河南省郑州市2017-2018学年高一下学期期末考试数学试卷
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豫南九校2017-2018学年上期期末联考高一数学试题一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则集合中元素的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】集合B中元素有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4个.故选D.2. 已知:直线与直线平行,则的值为()A. 1B. -1C. 0D. -1或1【答案】A【解析】由于直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x+ay+=0平行所以,即-1或1,经检验成立.故选A.3. 函数,则()A. B. 4 C. D. 8【答案】D【解析】∵,∴.故选D4. 设是两个不同的平面,是直线且,,若使成立,则需增加条件()A. 是直线且,B. 是异面直线,C. 是相交直线且,D. 是平行直线且,【答案】C【解析】要使成立,需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行,是相交直线且,,,,由直线和平面平行的判定定理可得.故选C.5. 已知函数在区间上是单调增函数,则实数的取值范围为()A. B. C. D.【答案】B【解析】函数f(x)=x2-2ax-3的图象开口向上,对称轴为直线x=a,画出草图如图所示.由图象可知,函数在[a,+∞)上是单调增函数,因此要使函数f(x)在区间[1,2]上是单调增函数,,只需a≤1,从而a∈(-∞,1].故选B.6. 已知矩形,,,沿矩形的对角线将平面折起,若四点都在同一球面上,则该球面的面积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】矩形ABCD,AB=6,BC=8,矩形的对角线AC=10为该球的直径,所以该球面的面积为. 故选C.7. 设是定义在实数集上的函数,且,若当时,,则有()A. B.C. D.【答案】B【解析】由f(2-x)=f(x)可知函数f(x)的图象关于x=1对称,所以,,又当x≥1时,f(x)=ln x单调递增,所以,故选B.8. 已知是定义在上的偶函数,那么的最大值是()A. 0B.C.D. 1【答案】C【解析】∵f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,∴a-1+2a=0,∴a=.又f(-x)=f(x),∴b=0,∴,所以.故选C.9. 某四面体的三视图如图,则该四面体的体积是()A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】在正方体ABCDA1B1C1D1中还原出三视图的直观图,其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥,即为D1BCB1,如图所示,该四面体的体积为. 故选B.点睛:三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.10. 已知实数满足方程,则的最小值和最大值分别为()A. -9,1B. -10,1C. -9,2D. -10,2【答案】A【解析】即为y-2x可看作是直线y=2x+b在y轴上的截距,.....................故选A.11. 已知函数,若对一切,都成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得,对一切,f(x)>0都成立,即,而,则实数a的取值范围为.故选C.点睛:函数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为,若恒成立;(3)若恒成立,可转化为(需在同一处取得最值) .12. 已知为圆的两条互相垂直的弦,且垂足为,则四边形面积的最大值为()A. 10B. 13C. 15D. 20【答案】B【解析】如图,作OP⊥AC于P,OQ⊥BD于Q,则|OP|2+|OQ|2=|OM|2=5,∴|AC|2+|BD|2=4(9-|OP|2)+4(9-|OQ|2)=52.则|AC|·|BD|=,当时,|AC|·|BD|有最大值26,此时S四边形ABCD=|AC|·|BD|=×26=13,∴四边形ABCD面积的最大值为13.故选B.点睛:直线与圆的位置关系常用处理方法:(1)直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直,构建直角三角形,进而利用勾股定理可以建立等量关系;(2)直线与圆相交,利用垂径定理也可以构建直角三角形;(3)直线与圆相离时,当过圆心作直线垂线时长度最小.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 函数的单调递增区间为__________.【答案】(-∞,-1)【解析】试题分析:因为,所以当时,而,所以函数的单调递增区间为.考点:复合函数单调性14. 已知集合,,则集合中子集个数是__________【答案】4【解析】由题意知中的元素为圆与直线交点,因为圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离,所以直线与圆相交.集合有两个元素.故集合中子集个数为4.故答案为:4.15. 如图,已知圆柱的轴截面是矩形,,是圆柱下底面弧的中点,是圆柱上底面弧的中点,那么异面直线与所成角的正切值为__________.【答案】【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以AD∥BC,所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D⊥圆柱下底面,所以C1D⊥AD,因为圆柱的轴截面ABB1A1是矩形, AA1=2AB所以C1D=2AD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为2,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.故答案为:2.点睛:求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角,作两条异面直线所成角的方法是:将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交,然后再同一平面内求相交直线所成角,值得注意的是:平移后相交所得的角必须容易算出,因此平移时要求选择恰当位置.16. 已知函数,则函数的零点个数为__________.【答案】3【解析】由,得,作出y=f(x),的图象,由图象可知共有3个交点,故函数的零点个数为3.故答案为:3三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知全集,集合,集合.(1)当时,求,;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)A∪B={x|-2<x<3},;(2)(-∞,-2].【解析】试题分析:(1)求解集合A,B根据集合交并补的定义求解即可;(2)由A∩B=A,得A⊆B,从而得,解不等式求解即可.试题解析:(1)由题得集合A={x|0<<1}={x|1<<3}当m=-1时,B={x|-2<x<2},则A∪B={x|-2<x<3}.(2)由A∩B=A,得A⊆B..解得m≤-2,即实数m的取值范围为(-∞,-2].18. 已知直线及点.(1)证明直线过某定点,并求该定点的坐标;(2)当点到直线的距离最大时,求直线的方程.【答案】(1)证明见解析,定点坐标为;(2)15x+24y+2=0.【解析】试题分析:(1)直线l的方程可化为 a(2x+y+1)+b(-x+y-1)=0,由,即可解得定点;(2)由(1)知直线l恒过定点A,当直线l垂直于直线PA时,点P到直线l的距离最大,利用点斜式求直线方程即可.试题解析:(1)证明:直线l的方程可化为 a(2x+y+1)+b(-x+y-1)=0,由,得,所以直线l恒过定点.(2)由(1)知直线l恒过定点A,当直线l垂直于直线PA时,点P到直线l的距离最大.又直线PA的斜率,所以直线l的斜率k l=-.故直线l的方程为,即15x+24y+2=0.19. 设是定义在上的奇函数,当时,.(1)求的解析式;(2)解不等式.【答案】(1);(2)(-∞,-2)∪(0,2).【解析】试题分析:(1)奇函数有f(0)=0,再由x<0时,f(x)=-f(-x)即可求解;(2)由(1)分段求解不等式,最后取并集即可.试题解析:(1)因为f(x)是定义在上的奇函数,所以当x=0时,f(x)=0,当x<0时,f(x)=-f(-x),-x>0,又因为当x>0时,f(x)=,.所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-=..综上所述:此函数的解析式.(2)f(x)<-,当x=0时,f(x)<-不成立;当x>0时,即<-,所以<-,所以>,所以3x-1<8,解得x<2,当x<0时,即<-,所以>-,所以3-x>32,所以x<-2,综上所述解集是(-∞,-2)∪(0,2).20. 已知圆经过点,和直线相切.(1)求圆的方程;(2)若直线经过点,并且被圆截得的弦长为2,求直线的方程.【答案】(1)(x-1)2+(y+2)2=2;(2)x=2或3x-4y-6=0.【解析】试题分析:(1)先求线段AB的垂直平分线方程为,设圆心的坐标为C(a,-a-1),由圆心到点的距离和到切线的距离相等求解即可;(2)由题知圆心C到直线l的距离,进而讨论直线斜率存在不存在两种情况求解即可.试题解析:(1)由题知,线段AB的中点M(1,-2),,线段AB的垂直平分线方程为,即,设圆心的坐标为C(a,-a-1),则,化简,得a2-2a+1=0,解得a=1.∴C(1,-2),半径r=|AC|==.∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(解二:可设原方程用待定系数法求解)(2)由题知圆心C到直线l的距离,①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,由题意得,解得k=,∴直线l的方程为y=(x-2).综上所述,直线l的方程为x=2或3x-4y-6=0.点睛:直线与圆的位置关系常用处理方法:(1)直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直,构建直角三角形,进而利用勾股定理可以建立等量关系;(2)直线与圆相交,利用垂径定理也可以构建直角三角形;(3)直线与圆相离时,当过圆心作直线垂线时长度最小.21. 如图,四面体中,平面,,,,.(1)求四面体的四个面的面积中,最大的面积是多少?(2)证明:在线段上存在点,使得,并求的值.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)易得,,,均为直角三角形,且的面积最大,进而求解即可;(2)在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM,可证得AC⊥平面MBN,从而使得AC⊥BM,利用相似和平行求解即可.试题解析:(1)由题设AB=1,AC=2,BC=,可得,所以,由PA⊥平面ABC,BC、AB⊂平面ABC,所以,,所以,又由于PA∩AB=A,故BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以,所以,,,均为直角三角形,且的面积最大,.(2)证明:在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MN∥PA 交PC于点M,连接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN,所以AC⊥BM.因为与相似,,从而NC=AC-AN=.由MN∥PA,得==.22. 已知函数,.(1)当时,求函数的值域;(2)如果对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)是否存在实数,使得函数的最大值为0,若存在,求出的值,若不存在,说明理由.【答案】(1)[0,2];(2)(-∞,);(3)答案见解析.【解析】试题分析:(1)由h(x)=-2(log3x-1)2+2,根据log3x∈[0,2],即可得值域;(3)由,假设最大值为0,因为,则有,求解即可.试题解析:(1)h(x)=(4-2log3x)·log3x=-2(log3x-1)2+2,因为x∈[1,9],所以log3x∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].(2)由,得(3-4log3x)(3-log3x)>k,令t=log3x,因为x∈[1,9],所以t=log3x∈[0,2],所以(3-4t)(3-t)>k对一切t∈[0,2]恒成立,令,其对称轴为,所以当时,的最小值为,综上,实数k的取值范围为(-∞,)..(3)假设存在实数,使得函数的最大值为0,由.因为,则有,解得,所以不存在实数,使得函数的最大值为0.点睛:函数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为,若恒成立;(3)若恒成立,可转化为(需在同一处取得最值) .。
郑州市2014-2015学年上期期末考试高一数学试卷及答案2014—2015学年上期期末学业水平测试高中一年级 数学 参考答案一、选择题CBCBD CDCBA AB 二、填空题 13:14:15: 20x y -+=16: 三、解答题 17. 解: 依题意得()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞,…………………..2分且()()f x f x -=- ………………………..4分即332121xx k k -⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭ ………………………..6分 33202112x x x k k ⋅⇒+++=-- ()321221x x k -⇒=-32k ⇒=…………………………..10分18. 解: 令()22222f x x px p p =-+++,则()()22022110f p p p =++=++>由A +=∅R I 知()f x 没有正实根……………………………3分 (Ⅰ)若A =∅,即()f x 无实数根,则()f x 的判别式小于零()2244220p p p ⇒-++<1p ⇒>- …………………………….6分(Ⅱ)若A ≠∅,即()f x 有实数根但是非正.则由(1)知1p ≤-.且对称轴不能在y 轴右侧,即0p ≤1p ⇒≤-. ………………………………10分综上所述: R p ∈均满足条件. ………………………………12分19. 证明: 直三棱柱'''ABC A B C -中, ,D M 分别为,''AB A B 的中点//'DB A M ⇒且'DB A M =⇒四边形'DBMA'//A D MB ⇒ …………………………3分又'A D ⊄面MNCB ,MB ⊂面MNCB …………………………….5分'//A D ⇒面MNCB ……………………………6分同理: '//A E ⇒面MNCB …………………………….9分 又'''A EA D A = ……………………………..10分⇒平面'//A DE 平面MNCB ……………………………12分20.(Ⅰ)解: 在正方形''''A B C D 中,三角形''D A M 全等于三角形''A B N (SAS)''''''''90NA B D MA A D M D MA ⇒∠+∠=∠+∠=''D M A N ⇒⊥ ………………………….3分又在正方体中'AA ⊥面''''A B C D ,'D M ⊂ 面''''A B C D''D M AA ⇒⊥又'''AA A N A =⇒'D M ⊥面'AA N …………………….6分(Ⅱ)证明: 连接','AB A B 交于点K ,连接DK .由//'AD B N 知,,,'A D N B 共面,A'AAAD ⊥面''AD ABB A ⊥ AD BK ⇒⊥又'AB BK ⊥'ADAB A =⇒BK ⊥面'ADB N⇒BK DK ⊥且BDK ∠即为直线DB 与平面ADN 所成的角 …………………….9分设正方体棱长为a30BDK ⇒∠=即直线DB 与平面ADN 所成的角为30. ……………………….12分 21. 解: 设()2,M t t 为抛物线上任意一点,直线l 的一般式为: 220x y --=则点M 到直线l 的距离为……………………4分 (8)分…………………..10分当14t =时,等号成立.…………………..12分22. 解:(Ⅰ)设点M 的坐标为(),x y ,依题意得:…………………………..2分22660x y x ⇒+-+= ()2233x y ⇒-+=即点M 的轨迹方程为:()2233x y -+=…………………………..4分(Ⅱ)M 的轨迹为圆心在()3,0,. 由图易知l 的斜率存在.又l 过点()1,0Q -,故可设l 的方程为:()1y k x =+ ………………………..5分即: 0kx y k -+=圆心到l 的距离为由垂径定理及勾股定理知:…………………8分221621k k ⇒=+217k ⇒=………………….10分于是l的方程为 …………………..12分。
XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一年级数学试卷第I卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知向量a=(2,1),b=(λ−1,2),若a+b与a−b共线,则λ=()A.−2B.−1C.1D.2改写:向量a=(2,1),向量b=(λ-1,2),若a+b和a-b共线,则λ=() A。
-2 B。
-1 C。
1 D。
22.已知3sinα+4cosα=2,则1-sinαcosα-cos2α的值是() A。
- B。
C。
-2 D。
2改写:已知3sinα+4cosα=2,求1-sinαcosα-cos2α的值,答案为() A。
- B。
C。
-2 D。
23.已知在△ABC中,AB=AC=1,BC=3,则AB·AC=() A。
1/33 B。
- C。
-2 D。
-改写:在△ABC中,AB=AC=1,BC=3,求XXX的值,答案为() A。
1/33 B。
- C。
-2 D。
-4.在△ABC中,若AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB,则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定改写:在△ABC中,如果AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB,则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定5.已知△ABC中,内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且c=7/11,a+b=22/3,XXX-tanA-tanB=3,则△ABC的面积为() A。
3/33 B。
- C。
3 D。
33/2改写:已知△ABC中,内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且c=7/11,a+b=22/3,XXX-tanB=3,求△ABC的面积,答案为() A。
3/33 B。
- C。
2017-2018学年下期期末考试高一数学试题卷注意事项:本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间120分钟,满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效,交卷时只交答题卡 第I 卷(选择题,共60一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有是符合题目要求的 1.sin585°的值为( ) A .12 2 B .-12 2 C .-12 3 D .12 32.已知向量a=(-3,5),b=(5,3),则a 与b ( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向 3.下列各式中,值为的是( ) A.2sin15°cos15° B.cos 215°-sin 215° C.2sin 215°-1 D. sin 215 +cos 2154.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们所有比赛得分的情况用如右图所示的茎叶图表示,则运动员甲得分的中位数,乙得分的平均数分别为( ) A .19,13; B.13,19 C.19,18 D .18,195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中,随机摸出两个 球,则两个小球同色的概率是( )A .23B .25C .12D .136.函数y=[cos(x+π4)+ sin(x+π4)][cos(x+π4)-sin(x+π4)]在一个周期内的图象是( )7.设单位向量e 1,e 2的夹角为60°,则向量3e 1+4e 2与向量e 1的夹角的余弦值( ) A .34 B .537 C .25 37 37 D .5 37 378如果右面程序框图运行的结果s=1320,那么判断框应填入( ) A .k<10? B.k>10? C.k<11? D.k>11?9甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是( ) A .18 B .1136 C .14 D .156410.已知函数∫(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π6对称,则φ可能取值是( )A .π2B .-112 πC .π6D .-π611.如图所示,点A,B,C 是圆O 上的三点,线段OC 与线段AB 于圆内一点P,若=m+3m,,则λ=( )A .56B .45C .34D .2512.已知平面上的两个向量和满足||=cosa,||=sina,a ∈[0, π2],·=0,若向量=λ+μ(λ, μ∈R),且(2λ-1)2cos 2a+(2μ-1)2sin 2a=4,则||的最大值是( )A .32B .34C .35D .37第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分把答案填在题中的横线上) 13. 已知tan α=4,tan(π-β)则tan(α+β)=14.已知样本7,8,9,x,y 的平均数是8,标准差是 2 ,则xy= 15.已知△ABC 的三边长AC=4,BC=3,AB=5,P 为AB 边上的任意一点,的最小值为16.将函数f(x)=2sin(2x+π6)的图像向左平移112 π个单位,再向下平移2个单位,得到g(x)的图像,若g(x 1)g(x 2)=16,且x 1,x 2∈[-2π,2π],则2x 1-x 2的最大值为三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分) 已知向量a=(1,2),b=(-3,4)(I)求向量a-b 与向量b 夹角的余弦 (Ⅱ)若a ⊥(a-λb),求实数λ的。
2017-2018学年第一学期期末测试卷初二数学一、选择题(每小题2分,本题共16分)1.剪纸是古老的汉族民间艺术,剪纸的工具材料简便普及,技法易于掌握,有着其他艺术门类 不可替代的特性,因而,这一艺术形式从古到今,几乎遍及我国的城镇乡村,深得人民群 众的喜爱.请你认真观察下列四幅剪纸图案, 其中不是..轴对称图形的是A .B .C .D .2. 若代数式4xx -有意义,则实数x 的取值范围是 A .0x = B .4x = C .0x ≠ D .4x ≠3. 实数9的平方根是A .3B .±3C.3± D .814. 在下列事件中,是必然事件的是A .买一张电影票,座位号一定是偶数B .随时打开电视机,正在播新闻C .通常情况下,抛出的篮球会下落D .阴天就一定会下雨5. 下列变形中,正确的是A. (23)2=2×3=6B.2)52(-=-52C.169+=169+ D. )4()9(-⨯-=49⨯6. 如果把yx y322-中的x 和y 都扩大5倍,那么分式的值A .扩大5倍B .不变C .缩小5倍D .扩大4倍7. 如图,将ABC △放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1),点A ,B ,C 恰好在网格图中的格点上,那么ABC △中BC 边上的高是A. B. C. D.8. 如图所示,将矩形纸片先沿虚线按箭头方向向右对折,对折后的纸片沿虚线向下对折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,则打开后的展开图是A. B. C. D.二、填空题(每小题2分,本题共16分)9. 写出一个比3大且比4小的无理数:______________.10. 如图,AE =DF ,∠A =∠D ,欲证ΔACE ≌ΔDBF ,需要添加条件 ____________,证明全等的理由是________________________;AE P BCD11. 一个不透明的盒子中装有6张生肖邮票,其中有3张“猴票”,2张“鸡票”和1张“狗票”,这些邮票除了画面内容外其他都相同,从中随机摸出一张邮票,恰好是“鸡票”的可能性为 .12. 已知等腰三角形的两条边长分别为2和5,则它的周长为______________. 13.mn =______________. 14. 小明编写了一个如下程序:输入x →2x →立方根→倒数→算术平方根→21, 则x 为 .15. 如图,等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,点E 是AC 边上的中点. 如果点P 是AD 上的动点,那么EP+CP 的最小值 为______________.16. 如图,OP =1,过P 作OP PP ⊥1且11=PP ,根据勾股定理,得21=OP ;再过1P 作121OP P P ⊥且21P P =1,得32=OP ;又过2P 作232OP P P ⊥且132=P P ,得 =3OP 2;…依此继续,得=2018OP , =n OP (n 为自然数,且n >0)三、解答题(本大题共9小题,17—25小题,每小题5分,共45分) 17.计算:238)3(1230-+----π18. 计算:1)P 4P 3P 2PP 1O19. 如图,点A 、F 、C 、D 在同一条直线上. AB ∥DE ,∠B =∠E ,AF=DC. 求证:BC =EF .20. 解分式方程:3x 3x 211x x +=-+21. 李老师在黑板上写了一道题目,计算:23311x x x---- .小宇做得最快,立刻拿给李老 师看,李老师看完摇了摇头,让小宇回去认真检查. 请你仔细阅读小宇的计算过程,帮 助小宇改正错误.23311x x x ----=()()33111x x x x --+-- (A ) =()()()()()3131111x x x x x x +--+-+- (B ) = 33(1)x x --+ (C ) = 26x -- (D )(1) 上述计算过程中, 哪一步开始..出现错误? ;(用字母表示) (2) 从(B )到(C )是否正确? ;若不正确,错误的原因是 ; (3) 请你写出此题完整正确的解答过程.D22.如图:在△ABC 中,作AB 边的垂直平分线,交AB 于点E ,交BC 于点F ,连结AF (1(2)你的作图依据是 .(3)若AC=3,BC=5,则△ACF 的周长是23. 先化简,再求值:121112++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a aa ,其中13-=a .24. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于 DE ⊥AB 于E, 当时,求DE 的长。
河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
三、填空题
17.某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示,该模型是由一个正四棱台从正中
间挖去一个圆柱孔而成,已知该正四棱台上底和下底的边长分别为40cm 和100cm ,棱台的
高为40cm ,中间挖去的圆柱孔的底面半径为10cm .计算时π取3.14.
(1)求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土;
(2)为防止该预制件风化腐蚀,需要在其表面涂上一层保护液,若每升保护液大约可以涂
27000cm ,请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升?(结果取整数)
18.在梯形
ABCD 中,//DC AB ,E 是线段AB 上一点,2AD =,5AB =,1AE CD ==,
60DAB Ð=°,把BCE V 沿CE 折起至SCE △,连接,SA SD 使得平面SCD ^平面AECD .
(1)证明:
//AE 平面SCD ;
(2)求异面直线
AE 与SC 所成的角;
(3)求直线AE 与平面
SDE 所成角的正弦值.
19.如图,设
ABC V 中角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,AD 为BC 边上的中线,。
2024-2025学年上期高一年级期中联考试题数学学科(答案在最后)命题人:考试时间:120分钟分值:150分注意事项:本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息,然后在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡).在试题卷上作答无效.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,0,1,2,3M =-,{}|114N x x =-<-≤,则M N = ()A.{}2,0,1,2,3- B.{}2,0,1- C.{}0,1,2,3 D.{}20-,【答案】B 【解析】【分析】利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为{}2,0,1,2,3M =-,{}|32N x x =-≤<,所以{}2,0,1M N ⋂=-.故选:B 2.函数0()(3)f x x =+的定义域是()A.(,3)(3,)-∞-⋃+∞B.(,3)(3,3)-∞-- C.(,3)-∞- D.(,3)-∞【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式,只需解析式有意义,即3030x x ->⎧⎨+≠⎩,解不等式即可求解.【详解】由0()(3)f x x =+,则3030x x ->⎧⎨+≠⎩,解得3x <且3x ≠-,所以函数的定义域为(,3)(3,3)-∞-- 故选:B3.已知p :223x x +=,q :2x =,则p 是q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】解方程223x x +=和2x =,根据充分条件、必要条件即可求解.【详解】由223x x +=,得1x =-或3x =,由2x =,得3x =或0x =,因为1x =-或3x =成立推不出3x =或0x =成立,反之也不成立,所以p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件.故选:D4.若()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且()()3xf xg x +=,则()f x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得()()3xf xg x --=,即可求解()f x 解析式,通过排除可得答案.【详解】解:由()()3xf xg x +=得:()()3xf xg x --+-=,即()()3xf xg x --=,由()()()()33xx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得:()332x x f x -+=,由33122x x -+≥=,排除BC .由指数函数的性质(指数爆炸性)排除D .故选:A5.函数y =)A.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(),1-∞ C.[)4,+∞ D.5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据复合函数的单调性即可求解.【详解】2540x x -+≥,即(4)(1)0x x --≥,解得4x ≥或1x ≤,令254t x x -=+,则254t x x -=+的对称轴为5522x -=-=,254t x x ∴=-+在(,1)-∞上单调递减,在[4,)+∞上单调递增,又y =是增函数,y ∴=在(,1)-∞上单调递减,在[4,)+∞上单调递增.故选:B.6.若函数()2,142,12x ax x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数,则实数a 的取值范围为()A.(2,)-+∞B.(2,8)- C.10,83⎛⎫⎪⎝⎭D.10,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据条件,要使函数是R 上的增函数,每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值,列出不等式组求解即可.【详解】因为函数2,1()(4)2,12x ax x f x ax x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的增函数,所以1240214+22aaa a ⎧-≤⎪⎪⎪->⎨⎪⎪+≥-⎪⎩,解得:1083a ≤<,故选:D .7.已知()f x 的定义域为()0,∞+,且满足()41f =,对任意()12,0,x x ∈+∞,都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+,当()0,1x ∈时,()0f x <.则()()31263f x f x ++-≤的解集为()A.(]0,4 B.(]3,5 C.()3,6 D.[)4,5【答案】B 【解析】【分析】利用单调性定义可判断函数为增函数,再结合单调性可求不等式的解.【详解】设()34,0,x x ∞∈+且34x x <,对任意(),0,x y ∈+∞,都有()()()f xy f x f y =+即()()()f xy f x f y -=,∴()()3344x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,340x x << ,3401x x ∴<<,又当()0,1x ∈时,()0f x <,()()33440x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭,()f x \在()0,∞+上是增函数,令124x x ==,则()()()16442f f f =+=,令14x =,216x =,则()()()644163f f f =+=,()()()3126364f x f x f ∴++-≤=,结合()f x 的定义域为()0,∞+,且在()0,∞+上是增函数,又()()()1212f x x f x f x ⋅=+恒成立,()()()312664f x x f ⎡⎤∴+⋅-≤⎣⎦,()()310260312664x x x x +>⎧⎪->∴⎨⎪+-≤⎩(]3,5x ∴∈,∴不等式的解集为(]3,5,故选:B .8.已知函数()f x 是R 上的奇函数,对任意的()12,,0x x ∞∈-,()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-,设()1523,,1325a f b f c f ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则a ,b ,c 的大小关系是()A.a b c >>B.c a b>> C.c b a>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】确定数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增,()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数,变换得到13a g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,25b g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()1c g =-,根据单调性得到答案.【详解】()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-,即()()()121212120,f x f x x x x x x x ->≠-,故函数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增,()f x 是R 上的奇函数,故()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数,1113333a f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,522255b f g ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()()111c f g g ===-.12135->->-,故a b c >>.故选:A二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的要求,全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.至少有一个实数x ,使210x +=B.“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件C.命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是假命题D.“集合{}210A x ax x =++=”中只有一个元素是“14a =”的必要不充分条件【答案】BD 【解析】【分析】由在实数范围内,20x >可得A 错误;举反例可得必要性不成立,可得B 正确;由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C 错误;由集合A 中只有一个元素可得0a =或14,再由必要性可得D 正确;【详解】对于A ,在实数范围内,20x >,210x +>,故A 错误;对于B ,若0a b >>,则11a b<,充分性成立,若11a b<,如1,2a b =-=-,此时0a b >>,必要性不成立,所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件,故B 正确;对于C ,命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是21,04x x x ∀∈-+≥R ,由二次函数的性质可得()214f x x x =-+开口向上,0∆=,所以()0f x ≥恒成立,故C 错误;对于D ,若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素,当0a =时,1x =-;当0a ≠时,可得11404a a D =-=Þ=,所以必要性成立,故D 正确;故选:BD.10.已知正实数,x y 满足22x y +=,则下列说法不正确的是()A.3x y +的最大值为174B.42x y +的最小值为2C.2xy 的最大值为2D.211x y+的最小值为2【答案】AC 【解析】【分析】直接利用基本不等式即可求解BC ,利用乘“1“法即可判断D ,利用二次函数的性质可求解A.【详解】对于A ,因为22x y +=,所以22x y =-,因为,x y 为正实数,所以220y ->,解得:0<<y ,2231732324x y y y y ⎛⎫+=-+=--+ ⎪⎝⎭,由二次函数的性质可知3x y +的无最大值,故A 错误;对于B ,22422(22x y x y ++≥⨯=,当且仅当21x y ==时取等号,故B 正确;对于C ,22212x y xy ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭,当且仅当21x y ==时取等号,所以2xy 的最大值为1,故C 错误;对于D ,因为22x y +=,所以2122x y +=,222222111111=1=12222x y y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222≥+=+⨯=,当且仅当2222y xx y=,即21x y ==时取等,故D 正确.故选:AC .11.给出定义:若()1122m x m m -<≤+∈Z ,则称m 为离实数x 最近的整数,记作{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论,其中正确的是()A.函数()y f x =值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.函数()y f x =是偶函数C.函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增D.函数()y f x =图象关于直线()2kx k =∈Z 对称【答案】ABD 【解析】【分析】根据{}x 的定义,画出函数的图象,根据图象判定即可.【详解】根据{}x 的定义知函数()y f x =的定义域为R ,又{}x m =,则{}{}11,22x x x -<≤+即{}11,22x x -<-≤所以{}10,2x x ≤-≤故函数()y f x =值域为10,2⎡⎤⎢⎣⎦,A 正确;函数()y f x =的图象如下图所示,有图可知函数()y f x =是偶函数,B 正确;函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎣⎦上有增有减,C 错误;由图可知()y f x =的图象关于()2kx k =∈Z 对称,D 正确.故选:ABD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数()()222,22,2x x x f x f x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩,则()5f =__________.【答案】3【解析】【分析】将5x =代入分段函数中即可得出答案.【详解】因为()()222,22,2x x x f x f x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩,所以()()()()()55233211223f f f f f =-==-==-++=.故答案为:3.13.已知函数()1f x xx=+,计算()()()()1111122024202420232f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________.【答案】2024【解析】【分析】先求出1()()f x f x+,再观察所求,倒序相加即可得解.【详解】由()1xf x x=+,得111()()111111x x x f x f x x x x x+=+=+=++++,所以111()()()(1)(1)(2)(2024)202420232f f f f f f f ++++++++ 111[((2024)][()(2023)][()(2)][(1)(1)]202420232f f f f f f f f =++++++++ 11112024=++++= .故答案为:2024.14.下列结论中,正确的结论有__________(填序号).①若1x <-,则11x x ++的最大值为2-②当0x ≥时,函数21244x y x x +=++的最大值为1③若正数,x y 满足23x y xy +=,则2x y +的最小值为83④若,a b 为不相等的正实数,满足11a b a b +=+,则118a b a b++≥+【答案】③④【解析】【分析】对①:借助基本不等式计算可得;对②:借助整体思想可得()12211y x x =+++,再利用基本不等式计算即可得;对③:由23x y xy +=可得12133y x+=,再借助基本不等式中“1”的活用计算即可得;对④:由11a b a b+=+可得1ab =,再通分后借助基本不等式计算即可得.【详解】对①:由1x <-,则10x -->,故()()11111311x x x x +=---+-≤-=-+---当且仅当()111x x --=--,即2x =-时,等号成立,即11x x ++的最大值为3-,故①错误;对②:()()22111122444212211x x y x x x x x ++===≤+++++++,当且仅当0x =时,等号成立,故函数21244x y x x +=++的最大值为14,故②错误;对③:由23x y xy +=,故2121333x y xy y x+=+=,又,x y 为正数,故()12224482233333333x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭,当且仅当423x y ==时,等号成立,故2x y +的最小值为83,故③正确;对④:若,a b 为不相等的正实数,满足11a b a b +=+,则118a b a b++≥+由11a b a b +=+,则11a b a b b a ab--=-=,又,a b 为不相等的正实数,故1ab =,则11888a b a b a b a b ab a b a b+++=+=++≥+++当且仅当1a =+,1b =-或1a =-,1b =+时,等号成立,故④正确.故答案为:③④.四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.(1)求值:110340.064(π)(16)--++;(2)已知()112230a aa -+=>,求值:12222a a a a --++++.【答案】(1)8π5-;(2)949【解析】【分析】(1)根据题意,由指数幂的运算即可得到结果;(2)由()112230a aa -+=>平方可得1a a -+的值,再对1a a -+平方可得22a a -+的值,代入即可得出答案.【详解】(1)110340.064(π)(16)--++()1313442123π5⎡⎤⎛⎫=-++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212π35=-++-8π5=-(2)()112230a a a -+=> ,21112227,a a a a --⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭()2221247,a a a a --+=+-=12229.249a a a a --++∴=++16.设全集U =R ,集合{}{}02,123A x x B x a x a =<≤=-<<+.(1)若2a =时,求(),U A B A B ⋃⋂ð;(2)若A B B = ,求实数a 的取值范围.【答案】(1){}07A B x x ⋃=<<,(){}01U A B x x ⋂=<≤ð(2)(],4-∞-【解析】【分析】(1)得到集合B 后,结合并集定义即可得A B ,结合交集与补集定义即可得()U A B ⋂ð;(2)由A B B = 可得B A ⊆,分B =∅及B ≠∅计算即可得解.【小问1详解】当2a =时,{}17B x x =<<,则{}07A B x x ⋃=<<,{1U B x x =≤ð或}7x ≥,故(){}01U A B x x ⋂=<≤ð;【小问2详解】因为A B B = ,所以B A ⊆,若B =∅,则231a a +≤-,即4a ≤-,若B ≠∅,则232410a a a +≤⎧⎪>-⎨⎪-≥⎩,无解;综上,当A B B = 时,a 的取值范围是(,4ù-¥-û.17.已知函数2()()2f x x a b x a =-++.(1)若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|12}x x <<,求,a b 的值;(2)当2b =时,(i )若函数()f x 在[2,1]-上为单调递增函数,求实数a 的取值范围;(ii )解关于x 的不等式()0f x >.【答案】(1)12a b =⎧⎨=⎩(2)(i )6a ≤-;(ii )答案见解析【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系,借助韦达定理列式计算即得.(2)把2b =代入,利用二次函数的单调性列出不等式即可得解;分类讨论解一元二次不等式即可作答.【小问1详解】依题意,关于x 的方程2()20x a b x a -++=的两个根为1和2,于是得322a b a +=⎧⎨=⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩,所以12a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】当2b =时,2()(2)2f x x a x a =-++,(i )函数()f x 的对称轴为22a x +=,因函数()f x 在[2,1]-上为单调递增函数,则222a +≤-,解得6a ≤-,所以实数a 的取值范围是6a ≤-;(ii )不等式为2(2)20x a x a -++>,即()(2)0x a x -->,当2a <时,解得x a <或2x >,当2a =时,解得2x ≠,当2a >时,解得2x <或x a >,综上可知,当2a <时,不等式的解集为(,)(2,)a -∞⋃+∞,当2a =时,不等式的解集为(2)(2,)-∞⋃+∞,,当2a >时,不等式的解集为(2)(,)a -∞⋃+∞,.18.在园林博览会上,某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购,并决定大量投放市场,已知该种设备年固定研发成本为50万元,每生产一台需另投入90元,设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完,每万台的销售收入()G x (万元)与年产量x (万台)满足如下关系式:()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪-⎩.(1)写出年利润()W x (万元)关于年产量x (万台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的年利润最大,并求出最大利润.【答案】(1)()()25090,0208000201950,201x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨-+->⎪-⎩(2)20,1350【解析】【分析】(1)由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式;(2)分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论.【小问1详解】因为()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪-⎩,所以()()()25090,02050908000201950,201x x x W x G x x x x x x ⎧-+-<≤⎪=--=⎨-+->⎪-⎩;【小问2详解】当020x <≤时,()()225090451975W x x x x =-+-=--+,由函数性质可知当45x ≤时单调递增,所以当20x =时,()max 1350W x =,当20x >时,()()()8000400201950201193011W x x x x x ⎡⎤=-+-=--++⎢⎥--⎣⎦,由不等式性质可知()()4002011930202193011301W x x x ⎡⎤=--++≤-⨯⨯=⎢⎥-⎣⎦,当且仅当40011x x -=-,即21x =时,等号成立,所以()max 1130W x =,综上当20x =时,()max 1350W x =.19.已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1.设()()g x f x x =.(1)求,a b 的值;(2)若不等式()220x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解,求实数k 的取值范围;(3)若()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围.【答案】(1)1,0a b ==(2)(],1-∞(3)()0,∞+【解析】【分析】(1)根据()g x 的函数性质,即可判断()g x 在[]2,3上单调性,即有()()21,34g g ==,解出,a b 即可;(2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果;(3)将(1)中结论,代入题中式子,令()21xh x t =-=,根据图像变换画出函数图象,根据()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根及()h x 图象性质可知,只需()()232210t k t k -+++=有两个不同的实数解1t 、2t ,且有101t <<,21t >,或101t <<,21t =成立即可,根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可.【小问1详解】解:由题知()()211g x a x b a =-++-,因为0a >,所以()g x 为开口向上的抛物线,且有对称轴为1x =,所以()g x 在区间[]2,3上是单调增函数,则()()2134g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即11414a b a a b a ++-=⎧⎨++-=⎩,解得1,0a b ==;【小问2详解】由(1)得()221g x x x =-+,则()12f x x x =+-,因为()220x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解,即[]1,1x ∃∈-,使得12222x x x k +-≥⋅成立,因为20x >,所以有2111222x x k ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭成立,令12x t =,因为[]1,1x ∈-,所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即1,22t ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得221k t t ≤-+成立,只需()2max 21k t t ≤-+即可,记()()22211h t t t t =-+=-,因为1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得()()max 21h t h ==,所以k 的取值范围是(],1-∞;【小问3详解】因为()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同实数解,即()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根,令()21x h x t =-=,则()0,t ∈+∞,则()h x 图象是由2x y =图象先向下平移一个单位,再将x 轴下方图像翻折到x 轴上方,画出函数图象如下:根据图像可知,一个()h x 的函数值,最多对应两个x 值,要使()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根,则需()()232210t k t k -+++=有两个不同的实数解1t 、2t ,且有101t <<,21t >,或101t <<,21t =,记()()()23221m t t k t k =-+++,当101t <<,21t >时,只需()()021010m k m k ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩,解得0k >,当101t <<,21t =,只需()()021********m k m k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩,解得不存在,故舍去,综上:实数k 的取值范围是()0,∞+.【点睛】方法点睛:本题考查函数与方程的综合问题,属于中难题,关于方程根的个数问题的思路有:(1)对方程进行整体换元;(2)根据换元的对象,由图像变换,画出其图象;(3)根据方程根的个数,分析函数值的取值范围及二次方程根的个数;(4)利用二次函数根的分布问题进行解决即可.。
2017-2018学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知:如图,集合U为全集,则图中阴影部分表示的集合是()A.∁U(A∩B)∩C B.∁U(B∩C)∩A C.A∩∁U(B∪C)D.∁U(A∪B)∩C 2.已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根,则a+b=()A.﹣1 B.1 C.﹣3 D.33.已知双曲线C的一条渐近线的方程是:y=2x,且该双曲线C经过点,则双曲线C的方程是()A.B.C.D.4.已知:f(x)=asinx+bcosx,,若函数f(x)和g(x)有完全相同的对称轴,则不等式g(x)>2的解集是()A.B.C.D.5.已知各项均为正数的等比数列{a n},a3•a5=2,若f(x)=x(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a7),则f'(0)=()A.B.C.128 D.﹣1286.已知:,则目标函数z=2x﹣3y()A.z max=﹣7,z min=﹣9 B.,z min=﹣7C.z max=﹣7,z无最小值D.,z无最小值7.设f(x)=e1+sinx+e1﹣sinx,x1、,且f(x1)>f(x2),则下列结论必成立的是()A.x1>x2B.x1+x2>0 C.x1<x2D.>8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的外接球的表面积S=()A.10πB.C.D.12π9.执行如图的程序框图,若输出S的值是2,则a的值可以为()A.2014 B.2015 C.2016 D.201710.我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.其作法如下:①作一个正方形ABCD;②以AD的中点E为圆心,以EC长为半径作圆,交AD延长线于F;③以D为圆心,以DF长为半径作⊙D;④以A为圆心,以AD长为半径作⊙A交⊙D于G,则△ADG为黄金三角形.根据上述作法,可以求出cos36°=()A.B.C.D.11.已知抛物线E:y2=2px(p>0),过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB,则p的值是()两点(点A在第一象限),若S△OABA.2 B.3 C.4 D.512.已知:m>0,若方程有唯一的实数解,则m=()A.B.C.D.1二、填空题:13. 1.028≈(小数点后保留三位小数).14.已知向量=(1,2),=(﹣2,﹣4),||=,若(+)=,则与的夹角为.15.已知:,则cos2α+cos2β的取值范围是.16.在四边形ABCD中,∠ABC=90°,,△ACD为等边三角形,则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=.三、解答题:17.(12.00分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n=2S n+1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(2n﹣1)•a n,求数列{b n}的前n项和T n.18.(12.00分)如图1,在平行四边形ABB1A1中,∠ABB1=60°,AB=4,AA1=2,C、C1分别为AB、A1B1的中点,现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示,连接B1C、B1A、B1A1.(1)求证:AB1⊥CC1;(2)若,求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值.19.(12.00分)为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本,测量其直径后,整理得到下表:经计算,样本的平均值μ=65,标准差=2.2,以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(p表示相应事件的频率):①p(μ﹣σ<X≤μ+σ)≥0.6826.②P(μ﹣σ<X≤μ+2σ)≥0.9544③P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)≥0.9974.评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁.试判断设备M的性能等级.(2)将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品(i)从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数Y的数学期望E(Y);(ii)从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数Z的数学期望E(Z).20.(12.00分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且垂直于长轴的弦长为.(I)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)设点A,B分别是椭圆的左、右顶点,若过点P(﹣2,0)的直线与椭圆相交于不同两点M,N.(i)求证:∠AFM=∠BFN;(ii)求△MNF面积的最大值.21.(12.00分)已知函数,且函数f(x)的图象在点(1,﹣e)处的切线与直线x+(2e+1)y﹣1=0垂直.(1)求a,b;(2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)<﹣2.[选修4-4:极坐标与参数方程选讲](本小题满分10分)22.(10.00分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位),且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A,B,求|PA|+|PB|的最小值.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.已知a>0,b>0,函数f(x)=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2.(1)求a+b的值;(2)证明:a2+a>2与b2+b>2不可能同时成立.2017-2018学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知:如图,集合U为全集,则图中阴影部分表示的集合是()A.∁U(A∩B)∩C B.∁U(B∩C)∩A C.A∩∁U(B∪C)D.∁U(A∪B)∩C 【分析】阴影部分所表示的为在集合B中但不在集合A中的元素构成的部分,即在B中且在A的补集中.【解答】解:阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B,C中的元素构成的,故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U(B∪C),故选:C.【点评】本题考查利用集合运算表示韦恩图中的集合、考查韦恩图是研究集合关系的常用工具.2.已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根,则a+b=()A.﹣1 B.1 C.﹣3 D.3【分析】利用实系数方程的虚根成对定理,列出方程组,求出a,b即可.【解答】解:1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根,一元二次方程虚根成对(互为共轭复数)..得:a=1,b=﹣2,a+b=﹣1.故选:A.【点评】本题考查实系数方程成对定理的应用,考查计算能力.3.已知双曲线C的一条渐近线的方程是:y=2x,且该双曲线C经过点,则双曲线C的方程是()A.B.C.D.【分析】设出双曲线方程代入点的坐标,然后求解双曲线方程即可.【解答】解:由题可设双曲线的方程为:y2﹣4x2=λ,将点代入,可得λ=﹣4,整理即可得双曲线的方程为.故选:D.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法,考查计算能力.4.已知:f(x)=asinx+bcosx,,若函数f(x)和g(x)有完全相同的对称轴,则不等式g(x)>2的解集是()A.B.C.D.【分析】若函数f(x)和g(x)有完全相同的对称轴,则这两个函数的周期是一样的,即ω=1.通过解不等式g(x)>2求得x的取值范围.【解答】解:由题意知,函数f(x)和g(x)的周期是一样的,故ω=1,不等式g(x)>2,即,解之得:.故选:B.【点评】考查了正弦函数的对称性.根据函数的对称性求、求出ω是解决本题的关键.5.已知各项均为正数的等比数列{a n},a3•a5=2,若f(x)=x(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a7),则f'(0)=()A.B.C.128 D.﹣128【分析】令f(x)=x•g(x),其中g(x)=(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a7),利用函数的导数求解即可.【解答】解:令f(x)=x•g(x),其中g(x)=(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a7),则f'(x)=g(x)+x•g'(x),故,各项均为正数的等比数列{a n},a3•a5=2,,故.故选:B.【点评】本题考查函数的导数的应用,数列的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.6.已知:,则目标函数z=2x﹣3y()A.z max=﹣7,z min=﹣9 B.,z min=﹣7C.z max=﹣7,z无最小值D.,z无最小值【分析】画出可行域,利用目标函数的几何意义,求解函数的最值即可.【解答】解:画出的可行域,如图:A(0,3),,C(4,5),目标函数z=2x﹣3y经过C时,目标函数取得最大值,z max=﹣7,没有最小值.故选:C.【点评】本题考查线性规划的简单应用,目标函数的最值考查数形结合的应用,是基础题.7.设f(x)=e1+sinx+e1﹣sinx,x1、,且f(x1)>f(x2),则下列结论必成立的是()A.x1>x2B.x1+x2>0 C.x1<x2D.>【分析】根据条件判断函数是偶函数,结合条件判断函数的单调性,进行判断即可.【解答】解:f(x)=f(﹣x),故f(x)是偶函数,而当时,f'(x)=cosx•e1+sinx﹣cosx•e1﹣sinx=cosx•(e1+sinx﹣e1﹣sinx)>0,即f(x)在是单调增加的.由f(x1)>f(x2),可得f(|x1|)>f(|x2|),即有|x1|>|x2|,即,故选:D.【点评】本题主要考查函数单调性的应用,根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键.8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的外接球的表面积S=()A.10πB.C.D.12π【分析】判断三视图复原的几何体的形状,通过已知的三视图的数据,求出该多面体的外接球的表面积.【解答】解析:该多面体如图示,外接球的半径为AG,HA为△ABC外接圆的半径,HG=1,,故,∴该多面体的外接球的表面积.故选:B.【点评】本题考查多面体的外接球的表面积的求法,考查空间几何体三视图、多面体的外接球等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.9.执行如图的程序框图,若输出S的值是2,则a的值可以为()A.2014 B.2015 C.2016 D.2017【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,根据输出的S值即可得出该程序中a的值.【解答】解:模拟程序的运行,可得:S=2,k=0;满足条件k<a,执行循环体,可得:S=﹣1,k=1;满足条件k<a,执行循环体,可得:,k=2;满足条件k<a,执行循环体,可得:S=2,k=3;…,∴S的值是以3为周期的函数,当k的值能被3整除时,不满足条件,输出S的值是2,a的值可以是2016.故选:C.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,从而得出正确的结论,是基础题.10.我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.其作法如下:①作一个正方形ABCD;②以AD的中点E为圆心,以EC长为半径作圆,交AD延长线于F;③以D为圆心,以DF长为半径作⊙D;④以A为圆心,以AD长为半径作⊙A交⊙D于G,则△ADG为黄金三角形.根据上述作法,可以求出cos36°=()A.B.C.D.【分析】根据做法,图形如图所示,△ADG即为黄金三角形,不妨假设AD=AG=2,则,由余弦定理即可求出【解答】解:根据做法,图形如图所示,△ADG即为黄金三角形,不妨假设AD=AG=2,则,由余弦定理可得cos36°==故选:B.【点评】本题考查了黄金三角形的定义作法和余弦定理,属于中档题11.已知抛物线E:y2=2px(p>0),过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB,则p的值是()两点(点A在第一象限),若S△OABA.2 B.3 C.4 D.5【分析】利用三角形的面积推出,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2+y1y2=﹣3,通过,代入求解即可.【解答】解:,即,不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2+y1y2=﹣3,即有,又因为,故:p=2.故选:A.【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,直线与抛物线的位置关系的应用,是中档题.12.已知:m>0,若方程有唯一的实数解,则m=()A.B.C.D.1【分析】方法一:验证,当时,f(x)=lnx与g(x)=x2﹣x在点(1,0)处有共同的切线,即可;方法二:将方程整理得,设,则由题意,直线是函数f(x)的一条切线,不妨设切点为(x0,y0),列出方程组求解即可.【解答】解:方法一:验证,当时,f(x)=lnx与g(x)=x2﹣x在点(1,0)处有共同的切线y=x﹣1.方法二:将方程整理得,设,则由题意,直线是函数f(x)的一条切线,不妨设切点为(x0,y0),则有:,解之得:x0=1,y0=1,.故选:B.【点评】本题考查函数与方程的应用,求出方程的平方,直线与抛物线的位置关系的应用.二、填空题:13. 1.028≈ 1.172(小数点后保留三位小数).【分析】根据1.028=(1+0.02)8,利用二项式定理展开,可得它的近似值.【解答】解:1.028=(1+0.02)8=+++×0.023+…+≈=+++×0.023=1+8×0.02+28×0.0004+56×0.000008=1.172,故答案为:1.172【点评】本题主要考查二项式定理的应用,属于基础题.14.已知向量=(1,2),=(﹣2,﹣4),||=,若(+)=,则与的夹角为.【分析】设=(x,y),根据题中的条件求出x+2y=﹣,即=﹣,再利用两个向量的夹角公式求出cosθ的值,由此求得θ的值.【解答】解:设=(x,y),由向量=(1,2),=(﹣2,﹣4),||=,且(+)=,可得﹣x﹣2y=,即有x+2y=﹣,即=﹣,设与的夹角为等于θ,则cosθ===﹣.再由0≤θ≤π,可得θ=,故答案为:.【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用,求出=﹣是解题的关键,属于中档题15.已知:,则cos2α+cos2β的取值范围是.【分析】由已知利用二倍角公式化简可求cos2α+cos2β=3(cosβ﹣sinα),由,得sinα的范围,从而可求,进而得解.【解答】解:∵,∴cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2(sinα+cosβ)(cosβ﹣sinα)=3(cosβ﹣sinα),∵由,得,,易得:,∴,∴.故答案为:.【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,考查了正弦函数的性质及其应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.16.在四边形ABCD中,∠ABC=90°,,△ACD为等边三角形,则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=1.【分析】以AC为x轴,AC的中点为坐标原点建立坐标系,分别求出△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的方程,联立求得交点,利用两点间的距离公式求得两圆公共弦长.【解答】解:以AC为x轴,AC的中点为坐标原点建立坐标系,则A(﹣1,0),C(1,0),B(0,1),D(0,﹣),∴△ABC的外接圆的方程x2+y2=1,①△ACD的内切圆方程为,即,②联立①②可得两圆交点坐标为(,﹣),(,﹣),∴两圆的公共弦长为.故答案为:1.【点评】本题考查圆的方程的求法,考查圆与圆位置关系的应用,是中档题.三、解答题:17.(12.00分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n=2S n+1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(2n﹣1)•a n,求数列{b n}的前n项和T n.【分析】(1)当n=1时计算可知a1=﹣1,当n≥2时将a n=2S n+1与a n﹣1=2S n﹣1+1作差可知a n=﹣a n﹣1,进而可知数列{a n}是首项为﹣1,公比为﹣1的等比数列;(2)通过(1)可知,分n为奇偶两种情况讨论即可.【解答】解:(1)当n=1时,a1=2S1+1=2a1+1,解得a1=﹣1.当n≥2时,有:a n=2S n+1,a n﹣1=2S n﹣1+1,两式相减、化简得a n=﹣a n﹣1,所以数列{a n}是首项为﹣1,公比为﹣1的等比数列,从而.(2)由(1)得,当n为偶数时,b n+b n=2,;﹣1当n为奇数时,n+1为偶数,T n=T n+1﹣b n+1=(n+1)﹣(2n+1)=﹣n.所以数列{b n}的前n项和.【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于中档题.18.(12.00分)如图1,在平行四边形ABB1A1中,∠ABB1=60°,AB=4,AA1=2,C、C1分别为AB、A1B1的中点,现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示,连接B1C、B1A、B1A1.(1)求证:AB1⊥CC1;(2)若,求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值.【分析】(1)取CC1的中点O,连接OA,OB1,AC1,说明AO⊥CC1,OB1⊥CC1,推出CC1⊥平面OAB1,然后证明AB1⊥CC1;(2)证明AO⊥OB1,以O为原点,以OC,OB1,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出平面AB1C的法向量,平面A1B1A的法向量,利用空间向量的数量积求解二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值即可.【解答】证明:(1)取CC1的中点O,连接OA,OB1,AC1,∵在平行四边形ABB1A1中,∠ABB1=60°,AB=4,AA1=2,C、C1分别为AB、A1B1的中点,∴△ACC1,△BCC1为正三角形,则AO⊥CC1,OB1⊥CC1,又∵AO∩OB1=O,∴CC1⊥平面OAB1,∵AB1⊂平面OAB1∴AB1⊥CC1;…4分(2)∵∠ABB1=60°,AB=4,AA1=2,C、C1分别为AB、A1B1的中点,∴AC=2,,∵,则,则三角形AOB1为直角三角形,则AO⊥OB1,…6分以O为原点,以OC,OB1,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(1,0,0),B1(0,,0),C1(﹣1,0,0),A(0,0,),则则,=(0,,),=(1,0,),设平面AB 1C的法向量为,则,令z=1,则y=1,,则,设平面A 1B1A的法向量为,则,令z=1,则x=0,y=1,即,…8分则…10分∴二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是.…12分.【点评】本题考查二面角的平面角的求法,直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用,考查计算能力与空间想象能力.19.(12.00分)为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本,测量其直径后,整理得到下表:经计算,样本的平均值μ=65,标准差=2.2,以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(p表示相应事件的频率):①p(μ﹣σ<X≤μ+σ)≥0.6826.②P(μ﹣σ<X≤μ+2σ)≥0.9544③P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)≥0.9974.评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁.试判断设备M的性能等级.(2)将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品(i)从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数Y的数学期望E(Y);(ii)从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数Z的数学期望E(Z).【分析】(Ⅰ)利用条件,可得设备M的数据仅满足一个不等式,即可得出结论;(Ⅱ)易知样本中次品共6件,可估计设备M生产零件的次品率为0.06.(ⅰ)由题意可知Y~B(2,),于是E(Y)=2×=;(ⅱ)确定Z的取值,求出相应的概率,即可求出其中次品个数Z的数学期望E (Z).【解答】解:(Ⅰ)P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=P(62.8<X≤67.2)=0.8≥0.6826,P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=P(60.6<X≤69.4)=0.94≥0.9544,P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=P (58.4<X≤71.6)=0.98≥0.9974,因为设备M的数据仅满足一个不等式,故其性能等级为丙;…(4分)(Ⅱ)易知样本中次品共6件,可估计设备M生产零件的次品率为0.06.(ⅰ)由题意可知Y~B(2,),于是E(Y)=2×=;…(8分)(ⅱ)由题意可知Z的分布列为故E(Z)=0×+1×+2×=.…(12分)【点评】本题考查概率的计算,考查正态分布曲线的特点,考查数学期望,考查学生的计算能力,属于中档题.20.(12.00分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且垂直于长轴的弦长为.(I)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)设点A,B分别是椭圆的左、右顶点,若过点P(﹣2,0)的直线与椭圆相交于不同两点M,N.(i)求证:∠AFM=∠BFN;(ii)求△MNF面积的最大值.【分析】(1)运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长,结合a,b,c的关系解得a,b,可得椭圆的方程;(II)方法一、(i)讨论直线AB的斜率为0和不为0,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB方程为x=my﹣2,代入椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于0,运用直线的斜率公式求斜率之和,即可得证;(ii)求得△MNF的面积,化简整理,运用基本不等式可得最大值.方法二、(i)由题知,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为:y=k(x+2),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立椭圆方程,消去y,可得x的方程,运用韦达定理和判别式大于0,再由直线的斜率公式,求得即可得证;(ii)求得弦长|MN|,点F到直线的距离d,运用三角形的面积公式,化简整理,运用换元法和基本不等式,即可得到所求最大值.【解答】解:(1)由题意可得,令x=﹣c,可得y=±b=±,即有,又a2﹣b2=c2,所以.所以椭圆的标准方程为;(II)方法一、(i)当AB的斜率为0时,显然∠AFM=∠BFN=0,满足题意;当AB的斜率不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB方程为x=my﹣2,代入椭圆方程,整理得(m2+2)y2﹣4my+2=0,则△=16m2﹣8(m2+2)=8m2﹣16>0,所以m2>2.,可得==.则k MF+k NF=0,即∠AFM=∠BFN;(ii)当且仅当,即m2=6.(此时适合△>0的条件)取得等号.则三角形MNF面积的最大值是.方法二(i)由题知,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为:y=k(x+2),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2﹣2=0,则△=64k4﹣4(1+2k2)(8k2﹣2)=8﹣16k2>0,所以.,可得=∴k MF+k NF=0,即∠AFM=∠BFN;(ii),点F(﹣1,0)到直线MN的距离为,即有==.令t=1+2k2,则t∈[1,2),u(t)=,当且仅当,即(此时适合△>0的条件)时,,即,则三角形MNF面积的最大值是.【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和判别式大于0,以及直线的斜率公式,考查基本不等式的运用:求最值,属于中档题.21.(12.00分)已知函数,且函数f(x)的图象在点(1,﹣e)处的切线与直线x+(2e+1)y﹣1=0垂直.(1)求a,b;(2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)<﹣2.【分析】(1)由f(1)=﹣e,得a﹣b=﹣1,由f'(1)=2e+1,得到a﹣4b=2,由此能求出a,b.(2)f(x)<﹣2,即证,令g(x)=(2﹣x3)e x,,由此利用导数性质能证明f(x)<﹣2.【解答】解:(1)因为f(1)=﹣e,故(a﹣b)e=﹣e,故a﹣b=﹣1①;依题意,f'(1)=2e+1;又,故f'(1)=e(4a﹣b)+1=2e+1,故4a﹣b=2②,联立①②解得a=1,b=2;(2)由(1)得,要证f(x)<﹣2,即证;令g(x)=(2﹣x3)e x,,g'(x)=﹣e x(x3+3x2﹣2)=﹣e x(x+1)(x2+2x﹣2)令g'(x)=0,因为x∈(0,1),e x>0,x+1>0,故,所以g(x)在上单调递增,在单调递减.而g(0)=2,g(1)=e,当时,g(x)>g(0)=2当时,g(x)>g(1)=e故当x∈(0,1)时,g(x)>2;而当x∈(0,1)时,,故函数所以,当x∈(0,1)时,ϕ(x)<g(x),即f(x)<﹣2.【点评】本题考查导数的应用,考查导数的几何意义,考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.[选修4-4:极坐标与参数方程选讲](本小题满分10分)22.(10.00分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位),且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A,B,求|PA|+|PB|的最小值.【分析】(I)利用x=ρcosθ,y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程;(II)先根据(I)得出圆C的普通方程,再根据直线与交与交于A,B两点,可以把直线与曲线联立方程,用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义,表示出|PA|+|PB|,最后根据三角函数的性质,即可得到求解最小值.【解答】解:(Ⅰ)由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2=6y,即x2+(y﹣3)2=9.(Ⅱ)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cosα﹣s inα)t﹣7=0.由△=(2cosα﹣2sinα)2+4×7>0,故可设t1,t2是上述方程的两根,所以,又直线l过点(1,2),故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|====2.所以|PA|+|PB|的最小值为2.【点评】此题主要考查参数方程的优越性,及直线与曲线相交的问题,在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可,属于综合性试题有一定的难度.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.已知a>0,b>0,函数f(x)=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2.(1)求a+b的值;(2)证明:a2+a>2与b2+b>2不可能同时成立.【分析】(1)运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值为a+b,即可得到所求最小值;(2)运用反证法,结合二次不等式的解法,即可得证.【解答】解:(1)∵a>0,b>0,∴f(x)=|x﹣a|+|x+b|≥|(x﹣a)﹣(x+b)|=|a+b|=a+b,∴f(x)min=a+b,由题设条件知f(x)min=2,∴a+b=2;证明:(2)∵a+b=2,而,故ab≤1.假设a2+a>2与b2+b>2同时成立.即(a+2)(a﹣1)>0与(b+2)(b﹣1)>0同时成立,∵a>0,b>0,则a>1,b>1,∴ab>1,这与ab≤1矛盾,从而a2+a>2与b2+b>2不可能同时成立.【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明,考查反证法的运用,以及运算能力和推理能力,属于中档题.。
2017-2018学年下期期末考试高一数学试题卷第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.0585sin的值为( 1.)3322??.. CA D B..2222a?a b?b5,3?3,5( (则)),与(2.已知向量 ),A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向D.平行且反向3的是( 3.)下列各式中,值为20020202020201515152sin15coscos15cos?151?sinsin15?2sin.A. B. D C.4.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示,则运动员甲得分的中位数,乙得分的平均数分别为()A.19,13 B.13,19 C.19,18 D.18,195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中,随机摸出两个小球,则两个小球同色的概率是()2211 B. C. D. A.2335?????????????????sinx??cos?cos?xx??sinx?y在一个周期内的图像是()函数6.????????????4444????????????. D. A C.. B e e3e?4ee的夹角的余弦值是()与向量设单位向量7.°,则向量,的夹角为60 11122373752553D B..A C..3743737 11320?s),那么判断框中应填入(8.如果下面程序框图运行的结果11?kk?11??k?10?k?10?.A. D C. . B米的概率是400米长的直线型跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道上相距不超过509.甲、乙两人各自在()151111 A.. C. D. B643684????x)?)?sin(2xf(x可能取值是(的图像关于直线10.已知函数对称,则)6?????? BA... C. D61262OCCO PABAB,若11.如图所示,点与线段,上的三点,线段,交于圈内一点是圆???ABmOBAP?OC?mOA?3,),则(2354.A. B C. D.5465????0?OA?OBOBOAsinOAOB??cos]?[0,,若向满足,,12.已知平面上的两个向量和,212222????????OC?2(2(21)sin?1)cos??)?OCOA?OB(,?R的最大值是(量),且,则43333B.A. C. D.2457第Ⅱ卷(共90分)2二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)??4tan????)tan(??)?tan(3.,13.已知,则x2xyy?.,标准差是,9,,,则的平均数是8,14.已知样本78?ABCAC?4BC?3AB?5PAB CP(BC?BA)的最为,边上的任意一点,则,15.已知,的三边长小值为.??)??2sin(2xf(x)g(x)的图像,若2的图像向左平移个单位,得到个单位,再向下平移将函数16.126??]2x?[?2x,2xg(x)g(x)?16x?的最大值为,则,且,.211122三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)a?(1,2)b?(?3,4).已知向量,17.a?bb夹角的余弦值与向量)求向量(I??)b?(a?a的值,求实数(II)若.?????)?0,)?B((fx)?Asin(?x?在某一个周期内的图像时,列表某同学用“五点法”画函数18.2并填入了部分数据,如下表:f(x)的解析式(I)请将上表数据补充完整,并直接写出函数?y?g(x))y?g(x)(fx的图像离)将个单位长度,得到的图像,求的图像上所有点向左平行移动(II 6y轴最近的对称中心.x y之间的一组数据关系如(元)与该周每天销售这种商品数19. 某商场经营某种商品,在某周内获纯利表:(I)画出散点图;x y之间的回归直线方程;与每天销售件数II()求纯利(III)估计当每天销售的件数为12件时,每周内获得的纯利为多少?附注:37777????22234992?3076??x)?27yxx?280y(x,,,,iiiiii?i1?1i?1i?1nn ??ynxyx?x)(y?y)(x?iiii1i?i?1?b?a?y?bx.,nn2??22nxx?x(x?)ii11i?i?ABCDBCCD FE上.是在边20. 在矩形边上的中点,点中,点CDC????F ADAB??EF的值;上靠近,求I()若点的四等分点,设是AB?3BC?4AEBE?2DF的长,当)若(II,.时,求21.某中学举行了数学测试,并从中随机抽取了60名学生的成绩(满分100分)作为样本,其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生,得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.(I)若该所中学共有3000名学生,试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数;(II)若在样本中,利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人,再从中抽取3人,试求恰好抽中1名优秀生的概率.1?2???0??xxcossin(fx)?3x?sin2?x)yfy?(相交,且两已知函数22.的图象与直线)(,2x.相邻交点之间的距离为f(x)的解析式;(I )求函数 4????,x?)(xf(II)已知,求函数的值域;??2??)xf(. )求函数的单调区间并判断其单调性(III试卷答案一、选择题BDADC CBBABCB 11、 6-10:12:1-5:二、填空题?55116- 16.13. 14.60 15.1213三、解答题??a2?4,?a?b?ba?,设与,的夹角为)17.解:(1??bb?a?4?(?3)?(?2)?425???cos???,所以52bba???2224??3??(2))?4(????????b?a?a41?3?a,2b??, 2)(??????????1?0a?b??a0?2??1?1?34?2?,解得∴???2?A=5??,18.,解:(1)根据表中已知数据,解得数据补全如下表:...............................6 51111Asi???+2x?f(x)=5sin2.且函数表达式为??........6?????+2?f(x)=5sin2x, (1)(2)由知??.........6???????????+2x?x2?+2=5sin?2g(x)=5sin.因此??????...666?????????k??Zk?k?Z?kZ,2)(k sinxy=?x=2x+=k,,,因为,解得,的对称中心为,令.................1226??kx Z?k,2)(?)2(-,)(gxy=y. ,其中离图象的对称中心为轴最近的对称中心为即,........................1222(1)解:19.y9080706050x0968754123)(2 69?7?8?3?4?5?66?x?782?80?56?59?63?71?7970??y77?y?nxxy ii136703076?7?6?1i?4.9??b????2nx?x ii136?70y?bx?6?40.9??a?228?36280?7728?40.9?4.9xy??回归方程为:?12x?99.740.9?y?4.9?12?)当时(3.元件时,周内获得的纯利润为所以估计当每天销售的简述为1299.7FECFEC+EF=CBCCD以的四等分点点20.解:(1),是上靠,因为近是所边的中点,11CD?BC?CF?EF?ECABBC=AD,CD=-ABCD,在矩形,中,4211111???????AB?EF??AD???. 所以,,,则,即8424211AD==AB+AB+BCAE0)>(mDC-(m1)CF=mDCDF=,则,(2)设,22ADAB+=(m-1)BCBF=CF+BC=(m-1)DC+,0AD?AB?又,1122ADm-1)AB+)[(mAE?BF?(AB?AD?1)AB?AD]=(21)+8=9(=m-所以,221=m DF解得.的长为,所以13??0.30.1?0.2?80,100,则估计全校这次考试中优)由直方图可知,样本中数据落在的频率为解:21.(19000.3?3000?秀生人数为.??????90,10080,9070,80人,间分别抽取了,3人,,)由分层抽样知识可知,成绩在(221人.??????eac db90,10080,9070,80f,的3人为,成绩在,的,,成绩在,1记成绩在人为的2人为)ec,(((,b,e)a,b,f)a,c,d)a,(,(,(a,bc)a,bd)a,,,,6则从这人中抽取3人的所有可能结果有,,),(,b,de)b,df),,bef((),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(acfadeadfaefbcdbcebcf,,,,,,,,,,)),,(),,(cdfcef e,f,d(共种,,,20 7)b,f,e)(a,)(b,c,e)(c,a,,(ab,d)(b,c,d)(ca,d)(a,b,e,,,,,,其中恰好抽中1名优秀生的结果有)a,ff)(c,(b,c,共,9种,9?P所以恰好抽中1名优秀生的概率为.20?1?cos2ωx311??2??????3xsin?sinxxcos???sin2x??1?sin(2fx?)x?)22.与解:(162222???1?T?2?y直线,所以,则的图象的两相邻交点之间的距离为π?????2x?1?f?xsin??6???????1713?]?2x??[,]?sin(2xx?[,?)?[?1,]()22666621??[,2]xf?的值域是2?????(k?kx?Zkx?Z)?)?x?2kx??2x??2kx?(k,3()令,则62263ππ??????Z?-?k,kπkπxf所以函数的单调减区间为??36???????23(k?Z),kx??x?kx??2x?2kx??(k?kx2?Z),则令26263π2π??????Z?π??kπk,k xf所以函数的单调增区间为??63??8。
2017-2018学年下期期末考试高一数学试题卷第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.0sin 585的值为( )A .22 B .22- C .3- D .32.已知向量a =(3,5-),b =(5,3),则a 与b ( )A .垂直B .不垂直也不平行C .平行且同向D .平行且反向 3.下列各式中,值为3的是( ) A .002sin15cos15 B .2020cos 15sin 15- C .202sin 151- D .2020sin 15cos 15+4.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示,则运动员甲得分的中位数,乙得分的平均数分别为( )A .19,13B .13,19 C.19,18 D .18,195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中,随机摸出两个小球,则两个小球同色的概率是( ) A .23 B .25 C. 12 D .136.函数cos sin cos sin 4444y x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++•+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图像是( )A .B . C.D .7.设单位向量1e ,2e 的夹角为60°,则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是( )A .34 B .537C.2537 D .5378.如果下面程序框图运行的结果1320s =,那么判断框中应填入( )A .10?k <B .10?k > C. 11?k < D .11?k >9.甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是( ) A .18 B .1136 C.14 D .156410.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于直线6x π=对称,则ϕ可能取值是( )A .2π B .12π- C.6π D .6π- 11.如图所示,点A ,B ,C 是圆O 上的三点,线段OC 与线段AB 交于圈内一点P ,若3OC mOA mOB =+,AP AB λ=,则λ=( )A .56 B .45 C.34 D .2512.已知平面上的两个向量OA 和OB 满足cos OA α=,sin OB α=,[0,]2πα∈,0OA OB ⋅=,若向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈,且22221(21)cos 2(21)sin 4λαμα-+-=,则OC 的最大值是( ) A .32 B .34 C.35 D .37第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知tan 4α=,tan()3πβ-=,则tan()αβ+ .14.已知样本7,8,9,x ,y 的平均数是82,则xy = . 15.已知ABC ∆的三边长4AC =,3BC =, 5AB =,P 为AB 边上的任意一点,则()CP BC BA -的最小值为 .16.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图像向左平移12π个单位,再向下平移2个单位,得到()g x 的图像,若12()()16g x g x =,且1x ,2[2,2]x ππ∈-,则122x x -的最大值为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知向量(1,2)a =,(3,4)b =-. (I )求向量a b -与向量b 夹角的余弦值 (II )若()a a b λ⊥-,求实数λ的值.18.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x B πωϕωϕ=++><在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如下表:(I)请将上表数据补充完整,并直接写出函数()f x的解析式(II)将()f x的图像上所有点向左平行移动6π个单位长度,得到()y g x=的图像,求()y g x=的图像离y轴最近的对称中心.19. 某商场经营某种商品,在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种商品数x之间的一组数据关系如表:(I)画出散点图;(II)求纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程;(III)估计当每天销售的件数为12件时,每周内获得的纯利为多少?附注:721280iix==∑,721()27iix x=-=∑,713076i iix y==∑,72134992iiy==∑,1122211()()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑,a y bx=-.20. 在矩形ABCD中,点E是BC边上的中点,点F在边CD上.(I )若点F 是CD 上靠近C 的四等分点,设EF AB AD λμ=+,求λμ的值; (II )若3AB =,4BC =,当2AE BE =时,求DF 的长.21.某中学举行了数学测试,并从中随机抽取了60名学生的成绩(满分100分)作为样本,其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生,得到成绩分布的频率分布直方图如图所示. (I )若该所中学共有3000名学生,试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数; (II )若在样本中,利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人,再从中抽取3人,试求恰好抽中1名优秀生的概率.22.已知函数21()sin 3cos 2f x x x x ωωω=+(0ω>),()y f x =的图象与直线2y =相交,且两相邻交点之间的距离为x .(I )求函数()f x 的解析式;(II )已知,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求函数()f x 的值域; (III )求函数()f x 的单调区间并判断其单调性.试卷答案一、选择题1-5:BABCB 6-10:BDADC 11、12:CB二、填空题13.11314.60 15.16 16.5512π三、解答题17.解:(1)()4,2a b -=-,设a b -与a 的夹角为θ,所以()()224cos (32)()a a b bb b θ-⋅===-+-⨯+- , (2)()13,24a b λλλ-=+-()a ab λ⊥-,∴()0a a b λ⋅-= ()()1132240λλ∴⨯++⨯-=,解得1λ= 18....解:..(1)...根据表中已知数据,解得...........5A =,.2ω=,.6πϕ=-..数据补全如下表:........且函数表达式为.......f(x)=5sin 2+26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.. (2)...由.(1)...知.f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭,. 因此..g(x)=5sin 2+2=5sin 2+2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.. 因为..y sinx =的对称中心为......(,2)k π ,.k Z ∈,令..2x+=k 6ππ,.k Z ∈,解得...x=212k ππ-,.k Z ∈,.即.()y g x =图象的对称中心为........222kx π(-,),.k Z ∈,其中离....y 轴最近的对称中心为.........(,2)12π-..19.解:(1)(2)712723456789675659637179808270730767670136 4.92807362813670640.928i ii iix y x y nx yb xnxa y bx =++++++==++++++==--⨯⨯∴===≈-⨯-∴=-=-⨯≈∑∑∴回归方程为: 4.940.9y x ∧=+(3)当12x -时 4.91240.999.7y ∧=⨯+=所以估计当每天销售的简述为12件时,周内获得的纯利润为99.7元. 20.解:(1)EFEC CF ,因为E 是BC 边的中点,点F 是CD 上靠近C 的四等分点,所以1124EF EC CF BC CD =+=+,在矩形ABCD 中,,BC AD CD AB ,所以,1142EF AB AD =-+,即14λ=-,12μ=,则18λμ⋅=-.(2)设DF mDC (0)m ,则(1)CF m DC ,1122AE ABBC ABAD , (1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD ,又0AB AD ⋅=,所以1()[(m 1)]2AE BF AB AD AB AD ⋅=+-+221(1)2m AB AD 9(1)82m ,解得13m,所以DF 的长为1. 21.解:(1)由直方图可知,样本中数据落在[]80,100的频率为0.20.10.3+=,则估计全校这次考试中优秀生人数为30000.3900⨯=.(2)由分层抽样知识可知,成绩在[)70,80,[)80,90,[]90,100间分别抽取了3人,2人,1人.记成绩在[)70,80的3人为a ,b ,c ,成绩在[)80,90的2人为d ,e ,成绩在[]90,100的1人为f ,则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(,,)a b c ,(,,)a b d ,(,,)a b e ,(,,)a b f ,(,,)a c d ,(,,)a c e ,(,,)a c f ,(,,)a d e ,(,,)a d f ,(,,)a e f ,(,,)b c d ,(,,)b c e ,(,,)b c f ,(,,)b d e ,(,,)b d f ,(,,)b e f ,(,,)c d f ,(,,)c e f ,(,,)d e f 共20种,其中恰好抽中1名优秀生的结果有(,,)a b d ,(,,)b c d ,(,,)c a d ,(,,)a b e ,(,,)b c e (,,)c a e ,(,,)a b f ,(,,)b c f ,(,,)c a f 共9种,所以恰好抽中1名优秀生的概率为920P =. 22.解:(1)()211cos2ωx 1sin 21sin(2)22226f x x xcos x sin x x πωωωωω-=+==-+=-+与直线2y =的图象的两相邻交点之间的距离为π,则T π=,所以1ω=(2)7131[,]2[,]sin(2)[1,]266662x x x ππππππ∈∴+∈∴+∈-()f x ∴的值域是1[,2]2(3)令222()262kx x kx k Z πππ-≤+≤+∈,则()36kx x kx k Z ππ-≤≤+∈,所以函数()f x 的单调减区间为()ππk π-,k πk Z 63⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令3222(),262kx x kx k Z πππ+≤+≤+∈则2()63kx x kx k Z ππ+≤≤+∈, 所以函数()f x 的单调增区间为()π2πk π,k πk Z 63⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦。