齐次Morrey-Herz空间上交换子的有界性

非齐型齐次Morrey-Herz空间中某些次线性算子和交换子的
有界性
武江龙
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》
【年(卷),期】2009(025)003
【摘要】在非齐型齐次Morrey-Herz空间M(K)p,qα,λ(μ)中建立了某些次线性算子的有界性,同时利用Calderón-Zygmund算子的L2 (μ)有界性,在M(K)p,qα,λ(μ)上证明了由Calderón-Zygmund算子和RBMO(μ)函数生成的交换子的有界性.【总页数】9页(P586-594)
【作者】武江龙
【作者单位】牡丹江师范学院数学系,黑龙江,牡丹江,157012
【正文语种】中文
【中图分类】O174
【相关文献】
1.Marcinkiewicz积分交换子在非齐型Morrey-Herz空间上的有界性 [J], 范文娟
2.非双倍测度下一类高阶交换子在非齐型齐次Morrey-Herz空间上的有界性 [J], 王新萍;江寅生
3.齐型空间上的弱Morrey-Herz空间中一类次线性算子交换子的有界性 [J], 陶双平;曹薇
4.非齐型空间中一类次线性算子的交换子在Herz空间上的有界性 [J], 侯兴华;周娟;朱月萍
5.θ型Calderon-Zygmumd型算子及其交换子在非齐型Morrey空间中的有界性[J], 陈金阳;马柏林;;
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Morrey-Herz∗( 730070): Morrey-Herz Calder´o n-Zygmund RBMO(µ) .: ; Morrey-Herz ;Calder´o n-Zygmund ; ;RBMO(µ):O.177.6MR :42B25BOUNDEDNESS OF SOME COMMUTATORS ON HOMOGENEOUS MORREY-HERZ SPACES WITH NON DOUBLING MEASURESWU Jiang-long(College of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou730070,Gansu,China)Abstract:The boundedness of some commutators,which are generated by Calder´o n-Zygmund operators and RBMO(µ)functions,are established on homogeneous Morrey-Herz spaces with non doubling measures.Keywords:commutator;homogeneous Morrey-Herz space;Calder´o n-Zygmund operator;non-doubling measure;RBMO(µ)1Calder´o n-Zygmund .. µ Cx∈suppµ r>0, µ(B(x,2r))≤Cµ(B(x,r)), B(x,r)={y∈R d:|y−x|<r}., [1]∼[3] , R d Radon µ , , µ ,C0>0, x∈R d r>0,µ(B(x,r))≤C0r n,(1)∗ : R n .E–mail:wuhjl@n 0<n≤d . R d Radon(1), .[4]∼[7].1997 ,Lu Yang[4] µ d– Lebesgue , Calder´o n-Zygmund BMO(R d) ;2004 , [8] , Calder´o n-Zygmund RBMO(µ)Herz . Herz Morrey-Herz, .,C , . 1≤s≤∞,s s , s =ss−1.2Calder´o n-Zygmund RBMO(µ) Morrey-Herz. , .k∈Z, B k={x∈R d:|x|≤2k},A k=B k\B k−1 χk =χA k, χA kA k .2.1[9] α∈R,0<p≤∞,0<q<∞ λ≥0, Morrey-Herz M˙Kα,λp,q(µ)M˙Kα,λp,q (µ)={f∈L qloc(R d\{0},µ): fM˙Kα,λp,q(µ)<∞},fM˙Kα,λp,q(µ)=supk0∈Z2−k0λ(k0k=−∞2kαp fχkpL q(µ))1p.p=∞ , .2.2[8] α∈R,0<p≤∞ 0<q<∞. Herz ˙Kα,pq(µ)˙Kα,p q (µ)={f∈L qloc(R d\{0},µ): f ˙Kα,pq(µ)<∞},f ˙Kα,pq(µ)=(∞k=−∞2kαp fχkpL q(µ))1p.p=∞ , .Morrey-Herz M˙Kα,λp,q(µ) Herz ˙Kα,pq(µ), M˙Kα,0p,q(µ)=˙Kα,pq(µ).K(·,·)∈L1loc(R d×R d\{(x,y):x=y}) Calder´o n-Zygmund , ,(a)|K(x,y)|≤C|x−y|;(2)(b) 0<δ≤1, |x−x |≤|x−y|2,|K(x,y)−K(x ,y)|+|K(y,x)−K(y,x )|≤|x−x |δ|x−y|.K(·,·) µ Calder´o n-ZygmundT f(x)=R dK(x,y)f(y)dµ(y).(3) K(x,y) x=y , f , Tε(ε> 0)Tεf(x)=|x−y|>εK(x,y)f(y)dµ(y).(4) : ε>0, Tε L p(µ) , T L p(µ) , 1<p<∞., ε>0, Tε M˙Kα,λp,q(µ) , T M ˙Kα,λp,q(µ) , α∈R,0<p≤∞,0<q<∞, λ≥0.γ>1,β>γn βd=2infβ, Q⊂R d (γ,β) Q µ(γQ)≤βµ(Q), γQ Q , γl(Q) . R d Q1⊂Q2,K Q1,Q2=1+N Q1,Q2k=1µ(2k Q1)l(2Q1),N Q1,Q2 l(2k Q1)≥l(Q2)( Q2=R d=Q1 , N Q1,Q2=∞)k. K Q1,Q2[2].2.3[2]ρ>1 , b∈L1loc(µ) RBMO(µ) bB>0, supp(µ) Q,sup Q1µ(ρQ)Q|b(x)−me Q(b)|dµ(x)≤B<∞,|mQ1(b)−mQ2(b)|≤BK Q1,Q2Q1⊂Q2,supp(µ) , Q 2k Q(k∈N) (γ,βd) . me Q(b) b Q ,me Q (b)=1µ( Q)e Qb(x)dµ(x).B b RBMO(µ) , b ∗.Tolsa[2] RBMO(µ) ρ>1 . , ρ=γ=2,βd=2d+1. , (2,2d+1) .,Calder´o n-Zygmund T RBMO(µ) b [b,T](f)=bT(f)−T(bf), T b f(x)=b(x)T f(x)−T(bf)(x)=T((b(x)−b(·))f(·))(x), TL2(µ) {Tε}ε>0 ε→0 . T L2(µ), L2(µ) fT f(x)=R d K(x,y)f(y)dµ(y)µ−a.e.x∈R d\supp(f),(5)K(x,y) (3) .Tolsa[2] T L2(µ) , L q(µ), 1<q<∞.:2.1 (5) T L2(µ) b∈RBMO(µ), T b M˙Kα,λp,q(µ), −nq +λ<α<n(1−1q)+λ,λ≥0,0<p≤1 1<q<∞.2.1, .2.1 b∈RBMO(µ),M b f(x)=supx∈Q1l(Q)nQ|b(x)−b(y)||f(y)|dµ(y),M b M˙Kα,λp,q(µ) , −n q+λ<α<n(1−1q)+λ,λ≥0,0<p≤∞ 1<q<∞.p=∞ , M b L q(µ) [10], M b M˙Kα,λp,q(µ) . 0< p<∞ .f∈M˙Kα,λp,q(µ), ff(x)=∞j=−∞f(x)χj(x)≡∞j=−∞f j(x),M b(f)M˙Kα,λp,q(µ)=supk0∈Z2−k0λ(k0k=−∞2kαp M b(f)χkpL q(µ))1p≤C supk0∈Z2−k0λ(k0k=−∞2kαp(k−2j=−∞M b(f j)χkL q(µ))p)1p+C supk0∈Z2−k0λ(k0k=−∞2kαp(k+1j=k−1M b(f j)χkL q(µ))p)1p+C supk0∈Z2−k0λ(k0k=−∞2kαp(∞j=k+2M b(f j)χkL q(µ))p)1p ≡E1+E2+E3.E2, M b L q(µ) E2≤C fM˙Kα,λp,q(µ).E1, , x∈A k,j≤k−2 y∈A j , |x−y|∼|x|, 2|y|≤|x|. , x∈A k, Q j A j , b j=m˜Qj(b)( ),M b(f j)(x)≤C2−knA j|b(x)−b(y)||f(y)|dµ(y)≤C2−knA j |b(x)−b j||f(y)|dy+C2−knA j|b(y)−b j||f(y)|dµ(y),, j≤k−2, RBMO(µ) ,H¨o lder ,K˜Qj,˜Qk≤C(k−j−1),(1) [2] 3.5,χk M b(f j) L q(µ)≤C2−knA j|f(y)|dµ(y)(A k|b(x)−b j|q dµ(x))1q+C2−knA j|b(y)−b j||f(y)|dµ(y)(A kdµ(x))1q≤C2−kn+kn q(k−j−1) b ∗A j|f(y)|dµ(y)+C2−kn+kn q f j L q(µ)(A j|b(y)−b j|q dµ(y))q≤C2(j−k)n q (k−j) b ∗ f j L q(µ),α<n(1−1q)+λ,E1≤C supk0∈Z 2−k0λ b ∗(k0k=−∞2kαp(k−2j=−∞2(j−k)n q (k−j) f j L q(µ))p)1p≤C supk0∈Z 2−k0λ(k0k=−∞(k−2j=−∞2(j−k)(n q −α)(k−j)(jl=−∞2lαp f l pL q(µ))1p)p)1p≤C supk0∈Z 2−k0λ(k0k=−∞2kλp(k−2j=−∞(k−j)2(j−k)(n q −α+λ))p)1p fM˙Kα,λp,q(µ)≤C supk0∈Z 2−k0λ(k0k=−∞2kλp)1p fM˙Kα,λp,q(µ)=C fM˙Kα,λp,q(µ).E3. E1 ,E3≤C b ∗supk0∈Z 2−k0λ(k0k=−∞2kαp(∞j=k+22(k−j)n q(j−k) f j L q(R n))p)1p≤C fM˙Kα,λp,q(µ)., 2.1 .22.1.2.1 f∈M˙Kα,λp,q(µ), ff(x)=∞j=−∞f(x)χj(x)≡∞j=−∞f j(x),T b(f)M˙Kα,λp,q(µ)=supk0∈Z2−k0λ(k0k=−∞2kαp T b(f)χkpL q(µ))1p≤C supk0∈Z2−k0λ(k0k=−∞2kαp χkT b(k−2j=−∞f j) pL q(µ))1p+C supk0∈Z2−k0λ(k0k=−∞2kαp(k+1j=k−1χkT b(f j) L q(µ))p)1p+C supk0∈Z2−k0λ(k0k=−∞2kαp(∞j=k+2χkT b(f j) L q(µ))p)1p ≡E1+E2+E3.T b L q(µ) E2≤C fM˙Kα,λp,q(µ).E1, , x∈A k,j≤k−2 y∈A j , |x−y|∼|x|. (2) (3) x∈A k,|T b(k−2j=−∞f j)(x)|≤C|x|−nR d|b(x)−b(y)||k−2j=−∞f j(y)|dµ(y)≤CM b(k−2j=−∞f j)(x)≤CM b(f)(x),2.1E1≤C M b(f)M˙Kα,λp,q(µ)≤C fM˙Kα,λp,q(µ).E3, , x∈A k,j≥k+2 y∈A j , |x−y|∼|y|, , j≥k+2,RBMO(µ) ,H¨o lder ,K˜Qk,˜Qj≤C(j−k−1), (2), (1) [2]3.5,χk T b(f j) L q(µ)≤C2−jn(A k(A j|b(x)−b(y)||f(y)|dµ(y))q dµ(x))1q ≤C2−jn(A k|b(x)−b j|q(A j|f(y)|dµ(y))q dµ(x))1q+C2−jn(A k(A j|b(y)−b j||f(y)|dµ(y))q dµ(x))1q ≤C2(k−j)n q(j−k) b ∗ f j L q(µ).2.1 E3 , E3≤C fM˙Kα,λp,q(µ)., .2λ=0 , [8] .[1]Orobitg J,P´e rez C.A p weights for non doubling measures in R n and applications[J].TransAmer Math Soc,2002,354:2013-2033.[2]Tolsa X.BMO,H1and Calder´o n-Zygmund operators for non doubling measures[J],Math.Ann.319(2001):89—149.[3]Tolsa X.Littlewood-Paley theory and the T(1)theorem with non-doubling measures[J],Adv.Math.164(2001):57—116.[4]Lu Shanzhen,Yang Dachun.The continucity of commutators on Herz-type spaces[J],MichiganMath J,1997,44:255[5] , , . [J], ,1999,42(2):359—368.[6]Perez C,Trujillo-Gonealee R.Sharp weighted estimates for multilinear commutators[J].J.LondonMath.Soc.,2002,65(2):672—692.[7] , , . Herz [J], ,2005,25(2):160—169.[8] , . Herz [J], ().2004,40(6).[9] . Morrey-Herz [J]. ,2006.10.04.[10] . [J]. ( ),2004,40(3):309—314.[11] . [J], ( ).2005,3:92—99.[12]Garc´ıa-Cuerva J,Martell J M.Two-weight norm inequalities for maximal operators and fractionalson non-homogeneous spaces[J],Indiana Univ Math J,2001,50:1241—1280.。

加权morrey空间算子交换子的有界性
加权Morrey空间算子交换子的有界性是指在Morrey空间中，当算子交换子的权重足够大时，
它的有界性得到保证。

Morrey空间是一种带有权重的函数空间，它是由L.E.Morrey提出的，它是一种更加广义的函数空间，它可以用来描述更复杂的函数。

Morrey空间中的算子交换子是一种重要的算子，它可以用来描述函数的变化情况。

算子交换子
的有界性是指它的值不会无限增大，而是在一定范围内保持稳定。

在Morrey空间中，当算子交换子的权重足够大时，它的有界性得到保证。

为了证明算子交换子的有界性，我们需要证明它的权重足够大时，它的值不会无限增大。

首先，我们需要确定算子交换子的权重，这可以通过求解Morrey空间中的相应方程来实现。

然后，我们可以使用数学归纳法证明算子交换子的有界性。

首先，我们假设算子交换子的权重足够大，即它的值不会无限增大。

然后，我们可以使用数学
归纳法证明算子交换子的有界性。

首先，我们假设算子交换子的值在一定范围内保持稳定，即
它的值不会无限增大。

然后，我们可以使用数学归纳法证明算子交换子的有界性。

最后，我们可以使用数学归纳法证明算子交换子的有界性，即当算子交换子的权重足够大时，
它的值不会无限增大。

这样，我们就可以证明加权Morrey空间算子交换子的有界性。

总之，加权Morrey空间算子交换子的有界性是指在Morrey空间中，当算子交换子的权重足够大时，它的有界性得到保证。

为了证明算子交换子的有界性，我们需要确定算子交换子的权重，然后使用数学归纳法证明算子交换子的有界性。

齐次morrey-herz空间中高阶交换子的中心bmo估计
在齐次Morrey-Herz空间中，高阶交换子的中心BMO估计是将BMO空
间维度提高到更高的维度来衡量函数的振幅，使其具有更好的振幅控制能力。

在比较简单的情况下，高阶交换子的中心BMO估计可以进行一次求和，以计算出一组有界的数，以表示函数的振幅。

但是在更复杂的情况下，我
们可以连续地进行求和，以获得一系列有界的估计数，以提高振幅控制能力。

最后，高阶交换子的中心BMO估计将这些估计数组合在一起，以实现
更强大的振幅控制能力。

西北师范大学硕士学位论文Herz和Morrey-Herz空间上几类交换子的有界性姓名：何儒彬申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：陶双平2008-06摘　要本文共分三章,主要讨论几类交换子在Herz和Morrey-Herz空间上的有界性问题.第一章得到了在非二倍测度下,一类由次线性算子T和RBMO(µ)函数a生成的交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性结果.第二章给出了一类粗糙核多线性分数次奇异积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性结果,同时建立了这类算子和相应极大算子所生成的高阶交换子在M˙Kα,λp,q(R n)上的有界性.第三章证明了齐次Herz型Hardy空间上一类交换子的有界性.关键词:δ-Calder´o n-Zygmund算子;粗糙核算子;交换子;RBMO(µ);Lip-schitz函数;Morrey-Herz空间.AbstractThe thesis mainly discusses the boundedness of some commutators on Herz and Morrey-Herz spaces.In Chapter1,we obtain the boundedness of the commutator[a,T]on the homoge-neous Morrey-Herz spaces with non-doubling measures,where a∈RBMO(µ)and T is a sublinear operator.In Chapter2,we investigate the boundedness results on the homogeneous Morrey-Herz spaces for the fractional multilinear singular integral operators with rough kernel.In the meanwhile,we also establish the boundedness results of the higher order commutators generated by the operator with rough kernel and the corresponding maximal operator on the Morrey-Herz spaces.In Chapter3,we consider the boundedness of Calder´o n-Zygmund commutator fromH˙Kα,pq(R n)to h ˙Kα,pq(R n),where H˙Kα,pq(R n)is the Hardy space associated with Herzspace˙Kα,pq(R n)and h ˙Kα,pq(R n)is the local version of H˙Kα,pq(R n).Key words:δ-Calder´o n-Zygmund operator;Rough kernel operator;commutators; RBMO(µ);Lipschitz function;Morrey-Herz space.独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。