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2019学年度第一学期期中考试高二数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知,a b c d >>，且,c d 不为0，那么下列不等式成立的是（ ）（A ）ad bc > （B ）ac bd > （C ）a c b d ->- （D ）a c b d +>+（2）若m 是4和9的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ）（A ）6 （B （C ）6 （D ）6（3）命题“存在R x ∈，使24x a x a +-＜0，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ）（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）在数列}{n a 中，已知11=a ，且任意*N n ∈，有n n a a 2121+=+，则数列}{n a 的前10项和为（ ）（A ） 45 （B ）55 （C ）265 （D ）255 （5）已知函数2()+f x x x =，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）（A ）20172018（B ）20182017（C ）20182019（D ）20192018（6）设不等式组4010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ，若圆222:(1)(0)C x y r r ++=>不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是（A）(13,)+∞ （B）+)∞（C ）(0 （D）（7）已知ABP ∆的顶点,A B 分别为双曲线221169x y -=的左，右焦点，顶点P 在双曲线上， 则sin |sin sin |PA B -的值等于（ ）（A ）45 （B（C ）54（D（8）已知数列：,,41,32,23,14,31,22,13,21,12,11 依它的前10项的规律，这个数列的 第2017项2017a 等于（ ）（A ）311 （B ）631 （C ） 64 （D ）263 （9）如图，在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 是AC 与BD 的交点，若AB a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1BM 相等的向量是（ ） （A ）1122a b c -++ （B ）1122a b c ++ （C ）1122a b c -+ （D ）1122a b c --+ （10）直线3y x =-与抛物线22(0)y px p =>交与,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ,若梯形APQB 的面积为48，则p =（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（11）设函数2()1f x mx mx =--，若对于[1,3],()4x f x m ∈<-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）（A ）0]∞（-， （B ）57[0,） （C ）5,07∞⋃（-）(0,) （D ）5,7∞（-）（12）已知椭圆192522=+y x 的左、右顶点分别为,A B ，在第二象限内取双曲线192522=-y x 上一点P ，连结BP 交椭圆与点M ，连结AP 并延长交椭圆与点N .若点M 为BP 的中点，则四边形ANBM 的面积为（ ）（A ） （B ） （C ）30（D ） 第II 卷（非选择题，共90分） 注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分（13）命题“3210x R x x ∃∈-+=，”的否定是 . （14）已知向量)2,0,1(),0,1,1(-==，且b k a +与b a -2互相垂直，则k 的值是______. （15）在等差数列{}n a 中，0n a >，64142a a =+，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则15S = ．（16）已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆22(5)1x y +-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）(本小题满分10分)已知命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的负实数根；命题:q 方程244-210x m x ++=（）无实数根.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围.（18）(本小题满分12分)等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知1030a =，2050a =.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：241≤n T .（19）（本小题满分12分） 已知1a b +=，对(),0,a b ∀∈+∞，14221x x a b+≥--+恒成立． （Ⅰ）求14a b+的最小值； （Ⅱ）求x 的取值范围．（20）（本小题满分12分）已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线1y =-相切． （Ⅰ）求圆心M 的轨迹方程；（Ⅱ）动直线l 过点)3,0(-P ，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．（21）(本小题满分12分）在等差数列}{n a 中，首项11=a ，数列}{n b 满足.641,)21(321==b b b b n an 且 （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .（22）(本小题满分12分）已知椭圆:C 12222=+b y a x (0)a b >>的离心率为,23短轴一个端点到右焦点的距离为2．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为21，求A O B ∆面积的最大值．商丘市一高2017—2018学年度第一学期期中考试高二数学（理科）试卷参考答案一、选择题1. D2.C3.A4. C5. C6. A7. C8. C9. A 10. A 11. D 12. B 二．填空题13. 3210x R x x ∀∈-+≠， 14. 5715. 120 16.1 三、解答题：（17）解：由p 得：，⎩⎨⎧>>-=∆0042m m 则2m >由q 知：'∆=2216(2)1616(43)0m m m --=-+<,则13m << ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真. 则,312312⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>m m m m m 或或解得3,m ≥或12m <≤.（18）解：（1）由1(1)n a a n d =+-，102030,50a a ==， 得方程组119301950a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112,2a d ==,210n a n ∴=+ (2))11...1111(21),11(2111322111+++-++-+-=∴-=n n n n n n n a a a a a a T a a a a ，所以241)1221121(21)11(2111≤+-=-=+n a a T n n （19）解：（Ⅰ）∵0,0a b >>且1a b +=， ∴14144()()59b aa b a b a b a b +=++=++≥， 故14a b+的最小值为9． （Ⅱ）因为对,(0,)a b ∈+∞，使14221x x a b+≥--+恒成立，所以2219x x --+≤，当1x ≤-时，不等式化为39x -≤， 解得61x -≤≤-； 当 11x -<<时，不等式化为139x -≤，解得11x -<<； 当 1x ≥时，不等式化为39x -≤，解得112x ≤≤； ∴ x 的取值范围为612x -≤≤．（20）（1）由题意得点M 与点(0,1)的距离始终等于M 与直线1y =-的距离，由抛物线定义知圆心M 的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，则1, 2.2pp == ∴圆心M 轨迹方程为24.x y = ……………………………………4分（2）设直线),(),,(,32211y x B y x A kx y 点-=，则22(,)C x y -,联立,01243422=+-⇒⎩⎨⎧-==kx x kx y y x 由求根公式得⎩⎨⎧==+1242121x x k x x …………………6分221212121212444ACx x y y x x k x x x x ---===++,AC 方程为1211().4x x y y x x --=-…………8分 即212121*********()(),444444x x x x x x x x x x x xy y x x x x ----=+-=-+=+…………10分 34,122121+-=∴=x x x y x x ，即直线AC 恒过点）（3,0…………12分（21）解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ， n an b a )21(,11== ，.)21(,)21(,21,)21(,12131211d d a n b b b b a n ++===∴==∴由641321=b b b ，解得d=1..1)1(1n n a n =⋅-+=∴ （2）由（1）得.)21(nn b =n n n n n b a b a b a T )21()21(3)21(2211322211⋅++⋅+⋅+⋅=+++= ， 则.)21()21(3)21(2)21(1211432+⋅++⋅+⋅+⋅=n n n T 两式相减得.)21()21()21()21(2121132+⋅-++++=n n n n T.（22）解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意22c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，……………………………2分1b ∴=…………………………………………3分∴所求椭圆方程为2214x y +=…………………………………………………4分（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ， （1）当AB x ⊥轴时，2AB =………………………………………………5分 （2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+12=，得221(1)4m k =+……………………………………………6分把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(41)8440k x kmx m +++-=，0)14(16)44)(14(4)8(22222>-+=-+-=∆∴m k m k km122841kmx x k -∴+=+，21224(1)41m x x k -=+……………………………………………8分 22221(1)()AB k x x ∴=+-22222226416(1)(1)(41)41k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222216(1)(41)12(1)(51)(41)(41)k k m k k k k ++-++==++22141,4t k t k -+==设则⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=2223145434)15)(3(3||t t t t t AB 当12||112最大，最大值为时，AB t=。
高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意） 1．已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是（ ） A ．＞ B ．ln （x 2+1）＞ln （y 2+1）C ．sinx ＞sinyD ．x 3＞y 32．不等式＞1的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣4，2）C ．（﹣4，﹣1）D ．（﹣4，+∞） 3．若直线=1（a ＞0，b ＞0）过点（1，1），则a +b 的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A ．，s 2+1002B ． +100，s 2+1002C ．，s 2D ． +100，s 26．已知一组具有线性相关关系的数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）其样本点的中心为（2，3），若其回归直线的斜率的估计值为﹣1.2，则该回归直线的方程为（ ）A ．y=﹣1.2x +2B ．y=1.2x +3C ．y=﹣1.2x +5.4D ．y=1.2x +0.67．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）A ．k ＞4？B ．k ＞5？C ．k ＞6？D ．k ＞7？8．已知（x 2+1）（x ﹣2）9=a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 11（x ﹣1）11，则a 1+a 2+…+a 11的值为（ ）A ．0B ．2C ．255D ．﹣29．已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点．在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足|PH |＜的概率为（ ） A ． B ． + C ． D ． +10．若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．11．关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，1]C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）12．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到3所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院，丙、丁两名医生也不安排在同一医院，则不同的分配方法总数为（ ）A ．36B ．72C ．84D ．108二、填空题：（本题包括4小题，共20分）13．某单位有840名职工，现采用系统抽样抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[61，120]的人数为 ． 14．（a +x ）（1+x ）4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a= ． 15．当变量x ，y 满足约束条件的最大值为8，则实数m的值是 ．16．已知函数f （x ）=x 2+mx ﹣1，若对于任意x ∈[m ，m +1]，都有f （x ）＜0成立，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：（本题包括6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17．已知x ＞0，y ＞0，2xy=x +4y +a（1）当a=6时，求xy 的最小值；（2）当a=0时，求的最小值． 18．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求A 1被选中的概率；（Ⅱ）求B 1和C 1不全被选中的概率．19．设m ，n ∈N ，f （x ）=（1+x ）m +（1+x ）n ．（1）当m=n=5时，若，求a 0+a 2+a 4的值；（2）f （x ）展开式中x 的系数是9，当m ，n 变化时，求x 2系数的最小值． 20．某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？（Ⅱ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．21．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K 2=．22．如图所示，机器人海宝按照以下程序运行：①从A 出发到达点B 或C 或D ，到达点B 、C 、D 之一就停止②每次只向右或向下按路线运行③在每个路口向下的概率④到达P 时只向下，到达Q 点只向右（1）求海宝过点从A 经过M 到点B 的概率，求海宝过点从A 经过N 到点C 的概率；（2）记海宝到点B 、C 、D 的事件分别记为X=1，X=2，X=3，求随机变量X 的分布列及期望．参考答案与试题解析一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意） 1．已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是（ ） A ．＞ B ．ln （x 2+1）＞ln （y 2+1）C ．sinx ＞sinyD ．x 3＞y 3 【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．【解答】解：∵实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），∴x ＞y ，A ．若x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但==，故＞不成立．B ．若x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但ln （x 2+1）=ln （y 2+1）=ln2，故ln （x 2+1）＞ln （y 2+1）不成立．C ．当x=π，y=0时，满足x ＞y ，此时sinx=sinπ=0，siny=sin0=0，有sinx ＞siny ，但sinx ＞siny 不成立．D ．∵函数y=x 3为增函数，故当x ＞y 时，x 3＞y 3，恒成立，故选：D ．2．不等式＞1的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣4，2）C ．（﹣4，﹣1）D ．（﹣4，+∞） 【考点】其他不等式的解法．【分析】利用移项，通分，转化不等式求解即可．【解答】解：由不等式＞1可得﹣1＞0，即等价于（2x +2）（x +4）＜0，解得：﹣4＜x ＜﹣1不等式＞1的解集是（﹣4，﹣1）． 故选C ．3．若直线=1（a ＞0，b ＞0）过点（1，1），则a +b 的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】将（1，1）代入直线得： +=1，从而a +b=（+）（a +b ），利用基本不等式求出即可．【解答】解：∵直线=1（a ＞0，b ＞0）过点（1，1），∴+=1（a ＞0，b ＞0），所以a +b=（+）（a +b ）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，∴a +b 最小值是4，故选：C ．4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等可能事件的概率．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D ．5．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A ．，s 2+1002B ． +100，s 2+1002C ．，s 2D ． +100，s 2 【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．【解答】解：由题意知y i =x i +100，则=（x 1+x 2+…+x 10+100×10）=（x 1+x 2+…+x 10）=+100，方差s 2=[（x 1+100﹣（+100）2+（x 2+100﹣（+100）2+…+（x 10+100﹣（+100）2]= [（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x 10﹣）2]=s 2．故选：D ．6．已知一组具有线性相关关系的数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）其样本点的中心为（2，3），若其回归直线的斜率的估计值为﹣1.2，则该回归直线的方程为（ ）A ．y=﹣1.2x +2B ．y=1.2x +3C ．y=﹣1.2x +5.4D ．y=1.2x +0.6【考点】线性回归方程．【分析】可设回归直线为y=﹣1.2x+b，由于回归直线过样本点的中心为（2，3），代入数据可得关于b的方程，解之可得答案．【解答】解：由题意可设回归直线为y=﹣1.2x+b，由于回归直线过样本点的中心为（2，3），故有3=﹣1.2×2+b，解得b=5.4故该回归直线的方程为y=﹣1.2x+5.4故选C7．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．8．已知（x2+1）（x﹣2）9=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a11（x﹣1）11，则a1+a2+…+a11的值为（）A．0 B．2 C．255 D．﹣2【考点】二项式系数的性质．【分析】用赋值法，在所给的等式中，分别令x=1和2，即可求出对应的值．【解答】解：在（x2+1）（x﹣2）9=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a11（x﹣1）11中，令x=1，得（1+1）×（1﹣2）9=a0，即a0=﹣2；令x=2，得a0+a1+a2+…+a11=0，∴a1+a2+a3…+a11=2故选B．9．已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点．在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|＜的概率为（）A．B． +C．D． +【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率计算公式，分别求出正方形的面积和满足|PH|＜的正方形内部的点P的集合”的面积即可求出所求．【解答】解：（1）如图所示，正方形的面积S正方形ABCD=2×2=4．设“满足|PH|＜的正方形内部的点P的集合”为事件M，则S（M）=S△DGH +S△AEH+S扇形EGH=2××1×1+×××=1+，∴P （M ）==+． 故满足|PH |＜的概率为+． 故选B ．10．若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】简单线性规划．【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．【解答】解：作出平面区域如图所示：∴当直线y=x +b 分别经过A ，B 时，平行线间的距离相等．联立方程组，解得A （2，1），联立方程组，解得B （1，2）．两条平行线分别为y=x ﹣1，y=x +1，即x ﹣y ﹣1=0，x ﹣y +1=0． ∴平行线间的距离为d==，故选：B ．11．关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，1]C ．（1，+∞）D ．[1，+∞） 【考点】一元二次不等式的解法．【分析】关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a ＜，x ∈[1，4]，求出f （x ）=﹣x 在x ∈[1，4]的最大值即可．【解答】解：关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＜0在区间[1，4]上有解， 等价于a ＜，x ∈[1，4]；设f （x ）=﹣x ，x ∈[1，4]，则函数f （x ）在x ∈[1，4]单调递减，且当x=1时，函数f （x ）取得最大值f （1）=1； 所以实数a 的取值范围是（﹣∞，1）． 故选：A ．12．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到3所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院，丙、丁两名医生也不安排在同一医院，则不同的分配方法总数为（ ） A ．36 B ．72 C ．84 D ．108 【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】五名医生到3所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，名医生可以分为（2，2，1）和（3，1，1）两种分法，根据分类计数原理可得 【解答】解：①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有：=90种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有+4=30种；故不同的分配方法是90﹣30=60种②有二所医院分1人另一所医院分3人．有=24种． 根据分类计数原理得，故不同的分配方法总数60+24=84． 故选：C二、填空题：（本题包括4小题，共20分）13．某单位有840名职工，现采用系统抽样抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[61，120]的人数为 3 ．【考点】频率分布直方图．【分析】根据系统抽样的特点，求出组距是20，再计算样本数据落入区间[61，120]的人数．【解答】解：根据系统抽样的特点，得； 组距应为840÷42=20，∴抽取的42人中，编号落入区间[61，120]的人数为 ÷20=3． 故答案为：3．14．（a +x ）（1+x ）4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 3 ． 【考点】二项式定理的应用．【分析】给展开式中的x 分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f （x ）=（a +x ）（1+x ）4=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 5x 5，令x=1，则a 0+a 1+a 2+…+a 5=f （1）=16（a +1），① 令x=﹣1，则a 0﹣a 1+a 2﹣…﹣a 5=f （﹣1）=0．② ①﹣②得，2（a 1+a 3+a 5）=16（a +1）， 所以2×32=16（a +1）， 所以a=3． 故答案为：3．15．当变量x ，y 满足约束条件的最大值为8，则实数m的值是 ﹣4 ． 【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可求得m 值． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A （m ，m ），化目标函数z=x ﹣3y 为y=，由图可知，当直线y=过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值．此时z=m ﹣3m=﹣2m=8，即m=﹣4． 故答案为：﹣4．16．已知函数f （x ）=x 2+mx ﹣1，若对于任意x ∈[m ，m +1]，都有f （x ）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，）．【考点】二次函数的性质．【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．三、解答题：（本题包括6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．已知x＞0，y＞0，2xy=x+4y+a（1）当a=6时，求xy的最小值；（2）当a=0时，求的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）利用基本不等式的性质转化为二次函数即可得出、（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）当a=6时，，当且仅当x=4y=6时，等号成立．即，∴，∴，∴xy≥9，∴xy的最小值为9．（2）当a=0时，可得2xy=x+4y，两边都除以2xy ，得，∴，当且仅当，即x=3，时取等号．∴的最值为．18．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求A 1被选中的概率；（Ⅱ）求B 1和C 1不全被选中的概率．【考点】等可能事件的概率；互斥事件与对立事件．【分析】（Ⅰ）先用列举法，求出从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，所有一切可能的结果对应的基本事件总个数，再列出A 1恰被选中这一事件对应的基本事件个数，然后代入古典概型公式，即可求解．（Ⅱ）我们可利用对立事件的减法公式进行求解，即求出“B 1，C 1不全被选中”的对立事件“B 1，C 1全被选中”的概率，然后代入对立事件概率减法公式，即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A 1，B 1，C 1），（A 1，B 1，C 2），（A 1，B 2，C 1），（A 1，B 2，C 2），（A 1，B 3，C 1），（A 1，B 3，C 2），（A 2，B 1，C 1），（A 2，B 1，C 2），（A 2，B 2，C 1），（A 2，B 2，C 2），（A 2，B 3，C 1），（A 2，B 3，C 2），（A 3，B 1，C 1），（A 3，B 1，C 2），（A 3，B 2，C 1），（A 3，B 2，C 2），（A 3，B 3，C 1），（A 3，B 3，C 2）} 由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等， 因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M={（A 1，B 1，C 1），（A 1，B 1，C 2），（A 1，B 2，C 1），（A 1，B 2，C 2），（A 1，B 3，C 1），（A 1，B 3，C 2）} 事件M 由6个基本事件组成，因而．（Ⅱ）用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件， 则其对立事件表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于={（A 1，B 1，C 1），（A 2，B 1，C 1），（A 3，B 1，C 1）}，事件有3个基本事件组成， 所以，由对立事件的概率公式得．19．设m ，n ∈N ，f （x ）=（1+x ）m +（1+x ）n ． （1）当m=n=5时，若，求a 0+a 2+a 4的值；（2）f （x ）展开式中x 的系数是9，当m ，n 变化时，求x 2系数的最小值． 【考点】二项式系数的性质．【分析】（1）当m=n=5时，f （x ）=2（1+x ）5，令x=0时，x=2时，代入相加即可得出．（2）由题意可得： =m +n=9．x 2系数===+．利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）当m=n=5时，f （x ）=2（1+x ）5，令x=0时，f （0）=a 5+a 4+…+a 1+a 0=2， 令x=2时，f （0）=﹣a 5+a 4+…﹣a 1+a 0=2×35， 相加可得：a 0+a 2+a 4==244． （2）由题意可得： =m +n=9．x 2系数=====+．又m ，n ∈N ，∴m=4或5，其最小值为16． 即或时，x 2系数的最小值为16．20．某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？（Ⅱ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（Ⅰ）设A 、B 两项技术指标达标的概率分别为P 1、P 2，由题意得，求得P 1和 P 2 的值，再根据P=P 1•P 2，求得结果．（Ⅱ）依题意知ξ～B （4，），可得分布列和Eξ的值．【解答】解：（Ⅰ）设A 、B 两项技术指标达标的概率分别为P 1、P 2， 由题意，得，解得P 1=，P 2=，或 P 1=，P 2=．∴P=P 1•P 2=，即，一个零件经过检测为合格品的概率为． （Ⅱ）依题意知ξ～B （4，）， 分布列为，其中k=0，1，2，3，4，Eξ=4×=2．21．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）． （1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K 2=．【考点】独立性检验．【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可．（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率． （3）利用独立性检验进行求解即可 【解答】解：（1）300×=90，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75． （3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得K 2==≈4.762＞3.841所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．22．如图所示，机器人海宝按照以下程序运行：①从A 出发到达点B 或C 或D ，到达点B 、C 、D 之一就停止 ②每次只向右或向下按路线运行 ③在每个路口向下的概率④到达P 时只向下，到达Q 点只向右（1）求海宝过点从A 经过M 到点B 的概率，求海宝过点从A 经过N 到点C 的概率；（2）记海宝到点B 、C 、D 的事件分别记为X=1，X=2，X=3，求随机变量X 的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用．【分析】（1）由题意，向下概率为，则向右概率为1﹣=．从A 过M 到B ，先有两次向下，再有一次向下与一次向右组合，可求其概率，同理可求海宝过点从A 经过N 到点C的概率；（2）求出X=1，X=2，X=3相应的概率，从而可求随机变量X 的分布列及期望． 【解答】解：（1）由题意，向下概率为，则向右概率为1﹣=．从A 过M 到B ，先有两次向下，再有一次向下与一次向右组合，其概率为；从A 过N 到C ，概率为（2）P （X=1）=（）3+（）2×==；P （X=2）=（）2（）2=；P （X=3）=（）3+（）2×==，∴E （X ）=+×2+×3==。
2019学年度第一学段高二年级模块考试试卷数学选修2—1（理科）一、选择题（共14小题，每小题4分，共56分．每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的．．．．．．．．．．．．） 1．抛物线216y x =的焦点坐标为（）．A ．(8,0)B ．(4,0)C ．(0,8)D ．(0,4)【答案】B【解析】解：由216y x =，得216P =，则8P =，42P=， 所以抛物线216y x =的焦点坐标是(4,0)． 故选B ．2．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题： ①αββγαγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥；②m m αββα⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；③m m ααββ⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；④m n m n αα⎫⇒⎬⎭∥∥∥．其中正确的命题是（）．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】B【解析】解：①．由面面平行的性质可知，αβ∥，αγ∥，则βγ∥，故①正确； ②．若αβ⊥，m α∥，则m β∥或m 与β相交，故②错误； ③．若m β∥，则存在m β'⊂，且m m '∥，又m α⊥，得m α'⊥， 所以αβ⊥，故③正确；④．若m n ∥，n α∥，则m α⊂或m α∥，故④错误． 故选B ．3．若方程2214x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（）．A ．2m <B ．02m <<C ．24m <<D ．2m >【答案】B【解析】解：若方程2214x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则0404m m m m>⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得02m <<．故选B ．4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）．A．10πB．7πC．13π3D．7π3俯视图侧左()视图正主()视图【答案】 C【解析】解：由几何体的三视图可得，该几何体是一个组合体，下面是一个圆柱，圆柱的底面半径是1，高是3，上面是一个球，球的半径是1，所以该几何体的体积2344π13ππ13π13π333V=⨯⨯+⨯=+=．故选C．5．椭圆22:416C x y+=的长轴长、短轴长和焦点坐标一次为（）．A．8，4，(±B．8，4，(0,±C．4，2，(±D．4，2，(0,±【答案】C【解析】解：椭圆22:416C x y+=化为标准方程为：221164y x+=，可得4a=，2b=，c=所以椭圆22416x y+=的长轴长，短轴长和焦点坐标分别为：8，4，(0,±．故选B．6．若一个圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角大小为（）．A．60︒B．90︒C．120︒D．180︒【答案】D【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，由该圆锥的轴截面是正三角形，得2r R=，∴π22π180n rr⨯=︒，解得180n=︒．故选D．7．抛物线26y x =上一点11(,)M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（）．A ．3B．C ．27D．【答案】B【解析】解：∵抛物线26y x =上一点11(,)M x y 到其焦点的距离为92， ∴211163922y x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得13x =，1y =± ∴点M= 故选B ．8．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）．A．6πB．6π+C．184πD．18π+正视图侧视图俯视图【答案】D【解析】解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为12的球体，故其表面积为π，下部为一直三棱柱，其高为3，底面为一边长为2的正三角形，故三棱柱的侧面积为3(222)18⨯++=，因为不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为：122⨯，故组合体的表面积为18π+．故选D ．9．双曲线2212x y m m-=的一个焦点坐标为(3,0)，则双曲线的实轴长为（）．【答案】C【解析】解：∵双曲线2212x y m m -=的一个焦点坐标为(3,0)，∴29m m +=，得3m =，∴双曲线的实轴长为 故选C ．10．已知椭圆C 的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长的短轴长的2倍，抛物线28y x =-的焦点与椭圆C 的一个顶点重合，则椭圆C 的标准方程为（）． A ．2214x y +=B ．221416x y +=C ．221164x y +=或2214y x +=D ．2214x y +=或221416x y +=【答案】D【解析】解：由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有2a b =，又抛物线28y x =-的焦点(2,0)-与椭圆C 的一个顶点重合，得椭圆经过点(2,0)-，若焦点在x 轴上，则2a =，1b =，椭圆方程为2214x y +=，若焦点在y 轴上，则2b =，4a =，椭圆方程为221164y x +=，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=或221416x y +=．故选D ．11．点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>渐近线的距离为1，则双曲线的离心率等于（）．A ．2B ．43C D ．4【答案】C【解析】解：∵点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线0bx ay ±=的距离为1，∴21bc==，∴2c b =，a ，∴双曲线的离心率c e a =故选C．12．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α与β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α与β都平行于γ；③存在直线lα⊂，直线mβ⊂，使得l m∥．其中，可以判定α与β平行的条件有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】解：①项、存在平面γ，使得α，β都垂直于γ，则α，β不一定平行，利如正方体相邻的三个面，故①错误；②项、若αγ∥，βγ∥，则由面面平行的性质可得αβ∥，故②正确；③项、若直线lα⊂，mβ⊂，l m∥，α与β可能相交，故③错误．故选A．13．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．A．B．4C．D．俯视图()左视图()主视图()【答案】A 【解析】解：CBAPD根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴PB =PD =CD =PC ，∴这个四棱锥中最长棱的长度是 故选A ．14．已知椭圆22:143x y E +=和圆22:()1C x m y -+=，当实数m 在闭区间[3,3]-内从小到大连续变化时，椭圆E 和圆C 公共点个数的变化规律是（）． A ．1，2，1，0，1，2，1 B ．2，1，0，1，2C ．1，2，0，2，1D ．1，2，3，4，2，0，2，4，3，2，1【答案】A【解析】解：椭圆22:143x y E +=的顶点坐标为(2,0)-，(2,0)，，(0,，圆22:()1C x m y -+=，表示以(,0)m 为圆心，1为半径的圆，当3m =-时，椭圆E 与圆C 只有一个焦点(2,0)-， 当31m -<<-时，圆C 向右平移，与椭圆E 有两个交点， 当1m =-时，圆C 与椭圆E 只有1个交点，当11m -<<时，圆C 椭圆在E 内部，此时椭圆E 与圆C 无公共点，∴当m 在闭区间[3,3]-从小到大连续变化时，椭圆E 和圆C 公共点个数的变化规律是1，2，1，0，1，2，1． 故选A ．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）15．双曲线的对称轴和坐标轴重合，中心在原点，交点坐标为(2,0)-和(2,0)，且经过点(2,3)P -，则双曲线的标准方程是__________．【答案】2213y x -=【解析】解：由题意，2c =，|22a =，故双曲线的标准方程是2213y x -=．16．如图在正三角形ABC △中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将ABC △沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的大小为__________．JIF E C BA HG D【答案】60︒ 【解析】解：IJD GHEFM将ABC △沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，点A ，B ，C 重合为点M ，得到三棱锥M DEF -， ∵I ，J 分别为BE ，DE 的中点， ∴IJ ∥侧棱MD ，∴MD 与GH 所成的角即是GH 与IJ 所成的角， ∵60AHG ∠=︒，∴GH 与IJ 所成角的大小为60︒．17．从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中任意选择3个点，记这3个点确定的平面为α，则垂直于直线1AC 的平面α的个数为__________． 【答案】2 【解析】解：DA BCA 1D 1B 1C 1与直线1AC 垂直的平面有平面1A BD 和平面11CB D ，故与直线1AC 垂直的平面α的个数为2．18．已知椭圆222:1(40)16x y C b b +=>>的左右焦点为1F ，2F ，离心率为，若P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积等于__________．【答案】4【解析】解：由题意4a =，c e a =，得4a =，2b =，c = ∵P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，∴12||||28PF PF a +==，22212||||448PF PF c +==，∴2122(||||)2||||48PF PF PF PF +-⋅=，即12642||||48PF PF -⋅=，得12||||8PF PF ⋅=，故12F PF △的面积1211||||8422S PF PF =⋅=⨯=．19．抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________． 【答案】(4,0)【解析】解：设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=, 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y t +=，124y y b =-， ∴1212()()OA OB ty b ty b y y ⋅=+++ 22121212()t y y bt y y b y y =++++222444bt bt b b =-++- 24b b =-=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点(4,0)．20．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，N 为面1111A B C D （包括边界）内一动点，当点N 与1B 重合时，异面直线AN 与1BC 所成的角的大小为__________；当点N 在运动过程中始终保持AN ∥平面1BDC ，则点N 的轨迹是__________．DABCN D 1C 1B 1A 1【答案】60︒；线段11B D【解析】解：当点N 与1B 重合时，AN 即1AB , ∵11AB DC ∥,∴1DC B ∠即直线AN 与1BC 所成的角， ∵1BD DC BC ==， ∴1BDC △是等边三角形， ∴160DC B ∠=︒，故异面直线AN 与1BC 所成的夹角是60︒，∵平面11AB D ∥平面1BDC ，AN ∥平面1BDC ，且N 在平面1111A B C D 内， ∴点N 在平面11AB D 与平面1111A B C D 的交线11B D 上， 故点N 的轨迹是线段11B D ．三、解答题（共5小题，满分64分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 21．（本题12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PB PD =，E ，F 分别为AB 和PD 的中点． （1）求证：EF ∥平面PBC ． （2）求证：BD ⊥平面PAC ．FECBAP D【答案】见解析． 【解析】解：精 品D P ABCEFGO（1）证明：取PC 中点为G ，∵在PCD △中，F 是PD 中点，G 是PC 中点，∴FG CD ∥，且12FG CD =，又∵底面ABCD 是菱形， ∴AB CD ∥， ∵E 是AB 中点，∴BE CD ∥，且12BE CD =，∴BE FG ∥，且BE FG =， ∴四边形BEFG 是平行四边形， ∴EF BG ∥，又EF ⊄平面PBC ，BG ⊄平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ． （2）证明：设ACBD O =，则O 是BD 中点，∵底面ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥，又∵PB PD =，O 是BD 中点， ∴BD PO ⊥， 又ACPO O =，∴BD ⊥平面PAC ．22．（本小题13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4P D C D ==，2AD =．（1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦． （2）求二面角M CB P --的余弦值．D PABC M【答案】见解析． 【解析】解：（1）∵ABCD 是矩形， ∴AD CD ⊥，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，由4PD CD ==，2AD =，得(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,4)P ，(1,0,2)M ， 则(2,0,4)AP =-，(2,0,0)BC =-，(1,4,2)MB =-， 设平面CMB 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1100BC n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120420x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得10x =，12z =，∴1(0,1,2)n =， ∴1114cos ,5||||25AP n AP n AP n ⋅<>===⋅，故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45． （2）由（1）可得(0,4,4)PC =-，设平面PBC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则2200BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220440x y z -=⎧⎨-=⎩，令21y =，得20x =，21z =，∴2(0,1,1)n =，∴12cos ,n n <>=故二面角M CB P --．23．（本题13分）已知抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且点A 到其准线的距离为4． （1）求抛物线的方程．（2）直线:l y x m =+与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求实数m 的值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）已知抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且点A 到准线的距离为4， 则242p+=， ∴4p =，故抛物线的方程为：28y x =．（2）由28y x my x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1282x y m +=-，212x x m =，121228y y x x m +=++=，212121212()()()8y y x m x m x x m x x m m =++=+++=，∵OP OQ ⊥，∴2121280x x y y m m +=+=， ∴0m =或8m =-，经检验，当0m =时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意， 当8m =-时，2=244640∆-⨯>，符合题意， 综上，实数m 的值为8-．24．（本题13分）已知点(0,2)A ，椭圆2222:=1(0)xy E a b a b+>>，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为O为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程．（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求直线l 的方程． 【答案】见解析．【解析】解：（1）设(,0)F c ， 由直线AF的斜率为2c -=c =又离心率c e a ==，得2a =，∴1b =，故椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）当直线l x ⊥轴时，不符合题意，当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(41)16120k x kx +++=， 由2=1643)0k ∆->（，得234k >，即k <或k ，1221641k x x k -+=+，1221241x x k =+，∴||PQ= 又点D 到直线PQ的距离d =，∴OPQ △的面积1||2S PQ d =⋅⋅=，设t ，则0t >， ∴24441414t S t t t===++≤，当且仅当2t =，即k =0∆>， ∴直线l的方程为：2y +或2y =+．25．（本题13分）对于正整数集合{}12,,,(*,3)n A a a a n n ∈N ≥，如果去掉其中任意一个元素(1,2,,)i a i n =之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”． （1）判断集合{}1,2,3,4,5是否是“和谐集”（不必写过程）．（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”． （3）当5n =时，集合{}12345,,,,A a a a a a ，求证：集合A 不是“和谐集”． 【答案】见解析．【解析】解：（1）集合{}1,2,3,4,5不是“和谐集”． （2）集合{}1,3,5,7,9,11,13， 证明：∵35791113+++=+，19135711++=++， 91313711+=+++， 13511713+++=+， 19113513++=++， 3791513++=++， 1359711+++=+，∴集合{}1,3,5,7,9,11,13是“和谐集”．（3）证明：不妨设12345a a a a a <<<<，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a a a a +=+①，或者5134a a a a =++②，将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有2534a a a a +=+③，或者5234a a a a =++④，由①③得12a a =，矛盾，由①④得12a a =-，矛盾，由②③得12a a =-矛盾，由②④得12a a =矛盾， 故当=5n 时，集合A 一定不是“和谐集”．。
2019学高二期中考试数学试题理科一、选择题（每小题5分，共40分） 1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（）．A ．π4，1 B ．3π4，1- C ．π2，不存在D ．π，不存在【答案】C【解析】∵直线1x =垂直于x 轴， ∴倾斜角为π2，斜率不存在， 故选C ．2．已知两条直线1:20l ax y --=，2:(2)10l a x y +-+=，若12l l ⊥，则a =（）．A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【解析】∵直线20ax y --=和(2)10a x y +-+=互相垂直， ∴(2)(1)(1)0a a ++--=，即2210a a ++=， 解得1a =-， 故选D ．3．圆心为(1,1)且过原点的方程是（）．A ．22(1)(1)1x y -+-=B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y +++=【答案】D所以圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=， 故选D ．4．下列命题正确是（）．A ．垂直于同一直线的两直线平行B ．垂直于同一平面的两平面平行C ．平行于同一平面的两直线平行D ．垂直于同一直线的两平面平行【答案】D【解析】A 项，在空间，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，平行或异面，故A 错误；B 项，垂直于同一平面的两平面平行或相交，故B 错误；C 项，平行于同一平面的两条直线有可能相交，平行或异面，故C 错误；D 项，垂直于同一直线的两平面平行，故D 正确． 综上所述，故选D ．5．直线l 过点(2,0)-且与圆2220x y x +-=有两个交点时，斜率k 的取值范围是（）．A ．(-B ．(C ．44⎛ ⎝⎭D ．11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设直线l 为(2)y k x =+，因为直线l 与圆22(1)1x y -+=有两个交点， 所以圆心(1,0)到直线l 的距离小于半径，1<，解得44k <<， 故选C ．6．椭圆22154x y +=上一点P ，以及点P 及1F 、2F 为顶点的三角形面积为1，则点P 的坐标为（）．A ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1⎫±⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．1⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设00(,)P x y ，则2200154x y +=，∵1212001||||||12PF F S F F y y =⋅==△，∴01y =±，0x =，∴点P 的坐标为1⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭， 故选D ．7．某三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为（）．俯视图侧视图A．2+B．4C．2+D ．5【答案】A【解析】根据三视图画出该几何体的直观图，如图所示：DABC12222ABC S =⨯⨯=△；112ABC S ==△112BCD S =△122ACD S =⨯△所以三棱锥的表面积22S =+ 故选A ．8．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为1d ，2d ，3d ，4d ，则1234d d d d +++=（）．A ．12BC ．34D ．1【答案】B【解析】从P 与各顶点相连，构成4个小棱锥，如图所示：DABP因为正四面体的边长为l，其高为h则12341111133333Sh Sd Sd Sd Sd =+=+， ∴1234h d d d d =+++，∴1234d d d d +++= 故选B ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．直线3210x y --=在y 轴上的截距为__________． 【答案】12-【解析】令0x =，解得12y =-，故直线321x y --在y 轴上的截距为12-．10．圆22230x y x y ++-=的圆心坐标为__________． 【答案】31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】22230x y x y ++-=化为标准方程为22313(1)24x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以圆心坐标为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．11．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________．【答案】22256(1)(3)25x y -+-=【解析】因为点(1,3)N 到直线3470x y --=的距离1343711655d -⨯-==，所以由题意可知165r d ==， 故所求圆的方程为：22256(1)(3)25x y -+-=．12．某四棱锥三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长为__________．主视图侧视图俯视图【解析】由三视图画出四棱锥的直观图，如图所示，D ABCP底面ABCD 是正方形，PB ⊥底面ABCD ，所以最长的棱为PD13．已椭圆221x my +=，则m =__________． 【答案】4或14【解析】椭圆化成标准方程得2211y x m+=，， ∴22222234c a b e a a -===，224a b =， ∴14m=或41m =，故4m =或14．14．设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是__________．【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】设直线2a x c=与x 轴的交点为Q ，连接2PF ，∵1PF 的中垂线过点2F ，∴122||||F F PF =，可得2||2PF c =，又∵22||a QF c c =-，且22||||PF QF ≥，∴22a c c c-≥，即223c a ≥，∴22213c e a =≥，e ，结合椭圆的离心率(0,1)e ∈1e <，故离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭．三、解答题（共80分）15．已知圆22:(1)9C x y -+=内有一点合(2,2)P ，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点 （Ⅰ）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程． （Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求弦AB 的长． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）当弦AB 被点P 平分时，AB CP ⊥， ∵20221CP k -==-， ∴12AB k =-，∴直线l 的方程为12(2)2y x -=--，即260x y +-=．（Ⅱ）当直线斜率为l 时，直线l 的方程为y x =，故弦||AB=16．在直棱柱111ABC A B C-中，已知AB AC⊥，设1AB中点为D，1A C中点为E．（Ⅰ）求证：DE∥平面11BCC B．（Ⅱ）求证：平面11ABB A⊥平面11ACC A．EDAB CC1B1A1【答案】见解析【解析】EA1B1C1CBAD（Ⅰ）证明：连结1A B，∵D是1AB的中点，∴D是1A B的中点，∵在1A BC△中，D是1A B的中点，E是1A C的中点，∴DE BC∥，又DE⊄平面11BCC B，BC⊂平面11BCC B，∴DE∥平面11BCC B．（Ⅱ）证明：∵111ABC A B C-是直棱柱，∴1AA⊥平面ABC，∴1AA AB⊥，又AB AC⊥，∴AB⊥平面11ACC A，∵AB ⊂平面11ABB A ， ∴平面11ABB A ⊥平面11ACC A ．17．已知直线1l 过点(1,2)P -且与直线2:110l x y -+=平行，直线3l 过点(0,1)Q 且与直线2:110l x y -+=垂直． （Ⅰ）求直线1l ，3l 的方程．（Ⅱ）若圆M 与1l ，2l ，3l 同时相切，求圆M 的方程． 【答案】见解析【解析】解：（1）设11:0l x y c -+=，将(1,2)-代入得1120C --+=，13C =， 故:30l x y -+=，设32:0l x y C ++=，将(0,1)Q 代入得21C =-， 故3:10l x y +-=．（2）联立3010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，(1,2)A -，联立11010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得56x y =-⎧⎨=⎩，(5,6)B -，所以圆心坐标为(5,2)-或(1,6)-． 又(5,2)-到30x y -+=的距离d ==∴r =．故与1l ，2l ，3l 都相切的圆的方程为22(5)(2)8x y ++-=或22(1)(6)8x y ++-=．18．椭圆C 一个焦点为(1,0)F，离心率e ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程式．（Ⅱ）定点(0,2)M ，P 为椭圆C 上的动点，求||MP 的最大值；并求出取最大值时P 点的坐标求．（Ⅲ）定直线:2l x =，P 为椭圆C 上的动点，证明点P 到(1,0)F 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数，并求出此常数值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）根据题意得1c =，c e a ==，∴a 1c =，1b =， 故椭圆C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设P 点坐标为10(,)xy ，则220012x y +=，||MP∵011y -≤≤，∴当01y =-时，MP 取得最大值3．∴||MP 最大值为3，此时P 点坐标为(0,1)-． （Ⅲ）设P 点(,)x y ，则2212x y +=，P 点到(1,0)F==)x =-， P 到直线2x =的距离为2x -，∵)222x x -=-， 故P 到(1,0)F．19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ．D AB CEF P（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ．（Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 【答案】见解析【解析】P FECBAD（Ⅰ）证明：∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PD BC ⊥，又∵底面ABCD 为矩形， ∴BC CD ⊥， ∴BC ⊥平面PCD ， ∵BC ⊂平面PBC ， ∴平面PCD ⊥平面PBC ．（Ⅱ）证明：∵PD DC =，E 是PC 中点， ∴DE PC ⊥，又平面PCD ⊥平面PBC ，平面PCD 平面PBC PC =， ∴DE ⊥平面PBC ， ∴DE PB ⊥， 又∵EF PB ⊥，EF DE E =，∴PB ⊥平面EFD ．20．已知椭圆C 的标准方程为2211612x y +=，点(0,1)E ． （Ⅰ）经过点E 且倾斜角为3π4的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （Ⅱ）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）l 经过点(0,1)E 且倾斜角为3π4， 所以直线l 的方程为1y x =-+，精 品- 11 - 联立22111612y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩或227157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴||AB =．（Ⅱ）设直线:p y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 将直线:p y kx m =+与椭圆联立可得：2211612y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(34)84480k x kmx m +++-=， ∴2222644(34)(448)0k m k m ∆=-+->，∴221612k m +>， ∴122834km x x k -+=+，212244834m x x k -=+，设MN 中点00(,)F x y ， ∴12024234xx kmx k +-==+，002334my kx m k =+=+，∵||||ME NE =，∴EF MN ⊥，∴1EF k k ⋅=-， ∴2231341434mk k km k -+⋅=--+，∴2(43)m k =-+代入①可得：2221612(43)k k +>+， ∴4216830k k +-<，解得1122k -<<．故直线p 斜率的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．。
高二数学试题（宏志班）一、选择题（共60 题，每题 5 分。
每题仅有一个正确选项。
）1．已知 a、 b 是两条平行直线，且a∥平面β，则 b 与β的地点关系是（）A．平行B．订交C． b 在平面β内D．平行或b在平面β 内2．在以下命题中，不是公义的是（）A．平行于同一条直线的两条直线相互平行B．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内C．空间中，假如两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．假如 ac＞ 0，bc＞ 0，那么直线ax+by+c=0 不经过（）A．第一象限B．第二象限 C ．第三象限D．第四象限4．直线（ a2+1） x﹣y+1=0（此中 a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A． [0 ，]B．[，） C ．（，] D ．[，π）5．一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（）A．12πB．24πC．D．72π6．半径为 5 的球内有一个高为8 的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为（）A．B．C．D．7．三棱柱ABC﹣A'B'C ′的全部棱长都等于2，并且AA' ⊥平面ABC， M是侧棱BB′的中点，则直线 MC′与 A′B所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．8．直线 l 过点 P（ 1， 0），且与以 A（ 2，1），为端点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围是（）A．B．C．D．[1，+∞）9．在正方体ABCD﹣ A1B1C1D1中， E 是棱 CC1的中点， F 是四边形BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，以下说法正确的个数是（）①点 F 的轨迹是一条线段②A1F 与 D1E 不行能平行③ A1F 与 BE是异面直线④当 F 与 C1不重合时，平面 A1FC1不行能与平面 AED1平行A． 1B．2C． 3D． 410．在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cosθ， sin θ）到直线x﹣ my﹣2=0 的距离．当θ、m变化时， d 的最大值为（）A． 1B．2C． 3D． 411．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765 年发布的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同向来线上，并且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是有名的欧拉线定理．设△ABC中，设O、H、 G 分别是外心、垂心和重心，以下四个选项错误的选项是（）A． HG=2OG B．+ + =C．设 BC边中点为D，则有 AH=3OD D． S△ABG=S△BCG=S△ACG12．如图 1，直线 EF 将矩形纸A BCD分为两个直角梯形ABFE和 CDEF，将梯形 CDEF沿边 EF翻折，如图 2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面 CDEF不重合）下边说法正确的选项是（）A．存在某一地点，使得CD∥平面 ABFEB．存在某一地点，使得DE⊥平面 ABFEC．在翻折的过程中，BF∥平面 ADE恒成立D．在翻折的过程中，BF⊥平面 CDEF恒成立二、填空题（共20 分，每题 5 分）13 、已知直线l1: ax 2 y 60 与l2: x a 1 y a210 平行，则实数 a 的取值是________14．球的半径为 5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm和 8cm，则这两个平面之间的距离是cm．15.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平川降雨量是________寸．( 注：① 平川降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸 )16．在正方体ABCD﹣ A1B1C1D1中， E 为棱 AB上一点，且AE=1， BE=3，以 E 为球心，线段EC的长为半径的球与棱A1D1， DD1分別交于F， G两点，则△ AFG的面积为 ________三、解答题（共70 分，每题必需要有必需的解答过程）17.（ 10 分）设直线l的方程为 ( a＋ 1) x＋y＋ 2－a＝ 0 ( a∈R)．(1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，务实数 a 的取值范围．18. （ 12 分）在平面直角坐标系xOy中，OBC的边BC所在的直线方程是l : x y 3 0 ，（ 1）假如一束光芒从原点O 射出，经直线 l 反射后，经过点(3, 3) ，求反射后光芒所在直线的方程；（ 2）假如在OBC 中，BOC 为直角，求OBC 面积的最小值．19. （ 12 分）如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截获得的几何体，截面为ABC，已知 A1B1＝B1C1＝2，∠ A1B1C1＝90°， AA1＝4， BB1＝ 3， CC1＝ 2，求：( Ⅰ ) 该几何体的体积；( Ⅱ ) 截面 ABC的面积．20（ 12 分） . 如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，极点 P 在平面 ABC内的正投影为点D，D 在平面 PAB内的正投影为点E，连结 PE并延伸交AB 于点 G．（Ⅰ）证明：G是 AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点 E 在平面 PAC内的正投影F，并求四周体PDEF的体积．21.（ 12 分）如图，四周体 ABCD中，△ ABC是正三角形，△ ACD是直角三角形，∠ ABD=∠ CBD，AB=BD．（1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC；（2）过 AC的平面交 BD于点 E，若平面 AEC把四周体 ABCD分红体积相等的两部分，求二面角D﹣ AE﹣C 的余弦值．22. （ 12 分）如图，在三棱锥中，是正三角形，为此中心.面面，，，是的中点，.（ 1）证明：面；（ 2）求与面所成角的正弦值.合肥一六八中学2018— 2019 学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）参照答案一．选择题题号123456789101112答案D C A B C B A B C C C C二、填空题13.－ 114. 1 或 715. 316. 4三、解答题17. （ 1） 3x＋y＝0 或x＋y＋ 2＝ 0；（2）a≤－ 1.y01x03 18（ 1）设点O对于直线l的对称点为A(x0, y0)，由题意应有x0，解得y0y0，x030322所以点 A(3,3) ．由于反射后光芒经过点A(3,3)和点 (3, 3)，所以反射后光芒所在直线的方程为 x 3．（2）设OD为OBC 的一条高，则3，设 BOD(0) ，可得|OD |22|BC ||BD|| DC | | OD | tan θ| OD |，所以OBC 的面积S1|BC||OD | tan θ21(| OD | tan θ| OD |) | OD |12| OD | tan θ| OD ||OD | |OD |29，当且仅2tan θ2tan θ2当时，等号成立．49 ．所以，OBC 面积的最小值是219.（Ⅰ）过 C 作平行于 A1B1C1的截面 A2B2C，交 AA1， BB1分别于点 A2， B2.由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝ 90°可知 B2C⊥平面 ABB2A2，则该几何体的体积V＝＝× 2×2×2＋× ×(1 ＋ 2)×2× 2＝6，（Ⅱ）在△ ABC中， AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝ 2 .则 S△ABC＝×2×＝20.（Ⅰ）证明：∵ P﹣ ABC为正三棱锥，且 D为极点 P 在平面 ABC内的正投影，∴ PD⊥平面 ABC，则 PD⊥ AB，又 E 为 D 在平面 PAB内的正投影，∴ DE⊥面 PAB，则 DE⊥ AB，∵ PD∩DE=D，∴ AB⊥平面 PDE，连结 PE并延伸交 AB于点 G，则 AB⊥PG，又 PA=PB，∴ G是 AB 的中点；（Ⅱ）在平面 PAB内，过点 E 作 PB的平行线交 PA于点 F， F 即为 E 在平面 PAC内的正投影．∵正三棱锥 P﹣ ABC的侧面是直角三角形，∴ PB⊥PA， PB⊥PC，又 EF∥PB，所以 EF⊥ PA，EF⊥ PC，所以 EF⊥平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC内的正投影．连结 CG，由于 P 在平面 ABC内的正投影为 D，所以 D是正三角形 ABC的中心．由（Ⅰ）知， G是 AB的中点，所以 D在 CG上，故 CD= CG．由题设可得PC⊥平面 PAB， DE⊥平面 PAB，所以 DE∥ PC，所以 PE= PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得 DE=2， PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四周体PDEF的体积 V=× DE× S△PEF=× 2×× 2× 2=．21.（ 1）证明：如下图，取 AC的中点 O，连结 BO，OD．∵△ ABC是等边三角形，∴ OB⊥ AC．△ ABD与△ CBD中， AB=BD=BC，∠ ABD=∠CBD，∴△ ABD≌△ CBD，∴ AD=CD．∵△ ACD是直角三角形，∴ AC是斜边，∴∠ ADC=90°．∴DO= AC．2222∴ DO+BO=AB=BD．∴∠ BOD=90°．∴ OB⊥OD．又 DO∩AC=O，∴ OB⊥平面ACD．又 OB? 平面 ABC，∴平面 ACD⊥平面 ABC．（2）解：设点 D， B 到平面 ACE的距离分别为 h D， h E．则= ．∵平面 AEC把四周体 ABCD分红体积相等的两部分，∴===1．∴点 E 是 BD的中点．成立如下图的空间直角坐标系．不如取AB=2．则 O（ 0，0，0），A（ 1，0，0），C（﹣ 1，0，0），D（ 0，0，1），B（ 0，，0），E．=（﹣ 1， 0， 1），=，=（﹣ 2，0， 0）．设平面 ADE的法向量为=（ x，y，z），则，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量为=（ 0， 1，）．∴ cos===﹣．∴二面角D﹣ AE﹣C 的余弦值为．22. （ 1）连结，由于是正三角形的中心，所以在上且，又，所以在中有，所以，又平面，平面，所以平面.（ 2）解法一：作交的延伸线于，作交的延伸线于，由面面知面，所以，又，所以所以面,所以面面，作，则面连结，则为与面所成角，∴，即所求角的正弦值为.解法二：以中点为原点，成立如下图的空间直角坐标系.∵，∴，，，，∴，，，.设面的法向量为，则安徽省合肥市第一六八中学高二数学上学期期中试卷理(宏志班)取，∴，即所求角的正弦值为.-11-。
2019高二年级第一学期期中数学(理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．1、命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 A ．若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角相等 B ．若△ABC 中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形 C ．若△ABC 中有两个内角相等，则它是等腰三角形 D ．若△ABC 中任何两个内角相等，则它是等腰三角形2、已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x>1，则﹁p 为 A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x≤1 D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x≤13已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于 A ．－1 B ．1 C ．3D ．74、“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为 A.f 32 B.f 322 C. f 1252 D.f 12725.已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝A ．2B ．3C ．4D ．9 6．抛物线28=y x的焦点到直线=0x 的距离是 A．B ．2CD ．17、命题：若y x >，则y x tan tan >；命题：xy y x 222≥+．下列命题为假命题的是 A ．B ．C ．D ．8、已知实数1,,9m 成等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为 A．2 C2 D9.已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前92814a a +的最小值为 A ．8 B ．9 C ．12 D ．1610、在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的 A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.已知函数()()33f x x x x R =+∈，若不等式()()2240f m mt f t ++<对任意实数1t ≥恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）A. (),-∞⋃+∞B. ,⎛-∞⎝⎭C. (2,-D. (,-∞ 12．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(1，＋∞) B ．(1,2]C．(D ．(1,3]二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分.13、若双曲线的渐近线方程为13y x =±，它的一个焦点是)，则双曲线的标准方程是____．14. 若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．15. 已知P 为椭圆221214x y F F +=上任意一点，，是椭圆的两个焦点，则：2212PF PF +的最小值为_________16、下列四种说法：①命题“∀x ∈R ，都有x 2－2<3x ”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2－2≥3x ”；②命题“在数列{}n a 中，若数列{}n a 为等比数列,则3122a a a ⋅=”的逆命题为真命题；③若“p q ∨”为真命题，则“()p q ∧⌝”也为真命题④设111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且1a b c ++=(其中a ，b ，c 为正实数)，则M 的取值范围是[)8,+∞其中正确的说法是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．18.(12分)已知点()3,0A -, ()3,0B ,直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为169. （Ⅰ）求点M 的轨迹方程;（Ⅱ）若点()()4,2,5,0P F ,求MP MF +的最小值.19. (12分)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.已知S 3＝7， 且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列. (1)求数列{a n }的通项； (2)令13ln +=n n a b ，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .20．（12分）已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，|MF |＝5． （1）求抛物线的方程；（2）设l 为过点(4,0)的任意一条直线，若l 交抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆必过原点．21.(12分)在等比数列{a n }中，a n >0 (n N *∈),公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设2log n n b a = ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S nn 最大时，求n 的值.22.(12分)设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率，AB =． （1）求椭圆的方程；（2）设直线():0l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．石嘴山市三中高二年级第一学期期中数学(理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．1、命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( ) A ．若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角相等 B ．若△ABC 中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形 C ．若△ABC 中有两个内角相等，则它是等腰三角形 D ．若△ABC 中任何两个内角相等，则它是等腰三角形 答案：C3、已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x>1，则﹁p 为 A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x≤1 D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x≤1 答案：B3已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于 A ．－1 B ．1 C ．3D ．7答案B.∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35，∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝33－35＝－2， ∴a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1.4、“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为 A.f 32 B.f 322 C. f 1252 D.f 1272 【答案】D5.已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝A ．2B ．3C ．4D ．9 答案：B7．抛物线28=y x的焦点到直线=0x 的距离是 A．B ．2CD ．1【答案】D 【解析】由28=y x 可得其焦点坐标()2,0，根据点到直线的距离公式可得d ．故选D ．7、已知实数1,,9m 成等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为A．2 C2 D【答案】【解析】C2． 8、命题：若y x >，则y x tan tan >；命题：xy y x 222≥+．下列命题为假命题的是 A ．B ．C ．D ．【答案】B9.已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前92814a a +的最小值为 A ．8 B ．9 C ．12 D ．16 【答案】B10、在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A11.已知函数()()33f x x x x R =+∈，若不等式()()2240f m mt f t ++<对任意实数1t ≥恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),-∞⋃+∞ B ．,⎛-∞ ⎝⎭ C ．(2,- D ．(,-∞ 【答案】D 【解析】由题意得， ()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数且()f x 在R 上单调递增，不等式()()2240f m mt f t ++<对任意实数1t ≥恒成立，则224m mt t +<-在1t ≥恒成立，分离参数24422t m t t t<-=-++，又因为2t t +≥t =时，取等号），则m <故选D. 12．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(1,3]B ．(1,2]C．(D ．(1，＋∞)【答案】A 【解析】()222212222244448a PF PF a PF a a a a PF PF PF +==++≥+=，当且仅当2224a PF PF =，即22PF a =时取等号．这时14PF a =．由1212PF PF F F ≥+，得62a c ≥，即3ce a=≤，得(]1,3e ∈， 三、填空题： 本大题共4小题，每小题5分.13、若双曲线的渐近线方程为13y x =±，它的一个焦点是)，则双曲线的标准方程是________．【答案】2219x y -=【解析】由双曲线的渐近线方程为13y x =±，知13b a =，它的一个焦点是)，知2210a b +=，因此3a =，1b =，故双曲线的方程是2219x y -=．14. 若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1]15. 已知P 为椭圆221214x y F F +=上任意一点，，是椭圆的两个焦点，则：2212PF PF +的最小值为_________ 解22212222121212()242282PF PF PF PF PF PF PF PF a a ⎛+⎫+=+-⋅≥-⨯== ⎪⎝⎭故2212PF PF +的最小值是816、下列四种说法：①命题“∀x ∈R ，都有x 2－2<3x ”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2－2≥3x ”；②命题“在数列{}n a 中，若数列{}n a 为等比数列,则3122a a a ⋅=”的逆命题为真命题；③若“p q ∨”为真命题，则“()p q ∧⌝”也为真命题④设111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且1a b c ++=(其中a ，b ，c 为正实数)，则M 的取值范围是[)8,+∞其中正确的说法是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．解 对于命题p ：当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减．当a >1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p 为真命题，那么0<a <1. 如果p 为假命题，那么a >1.对于命题q ：如果函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点， 那么Δ＝(2a －3)2－4>0， 即4a 2－12a ＋5>0⇔a <12，或a >52.又∵a >0，所以如果q 为真命题，那么0<a <12或a >52.如果q 为假命题，那么12≤a <1，或1<a ≤52.∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假． 如果p 真q 假，那么⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a <1，或1<a ≤52，⇔12≤a <1. 如果p 假q 真，那么⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a <12，或a >52，⇔a >52.∴a 的取值范围是[12，1)∪(52，＋∞)．18．已知点()3,0A -, ()3,0B ,直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为169. （Ⅰ）求点M 的轨迹方程;（Ⅱ）若点()()4,2,5,0P F ,求MP MF +的最小值.【答案】（Ⅰ）()2213916x y x -=≠±；（Ⅱ）6. 解析：（Ⅰ）设(),M x y ,则,33AM BM y yk k x x ==+-,且3x ≠± 因为169AM BMk k ⋅=,即16339y y x x ⋅=+-,且3x ≠± 所以点M 的轨迹方程为()2213916x y x -=≠±. （Ⅱ）由（Ⅰ）知,点M 的轨迹方程是双曲线()2213916x y x -=≠± 所以3,5,5a b c ===.所以F 为双曲线的右焦点,设双曲线的左焦点为1F ,因为()4,2P 在第一象限，所以若MP MF +最小,则M 在双曲线的右支上. 由双曲线的定义知126MF MF a -==,则16MF MF =-, 所以16MP MF MP MF +=+-因为两点之间线段最短,所以连接1PF ,则直线1PF 与双曲线的交点即为M所以()11minMP MF PF +===所以MP MF +6.19．（12分）设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列.(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋＋a 3＋2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln 23n＝3n ln 2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n2＝3n n ＋2·ln 2.故T n ＝3n n ＋2ln 2.20．（12分）已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，|MF |＝5． （1）求抛物线的方程；（2）设l 为过点(4,0)的任意一条直线，若l 交抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆必过原点． 【答案】（1）y 2＝4x ；【解析】（1）由题意得|MF |＝4＋2p ＝5，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ．（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝4．由244x y x =⎧⎨=⎩，得y ＝±4．∴|AB |＝8，∴||2AB ＝4，∴以AB 为直径的圆过原点． 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由()244y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得k 2x 2－(4＋8k 2)x ＋16k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2248k k +，x 1x 2＝16．2212121212()()[()]44416y y k x x k x x x x =--=-++ 222222481632[16416](32)16k k k k k k +-=-⨯+=-=-，∴12120x x y y +=．又12120OA OB x x y y ⋅=+=，∴OA ⊥OB ， ∴以AB 为直径的圆必过原点． 综上可知，以AB 为直径的圆必过原点．21. （12分）在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S nn 最大时，求n 的值.解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5. 又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)， ∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1.∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n.(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n－n2， ∴S n n ＝9－n 2， ∴当n ≤8时，S nn>0；当n ＝9时，S nn＝0； 当n >9时，S n n<0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn最大.22．（12分）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B，AB =（1）求椭圆的方程；（2）设直线():0l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值． 【答案】（1）22194x y +=；（2）12-． 【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a=，又由222a b c =+，可得23a b =．由AB =从而3a =，2b =．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为()11,x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得PM PQ =2， 从而()21112x x x x -=--⎡⎤⎣⎦，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236x y y kx +==⎧⎨⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组22194x y y kx⎧+==⎪⎨⎪⎩，消去y，可得1x =215x x =，()532k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．。
2019年秋季学期高二期中考试（数学理科）试题（时间120分钟 总分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交 C ．异面 D ．平行2．若k <0，b <0，则直线y ＝kx ＋b 不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D. 第四象限3．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．－45D.454. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6D ．2 35. 一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为( ) A ．27π B ．18π C ．9πD ．54π6． 空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为( ) A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或－25．7. 直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是( )8．当0＜r≤8时，两圆x2＋y2＝9与(x－3)2＋(y－4)2＝r2的位置关系为( )A．相交B．相切C．相交或相切D．相交、相切或相离9．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为( )A．πQ B．2πQC．3πQ D．4πQ10．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝911．已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是( )A．3x＋2y－7＝0B．2x＋y－4＝0C．x－2y－3＝0D．x－2y＋3＝012．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知点A(3，2)，B(－2，a)，C(8，12)在同一条直线上，则a＝________．14. 已知直线3x+2y+1=0 与直线6x+my+1=0平行，则这两条平行线间的距离为________．15．已知正三角形ABC的边长为1，则它的直观图的面积为________．16.已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________．三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分）已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求下列直线l′的方程，l′满足：（1）过点(－1,3)，且与l 平行； （2）过点(－1,3)，且与l 垂直；18．(本小题满分12分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.（1）倾斜角为45°； （2）在x 轴上的截距为1.19．(本小题满分12分)已知以点C 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，且圆心C 在直线x ＋3y －15＝0上． （1）求圆C 的方程；（2）设点Q (－1，m )(m >0)在圆C 上，求△QAB 的面积．20.(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l 经过点D (－2,0)，且斜率为k . （1）求以线段CD 为直径的圆E 的方程； （2）若直线l 与圆C 相离，求k 的取值范围．21.(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点P ，Q 在正视图中所处的位置为：P 为三角形的顶点，Q 为四边形的顶点，求在该几何体的侧面上，从点P 到点Q 的最短路径的长．22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD =，底面ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 中点．（1）求证：PO 平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离．2019年秋季学期高二期中考试（数学）答案(理科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1 A2 A3 B4 D5 A6 C7 B8 D9 B 10 C 11 D 12 C 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上）13 a ＝－8 145252154616 ：4x ＋3y ＋25＝0或x ＝－4 三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步）17 解：(1)∵l ∥l ′，∴l ′的斜率为－34，∴直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0. （5分）（2）l ′的斜率为－34， ∴直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即4x ＋3y －5＝0. （10分）18解 (1)倾斜角为45°，则斜率为1. ∴－2m 2＋m －3m 2－m＝1，解得m ＝－1，m ＝1(舍去)直线方程为2x －2y －5＝0符合题意，∴m ＝－1 （6分） (2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12，或m ＝2当m ＝－12，m ＝2时都符合题意，∴m ＝－12或2. （12分）19解：(1)依题意所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线x ＋3y －15＝0的交点， ∵AB 中点为(1,2)，斜率为1，∴AB 垂直平分线方程为y －2＝－(x －1)， 即y ＝－x ＋3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x ＋3y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6.即圆心C (－3,6)，半径r ＝4＋36＝210，所求圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40. （6分） (2)点Q (－1，m )(m >0)在圆C 上， ∴m ＝12或m ＝0(舍去)，|AQ |＝12，点B 到直线AQ 的距离为4.所以△QAB 的面积为24． （12分）20解：(1)将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为C (0,4)，半径为2.所以CD 的中点E (－1,2)，|CD |＝22＋42＝25，所以r ＝5，故所求圆E 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 （6分） (2)直线l 的方程为y －0＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.若直线l 与圆C 相离，则有圆心C 到直线l 的距离|0－4＋2k |k 2＋1＞2，解得k ＜34.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34. （12分）21解：(1)由三视图可知，此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2，S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2，所以此几何体的表面积S 表＝S 圆锥侧＋S 圆柱侧＋S 圆柱底＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.（6分）(2)分别沿点P 与点Q 所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，如图所示，则|PQ |＝|AP |2＋|AQ |2＝（2a ）2＋（πa ）2＝a 4＋π2.所以P ，Q 两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为a 4＋π2. （12 分） 22解：（1）在PAD △中PA PD =，O 为AD 中点，所以PO AD ⊥． 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD ＝，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ． （4分）（2）连结BO ，在直角梯形ABCD 中，BC AD ∥, 22AD AB BC ==，有OD BC ∥且OD BC =，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB DC ∥．由（1）知PO OB ⊥，PBO ∠为锐角，所以PBO ∠是异面直线PB 与CD 所成的角．因为222AD AB BC ===，在Rt AOB △中，1AB =，1AO =，所以OB ，在Rt POA △中，因为AP 1AO =，所以1OP =，在Rt PBO △中，PB =，cos OB PBO PB ∠===所以异面直线PB 与CD （8分）（3）由（2）得CD OB ==Rt POC △中，PC =所以PC CD DP ==，2PCD S ∆==．又1·12ACD S AD AB ==△设点A 到平面PCD 的距离h ，由P ACD A PCD V V --=得1133ACD PCD S OP S h ⋅=⋅△△，即111133h ⨯⨯=，解得h =（12分）。
2019学年高二数学上学期期中试题理（总分150 分，时间：120 分钟）（注意：请将所有题目的解答都写到“答题卡”上）一、选择题(本题12 小题，每小题5分，共60 分。
每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。
)1. 已知命题“若x＝6，则x2－3x－18＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有( )A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个2. 已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若￢p 是￢q 的充分条件，则实数a的取值范围是( )A.[－1，6]B.(－∞，－1]C.[6，＋∞)D.(－∞，－1]∪[6，＋∞)3. 已知命题p：∀x > 0 ，总有(x +1)e x >1，则￢p 为( )A. ∀x > 0 ，总有(x +1)e x ≤1B. ∀x ≤ 0 ，总有(x +1)e x ≤1C. ∃x0 ，使得(x+1)e x0 ≤1D. x0 ，使得(x+1)e x0 ≤10 0 0 04. 将二进制数110101(2)转化为十进制数为( )A．106 B．53 C．55 D．1085.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为( )A. ^y＝1.23x＋4 B.^y＝1.23x＋5C.^y＝1.23x＋0.08 D.^y＝0.08x＋1.236. 先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10 的概率依次是P1、P2、P3，则( )A．P1＝P2<P3 B．P3＝P2<P1 C．P1<P2＝P3D．P1<P2<P3x27．经过点P(2，－2)且与双曲线C：2 －y2＝1 有相同渐近线的双曲线方程是 ( ) x2 y2A.4 － 2 ＝1 B ． 2 － 4 ＝1 C. 2 － 4 ＝1 D ． 4 － 2 ＝18. 阅读下列程序：INPUT xIF x<0 THENy ＝－x ＋1ELSEIF x ＝0 THENy＝ELSEy＝x＋1ENDIFENDIFPRINTyEND则该程序对应的程序框图(如图)中，①、②两个判断框内要填写的内容分别是 ( )A ．x >0？ x <0?B ．x >0？x ＝0? C ．x <0？ x ＝0? D ．x ≥0？x <0?9.抛物线 y 2＝24ax (a >0)上有一点 M ，它的横坐标是 3，它到焦点的距离是 5，则抛物线 的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝20x10.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60 名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，补全这个频率分布直方图后，估计本次考试中的平均分(统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)( )A．72 B．71 C．72.5 D．7511. 下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B 为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C 两两互斥，P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B 是对立事件．其中假．命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3x2 y2 12. 已知点P在以点F1，F2 分别为左、右焦点的双曲线a2－＝1(a＞0，b＞0)上，且满足b2→→1PF1·PF2＝0，tan∠PF1F2＝，则该双曲线的离心率是 ( )A．5 23B． 3 C．102D． 5二、填空题(本题4小题，每小题5分,共20 分)13. 如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为．14.执行如图所示的程序框图，若P＝0.8，则输出的n＝.x第 13 题图2 y 215. 已知点 P (4,2)是直线 l 被椭圆＋＝1 所截得的线段的中点，369则直线l的方程为．第14 题图16. 抛物线y＝－x2 上的点到直线4x＋3y－8＝0 的最小距离为．）三、解答题（共6题，70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本题满分10 分)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100 分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：(1)求分数在[50 ,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80 ,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80 ,90)间的矩形的高．18.(本题满分12 分)已知a>0，a≠1.设p：函数y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1 与x轴交于不同的两点，如果p∨q 为真，p∧q 为假，求a 的取值范围.19.（本题满分12 分)某地区有小学21 所，中学14 所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查． (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．20.(本题满分12 分)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2 13 ，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求c os∠F1PF2 的值．21.(本题满分12 分)汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012 年开始，对CO2 排放量超过130 g/km 的M I 型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类品牌MI 型的新车各抽取了5辆进行C O2 排放量检测，记录如下(单位：g/km)：经测算发现，乙类品牌车C O2 排放量的均值为x 乙＝120 g/km.(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车C O2 的排放量稳定性好，求x的取值范围．22.(本题满分12 分)x2 y2如图所示，F1、F2 分别为椭圆C：2＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，A、B 为两ab23个顶点，已知椭圆上的点(1，2)到F1，F2 两点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程．(2)过椭圆C的焦点F2 作A B 的平行线交椭圆于P、Q 两点，求△F1PQ 的面积．草稿纸。
河南省南阳市八校2017-2018学年高二上学期期中联考数学试题（理科）1. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】得，，所以由正弦定理可知，，故选D。
2. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，其中，则角的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由余弦定理可知，，得，所以角最大值为，故选B。
3. 设，，若，则下列结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则B、D错，排除；令，则C错，排除；故选A。
4. 如图，要测出山上信号发射塔的高，从山脚测得，塔顶的仰角为，塔底的仰角为，则信号发射塔的高为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，，的、得，由正弦定理可知，，解得，故选B。
5. 已知数列的前项和为，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，得，，，又时，得，，所以，故选D。
6. 若数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，故选C。
7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，的面积为，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】由得，，又，得，，所以，故选A。
8. 2017年国庆节期间，某数学教师进行了一次“说走就走”的登山活动，从山脚处出发，沿一个坡角为的斜坡直行，走了后，到达山顶处，是与在同一铅垂线上的山底，从处测得另一山顶点的仰角为，与山顶在同一铅垂线上的山底点的俯角为，两山，的底部与在同一水平面，则山高（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，由题可知，，所以，，，故选D。
点睛：解三角形的实际应用题型，首先是模型的建立，本题要根据题目条件，画出正确的几何图形模型，再根据题目的条件，利用解三角形的知识，进行目标的求解。
在本题中，可以根据条件的特殊性，直接利用三角形的几何特征求解。
9. 某船开始看见灯塔时在南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设船开始位置为，最后位置为，灯塔位置为，则，，由正弦定理得：，即，解得，则这时船与灯塔的距离是，故选D.10. 已知数列为等差数列，，，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，得，，所以时，；时，所以，故选C。
2019年下期期中考试高二年级理科数学试题时量：120分钟 分值：150分一、选择题：本题共12小题 每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．不等式x （x －2）＜0的解集是（ ）A ．（0，2）B ．（－∞，0）∪（2，＋∞）C ．（－∞，0）D ．（2，＋∞） 2．已知d c b a >>,那么一定正确的是（ ）A ． bc ad >B ． bd ac >C ． c b d a ->-D ．d b c a ->- 3．等比数列｛a n ｝满足a 1=3，3a =6，则357a a a ++= ( )A ．21B ．42C ．63D ．84 4.等轴双曲线22(0)xy λλ-=≠ 1的两条渐近线的夹角是（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°5．在△ABC 中，18,60,75a B C ︒︒===，则b=（ ）A.66B. 69C. 34D. 396．对于原命题：“已知a b c R ∈、、，若a b > ，则22ac bc >”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为（ ）AB ．1个C ．2个D ．4个 7. “ln(21)0a ->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 8B.10C. 3D. 29．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．2盏 C ．3盏 D ．5盏10．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝π6，则△ABC 的面积等于 ( )A. 3B.34 C. 32或 3 D.32或3411．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点．若双曲线上存在点M ，使1260F MF ∠=，且122MF MF =，则双曲线离心率为（）A B ．2 D 12．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）A ．对任意的,a b ，21e e >B ．当b a >时，21e e >；当b a <时，21e e <C ．对任意的,a b ，21e e <D ．当b a >时，21e e <；当b a <时，21e e > 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
