第九章 第八节 离散型随机变量的均值与方差

第8讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为(1)称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，并称其算术平方根D （X ）为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ．(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 4．正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称． (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π .(4)曲线与x 轴之间的面积为1．(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．导师提醒牢记均值与方差的七个常用性质若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则(1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数． (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )． (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)． (4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2.(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2)． (6)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．(7)若X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×已知X 的分布列为设Y ＝2X A.73 B ．4 C ．－1D ．1解析：选A.E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.已知ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，并且η＝2ξ＋3，则方差D (η)＝( ) A.329B.89C.439D.599解析：选A.由题意知，D (ξ)＝4×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝89， 因为η＝2ξ＋3，所以D (η)＝4·D (ξ)＝4×89＝329.已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜4)＝( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2解析：选A.由P (ξ＜4)＝0.8，得P (ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x ＝2对称，则P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.2，所以P (0＜ξ＜4)＝1－P (ξ≤0)－P (ξ≥4)＝0.6.一个正四面体ABCD 的四个顶点上分别标上1分，2分，3分和4分，往地面抛掷一次，记不在地面上的顶点的分数为X ，则X 的均值为________．解析：X 的分布列为所以E (X )＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝52.答案：52一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时就放对了，否则就放错了．设放对个数记为ξ，则ξ的期望为________．解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P (ξ＝0)＝9A 44＝38， P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124，E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1. 答案：1离散型随机变量的均值与方差(多维探究)角度一 离散型随机变量的均值与方差的计算某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望与方差．【解】 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.方差D (X )＝415(0－1)2＋715(1－1)2＋415(2－1)2＝815.角度二 二项分布的均值与方差的计算(2019·成都第一次诊断性检测)某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨)．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标．(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的 用水量超标的概率；(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列、数学期望和方差．【解】 (1)记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A ，则P (A )＝C 14C 28C 312＋C 38C 312＝168220＝4255.(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为13.X 的所有可能取值为0，1，2，3， 易知X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13，P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫13k⎝⎛⎭⎫233－k，k ＝0，1，2，3，则P (X ＝0)＝827，P (X ＝1)＝49，P (X ＝2)＝29，P (X ＝3)＝127.所以随机变量X 的分布列为数学期望E (X )＝3×13＝1，D (X )＝3×13×⎝⎭⎫1－13＝23.(1)求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 ①理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值； ②求ξ取每个值的概率； ③写出ξ的分布列； ④由均值的定义求E (ξ)； ⑤由方差的定义求D (ξ)． (2)二项分布的期望与方差如果ξ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ；D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量． [提醒] 均值E (X )由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 取值的平均水平．1．(2019·洛阳市第一次统一考试)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM 2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A 、B 、C 三个城市进行治霾落实情况抽查．(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X ，求X 的分布列和期望．解：(1)随机选取，共有34＝81种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有C 13(C 14A 22＋C 24)＝42种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为4281＝1427.(2)设事件A ：“一个城市需复检”，则P (A )＝1－⎝⎛⎭⎫124＝1516，X 的所有可能取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝C 03·⎝⎛⎭⎫1163＝14 096，P (X ＝1)＝C 13·⎝⎛⎭⎫1162·⎝⎛⎭⎫15161＝454 096，P (X ＝2)＝C 23·⎝⎛⎭⎫1161·⎝⎛⎭⎫15162＝6754 096，P (X ＝3)＝C 33·⎝⎛⎭⎫15163＝3 3754 096. 所以X 的分布列为 X ～B ⎝⎭⎫3，1516，E (X )＝3×1516＝4516. 2．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA 化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA ，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验．(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．解：(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA ，再从另一组中任取一只进行化验，其恰好含有病毒DNA ，此种情况的概率为C 35C 36×1C 13＝16；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA ，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为C 25C 36×1C 13＝16.所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为16＋16＝13.(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10，18，24，30，36.P (η＝10)＝16，P (η＝18)＝56×15＝16，P (η＝24)＝56×45×14＝16，P (η＝30)＝56×45×34×13＝16，P (η＝36)＝56×45×34×23＝13，则化验费η的分布列为所以E (η)＝10×16＋18×16＋24×16＋30×16＋36×13＝773(元)．均值与方差的实际应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220 [2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1，1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于EX>400，故应该对余下的产品作检验．均值与方差的实际应用(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用D（X）来描述X的分散程度．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．1．(2019·广东省七校联考)某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图．注：尺寸数据在[63.0，64.5)内的零件为合格品，频率作为概率． (1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为ξ，求ξ的分布列与期望． (2)从产品中随机抽取n 个，全是合格品的概率不小于0.3，求n 的最大值．(3)为了提高产品合格率，现提出A ，B 两种不同的改进方案进行试验．若按A 方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数X 的期望是2；若按B 方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数Y 的期望是4.你会选择哪种改进方案？解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的产品为合格品的频率为(0.75＋0.65＋0.2)×0.5＝0.8，即抽取1个产品为合格品的概率为45，从产品中随机抽取4个，合格品的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫154＝1625， P (ξ＝1)＝C 14×45×⎝⎛⎭⎫153＝16625，P (ξ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫452×⎝⎛⎭⎫152＝96625， P (ξ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫453×15＝256625， P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫454＝256625. 所以ξ的分布列为ξ的数学期望E (ξ)＝4×45＝165.(2)从产品中随机抽取n 个产品，全是合格品的概率为⎝⎛⎭⎫45n，依题意得⎝⎛⎭⎫45n≥0.3，故n 的最大值为5.(3)设按A 方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是a ，则随机抽取15个产品，不合格品个数X ～B (15，a )；设按B 方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是b ，则随机抽取25个产品，不合格品个数Y ～B (25，b )．依题意得E (X )＝15a ＝2，E (Y )＝25b ＝4，所以a ＝215，b ＝425.因为215＜425，所以应选择方案A .2．(2019·辽宁五校联合体模拟)某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；(2)该商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖机会，若中奖一次，则获得数额为n 元的奖金；若中奖两次，则获得数额为3n 元的奖金；若中奖三次，则获得数额为6n 元的奖金．假设顾客每次抽奖中奖的概率都是14，请问：该商场将奖金数额n 最高定为多少元，才能使促销方案对该商场有利？解：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，共有C 39种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有C 36种，所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为 P (A )＝1－C 36C 39＝1－521＝1621.(2)设顾客三次抽奖所获得的资金总额(单位：元)为随机变量ξ， 则其所有可能的取值为0，n ，3n ，6n .当ξ＝0时，表示顾客在三次抽奖中都没有中奖． 所以P (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫140⎝⎛⎭⎫1－143＝2764，P (ξ＝n )＝C 13⎝⎛⎭⎫141⎝⎛⎭⎫1－142＝2764，P (ξ＝3n )＝C 23⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫1－141＝964， P (ξ＝6n )＝C 33⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫1－140＝164.所以顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 E (ξ)＝0×2764＋n ×2764＋3n ×964＋6n ×164＝15n16，由15n16≤60，解得n ≤64， 所以该商场将奖金数额n 最高定为64元，才能使促销方案对该商场有利．正态分布(师生共研)(1)(2019·惠州市第二次调研)设随机变量ξ服从正态分布N (4，3)，若P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，则实数a 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4(2)已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X >2)＝0.15，则P (0≤X ≤1)＝( ) A ．0.85 B ．0.70 C ．0.35D ．0.15【解析】 (1)由随机变量ξ服从正态分布N (4，3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x ＝4，又P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，所以x ＝a －5与x ＝a ＋1关于直线x ＝4对称，所以(a －5)＋(a ＋1)＝8，即a ＝6.选B.(2)P (0≤X ≤1)＝P (1≤X ≤2)＝0.5－P (X >2)＝0.35. 【答案】 (1)B (2)C正态分布下的概率计算常见的两类问题(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．1．(2019·太原模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2<X <4)＝( )A ．0.682 6B ．0.341 3C ．0.460 3D ．0.920 7解析：选A.因为随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (x ≥4)＝0.158 7，所以P (X ≤2)＝0.158 7，所以P (2<X <4)＝1－P (X ≤2)－P (X ≥4)＝0.682 6，故选A.2．某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)(a >0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人．解析：因为成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)， 所以其正态分布曲线关于直线x ＝90对称，又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的12×⎝⎛⎭⎫1－35＝15，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有15×900＝180(人)．答案：180利用期望与方差进行决策某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买．则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X 的分布列：(2)若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一．应选用哪个？【解】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.利用期望与方差进行决策的方法(1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量ξ1，ξ2的期望，当E(ξ1)＝E(ξ2)时，不应误认为它们一样好，需要用D (ξ1)，D (ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度，偏离程度小的更好．(2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近．(3)若对平均水平或者稳定性没有明确要求时，一般先计算期望，若相等，则由方差来确定哪一个更好．若E (ξ1)与E (ξ2)比较接近，且期望较大者的方差较小，显然该变量更好；若E (ξ1)与E (ξ2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定．(2019·洛阳第一次统考)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表(1)3天送餐单数都不小于40的概率．(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望E (X )；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ， 则P (M )＝C 325C 350＝23196.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a ， 当a ＝38时，X ＝38×6＝228， 当a ＝39时，X ＝39×6＝234，当a ＝40时，X ＝40×6＝240， 当a ＝41时，X ＝40×6＋1×7＝247， 当a ＝42时，X ＝40×6＋2×7＝254.所以X 的所有可能取值为228，234，240，247，254. 故X 的分布列为 X 228 234 240 247 254 P110151525110所以E (X )＝228×110＋234×15＋240×15＋247×25＋254×110＝241.8.②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7＝238.8元． 由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元． 因为238.8<241.8，所以推荐小王去乙公司应聘．[基础题组练]1．设随机变量X 服从正态分布N (0，1)，若P (X >1)＝p ，则P (－1<X <0)＝( ) A.12＋p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 解析：选D.因为随机变量X 服从正态分布N (0，1)，所以正态分布曲线关于直线x ＝0对称，所以P (X >0)＝P (X <0)＝12，P (X >1)＝P (X <－1)＝p ，所以 P (－1<X <0)＝P (X <0)－P (X <－1)＝12－p .2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23C ．2D.83解析：选D.因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X 的可能取值为2，3，所以P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 11C 23＝23，所以E (X )＝2×13＋3×23＝83. 3．(2018·安徽合肥一模)已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有( )(附：若X 服从N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<X <μ＋2σ＝0.954 5) A ．4 093件 B ．4 772件 C ．6 827件D ．8 186件解析：选D.由题意可得，该正态分布的对称轴为x ＝100，且σ＝2，则质量在[96，104]内的产品的概率为P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98，102]内的产品的概率为P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98，104]内的产品的概率为0.682 7＋0.954 5－0.682 72＝0.818 6，据此估计质量在[98，104]内的产品的数量为10 000×0.818 6＝8186(件)．4．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6，2.4 B ．2，2.4 C ．2，5.6D ．6，5.6解析：选B.由已知随机变量X ＋η＝8，所以η＝8－X . 因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.5．某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23.如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A ．3 B.83 C ．2D.53解析：选B.在一轮投篮中，甲通过的概率为P ＝89，未通过的概率为19.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X 的可能取值为0，1，2，3，则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫193＝1729， P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫891×⎝⎛⎭⎫192＝24729P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫892×⎝⎛⎭⎫191＝192729， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫893＝512729. 所以随机变量X 的分布列为数学期望E (X )＝0×1729＋1×24729＋2×192729＋3×512729＝83.6．(2019·辽宁五校联合体模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (72，4)，则P (X <70或X >76)等于________．(附：(P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5)解析：因为随机变量X 服从正态分布N (72，4)，所以μ＝72，σ＝2，所以P (70<X <74)＝0.682 7，P (68<X <76)＝0.954 5，所以P (X <70)＝0.158 65，P (X >76)＝0.022 75，所以P (X <70或X >76)＝0.158 65＋0.022 75＝0.181 4.答案：0.181 47．若随机变量ξ的分布列如下表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝________．解析：易知a ，b ∈[0，1]，由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8，又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3，解得a ＝0.3，b ＝0.5，则a －b ＝－0.2.答案：－0.28．某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________．解析：由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3. P (ξ＝0)＝12×12×23＝212，P (ξ＝1)＝12×12×23＋12×12×23＋12×12×13＝512，P (ξ＝2)＝12×12×23＋12×12×13＋12×12×13＝412，P (ξ＝3)＝12×12×13＝112.所以E (ξ)＝0×212＋1×512＋2×412＋3×112＝43.答案：439．(2019·西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)．解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1，解得a ＝0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为20克，而50个样本中小球重量的平均数为x ＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均数为24.6克． (2)该盒子中小球重量在[5，15]内的概率为15，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15，X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151×⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152×⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 所以X 的分布列为所以E (X )＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35.(或者E (X )＝3×15＝35.)10．(2019·长沙模拟)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．解：(1)设下周一无雨的概率为p ，由题意得，p 2＝0.36，解得p ＝0.6，基地收益X 的可能取值为20，15，10，7.5，则P (X ＝20)＝0.36，P (X ＝15)＝0.24，P (X ＝10)＝0.24，P (X ＝7.5)＝0.16.所以基地收益X 的分布列为E (X )＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(万元)， 所以基地的预期收益为14.4万元． (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益E (Y )＝20×0.6＋10×0.4－a ＝16－a (万元)，E (Y )－E (X )＝1.6－a (万元)． 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以．[综合题组练]1．某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理．(1)若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：瓶，n ∈N )的函数解析式；(2)鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量(单位：瓶)，绘制出如下的柱形图(例如：日需求量为25瓶时，频数为5)：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若该鲜奶店一天购进30瓶鲜奶，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列及数学期望；②若该鲜奶店计划一天购进29瓶或30瓶鲜牛奶，你认为应购进29瓶还是30瓶？请说明理由．解：(1)当n ≥30时，y ＝30×(7－3)＝120；当n ≤29时，y ＝(7－3)n －3(30－n )＝7n －90.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧7n －90，0≤n ≤29120，n ≥30，n ∈N .(2)①X 的可能取值为85，92，99，106，113，120， P (X ＝85)＝0.05，P (X ＝92)＝0.1， P (X ＝99)＝0.1， P (X ＝106)＝0.05， P (X ＝113)＝0.1， P (X ＝120)＝0.6. X 的分布列为E (X )＝(85＋106)×0.05＋(92＋99＋113)×0.1＋120×0.6＝111.95.②购进29瓶时，当天利润的数学期望为t ＝(25×4－4×3)×0.05＋(26×4－3×3)×0.1＋(27×4－2×3)×0.1＋(28×4－1×3)×0.05＋29×4×0.7＝110.75，因为111.95＞110.75，所以应购进30瓶．2．(2019·洛阳尖子生第二次联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市(1)当p ＝14时，求q 的值．(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围．(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，q ＝16，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由．解：(1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p ＋13＋q ＝1.又p ＝14，所以q ＝512.(2)记事件A 为“甲投资股市且获利”，事件B 为“乙购买基金且获利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝AB ∪AB ∪AB ，且A ，B 独立． 由题意可知，P (A )＝12，P (B )＝p ，所以P (C )＝P (AB )＋P (AB )＋P (AB ) ＝12(1－p )＋12p ＋12p ＝12＋12p . 因为P (C )＝12＋12p ＞45，所以p ＞35.又p ＋13＋q ＝1，q ≥0，所以p ≤23.所以p 的取值范围为⎝⎛⎦⎤35，23.(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X 的分布列为则E (X )＝4×12＋0×18＋(－2)×38＝54.假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)， 所以随机变量Y 的分布列为则E (Y )＝2×12＋0×13＋(－1)×16＝56.因为E (X )＞E (Y )，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．3．(2019·高考全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i ＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.(ⅰ)证明：{p i＋1－p i}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．解：(1)X的所有可能取值为－1，0，1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为(2)(ⅰ)证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此p i＝0.4p i－1＋0.5p i＋0.1p i＋1，故0.1(p i＋1－p i)＝0.4(p i－p i－1)，即p i＋1－p i＝4(p i－p i－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{p i＋1－p i}(i＝0，1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．(ⅱ)由(ⅰ)可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)。

1 / 21第八节 离散型随机变量的均值与方差命题导航课程标准(2017年版)命题预测通过具体实例,理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差). 1.考向预测:结合具体情境,考查对离散型随机变量的分布列及其数字特征的理解与应用. 2.学科素养:主要考查数据分析、数学建模、数学运算核心素养.1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)均值:称E(X)=① x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的② 平均水平 .(2)称D(X)=∑i=1n(x i -E(X))2p i 为随机变量X 的方差,它刻画了随机变量X 与其均值E(X)的平均③ 偏离 程度,其算术平方根√D (X )为随机变量X 的标准差.2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=④ aEX+b (a,b 为实数). (2)D(aX+b)=⑤ a 2DX (a,b 为实数). (3)E(k)=k(k 为常数). (4)E(X 1+X 2)=E(X 1)+E(X 2). (5)D(X)=E(X 2)-(E(X))2.(6)若X 1,X 2相互独立,则E(X 1X 2)=E(X 1)·E(X 2).2 / 21(7)D(k)=0(k 为常数).(8)若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ,其方差为s 2,则ax 1+b,ax 2+b,…,ax n +b 的方差为a 2s 2,特别地,当a=1时,有x 1+b,x 2+b,…,x n +b 的方差为s 2,这说明将一组数据的每一个数据都加上一个相同的常数,方差是不变的,即不影响数据的波动性.(9)方差的一个简化公式是s 2=1n [(x 12+x 22+…+x n 2)-n x 2]=x 2-x 2,此公式只要把方差公式展开进行重组即可证明.3.两点分布与二项分布的均值、方差X X 服从两点分布 X~B(n,p) E(X) ⑥ p(p 为成功概率) ⑦ np D(X)⑧ p(1-p)⑨ np(1-p)1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.( ) (2)数学期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.( ) (3)随机变量的均值是常数,样本的均值是随机变量.( )(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.( )(5)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.( ) 答案 (1)√ (2)✕ (3)√ (4)√ (5)✕ 2.已知随机变量X 的分布列为X -2 0 2 P131313则E(X)与D(X)的值分别为()A.0,2B.0,83C.2,0D.83,0答案 B3.已知X的分布列为X -1 0 1P 121316设Y=2X+3,则E(Y)的值为( )A.73B.4C.-1D.1答案 A4.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球,编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球,以X表示取出球的最小号码,则E(X)=( )A.0.45B.0.5C.0.55D.0.6答案 B5.随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=15,E(X)=1,则D(X)= .答案253 / 214 / 21离散型随机变量的均值、方差命题方向一 均值与方差的计算典例1 (1)(2019河南南阳模拟)设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,若X 的数学期望为E(X)=3,则a-b=( )A.110B.0C.-110D.15(2)已知随机变量ξ的分布列为ξ -1 0 2 Pxyz若E(ξ)=13,D(ξ)=1,则x,y,z 的值依次为 . (3)已知随机变量X 的分布列如下表:X a 2 3 4 P13b 1614若E(X)=2,则a= ,D(X)= .答案 (1)A(2)127,1318,1354 (3)0;52解析 (1)∵离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b, ∴(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1, 又X 的数学期望E(X)=3,则(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3,即30a+10b=3, ∴a=110,b=0,∴a -b=110.故选A. (2)由分布列的性质得x+y+z=1,5 / 21由数学期望的定义得E(ξ)=-x+2z=13,由方差的定义得D(ξ)=(-1-13)2x+0-132y+2-132z=1,整理得16x+y+25z=9, 解得x=127,y=1318,z=1354.(3)由题意知,13+b+16+14=1,所以b=14.又E(X)=a×13+2×14+3×16+4×14=2,解得a=0, 所以E(X 2)=22×14+32×16+42×14=132,所以D(X)=E(X 2)-(E(X))2=52.命题方向二 与相互独立事件有关的均值、方差典例2 为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准如下:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14,16;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12,23;两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与均值E(ξ),方差D(ξ).解析 (1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0,40,80元. 甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1-14-12=14, 1-16-23=16.两人都付0元的概率P 1=14×16=124, 两人都付40元的概率P 2=12×23=13,两人都付80元的概率P 3=14×16=124,则两人所付费用相同的概率P=P 1+P 2+P 3=124+13+124=512. (2)由题意知ξ的可能取值为0,40,80,120,160,则6 / 21P(ξ=0)=14×16=124, P(ξ=40)=14×23+12×16=14, P(ξ=80)=14×16+12×23+14×16=512, P(ξ=120)=12×16+14×23=14, P(ξ=160)=14×16=124. 所以ξ的分布列为ξ 0 40 80 120 160 P124145 14124E(ξ)=0×124+40×14+80×512+120×14+160×124=80.D(ξ)=(0-80)2×124+(40-80)2×14+(80-80)2×512+(120-80)2×14+(160-80)2×124=4 0003.命题方向三 与二项分布有关的均值、方差典例3 (2018课标全国Ⅰ理,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p 0;(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率f(p)=C 202p 2(1-p)18. 因此f '(p)=C 202[2p(1-p)18-18p 2(1-p)17]=2C 202p(1-p)17·(1-10p).令f '(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时, f '(p)>0;当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0.所以f(p)的最大值点为p=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.命题方向四与古典概型有关的均值、方差典例4 (2019北京理,17,13分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:支付(0,1 000] (1 000,2 000] 大于2 000金额(元)支付方式仅使用A 18人9人3人仅使用B 10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X的分布列和数学期望;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.解析(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B 两种支付方式都使用的7 / 218 / 21学生有100-30-25-5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B 两种支付方式都使用的概率估计为40100=0.4.(2)X 的所有可能值为0,1,2.记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”,事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”.由题设知,事件C,D 相互独立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.6.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(C D ∪C D)=P(C)P(D )+P(C )P(D)=0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6=0.52, P(X=0)=P()P(D )=0.24. 所以X 的分布列为X 0 1 2 P0.240.520.24故X 的数学期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2 000元”.假设样本仅使用A 的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P(E)=1C 303=14 060.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E 是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.9 / 21命题方向五 与正态分布有关的均值、方差典例5 (2018衡水一模)已知ξ~B (4,13),并且η=2ξ+3,则方差D(η)=( ) A.329B.89C.439D.599答案 A解析 由题意知,D(ξ)=4×13×(1-13)=89,∵η=2ξ+3,∴D(η)=4·D(ξ)=4×89=329. 1-1 (2018课标全国Ⅲ理,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( )A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案 B1-2 某项目的射击比赛,开始时在距目标100米处射击,如果命中记3分,且停止射击;若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标在150米处,这时命中记2分,且停止射击;若第二次仍未命中,还可以进行第三次射击,此时目标已在200米处,若第三次命中记1分,并停止射击;若第三次都未命中,则记0分.已知射手甲在100米处击中目标的概率为12,他的命中率与目标的距离的平方成反比,且各次射击都是独立的.(1)求这名射手在三次射击中命中目标的概率; (2)求这名射手在这次比赛中得分的数学期望.解析 (1)设事件A i (i=1,2,3):第i 次射击击中目标,事件B:三次都未击中目标,则P(A i )=12.设在x 米处击中目标的概率为P(x), 则P(x)=kx 2(x=100,150,200). 由12=k100,得k=5 000, 所以P(x)=5 000x 2,10 / 21所以P(A 2)=5 0001502=29, P(A 3)=5 0002002=18,P(B)=(1-12)×(1-29)×(1-18)=49144,所以该射手在三次射击中击中目标的概率P(B )=1-P(B)=1-49144=95144. (2)设射手甲得分为ξ,则P(ξ=0)=49144,P(ξ=1)=12×79×18=7144, P(ξ=2)=12×29=19,P(ξ=3)=12,所以E(ξ)=0×49144+1×7144+2×19+3×12=8548. 均值与方差在实际问题中的应用典例6 (2018贵州贵阳模拟)某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生,经过层层筛选,甲、乙两名学生进入最后测试,该校设计了一个测试方案:甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题.已知这6个问题中,学生甲能回答正确其中的4个问题,而学生乙能回答正确每个问题的概率均为23,甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的.(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率;(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大. 解析 (1)由题意可知,所求概率 P=C 41C 22C 63×C 31×23×(13)2+C 42C 21C 63×C 30×(23)0×(13)3=115. (2)设学生甲答对的题数为X,则X 的所有可能取值为1,2,3. P(X=1)=C 41C 22C 63=15, P(X=2)=C 42C 21C 63=35, P(X=3)=C 43C 20C 63=15,11 / 21E(X)=1×15+2×35+3×15=2,D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=25.设学生乙答对的题数为Y,则Y 的所有可能取值为0,1,2,3. 由题意可知Y~B (3,23), E(Y)=3×23=2, D(Y)=3×23×13=23.因为E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), 所以甲被录取的可能性更大. 方法技巧利用均值与方差解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行具体分析,将实际问题转化为数学问题,并将问题中的随机变量设出来. (2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件,求出其相应的概率. (3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值. (4)依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释.2-1 某投资公司现提供两种一年期投资理财方案,一年后投资盈亏的情况如下表:投资股市 获利40%不赔不赚亏损20%概率P 12 18 38 购买基金 获利20%不赔不赚亏损10%概率Pm13n(1)甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“购买基金”.若一年后他们中至少有一人盈利的概率大于45,求m 的取值范围;(2)若m=12,某人现有10万元资金,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种,那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望值较大?12 / 21解析 (1)记事件A 为“甲投资股市且盈利”,事件B 为“乙购买基金且盈利”,事件C 为“一年后甲、乙中至少有一人盈利”,则C=A B ∪A B∪AB,其中A,B 相互独立.∵P(A)=12,P(B)=m,∴P(C)=P(A )+P(A B)+P(AB) =12(1-m)+(1-12)m+12m=12(1+m). ∴12(1+m)>45,∴m>35. 又∵m+13+n=1且n≥0, ∴m≤23,∴35<m≤23. ∴m 的取值范围是35<m≤23.(2)假设此人选择“投资股市”,记ξ为盈利金额(单元:万元),则ξ的分布列为ξ 4 0 -2 P1 1 3 则E(ξ)=4×12+0×18-2×38=54.假设此人选择“购买基金”,记η为盈利金额(单位:万元),则η的分布列为η 2 0 -1 P1 1 1 则E(η)=2×12+0×13-1×16=56.∵54>56,即E(ξ)>E(η),∴选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期望值较大.13 / 21解答离散型随机变量的均值与方差实际应用题时,要注意以下两点:(1)明确题意,找准变量之间的关系,注意所学概率模型(相互独立事件、二项分布等)的应用.(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,其中标准差与随机变量本身具有相同的单位.低碳生活,从“衣食住行”开始.在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用,人们可以由此计算出自己每天的碳排放量,如家居用电的二氧化碳排放量(千克)=耗电度数×0.785,家用天然气的二氧化碳排放量(千克)=天然气使用立方数×0.19等.某校开展“节能减排,保护环境,从我做起!”的活动,该校高一六班的同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查.生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”,否则称为“非低碳家庭”.经统计,这两类家庭占各自小区总户数的比例P 数据如下:东城小区 低碳家庭非低碳家庭比例P 12 12 西城小区 低碳家庭非低碳家庭比例P4515(1)如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭,求这4个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率;(2)该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义,使得每周“非低碳家庭”中有20%的家庭加入到“低碳家庭”的行列中.宣传两周后随机地从东城小区中任选5个家庭,记ξ表示5个家庭中“低碳家庭”的个数,求E(ξ)和D(ξ).解析 (1)设“4个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为事件A,则有以下三种情况:“低碳家庭”均来自东城小区,“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区,“低碳家庭”均来自西城小区.所以P(A)=12×12×15×15+4×12×12×45×15+12×12×45×45=33100.14 / 21(2)因为东城小区每周“非低碳家庭”中有20%的家庭加入“低碳家庭”行列,经过两周后,两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下:东城小区低碳家庭 非低碳家庭P1725825由题意知,两周后东城小区5个家庭中的“低碳家庭”的个数ξ服从二项分布,即ξ~B (5,1725),所以E(ξ)=5×1725=175, D(ξ)=5×1725×825=136125.A 组 基础题组1.若离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 Pa 2a 22则E(X)等于( ) A.2B.2或12C.12D.1答案 C2.(2018合肥一模)已知袋中有3个白球,2个红球,现从中随机取出3个球,其中每取出一个白球计1分,每取出一个红球计2分,记X 为取出3个球的总分值,则E(X)=( ) A.185 B.215 C.4 D.245答案 B3.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则E(X)=()15 / 21A.126125B.65 C.168125 D.75答案 B4.某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜不对得0分,这两个同学各猜1次,则他们的得分之和X 的数学期望为 . 答案 0.9解析 由题意可知X=0,1,2,则P(X=0)=0.6×0.5=0.3,P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2, 所以E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9.5.一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了,否则叫做放错了.设放对的个数为ξ,则ξ的期望值为 . 答案 1解析 将四个小球放入四个盒子,每个盒子放一个小球,共有A 44种不同的放法,放对的个数ξ可取的值为0,1,2,4.P(ξ=0)=9A 44=38,P(ξ=1)=C 41×2A 44=13,P(ξ=2)=C 42A 44=14,P(ξ=4)=1A 44=124,所以E(ξ)=0×38+1×13+2×14+4×124=1.6.(2018郑州第二次质量预测)光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术,具有资源的充足性及潜在经济性等优点,在长期的能源战略中具有重要地位.2015年起,国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点.在某县居民中随机抽取50户统计其年用电量,得到以下统计表.以样本的频率作为概率.16 / 21用电量/度 (0,200] (200,400](400,600](600,800](800,1 000]户数7815137(1)在该县居民中随机抽取10户,记其中年用电量不超过600度的户数为X,求X 的数学期望; (2)在总结试点经验的基础上,将村级光伏发电站确定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组,该机组所发电量除保证该村正常用电外,剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1 000度,试估计该发电机组每年所发电量除保证该村的正常用电外还能为该村创造直接收益多少元.解析 (1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户,其年用电量不超过600度为事件A,则P(A)=7+8+1550=35.由题意可知X 服从二项分布,即X~B (10,35),故X 的数学期望E(X)=10×35=6. (2)设该村居民每户的年均用电量为E(Y),由样本数据可得E(Y)=100×750+300×850+500×1550+700×1350+900×750=520,则该村年均用电量约为300×520=156 000度.又该村所装发电机组年预计发电量为300 000度,所以该发电机组每年所发电量除保证该村的正常用电外还能剩余的电量约为144 000度,能为该村创造直接收益144 000×0.8=115 200元. 7.大学毕业生参加一个公司的招聘考试,考试分笔试和面试两个环节.笔试有A 、B 两个题目,该学生答对A 、B 两题的概率分别为12和13,两题全部答对方可进入面试.面试要回答甲、乙两个题目,该学生答对这两个题目的概率均为12,且答对一题即可被聘用(假设每个环节的每个题目回答正确与否是相互独立的). (1)求该学生被聘用的概率;(2)设该学生答对题目的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望. 解析 (1)记答对A 、B 、甲、乙各题分别为事件A 1、B 1、C 、D, 则P(A 1)=12,P(B 1)=13,P(C)=P(D)=12.17 / 21故所求事件的概率为P(A 1B 1)·[1-P( D )]=12×13×(1-12×12)=18. (2)ξ的取值为0,1,2,3,4, P(ξ=0)=P(A 1 B 1)=12×23=13, P(ξ=1)=P(A 1B 1+A 1B 1)=12×13+12×23=12, P(ξ=2)=P(A 1B 1)·P( D )=12×13×12×12=124,P(ξ=3)=P(A 1B 1)·P(C D +C D)=12×13C 21(12)2=112,P(ξ=4)=P(A 1B 1)·P(CD)=12×13×(12)2=124. ∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1312124112124∴E(ξ)=0×13+1×12+2×124+3×112+4×124=1.B 组 提升题组1.将3个小球随机放入3个盒子中,记放有小球的盒子个数为X,则E(X)=( ) A.199 B.53C.195D.175答案 A 将3个小球随机放入3个盒子中,有3×3×3=27种放法.X 的取值可能为1,2,3,P(X=3)=A 3327=29,P(X=2)=C 32A 22C 3227=23,P(X=1)=C 3127=19.所以E(X)=3×29+2×23+1×19=199.2.(2019浙江,7,4分)设0<a<1.则随机变量X 的分布列是X 0 a 1 P13131318 / 21则当a 在(0,1)内增大时,( ) A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大答案 D 随机变量X 的期望E(X)=0×13+a×13+1×13=a+13,D(X)=[(0-a+13)2+(a -a+13)2+(1-a+13)2]×13=29(a 2-a+1)=29(a -12)2+16,当a∈(0,12)时,D(X)单调递减, 当x∈(12,1)时,D(X)单调递增, 故选D.3.(2019天津,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X 的分布列和数学期望;(2)设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率.解析 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B (3,23),从而P(X=k)=C 3k (23)k (13)3-k,k=0,1,2,3.所以,随机变量X 的分布列为X 0123P127 2 4 82719 / 21随机变量X 的数学期望E(X)=3×23=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B (3,23), 且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立, 从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×29+49×127=20243. 素养拓展4.为了回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获得的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: ①顾客所获得的奖励额为60元的概率; ②顾客所获得的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值为10元和50元的两种球组成,或由标有面值为20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合理的设计,并说明理由.解析 (1)设顾客所获得的奖励额为X 元. ①依题意,得P(X=60)=C 11C 31C 42=12,即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12. ②依题意,得X 的所有可能取值为20,60.20 / 21P(X=60)=12,P(X=20)=C 32C 42=12, 所以X 的分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获得的奖励额的期望E(X)=20×12+60×12=40. (2)根据商场的预算,可知每位顾客的平均奖励额为60元. 所以,先寻找期望为60元的方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获得的奖励额为X 1元,则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P1 2 1 E(X 1)=20×16+60×23+100×16=60,D(X 1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=1 6003.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获得的奖励额为X 2元,则X 2的分布列为X 2 40 60 80 P1 2 1 E(X 2)=40×16+60×23+80×16=60,D(X 2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源虽然两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.21 / 21。

离散型随机变量的均值与方差_教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念通过实例说明离散型随机变量的特点1.2 离散型随机变量的取值讨论离散型随机变量的取值范围解释离散型随机变量的概率分布1.3 离散型随机变量的概率质量函数定义概率质量函数（PMF）示例说明如何计算离散型随机变量的概率第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值定义引入离散型随机变量的均值概念解释均值的意义和重要性2.2 计算离散型随机变量的均值介绍计算离散型随机变量均值的方法通过实例演示如何计算均值2.3 均值的性质讨论离散型随机变量均值的性质证明均值的线性性质第三章：离散型随机变量的方差3.1 方差的概念引入方差的概念和意义解释方差在描述随机变量离散程度方面的作用3.2 计算离散型随机变量的方差介绍计算离散型随机变量方差的方法通过实例演示如何计算方差3.3 方差的性质讨论离散型随机变量方差的性质证明方差的线性性质第四章：离散型随机变量的标准差4.1 标准差的概念引入标准差的概念和意义解释标准差在描述随机变量离散程度方面的作用4.2 计算离散型随机变量的标准差介绍计算离散型随机变量标准差的方法通过实例演示如何计算标准差4.3 标准差的性质讨论离散型随机变量标准差的性质证明标准差的线性性质第五章：离散型随机变量的期望和方差的关系5.1 期望和方差的关系引入期望和方差的关系概念解释期望和方差在描述随机变量特性方面的作用5.2 计算离散型随机变量的期望和方差介绍计算离散型随机变量期望和方差的方法通过实例演示如何计算期望和方差5.3 期望和方差的性质讨论离散型随机变量期望和方差的性质证明期望和方差的线性性质这五个章节涵盖了离散型随机变量的均值和方差的基本概念、计算方法和性质。

通过这些章节的学习，学生可以掌握离散型随机变量的均值和方差的计算方法，并了解它们在描述随机变量特性和规律方面的应用。