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2016北京101中高二（上）期末数学（文科）一.选择题：本大题共8小题，共40分．1．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P32．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B．+100，s2+1002C．，s2D．+100，s23．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出i的值是（）A．27 B．63 C．15 D．314．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．185．（5分）下列续集中正确的个数是（）①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”；②命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；③若￢p是q的必要条件，则p是￢q的充分条件；④∀x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3均成立．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）若区间（0，1）上任取一实数b，则方程x2+x+b=0有实根的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l）D．（﹣∞，+∞）8．（5分）已知动圆C经过点F（0，1），并且与直线y=﹣1相切，若直线3x﹣4y+20=0与圆C有公共点，则圆C的面积（）A．有最大值为πB．有最小值为πC．有最大值为4πD．有最小值为4π二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．（5分）右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩低于乙的平均成绩的概率是．10．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为．11．（5分）已知a是实数，函数f（x）=x2（x﹣a），若f′（1）=3，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．12．（5分）如图，F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．13．（5分）如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，上顶点A，离心率为，点P 为第一象限内椭圆上的一点，若：=2：1则直线PF 1的斜率为．14．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是．三、解答题：本大题共4小题，共50分.15．（12分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人．（I）求这三个社团共有多少人？（II）书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率．16．（12分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如表：（1）求y关于t回归方程=+t；用所求回归方程预测该地区2016年（t=7）人民币储蓄存款．附：回归直线方程=+t中，=，=﹣．17．（13分）已知函数f（x）=（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．18．（13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B与抛物线x2=4y的焦点重合，离心率．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为△BMN的垂心（三条高所在直线的交点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一.选择题：本大题共8小题，共40分．1．【解答】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．2．【解答】由题意知y i=x i+100，则=（x1+x2+…+x10+100×10）=（x1+x2+…+x10）=+100，方差s2=[（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]=[（x1﹣）2+（x﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2．2故选：D．3．【解答】该程序框图为循环结构经第一次循环得到s=1，i=3；第二次循环得到s=2，i=7；经第三次循环得到s=5，i=15经第四次循环得到s=26，i=31；经第五次循环得到s=262+1，i=63，此时满足判断框中的条件，执行输出63故选B4．【解答】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：C．5．【解答】对于①：由于命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x≤0”，故正确；对于②：“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b则am2＜bm2当m=0时不成立，故为假命题故②不正确；③：∵¬p是q的必要条件，∴q⇒﹣p为真命题，故p⇒﹣q为真命题故p是¬q的充分条件，故③正确；④：不等式x2+2x＞4x﹣3即不等式x2﹣2x+3＞0，即（x﹣1）2+2＞0，它恒成立，故④正确．故选C．6．【解答】由方程x2+x+b=0有实根可得△=1﹣4b≥0，解得b≤，∴所求概率P==故选：A7．【解答】设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选B8．【解答】解法一：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2则根据题意：，解得：r=2故最小的圆的面积是4π解法二：由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x2=4y，设C点坐标为（x，），∵⊙C过点F，∴半径r=|CF|==，直线3x﹣4y+20=0圆C有公共点，即转化为点（x，）到直线3x﹣4y+20=0的距离d=解得x≥或x≤﹣2，从而得圆C的半径r=+1≥2，故圆的面积有最小值4π．二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．【解答】由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩=（88+89+90+91+92）=90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩=（83+83+87+99+90+X）=88.4+当X=9时，＜．即甲的平均成绩低于乙的平均成绩的概率为，故答案为：．10．【解答】由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）∵双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，∴c=1∵双曲线的离心率为，∴∴∴∴∴双曲线的渐近线方程为故答案为：y=±2x11．【解答】函数f（x）=x2（x﹣a）的导数为f′（x）=2x（x﹣a）+x2=3x2﹣2ax，f′（1）=3，即为3﹣2a=3，解得a=0，即f（x）=x3，f′（x）=3x2，可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，切点为（1，1），即有切线的方程为y﹣1=3（x﹣1），即为3x﹣y﹣2=0．故答案为：3x﹣y﹣2=0．12．【解答】根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|，∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a，又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e==．故答案为：．13．【解答】设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的直线方程为y=k（x+c），即kx﹣y+kc=0∵：=2：1∴A到直线PF1的距离是F2到直线PF1的2倍∴=2×∴|﹣b+kc|=4|kc|∵离心率为，∴∴b=c∴∴k=﹣或k=∵点P 为第一象限内椭圆上的一点， ∴k=故答案为14．【解答】设直线AB 的方程为：x=ty +m ，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 与x 轴的交点为M （m ，0），x=ty +m 代入y 2=x ，可得y 2﹣ty ﹣m=0，根据韦达定理有y 1•y 2=﹣m ， ∵•=2，∴x 1•x 2+y 1•y 2=2，从而（y 1•y 2）2+y 1•y 2﹣2=0，∵点A ，B 位于x 轴的两侧， ∴y 1•y 2=﹣2，故m=2．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1＞0， 又F （，0），∴S △ABO +S △AFO =×2×（y 1﹣y 2）+×y 1=y 1+≥3当且仅当y 1=，即y 1=时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3， 故答案为：3．三、解答题：本大题共4小题，共50分. 15．【解答】（I ）围棋社共有60人， 由可知三个社团一共有150人．（II ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，设初中的两名同学为a 1，a 2，高中的3名同学为b 1，b 2，b 3，随机选出2人参加书法展示所有可能的结果：a 1，a 2，a 1，b 1，a 1，b 2，a 1，b 3，a 2， b 1，a 2，b 2，a 2，b 3，b 1，b 2，b 1，b 3，b 2，b 3，共10个基本事件． 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”，则事件A共有a1，b1，a1，b2，a1，b3，a2，b1，a2，b2，a2，b36个基本事件．∴．故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为．16．【解答】（1）由题意可知=×（1+2+3+4+5）=3，=×（5+6+7+8+10）=7.2，t i y i=1×5+2×6+3×7+4×8+5×10=120，=12+22+32+42+52=55，故===1.2，=﹣=7.2﹣1.2×3=3.6，因此，所求y关于t的回归方程为=3.6+1.2t；（2）将t=7代入（1）中的回归方程可得：=3.6+1.2×7=12；故由所求回归方程可预测该地区2016年的人民币储蓄存款为12千亿元．17．【解答】（Ⅰ）f′（x）=（x﹣k+1）e x，令f′（x）=0，得x=k﹣1，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）；（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣k；当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k ﹣1，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）=﹣e k﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1﹣k）e；综上所述f（x）min=．18．【解答】（Ⅰ）设椭圆方程为，∵抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）∴b=1由已知得，∴，解得∴椭圆方程为（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），F（1，0），B（0，1），，∴k BF=﹣1∵F是垂心，∴K MN=1∴设MN的方程为y=x+t，代入椭圆方程后整理得：3x2+4tx+2t2﹣2=0∴将x=y﹣t代入椭圆方程后整理得：3y2﹣2ty+t2﹣2=0∴∵F是垂心，∴MF⊥BN，∴（1﹣x1）x2﹣y1（y2﹣1）=0，整理得：x1+x2﹣x1x2﹣y1y2+t=0∴∴3t2+t﹣4=0∴或t=1（舍）∴存在直线l，其方程为使题设成立．。
北京高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的倾斜角为（）．A．B．C．D．2.过点且与直线平行的直线方程是（）．A．B．C．D．3.直线与圆的位置关系为（）．A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离4.已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）．A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则5.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（）．A．，B．，C．，D．，6.直线与直线平行，那么的值是（）．A．B．C．或D．或7.设直线过点，其斜率为，且与圆相切，则的值为（）．A．B．C．D．8.己知正方体棱长为，则它的内切球的表面积为（）．A．B．C．D．9.如图，将无盖正方体纸盒展开，线段，所在直线在原正方体中的位置关系是（）．A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成10.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A．B．C．D．二、填空题1.在空间直角坐标系中，点到原点的距离为__________．2.直线与圆相交于、两点，则__________．3.圆与圆的位置关系是__________．4.为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为__________．5.底面边长是，高为的正四棱锥的侧棱长为__________，侧面积为__________．6.下列条件中，能判定互异的平面与平面平行的条件可以是__________．（写出所有正确条件的序号）①内有无穷多条直线都与平行；②内的任何一条直线都与平行；③直线，直线，且；④直线，直线，．7.正四棱锥底面外接圆半径为，斜高为，则棱锥侧面积为__________．8.已知、满足方程，则的最大值为__________．9.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．10.．如图：点在正方体的面对角线上运动，下列四个命题：①三棱锥的体积不变；②平面；③；④平面平面．其中正确命题的序号是__________．11.．已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．则点到线段的距__________．三、解答题1.已知平面上有三个定点，，．（I）已知、分别为、中点，求所在直线方程．（II）求的边的高所在直线方程．2.如图，四棱柱中，底面是正方形，侧棱底面，为的中点．（）求证：平面．（）求证：．3.如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面，且，，、分别为和的中点．（）证明：平面．（）证明：平面平面．（）当上的动点满足什么条件时，使三棱锥的体积与四棱锥体积的比值为，并证明你的结论．4.．已知圆的方程为．（I）求过点的圆的切线方程．（II）求平行于直线且被圆截得的弦长为的直线方程．5.关于，的方程为．（）若上述关于，的方程表示圆，求的取值范围．（）若圆与直线的两个交点为，，且满足其中（为坐标原点），求此时的值．6.．某几何体如图所示，平面，，是边长为的正三角形，，，点、分别是、的中点．（I）求证：平面．（II）求证：平面平面．（III）求该几何体的体积．北京高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.直线的倾斜角为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】直线，，倾斜角．故选．2.过点且与直线平行的直线方程是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】设直线，代入点解出，故直线方程为．故选．3.直线与圆的位置关系为（）．A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【答案】B【解析】圆心到直线的距离，，说明两者相交，且直线不经过．故选．4.已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）．A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】D【解析】由题意得，A中，若，则与平行、相交或异面，所以不正确；B中，若，则与可能是相交平面，所以不正确；C中，若，则与可以是相交平面，所以不正确；D中，根据垂直与同一平面的两直线是平行的，所以“若，则”是正确的，故选D.【考点】线面位置的判定与证明.5.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（）．A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由左视图知，棱柱高为，底面三角形高为，正三角形边长为．故选．6.直线与直线平行，那么的值是（）．A．B．C．或D．或【答案】A【解析】两直线平行，则，解出或，当时，直线分别为，，当时，直线分别为，．重合（舍去）7.设直线过点，其斜率为，且与圆相切，则的值为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】直线为，圆心到直线距离，解出．故选．8.己知正方体棱长为，则它的内切球的表面积为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】设球的半径为，球是正方体的内切球，，表面积．故选．点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．9.如图，将无盖正方体纸盒展开，线段，所在直线在原正方体中的位置关系是（）．A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成【答案】D【解析】在原正方体中，，相聚为一点，连接，则，为等边三角形，、相交成．故选．10.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知，几何体为棱锥，底面积，高，体积．故选．点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．二、填空题1.在空间直角坐标系中，点到原点的距离为__________．【答案】【解析】距离2.直线与圆相交于、两点，则__________．【答案】【解析】圆心到直线的距离，，圆半径，．点睛：处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：3.圆与圆的位置关系是__________．【答案】外切【解析】圆心分别为、，半径分别为，，圆心距，等于两圆半径之和，外切．4.为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为__________．【答案】【解析】圆心到直线距离，圆上动点到直线距离最小值为．点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．5.底面边长是，高为的正四棱锥的侧棱长为__________，侧面积为__________．【答案】【解析】侧棱长，侧面三角形的高，侧面积．6.下列条件中，能判定互异的平面与平面平行的条件可以是__________．（写出所有正确条件的序号）①内有无穷多条直线都与平行；②内的任何一条直线都与平行；③直线，直线，且；④直线，直线，．【答案】②④【解析】①当平面与相交时，仍存在内有无穷多条直线与平行，不成立．②成立．③一条直线平行于平面，无法判断．④成立．7.正四棱锥底面外接圆半径为，斜高为，则棱锥侧面积为__________．【答案】【解析】∵正四棱锥底面为正方形，正方形边长为，侧面积．8.已知、满足方程，则的最大值为__________．【答案】【解析】在圆中，过原点作直线与圆相切，圆心到直线的距离，，解得或，即最大值为．点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．9.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．【答案】【解析】设底面圆的半径为，圆柱高为，则，侧面积，全面积，∴．10.．如图：点在正方体的面对角线上运动，下列四个命题：①三棱锥的体积不变；②平面；③；④平面平面．其中正确命题的序号是__________．【答案】①②④【解析】①正确，∵面积不变，且点到平面的距离不变，∴三棱锥体积不变．②正确，∵在正方体中，，平面，平面，∴平面，∵，平面，平面，∴平面，∵点，、平面，∴平面平面，∵平面，∴平面．③错误，在上移动，当在处时，有．④正确，连接交于点，∵在正方形中，，在正方体中，面，∴，∵点，、平面，∴平面，∴，同理可证，∵点，、平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．综上①②④正确．11.．已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．则点到线段的距__________．【答案】【解析】过点作直线①，∵，∴，∴，整理得②，联立两直线方程①②，解得，，交点，∵，即点不在线段上，∴当时，．三、解答题1.已知平面上有三个定点，，．（I）已知、分别为、中点，求所在直线方程．（II）求的边的高所在直线方程．【答案】(1) (2)【解析】（1）先根据中点坐标公式求、坐标，再根据两点式求所在直线方程．（2）先求斜率，再根据负倒数得的高斜率，最后根据点斜式写高所在直线方程．试题解析：（I），，，，，∴，，整理得．（II）∵，∴边上高斜率为，∵高经过，∴，整理得：．2.如图，四棱柱中，底面是正方形，侧棱底面，为的中点．（）求证：平面．（）求证：．【答案】(1)见解析(2) 见解析【解析】（1）连接交于点，根据中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）先根据正方形性质得，再根据侧棱底面得，最后根据线面垂直判定定理得平面，即得结论试题解析：（）证明：连接交于点，∵在中，、分别是，中点，∴，∴平面，平面，∴平面．（）∵在正方形中，，在四棱柱中，平面，平面，∴，∵点，，平面，∴平面，∵平面，∴．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.3.如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面，且，，、分别为和的中点．（）证明：平面．（）证明：平面平面．（）当上的动点满足什么条件时，使三棱锥的体积与四棱锥体积的比值为，并证明你的结论．【答案】(1) 见解析(2) 见解析(3) 在中点【解析】（1）根据三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得结论（2）由矩形性质得，再根据面面垂直性质定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结论（3）两锥体体积高之比为1：2，所以对应底面面积之比为1：8，在正方形中易得点中点试题解析：（）证明：连接，在矩形中为中点，同为中点，∵为中点，∴，∵平面，平面，∴平面．（）在矩形中，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（）当动点在中点时，，，，即．点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.4.．已知圆的方程为．（I）求过点的圆的切线方程．（II）求平行于直线且被圆截得的弦长为的直线方程．【答案】(1) 或．(2) 直线方程为或．【解析】（1）设切线点斜式方程，根据圆心到切线距离等于半径可得斜率，最后验证斜率不存在时是否满足题意（2）根据平行关系可设直线方程，再根据垂径定理列等量关系，求参数试题解析：（I）设切线方程，整理得，圆心，半径，∴圆心到切线距离，解出，即切线方程为，当切线斜率不存在时，切线平行于轴，切线方程为，符合要求，综上，切线方程为或．（II）设直线方程，圆心到直线的距离，，代入解出，∴直线方程为或．点睛：1．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．5.关于，的方程为．（）若上述关于，的方程表示圆，求的取值范围．（）若圆与直线的两个交点为，，且满足其中（为坐标原点），求此时的值．【答案】(1) (2)【解析】（1）根据一般式条件得，解得的取值范围．（2）由条件可得圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求的值．试题解析：（）化成标准方程为，∴，解出．（）∵，在中，，∴，解出．6.．某几何体如图所示，平面，，是边长为的正三角形，，，点、分别是、的中点．（I）求证：平面．（II）求证：平面平面．（III）求该几何体的体积．【答案】(1)见解析(2) 见解析(3)【解析】（1）根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）由正三角形性质得，由平面，得，再由线面垂直判定定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结论（3）几何体为四棱锥，C到直线AB距离为高，根据锥体体积公式可得结论试题解析：（I）证明：连接，在中，、分别是、中点，∴，∵平面，平面，∴平面．（II）∵在等边中，是边中点，∴，又∵平面，∴，∵点，且、平面，∴平面平面．（III）将直角梯形看成底面，过点作于点，看成几何体的高，∴，，．。
北京市第一五九中学2016-2017学年度第一学期高二期中数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 直线的倾斜角是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】直线，，倾斜角为，故选．2. 圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】圆心在轴上，排除项，且过点，排除，项，仅剩项符合题意，故选．3. 方程表示的直线可能是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】项，由斜率知，但截距，排除；项，直线平行于轴，，但截距，排除；项，直线斜率，但截距，排除；故选．4. 、、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）．A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】项，与可能是异面直线，项，可能平行于平面，项，与可能是异面直线，项正确．5. 长方体一个顶点上的三条棱长分别为，，，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】设球半径为，，，其表面积，故选．6. 如果直线与直线垂直，那么等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】两直线垂直，，，故选．7. 过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】过圆外一点，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选．8. 在空间中，“直线，没有公共点”是“直线，互为异面直线”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】直线，没有公共点，则直线，互为异面直线或平行，但直线、互为异面直线一定可推出，直线，没有公共点，故选．点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．9. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（）．A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为符合题意，若直线不过原点设直线为，代入点解得，直线方程整理得，故选．10. 若圆的圆心到直线的距离为，则的值为（）．A. 或B.或C. 或D. 或【答案】C【解析】圆，化成标准方程为，圆心到直线的距离，解得或，故选．11. 直线截圆得的劣弧所对的圆心角是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】圆心到直线的距离，半径．设劣弧所对圆心角为，．∴，故选．12. 在平面直角坐标系中，与点距离为，且与点的距离为的直线有（）．A. 条B. 条C. 条D. 条【答案】B【解析】以为圆心，作半径为的圆，圆为，以为圆心，作半径为的圆，圆为，，，两圆相交，有条公切线，即符合题意的有条直线，故选．点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．(2)切线法：根据公切线条数确定．（3）数形结合法：直接根据图形确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知命题“，”，则__________．【答案】，【解析】全称命题，，它的否定，．14. 圆上两点、关于直线对称，则__________．【答案】【解析】圆，圆心经过直线，解得．15. 如图，侧棱长为的正三棱柱的左视图的面积为，该正三棱柱的侧面积为__________．【答案】【解析】设正三棱柱底面三角形边长为，，解得，∴三棱柱侧面积．点睛:空间几何体表面积的求法(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．16. 如图是正方体的展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是__________．（填序号）【答案】（）（）（）【解析】（）中①⑤、②④、③⑥相对，（）中①④、②⑤、③⑥相对，（）中①④、②⑤、③⑥相对，（）中①④、②⑤、③⑥相对．点睛：先由几何体的展开图还原几何体的形状．根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图还原为实物图．再在具体几何体中研究对应线面位置关系三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知：三边所在的直线方程为，，．求：边上的高所在的直线方程．【答案】【解析】略18. 已知：点及圆，若直线过点且被圆截得的线段长为．求：直线的方程．【答案】【解析】试题分析:先将圆方程化为标准方程，再根据垂径定理得圆心到直线距离，设直线的点斜式方程，根据点到直线距离公式求斜率，最后验证斜率不存在的情况是否满足条件试题解析：圆，化为标准方程为，圆心，半径，设直线的方程为，则点到直线的距离，解得．∴直线的方程为：．19. 在三棱锥中，点、、分别为棱，，的中点．（）求证：平面．（）若，，求证：平面平面．【答案】(1)见解析（2）见解析【解析】(1)关键证明：EF//AC.(2) 由，可证出,进而可证出平面⊥平面.证明：（1）∵是的中位线，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.（2）∵,，∴.∵,，∴.又∵平面，平面，，∴平面，又∵平面，∴平面⊥平面20. 已知：三棱柱中，底面是正三角形，侧棱面，是棱的中点，点在棱上，且．（）求证：平面．（）求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析:（1）设与交点为，则根据三角形中位线性质得，再利用线面平行判定定理得结论（2）面得，再由正三角形性质得，因此由线面垂直判定定理得平面，即，再结合条件，利用线面垂直判定定理得平面，即得．试题解析：（）证明：连接，设与交点为，连接，∵在中，，分别为，中点，∴，∵平面，平面，∴平面．（）∵平面，平面，∴，∵在正中，是棱中点，∴，∵点，，平面，∴平面，∵平面，∴，又∵，点，、平面，∴平面，∵平面，∴．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21. 在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点，分别是棱，的中点．（）求证：平面平面．（）求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】[证明] （1）∵，，垂足为，∴是的中点，又因为是的中点，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面；同理∥平面. 又，∴平面∥平面.（2）∵平面平面，且交线为，又平面，，∴平面，∵平面，∴，又因为，，、平面，∴平面，∵平面，∴.【考点定位】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.22. 已知：以点为圆心的圆与轴交于点、，与轴交于点、，其中为原点．（）求证：的面积为定值．（）设直线与圆交于点、，若，求：圆的方程．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）因为圆C过原点，利用两点间的距离公式表示出出O到C的距离即为圆的半径，然后根据点C的坐标，写出圆C的标准方程，令x=0，解出相应y的值，令y=0解出相应x的值，进而表示出点A和点B的坐标，利用三角形的面积公式表示出三角形AOB的面积，约分后得到面积为定值，得证；（2）根据圆上的点到圆心的距离相等得到|CM|=|CN|，又因为|OM|=|ON|，得到OC垂直平分线段MN，由已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出直线OC的斜率，然后利用C的坐标表示出斜率，两者相等得到关于t的方程，求出方程的解得到t的值，然后把求出的t的值代入点C的坐标中确定出圆心的坐标和圆的半径，利用点到直线的距离公式判断圆心到已知直线的距离小于半径即已知直线与圆相交，把不符合题意的t舍去，得到满足题意的t的值，进而得到圆C的方程；试题解析：（1）∵圆C过原点O，∴OC2=t2+，则圆C的方程为（x-t）2+（y-）2= t2+，令x=0，，得y1=0，；令y=0得x1=0，x2=2t，即A（2t，0），B（0，），=4．即△OAB的面积为定值；（2）∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|，∴OC垂直平分线段MN．∵K MN=-2，∴K OC=，解得t=2或t=-2．当t=2时，圆心C的坐标为（2，1）半径OC=，此时圆心到直线y=-2x+4的距离d=，即圆C与直线y=-2x+4相交于两点．当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1）半径OC=此时圆心到直线y=-2x+4的距离d=，即圆C与直线y=-2x+4不相交，<BR>∴t=-2不合题意，舍去．∴圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5．考点：１．圆的标准方程；２．点到直线的距离公式．。
2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过（﹣1，2）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x+y+3=02．已知两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）A．﹣B．C．1 D．﹣13．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．15．下列说法中正确的是（）A．在正三棱锥中，斜高大于侧棱B．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥D．有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥6．长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，则它的外接球的体积是（）A．B．36πC．9πD．π7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣8．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是．10．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是．11．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=．12．正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是．13．已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，它们的位置关系是．14．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC 上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有．（1）CD⊥面GEF．（2）AG=1．（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．（4）∠EAD=60°．三、解答题：本大题共3小题，共30分.15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．17．设P为直线l1：x﹣2y+4=0与直线l：2x﹣y﹣4=0的交点，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cos∠MPN．四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．命题p：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则“非p”形式的命题是．19．已知p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R；q：0＜a＜1．则p是q（充分，必要，充要）条件．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为．五、解答题：本大题共3小题，共38分.21．已知p：{x|x2﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x2﹣2x﹣（m2﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．22．已知方程x2+y2﹣6x+2y+m=0．（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y﹣2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．23．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值．2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过（﹣1，2）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x+y+3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线x+y﹣1=0的斜率为﹣1，∴所求垂线的斜率为1，∴方程为y﹣2=x﹣（﹣1），∴x﹣y+3=0，故选：B．【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．2．已知两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）A．﹣B．C．1 D．﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线平行可得a﹣1﹣（﹣3）（a+1）=0，解方程排除重合即可．【解答】解：∵两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，∴a﹣1﹣（﹣3）（a+1）=0，解得a=，经验证当a=﹣时，两直线平行．故选：A．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．3．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】利用正方体模型，举出A、B、C三项的反例，得出A、B、C三项均为假命题，通过排除法可得D选项为正确答案．【解答】解：以正方体为例对于A选项，设下底面ABCD为平面α，在上底面A1D1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a、b都平行于平面α，但直线a、b不平行，故A项不对（如图1）对于B选项，设下底面ABCD为平面α，上底面A1C1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a是平面α的平行线，直线b与a垂直，但直线b与平面α不垂直，故B选项不对（如图2）对于C选项，设下底面ABCD为平面α，直线AB、CD所在直线分别为a、b，AD1所在直线为l．可见直线a、b是平面α内的平行线，虽然直线a、b都与直线l垂直，但直线l与平面α不垂直，故C选项不对（如图3）由A、B、C都不对，得应该选择D选项．故答案为D【点评】判断空间直线与平面的位置关系时，常常借助于空间几何体如长方体、正方体、三棱锥等，结合立体几何的定理或推论解决问题．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，代入体积公式计算可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，∴三棱柱的体积V==1．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．5．下列说法中正确的是（）A．在正三棱锥中，斜高大于侧棱B．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥D．有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；对应思想；分析法；简易逻辑．【分析】由多面体的结构特征逐一核对四个选项得答案．【解答】解：在正三棱锥中，斜高为直角三角形的直角边，侧棱为同一个直角三角形的斜边，∴斜高小于侧棱，A错误；由直棱柱的定义可知，有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，B正确；底面是正方形的棱锥是正四棱锥错误，还需满足顶点在底面的射影为底面的中心；有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥错误，还需满足三角形由公共顶点．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了多面体的结构特征，是基础题．6．长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，则它的外接球的体积是（）A．B．36πC．9πD．π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知求出外接球半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，∴它的外接球的半径R满足：2R==3，即R=，故它的外接球的体积V==，故选：A【点评】本题考查的知识点是球的体积，球内接多面体，计算出球的半径是解答的关键．7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；规律型；数形结合；直线与圆．【分析】由题意可得反射光线所在的直线经过圆心M（﹣3，2），点P（﹣2，﹣3）关于x 轴的对称点Q（2，﹣3）在反射光线所在的直线上，用斜率公式求解即可．【解答】解：由题意可得反射光线所在的直线经过圆：（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心M（﹣3，2），由反射定律可得点P（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点Q（2，﹣3）在反射光线所在的直线上，根据M、Q两点的坐标，所求直线的斜率为：=﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查用两点式求直线方程，判断反射光线所在的直线经过圆心M（﹣3，2），是解题的突破口．8．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】正四面体P﹣ABC即正三棱锥P﹣ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得答案．【解答】解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．【点评】本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；数形结合；函数思想；空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的定义与性质，算出圆锥的高h，再由圆锥的体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】解：∵圆锥的母线长l=52，底面圆的半径r=1，∴圆锥的高h=，因此，圆锥的体积为V=πr2h=π×12×=．故答案为：．【点评】本题给出圆锥的母线长和底面圆的半径，求此圆锥的体积．着重考查了圆锥的定义与性质、圆锥的体积公式等知识，属于基础题．10．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是6．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图还原成原图为四个面都是直角三角形的四面体，然后求出四个面的面积，找出最小面积【解答】解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形的四面体（如图所示），则S ABD=×4×5=10，S ABC=×3×5=7.5，S BCD=×4×3=6，且AD＞51，AC＞5，CD=5，∴S ACD＞S BCD，∴面积最小为6．故答案为：6．【点评】本题考查了由三视图还原成原图，要注意还原前后数量的对应关系，考查了空间想象能力，属于基本题型，难度不大11．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=2．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB 为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r是解答的关键．12．正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】先求出正三棱锥的底面面积，再由经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，能求出结果．【解答】解：∵正三棱锥的底面边长为2，∴正三棱锥的底面面积S==，∵经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，∴经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积S′==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥中截面面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正三棱锥的结构特征的合理运用．13．已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，它们的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；数形结合；直线与圆．【分析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆的位置关系．【解答】解：由题意可得，两圆的圆心距C1C2==∈[1，3]，即两圆的圆心距大于两圆的半径之差，小于半径和，故两圆相交，故答案为：相交．【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题．14．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC 上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有（1）（2）（4）．（1）CD⊥面GEF．（2）AG=1．（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．（4）∠EAD=60°．【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知推导出FG⊥AB，CD⊥GF，EF⊥CD从而得到CD⊥平面GEF；由已知得AB=AE=BE=BC=AC=2，AF=BF=CF，从而得到AG=BG=1，以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，∠EAD=∠EAB=60°．【解答】解：在（1）中，∵E是正方形ABCD所在平面外一点，FG∥BC，∴BC⊥AB，∴FG⊥AB，∵AB∥CD，∴CD⊥GF，∵E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥CD，∵EF∩GF=F，∴CD⊥平面GEF，故（1）正确；在（2）中，∵AB=AE=2，∠EAB=60°，∴AB=AE=BE=BC=AC=2，∴AF=BF=CF，∵FG∥BC，∴AG=BG=1，故（2）正确；在（3）中，∵由（2）得AF=CF=EF=，∴=2，∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，故（3）错误；在（4）中，由（2）得∠EAD=∠EAB=60°，故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．三、解答题：本大题共3小题，共30分.15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】（1）欲证EF∥平面CB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB1D1内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EF∥BD，则EF∥B1D1，又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，满足定理所需条件；（2）欲证平面CAA1C1⊥平面CB1D1，根据面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1内一直线与平面CAA1C1垂直，而AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，则AA1⊥B1D1，A1C1⊥B1D1，满足线面垂直的判定定理则B1D1⊥平面CAA1C1．【解答】（本题满分为12分）证明：（1）连接BD，因为正方体，所以BB1∥DD1，所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，因为EF∥BD，由平行线传递性得：EF∥B1D1，因为B1D1⊄面CB1D1，EF⊂面CB1D1，所以EF∥平面CB1D1．（6分）（2）因为在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．（10分）又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面CAA1C1．（12分）【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．【点评】本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直．17．设P为直线l1：x﹣2y+4=0与直线l：2x﹣y﹣4=0的交点，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cos∠MPN．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；数形结合；待定系数法；直线与圆．【分析】（1）联立直线方程可解得P（4，4）可得l0的方程，又可得圆C的圆心为（2，2），半径为1，可得圆心C到直线l0的距离d，由勾股定理可得；（2）由相切可得k的方程，解方程可得k值，由三角函数的定义可得sin∠MPC，由二倍角公式可得cos∠MPN．【解答】解：（1）联立可解得P（4，4），当k=时，l0的方程为y﹣4=（x﹣4），即3x﹣2y﹣4=0，配方可得圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，故圆C的圆心为（2，2），半径为1，∴圆心C到直线l0的距离d==，∴|AB|=2=；（2）l 0的方程为y ﹣4=k （x ﹣4），即kx ﹣y+4﹣4k=0，由相切可得圆心C 到直线l 0的距离d==1，平方并整理可得3k 2﹣8k+3=0，解得k=， ∵sin ∠MPC===，∴cos ∠MPN=cos2∠MPC=1﹣2sin 2∠MPC=1﹣2×=．【点评】本题考查圆的切线方程，涉及圆的弦长和点到直线的距离以及二倍角的余弦公式，属中档题．四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2+mx+1=0有实数根”，则“非p ”形式的命题是 对任意实数m ，方程x 2+mx+1=0没有实数根 ．【考点】复合命题的真假．【专题】规律型．【分析】根据命题的否定可知，存在的否定词为任意，再根据非p 进行求解即可．【解答】解：∵p ：存在实数m ，使方程x 2+mx+1=0有实数根，存在的否定词为任意， ∴非p 形式的命题是：对任意实数m ，方程x 2+mx+1=0没有实数根，故答案为：对任意实数m ，方程x 2+mx+1=0没有实数根．【点评】此题主要考查命题的否定，此题是一道基础题．19．已知p ：不等式ax 2+2ax+1＞0的解集为R ；q ：0＜a ＜1．则p 是q 必要 （充分，必要，充要）条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】结合二次函数的性质求出a 的范围，再由集合的包含关系判断即可．【解答】解：若不等式ax 2+2ax+1＞0的解集为R ，a=0时：1＞0，成立，a≠0时：△=4a2﹣4a＜0，解得：0＜a＜1，综上，p：0≤a＜1；q：0＜a＜1，故答案为：必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意列式求出b，再由椭圆的长轴的长为4求得a，结合隐含条件求出c，则椭圆的离心率可求．【解答】解：由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，得b=．又∵2a=4，∴a=2，∴c2=a2﹣b2=2，即c=．∴e=．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，涉及了椭圆与直线的位置关系，以及点到直线的距离公式，是基础题．五、解答题：本大题共3小题，共38分.21．已知p：{x|x2﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x2﹣2x﹣（m2﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合￢P和￢q的关系，得到不等式组，解出即可．【解答】解：解法一：非p：A={x|x＜﹣2或x＞10}，非q：B={x|x＜1﹣m或x＞1+m，m＞0}．∵非p是非q的必要不充分条件，∴非p推不出非q，非q⇒非p，∴B A，结合数轴分析知，B A的充要条件是：或，解得m≥9，即m的取值范围是m≥9．解法二：∵非p是非q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件．而p：M={x|﹣2≤x≤10}，q：N={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}，∴M N，结合数轴分析知，M N的充要条件是：或，解得m≥9，∴m的取值范围是m≥9．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．22．已知方程x2+y2﹣6x+2y+m=0．（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y﹣2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）方程表示圆的时候有D2+E2﹣4F＞0，代入计算，即可求实数m的取值范围；（2）以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x1x2+y1y2=0，利用根系关系，可得结论．【解答】解：（1）方程x2+y2﹣6x+2y+m=0，由圆的一般方程知识得D=﹣6，E=2，F=m 当此方程表示圆的时候有D2+E2﹣4F＞0解之得m＜10．（2）联立直线和圆的方程，消去x并化简整理得5y2+6y+m﹣8=0设题中直线与圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则在上述方程判别式△＞0的前提下，由根系关系得到y1+y2=﹣，y1y2=．再由x=2﹣2y可得x1+x2=，x1x2=由以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x1x2+y1y2=0即+=0，解之得m=﹣．验证此时△＞0成立．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查根系关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值．【考点】椭圆的简单性质；点到直线的距离公式；椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】（1）先求出PA、F的坐标，设出P的坐标，求出、的坐标，由题意可得，且y＞0，解方程组求得点P的坐标．（2）求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M 的坐标，再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式，配方求得最小值．【解答】解：（1）由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0），设点P（x，y），则=（x+6，y），=（x﹣4，y）．由已知可得，2x2+9x﹣18=0，解得x=，或x=﹣6．由于y＞0，只能x=，于是y=．∴点P的坐标是（，）．（2）直线AP的方程是，即x﹣y+6=0．设点M（m，0），则M到直线AP的距离是．于是=|6﹣m|，又﹣6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）．设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有d2=（x﹣2）2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =（x﹣）2+15，∴当x=时，d取得最小值．【点评】本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M 的坐标，是解题的难点．。
北京一零一中2016－2017学年度第一学期期中考试高 二 数 学(文科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知)8,0(),0,4(),4,(C B x A --三点共线, 则x 的值是（ ）A. 2B. 2-C. 8-D. 6-2. 二元一次不等式0123<++y x 所表示的平面区域在直线0123=++y x 的（ ） A. 左上方B. 右下方C. 左下方D. 右上方3. 以点)2,3(-为圆心, 且与x 轴相切的圆的标准方程是（ ）A. 9)2()3(22=-++y x B. 4)2()3(22=++-y x C. 4)2()3(22=-++y xD. 9)2()3(22=++-y x4. 已知椭圆方程1422=+y x , 则椭圆中心到其准线的距离是（ ） A.33 B.334 C.338 D.554 5. 双曲线191622=-y x 上一点P 到双曲线左准线的距离是8, 那么点P 到左焦点的距离是（ ） A.532B. 10C. 72D.7732 6. 设1>k , 则关于y x ,的方程1)1(222-=+-k y x k 所表示的曲线是（ ）A. 长轴在x 轴上的椭圆B. 长轴在y 轴上的椭圆C. 实轴在x 轴上的双曲线D. 实轴在y 轴上的双曲线7. 点P 是圆122=+y x 上的动点, 它与定点)0,3(的连线段的中点的轨迹方程是（ ）A. 41)23(22=+-y x B. 1)23(22=++y x C. 4)3(22=++y xD. 1)3(22=+-y x8. 过点)2,2(-且与双曲线1222=-y x 有公共渐近线的双曲线方程是（ ） A. 14222=-y x B. 12422=-y x C. 14222=-x y D.12422=-x y二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·赣州期中) 圆锥的轴截面SAB是边长为4的正三角形（S为顶点），O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·吉林期中) 若直线l的斜率k的取值范围为[﹣1，1]，则其倾斜角α的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且m⊥α，n⊥β，则下列命题中的假命题是（）A . 若m∥n，α∥βB . α⊥β，则m⊥nC . 若α、β相交，则m、n相交D . 若m、n相交，则α、β相交4. （2分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊥n，m⊥α，nα，则n∥α；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；④若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则n∥α.其中正确的命题有（）A . ①②B . ②③C . ③④D . ②④5. （2分）如图所示的直观图的平面图形ABCD是（）A . 任意梯形B . 直角梯形C . 任意四边形D . 平行四边形6. （2分） (2017高三上·东莞期末) 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A .B . 1C .D . 27. （2分）若直线（）被圆截得的弦长为4，则的最小值为（）A .B .C . 2D . 48. （2分）若直线与圆相切，则的值是（）A .B .C .D .9. （2分）长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，长、宽、高分别为3，2，1，一只蚂蚁从点A出发沿着长方体的表面爬行到达点C'的最短路程是（）A .B . 3C .D .10. （2分） (2015高二上·福建期末) 如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1 则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二上·成都月考) 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（）A .B .C .D .12. （2分）棱长为2的正方体的外接球的表面积为（）A . 4πB . 12πC . 24πD . 48π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若函数y=ax﹣2与y=bx+3的图象与x轴交于一点，则=________14. （1分）(2017·南京模拟) 在平面直角坐标系xoy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+1）2+（y﹣2a）2=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a的取值范围为________．15. （1分）过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，已知截面是以侧棱为底边的等腰三角形，若侧面与底面所成的角为θ，则cosθ=________．16. （1分）已知A点在x轴上，B点在y轴上，且满足|AB|=3，若，则点C的轨迹方程是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）已知一个几何体的三视图如下图，大致画出它的直观图，并求出它的表面积和体积．18. （5分）已知圆C的方程为(x－1)2＋y2＝9，求过M(－2,4)的圆C的切线方程．19. （10分）解答题（1）求以A（﹣1，2），B（5，﹣6）为直径两端点的圆的方程（2）点P（a，b）在直线x+y+1=0上，求的最小值．20. （10分）如图所示，正方形ABCD的边长为2，且平面ABCD⊥平面ABE，AE=BE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求点F到平面ABCD的距离．21. （10分） (2017高一上·马山月考) 如图，是的直径，点在圆上，且四边形是平行四边形，过点作的切线，分别交延长线与延长线于点，连接 .（1）求证：是的切线；（2）已知圆的半径为2，求的长.22. （5分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD= ．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求以C为顶点，△PBD为底面的棱锥C﹣PBD的高．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
首师大附中2015-2016学年第一学期期中考试高二 数学（文） 第I 卷（共32分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）A. 100B. 150C.200D.250 2. 已知直线l 过()0,3，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程是A.20x y +-=B. +3=0x y -C.30x y +-=D.20x y -+=3. 设,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂ ，则m n ⊥ B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂ ，则//m n C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂ ，则n β⊥ D. 若m α⊥，//m n ，//n β， 则αβ⊥4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 8+8π B.816π+ C. 168π+ D. 16+16π5. 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D.双曲线的一支第四题图6. 如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个经过球心的平面截它，所得的截面图形不可能是（ ）7. 设P 是双曲线22219x y a -= ()0a >上一点，其一条渐近线方程是320x y -=，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若18PF = ，则2PF 等于（ ）A. 4B. 12C. 4或12D.2或14 8. 某三棱锥的正视图如右图所示，则在下列图①②③④中,所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（ ）① ② ③ ④ A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D.①②③④第II 卷 （共68分）二、 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. 一个圆锥底面半径是1,母线和轴的夹角是6π，则圆锥的侧面积为____________.10. 已知底面边长为1,面积为_________，体积为_________.11. 长方体1111A B C D A B C D -中，4AB =,3AD =,12AA =,点P 在棱1BB 上，则1A P P C +的最小值为____________.12. 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图）.从图中可以估计，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次洪水．．．．．．．．．．．．的最低水位是_________米13. 在直角坐标系xOy 中，1F ,2F 分别为椭圆22221x y a b+= 的左、右焦点，点P 在椭圆上，若2POF ∆______________.14. 已知正方体1111ABCD A B C D -，如图，E 是棱1AA 上动点，过点1,,D E B 作该正方体的截面与棱1CC 交于点F .设AE x =，则下列关于四棱锥11B BFD E -的命题，其中正确的序号有_________________①底面1BFD E 的面积随着x 增大而增大；②四棱锥11B BFD E -的体积随着x 增大先增大后减少； ③底面1BFD E 的面积随着x 增大先减少后增大；④四棱锥11B BFD E -的体积与x 取值无关，且总保持恒定不变三、 解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆22:2240C x y x +--=，直线50ax y -+=()0a >与圆交于A ,B 两点.（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若弦AB 的垂直平分线l 过点()2,4P -，求三角形ABC 的面积.16. 如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ,PA AD =.E F ，分别为底边AB 和侧棱PC 的中点. （I ）求证：//EF 平面PAD ; （II ）求证：EF FD ⊥FEDCBAP17. 如图1，在R t A B C ∆中，30ACB ∠=︒,90ABC ∠=︒，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ,延长AE 交BC 与F ,将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ,如图2所示 (I) 求证：平面AEF ⊥平面BCD ；(II) 在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ?若存在，请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由.CDFBACFEDBA图1 图218. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为1F ,2F ,且122F F =，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，且2AF B ∆的面积为7， 求直线l 的方程.首师大附中2015-2016学年第一学期期中考试高二 数学（文）参考答案一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9.310. 44,3ππ 11.12. 5013.114. ③④三、解答题（本大题共4小题，共44分）15.解:（I ）依题意可知：直线()':500l ax y a -+=>与圆22:2240C x y x +--=即()22125x y -+=有两个不同交点则圆心C ()1,0到直线'l 的距离d r <（r 表示圆C 的半径） 于是有：5d r =<= ⇒ 5a +< 不等式两边同时平方可得：()()225251a a +<+化简整理可得：21250a a -> ()0a > 解之得：512a >故所求实数a 的取值范围是5,12a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭（II ）由垂径定理易知：弦AB 的垂直平分线l 过圆心()10C ，又直线l 过点()2,4P -故可得直线l 的斜率404213PC k -==--- 而弦AB 所在直线'l 斜率AB k 满足1AB CP k k ⋅=-于是可得：134AB CP k k =-= 即有34AP a k == 从而弦AB 所在直线'l 的方程为3504x y -+= 即34200x y -+= 由点到直线的距离公式可得： 圆心C ()1,0 到直线'l 的距离d 为235d ==根据垂径定理：22212AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：()22222338444255255AB r d AB ⎡⎤⎛⎫=-=-=⇒=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故三角形ABC 的面积1123225ABC S AB d ∆===16. 解:（1）证明：如图所示，取线段DP 的中点G ，连接AG 、FG由题意易知：FG 为PCD ∆的中位线，故有//FG CD 且12FG CD =而//AE CD ，且1122AE AB CD ==， 于是可得：线段AE 与FG 平行且相等从而四边形AEFG 为平行四边形，得//EF AG 而EF PAD ⊄平面，AG PAD ⊆平面故由线面平行的判定定理可得：//EF PAD 平面（II ）PA ABCD ⊥底面，CD ABCD ⊂底面 ∴ PA CD ⊥由四边形ABCD 为正方形知AD CD ⊥ 又PAAD A =且,PA AD PAD ⊆平面故由线面垂直的判定定理可得：CD PAD ⊥平面而AG PAD ⊂平面，所以AG CD ⊥又在Rt PAD ∆中，,PA AD PG GD == 故有AG PD ⊥而CD PD D =，,CD PD CDP ⊂平面 从而可得：AG PCD ⊥平面由（I ）知：//EF AG 于是EF PCD ⊥平面又FD PCD ⊂平面 故有EF FD ⊥17. 解：（I ）由题意易知：AE BD ⊥，EF BD ⊥ 而AEEF E =，,AE EF AEF ⊂平面故根据线面垂直的判定定理可得：BD AEF ⊥平面又BD BCD ⊂平面，故有平面AEF ⊥平面BCD（II ）线段AF 上存在满足条件的点M 使得//EM ADC 平面，理由如下：过点E 作//EN CD 交BC 于点N ，再过点N 作//NM AC 交AF 于点M 而ENNM N =，AC CD C =.,EN NM ENM ⊂平面，,AC CD ACD ⊂平面故有平面//ENM 平面ACD又EM ENM ⊂平面 所以，//EM ACD 平面由题意易知点F 为线段BC 的三等分点，且223FC BF BC ==, 而点N 为线段BC 的中点，12CN BN BC ==于是111236FN FC NC BC BC BC =-=-= 可得点N 为线段CF 的四等分点，且3CN FN = 从而点M 为线段AF 的四等分点，且3AM FM =因此，存在线段AF 上满足条件的点M 使得//EM ADC 平面， 点M 位于线段AF 的四等分点处，且3AM FM =18. 解：（I ）依题意可设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，有焦距1222F F c == ，点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，坐标满足椭圆标准方程，于是 222223121c a b =⎧⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎪⎝⎭+=⎪⎩ 又222a b c =+解之可得：2,a b ==故所求椭圆C 的方程为22143x y += （II ）由（I ）可得椭圆C 的左焦点1F 的坐标为()1,0-①当直线l 的斜率不存在时，即直线与x 轴垂直时，易得A 、B 两点坐标分别为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 于是弦长32=32AB =⨯ 而焦距122F F =，故此时2AF B ∆的面积为2121132322AF B S AB F F ∆==⨯⨯= 不符合题意，故此种情况不成立；②当直线l 的斜率存在时，可设其为k ，则由直线的点斜式： 直线l 的方程可表示为：()1y k x =+ 将其与椭圆方程联立()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 化简整理可得：()22224384120k x k x k +++-=设A B 、两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y 由韦达定理可得：2122212284341243k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩则12x x -====法一：根据弦长公式12AB x =-=()2212143k k ==+=+由点到直线的距离公式，右焦点()21,0F到直线l 的距离为：d =于是再利用三角形的面积公式得：()22212111=2243ABF k S AB d k ∆+=⋅==+ 解得：1k =±故所求直线l 的方程为1y x =+或1y x =--即10x y -+=或10x y ++=法二：212121211221212111222ABF AF F BF F S S S F F y F F y F F y y ∆∆∆=+=+=- 而()()12121211y y k x k x k x x -=+-+=-=，122F F =于是2122ABF S ∆=⨯== 解得：1k =±故所求直线l 的方程为1y x =+或1y x =--即10x y -+=或10x y ++=。
北京高二年级上学期期中考试数学试卷（文科）本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 直线l 经过原点和点（-1，-1），则l 的倾斜角是（ ） A. 45°B. 135°C. 135°或225°D. 60°2. 点P （-1，1）关于直线ax-y+b=0的对称点是Q （3，-1），则a ，b 的值分别是（ ） A. -2，2B. 2，-2C.21，-21D.21，213. 已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m∥α，n⊥β，则（ ） A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m ⊥n4. 已知三条直线x=1，x-2y-3=0，mx+y+2=0交于一点，则m 的值为（ ） A. 1B. 2C. -1D. -25. 已知圆x 2+y 2-2x+4y+1=0与两坐标轴的公共点分别为A ，B ，C ，则△ABC 的面积为（ ） A. 3B. 23C. 2D. 46. 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则下列关系中不正确的是（ ）A. PA ⊥BCB. BC ⊥平面PACC. AC ⊥PBD. PC ⊥BC7. 已知过定点P （2，0）的直线l 与曲线y=22x -相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最大时，直线l 的倾斜角为（ ）A. 150°B. 135°C. 120°D. 30°8. 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 1，P 2分别是线段AB ，BD 1（不包括端点）上的动点，且线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1，则四面体P 1P 2AB 1的体积的最大值是（ ）A. 241B.121C.61D.21二、填空题共6小题。
北京市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·珠海期末) 在一段时间内，某种商品的价格x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表：如果y与x呈线性相关且解得回归直线的斜率为 =0.9，则的值为（）价格x（元）4681012销售量y（件）358910A . 0.2B . ﹣0.7C . ﹣0.2D . 0.72. （2分） (2016高二下·黄骅期中) 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A . 众数B . 平均数C . 中位数D . 标准差3. （2分） (2019高二上·保定月考) 学校医务室对本校高一名新生的实力情况进行跟踪调查，随机抽取了名学生的体检表，得到的频率分布直方图如下，若直方图的后四组的频率成等差数列，则估计高一新生中视力在以下的人数为（）A .B .C .D .4. （2分）从集合A={2，3，﹣4}中随机选取一个数记为k，则函数y=kx为单调递增的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·漳州模拟) 已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P（0≤ξ≤2）=0.3，则P（ξ≥4）=（）A . 0.2B . 0.3C . 0.6D . 0.86. （2分） (2019高一下·吉林期中) 如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以为直径作两个半圆．在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A .C .D .7. （2分） (2016高一下·龙岩期末) 根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A . 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B . 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C . 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D . 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关8. （2分）将某班的60名学生编号为01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是（）A . 09，14，19，24B . 10，16，22，28C . 16，28，40，52D . 08，12，16，209. （2分） 2名男生和2名女生站成一排，则2名男生相邻的概率为（）B .C .D .10. （2分）下列各数中最小的数是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高三上·寿光期末) 如图，六边形是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则恰好取在图中阴影部分的概率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·长春月考) 甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用如图所示的茎叶图表示，s1 ， s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是（）．A . s1＞s2B . s1＝s2C . s1＜s2D . 不确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·惠来期末) 某校高二（4）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个调查小组，调查该校学生对2013年1月1日起执行的新交规的知晓情况，已知某男生被抽中的概率为，则抽取的女生人数为________．14. （1分） (2019高二下·大庆期末) 若，且，，则________.15. （1分）(2017·上海模拟) 盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为________．16. （1分）甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污染，记甲、乙的平均成绩为则的概率是________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高二下·蚌埠期末) 随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民的休闲方式是否与性别有关，得到下面的数据表：休闲方式看电视运动合计性别男性201030女性45550合计651580（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人是以运动为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为休闲方式与性别有关系？P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2= ），其中n=a+b+c+d）18. （5分）(2017·河北模拟) 某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将此试验重复n轮，第n轮的点数分别记为xn ， yn ，如果点数满足xn＜，则认为第n轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束．（Ⅰ）求第一轮闯关成功的概率；（Ⅱ）如果第i轮闯关成功所获的奖金数f（i）=10000× （单位：元），求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率；（Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量X，求x的分布列和数学期望．19. （5分）已知函数f（x）=且f[f（）]=（Ⅰ）求实数p的值；（Ⅱ）若方程f（x）﹣m=0有3个不同的解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若x∈[﹣1，16]时，f（x）≤n+1恒成立，求实数n的取值范围．20. （15分） (2016高二下·郑州期末) 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．患心肺疾病不患心肺疾病合计男5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821. （15分） (2017高二下·河北开学考) 某市一高中经过层层上报，被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校．该校成立了特色足球队，队员来自高中三个年级，人数为50人．视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查．测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[4.75，4.85），第二组[4.85，4.95），…，第6组[5.25，5.35]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布N（5.01，0.0064）．参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况；（2）求这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数；（3）在这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．22. （10分）(2020·盐城模拟) 一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为，①求的概率分布；②求 .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
