《微分方程》教学大纲

《微分方程》教学大纲课程编号：121362B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课√专业选修课□学科基础课总学时：32讲课学时：24实验（上机）学时：8学分：2适用对象：金融工程专业先修课程：微积分、线性代数一、教学目标《微分方程》是为金融工程专业本科生而开设的专业选修课。

微分方程有着悠久的发展历史和极其丰富的内容，作为基本数学工具，微分方程在数学及其他学科领域，诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程等学科都有广泛的应用，甚至在经济管理相关学科中，微分方程的理论和方法也有其重要的作用。

现代科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，为微分方程的应用开辟了更广阔的前景，因此，学习和(掌握)微分方程的基本理论和方法，对于学生运用数学方法解决经济学相关问题具有极大帮助。

课程教学以常微分方程为主，学生在学完本课程后，在思想、知识和能力等方面应达到以下目标：目标1：了解常微分方程基本理论及方法目标2：系统理解各类常微分方程求解方法目标3：通过本课程的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法。

目标4：培养学生分析和解决问题的能力，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些线性、非线性问题，初步具备运用微分方程方法解决系列问题的能力，为后续课程打下基础。

二、教学内容及其与毕业要求的对应关系教学内容讲授上的要求：本课程系统介绍求解各类微分方程的方法、常微分方程的基本理论与方法等；采用“少而精”的原则，通过循序渐进的方法，使学生对常微分方程的基本理论与方法具有较为系统的概略认识；贯彻理论与实际相结合的原则，培养学生分析问题和解决问题的能力。

对拟实现的教学目标所采取的教学方法、教学手段：本课程以教师讲授为主，采用传统与现代教学方法、手段相结合，辅以课堂讨论及课后学生自主学习等。

重视师生的互动，做到课上课下有交流，注意培养学生的自主性学习能力和创造性思维。

对实践教学环节的要求：要求理论方法密切联系实际，掌握运用微分方程分析和解决实际问题的能力。

常微分方程教学大纲1. 引言1.1 课程背景1.2 课程目标2. 基本概念与分类2.1 常微分方程的定义2.2 一阶常微分方程与高阶常微分方程2.3 线性与非线性常微分方程2.4 齐次与非齐次常微分方程3. 解常微分方程的基本方法3.1 可分离变量法3.2 齐次方程法3.3 线性方程法3.4 变量替换法3.5 常系数线性齐次方程法3.6 常系数线性非齐次方程法4. 常微分方程的应用领域4.1 数学建模与科学研究4.2 物理学中的应用4.3 生物学中的应用4.4 工程学中的应用5. 常微分方程的求解工具5.1 MATLAB在求解常微分方程中的应用5.2 WolframAlpha在求解常微分方程中的应用5.3 相关软件与工具的介绍6. 常微分方程的数值解法6.1 欧拉法6.2 改进的欧拉法6.3 龙格-库塔法6.4 迭代法6.5 数值解法的误差分析7. 常微分方程的稳定性与解的存在唯一性7.1 稳定性的定义与判定7.2 解的唯一性的定理与证明7.3 线性方程与非线性方程的稳定性比较8. 常微分方程教学的案例与实例8.1 简单案例的解析解与数值解比较8.2 复杂案例的数值解求解8.3 应用案例的数学建模与解决9. 课堂教学安排与评估方式9.1 教学活动与教学资源准备9.2 课堂教学流程设计9.3 学习目标与评估方式10. 总结与展望10.1 课程内容总结10.2 教学方法总结10.3 未来发展与深化的方向通过本门课程的学习，学生将了解常微分方程的基本概念与分类，掌握常微分方程的基本解法，并能够运用所学知识解决实际问题。

课程还将介绍常微分方程在数学建模、物理学、生物学和工程学中的应用，并通过案例与实例帮助学生更好地理解和掌握所学内容。

课程中将介绍常微分方程的基本解法，包括可分离变量法、齐次方程法、线性方程法、变量替换法、常系数线性齐次方程法和常系数线性非齐次方程法。

此外，还将介绍常微分方程的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法和迭代法，并讨论数值解法的误差分析。

《常微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标常微分方程是信息与计算科学专业的基础课程之一。

通过该课程的学习，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及理论联系实际去分析问题、解决问题的能力，为学生学习后继课程打下基础。

1．学好基础知识。

理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。

2．掌握基本技能。

能够根据法则、公式正确地进行运算。

能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。

3．培养思维能力。

能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。

能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。

能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。

4．提高解决实际问题的能力。

对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。

能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。

三、教学学时分配《常微分方程》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。

四、教学内容和教学要求第一章绪论（4学时）（一）教学要求1．了解微分方程的背景即某些物理过程的数学模型；2. 掌握由简单的物理、几何等问题建立简单微分方程；3. 理解微分方程的基本概念；4. 掌握如何由通解求特解。

（二）教学重点与难点教学重点：微分方程的基本概念；教学难点：建立微分方程模型的思想、方法和例子。

（三）教学内容 第一节 常微分方程模型第二节 基本概念和常微分方程的发展历史1．常微分方程基本概念本章习题要点：微分方程基本概念题；建立微分方程的题。

第二章 一阶微分方程的初等解法（14学时）（一）教学要求1. 掌握变量可分离方程、一阶线性方程以及恰当微分方程的求解方法； 2．掌握齐次方程、Bernoulli 方程的求解； 3. 掌握用变量代换的方法求解微分方程；4. 掌握从积分因子满足的充分必要条件导出某些特殊形式积分因子存在的条件及计算公式,并用于解相应的微分方程；5. 掌握已解出y 或x 的微分方程)',(),',(y y f x y x f y ==的计算方法；6. 了解微分方程0)',(,0)',(==y y F y x F 的求解；7. 掌握一阶微分方程的应用方法,能建立一些简单的模型进行简单分析。

《常微分方程》课程教学大纲（Ordinary Differential Equation）一、课程说明课程编码：07100090、课程总学时（理论总学时/实践总学时）60（45/15）、周学时（理论学时/实践学时）4（3/1）、学分4、开课学期四。

1．课程性质：学科公共必修课2．适用专业与学时分配：适用于数学与应用数学专业。

教学内容与时间安排表3．课程教学目的与要求：本课程是数学类专业一门学科专业必修课，授课对象为数学专业二年级本科生。

通过常微分方程的教学，要求学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解。

开设此课程的目的是在学生学习与掌握常微分方程的基本理论与方法的基础上，培养学生逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力，为学生学习数学的其它课程和物理学等有关课程打下基础，从而有助于学生胜任中学数学教学，为实施素质教育提供建模思想方面的训练和准备。

4．本门课程与其它课程关系：先修课程为数学分析，高等代数。

学生应掌握数学分析，高等代数的基本理论和方法；并为数学物理方法奠定基础。

5．推荐教材及参考书：[1]东北师范大学微分方程教研室编，常微分方程。

北京，高等教育出版社，2005[2]周义仓等编，《常微分方程及其应用》，科学出版社，2003年。

[3]张晓梅等编，《常微分方程》，复旦大学出版社，2010年6．课程教学方法与手段：传统教学与现代多媒体技术相结合。

7．课程考试方法与要求：平时成绩与期末成绩相结合。

总成绩=平时成绩*20%+期末考试（闭卷）试卷成绩*80%。

平时成绩满分100（出勤60%+平时作业20%+平时测验20%）8．实践教学内容安排：学生分组讨论解决相关的课程内容及习题。

二、教学内容纲要第一章初等积分法（20学时）1.教学目的与要求熟练掌握变量分离方程、齐次方程及可化为齐次方程的方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程、几种特殊类型的一阶隐方程和可降阶的高阶方程的求解方法。