高中数学一轮复习基础知识手册第十编：数列

高三数学数列知识点归纳总结数列是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。

高三学习阶段，数列的理解和应用变得尤为重要。

本文将对高三数学数列的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地掌握数列的相关内容。

一、数列的定义和性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。

一般表示为{a₁, a₂, a₃, ... , aₙ}，其中a₁, a₂, a₃, ... 分别表示数列的第1项、第2项、第3项、... 第n项。

1. 等差数列等差数列是一种常见的数列，其特点是每一项与前一项之间的差值是一个常数，称为公差，一般表示为d。

常用性质：(1) 第n项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d(2) 前n项和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 22. 等比数列等比数列是一种常见的数列，其特点是每一项与前一项之间的比值是一个常数，称为公比，一般表示为r。

常用性质：(1) 第n项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)(2) 前n项和公式（当r ≠ 1时）：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)3. 通项公式通项公式可以根据数列的规律，直接给出第n项的表达式。

通过通项公式，可以快速计算数列的任意一项。

二、数列的应用1. 等差数列的应用等差数列在实际问题中的应用非常广泛，常用于描述一些增减规律明显的情况。

(1) 速度、距离和时间的关系：当速度恒定时，可以利用等差数列来描述物体在某段时间内的位置变化。

(2) 等差数列求和：可以利用等差数列的前n项和公式，求解一段时间内某物体的总距离或总位移。

2. 等比数列的应用等比数列在实际问题中也有广泛的应用，常用于描述一些指数型的增长或衰减规律。

(1) 复利问题：利用等比数列可以解决一些复利问题，比如定期存款、投资基金等。

(2) 指数增长和衰减：利用等比数列可以描述一些指数增长或衰减的情况，比如病菌的增殖、放射性物质的衰变等。

三、常见数列的特殊性质1. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项是前两项之和。

高三数学第一轮复习：数列的知识点高三数学第一轮复习：数列的知识点导语：数列是以正整数集为定义域的函数，是一列有序的数。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

排在第一位的数称为这个数列的第1项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。

下面是小编为大家整理的,数学知识，更多相关信息请关注CNFLA相关栏目!1.数列概念①数列是一种特殊的函数。

其特殊性主要表现在其定义域和值域上。

数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。

图像法;c.解析法。

其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

2.等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，前n项和用Sn表示。

an=kn+b(k,b为常数)由三个数a，A，b组成的.等差数列可以堪称最简单的等差数列。

这时，A叫做a与b的等差中项。

3.等比数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

an=Sn-S(n-1) (n≥2)注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G²=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

一、数列的概念1、数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。

数列中的每个数都叫这个数列的项。

数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，…n a ，…，或简记为}{n a 。

其中1a 是数列的第1项(又称首项)，n a 是数列的第n 项(又称通项)。

2、通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

说明：①}{n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，)(n f a n =表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，⎩⎨⎧=-=-=-=k n k n a n n 2,112,1)1((+∈N k )；③不是每个数列都有通项公式。

例如：1、4.1、41.1、414.1、……。

3、数列的特性：(对比集合的特性)→数列是特殊的数集、点集。

(1)有序性：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列。

(2)可异性：定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列。

(3)从函数角度看数列：数列可以看作是一个定义域为正整数集+N (或它的有限子集}321{n ，，，，⋅⋅⋅)的函数。

即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从1开始依次增大。

可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。

在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题。

4、数列的分类：(1)根据数列项数的多少分：①有穷数列：项数有限的数列；例如数列1，2，3，4，5，6。

是有穷数列。

②无穷数列：项数无限的数列；例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列。

(2)根据数列项的大小分：①递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

数列知识点总结 数列的概念与简单表示法知识点一、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常称为首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项，所以数列的一般形式可以写成： ,,,,,,321 n a a a a简记为{}n a 。

项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。

1.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 2.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列； 3.各项相等的数列叫做常数列；4.从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列； 知识点二、通项公式如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

知识点三、数列的前n 项和1.数列的前n 项和的定义：我们把数列{}n a 从第一项起到第n 项止的各项之和，称为数列{}n a 的前n 项和，记作n S ，即n n a a a S +++= 21。

2.数列前n 项和n S 与通项公式n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-.2,,1,11n S S n S a n n n等差数列知识点一、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

知识点二、等差中项有三个数b A a ,,组成的等差数列可以看成简单的等差数列，这时A 叫做b a 与的等差中项。

1.根据等差中项的定义：b A a ,,是等差数列，则2b a A +=；反之，若2ba A +=，则b A a ,,是等差数列。

2.在等差数列{}n a 中，任取相邻的三项()*+-∈≥N n n a a a n n n ,2,,11，则n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项；反之，n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项对一切*∈≥N n n ,2均成立，则数列{}n a 是等差数列。

高中数列知识点归纳总结图数列在高中数学中是一个重要且基础的概念，它承载着诸多数学思想与方法。

本文将对高中数列相关的知识点进行归纳总结，并将其以图表的形式展现，以帮助读者更好地理解数列的特点与性质。

一、数列的基本概念数列是由一系列按照一定顺序排列的数构成的有序集合。

在数列中，每一个数称为数列的项，而项所在的位置称为项数。

常用的表示数列的方法有通项公式、递推公式和集合表示等。

二、等差数列1. 定义与性质：等差数列是指数列中相邻项之间的差值恒定的数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，则它的通项公式为an = a₁ + (n-1)d。

等差数列的常见性质包括：公差的求法、前n项和公式的推导等。

2. 常见的等差数列：- 自然数列：1, 2, 3, 4, ...- 偶数列：2, 4, 6, 8, ...- 等差数列的前n项和Sn = n(a₁ + an) / 23. 图表展示：（以等差数列的通项公式展示图表）首项a₁公差d┌─────┬─────┬───────┬───────┐│ a₁ │ a₂ │ a₃ │ a₄ │ ...├─────┼─────┼───────┼───────┤│ 1 │ a₁+d│a₁+2d │a₁+3d │ ...└─────┴─────┴───────┴───────┘三、等比数列1. 定义与性质：等比数列是指数列中相邻项之间的比值恒定的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，则它的通项公式为an = a₁ * q^(n-1)。

等比数列的常见性质包括：公比的求法、前n项和公式的推导等。

2. 常见的等比数列：- 2的幂次数列：1, 2, 4, 8, ...- 几何数列：1, 2, 4, 8, ...3. 图表展示：（以等比数列的通项公式展示图表）首项a₁公比q┌─────┬─────┬───────┬───────┐│ a₁ │ a₂ │ a₃ │ a₄ │ ...├─────┼─────┼───────┼───────┤│ 1 │ a₁*q│a₁*q^2 │a₁*q^3 │ ...└─────┴─────┴───────┴───────┘四、特殊数列1. 斐波那契数列：斐波那契数列是指从第三项起，每一项都等于前两项之和的数列。

第十编 数列1. 数列的概念和简洁表示法（1）了解数列的概念和几种简洁的表示方法（列表、图象、通项公式、递推公式）. （2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 2. 等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念.（2）把握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关学问解决相应的问题.（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 学问力气解读 （一）数列数列可以看做是以正整数集*N （或它的有限子集{}1,2,3,,n ⋅⋅⋅为定义域的函数. 可按争辩函数的一般挨次——定义、表示方法、性质对数列进行争辩. 1数列定义数列是指依据确定挨次排列的一列数. 在函数意义下，数列是某确定义域为正整数集*N （或它的有限子集{}1,2,3,,n ⋅⋅⋅）的函数，其图象是无限个或有限个孤立的点，数列的一般形式为12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，简记为{}n a ，其中n a 是数列{}n a 的第n 项，也叫做通项.这里应留意的是：（1）{}n a 与n a 的意义不同. {}n a 表示数列12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，而n a 表示的是这个数列的第n 项.（2）数列的项与它的项数是不同的概念. 数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个项在数列中的位置，它是自变量的值.（3）在数列的定义中，只强调有挨次，而不强调有规律. 数列中的每一项都和它的序号有关，因此给定一个数列，只要指明序号，对应的项就是确定的. 2数列的表示方法 （1）图象法；（2）列表法；（3）解析法. 3数列的通项公式假如数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 通项公式常用()()*N n a f n n =∈表示. 数列的通项公式具有两大功能：（1）可以通过数列的通项公式求出数列中的任意一项；（2）可以通过数列的通项公式推断给定的一个数是否为数列的项以及是第几项. 推断具体数m 是否为数列{}n a 中的项时，建立方程()m f n =，解出n . 若*N n ∈，则m 即为{}n a 中的第n 项；若解出的*N n ∈，则m 不是{}n a 中的项.学习数列的通项公式需明确：（1）并不是全部数列都有通项公式；（2）有的数列的通项公式在形式上不唯一. 4数列的分类（1）有穷数列、无穷数列按数列的项数是有限还是无限分为有穷数列和无穷数列. 切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的项数再多，只要是有限的，它就是有穷数列. （2）单调数列、摇摆数列、常数列按数列中前后项之间的大小关系来分，若前面的项永久大于它后面的项，则称之为递减数列；若前面的项永久小于它后面的项，则称之为递增数列；若前面的项时而大于后面的项，时而小于后面的项，则称之为摇摆数列；若数列里面的全部项均为同一个常数，则称之为常数列. 递增数列和递减数列，称之为单调数列. 5数列的递推公式 （1）递推公式假如已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开头的任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.6n a 与n S 的关系若n a 为数列{}n a 的通项，n S 为其前n 项和，则n a 和n S 之间的关系是：()()111,2.n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩7等差数列（1）等差数列的定义一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 等差数列的定义用字母表示为1n n a a d +-=（d 为常数）或()*211N n n n n a a a a n +++-=-∈.一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起，是一个等差数列.一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，这个数列并不愿定是等差数列. 由于差是常数，但却不愿定是同一个常数.公差d 可以为正数、负数或零. 当0d =时，数列为常数列. （2）等差数列的通项公式()()()()**11N ,,N n n m a a n d n a a n m d n m =+-∈=+-∈. 由上面的两个式子也可得11n a ad n -=-或()n m a a d n m n m-=≠-.()11n a a n d =+-可整理为()1n a dn a d =+-. 假如0d =，那么n a 是常数函数；假如0d ≠，那么n a 是关于n 的一次函数，它的图象是直线()1y dx a d =+-上的一群孤立的点.（3）等差数列的增减性{}0n d a >⇔为递增数列；{}0n d a <⇔为递减数列；{}0n d a =⇔为常数列.（4）等差数列的求和公式（由倒序相加法推得）()12n n n a a S +=，()112n n n S na d -=+. 整理()112n n n S na d -=+，可得2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，设2d A =，12d B a =-，则上式可写成2n n S An B =+. 当0A ≠（即0D ≠）时，n S 是关于n 的二次函数（其中常数项为0），点(),n n S 在二次函数2y Ax Bx =+的图象上，因此，当0d ≠时，n S 的图象是抛物线2y Ax Bx =+上的一群孤立的点.点评 （1）由上面得到的数列123,,,,,n S S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅不是原等差数列{}n a . （2）由二次函数的性质可以得出结论：当0d >时，n S 有最小值；当0d <时，n S 有最大值. （3）数列{}n a 为等差数列的充要条件是其前n 项和为2n S An Bn=+（其中常数项为0）. （5）等差中项任意两个数,a b 有且只有一个等差中项. 2a bA +=是,,a A b 为等差数列的充要条件. 任意两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数.在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项. 8等比数列（1）等比数列的定义一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示()0q ≠，等比数列的定义用字母表示为()*1N n na q n a +=∈. 等比数列的公比q 是从第2项起，每一项与它的前一项的比值，相邻两项比的挨次不能颠倒. 等比数列的公比q 是一个与n 无关的常数，它可以是正数，也可以是负数，但不能为零. （2）等比数列的通项公式()1*1N n n a a q n -=∈，()*,n m n m a a q m n N -=∈. 由于11n n a a q -=可以整理为1n n aa q q=⋅，因此等比数列{}n a ，即1n a q q ⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭中的各项所表示的点离散地分布在第一象限或第四象限. 当0q >时，这些点在曲线1x a y q q =⋅（即x y cq =，这里1a c q=为一个不等于0的常数）上. （3）等比数列的增减性 10,1a q >⎧⎨>⎩或{}10,01n a a q <⎧⇔⎨<<⎩为递增数列； 10,01a q >⎧⎨<<⎩或{}10,1n a a q <⎧⇔⎨>⎩为递减数列； {}1n q a =⇔为常数列.（4）等比数列的求和公式（可由错位相减法推得） 当1q ≠时，()()111111n n n a q a q S qq --==--也可以写成1111n n n a a q a q a S q q --==-- 当1q =时，1n S na =.有关等比数列的求和问题，当不能确定时1q ≠，应分1q =及1q ≠两种状况进行争辩. （5）等比中项假如在a 与b 中间插入一个数G ，使,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.假如G 是a 与b 的等比中项，那么G ba G=，即2G ab =，因此G =G 是,a b 的等比中项的充要条件是2G ab =（或G =，其中0ab >. 条件0ab >不能少，假如0ab =，即,a b 中至少有一个为0，那么,,a G b 就不为等比数列. 只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有 两个，它们互为相反数，这一点与等差中项不同.一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数 列的末项除外）是它的前一项与后一项的等比中项. （二）等差数列、等比数列的性质 1等差数列的性质（1）有穷等差数列{}n a 中，与首末两项距离相等的两项的和相等，并且等于首末两项之和. 特殊地，若项数为奇数，则其还等于中间项的2倍，即121322n n n a a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅=中.（2）若*,,,N m n p k ∈，且m n p k +=+，则m n p k a a a a +=+，其中,,,m n p k a a a a 是等差数列{}n a 中的项. 特殊地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=.使用该性质时，一要留意等式两边下标和相等，二要留意等式两边作和的项数应是一样多的.（3）在等差数列{}n a 中，每隔相同的项抽出来的项依据原来的挨次排列，构成的新数列照旧是等差数列，即,,2,k k k a a m a m ++⋅⋅⋅仍为等差数列.（4）等差数列中依次每k 项之和构成的新数列仍 然是等差数列，即232,,,k k k k k S S S S S --⋅⋅⋅仍为等差数列. （5）若数列{}n a 与{}n b 均为等差数列，则{}n n ma kb +仍为等差数列，其中,m k 均为常数.（6）等差数列{}n a 的通项公式()()111n a a n d dn a d =+-=+-，则n a 可表示为n a kn b =+，其中k 为等差数列的公差，它可以是任意实数.（7）等差数列{}n a 的前n 项和()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，则n S 可表示为2n S An Bn =+，其中,A B 可以是任意实数.另外，等差数列中还有以下性质需留意：①等差数列{}n a 中，若(),n m a m a n m n ==≠则0m n a +=.②等差数列{}n a 中，若(),n m S m S n m n ==≠，则()m n S m n +=-+. ③等差数列{}n a 中，若()n m S S m n =≠，则0m n S +=.④若{}n a 与{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 与n T ，则2121m m m m a S b T --=. ⑤项数为偶数2n 的等差数列{}n a ，有()()2121n n n n S n a a n a a +=+=⋅⋅⋅+（n a 与1n a +为中间的两项）； S S nd -=奇偶；1nn S a S a +=奇偶. 项数为奇数()21n -的等差数列{}n a ，有 ()2121n n S n a -=-（n a 为中间项）； n S S a -=奇偶；1S nS n =-奇偶. S 奇、S 偶分别为数列全部奇数项的和与全部偶数项的和.2等比数列的性质（1）若首项10a >，公比1q >，或首项10a <，公比01q <<，则数列为递增数列；若首项10a >，公比01q <<，或首项10a <，公比1q >，则数列为递减数列；公比1q =，数列为常数列；公比0q <，数列为摇摆数列. 等比数列公比不等于零是一大特点.（2）在有穷等比数列{}n a 中，与首末两项等距离的两项的积相等，并且等于首末两项之积. 特殊地，若项数为奇数，则其还等于中间项的平方，即212132n n n a a a a a a a --⋅=⋅=⋅=⋅⋅⋅=中.（3）若*,,,N m n p k ∈，且m n p k +=+，则m n p k a a a a ⋅=⋅，其中,,,m n p k a a a a 是等比数列{}n a 中的项. 特殊地，当2m n p +=时，有2m n p a a a ⋅=.类似于等差数列，在使用该性质时，不仅应留意等式两边下标和相等，也应要求等式两边作积的项数是一样多的.（4）在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项依据原来的挨次排列，构成的新数列照旧是等比数列. 剩下的项按原挨次排列构成的数列不愿定是等比数列.一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂. 一个等比数列的偶数项，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂.（5）若{}n a 为等比数列，则{}()0n a λλ≠，{}n a 皆为等比数列，公比分别为q 和q .一个等比数列各项的k 次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k 欠幂. 例如:对于以q 为公比的等比数列{}n a ，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍为等比数列，公比为1q ，{}2n a 也是等比数列，公比为2q .（6）等比数列中依次每k 项之积构成的新数列照旧是等比数列.（7） 若数列{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n ma b 与n n ma b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍为等比数列，其中m 是不为零的常数.（8）等比数列{}n a 的通项公式111n n n a a a q q q -=⋅=⋅，则n a 可表示为n n a c q =⋅，其中1ac q=，q 为公比.（9）等比数列{}n a 的前n 项和()()11111111n n n a q a aS q q qq q-==-⋅≠---，则n S 可表示为n n S k k q =-⋅，其中q 为公比，10,1a q k q≠=-. 3等差数列与等比数列的相互关系（1）设0a >且1a ≠，则,,x y z a a a 成等比数列,,x y z ⇔成等差数列； （2）{}n a 是正项等比数列{}log c n a ⇔是等差数列（其中0c >且1c ≠）.留意等差数列与等比数列在性质上有很多的相像之处，如：若*,,,N m n p q ∈，且m n p q +=+，则对等差数列有m n p q a a a a +=+，对等比数列有m n p q a a a a ⋅=⋅.（三）判定方法1等差数列的判定方法有以下几种（1）定义法:1n n a a d +-=（d 为常数，*N n ∈）{}n a ⇔是等差数列. （2）通项公式法：n a pn q =+（,p q 为常数，*N n ∈）{}n a ⇔是等差数列. （3）中项公式法:122n n n a a a ++=+（*N n ∈）{}n a ⇔是等差数列.（4）前n 项和公式法：2n S An Bn =+（,A B 为常数，*N n ∈）{}n a ⇔是等差数列.2等比数列的判定方法有以下几种（1）定义法：1n n aq a +=（q 是不为0的常数，*N n ∈）{}n a ⇔是等比数列.（2）通项公式法:n n a cq =（,c q 均是不为0的常数*N n ∈）{}n a ⇔是等比数列.（3）中项公式法：212n n n a a a ++=⋅（120n n n a a a ++⋅⋅≠，*N n ∈）{}n a ⇔是等比数列.（4）前n 项和公式法：1111n n n a a S q kq k q q =-=---（11ak q =-是常数，且0,1q q ≠≠）{}n a ⇔是等比数列. 留意（1）只能用定义法来严格证明这两类特殊数列，其余三种方法一般在填空题、选择题中使用. （2）证明数列不是这两类特殊数列，只要举反例即可. 解题方法荟萃 Ⅰ. 数学思想方法（一）函数与方程思想 （二）分类争辩思想 1 对n 的奇偶性进行争辩 2 对公比q 的争辩 （三）构造法 Ⅱ. 解题规律技巧（一）等差数列的性质在解题中的应用 （二）等比数列的性质在解题中的应用 高考命题争辩数列是高中数学的重要内容之一，因此，它在历年高考中都占有重要地位，一般状况下都是一个客观性题加一个主观性题，分值占整个试卷的10%左右. 客观性题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式等，对基本的计算力气要求比较高. 解答题是以考查数列的通项与求和为主，涉及函数、方程、不等式学问的综合运用，在解题过程中通常用到等价转化、分类争辩等数学思想方法，有时也与数学归纳法相结合，属于中高档难度的题目.（一）有关等差、等比数列基本量的运算 （二）等差、等比数列的综合娴熟地应用等差、等比数列的性质，并结合数列求和的常用方法，有时也其他章节内容.（三）等差数列、等比数列的证明方法：（1）定义法，即证1n n a a d +-=（常数），1n n aq a +=（不为零的常数）.（2）中项法，即证()()2111122,2n n n nn n a a a n a a a n +-+-+=≥=⋅≥.（四）求数列的通项公式数列的通项公式是数列的核心之一，它犹如函数的解析式一样，有解析式便可争辩函数性质，而有了数列的通项公式便可求出其任意一项以及前n 项和等. 看来，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点. 1求递推数列的通项公式的方法对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换而转化成等差数列或等比数列问题. （1）递推式为1n n a a d +=+及1n n a qa +=（d 、q 为常数，其中0q ≠） （2）递推式为()1n n a a f n +=+（3）递推式为1n n a pa q +=+（p 、q 为常数，其中0p ≠） （4）递推式为1n n n a pa mq +=+（,,n p q 为常数，其中,0m p ≠） （5）递推式为21n n n a pa qa ++=+设21n n n a pa qa ++=+可以变形为()211n n n n a aa a aa β+++-=-，即()21n n n a a a a a ββ++=+-，则可得,,a p a q ββ+=⎧⎨=-⎩求出,a β，此时{}1n n a aa +-是公比为β的等比数列.（6）递推式()()*1N n n a f n a n +=∈ 2已知n S 求n a己知数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式，即11,1,, 2.n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩(五)数列求和数列的求和是数列的一个重要内容，它往往是数列学问的综合体现. 求和题在试题中经常毁灭，它常用来考查我们对基础学问的把握程度和分析问题、解决问题的力气.有时也可以由数列的前n 项和来求数列中的某些元素，如求1,,,,n a a n d q 等. 任何一个数列的前n 项和都是从第1项始终加到第n 项. 数列的求和主要有以下几种求解方法. 1公式法直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和、立方和公式等求和的方法. 2倒序相加法在一个数列{}n a 中，假如与首末两项等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法. 3错位相减法 4裂项法常用的裂项技巧如：()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1k=等.使用裂项法时要留意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项. 由于数列{}n a 中每一项均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的个数必是一样多的，切不行漏写未被消去的项.5分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，将这类数列适当拆开，可分为几个等差数列、等比数列或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可. 附录 常用公式定理 常用公式及结论n ①若,,n m a m a n m n ==≠，则0m n a +=； ②若,,n m S m S n m n ==≠，则()m n S m n +=-+； ③若,n m S S m n =≠，则0m n S +=.（3）若{}n a 与{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 与n T ，则2121m m m n a S b T --=. （4）项数为偶数()*2N n n ∈的等差数列{}n a 有：()()2121n n n n S n a a n a a +=+=⋅⋅⋅=+（1,n n a a +为中间的两项）； S S nd -=奇偶；1nn S a S a +=奇偶. 项数为奇数()*21N n n -∈的等差数列{}n a 有： ()2121n n S n a -=-（n a 为中间项）；n S S a -=奇偶；1S nS n =-奇偶. ,S S 奇偶分别为数列中全部奇数项的和与全部偶数项的和.（5）常见数列的前n 项和公式()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=； ()213521n n +++⋅⋅⋅+-=； ()()22221211236n n n n +++++⋅⋅⋅+=；()2333311232n n n +⎡⎤+++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦.（6）常用结论A 是,a b 的等差中项的充要条件是2a bA +=； G 是,a b 的等比中项的充要条件是2G ab =，其中0ab >.。

高中数学数列知识点总结（精华版）一、数列1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称 为该数列的项 .⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调 有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同 的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项 a n与项数 n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集 ( 或它的有限子集 ) 的函数当自变量 从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2. 通项公式：如果数列 a n 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示 , 那么 这个公式叫做这个数列的通项公式，即 a n f(n).3. 递推公式：如果已知数列 a n 的第一项(或前几项)，且任何一项 a n 与 它的前一项 a n 1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即 a n f(a n 1) 或a n f(a n1,a n 2) ，那么这个式子叫做数列 a n 的递推公式. 如数列 a n 中， a 1 1,a n 2a n 1，其中 a n 2a n 1是数列 a n 的递推公式 .4. 数列的前 n 项和与通项的公式S 1(n 1) ① S n a 1 a 2 a n ； ② a n 1.n 1 2 n nS n S n1(n 2)5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法 .6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列， 常数数列；有界数列，无界数列 .① 递增数列 :对于任何 n N ,均有a n 1 a n . ② 递减数列 : 对于任何 n N , 均有 a n 1 a n . ③ 摆动数列 : 例如: 1,1, 1,1, 1, . ④ 常数数列 : 例如:6,6,6,6, ⋯⋯.⑤ 有界数列 :存在正数 M 使 a n M,n N .⑥ 无界数列:对于任何正数 M ,总有项a n 使得 a n M.n11、已知a n 2 n (n N * ) ，则在数列 { a n }的最大项为__(答： 1)；n 2 156 252、数列{a n }的通项为a n an，其中a,b 均为正数，则 a n 与a n1的大小关系bn 1为 ___(答： a n a n 1)；a 1 （0,1） ，由关系式 a n 1 f （a n ）得到的数列 {a n }满足 a n1 a n （n N*） ，则该函 数的图象是 （）（答： A ）1、等差数列的定义 ：如果数列 a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同 一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

高考数学第一轮复习知识点：数学数列公式大全由查字典数学网编辑老师精心提供，2021年高考数学第一轮复习知识点：数学数列公式大全，因此考生及家长请认真阅读，关注小孩的学习成长。

数学也是需要经历的一门学科，数学有专门多的公式需要大伙儿经历。

下面小编为大伙儿提供高中数学数列公式大全，供大伙儿参考。

一、高中数列差不多公式：1、一样数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a10)，Sn=na1是关于n的正比例式。

4、等比数列的通项公式：an= a1qn-1an= akqn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q1时，Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m -S2m、S4m- S3m、仍为等差数列。

2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m -S2m、S4m- S3m、仍为等比数列。

5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{anbn}、仍为等比数列。

7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq;四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (什么缘故?)11、{an}为等差数列，则(c0)是等比数列。