高考数学学困生专用精品复习资料(09)(教师版)

第九章 平面解析几何第1课时 直线的倾斜角与斜率⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）111～112页 （理）116～117页1. (原创)设m 为常数，则过点A(2，－1)，B(2，m)的直线的倾斜角是________． 答案：90°解析：因为过点A(2，－1)，B(2，m)的直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为π2.2. (必修2P 80第1题改编)过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________．答案：1解析：由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.3. (原创)若过点P(1－a ，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案：－2＜a ＜1解析：tan α＝2a －（1＋a ）3－（1－a ）＝a －12＋a .由a －12＋a ＜0，得－2＜a ＜1.4. (必修2P 70练习4改编)已知A(－1，23)，B(0，3a)，C(a ，0)三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α＝________．答案：2π3解析：若a ＝0，则B ，C 重合，不合题意，从而由A ，B ，C 三点共线得k AB ＝k BC ，即3a －230＋1＝0－3a a －0，解得a ＝1.从而B(0，3)，此三点所在直线的斜率为k AB ＝3－230＋1＝－3，即tan α＝－3，而α∈[0，π)，所以α＝2π3.5. 设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6，则直线l 的斜率k 的取值范围是______________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)解析：由k ＝tan α关系图(如下)知k∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)．1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时，所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0；直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)．2. 直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同．3. 过两点的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.题型1 直线的倾斜角和斜率之间的关系, 1) 如果三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x－y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为____________．答案：α1＜α2＜α3解析：由tan α1＝k 1＝1>0，所以α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.tan α2＝k 2＝－12<0，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α2>α1.tan α3＝k 3＝－13<0，所以α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α3>α1，而－12<－13，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以α3>α2.综上，α1<α2<α3.变式训练如果下图中的三条直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1、k 2、k 3从小到大的排列顺序为____________．答案：k 1<k 3<k 2解析：设三条直线的倾斜角分别为α1，α2，α3.由题图知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，另外，tan α2＝k 2>0，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α3＝k 3>0，α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，而α3<α2，正切函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以， k 3<k 2.综上，k 1<k 3<k 2.题型2 求直线的倾斜角和斜率, 2) 已知点M(－4，3)，N(2，15)，若直线l 的倾斜角是直线MN 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．解：设直线l 的倾斜角是θ，则直线MN 的倾斜角为2θ，由已知得tan2θ＝k MN ＝15－32＋4＝2，即2tan θ1－tan 2θ＝2， 所以tan 2θ＋tan θ－1＝0，解得tan θ＝－1＋52或tan θ＝－1－52，由tan2θ＝2>0知，2θ必为锐角，从而θ为锐角，故tan θ＝－1＋52.备选变式（教师专享）已知点A(－3，1)，点B 在y 轴上，直线AB 的倾斜角为2π3，求点B 的坐标．解：B 点的坐标设为(0，y)，再利用k ＝tan θ以及两点求斜率公式tan120°＝y －10＋3，得y ＝－2，所以B 的坐标为(0，－2)．题型3 求直线的倾斜角和斜率的取值范围, 3) (2014·苏州调研)经过P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A(1，－2)、B(2，1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________．答案：[－1，1] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k PA <0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．又k PA ＝－2－（－1）1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴ －1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k<0时，3π4≤α<π. 故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.备选变式（教师专享）直线l 经过A(2，1)、B(1，m 2)(m∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是________．答案：α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：k ＝tan α＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.1. (2014·山西联考)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.2. 已知点A(1，3)，B(－2，－1)，若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12 解析：由题意知直线l 恒过定点P(2，1)，如图．若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB .∵ k PA ＝－2，k PB ＝12，∴ －2≤k≤12.3. 已知实数x 、y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，求z ＝y ＋1x的最大值与最小值．解：y ＋1x表示过点A(0，－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点(x ，y)的直线的斜率．如图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y ＝kx－1，即kx －y －1＝0，则|2k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝4±73.因此，z max ＝4＋73，z min ＝4－73.4. 如图所示，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的斜率．解： 由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan (180°－30°)＝－33，所以射线OA 的方程为y ＝x(x≥0)，射线OB 的方程为y ＝－33x (x≥0)． 设A(m ，m)，B(－3n ，n)，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32.1. 已知x 轴上的点P 与点Q(－3，1)连线所成直线的倾斜角为30°，则点P 的坐标为________．答案：(－23，0)解析：设P(x ，0)，由题意k PQ ＝tan30°＝33，即1－3－x ＝33，解得x ＝－23，故点P 的坐标为(－23，0)．2. 有以下几个命题：① 直线的倾斜角越大，则斜率越大； ② 垂直于x 轴的直线没有方程；③ 若直线的斜率为a ，则其倾斜角正切值一定为tana ；④ 只要直线不过坐标原点，则它一定可以用截距式方程式表示； ⑤ 斜率存在的直线，其倾斜角一定不等于90°. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：⑤解析：根据直线的倾斜角与斜率的关系，可知①不正确，⑤正确；x ＝a(a∈R )是垂直于x 轴的直线，所以②错误；直线倾斜角的正切值是斜率，所以③错误；不过原点但垂直于坐标轴的直线不可以用截距式方程式表示，所以④错误； 故答案为⑤.3. 已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．答案： 3解析：由k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴ 所得直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.4. 直线ax ＋y ＋1＝0与连结A(2，3)、B(－3，2)的线段相交，则a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：直线ax ＋y ＋1＝0过定点C(0，－1)，当直线处在AC 与BC 之间时，必与线段AB相交，即应满足－a≥3＋12或－a≤2＋1－3，得a≤－2或a≥1.1. 求斜率要熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，倾斜角与斜率的关系是k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，因此求倾斜角的取值范围通常需从斜率的范围入手，而求斜率的范围则常需考虑倾斜角的取值范围，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．请使用课时训练(B )第1课时(见活页)．第2课时 直线的方程⎝⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）113～115页 （理）118～120页1. 把直线方程Ax ＋By ＋C ＝0(ABC≠0)化成斜截式为________________，化成截距式为________________．答案：y ＝－A B x －C B x －C A ＋y－CB＝1解析：因为ABC≠0，即A≠0，B ≠0，C ≠0，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．斜截式为y ＝－A B x －C B ，截距式为x －C A ＋y－CB＝1.2. (必修2P 77习题3改编)直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．答案：6解析：直线3x －4y ＋12＝0在x 轴上的截距为－4，在x 轴上的截距为3，因此它与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|－4|×3＝6.3. 下列四个命题：① 过点P(1，－2)的直线可设为y ＋2＝k(x －1)；② 若直线在两轴上的截距相等，则其方程可设为x a ＋ya ＝1(a≠0)；③ 经过两点P(a ，2)，Q(b ，1)的直线的斜率k ＝1a －b；④ 如果AC<0，BC>0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第二象限． 其中正确的是_____________．(填序号) 答案：④4. (必修2P 74练习3改编)过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．答案：y ＝－43x 或x －y －7＝0解析：① 当直线过原点时，直线方程为y ＝－43x ；② 当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，即x －y ＝a.代入点(3，－4)，∴ a ＝7，即直线方程为x －y －7＝0. 5. (必修2P 73练习3改编)若一直线经过点P(1，2)，且在y 轴上的截距与直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距相等，则该直线的方程是________．答案：3x －y －1＝0解析：直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距为－1，由题意，所求直线过点(0，－1)，又所求直线过点P(1，2)，故由两点式得直线方程为y ＋1x －0＝2＋11－0，即3x －y －1＝0.1. 直线方程的五种形式111222(1) 若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1． (2) 若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1． (3) 若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0． (4) 若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0． (5) 直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系如下表：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． [备课札记]题型1 求直线方程, 1) (必修2P 115复习题5、6改编)已知直线l 过点P(5，2)，分别求满足下列条件的直线方程．(1) 直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍；(2) 直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为52.解：(1) 当直线l 过原点时，l 的斜率为25，∴ 直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线l 不过原点时，设方程为x 2a ＋y a ＝1，将x ＝5，y ＝2代入得a ＝92，∴ 直线方程为x ＋2y －9＝0.综上：l 的方程为2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0. (2) 显然两直线与x 轴不垂直．∵ 直线l 经过点P(5，2)，∴ 可设直线l 的方程为y －2＝k(x －5)(k≠0)，则直线在x 轴上的截距为5－2k ，在y 轴上的截距为2－5k ，由题意，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－2k ·|2－5k|＝52，即(5k －2)2＝5|k|.当k>0时，原方程可化为(5k －2)2＝5k ，解得k ＝15或k ＝45；当k<0时，原方程可化为(5k －2)2＝－5k ，此方程无实数解；故直线l 的方程为y －2＝15(x －5)或y －2＝45(x －5)，即x －5y ＋5＝0或4x －5y －10＝0.变式训练(2014·常州模拟)过点P(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0解析：分两种情况：(1)直线l 过原点时，l 的斜率为－32，∴ 直线方程为y ＝－32x ；(2) l 不过原点时，设方程为x a ＋ya＝1，将x ＝－2，y ＝3代入得a ＝1，∴ 直线方程为x ＋y ＝1.综上：l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0.题型2 含参直线方程问题, 2) (2014·银川改编)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R )．(1) 若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2) 若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围； (3) 求证：无论a 为何实数值，直线l 恒过一定点M.(1) 解：当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴ a＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴ a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴ a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2) 解：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，∴ a≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． (3) 证明：∵ (x－1)a ＋(x ＋y ＋2)＝0，∴ 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.故直线l 恒过定点M(1，－3)．备选变式（教师专享）直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B.点O 是坐标原点． (1) 当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程； (2) 当||MA ||MB 最小时，求直线l 的方程．解：(1) 如图，设||OA ＝a ，||OB ＝b ，△ABO 的面积为S ，则S ＝12ab ，并且直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，由直线通过点(2，1)，得2a ＋1b＝1，所以a 2＝11－1b＝b b －1.因为A 点和B 点在x 轴、y 轴的正半轴上，所以上式右端的分母b －1>0.由此得S ＝a 2×b ＝b b －1×b ＝b 2－1＋1b －1＝b ＋1＋1b －1＝b －1＋1b －1＋2≥2＋2＝4.当且仅当b －1＝1b －1，即b ＝2时，面积S 取最小值4，这时a ＝4，直线的方程为x 4＋y2＝1.即直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.(2) 如上图，设∠BAO＝θ，则||MA ＝1sin θ，||MB ＝2cos θ， 所以||MA ||MB ＝1sin θ·2cos θ＝4sin2θ， 当θ＝45°时，||MA ||MB 有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l 的方程为x ＋y －3＝0.题型3 直线方程的综合应用, 3) 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a∈R )．(1) 当a ＝1时，直线l 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点．若动点P(m ，n)在线段AB 上，求mn 的最大值；(2) 若a>－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，求△OMN 面积取最大值时，直线l 的方程．解：(1) 当a ＝1时，直线l 的方程为2x ＋y －3＝0，可化为2x 3＋y3＝1.由动点P(m ，n)在线段AB 上可知0≤m≤32，0≤n ≤3，且2m 3＋n 3＝1，∴ 1≥22m 3·n 3，∴ mn ≤98.当且仅当2m 3＝n 3时等号成立，可解得m ＝34，n ＝32，故mn 的最大值为98. (2) 由直线方程可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0、N(0，2＋a)，又a>－1，故S △OMN＝12×2＋a a ＋1×(2＋a)＝12×（a ＋1）2＋2（a ＋1）＋1a ＋1＝12×[(a ＋1)＋1a ＋1＋2]≥12×⎝⎛⎭⎪⎫2（a ＋1）×1a ＋1＋2＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0或a ＝－2(舍去)时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 备选变式（教师专享）直线l 经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． 解：(解法1：借助点斜式求解)由于直线l 在两轴上有截距，因此直线不与x 、y 轴垂直，斜率存在，且k≠0.设直线方程为y －2＝k(x －3)，令x ＝0，则y ＝－3k ＋2；令y ＝0，则x ＝3－2k.由题设可得－3k ＋2＝3－2k ，解得k ＝－1或k ＝23.故l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)．即直线l 的方程为x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (解法2：利用截距式求解)由题设，设直线l 在x 、y 轴的截距均为a. 若a ＝0，则l 过点(0，0)．又过点(3，2)，∴ l 的方程为y ＝23x ，即l ：2x －3y ＝0.若a≠0，则设l 为x a ＋ya ＝1.由l 过点(3，2)，知3a ＋2a＝1，故a ＝5.∴ l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.1. (2014·海淀模拟改编)直线l 经过点A(1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．答案：k>12或k<－1解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k(x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k，令－3<1－2k <3，解不等式可得k>12或k<－1.(也可以利用数形结合)2. (2014·长春调研改编)一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是________．(填序号)① m>1，且n<1；② mn<0；③ m>0，且n<0；④ m<0，且n<0. 答案：②解析：因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，且1n<0，即m>0，且n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选填②.3. 直线l 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为________．答案：8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0解析：设所求直线l 的方程为x a ＋yb＝1，∵ 直线l 过点P(－5，－4)，∴ －5a ＋－4b ＝1，即4a ＋5b ＝－ab.又由已知有12|a|·|b|＝5，即|ab|＝10，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab|＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.故所求直线l 的方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1.即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.4. (2014·银川联考)已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，若动点P(a ，b)在线段AB 上，则ab 的最大值为________．答案：12解析：由题意知A(2，0)，B(0，1)，所以线段AB 的方程可表示为x2＋y ＝1，x ∈[0，2]，又动点P(a ，b)在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0，2]，又a 2＋b≥2ab 2，所以1≥2ab2，解得0≤ab≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，ab 取得最大值12. 5. 已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1) △ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2) BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1) 平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得一般式方程为6x －8y－13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2) 因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117－y11＝1.6. (原创)若直线l 的方程为(2m 2－m －1)x ＋(m 2－m)y ＋4m －1＝0，求： (1) 参数m 的取值集合；(2) 若直线l 的斜率不存在，试确定直线l 在x 轴上的截距；(3) 若直线l 在y 轴上的截距等于直线4x －y －2＝0的斜率，求直线l 的方程．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故参数m 的取值集合为{m|m≠1}．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1≠0，m 2－m ＝0，解得m ＝0，故直线方程为－x －1＝0，即x ＝－1，故直线l 在x轴上的截距为－1.(3) 直线l 在y 轴上的截距存在时，截距为1－4mm 2－m，又直线4x －y －2＝0的斜率为4，所以1－4m m 2－m ＝4，解得m ＝±12，所以直线l 的方程为4x ＋y －4＝0或y ＝4.1. 直线x ＋a 2y －a ＝0(a>0，a 是常数)，当此直线在x 、y 轴上的截距和最小时，a ＝________．答案：1解析：方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a>0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号．2. (原创)如果AC<0且BC>0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第________象限．答案：二解析：由已知条件知A ，B ，C 均不为0，直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA>0，直线一定过一、四象限，又直线在y 轴上的截距－CB<0，故直线一定过三、四象限，故直线不通过第二象限．3. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y)为整点．下列命题中正确的是________．(填序号)．① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③ 直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④ 直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线． 答案：①③⑤解析： ①正确．比如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点．②错误．直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)．③正确．当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点．④错误．当k＝0，b ＝13时，直线y ＝13不通过任何整点．⑤正确．比如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1，0)．4. 不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 答案：(－2，3)解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. 5. 对直线l 上任一点(x ，y)，点(4x ＋2y ，x ＋3y)仍在此直线上，求直线方程． 解：设直线方程Ax ＋By ＋C ＝0， ∴ A(4x ＋2y)＋B(x ＋3y)＋C ＝0， 整理得(4A ＋B)x ＋(2A ＋3B)y ＋C ＝0，∴ 上式也是l 的方程，当C≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧A ＝4A ＋B ，B ＝2A ＋3B ，∴ A ＝B ＝0，此时直线不存在；当C ＝0时，两方程表示的直线均过原点，应有斜率相等，故－A B ＝－4A ＋B2A ＋3B，∴ A ＝B或B ＝－2A ，∴ 所求直线方程为x ＋y ＝0或x －2y ＝0.1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情况．2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．请使用课时训练(A )第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时 直线与直线的位置关系⎝⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）116～118页 （理）121～123页1. (必修2P 93练习1改编)已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于________．答案：2－1解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴ |a ＋1|＝2，又a ＞0，∴ a ＝2－1.2. (必修2P 85习题7改编)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________．答案：－1解析：由l 1∥l 2得a(a －2)－3＝0且2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.3. 经过点(－2，3)，且与直线2x ＋y －5＝0平行的直线方程为________． 答案：2x ＋y ＋1＝0解析：由题意，所求直线的斜率与直线2x ＋y －5＝0的斜率相同为－2，又过点(－2，3)，所以直线方程为y －3＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋1＝0.4. (必修2P 85习题3改编)已知直线l 过两条直线3x ＋2y －1＝0和2x －3y ＋8＝0的交点，且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是________．答案：3x ＋2y －1＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，2x －3y ＋8＝0，得两直线的交点坐标为(－1，2)，又由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.5. (必修2P 106习题18改编)已知直线l ：y ＝3x ＋3，那么直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程为____________．答案：7x ＋y ＋22＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0，得交点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92.又直线x －y －2＝0上的点Q(2，0)关于直线l 的对称点为Q ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－175，95，故所求直线(即PQ′)的方程为y ＋92－95－92＝x ＋52175－52，即7x ＋y ＋22＝0.1. 两条直线的位置关系设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．若方程组有无数个解，则两直线方程表示的直线重合．3. 几种距离(1) 两点间的距离平面上的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)间的距离公式：d(A ，B)＝AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (2) 点到直线的距离点P(x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B2. (3) 两条平行线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.[备课札记]题型1 两直线的平行与垂直, 1) 两条直线l 1：(m ＋3)x ＋2y ＝5－3m ，l 2：4x ＋(5＋m)y ＝16，分别求满足下列条件的m 的值．(1) l 1与l 2相交； (2) l 1与l 2平行； (3) l 1与l 2重合； (4) l 1与l 2垂直．解：可先从平行的条件a 1a 2＝b 1b 2(化为a 1b 2＝a 2b 1)着手．由m ＋34＝25＋m，得m 2＋8m ＋7＝0，解得m 1＝－1，m 2＝－7.由m ＋34＝5－3m 16，得m ＝－1.(1) 当m≠－1且m≠－7时，a 1a 2≠b 1b 2，l 1与l 2相交．(2) 当m ＝－7时，a 1a 2＝b 1b 2≠c 1c 2.l 1∥l 2.(3) 当m ＝－1时，a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，l 1与l 2重合．(4) 当a 1a 2＋b 1b 2＝0，即(m ＋3)·4＋2·(5＋m)＝0，即m ＝－113时，l 1⊥l 2.变式训练已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1) 试判断l 1与l 2是否平行； (2) l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1) (解法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(解法2)由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a(a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a(a 2－1)－1×6≠0，∴ l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行． (2) (解法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2； 当a≠1且a≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1a ＝23.(解法2)由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋2(a －1)＝0a ＝23.题型2 两直线的交点, 2) (2014·江苏联考)已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P(1，2)．① 若点A 、B 在直线l 的同侧，则l∥AB.而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.② 若点A 、B 在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0. 备选变式（教师专享）已知直线l 经过点P(3，1)，且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l 的方程．解：(解法1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A′(3，－4)和B ′(3，－9)，截得的线段AB 的长||AB ＝||－4＋9＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k(x －3)＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）＋1x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）＋1x ＋y ＋6＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1. 由||AB ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋(－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋1)2＝52.解之，得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1. 综上可知，所求l 的方程为x ＝3或y ＝1. (解法2)由题意，直线l 1、l 2之间的距离为d ＝||1－62＝522，且直线l 被平行直线l 1、l2所截得的线段AB 的长为5(如图)．设直线l 与直线l 1的夹角为θ，则sin θ＝52 25＝22，故θ＝45°.由直线l 1：x ＋y ＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l 的倾斜角为0°或90°.又直线l 过点P(3，1)，故直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.(解法3)设直线l 与l 1、l 2分别相交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0.两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5. ①又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25， ②联立①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝5，y 1－y 2＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0，y 1－y 2＝5，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°或90°. 故所求直线方程为x ＝3或y＝1.题型3 点到直线及两平行直线之间的距离, 3) 已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ① 点P 在第一象限；② 点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③ 点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解：(1) 直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋（－1）2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72. 又a ＞0，解得a ＝3.(2) 假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝2|x 0＋y 0－1|5×2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12；(舍去) 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件． 备选变式（教师专享）已知点P 1(2，3)、P 2(－4，5)和A(－1，2)，求过点A 且与点P 1、P 2距离相等的直线方程．解：(解法1)设所求直线方程为y －2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由点P 1、P 2到直线的距离相等得||2k －3＋k ＋2k 2＋1＝||－4k －5＋k ＋2k 2＋1. 化简得||3k －1＝||－3k －3，则有3k －1＝－3k －3或3k －1＝3k ＋3，解得k ＝－13或方程无解．方程无解表明这样的k 不存在，但过点A ，所以直线方程为x ＝－1，它与P 1、P 2的距离都是3.∴所求直线方程为y －2＝－13(x ＋1)或x ＝－1.(解法2)设所求直线为l ，由于l 过点A 且与P 1、P 2距离相等，所以l 有两种情况，如下图：①当P 1、P 2在l 的同侧时，有l∥P 1P 2，此时可求得l 的方程为y －2＝5－3－4－2(x ＋1)，即y －2＝－13(x ＋1)；②当P 1、P 2在l 的异侧时，l 必过P 1、P 2的中点(－1，4)，此时l 的方程为x ＝－1.∴所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)或x ＝－1.题型4 对称问题, 4) 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1) 点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2) 直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3) 直线l 关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 解：(1) 设A′(x，y)，再由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴ A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2) 在直线m 上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l 的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4，3)．∵ m ′经过点N(4，3)，∴ 由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0.(3) 设P(x ，y)为l′上任意一点，则P(x ，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x ，－4－y)．∵ P ′在直线l 上，∴ 2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 备选变式（教师专享）在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P(如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于________．答案：43解析：以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，从而P(x ，0)，x ∈(0，4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4，4－x)，P 2(－x ，0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线，所以4343＋x ＝43－（4－x ）43－4，求得x ＝43.题型5 三角形中的直线问题, 5) 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，且A 、B 的坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状．解：由题意画出草图(如图所示)．设点A(－4，2)关于直线l ：y ＝2x 的对称点为A′(a，b)，则A′必在直线BC 上．以下先求A′(a，b)．由对称性可得⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4＝－12，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴ A ′(4，－2)．∴ 直线BC 的方程为y －1－2－1＝x －34－3，即3x ＋y －10＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，得C(2，4)． ∴ k AC ＝13，k BC ＝－3，∴ AC⊥BC.∴ △ABC 是直角三角形． 备选变式（教师专享）已知△ABC 的顶点为A(3，－1)，AB 边上的中线所在的直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在的直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在的直线方程．解：设B(4y 1－10，y 1)，由AB 的中点在6x ＋10y －59＝0上，可得6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，解得y 1 ＝ 5，所以B 为(10，5)．设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A′(x′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x′＋32－4·y′－12＋10＝0，y ′＋1x′－3·14＝－1 A ′(1，7)．故BC 边所在的直线方程为2x ＋9y －65＝0.1. (2014·长沙模拟)已知过点A(－2，m)和点B(m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n ＝________．答案：－10解析：∵ l 1∥l 2，∴ k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.∵ l 2⊥l 3，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1， 解得n ＝－2，∴ m ＋n ＝－10.2. 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案：(2，4)解析：由题可知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，四边形ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2（x －1），y －5＝－（x －1），得交点坐标为(2，4)． 3. 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________． 答案：3x ＋4y ＋5＝0 解析：与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y)＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.4. m 为何值时，直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0不能围成三角形？解：先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况．① 若m≠0，则k 1＝－4，k 2＝－m ，k 3＝23m ，当m ＝4时，k 1＝k 2；当m ＝－16时，k 1＝k 3；而k 2与k 3不可能相等．② 若m ＝0，则l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：y ＝0，l 3：x －2＝0，此时三条直线能围成三角形．∴ 当m ＝4或m ＝－16时，三条直线不能围成三角形．再考虑三条直线共点的情况，此时m≠0且m≠4且m≠－16.将y ＝－mx 代入4x ＋y －4＝0，得x ＝44－m，即l 1与l 2交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m，－4m 4－m ，将P 点坐标代入l 3的方程得84－m ＋12m 24－m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝23.∴ 当m ＝－1或m ＝23时，l 1，l 2，l 3交于一点，不能围成三角形．综上所述，当m 为－1或－16或23或4时，三条直线不能围成三角形．1. 若动点A 、B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为______．答案：3 2解析：依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2|m ＋7|＝|m ＋5|m ＝－6，所以l 的方程为x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|6|2＝3 2.2. (2014·济南模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝________．答案：－1或2解析：若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线若平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.3. (2014·金华调研)当0<k<12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．答案：二解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k<12，所以k k －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限． 4. 已知△ABC 的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程．解：设A 点关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A′(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2·x 1－12－3·y 1＋52＋6＝0，y 1－5x 1＋1＝－32，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3y 1－5＝0，3x 1＋2y 1－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3113，y 1＝－113，即A′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113，同理，点B 关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3613，4113. ∵ 角平分线是角的两边的对称轴，∴ A ′点在直线BC 上．∴ 直线BC 的方程为y ＝－113－（－1） 3113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0.同理，直线AC 的方程为y －5＝5－4113－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3613(x ＋1)，整理得24x －23y ＋139＝0.直线AB 的方程为y ＝5－（－1）－1－0x －1，整理得6x ＋y ＋1＝0.1. 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．2. 在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式，否则会出错．3. 对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1) 中心对称① 点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P′(x′，y ′)满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y ′＝2b －y. ② 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2) 轴对称① 点A(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A ′(m ，n)，则有n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B·b ＋n2＋C ＝0.② 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．。

2018高考数学一轮复习第9章算法初步、统计与统计案例重点强化课5 统计与统计案例教师用书文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学一轮复习第9章算法初步、统计与统计案例重点强化课5 统计与统计案例教师用书文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高考数学一轮复习第9章算法初步、统计与统计案例重点强化课5 统计与统计案例教师用书文北师大版的全部内容。

重点强化课（五) 统计与统计案例［复习导读] 本章是新课程改革增加内容，是命题的热点，以算法框图、回归分析、统计图表为重点，以客观题为主．命题注重背景新颖、角度灵活．但近几年统计与统计案例、统计与概率交汇,加大了考查力度。

2015年、2016年全国卷均以解答题的形式呈现，强化统计思想方法和创新应用意识的考查，复习过程中应引起注意，多变换角度，注重新背景、新材料题目的训练．重点1 算法框图及应用☞角度1 算法框图与数列交汇执行如图1的算法框图，如果输入的N＝100，则输出的X＝（)【导学号：66482443】A．0。

95 B．0。

98C．0。

99 D．1.00图1C［由算法框图知，输出的X表示数列错误!的前99项和，∴X＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!.］☞角度2 算法框图与统计的渗透（2017·合肥模拟）随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图2，在样本的20人中，记身高在[150，160），[160,170)，[170，180），［180,190)的人数依次为A1，A2,A3,A4。

第九章 统计与统计案例第一节 随机抽样[考情展望] 1.考查随机抽样方法以及有关的计算，特别是分层抽样和系统抽样的应用是考查的重点.2.以选择题和填空题形式考查为主，有时在解答题中与概率统计的有关问题相结合进行综合考查．一、简单随机抽样1．设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．最常用的简单随机抽样的方法有两种：抽签法和随机数表法． 二、系统抽样假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． 1．先将总体的N 个个体编号．2．确定分段间隔k ，对编号进行分段，当Nn 是整数时，取k ＝N n ，当N n不是整数时，随机从总体中剔除余数，再取k ＝[N n]．3．在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )．4．按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本．这种抽样方法是一种系统抽样． 三、分层抽样1．定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样．2．应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．1．某科考队有男队员56人，女队员42人，用分层抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为14的样本，则男、女队员各抽取的人数分别为( )A．6,8 B．8,6 C．9,5 D．5,9【答案】 B2．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是( )A．随机抽样B．分层抽样C．系统抽样D．以上都不是【答案】 C3．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次为( )A．①简单随机抽样法，②系统抽样法B．①分层抽样法，②简单随机抽样法C．①系统抽样法，②分层抽样法D．①②都用分层抽样法【答案】 B4．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型产品有16件，那么此样本容量n ＝ .【答案】805．(2014·广东高考)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A．50 B．40C．25 D．20【答案】 C6．(2014·湖南高考)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3【答案】 D考向一 [159] 简单随机抽样下列抽样方法是简单随机抽样的是( )A．从50个零件中一次性抽取5个做质量检验B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验C．从实数集中逐个抽取10个正整数分析奇偶性D．运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道【答案】 D规律方法1 1.简单随机抽样需满足：(1)抽取的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．2．简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数表法(适用于个体数较多的情况)．对点训练从30个个体中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为( )9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 16405858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 78142889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 38155131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 27029055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488A．76,63,17,00 B．16,00,02,30C．17,00,02,25 D．17,00,02,07【答案】 D考向二 [160] 系统抽样及其应用将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9【答案】 B规律方法2 1.如果总体容量N 能被样本容量n 整除，则抽样间隔为k ＝Nn，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样．特别注意，每个个体被抽到的机会均是n N.2．系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．对点训练 高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本．已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为( )A ．30B ．25C ．20D ．15 【答案】 C考向三 [161] 分层抽样及其应用(2014·重庆高考)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．250 【答案】 A规律方法3 1.对于分层抽样的理解应注意：(1)分层抽样适用于由差异明显的几部分组成的情况；(2)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样；(3)分层抽样充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性；(4)分层抽样也是等概率抽样，而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法，因此应用较为广泛．2．在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N .对点训练 (2014·湖北高考)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件．【答案】 1800规范解答之十七 抽样方法综合应用问题求解指南 —————————— [1个示范例] ——————(12分)某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？ (3)若要抽20人调查对韩国亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？ 【规范解答】 (1)按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取，1分 抽取比例为402 000＝150故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人，(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取， 抽取比例为252 000＝180，6分故管理，技术开发，营销，生产各抽取2人，4人，6人，13人. (3)用系统抽样对全部2 000人随机编号，号码从1～2000，每100号分为一组，从第一组中用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1 900，共20人组成一个样本.【名师寄语】 (1)本题审题的关键有两点，一是对图表中的人员分类情况和数据要审视清楚；二是对样本的功能要审视准确．(2)本题易错点是，对于第(2)问，由于对样本功能审视不准确，按老、中、青三层分层抽样．———————— [1个规范练] ———————(1)一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生 人．(2)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为 ．【解析】 (1)50×240600＝20.(2)采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，第k 组的号码为(k －1)30＋9，令451≤(k －1)30＋9≤750，而k ∈Z ，解得16≤k ≤25，则满足16≤k ≤25的整数k 有10个．【答案】 (1)20 (2)10课时限时检测(五十四) 随机抽样(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2013·江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )【答案】 D2．(2013·课标全国卷Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样【答案】 C3．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( ) A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32【答案】 B4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A．6 B．8C．10 D．12【答案】 B5．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2， (270)使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样【答案】 D6．某校共有学生2 000名，各年级男、女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A.24C．16 D．12【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人，现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有 ．【答案】 68．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为 ．【答案】 1 2119．某单位200名职工的年龄分布情况如图9－1－1所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 ．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人．图9－1－1【答案】 37 20三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)一工厂生产了某种产品16 800件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检验这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数依次组成一个等差数列，求乙生产线生产的产品数．【解】 因为甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数依次组成一个等差数列．则可设三项分别为a －x ，a ，a ＋x .故样本容量为(a －x )＋a ＋(a ＋x )＝3a ，因而每个个体被抽到的概率为3a 16 800＝a5 600.所以乙生产线生产的产品数为aa5 600＝5 600. 11．(12分)某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .【解】 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n2.所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量为n ＝6.12．(13分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．【解】 (1)设登山组人数为x ，游泳组中青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x＝10%，解得b ＝50%，c ＝10%，则a ＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%. (2)游泳组中抽取的青年人数为200×34×40%＝60(人)；抽取的中年人数为200×34×50%＝75(人)；抽取的老年人数为200×34×10%＝15(人)．第二节 用样本估计总体[考情展望] 1.考查样本的频率分布(分布表、直方图、茎叶图)中的有关计算，样本特征数(众数、中位数、平均数、标准差)的计算.2.考查以样本的分布估计总体的分布(以样本的频率估计总体的频率、以样本的特征数估计总体的特征数．)3.题型以选择题和填空题为主，属于中、低档题．一、作频率分布直方图的步骤1．求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． 2．决定组距与组数． 3．将数据分组． 4．列频率分布表． 5．画频率分布直方图．频率分布直方图的特点(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距. (2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因此在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．二、频率分布折线图和总体密度曲线1．频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．2．总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．三、茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．用茎叶图表示数据的两个优点一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．四、标准差和方差1．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离． 2．标准差：s ＝1nx 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2].3．方差：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)．平均数、方差的公式推广①若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .②数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2.(Ⅰ)数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2； (Ⅱ)数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.1．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图9－2－1所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )图9－2－1A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92【答案】 A2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9[23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( )A.16B.13C.12D.23【答案】 B3．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图9－2－2中可以看出被处罚的汽车大约有( )图9－2－2A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆【答案】 B4．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝ .【答案】 3.25．(2014·江苏高考)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图9－2－3所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm.图9－2－3【答案】246．(2013·湖北高考)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为；(2)命中环数的标准差为．【答案】(1)7 (2)2考向一 [162] 频率分布直方图及其应用(2014·北京高考)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：图9－2－4(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； (2)求频率分布直方图中的a ，b 的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)【尝试解答】 (1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)．所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－10100＝0.9.从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9. (2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17， 所以a ＝频率组距＝0.172＝0.085.课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25， 所以b ＝频率组距＝0.252＝0.125.(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．规律方法1 (1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积之和为1.(2)对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据．对点训练 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图9－2－5所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：图9－2－5(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分．【解】(1)设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，可得x＝0.3，所以频率分布直方图如图所示．(2)平均分为：x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)．考向二 [163] 茎叶图的绘制及应用从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图9－2－6表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x甲、x乙和中位数y甲、y乙进行比较，下面结论正确的是( )图9－2－6A.x甲＞x乙，y甲＞y乙B.x甲＜x乙，y甲＜y乙C.x甲＜x乙，y甲＞y乙D.x甲＞x乙，y甲＜y乙【答案】 B规律方法2 由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断．对点训练(2013·课标全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.23．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.12．3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.31．4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.22．7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【解】 (1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制茎叶图如图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好．考向三 [164] 数字特征的总体估计甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图9－2－7.图9－2－7(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． 【尝试解答】 (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分．x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由s 2甲＞s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．规律方法3 1.平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体一种简明的阐述，平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据的稳定程度．进行均值与方差的计算，关键是正确运用公式．2．平均数与方差所反映的情况有着重要的实际意义，一般可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种可以做出评价或选择．对点训练 (2014·湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b －)，(a ，b )，(a －，b )，(a －，b －)，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b －)，(a ，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b )．其中a ，a －分别表示甲组研发成功和失败；b ，b －分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 【解】 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1， 其平均数为x －甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－232×10＋⎝⎛⎭⎪⎫0－232×5＝29.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1， 其平均数为 x －乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－352×9＋⎝⎛⎭⎪⎫0－352×6＝625.因为x －甲>x －乙，s 2甲<s 2乙， 所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a ，b －)，(a －，b )，共7个． 因此事件E 发生的频率为715.用频率估计概率，即得所求概率为P (E )＝715.规范解答之十八 图表信息题的求解策略—————————— [1个示范例] ——————(12分) (2013·湖南高考)某人在如图9－2－8所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：1米．(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：48 kg的概率．【规范解答】 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝69015＝46. 7分(2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415. 9分 故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25.【名师寄语】 1.根据所给图形找出Y 对应的频数是解决本题的关键．2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中发现有用的信息和数据，结合统计知识解题．————————— [1个规范练] ———————(2012·广东高考)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图9－2－9所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．图9－2－9(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.【解】 (1)由频率分布直方图知(2a ＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a ＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25. 故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.课时限时检测(五十五) 用样本估计总体(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2013·陕西高考)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图9－2－10为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品，用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )图9－2－10A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【答案】 D2．(2013·福建高考)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图9－2－11所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )图9－2－11A．588 B．480C．450 D．120【答案】 B3．(2013·重庆高考)右面茎叶图9－2－12记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )图9－2－12A．2,5 B．5,5。

2013年高考数学 学困生专用精品复习资料（04）平面向量、三角函数和解三角形（教师版）【考纲考情分析】一、基本初等函数II （三角函数） （1）任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念。

②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

②能利用单位圆中的三角函数线推导出απαπ±±，2的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出x y x y x y tan cos sin ===，，的图像，了解三角函数的周期性。

③理解正弦函数、余弦函数在区间[02]π，的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴交点等），理解正切函数在区间（22ππ，-）的单调性。

④理解同角三角函数的基本关系式：x xxx x tan cos sin 1cos sin 22==+，⑤了解函数sin()y A x ωφ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωφ=+的图像，了解参数A 、ω、ϕ对函数图象变化的影响。

⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。

（3）三角恒等变换 （1）和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。

②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。

③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

（2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）二、平面向量（1）平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景。

②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。

③理解向量的几何表示。

（2）向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。

②掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义。

③了解向量线性运算的性质及其几何意义。

2013年高考数学学困生专用精品复习资料（03）数列（教师版）【专题知识网络】（1）一般数列数列分类：（2）等差数列：定义、通向公式、求和、性质（3）等比数列：定义、通向公式、求和、性质(1)公式法数列求和：（2）分组求和法(3)裂项相消法（4）分组求和法（5）倒序相加法【剖析高考真题】考点：数列的递推关系（2012年新课标高考）数列{a n}满足a n+1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为A.3690B.3660C.1845D.1830考点：数列的通项公式(2012年安徽高考卷)设函数）（x f =2x+x sin 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为}{n x .（Ⅰ）求数列}{n x 的通项公式；（Ⅱ）设}{n x 的前n 项和为n S ，求n S sin 。

考点：等差数列(2102年北京高考卷)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若211=a ，S 2=a 3，则a 2=______，S n =_______。

【答案】12=a ，n n S n 41412+=【解析】因为212111132132==⇒+=++⇒=+⇒=a d d a d a a a a a a S ， 所以112=+=d a a ，n n d n n na S n 4141)1(21+=-+=。

考点：等比数列(2012年安徽高考卷)公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = A. 1 B.2 C.4 D.8（2012年重庆高考）已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。

【考点梳理归纳】(一)数列的该概念和表示法、（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

2013年高考数学学困生专用精品复习资料（08）圆锥曲线（教师版）一、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。

③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。

④理解数形结合的思想。

⑤了解圆锥曲线的简单应用。

【专题知识网络】圆锥曲线的定义圆锥曲线的内容：椭圆、双曲线、抛物线（定义、性质、方程）直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线综合问题（弦长、中点、最值、参数问题）【剖析高考真题】考点：圆锥曲线的定义与标准方程（2012年高考陕西卷）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.考点：圆锥曲线的几何性质（2012年高考安徽卷）过抛物线24y x=的焦点F的直线交该抛物线于,A B两点，若||3AF=，则||BF=______。

【答案】32【解析】设(0)AFxθθπ∠=<<及BF m=；则点A到准线:1l x=-的距离为3，得：1323cos cos3θθ=+⇔=又232cos()1cos2m m mπθθ=+-⇔==+。

（2012年高考天津卷）已知双曲线)0,0(1:22221>>=-babyaxC与双曲线1164:222=-yxC有相同的渐近线，且1C的右焦点为5,0)F,则a=b=【答案】1，2【解析】双曲线的116422=-yx渐近线为xy2±=，而12222=-byax的渐近线为xaby±=，所以有2=ab，ab2=，又双曲线12222=-byax的右焦点为)0,5(，所以5=c，又222bac+=，即222545aaa=+=，所以2,1,12===baa。

（2012年高考新课标卷）设12F F是椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12 B. 23C ．34D ．45考点：直线与圆锥曲线的位置关系（2012年高考广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=，得211b=，即1b =，所以2222a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为2212x y +=. 考点：圆锥曲线的综合问题（弦长、中点、最值、参数问题） 弦长问题抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，而且被直线2x －y ＋1＝0所截得的弦长等于15，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12x 或y 2＝4x B ．y 2＝－4x 或y 2＝12x C ．y 2＝－10x 或y 2＝4x D ．y 2＝－6x 或y 2＝10x【解析】设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ∈R 且a ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，2x －y ＋1＝0，得2y 2－ay ＋a ＝0.若弦两端点纵坐标分别为y 1和y 2，则|y 1－y 2|＝12a 2－8a ，于是弦长54a 2－8a ＝15，解得a ＝12或a ＝－4. 由2112222px 2px y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得211221()()()y y y y k x x -+=-，得21k m ⋅= 所以直线的方程为1()2y m x m m -=-，即2220x my m m -+-=.由22220x my m m y x⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，整理得22220y my m m -+-=， 所以244m m =-，122y y m +=，2122y y m m =-.从而得22122111444AB y y m m m k=+-=+-，【考点梳理归纳】 一、圆锥曲线的定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。

2013年高考数学学困生专用精品复习资料（11）（教师版）一、复数（1）复数的概念①理解复数的基本概念。

②理解复数相等的充要条件。

③了解复数的代数表示法及其几何意义。

（2）复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算。

②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

二、框图（1）流程图①了解程序框图②了解工序流程图（即统筹图）③能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用。

（2）结构图①了解结构图。

②会运用结构图梳理已学过的知识、梳理收集到的资料信息。

本专题在高考试卷考查比较简单，主要是考查小题（选择题与填空题）为主，而且难度低，一般情况下为送分题，建议考生在复习过程中注重基础题即可，注意复数的运算以及几何意义，程序框图的运转。

【专题知识网络】（1）概念复数：（2）运算（加法、减法、乘法、除法、集合意义）（3）复数的向量表示（1）概念算法：（2）算法的基本思想和程序框图（3）算法基本语句 （4）算法案例【剖析高考真题】考点：复数（2012年高考山东卷）若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 A ．3+5i B ．3－5i C ．－3+5i D ．－3－5i（2012年高考上海卷）若12+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-=考点：算法框图（2012年高考广东卷）执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A. 105B. 16C. 15D. 1 【答案】C【解析】第一步：1=s ；第二步：31⨯=s ；第三步：531⨯⨯=s ，结束，输出s ，即13515s =⨯⨯=。

（2012年高考福建卷） 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。

2020年高考数学学困生专用精品复习资料（10）（教师版）一、统计（1）随机抽样①理解随机抽样的必要性和重要性。

②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。

（2）总体估计①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。

②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差。

③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。

④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。

⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。

（3）变量的相关性①会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。

②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

二、概率（1）事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。

②了解两个互斥事件的概率加法公式。

（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式。

②会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

（3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。

②了解几何概型的意义。

【专题知识网络】（1）概率的基本性质：互斥事件、对立事件 概率：（2）古典概型与几何概型（3）随机变量（1）随机抽样：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样 统计：（2）用样本估计总体（3）变量间的相关关系 （4）独立性检验【剖析高考真题】考点:随机抽样（2020年高考山东卷）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．15 【答案】C【解析】第n 个抽到的编号为9＋()n －1×30＝30n －21，由题意得451≤30n －21≤750，解之得151115≤n ≤25710，又∵n ∈Z ，∴满足条件的n 共有10个．考点：样本估计总体的方法（2020年高考安徽卷）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图6－18－1所示，则( )A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【答案】【解析】由条形图易知甲成绩的平均数为x甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6，中位数为6，所以方差为s2甲＝－22＋－12＋02＋12＋225＝2，极差为8－4＝4；乙成绩的平均数为x乙＝3×5＋6＋95＝6，中位数为5，所以方差为s2乙＝3×－12＋02＋325＝125＞2，极差为9－5＝4，比较得x甲＝x乙，甲的极差等于乙的极差，甲、乙中位数不相等且s2乙＞s2甲.考点：古典概型与几何概型（2020年高考安徽卷）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于A．1 5B．2 5C．3 5D．4 5（2020年高考辽宁卷）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为A ．16 B ．13C ．23D ．45【答案】C【解析】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。