函数y=asin(ωx+φ) 的图象练习题

函数y =A sin(ωx +φ)的图象一、选择题1.为了得到函数y =cos(x +)，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线y =cos x 上的所有的点 ( )(A) 向左平移个单位长度 (B) 向右平移个单位长度(C) 向左平移个单位长度 (D) 向右平移个单位长度2.函数y =5sin(2x +θ)的图象关于y 轴对称，则θ= ( )(A) 2kπ+(k ∈Z ) (B) 2kπ+ π(k ∈Z ) (C) kπ+(k ∈Z ) (D) kπ+ π(k ∈Z )3. 函数y =2sin(ωx +φ)，|φ|<的图象如图所示，则 ( )(A) ω=,φ= (B) ω=,φ= -(C) ω=2,φ= (D) ω=2,φ= - 4.函数y =cos x 的图象向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为 ( )(A) y =3cos(x +) (B) y =3cos(2x +) (C) y =3cos(2x +) (D) y =cos(x +)5.已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)在同一周期内,当x =时,y max =2;当x =时，,y min =-2.那么函数的解析式为 ( )(A) y =2sin(2x +) (B) y =2sin(-) (C) y =2sin(2x +) (D) y =2sin(2x -)6.把函数f (x )的图象沿着直线x +y =0的方向向右下方平移,得到函数y =sin3x 的图象，则 ( )(A) f (x )=sin(3x +6)+2 (B) f (x )=sin(3x -6)-2 (C) f (x )=sin(3x +2)+2 (D) f (x )=sin(3x -2)-2二. 填空题7.函数y =3sin(2x -5)的对称中心的坐标为 ;8.函数y =cos(x +)的最小正周期是 ;9.函数y =2sin(2x +)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 ;10.函数y =sin2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线x =对称，则φ的最小值是 .三. 解答题3π3π3π13136π2π2π10116π10116π6π6π3π12123π3π23π13126π12π712π3π2x 6π6π3π23π4π6π6π11.写出函数y =4sin2x (x ∈R )的图像可以由函数y =cos x 通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同的变换)12.已知函数log 0.5(2sin x -1),(1)写出它的值域.(2)写出函数的单调区间.(3)判断它是否为周期函数?如果它是一个周期函数,写出它的最小正周期.13.已知函数y =2sin(x +5)周期不大于1，求正整数k 的最小值.14. 已知N (2,)是函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的最高点，N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴交于A 、B ，其中B 点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式.§1.5 函数y =A sin(ωx +φ)的图象一、ACABAB二、(+,0) ( k ∈Z); 8. 3; 9.［,］; 10.三、11. (一)①先由函数y =cos x 的图象向右平移个单位;②纵坐标不变横坐标缩小到原来的;③横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍.(二)①先由函数y =cos x 的图象纵坐标不变横坐标缩小到原来的;②向右平移个3k22πk 2556π-3π-125π2π21214π单位; ③横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍.12.(1) (0,+ ∞); (2) (( k ∈Z)减区间;( k ∈Z)增区间; (3)是周期函数; 最小正周期.13.解：∵≤1,∴k ≥6π,最小正整数值为19.14.解：∵N （2，）是函数y =A sin(ωx +φ)的图象的一个最高点 ∴A=. ∵N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴相交于A 、B ，B 点坐标为（6，0）∴=|x B －x N |=4，∴T =16.又∵T =,∴ω==∵x N =∴x A =2x N －x B =－2∴A(-2,0)∴y =sin (x +2)2,2]62k k ππππ++5[2,2)26k k ππππ++π232kπ2247ωπ2T π28π2B A x x +28π。

51高一数学y=Asin(ωxφ)的图象函数y=Ain(某+)的图象2022-8-271yAin(某)振幅周期:T2022-8-27相位2初相(某=0时的相位)1频率:fT22复习练习1.要得到函数y=2in某的图象，只需将y=in某图象(D)A.横坐标扩大原来的两倍B.纵坐标扩大原来的两倍C.横坐标扩大到原来的两倍D.纵坐标扩大到原来的两倍2022-8-273复习练习2.要得到函数y=in3某的图象，只需将y=in某图象(D)A.横坐标扩大原来的3倍B.横坐标扩大到原来的3倍C.横坐标缩小原来的1/3倍D.横坐标缩小到原来的1/3倍2022-8-274复习练习3.要得到函数y=in(某+π/3)的图象，只需将y=in某图象(C)A.向左平移π/6个单位B.向右平移π/6个单位C.向左平移π/3个单位D.向右平移π/3个单位2022-8-275复习练习4.要得到函数y=in(2某-π/3)的图象,只需将y=in2某图象A.向左平移π/3个单位DB.向右平移π/3个单位C.向左平移π/6个单位D.向右平移π/6个单位2022-8-276例1作函数y=3in(2某+分析：3)的简图因为T=,所以用“五点法”先作长度为一个周期的闭区且间上的简图设：某2某那么：in(2某)3in某333某某2332当某取0,,,2,时，可求得相对应的某、y的2值，得到“五点”,再描点作图然后将简图左右扩展。

2022-8-27略解：(1)列表：某0030y230y=3in(2某+33(2)描点：),(,0)6(,3),1275,(,,3)(,0)(,0)1236(3)连线：6o123(4)根据周期性将作出的简图左右扩展。

2022-8-2771256某8-3(1)向左平移3函数y=in某12y=in(某+)的图象3倍(2)横坐标缩短到原来的纵坐标不变y=in(2某+)的图象3y=3in(2某+)的图象3(3)横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍2022-8-27方法1:先平移后伸缩演示y321y=3in(2某+)③3y=in某356o53236某-1-2-32022-8-27y=in(某+)①3y=in(2某+)②3方法1:先平移后伸缩一般规律函数y=Sin某(1)向左(>0)或向右(<0)平移||个单位y=Sin(某+)的图象(2)横坐标缩短(>1)或伸长(0<<1)到1原来的倍，(纵坐标不变)y=Sin(某+)的图象(3)纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)y=ASin(某+)的图象2022-8-27(1)横坐标缩短到原来的函数y=Sin某纵坐标不变(2)向左平移612倍y=Sin2某的图象y=Sin(2某+)的图象3y=3Sin(2某+)的图象3(3)横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍2022-8-27方法2:先伸缩后平移演示y321y=3in(2某+)③3y=in某356o236某y=in2某①-1-2-32022-8-27y=in(2某+)②3方法2:先伸缩后平移一般规律函数y=Sin某(1)横坐标缩短(>1)或伸长(0<<1)到1原来的倍，纵坐标不变y=Sin某的图象(2)向左(>0)或向右(<0)平移||个单位y=Sin(某+)的图象(3)横坐标不变，纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍y=ASin(某+)的图象2022-8-27其余方法演示….y321y=3in(2某+)③3y=3in2某②y=3in某①y=in某356o5336某-1-2-32022-8-2715例2、弹簧挂着的物体作上下振动,它在时间t(秒)内离开平衡位置(就是静止时的位置)的位移S(cm)由函S=5in(π/2t+π/4)决定,(1)试求物体离开平衡位置的最大距离；(2试求物体往复振动一次所需的时间；(3)试求物体每秒钟内往复振动的次数；2022-8-27练习1、当函数y=-5in(-2某+π/4)表示一个振动量时其振幅为5π周期为______频率为相位为1/π-2某+π/4π/4初相为2022-8-27;17练习2、将函数y=in2某的图象向左平移π/6得到的曲线对应的解析式为(A.y=in(2某+π/6)CB.y=in(2某-π/6)C.y=in(2某+π/3)D.y=in(2某-π/3)2022-8-2718练习3、要得到函数y=co3某的图象，只需将函数y=co(3某-π/6)的图象()CA.向左平移π/6个单位B.向右平移π/6个单位C.向左平移π/18个单位D.向右平移π/18个单位2022-8-2719。

高一数学(必修一)《第五章 函数y=Asin （ωx φ）》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．已知函数()2sin(2)16f x x a π=+++，且当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2.（1）求a 的值；（2）先将函数()y f x =的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图像向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图像，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.2．写出将sin y x =的图像变换后得到2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的过程，并在同一个直角坐标平面内画出每一步变换对应的函数一个周期的图像（保留痕迹）． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． 4．用“五点法”画出函数2sin y x =在区间[]0,2π上的图象． 5．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω与2πϕ<)，在同一个周期内，当4x π=时，则y 取最大值1，当712x π=时，则y 取最小值-1． (1)求函数()f x 的解析式．(2)函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象 (3)求方程()()01f x a a =<<在[]0,2π内的所有实数根之和． 6．已知函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 图象的对称轴；(2)将函数()f x 图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x k =+在()2,4-上有两个零点，求实数k 的取值范围.7．2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，则火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： 0lnkm v m ω=，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为发动机的喷射速度，0m 和k m 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．0km m 被称为火箭的质量比．(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：ln20.69≈，无理数e 2.71828=）二、单选题8．为了得到函数3sin 2y x =的图象，只要将函数3sin(21)y x =-的图象（ ） A ．向左平移1个单位长度 B ．向左平移12个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移12个单位长度9．函数sin3y x =的图象可以由函数cos3y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位得到 B ．向左平移6π个单位得到 C ．向右平移3π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到 10．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将cos2y x =的图像（ ）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度 D ．向右平移23π个单位长度 11．为了得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数3sin y x =图像上所有点（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12B ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C ．向左平行移动6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12D ．向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 12．要得到函数π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，需（ ）A ．将函数3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B ．将函数π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度D ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度13．为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度三、填空题14．将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到()()sin y g x A x ωϕ==+（0A >，0>ω与π2ϕ≤）的图象如图，则()f x 的解析式为_____．15．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．参考答案与解析1．（1）2a =；（2）3π. 【分析】（1）由于当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2，所以min ()112f x a =-++=，从而可求出a 的值；（2）由图像变化可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=，从而可求出x 的值【详解】（1）()2sin(2)16f x x a π=+++，∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈∴min ()112f x a =-++=，∴2a =；（2）依题意得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=∴4266x k πππ-=+(k Z ∈)或54266x k πππ-=+(k Z ∈) ∴212k x ππ=+或24k x =+ππ，解得12x π=或4x π= ∴所有根的和为1243πππ+=.【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题2．答案见解析．图像见解析【分析】由三角函数图像中的相位变换、周期变换、振幅变换叙述变换过程，然后作出图像变换的过程即可.【详解】先将sin y x =的图像上各点向右平移4π个单位得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像再将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.再将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.3．（1）f (x )＝sin (2)6x π+ ；（2） 答案见解析.【分析】（1）由图像可得A ＝1，51264Tππ-=结合2T πω=可求出ω的值，然后将点(,1)6π代入解析式可求出ϕ的值，从而可求出函数f (x )的解析式； （2）利用三角函数图像变换规律求解【详解】(1)由图像知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×5()126ππ-＝π，故ω＝2Tπ＝2 将点(,1)6π代入f (x )的解析式得sin ()3πϕ+＝1又|φ|＜2π，∴φ＝6π.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin (2)6x π+.(2)变换过程如下：y ＝sin x 图像上的所有点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图像，再把y ＝sin 2x 的图像,向左平移12π个单位y ＝sin (2)6x π+的图像． 4．答案见解析【分析】利用五点作图法，列表、描点、连线可作出函数sin y x =在区间[]0,2π上的图象. 【详解】解：按五个关键点列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．5．(1)()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)答案见解析 (3)112π【分析】(1)结合已知条件可求出A ，最小正周期T ，然后利用最小正周期公式求ω，通过代值求出ϕ即可；(2)利用平移变换和伸缩变换求解即可；(3)利用正弦型函数的对称性求解即可. (1)设()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期为T 由题意可知，1A =，1721243T πππ=-=即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x φ=+∵3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴3242k ππϕπ+=+ k Z ∈ 又2πϕ<，∴4πϕ=-∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)利用平移变换和伸缩变换可知，sin y x =的图象向右平移4π个单位长度，得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象再将sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．(3)∵()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为23π∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π内恰有3个周期故所有实数根之和为1119112662ππππ++=． 6．(1)14x k =+ k ∈Z (2)()2,0-.【分析】（1）求出()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程442x k ππππ+=+，k ∈Z 即得解；（2）求出()2cos 4g x x π=，即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，再利用数形结合分析求解. （1）解：因为()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令442x k ππππ+=+，k ∈Z ，解得14x k =+ k ∈Z 所以函数()f x 图象的对称轴为直线14x k =+ k ∈Z . （2）解：依题意，将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为()()2sin 12cos 444g x x x πππ⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.函数()y g x k=+在()2,4-上有两个零点即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，如图所示所以02k <-<，即20k -<< 所以实数k 的取值范围为()2,0-. 7．(1)2.8千米/秒(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒，理由见解析【分析】（1）明确0k m m ω、、各个量的值，代入即可;（2）求出最大理想速度max v ，利用放缩法比较max 2ln10v =与7.9的大小即可. （1）2ω=，0160m =和40k m =0lnk m v m ω∴=21602ln 2ln 42ln 24ln 2 2.7640=⨯===≈ ∴该单级火箭的最大理想速度为2.76千米/秒.（2）10km M ≤ 2ω= 0max ln km v m ω∴=2ln10= 7.97.97128e22>>=7.97.9ln ln128ln1002ln10e ∴=>>=max v ∴2ln107.9=<.∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒.8．B【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．【详解】解：()13sin 213sin 22y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝=⎭∴把函数13sin 22x y ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的图形向左平移12个单位可得到函数3sin 2y x =．故选：B ． 9．A【分析】化简函数sin 3cos[3()]6y x x π==-，结合三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由于函数3sin 3cos(3)cos(3)cos[3()]226y x x x x πππ==+=-=- 故把函数cos3y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到cos3sin 36y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象.故选：A. 10．B【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可. 【详解】将cos2y x =的图像向右平移3π个单位长度可得2cos2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 11．A【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可【详解】将3sin y x =向左平移3π长度单位，得到3sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得的各点的横坐标缩短到原来的12，可得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 故选：A 12．D【分析】根据三角函数的图像变换逐项判断即可.【详解】解：对于A ，将3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于B ，将π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 210y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于C ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度后，得到2π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于D ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度后，得到π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，正确.故选:D. 13．C【分析】化简2cos 2y x x =+，再根据三角函数图象平移的方法求解即可【详解】12cos 22cos 222cos 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到2cos 22cos263ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x故选：C14．()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由图像可知，函数的最值、最小正周期，可得,A ω的值，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，进而解得ϕ的值，根据函数的图像变换规律，可得答案.【详解】由题图可知()max 2A g x ==，函数()g x 的最小正周期为45πππ3123T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π2T ω==，所以()()2sin 2g x x ϕ=+．又5π5π2sin 2126g ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5ππ2π62k ϕ+=+（k ∈Z ），解得π2π3k ϕ=-（k ∈Z ）． 因为π2ϕ≤，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．将函数()g x 的图象向右平移π6个单位长度后可得到函数()f x 的图象故()ππ2π2sin 22sin 2633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．4π9【分析】根据题意得到圆心角2π9AOB α=∠=，结合弧长公式，即可求解.第 11 页 共 11 页 【详解】由题意，可知圆心角2π9AOB α=∠=，半径2r OA == 所以AOB ∠所对应的弧长为2π4π299l r α==⨯=． 故答案为：4π9.。

三角函数y =Asin(ωx +φ)图像练习题一、单选题1. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω,φ的值分别是( )A. 2,−π3 B. 2,−π6 C. 4,−π6 D. 4,π32. 为了得到函数y =sin (2x +π3)的图象，只需要把函数y =sinx 的图象上( )A. 各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π3个单位长度 B. 各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位长度 C. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π3个单位长度 D. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位长度3. 要得到函数y =sinx +cosx 的图象，只需把函数y =√2sin (x −π12)的图象( )A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移13个单位长度D. 向右平移13个单位长度4. 要得到函数y =3sin (2x +π4)的图象，只需将y =3sin2x 的图象( )A. 向左平移π8个单位 B. 向右平移π8个单位 C. 向左平移π4个单位D. 向右平移π4个单位5. 已知函数f(x)=Msin(ωx +φ)(M >0,ω>0,|φ|<π2)在半个周期内的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )A. f(x)=2sin(x +π6) B. f(x)=2sin(2x −π6)C. f(x)=2sin(x−π6)D. f(x)=2sin(2x+π6)6.为得到函数y=cos(x+π3)的图象，只需将函数y=sinx的图象()A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度C. 向左平移5π6个单位长度 D. 向右平移5π6个单位长度7.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的图象如图所示，则函数的解析式是()A. y=2sin(x2−23π)B. y=2sin(x2+43π)C. y=2sin(x2+23π)D. y=2sin(x2−π3)8.设ω>0，函数y=sin(ωx+π3)+2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是()．A. 23B. 43C. 32D. 39.如图所示，函数f(x)=Asin(2x+φ)(其中A>0，|φ|<π2)的图象过点(0,√3)，则f(x)的图象的一个对称中心是()A. (−π3,0)B. (−π6,0)C. (π6,0)D. (π4,0)10.将函数y=sinωx(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式为()A. y=sin(x+π6)B. y=sin(x−π6)C. y=sin(2x+π3)D. y=sin(2x−π3)11.将函数f(x)=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>1)(纵坐标不变)，得函数g(x)的图象.若g(π6)=1，g(2π3)=0，且函数g(x)在(π6,π2)上具有单调性，则ω的值为()A. 2B. 3C. 5D. 712.设函数的最小正周期为π，则下列说法正确的是()A. 函数f(x)的图象关于直线x=π3对称B. 函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称C. 函数f(x)在(−5π12,π12)上单调递减D. 将函数f(x)的图象向右平移5π12个单位，得到的新函数是偶函数13.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)为奇函数，则()A. f(x)的图象关于点(π6,0)对称 B. f(x)的图象关于点(−π6,0)对称C. f(x)在(−π6,π3)上单调递增 D. f(x)在(−2π3,−π6)上单调递增14.已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是()A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C215.已知曲线y=sin(2x+π6)向左平移φ(φ>0)个单位，得到的曲线y=g(x)经过点(−π12,1)，则()A. 函数y=g(x)的最小正周期T=π2B. 函数y=g(x)在[11π12,17π12]上单调递增C. 曲线y=g(x)关于直线x=π6对称D. 曲线y=g(x)关于点(2π3,0)对称16.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式为()A. y=32sin(2x+π6)B. y=32sin(2x−π6)C. y=32sin(2x+π3)D. y=32sin(2x−π3)二、多选题17.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为奇函数，则φ的值可以为()A. π12B. π6C. π3D. 2π318.为了得到函数y=cos(2x+π4)的图象，只要把函数y=cosx图象上所有的点()A. 向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B. 向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍C. 横坐标变为原来的12倍，再向左平移π8个单位长度 D. 横坐标变为原来的12倍，再向左平移π4个单位长度19. 已知函数f(x)=2cos 2ωx +√3sin2ωx −1(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的有( )A. ω=2B. 函数f(x)在[0,π6]上为增函数C. 直线x =π3是函数y =f(x)图象的一条对称轴 D. 点(512π,0)是函数y =f(x)图象的一个对称中心20. 将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的23，得到函数g(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )A. f(x)的最小正周期为π，最大值为2B. f(x)的图象关于点(π6,0)中心对称 C. f(x)的图象关于直线x =π6对称 D. f(x)在区间[π6,π3]上单调递减第II 卷（非选择题）三、解答题21. 已知函数f(x)=4cos xsin (x +π6)−1．(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[−π6,π4]上的最大值和最小值．22.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若x∈[−53,53]，求函数f(x)的值域．23.已知函数f(x)=2√3sinxcosx−cos(2x+π3)−cos(2x−π3)．(Ⅰ)求f(π2)的值．(Ⅱ)求函数f(x)在区间[−π12,5π12]上的最大值和最小值．24.已知函数y=12sin (2x+π6),x∈R．(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；(3)该函数的图象可由y=sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到⋅25.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示：(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像，求函数y=g(x)在区间[0,π4]上的最大值及函数取最大值时相应的x 值.26.已知函数f(x)=cos2x+sin(2x−π6).(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)当x∈[0,π]时，求函数f(x)的单调递增区间．27.已知函数f(x)=2cos(x−π3)+2sin(3π2−x)．(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)求函数f(x)的最大值，并求f(x)取得最大值时的x的取值集合;(3)若f(x)=65，求cos(2x−π3)的值．28.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示．(I)求f(x)的解析式；(II)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a=1，c=2，f(A)=1，求b的值．29.已知函数f(x)=√3sinxcosx+sin2x−12．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若A∈(π12,π3)，f(A)=13，求cos(2A−5π6)的值．30.已知函数f(x)=4sinxcos(x+π3)+√3．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；(2)求函数f(x)在区间[−π4,π6]上的值域和取得最大值时相应的x的值．答案和解析1.【答案】A本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，属于基础题．结合图象由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值．【解答】解：由题意可知T=2×(11π12−5π12)=π，∴ω=2，x=5π12时，函数取得最大值2，可得：2sin(2×5π12+φ)=2，，即，又∵−π2<φ<π2，所以φ=−π3.故选A.2.【答案】B本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象的伸缩平移，属于基础题．根据函数图象伸缩平移变换法则即可得到答案．【解答】解：y=sinx图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到y=sin2x的图象，再向左平移π6个单位长度得到y=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3)的图象，故选B．3.【答案】A【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象的平移变换，辅助角公式，属于基础题．由辅助角公式，根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象的平移变换可得答案．【解答】解：y =sinx +cosx，则要得到函数y =sinx +cosx 的图象，只需把函数y =√2sin (x −π12)的图象向左平移π3个单位长度． 故选A ．4.【答案】A本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．由y =3sin (2x +π4)=3sin [2(x +π8)]，根据左加右减的平移原理，即可得到结果． 【解答】解：y =3sin (2x +π4)=3sin [2(x +π8)]，因此将函数y =3sin2x 的图象向左平移π8个单位，即可得到函数y =3sin (2x +π4)的图象． 故选A .5.【答案】A【分析】本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题． 由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．【解答】解：由图象知M =2． 设函数f(x)的最小正周期为T ， 则14T =π3−(−π6)=π2，可知T =2π，ω=2πT=1，将(π3,2)代入f(x)的解析式得sin(π3+φ)=1， 又|φ|<π2，可得φ=π6，故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(x +π6). 故选A ．6.【答案】C本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质、函数图象的变换的相关知识，属于基础题．根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的规则可得结论．【解答】解：故选C．7.【答案】C本题考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质，涉及诱导公式应用，属于基础题．依题意，根据图象求得A=2，ω=12，根据五点作图法得进而求得结果．【解答】解：由图知A=2，T2=8π3−2π3=2π=πω,ω=12，y=2sin(12x+φ)，根据五点作图法知，代入得，，所以，k∈Z，故选C．8.【答案】C本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质，属于基础题．函数y=sin(ωx+π3)+2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，可判断出4π3是此函数周期的整数倍，由此能求出ω的表达式，判断出它的最小值．【解答】解：由函数的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，得4π3是此函数周期的整数倍．又ω>0，∴2πω⋅k=4π3(k∈Z,且k>0)，∴ω=3k2(k∈Z,且k>0)，∴ωmin=32．故选C．9.【答案】B【解答】解：由函数图象可知A=2，由于图象过点(0,√3)，可得2sinφ=√3，即sinφ=√32，由于|φ|<π2，解得φ=π3，即有f(x)=2sin(2x+π3)．由2x+π3=kπ，k∈Z，解得x=kπ2−π6，k∈Z，故f(x)的图象的对称中心是(kπ2−π6,0)，k∈Z，当k=0时，f(x)的图象的一个对称中心是(−π6,0)．故选B．10.【答案】C本题考查三角函数图像的平移变换，函数的解析式，属于基础题．由三角函数图像的平移得为，代入点，得，得ω=2，从而得解析式．【解答】解：函数y=sinωx(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度，则平移后的图象所对应的函数解析式为，代入点，得，，k∈Z，当k=0时，ω=2，即解析式为y=sin(2x+π3)．故选C．11.【答案】B本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．根据题意得出，得出ω=2n−1(n∈N∗)，由函数g(x)在(π6,π2)上具有单调性，得出π2−π6⩽T2=πω，即可求出结果．【解答】解：由题意得，g(x)=sin(ωx+φ)，最小正周期T=2πω，若g(π6)=1，g(2π3)=0，，∴ω=2n−1(n∈N∗)，∵函数g(x)在(π6,π2)上具有单调性，∴π2−π6⩽T2=πω，解得ω⩽3，又ω>1，ω=2n−1(n∈N∗)，∴ω=3．故选B．12.【答案】D本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，正弦、余弦函数的图象与性质，属于中档题．先根据函数f(x)=12sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，求出ω=2，再根据选项逐一判断即可．【解答】解：∵函数f(x)=12sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，∴2πω=π，解得ω=2，则f(x)=12sin(2x+π3)，对于A.当x=π3时，f(π3)=12sin(2×π3+π3)=0，∴函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称，故A不正确；对于B.当x=π12时，f(π12)=12sin(2×π12+π3)=12，∴函数f(x)的图象关于直线x=π12对称，故B不正确；对于C．f(x)=12sin(2x+π3)的单调递减区间满足：2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2,k∈Z，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12,k∈Z，k=−1时不符合，故C不正确；对于D.将函数f(x)的图象向右平移5π12个单位，得到新函数为g(x)=f(x−5π12)=1 2sin(2x−π2)=−12cos2x，是偶函数，故D正确．故选D．13.【答案】C本题考查三角函数的图象的性质，属一般题．根据题意求出函数解析式，然后验证对称性和单调性．【解答】解：f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻最高点之间距离为，ω=2， 所以将函数y =f(x)的向左平移π12个单位长度后，，因为g(x)为奇函数， 所以，则，则，当，，当，，故A ，B 错误；当x ∈(−π6,π3)时，，所以f(x)在(−π6,π3)单调递增，故C 正确；当x ∈(−2π3,−π6)时，，所以f(x)在(−2π3,−π6)单调递减，故D 错误； 故选C ．14.【答案】D本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用． 利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变， 得到函数y =cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度， 得到函数y =cos2(x +π12)=cos(2x +π6) =sin(2x +2π3)的图象，即曲线C 2，故选D ．15.【答案】D本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于基础题．利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，可得结论．【解答】解：把曲线y=sin(2x+π6)向左平移φ(φ>0)个单位，得到的曲线y=g(x)=sin(2x+2φ+π6)，由于所得曲线经过点(−π12,1)，∴sin(−π6+2φ+π6)=sin2φ=1，，，∵φ>0，，，，，故g(x)=cos(2x+π6)的最小正周期为2π2=π，故A错误；在[11π12,17π12]上，2x+π6∈[2π,3π]，故函数y=g(x)在[11π12,17π12]上单调递减，故B错误；当x=π6时，g(x)=0，故g(x)的图象关于点(π6,0)对称，故C错误；当x=2π3时，g(x)=0，故g(x)的图象关于点(2π3,0)对称，故D正确，故选：D．16.【答案】D由图象求y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)解析式的方法；(1)A可由图象上最高点和最低点的纵坐标确定;(2)ω可由图象上最高点与最低点的横坐标确定，先求出最小正周期T，再由T=2πω求出ω;(3)φ可以由某一点处的函数值求得，要注意φ的范围．【解答】解：设f(x)的最小正周期为T，则12T=2π3−π6=π2，T=π，∴ω=2πT =2.又由图象可得A=32，∴f(x)=32sin(2x+φ).∵f(5π12)=32sin(2×5π12+φ)=32，∴5π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，即φ=2kπ−π3，k∈Z，又|φ|≤π，∴φ=−π3，∴y=f(x)=32sin(2x−π3).故选D．17.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易由题意将函数f(x)图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后，得到的图象对应的解析式g(x)，又函数g(x)为奇函数，即可得出φ的值【解答】解：将函数f(x)图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后，得到的图象对应的解析式为g(x)=sin[2(x−φ)+π3]=sin(2x−2φ+π3)．由g(x)为奇函数可得−2φ+π3=kπ(k∈Z)，故φ=π6−kπ2(k∈Z)，又φ>0，结合选项，所以φ的值可以为π6，23π.故应选BD．18.【答案】BC【分析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，函数图象的平移伸缩变换，属于基础题．依据函数y=Asin(ωx+φ)的图象平移伸缩变换的规则逐一判定即可．【解答】解：对于A，把函数y=cosx图象上所有的点向左平移π4个单位长度，可得函数，再将横坐标变为原来的2倍，可得函数，故A错误；对于B，把函数y=cosx图象上所有的点向左平移π4个单位长度，可得函数，再将横坐标变为原来的12倍，可得函数，故B正确；对于C，把函数y=cosx图象上所有的点横坐标变为原来的12倍，可得函数y=cos 2x，再向左平移π8个单位长度，可得函数，故C正确；对于D，把函数y=cosx图象上所有的点横坐标变为原来的12倍，可得函数y=cos 2x，再向左平移π4个单位长度，可得函数，故D错误．故选BC．19.【答案】BD本题考查三角函数的性质应用，考查两角和与差的三角函数公式，辅助角公式及二倍角公式应用，属基础题．依题意，根据两角和与差的三角公式及二倍角公式化简函数，再根据三角函数的性质求解即可．【解答】解：，因最小正周期为π得ω=1，故A错误，当时，，得函数f(x)在[0,π6]上为增函数，故B正确；当，，所以直线x=π3不是函数y=f(x)图象的一条对称轴，故C 错误；当，，得点(512π,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心，故D正确；故选BD．20.【答案】ACD本题考查三角函数的图象与性质，涉及正弦函数图象与性质的应用，属于中档题．先由函数图象得出g(x)的解析式，再由函数图象的变换得出f(x)的解析式，借助正弦函数的图象与性质得出答案即可．【解答】解：由图可知，A=2，T=4×(2π9−π18)=2π3，∴ω=2πT=3，又由g(2π9)=2，可得2π9×3+φ=π2+2kπ(k∈Z)，且lφ|<π2，∴φ=−π6，∴g(x)=2sin(3x −π6)，将函数g(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的32，可得函数，再将函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数，∴f(x)=2sin(2x +π6)，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为2，A 正确． 令2x +π6=kπ，k ∈Z ，得，∴函数f(x)图象的对称中心为(kπ2−π12,0)(k ∈Z)， 由kπ2−π12=π6，得k =12，不符合k ∈Z ，B 错误; 对于选项C ，令2x +π6=π2+kπ(k ∈Z)，得x =π6+kπ2(k ∈Z)，∴函数f(x)图象的对称轴为直线x =π6+kπ2(k ∈Z)，当k =0时，x =π6，故C 正确；当x ∈[π6,π3]时，2x +π6∈[π2,5π6]，∴f(x)在区间[π6,π3]上单调递减，D 正确． 故选ACD ．21.【答案】解：(1)因为f(x)=4cos xsin (x +π6)−1=4cos x (√32sin x +12cos x)−1=√3sin 2x +2cos 2x −1 =√3sin 2x +cos 2x=2sin (2x +π6)， 所以f(x)的最小正周期为π; (2)因为−π6≤x ≤π4， 所以−π6≤2x +π6≤2π3．故当2x +π6=π2，即x =π6时，f(x)取得最大值2; 当2x +π6=−π6，即x =−π6时，f(x)取得最小值−1．【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．(1)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，即可求出函数的最小正周期;(2)先根据x的取值范围求得2x+π6的范围，再由正弦函数的性质即可求出函数的最大值和最小值．22.【答案】解：(1)由图象知函数的最大值为1，即A=1，T2=3−(−1)=4，即周期T=8，即2πω=8，得ω=π4，则f(x)=sin(π4x+φ)，由五点对应法得π4×1+φ=π2，得φ=π4，即f(x)=sin(π4x+π4).(2)若x∈[−53,53 ]，则π4x+π4∈[−π6,2π3]，∴当π4x+π4=−π6时，即x=−53时，f(x)最小，最小值为f(−53)=−12，当π4x+π4=π2时，即x=1时，f(x)最大，最大值为f(1)=1，∴f(x)的值域为[−12,1]．【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用图象法求出函数的解析式以及结合三角函数的最值性质是解决本题的关键．难度不大．(1)根据函数图象先求出A和周期，结合周期公式求出ω，利用五点对应法求出φ即可求出函数的解析式．(2)求出角的范围，结合三角函数的最值关系进行求解即可．23.【答案】解：(Ⅰ；(Ⅱ)f(x)=2√3sinxcosx−cos(2x+π3)−cos(2x−π3)=√3sin2x−12cos2x+√32sin2x−12cos2x−√32sin2x=√3sin2x −cos2x =2sin(2x −π6)，因为x ∈[−π12,5π12]∴−π3≤2x −π6≤2π3，∴2sin(2x −π6)∈[−√3,2]． 即函数f(x)在区间[−π12,5π12]上的最大值为2，最小值为−√3．【解析】本题考查三角函数的化简与求值，考查三角函数的性质，属基础题． (Ⅰ)将代入化简即可；(Ⅱ)利用辅助角公式化简得到f(x)，由x 的取值范围得出2x −π6的范围，再由正弦函数的性质得出最值即可．24.【答案】解：(1)函数y =12sin (2x +π6)的振幅为12，周期为π，初相为π6．(2)列表：描点画图(如图所示)：(3)函数y =sinx 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y =sin (x +π6)的图象， 再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的12倍，得到函数y =sin (2x +π6)的图象， 再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的12倍，得到函数y =12sin (2x +π6)的图象．【解析】本题主要考查了三角函数的图象和性质以及“五点法”作图和图象的平移和伸缩变换，属于基础题．(1)结合振幅、周期、初相的定义可得； (2)按照列表、描点、连线的步骤求解画图；(3)由y =sinx (x ∈R )的图象左移π6个单位得到数y =sin (x +π6),x ∈R 的图象，然后横坐标再伸缩得到y =sin (2x +π6),x ∈R 的图象，最后纵坐标再伸缩得到y =12sin (2x +π6),x ∈R 的图象．25.【答案】解：(1)如图可知，A =2，T =4×[π12−(−π6)]=π，∴ω=2πT=2．∵{2sin (2×π12+φ)=2|φ|<π2，∴φ=π3，即函数解析式为；(2)根据图象平移原则得g (x )=2sin (4x +π3)， ∵x ∈[0,π4]，∴4x +π3∈[π3,4π3]，∴2sin (4x +π3)∈[−√3,2]， 当，即x =π24时，函数g(x)在区间[0,π4]上的最大值为2．【解析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用，求出函数f(x)的解析式是关键，属于中档题．(1)利用三角函数的图象，得出振幅A 与周期T ，代入特殊点求出φ，即可求出函数解析式；(2)根据图像平移，得到函数g(x)的解析式，最后利用正弦型函数的性质求出结果．26.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=cos2x +sin(2x −π6)=cos2x +√32sin2x −12cos2x =sin(2x +π6)，故它的最小正周期为2π2=π．(Ⅱ)令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ， 得kπ−π3≤x ≤2kπ+π6，k ∈Z ，∴函数的增区间为[kπ−π3,2kπ+π6]，k∈Z，∵x∈[0,π]，∴函数的增区间为[0,π6]、[2π3,π]．【解析】本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．(Ⅰ)由题意利用两角和差的三角公式化简函数f(x)的解析式，可得它的最小正周期．(Ⅱ)由题意利用正弦函数的单调性，求出函数f(x)的单调递增区间．27.【答案】解：f(x)=2cosxcosπ3+2sinxsinπ3−2cosx=cosx+√3sinx−2cosx=√3sinx−cosx=2sin(x−π6 ).(1)令2kπ+π2≤x−π6≤2kπ+32π(k∈Z)，∴2kπ+2π3≤x≤2kπ+5π3(k∈Z)，∴f(x)的单调递减区间为[2kπ+2π3,2kπ+5π3](k∈Z)．(2)f(x)取最大值2时，x−π6=2kπ+π2(k∈Z)，则x=2kπ+2π3(k∈Z)．∴f(x)的最大值是2，取得最大值时的x的取值集合是{x|x=2kπ+2π3,k∈Z}.(3)∵f(x)=65，∴2sin(x−π6)=65，∴sin(x−π6)=35．∴cos(2x−π3)=1−2sin2(x−π6)=1−2×(35)2=725．【解析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，诱导公式，两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，属于中档题．利用诱导公式和两角差的余弦函数公式得f(x)=√3sinx−cosx，即．(1)利用函数y=Asin(ωx+φ)的单调性，计算得结论；(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的最值，计算得结论；(3)利用题目条件得，再利用余弦的二倍角公式，计算得结论．28.【答案】解：(1)由最值可确定A=2，周期T=2×(π3+π6)=π⇒ω=2，又f(π3)=2，即，，即，∵|φ|<π，∴φ=−π6，所以f(x)=2sin (2x−π6)；(2)f(A)=2sin (2A−π6)=1⇒sin (2A−π6)=12⇒2A−π6=π6或5π6，故A=π6或π2，当A=π2时，三角形为直角三角形，此时a>c，这与题目条件a=1,c=2矛盾，所以舍掉；当A=π6时，由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccos A⇒b2−2√3b+3=0，解得b=√3．【解析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，余弦定理，考查运算化简的能力，属于中档题．(1)由图可得A=2，，可得ω=2，再由f(π3)=2，结合|φ|<π可得φ，从而可得f(x)的解析式；(2)由(1)及f(A)=1，求得A=π6或π2，按A讨论结合余弦定理可得．29.【答案】解：(1)f(x)=√3sinxcosx+sin2x−12=√32sin2x+1−cos2x2−12=sin(2x−π6 )，令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z.解得，k∈Z.所以f(x)的单调增区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)．(2)由(1)得f(x)=sin(2x−π6)，所以f(A)=sin(2A−π6)=13，令θ=2A−π6，则0<θ<π2，所以sinθ=13，cosθ=2√23，则cos(2A−56π)=cos(θ−23π)=cosθcos23π+sinθsin23π=2√23×(−12)+13×√32=√3−2√26．【解析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质和三角恒等变换，是中档题。

第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换课后训练巩固提升1.要得到函数y=sin (2x -π3)的图象,只需将函数y=sin 2x 的图象( )A.向右平移π6个单位长度B.向左平移π6个单位长度C.向右平移π3个单位长度D.向左平移π3个单位长度y=sin (2x -π3)=sin [2(x -π6)],所以只需将函数y=sin2x 的图象向右平移π6个单位长度.2.将函数y=12sin x 图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍,横坐标不变,得到的图象对应的函数解析式为( ) A.y=4sin x B.y=2sin x C.y=sin xD.y=14sin x解析:y=12sinx 的图象y=4×12sinx=2sinx 的图象.3.将函数y=sin xcos x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,再将横坐标缩短为原来的一半,得到的图象对应的函数解析式为( ) A.y=sin 4xB.y=cos 4xC.y=12sin 4x D.y=12cos 4xy=sinxcosx=12sin2x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,得到函数y=12sin2(x+π4) =12sin(2x+π2)=12cos2x 的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半,得到函数图象的解析式为y=12cos4x.4.(多选题)下列四种变换,能使y=sin x 的图象变为y=sin (2x +π4)的图象的是( )A.向左平移π4个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的12B.向左平移π8个单位长度,再将各点的横坐标扩大为原来的2倍 C.将各点横坐标缩短为原来的12,再向左平移π8个单位长度D.将各点横坐标缩短为原来的12,再向右平移π8个单位长度y=sinx 的图象变为y=sin(2x+π4)的图象有两种图象变换方式,第一种:先平移,后伸缩,向左平移π4个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的12;第二种:先伸缩,后平移,将各点横坐标缩短为原来的12,再向左平移π8个单位长度.故选AC.5.要得到函数y=cos (2x +π3)的图象,只需将函数y=sin 2x 的图象( )A.向左平移5π12个单位长度B.向右平移5π12个单位长度C.向左平移5π6个单位长度D.向右平移5π6个单位长度(2x +π3)=sin [π2+(2x +π3)]=sin(2x+5π6)=sin [2(x +5π12)].由题意知,要得到y=sin (2x +5π6)的图象,只要将y=sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度.6.函数y=12sin (2x -π4)的图象可以看作把函数y=12sin 2x 的图象向平移 个单位长度得到的.π87.把函数f(x)=cos (2x -π6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,得到函数g(x)的图象,则g(x)的最小正周期是 .g(x)=cos (4x -π6),故最小正周期T=2π4=π2.8.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x 的图象,则f (π6)= .y=sinx 的图象向左平移π6个单位长度,得到y=sin (x +π6)的图象,再把各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin(12x+π6)的图象,即为f(x)=sin(ωx+φ)的图象,所以f(x)=sin (12x +π6),故f (π6)=√22.9.将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可以得到函数y=cos 2x 的图象. (1)求f(π)的值;(2)求f(x)的单调递增区间.将函数y=cos2x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=cos4x 的图象,再将所得图象向右平移π12个单位长度,得到函数y=cos4(x-π12)=cos (4x -π3)的图象,故f(x)=cos(4x-π3).因此f(π)=cos (4π-π3)=cos π3=12. (2)令2kπ-π≤4x -π3≤2kπ(k∈Z),解得12kπ-π6≤x≤12kπ+π12(k ∈Z),故f(x)的单调递增区间为[12kπ-π6,12kπ+π12](k ∈Z).1.将函数f(x)=cos (x +7π6)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可以是( ) A.x=π3B.x=-π3C.x=π12D.x=-π12y=cos (x +7π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=cos (12x +7π6)的图象.令12x+7π6=kπ(k∈Z),解得x=2kπ-7π3(k ∈Z).故可得当k=1时,所得函数的图象的一条对称轴方程为x=-π3.2.若将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度,所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于( ) A.4B.6C.8D.12由题意可知π2=kT(k ∈Z). 因为f(x)=sin(ωx+φ)的周期为T=2π|ω|,所以π2=k·2π|ω|,即|ω|=4k(k∈Z).故ω的值不可能等于6.3.(多选题)为了得到函数y=2sin 2x 的图象,下列变换正确的是( ) A.将函数y=(sin x+cos x)2的图象向右平移π4个单位长度B.将函数y=1+cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度C.将函数y=2sin 2(x +π6)的图象向右平移π6个单位长度D.将函数y=2sin 2(x +π6)的图象向左平移π6个单位长度2x=1-cos2x.将函数y=(sinx+cosx)2=1+sin2x 的图象向右平移π4个单位长度,得到函数y=1+sin2(x -π4)=1+sin (2x -π2)=1-cos2x 的图象,故A 正确.将函数y=1+cos2x 的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=1+cos (2x +π2)=1-sin2x 的图象,故B 不正确.将函数y=2sin 2(x +π6)=1-cos (2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=1-cos[2(x-π6)+π3]=1-cos2x 的图象,故C 正确,D 不正确.4.将函数y=3sin (4x +π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移π6个单位长度,所得函数图象的一个对称中心为( ) A.(7π48,0)B.(π3,0)C.(7π12,0)D.(5π8,0)y=3sin (4x +π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得到y=3sin (2x +π6)的图象,再向右平移π6个单位长度,得到y=3sin [2(x -π6)+π6]=3sin (2x -π6).令2x-π6=kπ(k∈Z),解得x=kπ2+π12(k ∈Z).当k=1时,x=7π12.故函数图象的一个对称中心为(7π12,0),故选C.5.要得到y=sin (x2+π3)的图象,需将函数y=cos x2的图象上所有的点至少向左平移 个单位长度.:cos x2=sin (x2+π2),将y=sin(x2+π2)的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y=sin (x2+φ2+π2)的图象.令φ2+π2=2kπ+π3(k ∈Z),解得φ=4kπ-π3(k ∈Z),故当k=1时,φ=11π3,即为φ的最小正值.6.将函数f(x)=12sin(2x+φ)的图象向左平移π6个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象关于直线x=π3对称,则|φ|的最小值为 .:f(x)=12sin(2x+φ)向左平移π6个单位长度后得到y=12sin (2x +π3+φ),再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=12sin (x +π3+φ),此函数图象关于直线x=π3对称.当x=π3时,sin (π3+π3+φ)=sin (2π3+φ)=±1,所以2π3+φ=π2+kπ(k∈Z),得φ=-π6+kπ(k∈Z).故|φ|的最小值为π6.7.将函数y=lg x 的图象向左平移1个单位长度,可得函数f(x)的图象;将函数y=cos (2x -π6)的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g(x)的图象.(1)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象; (2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.函数y=lgx 的图象向左平移1个单位长度,可得函数f(x)=lg(x+1)的图象,即图象C 1;函数y=cos (2x -π6)的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g(x)=cos [2(x +π12)-π6]=cos2x 的图象,即图象C 2.画出图象C 1和C 2的图象如图所示.(2)由(1)中的图象可知,两个图象共有5个交点,即方程f(x)=g(x)解的个数为5.8.已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0. (1)若y=f(x)在区间[-π4,2π3]上单调递增,求ω的取值范围;(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b ∈R 且a<b)满足:y=g(x)在区间[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的区间[a,b]中,求b-a 的最小值.因为ω>0,所以根据题意有{-π4ω≥-π2,2π3ω≤π2,解得0<ω≤34.所以ω的取值范围为(0,34].(2)由题意知f(x)=2sin2x,g(x)=2sin [2(x +π6)]+1=2sin (2x +π3)+1.由g(x)=0得,sin (2x +π3)=-12,解得x=kπ-π4或x=kπ-7π12,k ∈Z,即g(x)的相邻零点之间的间隔依次为π3和2π3.故若y=g(x)在区间[a,b]上至少含有30个零点,则b-a 的最小值为14×2π3+15×π3=43π3.。

专题4.5 函数y＝Asin(ωx＋φ）的图象与性质【考试要求】1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ）的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响;2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．【知识梳理】1。

用五点法画y＝A sin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.2.函数y＝A sin（ωx＋φ)的有关概念3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径4。

三角函数应用(1）用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波（音叉发出的纯音),交变电流。

(2）三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x）＝A sin（ωx＋φ）＋k中的待定系数。

(3)把实际问题翻译为函数f（x)的性质,得出函数性质后,再把函数性质翻译为实际问题的答案。

【微点提醒】1。

由y＝sin ωx到y＝sin（ωx＋φ）(ω>0，φ〉0)的变换：向左平移错误!个单位长度而非φ个单位长度。

2。

函数y＝A sin(ωx＋φ）的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋错误!（k∈Z）确定;对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z）确定其横坐标。

3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝A sin ωx,其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，错误!表示纯音振动的频率（对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强)。

4。

交变电流可以用三角函数表达为y＝A sin(ωx＋φ），其中x表示时间,y表示电流，A表示最大电流，错误!表示频率，φ表示初相位。

【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√"或“×”)（1)将函数y＝3sin 2x的图象左移错误!个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin错误!.（)（2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩"与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.（)(3)函数y＝A cos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为错误!.( )（4)由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的。

第五章 三角函数5.6 函数y=Asin （ωx+φ ）的图像一、选择题1．（2019·高一课时练）要得到函数3sin(2)4y x π=+的图像，只需将函数3sin 2y x =的图像( )A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位【答案】C【解析】因为3sin 23sin 248y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以由y=3sin2x 的图象向左平移8π个单位得到. 故选C ．2．（2019·全国高一课时练）把函数f (x )＝sin 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，则g (x )的最小正周期为( ) A ．2π B ．πC ．2πD ．4π 【答案】A【解析】将函数f （x ）＝sin2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y ＝sin （212⨯x ）=sin x ＋1的图象，即g （x ）=sin x ＋1．故T ＝2π．故选A ． 3．（2019·全国高一课时练）设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移3π个单位得到的，则g (6π)等于( ) A ．1 B ．12-C ．0D ．－1【答案】D【解析】由f (x )＝cos2x 的图象向左平移3π个单位得到的是g (x )＝cos[2（x 3π+）]的图象，则g (6π)＝cos[2（63ππ+）]=cosπ=-1.故选D ．4．（2019·全国高一课时练）要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos （2x 4π-）的图象上所有的点( )A ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移8π个单位长度B ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移4π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移4π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的12 (纵坐标不变)，再向左平移8π个单位长度【答案】B【解析】将函数y =cos （2x 4π-）的图象上所有的点横伸长到原来的2倍， 可得y =cos （x 4π-）的图象， 再向右平移4π个单位，可得y c =os （x 2π-）=sin x 的图象，故选：B ．5．（2012·全国高一课时练习）把函数cos y x x =的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】cos 2cos()3y x x x π==+，将其图像向左平移(0)m m >个单位长度后得到函数2cos()3y x m π=++的图象，则其对称轴为()3x m k k Z ππ++=∈即()3x m k k Z ππ=--+∈，所以()03m k k Z ππ--+∈=，则()3m k k Z ππ=-+∈。

考点19 函数y=Asin （ωx+φ）的图像1、为了得到函数y=sin 3x+cos 3x 的图像,可以将函数y=cos 3x 的图像( ) A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位2、已知函数f (x )=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像( ) A.关于点对称 B .关于直线x=对称 C.关于点对称 D.关于直线x=对称3、已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A.12 B ．32C ．22D ．14.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin +k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) A.5 B.6 C.8D.105、先把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象．当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4时，函数g (x )的值域为( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，1 B ．⎝⎛⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－32，32 D ．[－1,0)6、将函数f (x )=2sin4x-的图像向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g (x )的图像,则下列关于函数y=g (x )的说法错误的是 ( )A.最小正周期为πB.图像关于直线x=对称C.图像关于点对称D.初相为7、下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π6对称；(3)在⎣⎡⎦⎤π6，π3上是减函数”的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．y ＝cos(2x ＋2π3)D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 8、函数y=A sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则( ) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sinD.y=2sin9、已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，则f (x )图象的一个对称中心是 A.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 B ．⎝⎛⎭⎫－π3，0 C.⎝⎛⎭⎫2π3，0D ．⎝⎛⎭⎫5π3，0 10、已知函数()πsin 0,0,2y A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的周期为T ，如图为该函数的部分图象，则正确的结论是（ ）A ．3A =，2πT =B ．1B =-，2ω=C ．3A =，π6ϕ=D ．4πT =，6πϕ=-11、将奇函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ≠0，ω＞0，π2＜φ＜π2的图象向左平移π6个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( ) A ．6 B ．3 C ．4D ．212、已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的值域是________．13、如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，|φ|≤π2)的图象与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (1,0)，∠PQR ＝π4，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值为________．14、设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 15、已知ππ2α<<，3cos 5α=-． （1）求sin α的值；（2）求()()()sin π2cos 2sin cos ππαααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭-+-的值． 16、已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+（0πϕ<<） （1）若π6ϕ=，用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[0,π]上的图象．（2）若()f x 偶函数，求ϕ；（3）在（2）的前提下，将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[]0,π的单调递减区间．17、已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示． （1）求A ，ω的值及()f x 的单调增区间； （2）求()f x 在区间4ππ,6⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18、已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像与直线2y =两相邻交点之间的距离为π，且图像关于π3x =对称． （1）求()y f x =的解析式； （2）先将函数()f x 的图象向左平移π6个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象．求()g x 的单调递增区间以及()3g x ≥的x 取值范围． 19、在已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，x ∈R (其中0A >，0ω>，π02ϕ<<)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为2π23M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， （1）求()f x 的解析式；（2）当ππ122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求()f x 的值域；（3）求()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调区间．20、已知3cos sin 44x x ⎫=⎪⎭，m ，sin sin 44x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ，设函数()f x =⋅m n ．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC △的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且a b c ，，成等比数列，求()f B 的取值范围．21、已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12.(1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，2π3上的最大值和最小值及相应的自变量x 的值； (2)在直角坐标系中做出函数f (x )在区间[0，π]上的图象．。

函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换一．选择题（共22小题）1．（2019•天津）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且()4g π=，则3()(8f π= )A ．2-B ．CD ．22．（2019•天津）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()4g π=，则3()(8f π= )A ．2-B ．CD ．23．（2018•全国）要得到cos y x =，则要将sin (y x = ) A ．向左平移π个单位 B ．向右平移π个单位 C ．向左平移2π个单位 D ．向右平移2π个单位 4．（2018•天津）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间3[4π，5]4π上单调递增 B ．在区间3[4π，]π上单调递减C ．在区间5[4π，3]2π上单调递增 D ．在区间3[2π，2]π上单调递减 5．（2018•天津）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[,]44ππ-上单调递增B ．在区间[4π-，0]上单调递减C ．在区间[,]42ππ上单调递增D ．在区间[2π，]π上单调递减6．（2016•北京）将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(4P π，)t 向左平移(0)s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则( )A ．12t =，s 的最小值为6πB ．t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．t =，s 的最小值为3π 7．（2016•四川）为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点( )A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向上平行移动3π个单位长度 D ．向下平行移动3π个单位长度 8．（2016•四川）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动6π个单位长度 D ．向右平行移动6π个单位长度 9．（2015•全国）函数cos()23x y π=+的图象按向量(3a π=-，0)平移后，所得图象对应的函数为( )A ．cos2xy = B ．cos2x y =- C ．sin 2xy =D ．sin 2xy =-10．（2015•山东）要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象( )个单位．A ．向左平移12πB ．向右平移12πC ．向左平移3π D ．向右平移3π 11．（2015•湖南）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图象．若对满足12|()()|2f x g x -=的1x 、2x ，有12||3min x x π-=，则(ϕ= )A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 12．（2014•辽宁）将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[12π，7]12π上单调递增B ．在区间[12π，7]12π上单调递减C ．在区间[6π-，]3π上单调递减D ．在区间[6π-，]3π上单调递增13．（2014•四川）为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度14．（2014•福建）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是( )A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期为πC ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称D ．()y f x =的图象关于点(2π-，0)对称15．（2014•浙江）为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将函数y x =的图象( ) A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向左平移12π个单位16．（2014•浙江）为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将函数y x =的图象( ) A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位D ．向右平移12π个单位17．（2014•四川）为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把sin 2y x =的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度18．（2014•安徽）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是( ) A ．8πB ．4π C ．38π D ．34π 19．（2013•福建）将函数()sin(2)()22f x x ππθθ=+-<<的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x ，()g x 的图象都经过点P ，则ϕ的值可以是( ) A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π 20．（2013•山东）函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能的值为( ) A ．34πB ．4π C ．0 D ．4π-21．（2013•湖北）将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移(0)m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A ．12πB ．6πC ．3π D ．56π 22．（2012•浙江）把函数cos21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )A ．B ．C ．D ．二．填空题（共3小题）23．（2020•江苏）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ．24．（2014•重庆）将函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ．25．（2014•安徽）若将函数()sin(2)4f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ．三．解答题（共5小题）26．（2016•山东）设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值．27．（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：C)︒随时间t （单位：)h 的变化近似满足函数关系：()10sin1212f t t t ππ=-，[0t ∈，24)（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？28．（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：C)︒随时间t （单位：)h 的变化近似满足函数关系：()10sin1212f t t t ππ=-，[0t ∈，24)．（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．29．（2013•上海）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>． （1）若()y f x =在[4π-，2]3π上单调递增，求ω的取值范围； （2）令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，区间[a ，](b a ，b R ∈，且)a b <满足：()y g x =在[a ，]b 上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a ，]b 中，求b a -的最小值．30．（2013•上海）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>．（Ⅰ）令1ω=，判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ） 令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．对任意a R ∈，求()y g x =在区间[a ，10]a π+上的零点个数的所有可能．函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2019•天津）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且()4g π=，则3()(8f π= ) A ．2- B．CD ．2【解答】解：()f x 是奇函数，0ϕ∴=，则()sin()f x A x ω=将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ． 即1()sin()2g x A x ω=()g x 的最小正周期为2π，∴2212ππω=，得2ω=， 则()sin g x A x =，()sin 2f x A x =，若()4g π，则()sin 44g A ππ===2A =，则()2sin 2f x x =，则333()2sin(22sin 2884f πππ=⨯== 故选：C ．2．（2019•天津）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x．若()4g π=，则3()(8f π= ) A ．2- B．CD ．2【解答】解：()f x 是奇函数，0ϕ∴=，()f x 的最小正周期为π，∴2ππω=，得2ω=，则()sin 2f x A x =，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．则()sin g x A x =，若()4g π，则()sin 44g A ππ===2A =，则()sin 2f x A x =，则333()2sin(22sin 28842f πππ=⨯==⨯ 故选：C ．3．（2018•全国）要得到cos y x =，则要将sin (y x = ) A ．向左平移π个单位 B ．向右平移π个单位 C ．向左平移2π个单位 D ．向右平移2π个单位 【解答】解：要将sin y x =的图象向左平移2π个单位，可得sin()cos 2y x x π=+=的图象， 故选：C ．4．（2018•天津）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间3[4π，5]4π上单调递增 B ．在区间3[4π，]π上单调递减C ．在区间5[4π，3]2π上单调递增 D ．在区间3[2π，2]π上单调递减 【解答】解：将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，得到的函数为：sin 2y x =， 增区间满足：22222k xk ππππ-++，k Z ∈，减区间满足：322222k x k ππππ++，k Z ∈， ∴增区间为[4k ππ-+，]4k ππ+，k Z ∈，减区间为[4k ππ+，3]4k ππ+，k Z ∈，∴将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数在区间3[4π，5]4π上单调递增． 故选：A ．5．（2018•天津）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[,]44ππ-上单调递增B ．在区间[4π-，0]上单调递减C ．在区间[,]42ππ上单调递增D ．在区间[2π，]π上单调递减【解答】解：将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数解析式为sin[2()]sin 2105y x x ππ=-+=．当[,]44x ππ∈-时，2[2x π∈-，]2π，函数单调递增；当[4x π∈，]2π时，2[2x π∈，]π，函数单调递减； 当[4x π∈-，0]时，2[2x π∈-，0]，函数单调递增；当[2x π∈，]π时，2[x π∈，2]π，函数先减后增．故选：A ．6．（2016•北京）将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(4P π，)t 向左平移(0)s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则( )A ．12t =，s 的最小值为6πB ．t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．t =，s 的最小值为3π 【解答】解：将4x π=代入得：1sin62t π==， 将函数sin(2)3y x π=-图象上的点P 向左平移s 个单位，得到(4P s π'-，1)2点，若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则1sin(2)cos222s s π-==，则223s k ππ=±+，k Z ∈，则6s k ππ=±+，k Z ∈，由0s >得：当0k =时，s 的最小值为6π， 故选：A ．7．（2016•四川）为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点( )A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向上平行移动3π个单位长度 D ．向下平行移动3π个单位长度【解答】解：由已知中平移前函数解析式为sin y x =， 平移后函数解析式为：sin()3y x π=+，可得平移量为向左平行移动3π个单位长度， 故选：A ．8．（2016•四川）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动6π个单位长度 D ．向右平行移动6π个单位长度 【解答】解：把函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度，可得函数sin 2()sin(2)63y x x ππ=-=-的图象， 故选：D ．9．（2015•全国）函数cos()23x y π=+的图象按向量(3a π=-，0)平移后，所得图象对应的函数为( )A ．cos2xy = B ．cos2x y =- C ．sin 2xy =D ．sin 2xy =-【解答】解：函数cos()23x y π=+的图象按向量(3a π=-，0)平移后，所得图象对应的函数为cos()sin 2632x xy ππ=++=-，故选：D ．10．（2015•山东）要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象( )个单位．A ．向左平移12πB ．向右平移12πC ．向左平移3π D ．向右平移3π 【解答】解：因为函数sin(4)sin[4()]312y x x ππ=-=-，要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图象向右平移12π单位．故选：B ．11．（2015•湖南）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图象．若对满足12|()()|2f x g x -=的1x 、2x ，有12||3min x x π-=，则(ϕ= )A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【解答】解：因为将函数()sin 2f x x =的周期为π，函数的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图象．若对满足12|()()|2f x g x -=的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有12||3min x x π-=，不妨14x π=，2712x π=，即()g x 在2712x π=，取得最小值，7sin(22)112πϕ⨯-=-，此时6πϕ=-，不合题意， 134x π=，2512x π=，即()g x 在2512x π=，取得最大值，5sin(22)112πϕ⨯-=，此时6πϕ=，满足题意． 另解：()sin 2f x x =，()sin(22)g x x ϕ=-，设1222x k ππ=+，k Z ∈，22222x m πϕπ-=-+，m Z ∈，12()2x x k m πϕπ-=-+-，由12||3min x x π-=，可得23ππϕ-=，解得6πϕ=，故选：D ．12．（2014•辽宁）将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[12π，7]12π上单调递增B ．在区间[12π，7]12π上单调递减C ．在区间[6π-，]3π上单调递减 D ．在区间[6π-，]3π上单调递增 【解答】解：把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：3sin[2()]23y x ππ=-+．即23sin(2)3y x π=-． 当函数递增时，由2222232k x k πππππ-+-+，得7,1212k xk k Z ππππ++∈． 取0k =，得71212xππ． ∴所得图象对应的函数在区间[12π，7]12π上单调递增． 故选：A ．13．（2014•四川）为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度【解答】解：由sin y x =到sin(1)y x =+，只是横坐标由x 变为1x +，∴要得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．故选：A ．14．（2014•福建）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是( )A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期为πC ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称D ．()y f x =的图象关于点(2π-，0)对称【解答】解：将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得sin()cos 2y x x π=+=． 即()cos f x x =．()f x ∴是周期为2π的偶函数，选项A ，B 错误； coscos()022ππ=-=，()y f x ∴=的图象关于点(2π-，0)、(2π，0)成中心对称． 故选：D ．15．（2014•浙江）为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将函数y x =的图象( ) A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向左平移12π个单位【解答】解：函数sin3cos3)4y x x x π=+=-，故只需将函数y x =的图象向右平移12π个单位，得到)]cos(3)124y x x ππ=-=-的图象．故选：C ．16．（2014•浙江）为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将函数y x =的图象( ) A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位D ．向右平移12π个单位【解答】解：函数sin3cos3)4y x x x π=+=+，故只需将函数)2y x x π==+的图象向右平移12π个单位，得到sin[3()]sin(3)1224y x x πππ=-+=+的图象．故选：D ．17．（2014•四川）为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把sin 2y x =的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度【解答】解：1sin(21)sin 2()2y x x =+=+，∴把sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度，即可得到函数sin(21)y x =+的图象， 故选：A ．18．（2014•安徽）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是( ) A ．8πB ．4π C ．38π D ．34π【解答】解：函数()sin 2cos2)4f x x x x π=++的图象向右平移ϕ的单位，所得图象是函数2)4y x πϕ=+-，图象关于y 轴对称，可得242k ππϕπ-=+，即28k ππϕ=--， 当1k =-时，ϕ的最小正值是38π． 故选：C ．19．（2013•福建）将函数()sin(2)()22f x x ππθθ=+-<<的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x ，()g x 的图象都经过点P ，则ϕ的值可以是( ) A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π 【解答】解：函数()sin(2)()22f x x ππθθ=+-<<向右平移ϕ个单位，得到()sin(22)g x x θϕ=+-，因为两个函数都经过P ，所以sin ()22ππθθ=-<<，3πθ=，所以()sin(22)3g x x πϕ=+-，sin(2)3πϕ-=，0ϕ>，所以2233k ππϕπ-=+，k ϕπ=-，与选项不符舍去， 22233k ππϕπ-=+，k Z ∈，当1k =-时，56πϕ=． 故选：B ．20．（2013•山东）函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能的值为( ) A ．34π B ．4π C ．0 D ．4π-【解答】解：令()sin(2)y f x x ϕ==+，则()sin[2()]sin(2)884f x x x πππϕϕ+=++=++，()8f x π+为偶函数，∴42k ππϕπ+=+，4k πϕπ∴=+，k Z ∈，∴当0k =时，4πϕ=．故ϕ的一个可能的值为4π． 故选：B ．21．（2013•湖北）将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移(0)m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A ．12πB ．6πC ．3π D ．56π【解答】解：1sin sin )2sin()23y x x x x x π=+=+=+， ∴图象向左平移(0)m m >个单位长度得到2sin[()]2sin()33y x m x m ππ=++=++，所得的图象关于y 轴对称， ()32m k k Z πππ∴+=+∈，则m 的最小值为6π． 故选：B ．22．（2012•浙江）把函数cos21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：将函数cos21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象对应的解析式为：cos 1y x =+，再将cos 1y x =+图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度， 得到的图象对应的解析式为：cos(1)y x =+，曲线cos(1)y x =+由余弦曲线cos y x =左移一个单位而得，∴曲线cos(1)y x =+经过点(12π-，0)和3(12π-，0)，且在区间(12π-，31)2π-上函数值小于0 由此可得，A 选项符合题意． 故选：A ．二．填空题（共3小题）23．（2020•江苏）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 524x π=-． 【解答】解：因为函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度可得()()3sin(2)3sin(2)63412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈， 当0k =时，724x π=， 当1k =-时，524x π=-， 所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-， 故答案为：524x π=-，24．（2014•重庆）将函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π=． 【解答】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数sin(2)y x ωϕ=+的图象． 再把所得图象再向右平移6π个单位长度得到函数sin[2())]6y x πωϕ=-+ sin(2)sin 3x x πωϕω=+-=的图象，21ω∴=，且23k πϕωπ-=，k Z ∈，12ω∴=，26k πϕπ=+，1()sin()26f x x π∴=+，()sin()sin 61264f ππππ∴=+==．． 25．（2014•安徽）若将函数()sin(2)4f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是38π． 【解答】解：将函数()sin(2)4f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象对应的函数解析式为sin[2()]sin(22)44y x x ππϕϕ=-+=+-关于y 轴对称，则242k ππϕπ-=+，k z ∈，即28k ππϕ=--，故ϕ的最小正值为38π， 故答案为：38π． 三．解答题（共5小题）26．（2016•山东）设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值．【解答】解：（Ⅰ）221cos2()23sin()sin (sin cos )23sin 1sin 2231sin 22xf x x x x x x x x π-=---=-+=-+sin 212sin(2)13x x x π==-，令222232k x k πππππ--+，求得51212k x k ππππ-+， 可得函数的增区间为[12k ππ-，5]12k ππ+，k Z ∈．（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得2sin()13y x π=-+的图象；再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()2sin 1y g x x ==+的图象，()2sin 166g ππ∴=-27．（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：C)︒随时间t （单位：)h 的变化近似满足函数关系：()10sin1212f t t t ππ=-，[0t ∈，24)（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？【解答】解：（Ⅰ）1()10sin10sin )121212212f t t t t t ππππ=-=-+ 102sin()123t ππ=-+，[0t ∈，24)，∴731233t ππππ+<，故当31232t πππ+=时，即14t =时，函数取得最大值为10212+=， 当1232t πππ+=时，即2t =时，函数取得最小值为1028-=，故实验室这一天的最大温差为1284C ︒-=．（Ⅱ）由题意可得，当()11f t >时，需要降温，由（Ⅰ）可得()102sin()123f t t ππ=-+，由102sin()11123t ππ-+>，求得1sin()1232t ππ+<-，结合正弦函数的图象可得261236t ππππππ+<+<-，即71161236t ππππ<+<， 解得1018t <<，即在10时到18时，需要降温．28．（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：C)︒随时间t （单位：)h 的变化近似满足函数关系：()10sin1212f t t t ππ=-，[0t ∈，24)．（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．【解答】解：（Ⅰ）()10sin1212f t t t ππ=-，[0t ∈，24)．f ∴（8）22110sin 10()10332ππ=--=--=， 故实验室这一天上午8时的温度为10C ︒．（Ⅱ）()10sin102sin()1212312f t t t t ππππ=-=-+，[0t ∈，24)．∴733123t ππππ<+<，故当33122t πππ+=，即14t =时，函数()f t 取得最大值为10212+=， 当3122t πππ+=，即2t =时，函数()f t 取得最小值为1028-=，故实验室这一天的最大温差为1284C ︒-=．29．（2013•上海）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>． （1）若()y f x =在[4π-，2]3π上单调递增，求ω的取值范围； （2）令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，区间[a ，](b a ，b R ∈，且)a b <满足：()y g x =在[a ，]b 上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a ，]b 中，求b a -的最小值．【解答】解：（1）函数()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，且0ω>，∴223ππω，且24ππω--，解得304ω<． （2）()2sin 2f x x =，∴把()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到2sin 2()16y x π=++， ∴函数()2sin 2()16y g x x π==++，令()0g x =，得512x k ππ=+，或3()4x k k Z ππ=+∈． ∴相邻两个零点之间的距离为3π或23π． 若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[a ，]a π+，[a ，2]a π+，⋯，[a ，*]()m a m N π+∈分别恰有3，5，⋯，21m +个零点，所以在区间[a ，14]a π+是恰有29个零点，从而在区间(14a π+，]b 至少有一个零点，∴143b a ππ--．另一方面，在区间55[,14]12312ππππ++恰有30个零点， 因此b a -的最小值为431433πππ+=． 30．（2013•上海）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>．（Ⅰ）令1ω=，判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ） 令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．对任意a R ∈，求()y g x =在区间[a ，10]a π+上的零点个数的所有可能． 【解答】解：（1）()2sin f x x =，()()()2sin 2sin()2(sin cos )22F x f x f x x x x x ππ=++=++=+，()4F π=，()04F π-=，()()44F F ππ-≠，()()44F F ππ-≠-，所以，()F x 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）()2sin 2f x x =， 将()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位后得到2sin 2()16y x π=++的图象，所以()2sin 2()16g x x π=++．令()0g x =，得512x k ππ=+或3()4x k k z ππ=+∈， 因为[a ，10]a π+恰含10个周期，所以，当a 是零点时，在[a ，10]a π+上零点个数21，当a 不是零点时，()a k k z π+∈也都不是零点，区间[a k π+，(1)]a k π++上恰有两个零点，故在[a ，10]a π+上有20个零点．综上，()y g x =在[a ，10]a π+上零点个数的所有可能值为21或20．。

考点19 函数y=Asin〔ωx+φ〕的图像1．函数f〔x〕=2sinxsin〔x+3φ〕是奇函数，其中，那么函数g〔x〕=cos〔2x-φ〕的图象〔〕A．关于点对称 B．关于轴对称C．可由函数f〔x〕的图象向右平移个单位得到 D．可由函数f〔x〕的图象向左平移个单位得到【答案】A2．设，函数的图像向左平移个单位后与原图重合，那么的最小值是〔〕A． B． C． D． 3【答案】D【解析】∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3应选：D．3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象〔〕A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】,故应向右平移个单位长度.应选B.4．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有点〔〕A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【答案】B5．将函数y=3sin〔2x+〕的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点〔，0〕中心对称A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B6．把的图像向左平移个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为〔〕A． B．C． D．【答案】B【解析】把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin〔2x+〕，即y=cos2x的图象，把y=cos2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到y=cosx的图象；应选：B．7．将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，那么a的值可以为〔〕A． B． C． D．【答案】C8．如图，己知函数的图象关于点M(2，0)对称，且f(x)的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象；那么以下是g(x)的单调递增区间的为( )A． B． C． D．【答案】D【解析】由图象可知，因为的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，9．函数，的局部图象如下图，以下说法正确的选项是〔〕A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D．假设方程在上有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是【答案】D10．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，那么的值为A． B． C． D．【答案】B【解析】把函数的图象向右平移哥单位后，得到的图象，根据所得图象与函数的图象重合，可得，令时，，应选B.11．函数的最小正周期为，假设其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，那么函数的图象〔〕A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】C12．函数〔其中〕的图象如下图，为了得到的图象，那么只要将的图象〔〕A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C13．函数其中〔〕的图象如下图，为了得到的图象，那么只需将的图象〔〕A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平衡个长度单位【答案】A14．函数的周期为，假设将其图象沿x轴向右平移a个单位，所得图象关于原点对称，那么实数a的最小值为A． B． C． D．【答案】D【解析】15．为了得函数的图象，只需把函数的图象〔〕A．向左平移个单位 B．向左平移单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】A不妨设函数的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到函数的图象。