菱形的性质1

菱形的性质菱形是一种具有特殊性质的几何图形，在数学中被广泛研究和应用。

它的定义是一个具有四条边且四个顶点均位于同一平面内的凸四边形，其特点是四条边长度相等且相互垂直，对角线相等并且相互垂直。

本文将从菱形的角度、边角关系、对称性和应用等方面详细探讨菱形的性质。

1.菱形的角度菱形的角度特点非常明显，它的四个顶点内角均为90度。

由于垂直的性质，菱形的对边之间也是垂直的，因此其内角可以分为两组：两个锐角和两个钝角，且两两互补。

2.菱形的边角关系菱形的边角关系是菱形性质研究中的一个重要内容。

我们知道，菱形的四条边长度相等，这意味着菱形的内角也必然相等。

同时，菱形的对角线也相等，从而推断出菱形的四个内锐角和四个内钝角都相等，且每个角都为90度。

此外，由于菱形的两对角线相互垂直，就意味着菱形的两个内锐角和两个内钝角互为补角。

3.菱形的对称性菱形具有很强的对称性，这是菱形性质中的又一个重要方面。

菱形的两条对角线相交于一点，这个点被称为菱形的中心。

菱形的中心是菱形具有对称性的重要标志，它将菱形分成了四个互相对称的部分。

菱形的任意两个对角线可以分别作为对称轴，通过中心点，将菱形分成两个完全相等的部分。

这种对称性使得菱形在艺术、装饰和设计等领域得到了广泛应用。

4.菱形的应用菱形的性质使得它在各个领域得到了广泛的应用。

在数学中，菱形作为一种特殊的四边形，是几何学的基础，研究菱形性质有助于理解和解决更复杂的几何问题。

在艺术和设计中，菱形的对称性和美观性使它成为一种常用的图形元素，经常被用来装饰图案、绘画和雕塑作品。

菱形图案也常常出现在建筑物和城市规划中，如建筑立面、道路划线等。

总结：菱形是具有特殊性质的几何图形，它的四个角均为90度，每条边和对角线长度相等。

菱形具有边角对称性，在艺术、设计和建筑等领域有广泛应用。

研究菱形性质有助于理解几何学的基础知识，同时也为解决相关问题提供了思路和方法。

菱形作为一种简单而美观的图形元素，不仅在数学中具有意义，也在人们的日常生活中起着重要的作用。

15．2．2菱形的性质学习目标：1．理解并掌握菱形的定义及性质定理1、2；会用菱形性质进行简单证明和计算；2．经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展思维意识，体会几何说理的基本方法。

3．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．学习重点：菱形的性质1、2，性质定理的运用。

一、知识回顾1．平行四边形定义：叫做平行四边形。

2．矩形定义：叫做矩形。

3．平行四边形和矩形之间的关系是。

二、新知学习★菱形定义：1．我们知道平行四边形的对边相等，邻边不等，你能用折纸的方法，从一个平行四边形中剪出一个邻边相等的平行四边形吗？试一试，并与同伴交流。

2．你能用平行四边形定义菱形吗？菱形定义：叫菱形。

一组邻边相等★1．菱形也是特殊的平行四边形，它有平行四边形的性质：①_____________________________________②___________________________________ ③______________________________________2．将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线剪下，再打开，得到的是什么特殊四边形？。

3．观察得到的菱形，它是轴对称图形吗？。

有几条对称轴？。

两条对称轴有什么位置关系？。

4．观察得到的菱形，由折叠过程分析，你还能得到图中有哪些相等的线段和角？写下来并与同伴交流．。

5．归纳菱形的特殊性质：性质1：。

性质2：。

6．你能用菱形的定义和平行四边形性质证明菱形的性质吗？已知：平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，且AB=AD求证：①AB=BC=CD=DA②AC⊥BD，AC和BD分别平分平行四边形ABCD的一组对角．证明：★菱形的面积计算公式：1．如图，菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，求菱形ABCD的面积。

分析：由菱形的性质可知△AOB、△COB、△COD、△AOD是全等的直角三角形，所以菱形ABCD的面积是△AOB的4倍，你会求△AOB的面积吗？解：2．你能根据菱形的两条对角线直接求菱形面积吗？3．归纳菱形的面积计算公式：。

菱形的性质和计算菱形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和计算方法。

在本文中，我们将探讨菱形的性质以及如何计算菱形的一些参数。

一、菱形的性质1. 边长相等：菱形的四条边都相等，即AB = BC = CD = DA。

2. 对角线相等：菱形的两条对角线相等，即AC = BD。

3. 对角线互相垂直：菱形的两条对角线相互垂直，即∠CAD = 90°，∠CBD = 90°。

4. 四个角相等：菱形的四个角都相等，即∠BAD = ∠ABC =∠BCD = ∠CDA。

5. 内角和为360°：菱形的内角和为360°，即∠BAD + ∠ABC +∠BCD + ∠CDA = 360°。

二、计算菱形的一些参数1. 周长：菱形的周长可以通过边长计算。

因为菱形的四条边相等，所以周长等于4倍边长，即周长 = 4 ×边长。

2. 面积：菱形的面积可以通过对角线长度计算。

我们可以利用以下公式计算菱形的面积：面积 = (对角线1 ×对角线2) / 2其中，对角线1和对角线2是菱形的两条对角线的长度。

3. 对角线长度：如果我们已知菱形的边长，可以通过以下公式计算对角线的长度：对角线长度= √(边长^2 + 边长^2)也可以通过已知菱形的某个角度和一条边长来计算对角线的长度。

具体计算方法可以根据已知条件灵活运用三角函数来求解。

4. 中线长度：菱形的两条对角线交叉点所形成的线段称为中线。

中线可以通过以下公式计算：中线长度= (1/2) × √(对角线1^2 + 对角线2^2)其中，对角线1和对角线2是菱形的两条对角线的长度。

5. 高度：菱形没有明确的高度定义。

因为菱形的对角线互相垂直，可以通过对角线长度计算高度。

从对角线的交叉点到菱形的任意一条边的垂直距离即可视为菱形的高度。

总结：菱形是一种特殊的四边形，具有边长相等、对角线相等、对角线互相垂直、四个角相等、内角和为360°等性质。

19.2 菱 形1. 菱形的性质第1课时 菱形的性质1．通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质，理解菱形与平行四边形之间的联系；2．通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结菱形的特征；3．掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导．(重点、难点)一、情境导入将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形．二、合作探究探究点一：菱形的性质【类型一】 菱形的四条边相等如图所示，在菱形ABCD 中，已知∠A ＝60°，AB ＝5，则△ABD 的周长是( )A ．10B ．12C ．15D ．20解析：根据菱形的性质可判断△ABD 是等边三角形，再根据AB ＝5可求出△ABD 的周长为C.方法总结：如果菱形的一个内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形．【类型二】 菱形的对角线互相垂直如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD ＝8cm ，AC ＝6cm ，求菱形的周长．解析：由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算．解：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12BD .因为AC ＝6cm ，BD ＝8cm ，所以AO ＝3cm ，BO ＝4cm.在Rt △ABO 中，由勾股定理得AO 2+BO 2=AB 2，即32+42=AB 2.∴AB=5cm . ∴菱形的周长＝4AB ＝4×5＝20cm ．方法总结：因为菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解．【类型三】 菱形的对称性如图，在菱形ABCD 中，CE ⊥AB于点E ，CF ⊥AD 于点F .求证：AE ＝AF .解析：要证明AE ＝AF ，需要先证明△ACE ≌△ACF .证明：连接AC .∵四边形ABCD 是菱形，根据菱形的对称性可知AC 平分∠BAD ，即∠BAC ＝∠DAC .∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴∠AEC ＝∠AFC ＝90°.在△ACE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEC ＝∠AFC ，∠EAC ＝∠F AC ，AC ＝AC ，∴△ACE ≌△ACF ，∴AE ＝AF .方法总结：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．探究点二：菱形的面积的计算方法如图所示，在菱形ABCD 中，点O 为对角线AC 与BD 的交点，且在△AOB 中，OA ＝5，OBABCD 两对边的距离h .解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离．解：因为四边形ABCD 为菱形，所以AO⊥BO ，即∠AOB=90°.由勾股定理得AO 2+BO 2=AB 2,即52+122=AB 2,所以AB=13.即S △AOB ＝12OA ·OB ＝12×5×12＝30，所以S 菱形ABCD ＝4S △AOB ＝4×30＝120.又因为 S 菱形ABCD ＝AB ·h ＝13h ，所以13h ＝120，得h＝12013. 方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．三、板书设计 1．菱形的性质 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直．2．菱形的面积S 菱形＝边长×对应高＝12ab (a ，b 分别是两条对角线的长)本节课不仅安排了菱形性质的探究，而且穿插了菱形两种面积公式的探究，课堂中为了突出学生的主体地位，留给学生充足的时间思考交流，发挥学生的主体地位，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展.。