出拼成的矩形的简图；(2）求x y的值． A QDEB PC O x O E B A yC F x O E B A y C Fx O E B Ay C F21、如图所示，在矩形ABCD 中，1220AB AC ==，，两条对角线相交于点O ．以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形1OBB C ；对角线相交于点1A ；再以11A B 、1A C 为邻边作第2个平行四边形111A B C C ，对角线相交于点1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平行四边形1121O B B C ……依次类推．(1）求矩形ABCD 的面积；(2）求第1个平行四边形11OBB C 、第2个平行四边形111A B C C 和第6个平行四边形的面积．22、如图（22），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）．(1）求A B 、两点的坐标；(2）用含t 的代数式表示MON △的面积1S ；A 1A 2B 2C 2 C 1 B 1 O 1 DAB C O(3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记MPN △和OAB △重合部分的面积为2S ，①当2t <≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △面积的516？ 23、如图15，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论．24、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：O M A P Ny lmxB O M A P N y l m x B E P F 图22(1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．25、如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于E ，BF DE ∥，交AG 于F ．求证：AF BF EF =+．参考答案1、D2、1043、5或94、20 10052355+5、156、C7、A8、B9、C 10、5811、（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形∴AB = A D F C G E B图1 A D F C G E B 图2 A DF CG E B 图3 BAE F GAD，∠1 =∠2又∵AN = AN∴△ABN ≌ △ADN (2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形此时，∠CAD=45°．下面分三种情形：Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．此时，点M恰好与点B重合，得x=6；Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．此时，点M恰好与点C重合，得x=12；Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2，由AD∥BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3，∴∠3=∠4，从而CM=CN，易求AC=62，∴CM=CN=AC－AN=62－6，故x = 12－CM=12－（62－6）=18－62综上所述：当x = 6或12 或18－62时，△ADN 是等腰三角形12、（1）因为ABCD是正方形，所以BC=CD。

平行四边形、菱形、矩形、正方形测试题一、二、选择题(每题3分，共30分)。

1．平行四边形ABCD中，∠A=50°，则∠D=（）A. 40°B. 50°C. 130°D. 不能确定2．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A. 一组对边相等B. 对角线互相平分C. 一组对角相等D. 对角线互相垂直3．在平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，若AB=4，BC=7，OE=3，则四边形EFCD周长是（）A．14 B. 11 C. 10 D. 174．菱形具有的性质而矩形不一定有的是( )A．对角相等且互补B．对角线互相平分C．一组对边平行另一组相等D．对角线互相垂直5．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，32cm6．如图在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则以下说法错误的是( )A．AB=21ADB．AC=BDC． 90===∠=∠CDABCDABCDABD．AO=OC=BO=OD7．如图5连结正方形各边上的中点，得到的新四边形是( )A．矩形 B.正方形 C.菱形 D.平行四边形8. 一矩形两对角线之间的夹角有一个是600, 且这角所对的边长5cm,则对角线长为( )A. 5 cmB. 10cmC. 52cmD. 无法确定9. 当矩形的对角线互相垂直时, 矩形变成( )A. 菱形B. 等腰梯形C. 正方形D. 无法确定.10.如图所示，在ABCD中，E、F分别AB、CD的中点，连结DE、EF、BF，则图中平行四边形共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个三、填空题（每题3分，共24分）11．□ABCD中, AB：BC=1：2，周长为24cm, 则图5FA BD CEAB=_____cm,AD=_____cm.12．已知：四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加__________，（只需填一个你认为正确的条件即可）你判断的理由是：_____________________________。

八年级数学《特殊平行四边形》综合练习题欧阳歌谷（2021.02.01）一，选择题（39分）1：在下列命题中，正确的是（）A ．一组对边平行的四边形是平行四边形B ．有一个角是直角的四边形是矩形C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（）。

A ．4 B ．3 C ．2 D ．13：如图，在菱形中，对角线相交于点为的中点，且，则菱形的周长为（）A ．B ．C ．D ．5.对角线互相垂直平分的四边形是（ ） A ．平行四边形、菱形 B ．矩形、菱形C ．矩形、正方形D ．菱形、正方形6.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形ABODB OA7.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB=BC 时，它是菱形B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC=900时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正方形8.如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（ ） A ．四边形是平行四边形B ．如果，那么四边形是矩形C ．如果平分，那么四边形是菱形D ．如果且，那么四边形是菱形9.如图，四边形为矩形纸片．把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为．若，则等于（ ） A ．B ．C ．D ．10.如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点，过点作的垂线，分别交于点，连结，则的周长为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm 11.如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于，若，则在不添加任何辅助线的情况下，图中的角（虚线也视为角的边）有（）D C B AＡＦＣＤＢＥＢＦＣＥ ＤＡA ．6个B ．5个 C ．4个D ．3个12.如图，正方形的面积为1，是的中点，则图中阴影部分的面积是（） A ．B ．C ．D ．13.已知为矩形的对角线，则图中与一定不相等的是（）A ．B ．C ．D 二，填空题（27分）14若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为15.如图，在矩形中，对角线交于点，已知，则的长为．16.边长为５cm 的菱形，一条对角线长是6cm ，则另一条对角线的长是.17.如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可）．18如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP度数是．19.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_______ABCDABCDADCBOBCDAPA H DE GDA MBA1 C 21 12 B AD C BAC 12D 12BADC20.（如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米. 21如图，已知，点在边上，四边形是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出的平分线（请保留画图痕迹）．22.如图：矩形纸片ABCD ，AB=2，点E 在BC 上，且AE=EC ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是． 三，解答题23：已知：如图，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接并延长交于．（10分）（1）求证：； （2）将绕点顺时针旋转得到，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由．24.如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与的延长线分别交于．（10分）（1）求证：；（2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形ABCDEABCDEFG是菱形？证明你的结论． 25如图，四边形中，，平分，交于．（1）求证：四边形是菱形；（10分）（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由．26如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平 分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（12分） （1）求证：EO=FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．27，正方形ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B ，直角顶点P 在射线AC 上移动，另一边交DC 于Q．（1）如图1，当点Q 在DC 边上时，猜想并写出PB 与PQ 所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q 落在DC 的延长线上时，猜想并写出PB 与ABCE F M NO (16)PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．（12分）。

第一章特殊平行四边形基础卷时间：80分钟满分：l00分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。

每小题有四个选项，其中只有一个选项符合题意）1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法不正确的是（）A.AB//DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OB（第1题）（第2题）2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，若OE=3，则菱形ABCD的周长为（）A.10B.12C.16D.243.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为边BC上一点，且BP=OB，则∠COP=（）A.15°B.22.5°C.25°D.17.5。

（第3题）（第4题）4.如图，在矩形ACBE中，∠ABC=30°，AB交CE于点D，若AC=2，则CD 的长为（）A.2B.3C.4D.55.如图，EF过矩形ABCD的对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）A.15B.14C.13D.310（第5题）（第6题）6.如图，已知口ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（）A.当OA=OB时，口ABCD为菱形B.当AB=AD时，口ABCD为正方形C.当∠ABC=∠BCD时，口ABCD为矩形D.当AC⊥BD时，口ABCD为正方形7.如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=4，点E，F分别为AD和BC的中点，连接CE，DF，交于点O，连接AO，则AO的长为（）√10 D.4√2A.2√10B.5√2C.32（第7题）（第8题）8.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD应满足的一个条件是（）A.AD=BCB.AC⊥BDC.AC=BDD.AB=CD9.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB'C'D'，边B'C'与DC相交于点O，则OC的长是（）A.2√2-2B.2+√2C.2-√2D.√210.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B’处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A.12B.24C.12√3D.16√3二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）。

第一章 特殊平行四边形单元测试时间：2021.03.09创作：欧阳法一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若AB ＝8，则CD 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．32．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠OAD ＝40°，则∠COD ＝( )A ．20°B ．40°C ．80°D ．100° 3．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列说法错误的是( )A ．AB ∥DC B ．AC ＝BD C ．AC ⊥BDD ．OA ＝OC4．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如果要证明ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的基础上，进一步证明( ) A ．AB ＝AD 且AC ⊥BD B ．AB ＝AD 且AC ＝BDC ．∠A ＝∠B 且AC ＝BD D ．AC 和BD 互相垂直平分6．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )A ．10B ．8C ．6D ．57．在正方形ABCD 中，AB ＝12，对角线AC ，BD 相交于点O ，则△ABO 的周长是( )A ．12＋12 2B ．2＋6 2C ．12＋ 2D ．24＋628．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点第1题图第2题图 第3题图第4题图第7题图第8题图O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为( )A．16a B．12a C．8a D．4a9．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是( )A．8 B．4 2 C．8 2 D．16 10．下列命题中，错误的是( )A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60°D．∠ACB＝60°12．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE 沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝( )A．40° B．35° C．20° D．15°13．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )A．75° B．60° C．55° D．45°14．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( )A. 2 B．2 C. 6 D．2215．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A．AB＝BE B．DE⊥DC第11题图第12题图第13题图第14题图第15题图C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE二、填空题16．如图，菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为________．17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为________度．18．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明ABCD是矩形的有________(填写序号)．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是________________．20．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．三、解答题21．如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？22．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＋∠ADC＝180°，AC与BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形．23．如图，已知正方形ABCD，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，求正方形的边长．24.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E. (1)求∠ABD的度数； (2)求线段BE的长．25．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；第16题图第17题图第18题图第19题图(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．26．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，求线段AB的最小值．27．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD∶AB＝________时，四边形MENF是正方形．参考答案1.C2.C3.B4.A5.B6.D7.A8.C9.A 10.C11.B 12.C 13.B 14.A 15.B16.2 17.60 18.①④19.AC＝BD或AB⊥BC20.22.521.∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形的周长和为86 cm，且AC＝BD＝13 cm，∴AB＋BC＋CD＋DA＝86－2(AC＋BD)＝86－4×13＝34(cm)，即矩形ABCD的周长是34 cm.22.证明：∵∠BAD＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD.又∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO. ∴2AO＝2BO，即AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形．223.设正方形的边长为x，∵AC为正方形ABCD的对角线，∴AC＝2x. ∴S菱形AEFC＝AE·CB＝2x·x＝2x2. ∴2x2＝92. ∴x2＝9.∴x＝± 3.舍去x＝－ 3. ∴正方形边长为3.24.(1)在菱形ABCD中，AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形．∴∠ABD＝60°.(2)由(1)可知BD＝AB＝4，又∵O为BD的中点，∴OB＝2.又∵OE⊥AB，∠ABD＝60°，∴∠BOE＝30°.∴BE＝12OB＝1.25.(1)由图可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等．(2)选择∠AFB＝∠AED，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD.在Rt△BAF和Rt△ADE中，⎩⎪⎨⎪⎧BA＝AD，AF＝DE，∴Rt△BAF≌Rt△A DE(HL)．∴∠AFB＝∠AED.26.∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD.∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°. ∴∠AOC＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠BOD＝90°. ∴∠AOC＝∠BOD.∵在△COA和△DOB中，⎩⎨⎧∠OCA＝∠ODB，OC＝OD，∠AOC＝∠BOD ，∴△COA≌△DOB. ∴OA＝OB.∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形．由勾股定理得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ， 要使AB 最小，只要OA 取最小值即可， 根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小， ∵四边形CDEF 是正方形， ∴FC⊥CD ，OD＝OF＝OC. ∴CA ＝DA.∴OA＝12CF＝ 1. ∴AB＝2.∴AB 的最小值为 2.27.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠D ＝90°. 又∵M是AD的中点，∴AM ＝DM.在△ABM 和△DCM 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠D ，AM ＝DM ，∴△ABM ≌△DCM(SAS)． （2）四边形MENF 是菱形．证明：∵E ，F ，N 分别是BM ，CM ，CB 的中点， ∴NE∥MF，NE＝MF.∴四边形MENF 是平行四边形． 由(1)，得BM＝CM， ∴ME＝MF.∴四边形MENF 是菱形．（3）当AD ∶AB ＝2∶1时，四边形MENF 是正方形．理由： ∵M为AD中点，∴AD ＝2AM. ∵AD∶AB＝2∶1，∴AM ＝AB. ∵∠A＝90°，∴∠ABM ＝∠AMB ＝45°. 同理：∠DMC＝45°.∴∠EMF ＝180°－45°－45°＝90°.∵四边形MENF是菱形，∴四边形MENF是正方形．故答案为2∶1.。

第18章平行四边形专项训练时间：2021.03.04 创作：欧阳地专训1：平行四边形的性质1、(2014宁夏)在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，AB′和CD相交于点O．求证：OA＝OC．2、(2015·南通中考)如图，在ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD.(1)求证：△AED≌△CFB.(2)若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF.专训1.判定平行四边形的五种常用方法名师点金：判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程．1．如图，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M 点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形．2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．求证：四边形ADEF是平行四边形．3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF 平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．5．如图①，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)如图②，若EF ∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．6、（2015遂宁）如图，平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：（1）AE=CF；（2）四边形AECF是平行四边形．7、如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由（1）四边形ADEF是什么四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在8、如图，在□ABCD中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且满足BE＝DF，CG＝AH，连接EF，GH．求证：EF与GH互相平分专训2.构造中位线的方法名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．连接两点构造三角形的中位线1、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，那么四边形GEHF是平行四边形，为什么？2、如图，四边形ABCD中，E、F、M、N分别为AB、CD、BD、AC的中点，求证：四边形EMFN为平行四边形．3、已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH （即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是______，证明你的结论；（2）当四边形ABCD的对角线满足______条件时，四边形EFGH是矩形；（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？______．4、如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC 同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．5、（2015广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．利用角平分线＋垂直构造中位线6．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．7．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．倍长法构造三角形的中位线8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝12CF已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线9.已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN=∠F．10．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE＝2MN.已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD 的中点，延长BP 交AC 于点N ，求证：AN ＝13AC. 答案专训11．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，DE ＝BF ，∴DE 綊BF.∴四边形BFDE 为平行四边形．∴BE ∥DF.同理，AF ∥CE.∴四边形FMEN 为平行四边形．2．证明：∵△ABD ，△BCE ，△ACF 都是等边三角形，∴BA ＝BD ，BC ＝BE ，∠DBA ＝∠EBC ＝60°.∴∠EBC －∠EBA ＝∠DBA －∠EBA ，∴∠ABC ＝∠DBE.∴△ABC ≌△DBE.∴AF ＝AC ＝DE.同理，可证△ABC ≌△FEC ，∴AD ＝AB ＝EF.∴四边形ADEF 是平行四边形．3．证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF.∵BE ∥DF ，∴∠BEF ＝∠DFE.∴∠AEB ＝∠CFD.在△AEB 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD ，∴△AEB ≌△CFD ，∴AB ＝CD.又∵AB ∥CD ，∴四边ABCD 是平行四形．4．解：四边形BFDE 是平行四边形．理由：在▱ABCD 中，∠ABC ＝∠CDA ，∠A ＝∠C.∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ，∠CDF ＝∠ADF ＝12∠ADC.∴∠ABE ＝∠CBE ＝∠CDF ＝∠ADF.∵∠DFB ＝∠C ＋∠CDF ，∠BED ＝∠ABE ＋∠A ，∴∠DFB ＝∠BED.∴四边形BFDE 是平行四边形．5．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA ＝OC ，∴∠EAO ＝∠FCO.在△OAE 与△OCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF ，∴OE ＝OF.同理OG ＝OH ，∴四边形EGFH 是平行四边形．(2)解：与四边形AGHD 面积相等的平行四边形有▱GBCH ，▱ABFE ，▱EFCD ，▱EGFH.专训21．(1)证明：如图，连接CD ，AE.由三角形中位线定理可得PM 綊12CD ，PN 綊12AE.∵△ABD 和△BCE 是等边三角形，∴AB ＝DB ，BE ＝BC ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC.∴△ABE ≌△DBC ，∴AE ＝DC.∴PM ＝PN.(2)解：如图，设PM 交AE 于F ，PN 交CD 于G ，AE 交CD 于H.由(1)知△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC.∴∠AHD ＝∠ABD ＝60°，∴∠FHG ＝120°.易证四边形PFHG 为平行四边形，∴∠MPN ＝120°.2．解：如图，延长BD ，CA 交于N.在△AND 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NAD ＝∠BAD ，AD ＝AD ，∠ADN ＝∠ADB ＝90°，∴△AND ≌△ABD(ASA )．∴DN ＝DB ，AN ＝AB.∴DM ＝12NC ＝12(AN ＋AC)＝12(AB ＋AC)＝15.3．解：如图，延长BD 交AC 于点F ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD.∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠ADF ，又∵AD ＝AD ，∴△ADB ≌△ADF(ASA )．∴AF ＝AB ＝6，BD ＝FD.∵AC ＝10，∴CF ＝AC －AF ＝10－6＝4.∵E 为BC 的中点，∴DE 是△BCF 的中位线．∴DE ＝12CF ＝12×4＝2. 4．证明：如图，延长FE 至N ，使EN ＝EF ，连接BN ，AN.易得ME ＝12AN. ∵EF ＝EN ，∠BEF ＝90°，∴BE 垂直平分FN.∴BF ＝BN.∴∠BNF ＝∠BFN.∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF ＝90°，∴∠BFN ＝45°.∴∠BNF ＝45°，∴∠FBN ＝90°，即∠FBA ＋∠ABN ＝90°.又∵∠FBA ＋∠CBF ＝90°，∴∠CBF ＝∠ABN.在△BCF 和△BAN 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BN ，∠CBF ＝∠ABN ，BC ＝BA ，∴△BCF≌△BAN.∴CF＝AN.∴ME＝12AN＝12CF.5．解：如图，取BD的中点P，连接PM，PN.∵M是AD的中点，P是BD的中点，∴PM是△ABD的中位线，∴PM＝12AB＝5.同理可得PN＝12CD＝4.在△PMN中，∵PM－PN<MN<PM＋PN，∴1<MN<9.6．证明：如图，取AB的中点H，连接MH，NH，则MH＝12BF，NH＝12AE.∵CE＝CF，CA＝CB，∴AE＝BF.∴MH＝NH.∵点M，H，N分别为AF，AB，BE的中点，∴MH∥BF，NH∥AE.∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°.∴NH＝22MN.∴AE＝2NH＝2×22MN＝2MN.7．证明：如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．又∵H为NC的中点，∴DH∥BN.又∵PD∥EH，∴四边形PDHE是平行四边形．∴HE＝PD.又∵P为AD的中点，∴AP＝PD.∴AP＝EH，易证△APN≌△HEN，∴AN＝NH.∴AN＝NH＝HC，∴AN＝13 AC.。

练习1欧阳学文一、选择题（3′×10=30′）1．下列性质中，平行四边形具有而非平行四边形不具有的是（）．A．内角和为360° B．外角和为360° C．不确定性D．对角相等2．ABCD中，∠A=55°，则∠B、∠C的度数分别是（）．A．135°，55° B．55°，135° C．125°，55° D．55°，125°3．下列正确结论的个数是（）．①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．A．1 B．2 C．3 D．44．平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（）．A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm5．在ABCD中，AB+BC=11cm，∠B=30°，S ABCD=15cm2，则AB与BC的值可能是（）．A．5cm和6cm B．4cm和7cm C．3cm和8cm D．2cm和9cm6．在下列定理中，没有逆定理的是（）．A．有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;B．直角三角形两个锐角互余;C．全等三角形对应角相等;D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等.7．下列说法中正确的是（）．A．每个命题都有逆命题B．每个定理都有逆定理C．真命题的逆命题是真命题D．假命题的逆命题是假命题8．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（）．A．1：2：1 B．1：2：1 C．1：4：1 D．12：1：29．一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（）个．A．2 B．3 C．4D．510．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=•14，•AC=19，则MN的长为（）．A．2 B．2.5 C．3 D．3.5二、填空题（3′×10=30′）11．用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的比为3：4，短边的比为________，长边的比为________．12．已知平行四边形的周长为20cm，一条对角线把它分成两个三角形，•周长都是18cm，则这条对角线长是_________cm．13．在ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB 上的垂足为E，•若ABCD•的周长为38cm，△ABD的周长比ABCD的周长少10cm，则ABCD的一组邻边长分别为______．14．在ABCD中，E是BC边上一点，且AB=BE，又AE 的延长线交DC的延长线于点F．若∠F=65°，则ABCD 的各内角度数分别为_________．15．平行四边形两邻边的长分别为20cm，16cm，两条长边的距离是8cm，•则两条短边的距离是_____cm．16．如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的______和_______，•那么这两个命题是互为逆命题．17．命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是_________．18．在直角三角形中，已知两边的长分别是4和3，则第三边的长是________．19．直角三角形两直角边的长分别为8和10，则斜边上的高为________，斜边被高分成两部分的长分别是__________．20．△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，且a+b+•c•是3•的倍数，•则c•应为________，此三角形为________三角形．三、解答题（6′×10=60′）21．如右图所示，在ABCD中，BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，若∠A=60°，AF=3cm，CE=2cm，求ABCD的周长．22．如图所示，在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF．23．如图所示，ABCD的周长是103+62，AB的长是53，DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB•的延长线于点F，DE的长是3，求（1）∠C的大小；（2）DF的长．24．如图所示，ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、 ∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：•推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．25．已知△ABC的三边分别为a，b，c，a=n2-16，b=8n，c=n2+16（n>4）.求证：∠C=90°．26．如图所示，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABE中，DE⊥AB于D，DE=12，S△ABE=60，•求∠C的度数．27．已知三角形三条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，•求三条中位线的长．28．如图所示，已知AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：∠1=∠2．29．如图所示，△ABC的顶点A在直线MN上，△ABC绕点A旋转，BE⊥MN于E， CD ⊥MN于D，F为BC 中点，当MN经过△ABC的内部时，求证：（1）FE=FD；（2）当△ABC继续旋转，•使MN不经过△ABC内部时，其他条件不变，上述结论是否成立呢？30．如图所示，E是ABCD的边AB延长线上一点，DE交BC于F，求证：S△ABF =S△EFC．答案:一、1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C二、11．3cm4cm 12．8 13．9cm 和10cm 14．50°，130°，50°，130°15．10 16．结论 题设 17．同旁内角互补，两直线平行18．5或7 19．40325041,41,41414141 20．13 直角三、21．ABCD 的周长为20cm 22．略23．（1）∠C=45° （2）DF=562 24．略25．•略 26．∠C=90° 27．三条中位线的长为：12cm ；20cm ；24cm28．提示：连结BD ，取BD•的中点G ，连结MG ，NG29．（1）略 （2）结论仍成立．提示：过F 作FG⊥MN 于G 30．略练习2一、填空题(每空2分,共28分)1.已知在ABCD 中,AB=14cm ,BC=16cm ,则此平行四边形的周长为cm .2.要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是形,再说明(只需填写一种方法) 3.如图,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O.A B CDO那么图中共有个等腰直角三角形.4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.(1)正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成; (第3题)(2)菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成;(3)矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成.5.矩形的两条对角线的夹角为 60,较短的边长为12cm ,则对角线长为cm .6.若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形,那么这个梯形中除两个直角外,其余两个内角的度数分别为和 .7.平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为cm .8.根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为m .题) (第 A B CDO l10题)9.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12cm 和6cm,那么这个平行四边形的面积为2cm.10.如图,l是四边形ABCD的对称轴,如果AD∥BC,有下列结论: (1)AB∥CD;(2)AB=CD;(3)AB BC;(4)AO=OC.其中正确的结论是.(把你认为正确的结论的序号都填上)二、选择题(每题3分,共24分)11.如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是（）A、三角形B、四边形C、五边形D、六边形12.下列说法中,错误的是( )A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 平行四边形的对角相等D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形13.给出四个特征(1)两条对角线相等;(2)任一组对角互补;(3)任一组邻角互补;(4)是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个14.四边形ABCD 中，AD//BC ，那么的值可能是（）A 、3：5：6：4B 、3：4：5：6C 、4：5：6：3D 、6：5：3：415.如图,直线a ∥b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b上移动,那么在移动过程中ABC 的面积 ( )A.变大B.变小C.不变D.无法确定(第15题) (第16题) (第17题)16.如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F A B C D E FA B C a b点处,如果 60=∠等于∠BAF,则DAE( )A. 15B. 30C. 45D. 6017.如图,在ABC∆中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC 于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是( )A.5B.10C.15D.2018.已知四边形ABCD中,AC交BD于点O,如果只给条件“AB∥CD”,那么还不能判定四形ABCD为平行四边形,给出以下四种说法:(1)如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;(2)如果再加上条件“BCDBAD∠∠”,那么四边形ABCD一定是=平行四边形;(3)如果再加上条件“AO=OC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;(4)如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形其中正确的说法是( )A.(1)(2)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)D.(2)(3)(4)(第19题8分,第20~23题每题10分,共48分)19.如图, 中,DB=CD, 70=∠C ,AE⊥BD 于E.试求DAE ∠的度数.(第19题)20. 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E,AF=CG, 100=∠DGE .(1)试说明DF=BG; (2)试求AFD ∠的度数.(第20题) 21.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH;(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是:A B C D EA B C D F E G;(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是:.(图①) (图②) (图③)(图④)(第21题)22.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由. (第22题)答案1.60.2.平行四边形;有一组邻边相等.3.8. 提示:它们是.,,,,,,,ACD BCD ABC ABD AOD COD BOC AOB ∆∆∆∆∆∆∆∆A B CD4.(1)等腰直角三角形; (2)等腰三角形; (3)直角三角形.5.24.6. 135; 45.7.3.8.4. 提示:如图所示,进行平移后可得到一个边长为1形,所以它的周长为4m .(第8题)9. 36. 提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半.10. (1)(2)(4). 提示:四边形ABCD 是菱形.11.B. 12.D. 13.C. 14.C.15.C. 提示:因为ABC ∆的底边BC 的长不变,BC 边上的高等于直线b a ,之间的距离也不变,所以ABC ∆的面积不变.16.A. 提示:由于()BAF DAE FAE DAE FAE ∠-=∠=∠∠∠ 9021,所以通过折叠后得到的是由.17.B. 提示:先说明DF=BF,DE=CE,所以四边形AFDE 的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC.18.C.19.因为BD=CD,所以,C DBC ∠=∠又因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AD∥BC,所以,DBC D ∠=∠因为 20709090,,=-=∠-=∠∆⊥D DAE AED BD AE 中所以在直角.20.(1)因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB=DC,又AF=CG,所以AB －AF=DC －CG,即GD=BF,又 DG∥BF,所以四边形DFBG 是平行四边形,所以DF=BG;(2)因为四边形DFBG 是平行四边形,所以DF∥GB,所以AFD GBF ∠=∠,同理可得DGE GBF ∠=∠,所以 100=∠=∠DGE AFD .21.(1)平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(2)矩,有一个是直角的平行四边形是矩形.22.如图所示,连结对角线AC 、BD,过A 、B 、C 、D 分别作BD 、AC 、BD 、AC 的平行线,且这些平行线两两相交于E 、F 、G 、H,四边形EFGH 即为符合条件的平行四边形.练习3 1、把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．A B C DEF G H DCA B GHF2、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．（1）求证：AE=CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论． 挑战自我：1、 (2010年眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60° C．45° D．30°2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（ ）A ．9B ．8C ．6D ．44、（2010年福建福州中考）如图4，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB A B C DE F D ′的周长为。