折叠问题-2020年中考数学

折叠问题一、选择题1.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A. 78°B. 7 5°C. 60°D. 45°2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使DA与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′G的长是A. 1B.C.D. 23.如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，E为AD边上一点，且AE= AB，连结BE，将△ABE沿BE翻折，若点A 恰好落在CE上点F处，则∠CBF的余弦值为（）A. B.C.D.4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，沿DE所在直线折叠，使点B恰好与点A重合，若CD=2，则AB的值为（）A. B.4 C.D. 8二、填空题6.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点N是线段BC上的一个动点，将△ACN沿AN折叠，使点C落在点C'处，当△NC'B是直角三角形时，CN的长为________．7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2 ，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号）8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2 ，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．9.如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=6，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点F为CD上一个动点，把△BCF沿BF折叠，当点D的对应点和点C的对应点都落在点D′处时，EF的长为________．10.矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=________ cm．11.如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________.12.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′的度数为________.13.已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为________14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为________．15.如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、，若，，，则________（结果保留根号）．三、综合题16.已知将一矩形纸片ABCD折叠，使顶点A与C重合，折痕为EF．（1）求证：CE=CF；（2）若AB =8 cm，BC=16 cm，连接AF，写出求四边形AFCE面积的思路．17.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为B′．点B′从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点B′停止移动，连接BB′．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点B′的移动距离为x，点F与点C的距离为y．（1）求证：∠BEF=∠AB′B；（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．参考答案一、选择题1. B2. C3.B4.A5. C二、填空题6.或7.①③8.3或9. 10.5.811.3 12.50° 13.80° 14.或15 15.三、综合题16.（1）证明：∵矩形纸片ABCD折叠，顶点A与C重合，折痕为EF，∴∠1=∠2，AD∥BC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE=CF．（2）解：思路：连接AF① 由矩形纸片ABCD折叠，易证四边形AFCE为平行四边形；② Rt△CED中，设DE为x，则CE为16-x，CD=8，根据勾股定理列方程可求得DE，CE的长；③由CF=CE，可得CF的长；运用平行四边形面积公式计算CF×CD可得四边形AFCE的面积．17.（1）证明：如图，由四边形ABCD是矩形和折叠的性质可知，BE=B′E，∠BEF=∠B′EF，∴在等腰△BEB′中，EF是角平分线，∴EF⊥BB′，∠BOE=90°，∴∠ABB′+∠BEF=90°，∵∠ABB′+∠AB′B=90°，∴∠BEF=∠AB′B；（2）解：①当点F在CD之间时，如图1，作FM⊥AB交AB于点M，∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，∴在Rt△EAB′中，EB′2=AE2+AB′2，∴（6﹣AE）2=AE2+x2解得AE=，tan∠AB′B==，tan∠BEF==，∵由（1）知∠BEF=∠AB′B，∴=，化简，得y=x2﹣x+3，（0＜x≤8﹣2）②当点F在点C下方时，如图2所示．设直线EF与BC交于点K设∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ，则tanθ==．BK=，CK=BC﹣BK=8﹣．∴CF=CK•tanθ=（8﹣）•tanθ=8tanθ﹣BE=x﹣BE．在Rt△EAB′中，EB′2=AE2+AB′2，∴（6﹣BE）2+x2=BE2解得BE=．∴CF=x﹣BE=x﹣=﹣x2+x﹣3 ∴y=﹣x2+x﹣3（8﹣2＜x≤6）综上所述，y=．。

2020中考数学几何图形的折叠与动点问题（含答案）1.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E在BC上，CE＝4，点F是AD 上的一个动点，若把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当点B′恰好落在矩形ABCD的一边上，则AF的长为________．第1题图3或11 32.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是________．第2题图6－25≤BP≤43.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．第3题图4或4－224.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AB与CD不平行，AB＝CD＝5，BC＝12，点E是BC上的动点，将∠B沿着AE折叠，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′＝1，直线BB′与直线DC交于点H，则DH＝________．第4题图5 11或5135.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝8，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC 于点M，N.当点B′分线段MN为3∶5的两部分时，EN的长为________．第5题图355 11或539 136.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是对角线BD上一动点，将纸片折叠，使点C与点P重合，折痕为EF，折痕EF的两端分别在BC、DC边上(含端点)，当△PDF为直角三角形时，FC的长为________．第6题图24 7或8 37.如图，正方形的边长为4，E是BC的中点，点P是射线AD上一动点，过P作PF⊥AE于F.若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则P A＝________．第7题图2或58.如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，点P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于____________．第8题图2或53或6559.如图，在▱ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD、BC于点E、F；点M是边AB的一个三等分点．则△AOE 与△BMF的面积比为__________．第9题图3∶4或3∶810.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EP A′，若△EP A′与△ABC的另一个交点为F，当EF＝14AB时，则BP的长为________．第10题图2或2311.已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接ED ，若ED ＝EC .(1)求证：AB ＝AC ；(2)①若AB ＝4，BC ＝23，则CD ＝________； ②当∠A ＝________时，四边形ODEB 是菱形．第1题图1．(1)证明：∵ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ， ∵∠EDC ＋∠ADE ＝180°，∠B ＋∠ADE ＝180°， ∴∠EDC ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ， ∴AB ＝AC ； (2)解：①32； 如解图，连接BD ，第1题解图∵AB 为∵O 的直径，∵BD ∵AC ，设CD ＝a ，由(1)知AC ＝AB ＝4，则AD ＝4－a ，在Rt∵ABD 中，由勾股定理可得BD 2＝AB 2－AD 2＝42－(4－a )2， 在Rt∵CBD 中，由勾股定理可得BD 2＝BC 2－CD 2＝(23)2－a 2， ∵42－(4－a )2＝(23)2－a 2，解得a ＝32，即CD ＝32. ∵60°.如解图，连接OD 、OE ，∵四边形ODEB 是菱形，∵OB ＝BE ，又∵OB ＝OE ，∵∵OBE 是等边三角形，∵∵OBE ＝60°， ∵OD ∵BE ，∵∵BOD ＝120°，∵∵A ＝12∵BOD ＝60°.12 .如图，在▱ABCD 中，AD ＝4，AB ＝5，延长AD 到点E ，连接EC ，过点B 作BF ∥CE 交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G .(1)求证：四边形BCEF 是平行四边形；(2)①当DF ＝______时，四边形BCEF 是正方形； ②当GFGD ＝________时，四边形BCEF 是菱形．第2题图13. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴EF ∥BC . ∵BF ∥CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形；(2)解：①1;∵四边形BCEF 是正方形，∵BF ＝BC ＝AD ＝4，∵FBC ＝∵AFB ＝90°， ∵AF ＝AB 2－BF 2＝52－42＝3. ∵AD ＝4，∵DF ＝AD －AF ＝4－3＝1. ∵45. ∵四边形BCEF 是菱形， ∵BF ＝BC ＝AD ＝4.∵四边形ABCD 是平行四边形，∵CD ∵AB ， ∵GD AB ＝GF BF ，即GF GD ＝BF AB ＝45.14.如图，AB 是半圆O 的直径，射线AM ⊥AB ，点P 在AM 上，连接OP 交半圆O 于点D ，PC 切半圆O 于点C ，连接BC .(1)求证：BC ∥OP ；(2)若半圆O 的半径等于2，填空：①当AP ＝________时，四边形OAPC 是正方形；②当AP ＝________时，四边形BODC 是菱形．第3题图解：(1)证明：连接OC ，AC ，如解图所示， ∵AB 是直径，AM ⊥AB ， ∴BC ⊥AC ，AP 是半⊙O 的切线，又∵PC是半⊙O的切线，∴P A＝PC，又∵OA＝OC，∴OP⊥AC，∴BC∥OP；(2)① 2；② 2 3.∵若四边形OAPC是正方形，则OA＝AP，∵OA＝2，∵AP＝2；∵若四边形BODC是菱形，则CB＝BO＝OD＝DC，∵AB＝2OB，∵ACB＝90°，∵AB＝2BC，∵∵BAC＝30°，∵ABC＝60°，∵BC∵OP，∵∵AOP＝∵ABC＝60°，又∵∵OAP＝90°，OA＝2，∵∵OP A＝30°，∵OP＝4，∵AP＝22222-OAOP＝2 3.=4-第3题解图15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，线段BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，AF＝CE且F不与E重合．(1)求证：△EF A≌△ACE；(2)填空：①当∠B＝_________°时，四边形ACEF是菱形；②当∠B＝_________°时，线段AF与AB垂直．第4题图(1)证明：如解图，第4题解图∵ED是BC的垂直平分线，∴EB＝EC，ED⊥BC，∴∠3＝∠4，∵∠ACB＝90°，∴FE∥AC，∴∠1＝∠5，∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1＝∠2＝∠5，∴AE＝CE.又∵AF＝CE，∴AE＝AF，∴∠5＝∠F，在△EF A和△ACE中，AF＝AE＝EC，∠1＝∠2＝∠5＝∠F，∴△EF A≌△ACE.(2)解：① 30；②45.∵∵四边形ACEF是菱形，∵AC＝CE，∵CE是Rt∵ABC斜边AB的中线，∵CE＝AE＝BE，∵AE＝AC＝CE，∵∵ACE是等边三角形,∵∵1＝60°，则∵B＝30°,∵当∵B＝30°时，四边形ACEF是菱形；∵由(1)知∵EF A∵∵ACE，∵∵AEC＝∵EAF，∵AF∥CE，∵AF∵AB，∵CE∵AB，∵CE＝EB，∵∵3＝∵4＝45°，∵当∵B＝45°时，线段AF与AB垂直．16.如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作⊙O的两条切线ED，EB，切点分别为点D，B.连接AD并延长交BE延长线于点C，连接OE.(1)试判断OE与AC的关系，并说明理由；(2)填空：①当∠BAC＝_________°时，四边形ODEB为正方形；②当∠BAC＝30°时，ADDE的值为________．第5题图5.解：(1)OE∥AC，OE＝12AC.理由：连接OD，如解图，第5题解图∵DE，BE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，AB⊥BC，∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∵OD＝OB，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OBE(HL)，∴∠1＝∠2.∵∠BOD＝∠A＋∠3，OA＝OD，∴∠A＝∠3，∴∠2＝∠A，∴OE∥AC；∵OA＝OB，∴EC＝EB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝12AC.(2)①45；②3.∵要使四边形ODEB是正方形，由ED＝EB，∵ODE＝∵ABC＝90°,只需∵DOB ＝90°，∵∵A＝45°；∵过O作OH∵AD于H,∵∵A＝30°，OA＝OD,∵∵3＝∵A＝30°，∵OD，∵∵ODE＝90°，∵1＝∵3＝30°，∵OD，∵ADDE＝3.17.如图，将⊙O的内接矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接BC1，∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x.(1)若点O与点C1重合，求证：A1D1为⊙O的切线；(2)①当x＝________时，四边形ABC1D1是菱形；②当x＝________时，△BDD1为等边三角形．第6题图(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°，∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，∴∠A1D1O＝∠D＝90°，∴A1D1⊥OD1，∴A1D1为⊙O的切线；(2)解：①1；②2.∵如解图∵，连接AD1，当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；第6题解图∵理由：由平移得：AB＝D1C1，且AB∵D1C1，∵四边形ABC1D1是平行四边形，∵∵ACB＝30°，∵∵CAB＝60°，∵AB＝1，∵AC＝2，∵x＝1，∵AC1＝1，∵AB＝AC1，∵∵AC1B是等边三角形，∵AB＝BC1，∵四边形ABC1D1是菱形；∵如解图∵所示，当x＝2时，∵BDD1为等边三角形，第6题解图∵则可得BD＝DD1＝BD1＝2，即当x＝2时，∵BDD1为等边三角形．。

专题05 动点折叠类问题中函数及其综合题型一、基础知识点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等.（1）函数中的折叠问题主要考查对函数性质的把握及综合运用知识的能力.（2）综合题型此类题目困难重重，以2019年安徽省中考第10题而言，充分体现了数学思想的表达，解题中用到的有最短路径、三角函数、所求变量的变化规律等等，充分体现了新课标对考查学生数学素养的要求.通过研究历年中考真题并结合2019年各省（市）的中考真题，特总结出此专题. 期望能给各位老师及同学以学习教学一些启发，一些指引，培养出学生的解题素养.二、精品例题解析题型一：折叠综合题型例1.（2019·安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（）A.0B.4C.6D.8题型二：折叠与相似例2.（2019·济宁）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE 的长；（2）如图2，M ，N 分别是线段AG ，DG 上的动点（与端点不重合），且∠DMN ＝∠DAM ，设AM ＝x ，DN ＝y ．①写出y 关于x 的函数解析式，并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ，使△DMN 是等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．题型三：折叠与全等例3.（2019·临沂）如图，在正方形ABCD 中，E 是DC 边上一点，（与D 、C 不重合），连接AE ，将△ADE 沿AE 所在的直线折叠得到△AFE ，延长EF 交BC 于G ,连接AG ，作GH ⊥AG ，与AE 的延长线交于点H ，连接CH ，显然AE 是∠DAF 的平分线，EA 是∠DEF 的平分线，仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由.题型四：折叠与反比例函数例4.（2019·衢州）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，点B 恰好为OE 的中点，DE 与BC 交于点F .若(0)k y k x=≠图象经过点C ，且=1BEF S ∆，则k 的值为 .题型五：几何图形中动点折叠问题例5.（2019·衡阳）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE 为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．题型六：函数图象中动点折叠问题例6.（2019·湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，连接AC，OA=3，tan∠OAC 3D是BC的中点.（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM=23OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F.①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长.二、精品例题解析题型一：折叠综合题型例1.（2019·安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（）A .0B .4C .6 D.8【分析】当P 在边AD 上运动时，根据轴对称知识，求出PE +PF 的最小值及其变化规律，进而与9进行比较，得出结论.【答案】D .【解析】解：作点E 关于AD 的对称点E ’，连接E ’F ，交AD 于P ，此时PE +PF 的值为最小，最小值为E ’F 的长，如下图所示，过F 作FH ⊥EE ’于H ，EE ’交AD 于点G ， D C EF P E'HG由题意知：AE =EF =FC =4，四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线，∴∠FFH =∠ACB =45°，∴FH =EH =EG =E ’G 2EF =22， 在Rt △HFE ’中，由勾股定理得：E ’F 22'459E H HF +=<,当点P 在点A 处时，PE +PF =12>9，当点P 在D 点时，连接BD 交AC 于点O ，如下图所示， A D CBE F （P ）O∴OD =6，OE =2，在Rt △PEO 中，由勾股定理得：PE =22210OE OD +=,PE +PF =4109>，综上所述，当点P 在AD 上运动时，PE +PF 的值的变化规律为从12逐渐减小至45，后增大至410，在这个变化过程中，有两个P 点使得PE +PF =9，∴在正方形ABCD 边上有8个点符合要求，故答案为：D .题型二：折叠与相似例2.（2019·济宁）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝10，E 是CD 边上一点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G ．（1）求线段CE 的长；（2）如图2，M ，N 分别是线段AG ，DG 上的动点（与端点不重合），且∠DMN ＝∠DAM ，设AM ＝x ，DN ＝y ．①写出y 关于x 的函数解析式，并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ，使△DMN 是等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由翻折并利用勾股定理构建方程即可解决问题．（2）①由△ADM ∽△GMN ，可得＝，由此即可解决问题．②有两种情形：当MN＝MD时，当MN＝DN时. 分别求解即可解决问题．【答案】见解析.【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∴∠B＝∠BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝m，则DE＝EF＝8﹣m．在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF＝6，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，在Rt△EFC中，由勾股定理得：（8﹣m）2＝m2+42，解得：m＝3，∴EC＝3．（2）①如下图中，∵AD∥CG，∴AD DE CG EC，∴CG＝6，∴BG＝BC+CG＝16，在Rt△ABG中，由勾股定理得：AG＝5，在Rt△DCG中，由勾股定理得：DG＝10，∵AD＝DG＝10，∴∠DAG＝∠AGD，∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，∴∠ADM＝∠NMG，∴△ADM ∽△GMN ， ∴AD AM HM NG =， ∴101085x yx =--， 整理得：()2214511045210510y x x x =-+=-+． ∴当x ＝45时，y 有最小值，最小值为2．②存在．当MN ＝MD 时，∵∠MDN ＝∠GMD ，∠DMN ＝∠DGM ，∴△DMN ∽△DGM ，∴MD MN DG MG=， ∵MN ＝DM ，∴DG ＝GM ＝10，∴x ＝AM ＝85﹣10．当MN ＝DN 时，过M 作MH ⊥DG 于H ．∵MN ＝DN ，∴∠MDN ＝∠DMN ，∵∠DMN＝∠DGM，∴∠MDG＝∠MGD，∴MD＝MG，∵BH⊥DG，∴DH＝GH＝5，由△GHM∽△GBA，可得GH MG GB AG，∴MG＝55,∴x＝AM＝115．综上所述，满足条件的x的值为85﹣10或115 2．题型三：折叠与全等例3.（2019·临沂）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G,连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH，显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线，仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由.【答案】见解析.【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠B=90°，由折叠知：△ADE≌△AFE，∴AD=AF=AB，∠AFG=90°，在Rt△AGB和Rt△AGF中，∵AG=AG，AF=AB，∴Rt△AGB≌Rt△AGF，∴∠6=∠7，∠3=∠4，即AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；∵∠AGH=90°，∴∠6+∠HGC=90°，∠7+∠EGH=90°，∴∠HGC= EGH，即GH是∠EGC的平分线；过H作HN⊥BM于N，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴∠GAH=2+∠3=45°，∴AG=GH，∴△ABG≌△GNH，∴NH=BG，GN=AB=BC，∴GN－GC= BC－GC,即BG=CN=NH，∴∠HCN=45°，∠DCH=45°，即CH 是∠DCM 的平分线.题型四：折叠与反比例函数例4.（2019·衢州）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，点B 恰好为OE 的中点，DE 与BC 交于点F .若(0)k y k x=≠图象经过点C ，且=1BEF S ∆，则k 的值为 .【答案】24.【解析】解：由题意知：AB =CD =3BE ，S △BEF = S △OBF =1∵ABCD 为平行四边形，即AB ∥CD ，∴BF ：FC =BE ：CD =1:3，连接OC ，OF ，如下图所示，则S △OBF ：S △OFC =BF ：FC =1：3,∴S △OBC =4，∵S △OBC ：S △ODC =OB ：CD =1：3,∴S △ODC =12，∴k =24，故答案为：24.题型五：几何图形中动点折叠问题例5.（2019·衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以lcm /s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE 为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，即6+t＝2（6﹣t），解得：t＝3，故t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如下图，连接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝12∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣12 t），解得t＝3．（3）如下图，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝12（AK+CK）＝12AC＝3（cm）．（4）如下图，连接AM，AB′∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，由勾股定理得：AM＝33，根据两点之间线段最短，得：AB′≥AM﹣MB′，即AB′≥33﹣3，故AB′的最小值为33﹣3．题型六：函数图象中动点折叠问题例6.（2019·湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，连接AC，OA=3，tan∠OAC=3，D是BC的中点.（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM=23OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F.①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长.【答案】见解析【解析】解：（1）∵OA=3，tan∠OAC=3 3，在Rt△AOC中，tan∠OAC=3=3 OCOA，∴OC=3，∵ABCD是矩形，∴BC=OA=3，又D是BC的中点，∴CD=3 2 ,即D的坐标为（32，3）（2）①由tan∠OAC3知：∠OAC=30°，∴∠ACB=∠OAC=30°，若△DBF折叠后，B的落点为B’由折叠性质，知：DB’=DB=DC，∠BDF=∠B’DF，∴∠DB’C=∠ACB=30°，∴∠BDB’=60°，∠BDF=30°，在Rt△BDF中，BF=BD·tan30°3，∵AB∴AF=BF在△BFD和△AFE中，∠BFD=∠EFA，∠B=∠FAE=90°，AF=BF，∴△BFD≌△AFE，∴AE=BD=3 2即OE=OA+AE=9 2，故E点坐标为（92，0）②由题意知：F点横坐标不变为3，而∠DFB=60°，即G点与F点的连线与y轴平行，即G点横坐标不变，所以G点运动轨迹为一条线段，求出P点从O点至M点运动过程中，G点的纵坐标的差即为G点运动路径的长.2+bx，将点D（32, B（3934293a ba b⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得：9a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即抛物线解析式为：2y x = 令y =0，得12902x x ==，， 即E （92，0），设直线DE 的解析式为：y =kx +b ，将D （32、E （92，0）代入得：32y x =-+， 令x =3，得y即F(3, 由BF =BG 得，G （3）.+bx +c ，将点D （32, B （3，M （0）代入解析式，可得： 934293a b c a b c c ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=⎪⎩，抛物线解析式为：22733y x x =-++ 令y =0，得12362x x =-=，， 即E （6，0），设直线DE 的解析式为：y =kx +b ，将D （32、E （6，0）代入得：y x =+令x =3，得y ，即F (3, 3),由BF =BG 得，G （3，3）即G 点由（3，2）运动至（3，3），运动路径长为：2－3=6.。

几何中的折叠问题一、单选题1如图，在菱形ABCD中，AD=5，tan B=2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B 、C ，当∠BEB =90°时，则点C 到BC的距离是()A.5+5B.25+2C.6D.35【答案】D【分析】过C作CH⊥AD于H，过C 作C F⊥AD于F，由菱形性质和正切定义求出HD=5，HC=25，再由折叠证明∠BED=∠B ED=135°，得到∠EDC=∠EDC =45°，从而得到△CHD≌△DFC ，则C F= HD=5，则问题可解．【详解】解：过C作CH⊥AD于H，过C 作C F⊥AD于F，由已知，AD=5，tan B=2，=2，∴CD=5，tan∠CDH=HCHD∴设HD=x，则HC=2x，∴在Rt△HDC中，HC2+HD2=CD2，2x2+x2=52，解得x=5，∴HD=5，HC=25，由折叠可知，∠BED=∠B ED，∠EDC=∠EDC ，CD=C D∵∠BEB =90°，∴∠BED=∠B ED=135°，∵AB∥DC，∴∠EDC=180°-∠BED=45°，∴∠EDC=∠EDC =45°∴∠CDC =90°∵∠CHD =∠C AD =90°，∴∠CDH +C DF =90°，∵∠CDH +∠HCD =90°，∴∠C DF =∠HCD ，∴△CHD ≌△DFC ，∴C F =HD =5，∴点C 到BC 的距离是C F +CH =5+25=35．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出∠BED =∠B ED =135°．2如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l 与BC 交于点P ，且点P 到AB 的距离为3cm ，点Q 为AC 上任意一点，则PQ 的最小值为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm【答案】C【分析】由折叠可得：PA 为∠BAC 的角平分线，根据垂线段最短即可解答．【详解】解：∵将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，∴PA 为∠BAC 的角平分线，∵点Q 为AC 上任意一点，∴PQ 的最小值等于点P 到AB 的距离3cm ．故选C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．3如图，在▱ABCD 中，BC =8,AB =AC =45，点E 为BC 边上一点，BE =6，点F 是AB 边上的动点，将△BEF 沿直线EF 折叠得到△GEF ，点B 的对应点为点G ，连接DE ，有下列4个结论：①tan B =2；②DE =10；③当GE ⊥BC 时，EF =32；④若点G 恰好落在线段DE 上时，则AF BF=13．其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，利用三线和一以及正切的定义，求出tan B ，即可判断①；过点D 作DK ⊥BC 于点K ，利用勾股定理求出DE ，判断②；过点F 作FM ⊥BC 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，设EM =FM =x ，三角函数求出BM 的长，利用BE =BM +EM ，求出x 的值，进而求出EF 的长，判断③；证明△AND ∽△CNE ，推出∠ENC =∠ECN ，根据折叠的性质，推出EF ∥CA ，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④．【详解】解：①过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵BC =8,AB =AC =45，∴BH =12BC =4，∴AH =AB 2-BH 2=8，∴tan B =AH BH =2；故①正确；②过点D 作DK ⊥BC 于点K ，则：四边形AHKD 为矩形，∴DK =AH =8，HK =AD =BC =8，∵BE =6，∴CE =2，∵CH =12BC =4，∴CK =4，∴EK =CE +CK =6，∴DE =EK 2+DK 2=10；故②正确；③过点F 作FM ⊥BC 于点M ，∵GE ⊥BC ，∴∠BEG =90°，∵翻折，∴∠BEF =∠GEF =45°，∴∠EFM =∠BEF =45°，∴EM =FM ，设EM =FM =x ，∵tan B =FM BM =2，∴BM =12FM =12x ，∴BE =BM +EM =12x +x =6，∴x =4，∴EM =FM =4，∴EF =2EM =42；故③错误；④当点G 恰好落在线段DE 上时，如图：设AC 与DE 交于点N ，∵▱ABCD ，∴AD ∥BC ，∴△AND ∽△CNE ，∴EN DN =CE AD =28=14，∴EN DE =15，∴EN =15DE =2=CE ，∴∠ENC =∠ECN ，∴∠BEN =∠ENC +∠ECN =2∠ECN ，∵翻折，∴∠BEN =2∠BEF ，∴∠BEF =∠ECN ，∴EF ∥AC ，∴AF BF =CE BE=26=13；故④正确，综上：正确的是①②④；故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键．4如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，将劣弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，连接CD ，若∠ABC =α0°<α<45° ，则下列式子正确的是()A.sin α=BC AB B.sin α=CD AB C.cos α=AD BD D.cos α=CD BC 【答案】B【分析】连AC ，由AB 是⊙O 的直径，可知∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD 所在的圆为等圆，可推得AC =CD ，再利用正弦定义求解即可．【详解】解：连AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD所在的圆为等圆，又∵∠CBD =∠ABC ，∴AC 和CD 所对的圆周角相等，∴AC =CD ，∴AC =CD ，在Rt △ACB 中，sin α=AC AB =CD AB，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦．5如图，在平面直角坐标系中，OA 在x 轴正半轴上，OC 在y 轴正半轴上，以OA ，OC 为边构造矩形OABC ，点B 的坐标为8,6 ，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点F 恰好落在CD 上，则点F 的坐标为()A.3213,3013B.3013,3213C.3013,2013D.2013,3013【答案】A【分析】先求得直线CD 的解析式，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m ,-32m +6 ，在Rt △EMF 中，再利用勾股定理得到关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：∵点B 的坐标为8,6 ，四边形OABC 是矩形，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，∴C 0,6 ，D 4,0 ，E 4,6 ，由折叠的性质可得：EF =BE =4，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则6=b 4k +b =0 ，解得：k =-32b =6 ，∴直线CD 的解析式为y =-32x +6，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m,-32m+6，则MF=CN=6--32m+6=32m，EM=4-m，在Rt△EMF中，EM2+MF2=EF2，∴4-m2+32m2=42，解得：m=3213或m=0(不合题意，舍去)，当m=3213时，y=-32×3213+6=3013，∴点F的坐标为3213,30 13，故选：A．【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质，中点的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．6综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，再把点A折叠在折痕EF上，其对应点为A ，折痕为DP，连接A B，若AB=2，BC =3，则tan∠A BF的值为()A.33B.3 C.32D.12【答案】A【分析】先证明EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，AD=A D=3，可得A E=A D2-DE2=32，AF=2-32=12，再利用正切的定义求解即可.【详解】解：∵矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，AB=2，BC=3，∴EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，由折叠可得：AD=A D=3，∴A E=A D2-DE2=32，∴A F=2-32=12，∴tan ∠A BF =1232=33.故选A 【点睛】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.7如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，将顶点D 折叠至线段AP 上一点D ，折痕为EF ，此时，点C 折叠至点C ．下列说法中错误的是()A.cos ∠BAP =45B.当AE =53时，D E ⊥AP C.当AE =18-65时，△AD E 是等腰三角形D.sin ∠DAP =45【答案】C 【分析】根据矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质计算判断即可．【详解】∵矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，∴BP =12BC =32，∠B =90°，∴AP =AB 2+BP 2=22+32 2=52，∴cos ∠BAP =AB AP =252=45，故A 正确；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴sin ∠DAP =sin ∠APB =cos ∠BAP =45，故D 正确；设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，sin ∠DAP =45，∵D E ⊥AP ，∴sin ∠DAP =D E AE =x 3-x =45，解得x =43，∴AE =AD -DE =3-x =53，故B 正确；当D E =AE 时，∴x =3-x ，解得x =32；此时D ,A 重合，三角形不存在，不符合题意；当D E =AD 时，过点D 作D N ⊥AD 于点N ，则AN =NE ；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴cos ∠DAP =cos ∠APB =3252=35，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，D E =AD =x ，∴AN AD =AN x =35，解得AN =35x ；∴AE =AD -DE =3-x =2AN =65x ，解得x =1511；∴AE =65×1511=1811；当AE =AD 时，过点D 作D H ⊥AD 于点H ，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD =AD -DE =3-x ，∴D H =AD sin ∠DAP =453-x ，AH =AD cos ∠DAP =353-x ，∴HE =AE -AH =3-x -353-x =253-x ，根据勾股定理，得HE 2+D H 2=D E 2，∴253-x 2+453-x2=x 2解得x =65-12；∴AE =3-x =15-65；综上所述，AE =15-65或AE =1811，故C 错误，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握三角函数，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质是解题的关键．8如图，AB 为半圆O 的直径，点O 为圆心，点C 是弧上的一点，沿CB 为折痕折叠BC 交AB 于点M ，连接CM ，若点M 为AB 的黄金分割点(BM >AM )，则sin ∠BCM 的值为()A.5-12B.5+12C.5-14D.12【答案】A【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，根据折叠的性质可得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，从而可得∠BDM=90°，再根据黄金分割的定义可得BMAB =5-12，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而证明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA，进而利用相似三角形的性质可得DMAC=BMAB=5-12，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：∠A=∠AMC，从而可得CA=CM，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【详解】解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，由折叠得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，∴∠BDM=90°，∵点M为AB的黄金分割点(BM>AM)，∴BMAB =5-12，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠MDB，∵∠DBM=∠CBA，∴△DBM∽△CBA，∴DMAC =BMAB=5-12，∵四边形ACM′B是半⊙O的内接四边形，∴∠A+∠CM′B=180°，∵∠AMC+∠CMB=180°，∠CMB=∠CM′B，∴∠A=∠AMC，∴CA=CM，在Rt△CDM中，sin∠BCM=DMCM=DMAC=5-12．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换(折叠问题)，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题9如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为EF，折叠后，EC的对应边EH经过点A，CD的对应边HG交BA的延长线于点P．若PA=PG，AH=BE，CD=3，则BC的长为．【答案】43【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接PF ，设BC =2x ，AH =BE=a ，证明Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，求得FA =FG =FD =x ，由折叠的性质求得BE =12x ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理列式计算，即可求解．【详解】解：连接PF ，设BC =2x ，AH =BE =a ，由矩形的性质和折叠的性质知FG =FD ，∠G =∠FAP =90°，AB =CD =3，AD =BC ，∵PA =PG ，PF =PF ，∴Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，∴FA =FG =FD =12AD =12BC =x ，由矩形的性质知：AD ∥BC∴∠AFE =∠FEC ，折叠的性质知：∠FEA =∠FEC ，∴∠FEA =∠AFE ，∴AE =FA =x ，由折叠的性质知EC =EH =AE +AH =x +a ，∴BC =BE +EC =a +x +a =2x ，∴a =12x ，即BE =12x ，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即32+12x2=x 2，解得x =23，∴BC =2x =43，故答案为：4310如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =6，M 为AD 的中点，N 为BC 边上一动点，把矩形沿MN 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA '并延长交射线CD 于点P ，交MN 于点O ，当N 恰好运动到BC 的三等分点处时，CP 的长为．【答案】1或5【分析】分两种情况：①当CN =2BN 时．过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形；②当BN =2CN 时，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，根据矩形的性质得GM =AM -AG =1.再由折叠的性质可得∠AOM =90°，然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．【详解】解：①当CN =2BN 时．如图1，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =2．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AM -AG =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°，∵∠MAO +∠APD =90°，∠MAO +∠AMO =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∵∠NGM =∠ADP =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD -DP =1．②当BN =2CN 时，如图2，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =4．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AG -AM =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°∠MAO +∠AMO =90°，∠MAO +∠APD =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∠ADP =∠NGM =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD +DP =5．综上，CP 的长为1或5．故答案为：1或5．【点睛】此题考查的是翻折变换-折叠问题、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．11如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ,AC 分别与DF ,EF 相交于G ,H 两点．若DG =m ,EH =n ，用含m ,n 的式子表示GH 的长是．【答案】m 2+n 2【分析】先根据折叠的性质可得S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°，从而可得S △FHG =S △ADG +S △CHE ，再根据相似三角形的判定可证△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，根据相似三角形的性质可得S △ADG S △FHG =DG GH2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，然后将两个等式相加即可得．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，∵折叠△BDE 得到△FDE ，∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°=∠A =∠C ，∵DE 平分等边△ABC 的面积，∴S 梯形ACED =S △BDE =S △FDE ，∴S △FHG =S △ADG +S △CHE ，又∵∠AGD =∠FGH ,∠CHE =∠FHG ，∴△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，∴S △ADG S △FHG =DG GH 2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，∴S △ADG S △FHG +S △CHE S △FHG =m 2+n 2GH 2=S △ADG +S △CHE S △FHG =1，∴GH 2=m 2+n 2，解得GH =m 2+n 2或GH =-m 2+n 2(不符合题意，舍去)，故答案为：m 2+n 2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．12在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上一点(不与端点重合)，连接BE ，将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，连接并延长EF ，BF 分别交BC ，CD 于G ，H 两点.若BA =6，BC =8，FH =CH ，则AE 的长为．【答案】92【分析】连接GH ，证明Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，可得FG =CG ，设FG =CG =x ，在Rt △BFG 中，有62+x 2=(8-x )2，可解得CG =FG =74，知BG =254，由矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，得∠AEB =∠FEB ，可得∠FEB =∠EBG ，EG =BG =254，故EF =EG -FG =92，从而得到AE =92．【详解】连接GH ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴BF =AB =6,AE =EF ,∠BFE =∠A =90°，∴∠GFH =90°=∠C ，∵GH =GH ,FH =CH ，∴Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，∴FG =CG ，设FG =CG =x ，则BG =BC -CG =8-x在Rt △BFG 中，BF 2+FG 2=BG 2∴62+x 2=(8-x )2，解得：x =74，∴CG =FG =74，∴BG =8-x =25x，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴∠AEB =∠FEB ，∵AD ⎳BC ，∴∠AEB =∠EBG ，∴∠FEB =∠EBG ，∴EG =BG =254，∴AE =92，故答案为：92．【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，掌握相关知识是解题的关键．13如图，在矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，E 是AB 的中点，F 是线段BC 上的一点，连接EF ，把△BEF 沿EF 折叠，使点B 落在点G 处，连接DG ，BG 的延长线交线段CD 于点H ．给出下列判断：①∠BAC =30°；②△EBF ∽△BCH ；③当∠EGD =90°时，DG 的长度是23 ④线段DG 长度的最小值是21-3；⑤当点G 落在矩形ABCD 的对角线上，BG 的长度是3或33；其中正确的是．(写出所有正确判断的序号)【答案】①②③【分析】利用正切函数的定义即可判断①正确；利用同角的余角相等推出∠HBC =∠BEF ，可判断②正确；推出点D 、G 、F 三点共线，证明Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，可判断③正确；当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，由于F 是线段BC 上的一点，不存在D 、G 、E 三点共线，可判断④不正确；证明△BGE 是等边三角形，可判断⑤．【详解】解：连接AC ，∵矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，∴tan ∠ACD =AD CD=236=33，∴∠ACD =30°，∴∠BAC =30°，故①正确；由折叠的性质知EF 是BG 的垂直平分线，∴∠HBC +∠BFE =90°=∠BEF +∠BFE ，∴∠HBC =∠BEF ，∴△EBF ∽△BCH ，故②正确；由折叠的性质知∠EGF =∠ABC =90°，∵∠EGD =90°，∴点D 、G 、F 三点共线，连接DE ，在Rt △EAD 和Rt △EGD 中，AE =BE =EG ，DE =DE ，∴Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，∴DG =AD =23，故③正确；∵AE =BE =EG ，∴点A 、G 、B 都在以E 为圆心，3为半径的圆上，DE =23 2+32=21，∴当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，但F 是线段BC 上的一点，∴D 、G 、E 三点不可能共线，故④不正确；当点G 落在矩形ABCD 的对角线AC 上时，由折叠的性质知BE =EG ，∵E 是AB 的中点，由①知∠BAC =30°，∴BE =EG =EA ，∠BAC =∠EGA =30°，∴∠BEG =∠BAC +∠EGA =60°，∴△BGE 是等边三角形，∴BG 的长度是3；由于F 是线段BC 上的一点，则点G 不会落在矩形ABCD 的对角线BD 上，故⑤不正确；综上，①②③说法正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正切函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．14如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A 重合，连接EA 并延长分别交BD、BC于点G、F，且BG=BF．(1)若∠AEB=55°，则∠GBF=；(2)若AB=3，BC=4，则ED=．【答案】40°/40度5-10/-10+5【分析】(1)先证明∠DEF=180°-2×55°=70°，∠BFG=∠DEF=70°，利用BG=BF，可得答案；(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，可得CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，则∠DEG=∠DGE，设DE=DG=x，而BD=32+42=5，则BG=BF=5-x，CF=4-5-x=1，再求解EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4 =x-1，EQ=x-x-1-x，AF=10-4+x，利用cos∠BFA=cos∠FEQ，再建立方程求解即可．【详解】解：(1)∵∠AEB=55°，结合折叠可得：∠AEB=∠A EB=55°，∴∠DEF=180°-2×55°=70°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠BFG=∠DEF=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°；∴∠GBF=180°-2×70°=40°；故答案为：40°．(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，∴四边形FCDQ是矩形，则CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，∴∠DEG=∠DGE，∴设DE=DG=x，∵矩形ABCD，AB=3，BC=4，∴BD=32+42=5，∴BG=BF=5-x，∴CF=4-5-x=x-1，∴EQ=x-x-1=1，∴EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4-x，∴AF =10-4+x，∵∠QEF=∠BFA ，∴cos∠BFA =cos∠FEQ，∴EQEF=A FBF，∴110=10-4+x5-x，解得：x=5-10，经检验符合题意；∴DE=5-10．故答案为：5-10．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键．三、解答题15综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图(1)，正方形纸片ABCD，点E是BC边上(点E不与点B，C重合)任意一点，沿AE折叠△ABE到△AFE，如图(2)所示；操作二：将图(2)沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图(3)所示；操作三：将纸片展平，连接BM，如图(4)所示．根据以上操作，回答下列问题：①B，M，N三点(填“在”或“不在”)一条直线上；②AE和BN的位置关系是，数量关系是；③如图(5)，连接AN，改变点E在BC上的位置，(填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分∠DAE．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，AB=4，BC=6，按照(1)中的方式操作，得到图(6)或图(7)．请完成下列探究：①当点N在CD上时，如图(6)，BE和CN有何数量关系？并说明理由；②当DN的长为1时，请直接写出BE的长．【答案】(1)①在，②AE⊥BN，相等；③不存在；(2)①BECN =23，理由见解析；②BE=2或165．【分析】(1)①E的对称点为E ，BF⊥EE ，MF⊥EE ，即可判断；②由①AE⊥BN，由同角的余角相等得∠BAE=∠CBN，由AAS可判定△ABE≌△BCN，由全等三角形的性质即可得证；③由AAS可判定△DAN≌△MAN，由全等三角形的性质得AM=AD，等量代换得AB=AM，与AB>AM矛盾，即可得证；(2)①由(1)中的②可判定△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；②当N在CD上时，△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；当N在AD上时，同理可判定△ABE∽△NAB，由三角形相似的性质即可求解．【详解】(1)解：①E的对称点为E ，∴BF⊥EE ，MF⊥EE ，∴B、F、M共线，故答案为：在；②由①知：B、F、M共线，N在FM上，∴AE⊥BN，∴∠AMB=90°，∴∠ABM+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCN=90°，AB=BC，∴∠CBN+∠ABM=90°，∴∠BAE=∠CBN，在△ABE和△BCN中，∠BAE=∠CBN ∠ABC=∠BCN AB=BC，∴△ABE≌△BCN(AAS)，∴AE=BN，故答案为：相等；③不存在，理由如下：假如存在，∵AN平分∠DAE，∴∠DAN=∠MAN，∵四边形ABCD是正方形，AM⊥BN，∴∠D=∠AMN=90°，在△DAN和△MAN中，∠D=∠AMN∠DAN=∠MAN AN=ANN∴△DAN≌△MAN(AAS)，∴AM=AD，∵AD=AB，∴AB=AM，∵AB是Rt△ABM的斜边，∴AB>AM，∴AB =AM 与AB >AM 矛盾，故假设不成立，所以答案为：不存在；(2)解：①BE CN=23，理由如下：由(1)中的②得：∠BAE =∠CBN ，∠ABE =∠C =90°，∴△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC=23；②当N 在CD 上时，CN =CD -DN =3，由①知：△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC =23，∴BE =23CN =2，当N 在AD 上时，AN =AD -DN =5，∵∠BAE =∠CBN =∠ANB ，∠ABE =∠BAN =90°，∴△ABE ∽△NAB ，∴BE AB =AB AN ，∴BE 4=45，∴BE =165，综上所述：BE =2或165．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，“十字架”典型问题的解法是解题的关键．16在矩形ABCD 中，AD =2AB =8，点P 是边CD 上的一个动点，将△BPC 沿直线BP 折叠得到△BPC ．(1)如图1，当点P 与点D 重合时，BC ′与AD 交于点E ，求BE 的长度；(2)当点P 为CD 的三等分点时，直线BC ′与直线AD 相交于点E ，求DE 的长度；(3)如图2，取AB 中点F ，连接DF ，若点C ′恰好落在DF 边上时，试判断四边形BFDP 的形状，并说明理由．【答案】(1)BE 的长度为5；(2)DE 的长度为113或83;(3)四边形BFDP 是平行四边形(理由见解析)【分析】本题利用了折叠的知识(折叠后的两个图形全等)以及矩形的性质(矩形的对边相等，对角相等)，以及平行四边形的判定有关知识．(1)利用矩形性质和折叠的性质可推出BE=DE，设BE=x,则DE=x,AE=8-x,利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；(2)设DE=m,则AE=m+8，设BE交CD于G，可证得△AEB∽△CBG，得出CGAB =BCAE，即CG4=8m+8，求得CG=32m+8，分两种情况：当PC=13CD=43时，当PC=23CD=83时，分别添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案；(3)由中点定义可得AF=BF，过点C 作C M∥AD交AB于点M，过点F作FN⊥BC 于点N，由矩形性质和翻折的性质可得∠C BP=∠CBP=12∠C BC，可证得△FC M∽△FDA，得出FMAF=C MAD，再证得△BFN∽△BC M，进而推出FM=FN，利用角平分线的判定定理可得∠BC F=∠MC F=12∠BC M推出∠BC F=∠C BP，再由平行线的判定定理可得DF∥BP，运用平行四边形的判定定理即可证得四边形BFDP是平行四边形．【点睛】点睛片段【详解】(1)解：∵AD=2AB=8，∴AB=4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折叠得：∠DBC=∠DBC ，∴∠ADB=∠DBC ，即∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，设BE=x，则DE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，∴(8-x)2+42=x2，解得：x=5，∴BE的长度为5；(2)设DE=m，则AE=m+8，设BE交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=8，CD=AB=4，AD∥BC，∠A=∠BCG=90°，∴∠AEB=∠CBG，∴△AEB∽△CBG，∴CG AB =BCAE，即CG4=8m+8，∴CG=32m+8，当PC=13CD=43时，BP=BC2+PC2=82+432=4373，连接CC ，过点C 作C H⊥CD于点H，如图，∵将△BPC沿直线BP折叠得到△BPC ，∴CC ⊥BP，△BPC ≌△BPC，∴S四边形BCPC =2S△BPC，∴1BP⋅CC =2×1BC⋅PC，即12×4373CC =2×12×8×43，∴CC =163737，∵∠C CH +∠BPC =90°，∠PBC +∠BPC =90°，∴∠C CH =∠PBC ，∵∠CHC =∠BCP =90°，∴△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 43=CH 8=1637374373，∴C H =1637，CH =9637，∵∠C HG =∠EDG =90°，∴C H ∥AE ，∴∠GC ′H =∠AEB ，∴△C GH ∽△EBA ，∴GH AB =C H AE ，即GH 4=1637m +8，∴GH =6437(m +8)，∵CH +GH =CG ，∴9637+6437(m +8)=32m +8，解得：m =113，经检验，m =113是该方程的解，∴DE =113；当PC =23CD =83时，BP =BC 2+PC 2=82+83 2=8103，连接CC ，过点C 作C H ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，作C G ⊥AD 于点G ，如图，同理可得：CC =8105，同理△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 83=CH 8=81058103，∴C H =85，CH =245，∴DH =CH -CD =245-4=45，∵∠HDG =∠H =∠C GD =90°，∴四边形DGC H 是矩形，∴C G =DH =45，DG =C H =85，∵∠C GE =∠A =90°，∠C EG =∠BEA ，∴△C EG ∽△BEA ，∴EG AE =C G AB =454=15，∴AE =5EG ，∵AE +EG =AG =AD -DG =8-85=325，∴5EG +EG =325，∴EG =1615，∴DE =DG +EG =85+1615=83，综上所述，DE 的长度为113或83；(3)四边形BFDP 是平行四边形，理由如下：∵点F 是AB 的中点，∴AF =BF ，过点C 作C M ∥AD 交AB 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，如图，则∠FC M =∠ADF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ,AB ∥CD ，∴C M ∥BC ，∴∠BC M =∠C BC ，由翻折得：∠C BP =∠CBP =12∠C BC ，BC =BC =8，∵C M ∥AD ，∴△FC M ∽△FDA ，∴FM AF =C M AD ，∴FM BF =C MBC ，∵∠BNF =∠BMC =90°，∠FBN =∠C BM ，∴△BFN ∼△BC M∴FN BF =C MBC ，∴FM BF =FN BF ，∴FM =FN ，又∵FM ⊥C M ，FN ⊥C B ，∴∠BC F =∠MC F =12∠BC M ，∴∠BC F =∠C BP ，∴DF ∥BP ，∴四边形BFDP 是平行四边形．17矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点E 为对角线AC 上一点，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，EG ⊥AC 交边BC 于点G ，将△AEF 沿AC 折叠得△AEH ，连接HG ．(1)如图1，若点H 落在边BC 上，求证：AH =CH ；(2)如图2，若A ，H ，G 三点在同一条直线上，求HG 的长；(3)若△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)HG =94(3)EF =103或4【分析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质证明∠ACH =∠HAC ，即可解决问题；(2)结合(1)的方法AG =CG ，解Rt △AEG ，Rt △HEG 分别求得EG ,HG ；(3)当△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当EG =EH ，②当EG =HG ，结合(2)的方法，利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴∠DAE =∠ACH .∵△AHE 由△AFE 折叠得到，∴∠HAC =∠DAE ，∴∠HAC =∠ACH ，∴AH =CH ；(2)∵矩形ABCD 中，AB =6,AD =8．∴AC =10.当A ，H ，G 三点在同一条直线上时，∠EHG =90°．同(1)可得AG =CG ．又∵EG ⊥AC ，∴AE =12AC =5．∵∠AEH +∠HEG =90°，∠AEH +∠HAE =90°，∴∠HEG =∠HAC =∠CAD ．∵在Rt △AEG 中，tan ∠EAG =EG AE =34，∴EG =34AE =154．∵在Rt △HEG 中，sin ∠HEG =HG EG =35，∴HG =35EG =94．(3)①若EH =EG ，如图3①设EF =EH =EG =x ，∵EF ⊥AD ，∴EF ∥CD ，∴△AEF ∽△ACD ，∴AE AC =AF AD =EF CD ∴AE 10=AF 8=x 6∴AE =53x ,AF =43x ，∴AH =AF =43x ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，EH =EH ，∴△AHE ≌△CGE AAS ，∴AH =CE ，∴43x =10-53x ，∴x =103∴EF =103．②若HG =GE ，如图3②．(图3②)过点G 作GM ⊥HE ，设EF =a ,∵EC =10-53a ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，∴△AHE ∽△CGE ，∴EG =34EC =3410-53a =152-54a ，∵∠GME =∠EHA ，∠MGE =90°-∠MEG =∠HAE ，∴△MGE ∽△HEA ，∴ME AH =EG AE ，∵AH AE =AD AC =45，∴AH =45AE ，∴ME =45EG =45152-54a =6-a ，∴HE =2ME =12-2a =EF ，∴12-2a =a ，∴a =4，∴EF =4，综上，EF =103或4．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，翻折的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．18综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点B 处，连接 B C，如图1，请直接写出∠AEB 与∠ECB 的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与BE上的点G所在的直线折叠，使点B落在EF上的点P处，连接PD，如图2，猜想∠APD的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线CP的对称点A ，连接PA ，BA ，AC，如图3，求∠PA B的度数．【答案】初步尝试：∠AEB =∠ECB ；能力提升：猜想：∠APD=60°，理由见解析；拓展延伸：∠PA B=15°【分析】初步尝试：连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出∠BB C=90°，推出AE∥CB ，即可得出答案；能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证△AFP≌△DFP SAS，从而证明△APD是等边三角形，即可得到答案；拓展延伸：连接A C、AA ，由(2)得△APD是等边三角形，进而得出∠PDC=30°，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得∠PAC=15°，∠ACP=30°，由对称性质得：AC=A C，∠ACP=∠A CP=30°，证明△AA B≌△CA B SSS，得到∠CA B=30°，再由∠CA P=∠CAP=15°，即可求出∠PA B的度数．【详解】解：初步尝试：∠AEB =∠ECB ，理由如下：如图，连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，∴BE=CE=BE ，∴∠EBB =∠EB B，∠ECB =∠EB C，∵∠EBB +∠EB B+∠EB C+∠ECB =2∠EB B+∠EB C=180°，∴∠BB C=90°，即BB ⊥CB ，∴AE∥CB ，∴∠AEB=∠ECB ，∴∠AEB =∠ECB ；解：能力提升：猜想：∠APD=60°，理由如下：理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ADC=90°，由折叠性质可得：AF =DF ，EF ⊥AD ，AB =AP ，在△AFP 和△DFP 中，AF =DF∠AFP =∠DFP =90°FP =FP，∴△AFP ≌△DFP SAS ，∴AP =PD ，∴AP =AD =PD ，∴△APD 是等边三角形，∴∠APD =60°；解：拓展延伸：如图，连接A C 、AA ，由(2)得△APD 是等边三角形，∴∠PAD =∠PDA =∠APD =60°，AP =DP =AD ，∵∠ADC =90°，∴∠PDC =30°，又∵PD =AD =DC ，∴∠DPC =∠DCP =12×180°-30° =75°，∠DAC =∠DCA =45°，∴∠PAC =∠PAD -∠DAC =60°-45°=15°，∠ACP =∠DCP -∠DCA =75°-45°=30°，由对称性质得：AC =A C ，∠ACP =∠A CP =30°，∴∠ACA =60°，∴△ACA 是等边三角形，在△AA B 与△CA B 中，A A =A CA B =A B AB =BC，∴△AA B ≌△CA B SSS ，∴∠AA B =∠CA B =12∠AA C =30°，又∵∠CA P =∠CAP =15°，∴∠PA B =∠CA B -∠CA P =15°．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．19综合与实践数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD 对折，使得点A ，D 重合，点B ，C 重合，折痕为EF ，展开后沿过点B 的直线再次折叠纸片，点A 的对应点为点N ，折痕为BM ． (1)如图(1)若AB =BC ，则当点N 落在EF 上时，BF 和BN 的数量关系是，∠NBF 的度数为．思考探究：(2)在AB=BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点M ．当点M 落在CD上时，如图(2)，设BN，BM 分别交EF于点J，K．若DM =4，请求出三角形BJK的面积．开放拓展：(3)如图(3)，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=4，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BM，点A的对应点为点N，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点M ，连接CP，DP，若PC=PD，请直接写出AM的长．(温馨提示：12+3=2-3，12+1=2-1)【答案】(1)BF=12BN，60°(2)2+2(3)4-23【分析】(1)根据折叠的性质得：AB=BN，BF=CF=12BC，根据直角三角形的性质可得∠BNF=30°，由直角三角形的两锐角互余可得结论；(2)由折叠得：BM=BM ，证明Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，可知AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，得△BFJ是等腰直角三角形，再证明四边形ABCD是正方形，分别计算BF=FJ=12BC=2+2，JK=2，由三角形面积公式可得结论；(3)如图(3)，过点P作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根据等腰三角形的三线合一可得DH=CH=12CD=12AB=1，由折叠的性质和矩形的性质可得PG=CH=1，BN=BP=AB=2，∠NBP=∠ABN，设PL=x，则M L=2x，M P=3x，根据NL=233=NM +M L，列方程可解答．【详解】(1)解：由折叠得：AB=BN，BF=CF，∠BFN=90°，∵AB=BC，∴BF=12BN，∴∠BNF=30°，∴∠NBF=90°-30°=60°，故答案为：BF=12BN，60°；(2)由折叠得：BM=BM ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，∴AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，∴∠ABM=∠MBN=∠NBM =∠CBM ，∴∠FBJ=45°，∴△BFJ是等腰直角三角形，∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴矩形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠D=90°，∴DM=DM =4，∴MM =42，∵AM=MN=M N=CM ，∴CM =22，∴BC =CD =4+22，∴BF =FC =2+2，∵FK ∥CM ，∴BK =KM ，∴FK =12CM =2，∵△BFJ 是等腰直角三角形，∴BF =FJ =12BC =2+2，∴JK =2+2-2=2，∴S △BJK =12⋅JK ⋅BF =12×2×(2+2)=2+2；(3)如图，过点P 作PG ⊥BC 于G ，PH ⊥CD 于H ，∵PC =PD ，∴DH =CH =12CD =12AB =1，∵∠PGC =∠PHC =∠BCH =90°，∵四边形PGCH 是矩形，∴PG =CH =1，由折叠得：BN =BP =AB =2，∠NBP =∠ABN ，Rt △BPG 中，∠PBG =30°，∴∠ABN =∠NBP =90°-30°2=30°，延长NM ，BP 交于L ，Rt △BNL 中，BN =2，∠NBL =30°，∴NL =2×33=233，Rt △M PL 中，∠M LP =90°-30°=60°，∴∠PM L =30°，设PL =x ，则M L =2x ，M P =3x ，∵NL =233=NM +M L ，∴3x +2x =233，∴x =433-2，∴AM =3x =3×433-2 =4-23．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖．20综合与实践综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD 的边AB 的中点E ，再沿DE 折叠，点A 落在点F 处，把纸片展平，延长DF ，与BC 交点为G ．。

2020年度初三数学专题复习中考 圆的折叠专题1. 如图①是半径为2的半圆，点C 是︵AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C 与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4π3B ．4π3 -3C ．23+π3D ．23-23π2. 如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径，将︵ AB 沿着AB 弦翻折，恰好经过圆心O ．若⊙O 的半径为6，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．6πB ．93C ．9πD ．633. 如图，将⊙O 的劣弧︵AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵ADB 上一点，连接AD ，交︵ AB 于点C ，连接BC 、BD ；若BC=5，则BD= ．4. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.25.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（）A．9π-9 B．9π-63C．9π-18 D．9π-1236.如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP的最大距离为．7.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则⊙O到所作的圆的切线OC的长为（）A．22B．5C．3 D．118.如图，将半径为12的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（）A．42B．82C．6 D．629. 已知如图：⊙O 的半径为8cm ，把弧AmB 沿AB 折叠使弧AmB 经过圆心O ，再把弧AOB 沿CD 折叠，使弧COD 经过AB 的中点E ，则折线CD 的长为（ ）A ．8cmB ．38cmC ．72cmD ．47cm10. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.211. 如图，将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD=6，DB=7，则BC 的长是（ ）A ．91B ．37C ．134D ．13012. 如图，在⊙O 中，点C 在优弧 AB ︵ 上，将弧︵BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是（ ）A ．AC=CDB ．︵ AC +︵ BD =︵ BCC ．OD ⊥AB D ．CD 平分∠ACB13. 如图，点O 是半径为3的圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB 和弧BC 都经过圆心O ，则阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．3πC ．34πD ．5314. 如图，△ABC 内接于⊙O ，BC=22，∠BAC=45°，将劣弧︵ AB 和︵AC 分别沿直线AB 、AC 折叠后交于点M ，点S 、T 是弦AB 、AC 上的动点，则△MST 的周长的最小值为（ ）A ．22B ．4C ．24D ．815. 如图，在⊙O 中，点C 在优弧⌢ACB 上，将弧沿⌢BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若⊙O 的半径为5，AB=4，则BC 的长是 ．16. 如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将︵ AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的︵AB 上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD ，EO ．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD 是等边三角形，③EO 的最小值为1，其中正确的是 ．（请将正确答案的序号填在横线上）17. 如图，将︵ AB 沿着弦AB 翻折，C 为翻折后的弧上任意一点，延长AC 交圆于D ，连接BC ．（1）求证：BC=BD；（2）若AC=1，CD=4，︵AB=120°，求弦AB的长和圆的半径．18.如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将︵CD 沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC （1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为︵ADB 的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交︵BC 于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．19.如图1和图2，AB是⊙O的直径，AB=10，C是⊙O上的一点，将︵BC 沿弦BC翻折，交AB于点D．（1）若点D与圆心O重合，直接写出∠B的度数；（2）设CD交⊙O于点E，若CE平分∠ACB，①求证：△BDE是等腰三角形；②求△BDE的面积；（3）将图1中的︵BD 沿直径AB翻折，得到图2，若点F恰好是翻折后的︵BD 的中点，直接写出∠B的度数．20.如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC=3：5，AB=8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD=15°，将︵CE 沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．21.如图1，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标是（3，0），半径为2的⊙M交x轴于E、F两点，过点P（-1，0）作⊙M的切线，切点为点A，过点A作AB⊥x轴于点C，交⊙M于点B．抛物线y=ax2+bx+c 经过P、B、M三点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点Q是抛物线上一动点，且位于P、B两点之间，设四边形APQB的面积为S，点Q的横坐标为x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值和此时点Q的坐标；（3）如图2，将弧AEB沿弦AB对折后得到弧AE′B，试判断直线AF与弧AE′B的位置关系，并说明理由．2020年度初三数学专题复习中考 圆的折叠专题22. 如图①是半径为2的半圆，点C 是︵AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C 与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4π3B ．4π3 -3C ．23+π3D ．23-23π【分析】连接OC 交MN 于点P ，连接OM 、ON ，根据折叠的性质得到OP=12OM ，得到∠POM=60°，根据勾股定理求出MN ，结合图形计算即可．【解答】解：连接OC 交MN 于点P ，连接OM 、ON ，由题意知，OC ⊥MN ，且OP=PC=1，在Rt △MOP 中，∵OM=2，OP=1，∴cos ∠POM=OPOM=12，AC=22OP OM =3， ∴∠POM=60°，MN=2MP=23，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则图中阴影部分的面积=S 半圆-2S 弓形MCN =12×π×22-2×（120π×22360 -12×23×1）=23-23π， 故选：D ．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．23. 如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径，将︵AB 沿着AB 弦翻折，恰好经过圆心O ．若⊙O 的半径为6，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．6πB ．93C ．9πD ．63【分析】由题意△OBC 是等边三角形，弓形OnB 的面积=弓形BmC 的面积，根据S 阴=S △OBC 计算即可．【解答】解：如图，连接OB ，BC ．由题意△OBC 是等边三角形，弓形OnB 的面积=弓形BmC 的面积，∴S 阴=S △OBC=43×62=93， 故选：B ．【点评】本题考查扇形的面积的计算，垂径定理，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24. 如图，将⊙O 的劣弧︵ AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵ADB 上一点，连接AD ，交︵ AB 于点C ，连接BC 、BD ；若BC=5，则BD= ．【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到∠ADB=∠BCD ，根据等腰三角形的判定定理解答．【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠ADB 所对的弧是劣弧︵AB ，∠CAB 所对的弧是劣弧︵ BC ，∠CBA 所对的弧是劣弧︵ AC ，∴∠ADB=∠CAB+∠CBA ，由三角形的外角的性质可知，∠BCD=∠CAB+∠CBA ，∴∠ADB=∠BCD，∴BD=BC=5，故答案为：5．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．25.如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）A．3.2 B．3.6 C．3.8 D．4.2【分析】作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，可得M、A、M′三点共线，MA=M′A，MB=M′B′=4，M′N=MN=10．连接AB'，∵四边形AMNB'是圆内接四边形，∴∠M'AB'=∠M'NM，∵∠M'=∠M'，∴△M'AB'∽△M'NM，∴M′AM′N＝M′B′M′M∴M′A•M′M=M′B′•M′N，即M′A•2M′A=4×10=40．则M′A2=20，又∵M′A2=M′N2-AN2，∴20=100-AN2，∴AN=45．故选：B．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．26. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，则整个阴影部分的面积为（ ）A ．9π-9B ．9π-63C ．9π-18D ．9π-123【分析】首先连接OD ，由折叠的性质，可得CD=CO ，BD=BO ，∠DBC=∠OBC ，则可得△OBD 是等边三角形，继而求得OC 的长，即可求得△OBC 与△BCD 的面积，又在扇形OAB 中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB 的面积，继而求得阴影部分面积．【解答】解：连接OD ．根据折叠的性质，CD=CO ，BD=BO ，∠DBC=∠OBC ，∴OB=OD=BD ，即△OBD是等边三角形，∴∠DBO=60°，∴∠CBO=12∠DBO=30°， ∵∠AOB=90°，∴OC=OB•tan ∠CBO=6×33=23， ∴S △BDC =S △OBC =12×OB×OC=12×6×23=63， S 扇形AOB =90360•π×62=9π， ∴整个阴影部分的面积为：S 扇形AOB -S △BDC -S △OBC =9π-63-63=9π-123．故选：D ．【点评】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．27.如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP的最大距离为．【分析】作O关于PQ的对称点O′，O′恰好落在⊙O上，于是得到OP=12Rcos∠POE，推出△OO′Q为等边三角形，根据等边三角形的性质得到OQ=O′Q=OO′=R，当cos∠POE最小时，∠POE最大，当∠QOB=0°时，∠POE=30°于是得到结论．【解答】解：作O关于PQ的对称点O′，O′恰好落在⊙O上，∴OP=12Rcos∠POE，∵△OO′Q为等边三角形，∴OQ=O′Q=OO′=R，∠POE+∠QOB=30°，当cos∠POE最小时，∠POE最大，当∠QOB=0°时，∠POE=30°，∴OP=1cos30°=332．故答案为：332．【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的判定和性质，正确的在才辅助线是解题的关键．28.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则⊙O到所作的圆的切线OC的长为（）A ．22B ．5C ．3D ．11【分析】根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧AB 所在的圆和⊙O 全等，且两个圆的圆心相距为6，又已知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案．【解答】解：根据题意画出图形如下所示：BD=4，OB=5，点O′为翻转过后的弧AB 所在圆的圆心，则有O′D=OD=2245-=3．又O′C=5，O′O=6，∴OC=22C ′O O ′O -=2256-=11．故选：D ．【点评】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧AB 所在圆的圆心是解题关键．29. 如图，将半径为12的⊙O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB长为（ ）A ．42B ．82C ．6D ．62【分析】延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB 的长【解答】解：延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，∵CE ⊥AB ，∴E 为AB 的中点，∵OC=6，CD=2OD ，∴CD=4，OD=2，OB=6，∴DE=12（2OC-CD ）=12（6×2-4）=12×8=4， ∴OE=DE-OD=4-2=2，在Rt △OEB 中，∵OE 2+BE 2=OB 2，∴BE=22OE OB -=2246-42∴AB=2BE=82．故选：B ．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．30. 已知如图：⊙O 的半径为8cm ，把弧AmB 沿AB 折叠使弧AmB 经过圆心O ，再把弧AOB 沿CD 折叠，使弧COD 经过AB 的中点E ，则折线CD 的长为（ ）A ．8cmB ．38cmC ．72cmD ．47cm【分析】连接OE 并延长交CD 于点F ，交C′D′于点F′，交弧AmB 于点G ，根据翻折的性质得出OF′=6，再由勾股定理得出．【解答】解：连接OE 并延长交CD 于点F ，交C′D′于点F′，交弧AmB 于点G ，∵OC′=8cm ，∴OF′=6cm ，∴C′F′=CF=2268-=27cm ，F∴CD=2CD=47cm ．故选：D ． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理以及翻折的性质，是基础知识要熟练掌握． 31. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.2【分析】作OE ⊥AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ，根据折叠的性质得到OE=12OF ，求出∠ACB 的度数即可解决问题．【解答】解：作OE ⊥AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ．连接OB ，BC ．由折叠的性质可知，EF=OE=12OF ， ∴OE=12OA ，在Rt △AOE 中，OE=12OA ， ∴∠CAB=30°，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∠BOC=2∠BAC=60°，∵AB=4，∴BC=12AB=2，AC=3BC=23， ∴线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积为S=12•AC•B C+S 扇形OBC -S △OBC =12×23×2+60π•22360-43×22=3+23π≈3.8，故选：C ．【点评】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．32. 如图，将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD=6，DB=7，则BC 的长是（ ）A ．91B ．37C ．134D ．130【分析】连接CA 、CD ，根据翻折的性质可得弧CD 所对的圆周角是∠CBD ，再根据AC 弧所得的圆周角也是∠CBA ，然后求出AC=CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=12AD ，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，然后求出△ACE 和△CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE 2，再求出BE ，然后利用勾股定理列式计算即可求出BC ．【解答】解：如图，连接CA 、CD ， 根据折叠的性质，弧CD 所对的圆周角是∠CBD ， ∵弧AC 所对的圆周角是∠CBA ，∠CBA=∠CBD ，∴AC=CD （相等的圆周角所对的弦相等），过点C 作CE ⊥AB 于E ， 则AE=ED=12AD=12×6=3， ∴BE=BD+DE=7+3=10， ∵AB 是直径，∴∠ACB=90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠ACB=∠AEC=90°，∴∠A+∠ACE=∠ACE+∠BCE=90°，∴∠A=∠BCE ，∴△ACE ∽△CBE ，∴AE CE = CE BE， 即CE 2=AE•BE=3×10=30， 在Rt △BCE 中，BC=22CE BE + =30102+= 130，故选：D ．【点评】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线并求出AC=CD 是解题的关键．33. 如图，在⊙O 中，点C 在优弧 AB ︵ 上，将弧︵BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是（ ）A ．AC=CDB ．︵ AC +︵ BD =︵ BCC ．OD ⊥AB D ．CD 平分∠ACB【分析】A 、作辅助线，构建折叠的性质可得AD=CD ；B 、相等两弧相加可作判断；C 、根据垂径定理可作判断；D 、延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，根据垂径定理可作判断．【解答】解：A 、过D 作DD'⊥BC ，交⊙O 于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD=CD'，∠ABC=∠CBD'，∴AC=CD'=CD ，故①正确；B 、∵AC=CD'，∴︵ AC ＝︵ CD′ ，由折叠得：︵ BD ＝︵ BD ′，∴︵ AC+︵ BD=︵ BC ，故②正确；C 、∵D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，故③正确；D 、延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，∵OD ⊥AB ，∴∠ACE=∠BCE ，∴CD 不平分∠ACB ，故④错误；故选：D ．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．34. 如图，点O 是半径为3的圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB 和弧BC 都经过圆心O ，则阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．3πC ．34πD ．53【分析】作OD ⊥AB 于点D ，连接AO ，BO ，CO ，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S 扇形AOC 得出阴影部分的面积是⊙O 面积的13，即可得出答案．【解答】解：作OD ⊥AB 于点D ，连接AO ，BO ，CO ，如图所示：∵OD=12AO ∴∠OAD=30°， ∴∠AOB=2∠AOD=120°，同理∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴阴影部分的面积=S 扇形BOC =13×⊙O 面积=13×π×32=3π，故选：B ． 【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、扇形面积以及圆的面积公式等知识；解题的关键是确定∠AOC=120°．35. 如图，△ABC 内接于⊙O ，BC=22，∠BAC=45°，将劣弧︵ AB 和︵AC 分别沿直线AB 、AC 折叠后交于点M ，点S 、T 是弦AB 、AC 上的动点，则△MST 的周长的最小值为（ ）A ．22B ．4C ．24D ．8【分析】作点M 关于AB 的对称点M ′，关于AC 的对称点M ″，根据折叠的性质得到点M ′，M ″在圆周上，连接M ′M ″，交AB 于S ，交AC 于T ，则△MST 的周长最小，连接AM ′，AM ″，OB ，OC ，根据圆周角定理得到M ′M ″是⊙O 的直径，即可得到结论．【解答】解：作点M 关于AB 的对称点M′，关于AC 的对称点M″，∵将劣弧AB 和AC 分别沿直线AB 、AC 折叠后交于点M ，∴点M′，M″在圆周上，连接M′M″，交AB 于S ，交AC 于T ，则△MST 的周长最小，连接AM′，AM″，OB ，OC ，则∠M′AM″=2∠BAC ，∵∠BAC=45°，∴∠M′AM″=∠BOC=90°，∵BC=22，∴OB=2，∴M′M″=2OB=4，∴△MST 的周长的最小值为4，故选：B ．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，轴对称-最短路线问题，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．36. 如图，在⊙O 中，点C 在优弧⌢ACB 上，将弧沿⌢BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若⊙O 的半径为5，AB=4，则BC 的长是 ．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD=BD=12AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到︵ AC=︵CD ，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=32．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，∵D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，∴AD=BD=12AB=2， 在Rt △OBD 中，OD=22BD OB -=222)5(-=1，∵将弧︵ BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．∴︵ AC 和︵ CD 所在的圆为等圆，∴︵ AC=︵CD ，∴AC=DC ，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形，∴OF=EF=1，在Rt △OCF 中，CF=22OF CO -=221)5(-=2，∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=32．故答案为32．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．37. 如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将︵ AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的︵ AB 上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD ，EO ．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD 是等边三角形，③EO 的最小值为1，其中正确的是 ．（请将正确答案的序号填在横线上）【分析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是否正确，EO 的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E 在什么轨迹上运动，便可解决问题．【解答】解：如图1，连接OA 和OB ，作OF ⊥AB ．由题知：︵AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ∴OF=OA=12OB∴∠AOF=∠BOF=60° ∴∠AOB=120°∴∠ACB=120°（同弧所对圆周角相等）∠D=12∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）∴∠ACD=180°-∠ACB=60°∴△ACD 是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形） 故，①②正确下面研究问题EO 的最小值是否是1 如图2，连接AE 和EF∵△ACD 是等边三角形，E 是CD 中点 ∴AE ⊥BD （三线合一） 又∵OF ⊥AB∴F 是AB 中点即，EF 是△ABE 斜边中线∴AF=EF=BF 即，E 点在以AB 为直径的圆上运动． 所以，如图3，当E 、O 、F 在同一直线时，OE 长度最小 此时，AE=EF ，AE ⊥EF∵⊙O的半径是2，即OA=2，OF=1∴AF=3（勾股定理）∴OE=EF-OF=AF-OF=3-1所以，③不正确综上所述：①②正确，③不正确．故答案为①②．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．38.如图，将︵AB沿着弦AB翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于D，连接BC．（1）求证：BC=BD；（2）若AC=1，CD=4，︵AB=120°，求弦AB的长和圆的半径．【分析】（1）作点C关于AB的对称点C′，连接AC′，BC′．利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问题；（2）连接OA，OB，作OM⊥AB于M，AH⊥BC交BC的延长线于H．解直角三角形求出AB，OA即可；【解答】（1）证明：作点C关于AB的对称点C′，连接AC′，BC′．由翻折不变性可知：BC=BC′，∠CAB=∠BAC′，∴︵BD=︵BC′，∴BD=BC′，∴BC=BD．（2）解：连接OA，OB，作OM⊥AB于M，AH⊥BC交BC的延长线于H．∵︵AB=120°，∴∠D=12×120°=60°，∴∠AOB=∠ACB=2∠D=120°， ∵BC=BD ，∴△BCD 是等边三角形， ∴BC=DC=4，在Rt △ACH 中， ∵∠H=90°，∠ACH=60°，AC=1，∴CH=12，AH=23，∴AB=22BH AH +=22)29()23(+=21， ∵OM ⊥AB ， ∴AM=BM=221，在Rt △AOM 中， ∵∠OAM=30°，∠AMO=90°， ∴OA=AMcos30°=7【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．39. 如图，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与CD 交于点M ，将︵CD 沿CD 翻折后，点A与圆心O 重合，延长OA 至P ，使AP=OA ，连接PC （1）求CD 的长；（2）求证：PC 是⊙O 的切线；（3）点G 为︵ADB 的中点，在PC 延长线上有一动点Q ，连接QG 交AB 于点E ．交︵BC 于点F （F 与B 、C 不重合）．问GE•GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）连接OC ，根据翻折的性质求出OM ，CD ⊥OA ，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC ，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；（3）连接GA 、AF 、GB ，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG ，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE 和△FGA 相似，根据相似三角形对应边成比例可得AG GE =FGAG ，从而得到GE•GF=AG 2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】（1）解：如图，连接OC ，∵︵CD 沿CD 翻折后，点A 与圆心O 重合， ∴OM=12OA=12×2=1，CD ⊥OA ，∵OC=2，∴CD=2CM=222OM OC -=22212-=23；（2）证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=12CD=3，∠CMP=∠OMC=90°，∴PC=22PM MC +=223)3(+=23，∵OC=2，PO=2+2=4，∴PC 2+OC 2=（23）2+22=16=PO 2， ∴∠PCO=90°， ∴PC 是⊙O 的切线；（3）解：GE•GF是定值，证明如下，连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF∵点G为︵ADB 的中点∴∠GOE=90°，∵∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH ∴△OGE∽△FGH∴OGGF=GEGH∴GE•GF=OG•GH=2×4=8．【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．40.如图1和图2，AB是⊙O的直径，AB=10，C是⊙O上的一点，将︵BC 沿弦BC翻折，交AB于点D．（1）若点D与圆心O重合，直接写出∠B的度数；（2）设CD交⊙O于点E，若CE平分∠ACB，①求证：△BDE是等腰三角形；②求△BDE的面积；（3）将图1中的︵BD 沿直径AB翻折，得到图2，若点F恰好是翻折后的︵BD 的中点，直接写出∠B的度数．【分析】（1）如图所示：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，则⊙O与⊙O′为等圆，然后证明︵AC =︵CD =︵BD ，则可得到︵AC 的弧度，从而可求得∠B的度数；（2）①将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，则⊙O与⊙O′为等圆，在⊙O′上取点E′，连接CE′，BE′．由等弧所对的圆周角相等可得到∠CEB=∠E′，依据圆内接四边形的性质可得到E′=∠BDE，故此可证明∠CEB=∠BDE ；②连接OE ．先证明∠BOE 为直角，依据勾股定理可求得BE 的长，从而得到BD 的长，最后依据△DBE 的面积=12BD•OE 求解即可；（3）将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD 翻折得到⊙O″，则⊙O 、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明︵AC =︵CD =︵ DF=︵FB ，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度数可求得∠B 的度数．【解答】解：（1）如图所示：将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O′，则⊙O 与⊙O′为等圆．∵︵AC 与︵CD 所对的角均为∠CBA ，⊙O 与⊙O′为等圆， ∴︵AC =︵ CD ． 又∵CD=BC ， ∴︵CD =︵ BD ．又∵︵ CDB =︵CO′B ，∴︵ AC =13︵ ACB ，∴∠ADC=13×180°=60°．∴∠B=30°．（2）①将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O′，则⊙O 与⊙O′为等圆，在⊙O′上取点E′，连接CE′，BE′．由翻折的性质可知：︵ CFB=︵ CDB ，∴∠CEB=∠E′．∵四边形CDBE′是圆内接四边形， ∴∠E′=∠BDE ． ∴∠CEB=∠BDE ． ∴BE=BD ．∴△BDE 为等腰三角形．②如图2所示：连接OE ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°．∵CE 是∠ACB 的角平分线， ∴∠BCE=45°． ∴∠BOE=90°．在Rt △OBE 中，BE=22OB OE =52． ∴BD=52．∴△DBE 的面积=12BD•OE=12×52×5=2225．（3）将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD 翻折得到⊙O″，则⊙O 、⊙O′、⊙O″为等圆．∵⊙O 与⊙O′为等圆，劣弧AC 与劣弧CD 所对的角均为∠ABC ， ∴︵AC =︵CD ． 同理：︵DF =︵CD ．又∵F 是劣弧BD 的中点， ∴︵DF =︵ BF ． ∴︵AC =︵CD =︵ DF =︵FB ．∴弧AC 的度数=180°÷4=45°． ∴∠B=12×45°=22.5°．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．41. 如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为G ，OG ：OC=3：5，AB=8．（1）求⊙O 的半径；（2）点E 为圆上一点，∠ECD=15°，将︵CE 沿弦CE 翻折，交CD 于点F ，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据AB ⊥CD ，垂足为G ，OG ：OC=3：5，AB=8，可以求得⊙O 的半径；（2）要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和三角形的面积即可解答本题．【解答】解：（1）连接AO ，如右图1所示，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，AB=8， ∴AG=12AB=4，∵OG ：OC=3：5，AB ⊥CD ，垂足为G ， ∴设⊙O 的半径为5k ，则OG=3k ， ∴（3k ）2+42=（5k ）2， 解得，k=1或k=-1（舍去）， ∴5k=5，即⊙O 的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE 翻折，点F 的对应点为M ，∵∠ECD=15°，由对称性可知，∠DCM=30°，S 阴影=S 弓形CBM ， 连接OM ，则∠MOD=60°， ∴∠MOC=120°，过点M 作MN ⊥CD 于点N ， ∴MN=MO•sin60°=5×23＝235， ∴S 阴影=S 扇形OMC -S △OMC =120×π×52360 −12×5×235=25π3−435， 即图中阴影部分的面积是：25π3−435． 【点评】本题考查垂径定理、扇形的面积、翻折变换，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．42.如图1，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标是（3，0），半径为2的⊙M交x轴于E、F两点，过点P（-1，0）作⊙M的切线，切点为点A，过点A作AB⊥x轴于点C，交⊙M于点B．抛物线y=ax2+bx+c 经过P、B、M三点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点Q是抛物线上一动点，且位于P、B两点之间，设四边形APQB的面积为S，点Q的横坐标为x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值和此时点Q的坐标；（3）如图2，将弧AEB沿弦AB对折后得到弧AE′B，试判断直线AF与弧AE′B的位置关系，并说明理由．【分析】【解答】【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、圆心角定理、切线的性质与判定、特殊三角形的判定和性质等知识点．。

专题：折叠类题目中的动点问题折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理、全等三角形性质、相似三角形性质、三角函数等知识进行解答。

此类问题立意新颖，充满着变化，要解决此类问题，除了能根据轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。

类型一、求折叠中动点运动距离或线段长度的最值例1. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 .图例1-1【答案】2.【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图例1-2所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.图例1-2 图例1-3由折叠性质可知，AD= A'D=5，在Rt△A'CD中，由勾股定理得，A C==='4②当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'PA的角平分线，与AD的交点即为点Q.由折叠性质可知，AB= A'B=3，所以四边形AB A'Q为正方形.所以A'C=BC－A'B=5－3=2.综上所述，点A移动的最大距离为4－2=2.故答案为：2.【点睛】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。

中考数学-----折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一．折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．600B ．750C ．900D ．950答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 答案：A【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.答案：36°二．折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10图（1）第3题图CDEBA图 （2）答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是A ．2B ．4C ．8 D．10答案：B【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。

操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。

则△GFC 的面积是（ ）EAAABBBCCC GDDDFF F 图a图b图cA.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2答案：B三．折叠后求长度【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且E D B C ⊥，则CE 的长是（ ） （A ）10315- （B ）1053- （C ）535- （D）20103-答案：D 四．折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）A. B. C. D.答案：D【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )ABCDEF 第7题图第8题图第9题图答案：D【11】如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B '处。

2020中考数学必刷— 圆中折叠问题【知识与方法】折叠问题是中考的热点题型，在解决这类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性质、全等思想、相似思想、勾股定理、代换思想等，培养学生识图能力，灵活运用数学知识是解决此类问题的关键。

圆中的折叠问题又具备了一个特殊的背景——圆，我们必须综合利用的圆的各种性质和直线型中的相关定理加以解决。

【例】如图，半圆的直径AB=10cm，弦AC=6cm，把AC沿直线AD对折,恰好与AB重合，点C落到C’,求AD的长。

【解析】设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD 的长．【解答】设圆的圆心是O，连接OD，AD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．则∠OFA=∠OED=90O根据题意知，∠CAD=∠BAD，∴CD BD=，∴点D是BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，又OA=OD∴△AOF≌△OED(AAS)，∴OE=AF=3cm，4==(cm)，)cm==故选A．【针对练习】1．将半径为3的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．BC．D．32【解答】过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，所以∠B=30°，所以∠AOB=180°﹣∠A ﹣∠B=120°,所以AB 的长为12032180ππ⨯=，设围成的圆锥的底面半径为r ，则22r ππ= ，所以r=1．所以圆锥的高=223122-=．故选：A ．【点评】：本题考查折叠的性质、直角三角形的性质、弧长计算、圆锥的侧面展开图．2、如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ ） A ．32B ．23C ．235D ．265【解法一】连AC 、DC 、OD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，过O 作OF ⊥CE 于F ， ∵BC 沿BC 折叠，∴∠CDB=∠H ，∵∠H+∠A=180°，∴∠CDA+∠CDB=180°，∴∠A=∠CDA ，∴CA=CD ，∵CE ⊥AD ，∴AE=ED=1，∵5OA =，AD=2，∴OD=1，∵OD ⊥AB ，∴OFED 为正方形，∴OF=1，5OC =，∴CF=2，CE=3，∴32CB =.解法一图 解法二图 【解法二】 作D 关于BC 的对称点E ，连AC 、CE ， ∵AB=4，AE=2AO=2∴BE=2，由对称性知，∠ABC=∠CBE=45°，∴AC=CE ，延长BA 至F ，使FA=BE ，连FC ，易证△FCA ≌△BCE ，∴∠FCB=90°，∴)22BC FB AB BE ==+=. 3、如图，点C 在以AB 为直径的半圆弧上，∠ABC=30°，沿直线CB 将半圆折叠，直径AB 和BC 交于点D ，已知AB=6，则图中阴影部分的面积和周长分别等于_____________．OHFEDCBAOFEDCBA【解析】 连CD ，AC ，由直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，得到∠A=60°，即△ACD 为等边三角形，于是有弓形BD 的面积=弓形CD 的面积，阴影部分的面积=扇形DAC 的面积，阴影部分的周长=半圆弧长加直径，然后根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可．【解答】连CD ， AC ，如图， ∵AB 为直径，∠ABC=30°， ∴∠ACB=90°，∠A=60°， ∴△ACD 为等边三角形， ∴∠DCB=30°，∴弓形BD 的面积=弓形CD 的面积，∴阴影部分的面积=扇形DAC 的面积=260333602ππ⋅= ； 阴影部分的周长=12•2π•3+6=3π+6．故答案为32π，3π+6．4．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O 6π-._【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC=，继而求出∠AOC=60°、AB=2AC=，然后根据S弓形ABM =S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案．【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=，在RT△AOC中，∵OA=1，OC=，∴cos∠AOC==，AC==∴∠AOC=60°，AB=2AC=，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S弓形ABM =S扇形OAB﹣S△AOB=﹣××=﹣，S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM=π×12﹣2（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．5、如图，AB 是半圆O 的直径，且AB=8，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）。

专题04 动点折叠类问题中有关计算题型一、基础知识点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等.通过研究历年中考真题并结合2019年各省（市）的中考真题，特总结出此专题. 期望能给各位老师及同学以学习教学一些启发，一些指引，培养出学生的解题素养.下面我们从几个例题中展开论述，逐层拨开它的神秘面纱.二、精品例题解析题型一：图形折叠中的计算例1.（2019·青岛）如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ．若AD＝4 cm，则CF 的长为cm ．例2. 如图，矩形ABCD中，AB=36BC=12，E为AD的中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落在CF上的点G处，则折痕EF的长是例3.（2019·连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝22AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝62MP；④BP＝22AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个例4.（2019·潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD=2，将∠A向内折叠，点A落在BC上，记为A’，折痕为DE. 若将∠B沿EA’向内折叠，点B恰好落在DE上，记为B’，则AB=例5.（2019·天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE,折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上. 若DE=5，则GE的长为例6.（2019·南充）如图，正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB 得到折痕AE ，再翻折纸片，使AB 与AD 重合.以下结论错误的是（ ） A.52102+=AH B.215-=BC CD C.EH CD BC ⋅=2 D.515sin +=∠AHD例7.（2019·金华）如图，将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线减去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM ，GN 是折痕，若正方形EFGH 与五边形MCNGF 面积相等，则FMGF 的值是（ ）A. 522B. 21-C. 12D. 22例8.（2019·重庆）如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC'，DC ’与AB 交于点A ’，连结AC'，若AD =AC ’=2，BD =3，则点D 到BC 的距离为（ ）A ．233B ．7213C ．7D ．13例9.（2019·重庆）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AB=3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AE=1. 连接DE ，将△ADE 沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内，得△AEF ，连接DF ，过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G. 则四边形DFEG 的周长为（） A. 8 B. 42 C. 224+ D. 322+题型二：图形折叠中证明、计算题例10.（2019·滨州） 如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG ∥CD 交BE 于点G ，连接CG.（1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若AB=6，AD=10，求四边形CEFG 的面积.二、精品例题解析题型一：图形折叠中的计算例1.（2019·青岛）如图，在正方形纸片 ABCD 中， E 是 CD 的中点，将正方形纸片折叠，点 B 落在线段AE 上的点 G 处，折痕为 AF ．若 AD ＝4 cm ，则 CF 的长为 cm ．【答案】625-【分析】要求CF 的长，观察图形，发现CF 在Rt △CEF 中，想到用勾股定理求解，然而EF 的长度是未知的，求解难度较大；再观察图形，发现CF=BC －BF ，只要求出BF 长度即可，而BF=GF ，进而想到利用面积法来求解，设CF=x ，BF=GF=4－x ，列方程求解x 即可.【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD=BC=4，∠C=∠D=90°，设CF=x ，由折叠知：BF=GF=4－x ，∵E 是CD 中点，∴DE=2，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE=5ADE ABF AEF CEF ABCD S S S S S =+++△△△△正方形 即：()()111116424425422222x x x =⨯⨯+⨯⨯-+⨯-+⨯⨯ 解得：x=65-，故答案为：65-. 例2. 如图，矩形ABCD 中，AB=36BC=12，E 为AD 的中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF折叠后，点A 恰好落在CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是【分析】EF 在Rt △AEF 中，求出AF 的长即可利用勾股定理求解折痕EF 的长度；连接CE ，可证△CEG ≌△CED ，得EF ⊥CE ，设AF=x ，利用CF 2=BF 2+BC 2，CF 2=EF 2+CE 2，列出方程求解AF 的长. 【答案】215.【解析】解：∵E 是AD 的中点，∴AE=ED ，由折叠知：AE=EG ，∴EG=DE,连接CE ，在Rt △CDE 和Rt △CDG 中，CE=CE ，EG=AE=DE∴Rt △CDE ≌Rt △CDG∴∠GEC=∠DEC ，∴∠FEC=90°，设AF=x ，则BF=36x ，BC=AD=12，在Rt △EFC 和Rt △BFC 中，由勾股定理得：222222AE AF DE CD BF BC +++=+即：(()22222266363612x x +++=-+，解得：x=26， ∴()22626215+=故：答案为215.例3.（2019·连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝22AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝6MP；④BP＝2AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B.【解析】解：由折叠性质知：∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME＝12×180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①正确；由折叠知：∠D＝∠MEC＝90°，∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°，即点C、E、G在同一条直线上，故②错误；∵AD＝2，设AB＝x，则AD＝2，由折叠知：DM＝12AD2x，由勾股定理得：CM3x，∵∠PMC ＝90°，MN ⊥PC ，∴△CMN ∽△CPM ，∴CM 2＝CN •CP ，∴CP 22x =，∴PN ＝CP ﹣CN ＝2x ，由勾股定理得：PM x ，∴PC PM=即PC MP ，故③错误；PB x ，AB PB=∴PB ＝2AB ，故④正确， 由折叠知：CD ＝CE ，EG ＝AB ，AB ＝CD ，∴CE ＝EG ，∵∠CEM ＝∠G ＝90°，∴FE ∥PG ，∴CF ＝PF ，∵∠PMC ＝90°，∴CF ＝PF ＝MF ，∴点F 是△CMP 外接圆的圆心，故⑤正确；故答案为：B ．例4.（2019·潍坊）如图，在矩形ABCD 中，AD=2，将∠A 向内折叠，点A 落在BC 上，记为A ’，折痕为DE. 若将∠B 沿EA ’向内折叠，点B 恰好落在DE 上，记为B ’，则AB=【答案】232 33+.【解析】解：由折叠知：∠AED=∠DEA’=∠BEA’，而∠AED+∠DEA’+∠BEA’=180°，∴∠AED=∠DEA’=∠BEA’=60°，∴∠EDA=∠EDA’=∠CDA’=30°,∵AD=2，∴A’E=AE=323 33AD=，∴BE=32'33A E=,即AB=AE+BE=2323+.例5.（2019·天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE,折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上. 若DE=5，则GE的长为【答案】49 13.【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠DAB=90°，AD=AB ，由折叠性质知：AE ⊥BF ，∴∠DAE+∠BAE=∠ABF+∠BAE=90°，即∠DAE=∠ABF ，∴△ADE ≌△BAF ，∴AF=DE=5，由勾股定理得：AE=BF=13，∴AG=2×51213⨯=12013， ∴GE=AE －AG=4913. 故答案为：4913. 例6.（2019·南充）如图，正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB 得到折痕AE ，再翻折纸片，使AB 与AD 重合.以下结论错误的是（ ） A.52102+=AH B.215-=BC CD C.EH CD BC ⋅=2 D.515sin +=∠AHD【答案】D.【解析】解：由折叠知：四边形BADH 为菱形，∴EH=BE+BH在Rt △ABE 中，由勾股定理得：225BE AE +=∴5，5，在Rt △AEH 中，由勾股定理，得：AH 2=()2222512=1025EH AE +=+++， 故A 正确；CD=AD －AC=5－1，BC=2，∴51CD BC -=，故B 正确； BC 2=4，CD ×EH=（5－1）×（5+1）=4， 故C 正确；∵∠AHD=∠AHE ，∴515sin sin +≠=∠=∠AH AE AHE AHD 故D 错误，即答案为D.例7.（2019·金华）如图，将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线减去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM ，GN 是折痕，若正方形EFGH 与五边形MCNGF 面积相等，则FMGF 的值是（ ）A. 52-B. 21C. 12D. 22【答案】A.【解析】解：设正方形ABCD 的边长为a ，连接HF ，GE 交于点O ，则GE ⊥HF ，∠GFH=45°，∴2, 由题意知：正方形EFGH 、与其它四个五边形的面积均相等，∴正方形EFGE 面积为：25a ， 即GF=55a ， ∴FO=2251022GF a a =⨯= FM=OM －FO=102a a - ∴105221025a a FM GF a --==， 故答案为A.例8.（2019·重庆）如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC'，DC ’与AB 交于点A ’，连结AC'，若AD =AC ’=2，BD =3，则点D 到BC 的距离为（ ）A ．233 B ．7213 C ．7 D ．13【答案】B.【解析】解：如图，连接CC ’，交BD 于M ，过D 作DH ⊥BC ’于H ，∵AD=AC ’=2，AD=CD=2，由翻折知：CD=DC ’=2，∠DBC=∠BDC ’，∴△ADC ’为等边三角形，DH 即为所求，∴∠ACC ’=∠DC ’C=30°，∴DM=1，C ’M= 3 ∵BD=3， ∴BM=BD －DM=2，在Rt △BMC ’中，由勾股定理得：BC ’= 22'7C M BM +=,∵'11''22BC D S BD MC BC DF =⋅=⋅△ ∴DH=3217， 故答案为：B.例9.（2019·重庆）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AB=3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AE=1. 连接DE ，将△ADE 沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内，得△AEF ，连接DF ，过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G. 则四边形DFEG 的周长为（） A. 8 B. 42 C. 224+ D. 322+【答案】B.【解析】解：∵∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD ＝90°﹣∠ABC ＝45°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴AD ＝BD ，∴∠GBD+∠C ＝90°，∵∠EAD+∠C ＝90°，∴∠GBD ＝∠EAD ，∵∠ADB ＝∠EDG ＝90°，∴∠ADB ﹣∠ADG ＝∠EDG ﹣∠ADG ，即∠BDG ＝∠ADE ，∴△BDG ≌△ADE ，∴BG ＝AE ＝1，DG ＝DE ，∵∠EDG ＝90°，∴△EDG 为等腰直角三角形，∴∠AED ＝∠AEB+∠DEG ＝90°+45°＝135°，∵△AED 沿直线AE 翻折得△AEF ，∴△AED ≌△AEF ，∴∠AED ＝∠AEF ＝135°，ED ＝EF ，∴∠DEF ＝360°﹣∠AED ﹣∠AEF ＝90°，∴△DEF 为等腰直角三角形，∴EF ＝DE ＝DG ，在Rt △AEB 中，由勾股定理得：BE ＝，∴GE ＝BE ﹣BG ＝﹣1，在Rt △DGE 中，DG ＝DE=2GE ＝2﹣2，∴EF ＝DE ＝2﹣2， 在Rt △DEF 中，DF ＝DE ＝﹣1，∴四边形DFEG 的周长为：GD+EF+GE+DF ＝2（2）+2（1）＝+2，题型二：图形折叠中证明、计算题例10.（2019·滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积.【分析】（1）由翻折性质并借助全等三角形的性质和菱形的判定方法证明结论成立；（2）由勾股定理，可以求得AF的长，并求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．【答案】见解析.【解析】（1）证明：由题意可得：△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，专题04 动点折叠类问题中有关计算题型∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，在Rt△FDE中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，解得，x＝10 3，即CE＝10 3，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝103×2＝203．。