南大量子力学考研真题

免费的南⼤历年《量⼦⼒学》的真题,真题南京⼤学1998年硕⼠研究⽣考试试题——量⼦⼒学专业: 理论物理、粒⼦物理与光学(⼀) 20分有半壁⽆限⾼势垒的⼀维阱 ()ax a x x V x V ><<∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在⼀个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中⾄少有⼀个束缚态的存在的充要条件是什么？（⼆）20分⼀个取向⽤⾓坐标θ和?确定的转⼦，作受碍转动，⽤下述哈密顿量描述：()?2cos ??22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2?L 是⾓动量平⽅算符，试⽤⼀级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。

（三）20分求在⼀维⽆限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒⼦的动量分布⼏率()2p n φ。

（四）20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成⽴，试写出正确的结果：（1）i j x i p jx i peee21-?+???=? ？式中i ?和j ?分别是x 和y ⽅向的单位⽮量。

（2）()[])(,?'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ??= ? ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=µ2??2 ，设()r n ?是归⼀化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p µ=（五）20分碱⾦属原⼦处在z ⽅向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H 1+= ，其中S L dr dV r c H ls??=12122µ ，()Z Z B S L c eB H 22+=µ ，当外磁场很弱时，那些⼒学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算⽐较简单，为什么？注： ()()()()?θπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=南京⼤学1999年硕⼠研究⽣考试试题——量⼦⼒学专业: 理论物理、粒⼦物理与光学(20分) ⼀、 t ＝0时，粒⼦的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的⼏率，并计算动量的平均值。

量子力学考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 量子力学中，粒子的波函数ψ(x,t)描述了粒子的哪种物理量？A. 粒子的位置B. 粒子的动量C. 粒子在空间的分布概率D. 粒子的能量答案：C2. 海森堡不确定性原理表明了哪两个物理量的不确定性之间存在关系？A. 位置和能量B. 动量和时间C. 动量和位置D. 时间和能量答案：C3. 在量子力学中，一个粒子的波函数在某个位置的概率密度是该波函数在该位置的什么？A. 绝对值的平方B. 对数C. 导数D. 积分答案：A4. 根据泡利不相容原理，一个原子中的两个电子不能具有完全相同的一组量子数，这些量子数包括哪些？A. 主量子数和磁量子数B. 主量子数、磁量子数和自旋量子数C. 所有四个量子数D. 主量子数和自旋量子数答案：B5. 薛定谔方程是一个描述什么的波动方程？A. 粒子的波动性质B. 粒子的运动轨迹C. 粒子的能量分布D. 粒子的动量分布答案：A6. 在量子力学中，一个系统的状态可以用哪种数学对象来描述？A. 矩阵B. 向量C. 张量D. 标量答案：B7. 量子力学中的隧穿效应是指什么？A. 粒子通过一个高于其能量的势垒B. 粒子在两个势垒之间振荡C. 粒子在势垒内部反射D. 粒子在势垒外部反射答案：A8. 在量子力学中，一个二能级系统在两个能级间跃迁时，必须吸收或发射一个具有特定能量的光子，这个能量差是由什么决定的？A. 两个能级的差B. 光子的频率C. 系统的总能量D. 系统的动量答案：A9. 量子纠缠是指两个或多个粒子之间的一种什么关系？A. 经典力学关系B. 量子力学关系C. 热力学关系D. 电磁相互作用答案：B10. 下列哪个原理说明了在量子力学中测量一个物理量会改变系统的状态？A. 海森堡不确定性原理B. 哥本哈根解释C. 德布罗意假说D. 薛定谔猫佯谬答案：B二、简答题（每题10分，共40分）11. 简述德布罗意假说的内容及其对量子力学发展的意义。

南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学 专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等一、有一质量为μ的粒子处于长度为a 的一维无限深势阱中()⎩⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 0,0;0,，在t=0时刻，粒子的状态由波函数()⎩⎨⎧<<-><=a x x a Ax a x x x 0),(;0,0ψ描述。

求： （20分） 1.归一化常数A; 2.粒子能量的平均值； 3.t=0时刻，粒子能量的几率分布； 4. 人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。

提示：96145,3,14π=∑⋅⋅⋅=n n二、考虑势能为()⎩⎨⎧<>=0,00,0x x V x V 的一维系统，其中0V 为正常数。

若一能量为E 的粒子从-∞=x 处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E 的所有可能值。

（20分）三、有一质量为μ的粒子，在一维谐振子势场()2221x x V μω=中运动。

在动能μ22p T =的非相对论极限下，基态能ω 210=E ，基态波函数为()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ24102exp x x μωπμω。

考虑T 与p 的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E ∆至21c 阶。

（c 为光速）（20分） 四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。

可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。

晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。

（20分） 提示：电子质量fm MeV c MeV mc ⋅≈=197,511.02 ，晶格常数01A a ≈ 五、考虑自旋 21=S 的系统， 1．求算符zy S B S A T ˆˆˆ+=的本征值和归一化本征波函数；（A 、B 为实常数） 2．若此时系统正处在T ˆ的某一个本征态上，求此时测量y S ˆ结果为⎪⎭⎫ ⎝⎛+2 的几率。

南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学
一、 一维自由粒子的状态由波函数()kx kx x cos 2
1sin 2+=ψ描述。

求粒子的动量平均值和动能平均值。

（20分）
二、 粒子被约束在半径为r 的圆周上运动
1）设立“路障”进一步限制粒子在00ϕϕ<<的一段圆弧上运动，即
()⎩⎨⎧<<∞<<=π
ϕϕϕϕϕ2,0,000V ，求解粒子的能量本征值和本征函数； 2）设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在最低能量态的几率是多少？
（20分） 提示：在柱坐标系下222222
11z u u u u ∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇ϕρρρρρ 三、 设算符ˆˆˆN a a +=且ˆˆ,1a a +⎡⎤=⎣⎦，
证明：如果ψ是N ˆ的本征函数，对应的本征值为λ，那么，波函数ψ=ψa ˆ1也是N ˆ的本征函数，对应的本征值为1-λ，而波函数ψ=ψ+a ˆ2
也是N ˆ的本征函数，对应的本征值为1+λ。

（20分）
四、 一个粒子在二维无限深势阱()⎩⎨⎧∞<<=elsewhere
a y x x V ,,0,0中运动，设加上微扰xy H λ=1 ()a y x <<,0，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20分）
五、 若电子处于z S ˆ的本征态，试证在此态中，y S ˆ取值为2
-或2 的几率各为21。

（20分）。

南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学 专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等一、有一质量为μ的粒子处于长度为a 的一维无限深势阱中()⎩⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 0,0;0,，在t=0时刻，粒子的状态由波函数()⎩⎨⎧<<-><=a x x a Ax a x x x 0),(;0,0ψ描述。

求： （20分） 1.归一化常数A; 2.粒子能量的平均值； 3.t=0时刻，粒子能量的几率分布； 4. 人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。

提示：96145,3,14π=∑⋅⋅⋅=n n二、考虑势能为()⎩⎨⎧<>=0,00,0x x V x V 的一维系统，其中0V 为正常数。

若一能量为E 的粒子从-∞=x 处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E 的所有可能值。

（20分）三、有一质量为μ的粒子，在一维谐振子势场()2221x x V μω=中运动。

在动能μ22p T =的非相对论极限下，基态能ω 210=E ，基态波函数为()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ24102exp x x μωπμω。

考虑T 与p 的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E ∆至21c 阶。

（c 为光速）（20分） 四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。

可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。

晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。

（20分） 提示：电子质量fm MeV c MeV mc ⋅≈=197,511.02 ，晶格常数01A a ≈ 五、考虑自旋 21=S 的系统， 1．求算符zy S B S A T ˆˆˆ+=的本征值和归一化本征波函数；（A 、B 为实常数） 2．若此时系统正处在T ˆ的某一个本征态上，求此时测量y S ˆ结果为⎪⎭⎫ ⎝⎛+2 的几率。