河北省唐山市高三数学第一次模拟考试试题理(扫描版)

河北省唐山市—高三年级第一次模拟考试理科数学试卷试卷类型：A 说明：一、本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题． 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案，四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式24RS π=)()()(B P A P B A P +=+ 其中R 表示球的半径如果事件A 、B 相互，那么 球的体积公式334R V π=)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次重复试验中恰好发生k 次的概率：kn k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．(1)复数=+-3)2)(1(ii i （ ）(A)i +1 (B)i --1 (C)i 31+ (D)i31--(2)已知),0(+∞=U ，}0sin |{>=x x A ，}1)1(log |{4>+=x x B ，则=)(B C A U （ ）(A) }0|{π≤<x x (B) }1|{π≤<-x x (C) }30|{≤<x x (D) }31|{≤<-x x (3)球的一个截面是半径为3的圆，球心到这个截面的距离是4，则该球的表面积是（ ）(A)π100 (B)π50 (C)π3500 (D) π3100(4)圆1)2()1(22=-+-y x 与圆4)1()3(22=-+-y x 的公切线共有（ ）(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条(5)已知实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220201y x y x ，则y x z +=的取值范围是（ ）(A)[]2,1 (B)[]3,2 (C) []3,0 (D) []3,1(6)函数231+=-xy )1(>x 的反函数为（ ）(A)1)2(log 3--=x y )32(<<x (B) )2(log 13--=x y )32(<<x (C) 1)2(log 3--=x y )3(>x (D) )2(log 13--=x y )3(>x (7)已知椭圆的中心在原点，离心率22=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）(A)14822=+y x (B) 12422=+y x (C) 1422=+y x (D) 1222=+y x (8)若函数)(x f 的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ）(A))3sin(π+=x y (B) )3sin(π-=x y(C) )62sin(π+=x y (D) )62sin(π-=x y (9)设α、β、γ为三个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，在①βα⊥，n =βα ，n m ⊥； ②m =γα ，βα⊥，γβ⊥；③βα⊥，γα//，γ//m ； ④α⊥n ，β⊥n ，α⊥m 中，是β⊥m 的充分条件的为（ ）(A) ①② (B)②④ (C)②③ (D) ③④(10)已知函数|2||2|)(+--=x x x f ，则使得2)(0<<x f 的x 的取值范围是（ ）(A) )0,2(- (B) )0,1(- (C) )1,0( (D) )1,1(-(11)已知θ2是第一象限的角，且95cos sin44=+θθ，那么=θtan （ ）(A)22(B) 22- (C) 2 (D) 2-(10)从5种不同的水果和4种不同的糖果中各选出3种，放入如图所示的6个不同区域（用数字表示）中拼盘，每个区域只放一种，且水果不能放在有公共边的相邻区域内，则不同的放法有（ ）(A) 2880种 (B) 2160种 (C) 1440种 (D) 720种二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．(13)随机变ξ量服从正态分布),50(2σN ，若3.0)40(=<ξP ，则=<<)6040(ξP 。

唐山市高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2(1)i i-=（ ） A ．22i -+B ．22i + C ．22i -- D ．22i -2.设集合2{|0}M x x x =->，1|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N ØB ．N M ØC ．M N =D ．M N R =U 3.已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α=（ ） A ．45B ．45-C ．35D ．35- 4.两个单位向量a r ，b r 的夹角为120o，则2a b +=r r （ ）A ．2B ．3C ．2D ．35.用两个1，一个2，一个0，可组成不同四位数的个数是（ ） A ．18 B ．16 C ．12 D ．96.已知233a -=，432b -=，ln3c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（ ）A ．求135...(21)n ++++-B ．求135...(21)n +++++C ．求2222123n +++⋅⋅⋅+D ．求2222123(1)n +++⋅⋅⋅++8.为了得到函数5sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．542+．9C ．652+D ．5310.已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B .若OF FB =，则C 的离心率是（ ） A 632C 2．2 11. 已知函数2()2cos f x x x x =-，则下列关于()f x 的表述正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．0x R ∃∈，()f x 的最小值为1- C ．()f x 有4个零点 D ．()f x 有无数个极值点12.已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，2PA PB PC ===，90ABC ∠=o，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值是（ ） A 3333C ．12D 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设x，y 满足约束条件0230210x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则23z x y =+的最小值是．14.6(21)x -的展开式中，二项式系数最大的项的系数是．（用数字作答）15. 已知P 为抛物线2y x =上异于原点O 的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，过PQ 的中点作x 轴的平行线交抛物线于点M ，直线QM 交y 轴于点N ，则PQNO=． 16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，若2c h =，则a bb a+的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知数列{}n a 为单调递增数列，n S 为其前n 项和，22n n S a n =+.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若2112n n n n n a b a a +++=⋅⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：12nT <. 18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值. （i ）求日需求量X 的分布列；（ii ）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y 的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B C ⊥平面11AAC C ，90BAC ∠=o.（1）证明：1AC CA ⊥；（2）若11A B C ∆是正三角形，22AB AC ==，求二面角1A AB C --的大小.20.已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，上顶点为A ，长轴长为26B 为直线l ：3x =-上的动点，(,0)M m ，AM BM ⊥.当AB l ⊥时，M 与F 重合. （1）若椭圆Γ的方程；（2）若直线BM 交椭圆Γ于P ，Q 两点，若AP AQ ⊥，求m 的值. 21.已知函数1()x f x e-=，()ln g x x a =+.（1）设()()F x xf x =，求()F x 的最小值；（2）证明：当1a <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)1x y -+=，圆2C ：22(3)9x y -+=.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）设曲线3C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数且0t ≠），3C 与圆1C ，2C 分别交于A ，B ，求2ABC S ∆的最大值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x x =+-的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.唐山市高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DCBDA DCCAB DB B 卷：ACBDD DCAAB DB 二．填空题： （13）－5 （14）－160（15）32（16）[2，22]三．解答题： （17）解：（Ⅰ）当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 21＋1，所以(a 1－1)2＝0，即a 1＝1， 又{a n }为单调递增数列，所以a n ≥1．…2分由2S n ＝a 2n ＋n 得2S n ＋1＝a 2n ＋1＋n ＋1，所以2S n ＋1－2S n ＝a 2n ＋1－a 2n ＋1， 整理得2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，所以a 2n ＝(a n ＋1－1)2． 所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ．…6分（Ⅱ）b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1＝n ＋22n ＋1·n ·(n ＋1)＝12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)…9分所以T n ＝(121·1－122·2)＋(122·2－123·3)＋…＋[12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)]＝121·1－12n ＋1·(n ＋1)＜12．…12分（18）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P ＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192． …3分 （Ⅱ）（ⅰ）X 可取100，200，300，400，500，P (X ＝100)＝0.0010×10＝0.1； P (X ＝200)＝0.0020×10＝0.2； P (X ＝300)＝0.0030×10＝0.3； P (X ＝400)＝0.0025×10＝0.25； P (X ＝500)＝0.0015×10＝0.15；所以X 的分布列为：…6分（ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y 1可取－100，700，1500， 此时Y 1的分布列为：Y 1 －100 700 1500 P0.10.20.7此时利润的期望值E (Y 1)＝－100×0.1＋700×0.2＋1500×0.7＝1180； …8分 当每日进货400公斤时，利润Y 2可取－400，400，1200，2000， 此时Y 2的分布列为：Y 2 －400 400 1200 2000 P0.10.20.30.4此时利润的期望值E (Y 2)＝－400×0.1＋400×0.2＋1200×0.3＋2000×0.4 ＝1200；…10分因为E (Y 1)＜E (Y 2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤．…12分（19）解：（Ⅰ）过点B 1作A 1C 的垂线，垂足为O ，由平面A 1B 1C ⊥平面AA 1C 1C ，平面A 1B 1C ∩平面AA 1C 1C ＝A 1C ， 得B 1O ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 平面AA 1C 1C ，得B 1O ⊥AC ． 由∠BAC ＝90°，AB ∥A 1B 1，得A 1B 1⊥AC ． 又B 1O ∩A 1B 1＝B 1，得AC ⊥平面A 1B 1C ． 又CA 1平面A 1B 1C ，得AC ⊥CA 1．…4分（Ⅱ）以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，|CA →|为单位长，建立空间直角坐标系C -xyz ． 由已知可得A (1，0，0)，A 1(0，2，0)，B 1(0，1，3)．所以CA →＝(1，0，0)，AA 1→＝(－1，2，0)，AB →＝A 1B 1→＝(0，－1，3)． …6分 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1AB 的法向量，则⎩⎨⎧n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＝0，－y ＋3z ＝0． 可取n ＝(23，3，1)． …8分 设m ＝(x ，y ，z )是平面ABC 的法向量，则⎩⎨⎧m ·AB →＝0，m ·CA →＝0，即⎩⎨⎧－y ＋3z ＝0，x ＝0． 可取m ＝(0，3，1)．…10分则cosn ，m ＝n ·m |n ||m |＝12．AA 1BC1B 1xyzO又因为二面角A 1-AB -C 为锐二面角， 所以二面角A 1-AB -C 的大小为3．…12分（20）解：（Ⅰ）依题意得A (0，b )，F (－c ，0)，当AB ⊥l 时，B (－3，b )， 由AF ⊥BF 得k AF ·k BF ＝ b c · b －3＋c ＝－1，又b 2＋c 2＝6.解得c ＝2，b ＝2．所以，椭圆Γ的方程为x 26＋y 22＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得A (0，2)，依题意，显然m ≠0，所以k AM ＝－2m，又AM ⊥BM ，所以k BM ＝m2，所以直线BM 的方程为y ＝m2(x －m )， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．y ＝m2(x －m )与x 26＋y 22＝1联立得(2＋3m 2)x 2－6m 3x ＋3m 4－12＝0，x 1＋x 2＝6m 32＋3m 2，x 1x 2＝3m 4－122＋3m2．…7分|PM |·|QM |＝(1＋m 22)|(x 1－m )(x 2－m )|＝(1＋m 22)|x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2|＝(1＋m 22)·|2m 2－12|2＋3m 2＝(2＋m 2)|m 2－6|2＋3m2， |AM |2＝2＋m 2，…9分由AP ⊥AQ 得，|AM |2＝|PM |·|QM |， 所以|m 2－6|2＋3m 2＝1，解得m ＝±1．…12分（21）解：（Ⅰ）F(x )＝(x ＋1)ex －1，当x ＜－1时，F (x )＜0，F (x )单调递减； 当x ＞－1时，F(x )＞0，F (x )单调递增，故x ＝－1时，F (x )取得最小值F (－1)＝－1e 2．…4分（Ⅱ）因为f(x )＝ex －1，所以f (x )＝e x －1在点(t ，et －1)处的切线为y ＝et －1x ＋(1－t )e t －1；…5分因为g(x )＝1x，所以g (x )＝ln x ＋a 在点(m ，ln m ＋a )处的切线为y ＝1mx ＋ln m ＋a －1， …6分由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧e t －1＝1m ，(1－t )e t －1＝ln m ＋a －1，则(t －1)e t －1－t ＋a ＝0．…7分令h (t )＝(t －1)et －1－t ＋a ，则h (t )＝t et －1－1 由（Ⅰ）得t ＜－1时，h (t )单调递减，且h(t )＜0；当t ＞－1时，h(t )单调递增，又h (1)＝0，t ＜1时，h(t )＜0，所以，当t ＜1时，h (t )＜0，h (t )单调递减；当t ＞1时，h(t )＞0，h (t )单调递增．…9分由（Ⅰ）得h (a －1)＝(a －2)e a －2＋1≥－1e＋1＞0，…10分又h (3－a )＝(2－a )e2－a＋2a －3＞(2－a )(3－a )＋2a －3＝(a －32)2＋34＞0， …11分h (1)＝a －1＜0，所以函数y ＝h (t )在(a －1，1)和(1，3－a )内各有一个零点，故当a ＜1时，存在两条直线与曲线f (x )与g (x )都相切．…12分（22）解：（Ⅰ）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，C 1：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρcos θ＋1＝1，所以ρ＝2cos θ； C 2：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－6ρcos θ＋9＝9，所以ρ＝6cos θ．…4分（Ⅱ）依题意得|AB |＝6cos α－2cos α＝4cos α，－2＜α＜2， C 2(3，0)到直线AB 的距离d ＝3|sin α|，所以S △ABC 2＝12×d ×|AB |＝3|sin 2α|，故当α＝±4时，S △ABC 2取得最大值3．…10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1，x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1． 所以m ＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)]＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1] ≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2 ＝13． 当且仅当a ＝b ＝12时取等号．即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． …10分。

河北省唐山市数学高三理数第一次模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，则集合A∩B为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·深圳月考) 如果复数的实部和虚部互为相反数，则的值等于（）A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（）A . 个B . 个C . 个D . 个4. （2分） (2016高二上·郑州期中) 已知命题p：1∈{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，命题q：∅={0}，则下面判断正确的是（）A . p假q真B . “p∨q”为真C . “p∧q”为真D . “￢q”为假5. （2分）如图所示，程序框图的输出结果为A .B .C .D .6. （2分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+5，a，b，α，β为非零实数，若f（2002）=7，则f（2003）=（）A . 5B . 4C . 3D . 27. （2分）已知为第二象限角，则的值是（）A . 3B . -3C . 1D . -18. （2分）在正项等比数列{an}中，a3=2，a4=8a7 ，则a9=（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·镇海期中) 函数的图象大致为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·和平期中) 设第一象限内的点（x，y）满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则的最小值为（）A .B .C . 1D . 411. （2分） (2018高二下·湖南期末) 已知函数 , ，若方程在时有3个实根，则的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·衡水月考) 已知函数，是的导函数，则下列结论中错误的个数是（）①函数的值域与的值域相同；②若是函数的极值点，则是函数的零点；③把函数的图像向右平移个单位长度，就可以得到的图像；④函数和在区间内都是增函数.A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·葫芦岛模拟) （x﹣）n的展开式中，所有二项式系数之和为512，则展开式中x3的系数为________（用数字作答）．14. （1分）(2017·临川模拟) 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．15. （1分） (2020高一上·拉萨期末) 已知定义在上的偶函数，当时，，则 ________．16. （1分）(2018·荆州模拟) 平面向量，，若向量与共线，则________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分）为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车120辆，混合动力型公交车300辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入m 辆．设an ， bn分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，设Sn ， Tn分别为n年里投入的电力型公交车，混合动力型公交车的总数量．（1）求Sn ， Tn ，并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn；（2）该市计划用8年的时间完成全部更换，求m的最小值．18. （10分） (2018高一下·开州期末) 在中，，为边的中点， .（1）求；（2）若的外接圆半径为，求的外接圆半径.19. （5分）(2020·辽宁模拟) 为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，症状：入睡困难；症状：醒得太早；症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现症状人数为8.5万，出现症状人数为9.3万，出现症状人数为6.5万，其中含症状同时出现1.8万人，症状同时出现1万人，症状同时出现2万人，症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠不失眠合计患心脑血管疾病不患心脑血管疾病合计参考数据如下：0.500.400.250.150.100.4550.708 1.323 2.072 2.7060.050.0250.0100.0050.0013.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：20. （5分）(2017·武汉模拟) 已知函数f（x）=lnx+x2 ．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3ae xx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0 ， F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．21. （10分）(2017·重庆模拟) 已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）存在一条切线与直线y=x平行，求a的取值范围；（2）当0＜a＜2时，若f（x）在[a，2]上的最大值为﹣，求a的值．22. （10分）(2018·郑州模拟) 在平面直角坐标系中，直线过点，倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是 .（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若，设直线与曲线交于两点，求的面积.23. （10分）(2018·内江模拟) 已知函数的最小值为 .（1）求的值；（2）设实数满足，证明： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

河北省唐山市开滦第二中学2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．223-C ．23-D ．13-2．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．94B ．5C ．5224+ D ．94．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =，则12PF PF +=（ ） A ．4 B ．8C ．42D ．475．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭7．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞9．已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()UA B ⋂=（ ）A ．()(),35,-∞+∞B ．(](),35,-∞+∞C ．(][),35,-∞+∞ D ．()[),35,-∞+∞10．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．193B ．4C ．254D ．13212．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）A ．194B 11C ．32D ．74二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCD DACCB CB B 卷：ADBBD DACABCB二．填空题： （13）2（14）12（15）2 6 （16）(1，3)三．解答题： 17．解：（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1， ① 所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ② ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即a na n －1＝3（n ≥2）， …3分在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， …4分 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1． …6分（2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ， …8分＝3－3n 1－3－(n －1)·3n＝(3－2n )·3n －32． …10分 所以，T n ＝(2n －3)·3n ＋34． …12分 18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率 P ＝4×5＋6×510×10＝12． …5分（2）X 可取0，1，2，3． …6分P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝16； P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12；P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310； P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝130； …10分X 的分布列为∴随机变量X 的期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65． …12分 19．解：（1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点， ∴BD ⊥CD ，又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ， ∴CD ⊥平面PBD ， ∴CD ⊥PD ， 又∵AD ⊥BD ， ∴PD ⊥BD ．又因为BD ∩CD ＝D ， ∴PD ⊥平面BCD ． …5分（2）以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，PA →＝(2，0，－2)，PB →＝(0，2，－2)，CB →＝(2，2，0)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由PB →·n ＝0，CB →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，－1，－1)．…9分cos 〈PA →，n 〉＝PA →·n |PA →||n |＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63． …12分20．解：（1）由已知可得，y 1＝x 21，y 2＝x 22，所以y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)，此时，直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2．…4分（2）因为OB ⊥l ，所以k OB ＝－1k ，又因为k OB ＝y 2x 2＝x 22x 2＝x 2，所以，x 2＝－1k ，…6分又由（1）可知，x 1＋x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k ，从而有，x 1＝k －x 2＝k ＋1k ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|k ＋ 2k |，|OB |＝x 22＋y 22＝x 22＋x 42＝1k 2＋1k 4＝1＋k 2k 2，…9分因为|AB |＝3|OB |，所以1＋k 2|k ＋2k |＝31＋k 2k 2，化简得，|k 3＋2k |＝3， 解得，k ＝±1，所以，|AB |＝1＋k 2|k ＋ 2k |＝32．…12分21．解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋1x ，所以f '(x )＝1x －1x 2．…1分设切点为(x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )与y ＝m 相切，得f '(x 0)＝0， 解得x 0＝1，所以切点为（1，1）． …3分 所以m ＝1． …4分 （2）依题意得f (1)≥ea ，所以1≥ ea ，从而a ≥e ．…5分因为f '(x )＝x －ln ax 2ln a ，a ≥e ，所以当0＜x ＜ln a 时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln a 时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值log a (ln a )＋1ln a ．…7分设g (x )＝eln x －x ，x ≥e ， 则g '(x )＝ex －1＝e －x x ≤0，所以g (x )在[e ，＋∞)单调递减， 从而g (x )≤g (e)＝0，所以eln x ≤x ．…10分又a ≥e ，所以eln a ≤a ，从而1ln a ≥ea ，当且仅当a ＝e 时等号成立．因为ln a ≥1，所以log a (ln a )≥0， 即log a (ln a )＋1ln a ≥ea ．综上，满足题设的a 的取值范围为[e ，＋∞)． …12分22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0． 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6． …5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得， t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π4)|因为0≤α＜π，所以π4≤α＋π4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]． …10分23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|, 所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2， 故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． …5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝12时，g (x )取得最大值1， 所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集2{|1}U x x =>，集合2{|430}A x x x =-+<，则U C A =（ ） A ．(1,3) B ．(,1)[3,)-∞+∞ C ．(,1)[3,)-∞-+∞ D ．(,1)(3,)-∞-+∞【答案】C考点：一元二次不等式的解法、集合的补集运算. 2.22()1i i=-（ ） A ．2i - B ．4i - C ．2i D ．4i 【答案】A 【解析】试题分析：∵222442()2122i i i i i i i-====----，∴选A. 考点：复数的乘法、除法运算.3.已知抛物线的焦点(,0)(0)F a a <，则抛物线的标准方程是（ ） A ．22y ax = B ．24y ax = C ．22y ax =- D ．24y ax =- 【答案】B 【解析】试题分析：以(,0)F a 为焦点的抛物线的标准方程为24y ax =. 考点：抛物线的焦点和抛物线的标准方程. 4.命题P ：32,x N x x ∃∈<；命题q ：(0,1)(1,)a ∀∈+∞，函数()log (1)a f x x =-的图象过点(2,0)，则（ ）A ．P 假q 假B ．P 真q 假C ．P 假q 真D ．P 真q 真 【答案】C考点：命题的真假、全称命题和特称命题、对数函数图象、不等式的解法. 5.执行下边的程序框图，则输出的A 是（ ） A ．2912 B ．2970 C ．7029 D ．16970【答案】C考点：程序框图.6.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，090ABC ∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）A C【答案】B考点：余弦定理.7.已知2sin 21cos 2αα=+，则tan 2α=（ ） A ．43-B ．43C ．43-或0D ．43或0 【答案】D考点：三角函数求值、平方关系. 8.2321(2)x x+-展开式中的常数项为（ ） A ．-8 B ．-12 C ．-20 D ．20 【答案】C 【解析】 试题分析：∵236211(2)()x x x x +-=-，∴6621661()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-， 令620r -=，即3r =，∴常数项为336(1)20C -=-.考点：二项式定理.9.函数()|sin |2|cos |f x x x =+的值域为（ ）A ．[1B ．[1,2]C ．D ．【答案】A当[,]2x ππ∈时，()sin 2cos )f x x x x β=-=+，cos β=，sin β=，∴max ()()2f x f πβ=-=min ()()12f x f π==，∴()f x 的值域为[1.考点：三角函数、绝对值函数的值域.10.F 是双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂直，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =，则C 的离心率是（ ）A ．2 D 【答案】B考点：双曲线的标准方程及其性质、向量的运算.11.直线y a =分别与曲线2(1)y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则||AB 的最小值为（ ）A．3 B．2 C．4 D．32【答案】D考点：导数的运算、利用导数求函数的最值.12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12 B．12．4 D．122+【答案】A【解析】试题分析：根据几何的三视图，画出该几何体的直观图，如下图考点：三视图、几何体的表面积.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(1,3)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则||b = .【解析】考点：向量的坐标、向量的垂直的充要条件、向量的模14.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为0.850.25y x ∧=-. 由以上信息，得到下表中C 的值为 .【答案】6 【解析】试题分析：∵3456755x ++++==， 2.534 4.51455c cy +++++==，∴代入到回归直线方程中得：140.8550.255c+=⨯-，∴6c =. 考点：线性回归方程.15.在半径为5的球面上有不同的四点A 、B 、C 、D ，若AB AC AD ===BCD 被球所截面图形的面积为 . 【答案】16π考点：球的截面问题.16.已知,x y R ∈，满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围为 . 【答案】[4,12]考点：均值不等式、配方法.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足(1)1n n q S qa -+=，且(1)0q q -≠. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若396,,S S S 成等差数列，求证：285,,a a a 成等差数列. 【答案】（1）a n ＝qn －1；（2）证明详见解析.考点：等比数列的通项公式及前n 项和公式、等差中项. 18.（本小题满分12分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个. （Ⅰ）若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；（Ⅱ）若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望. 【答案】（1）49；（2）分布列详见解析，203EX =.数学期望.试题解析：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A ，12124()339P A C =⨯⨯=． (4)分（Ⅱ）X 的所有可能值为0，5，10，15，20．2228(0)()3327P X ==⨯=，考点：二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，011160ACC CC B ∠=∠=，2AC =.（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB =11C AB A --的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）5-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1AB 1，所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系，则cos ,5||||5m n m n m n ∙<>===⨯，因为二面角C -AB 1-A 1为钝角，所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为．…12分考点：线线垂直、线面垂直、二面角.20.（本小题满分12分）已知圆22:4O x y +=，点A ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 中点时，求直线AB 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（20y -=0y +.其中，a＝2，c=b＝1，则曲线Γ的方程为2214xy+=．…5分y-=0y+=．…12分考点：椭圆的标准方程和几何性质、直线的标准方程和几何性质.21.（本小题满分12分）已知函数2(1)()2xx f x e +=-，()2ln(1)x g x x e -=++.（Ⅰ）(1,)x ∈-+∞时，证明：()0f x >； （Ⅱ）0a >，若()1g x ax ≤+，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明详见解析；（2）1a =.01a <<进行讨论，证明()h x 的最大值小于等于0即可.试题解析：（Ⅰ）令p (x )＝f(x )＝e x－x －1，p(x )＝e x－1，（2）当a ＞1时，h(0)＜0， x ∈(－1，0)时，h(x )＝21x +－e －x－a ＜21x +－1－a ＝0，解得x ＝11a a -+∈(－1，0)． 即x ∈(11aa -+，0)时h (x )＜0，h (x )单调递减，又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾．…9分（3）当0＜a＜1时，h(0)＞0，x ∈(0，＋∞)时，h(x)＝21x+－e－x－a＞21x+－1－a＝0，解得x＝11aa-+∈(0，＋∞)．即x∈(0，11aa-+)时h(x)＞0，h(x)单调递增，又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾．…11分综上，a的取值为1．…12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分10分）如图，圆周角BAC∠的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.（Ⅰ）求证：//BC DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且弧长AC等于弧长BC，求BAC∠.【答案】（1）证明详见解析；（2）27π.所以∠CFA ＝∠FBA ＋∠FAB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CFA ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则7x π=，所以∠BAC ＝2x ＝27π． …10分考点：几何证明、四点共圆、角的转化.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C ：22143x y +=，直线3:x l y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(1,0)A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标.【答案】（1）2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，x＋9＝0；（2）8(5P -.试题解析：（Ⅰ）C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），l ：x＋9＝0．…4分考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||1|f x x a x =-++. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()3f x <； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的值. 【答案】（1）{x |－1＜x ＜1}；（2）a ＝－4或0.试题解析：（Ⅰ）因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝3,112,1213,2x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪≥⎪⎩，考点：不等式的证明、绝对值不等式的解法、不等式的性质.。

唐山市2015—2016学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：CADCB A CBDA DC B 卷：BADCA A CBDB DC 二、填空题：（13）3 （14）23 （15）－2 （16）48三、解答题：（17）解：（Ⅰ）在△ADC 中，∠ADC ＝360°－90°－120°－θ＝150°－θ，由正弦定理可得DC sin∠DAC ＝AC sin ∠ADC ，即DC sin30°＝2sin(150°－θ) ，于是：DC ＝1sin (150°－θ)．…5分（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理得AC sin θ＝BC sin 60° ，即BC ＝3sin θ，由（Ⅰ）知：DC ＝1sin (150°－θ) ，那么S ＝34sin θ·sin (150°－θ)＝32sin θcos θ＋23sin 2θ＝33＋2sin(2θ－60°)，故θ＝75°时，S 取得最小值6－33．…12分（18）解：（Ⅰ）连接AO 1，BD在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥AC ， ∵ 四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴ AC ⊥BD ，又∵ BD ∩BB 1＝B ， ∴ AC ⊥平面DBB 1D 1， 又∵ O 1M ⊂平面DBB 1D 1，∴ AC ⊥O 1M ．∵ 直四棱柱所有棱长均为2，∠BAD ＝ π 3，M 为BB 1的中点， ∴ BD ＝2，AC ＝23，B 1M ＝BM ＝1，∴ O 1M 2＝O 1B 12＋B 1M 2＝2，AM 2＝AB 2＋BM 2＝5，O 1A 2＝O 1A 12＋A 1A 2＝7，∴ O 1M 2＋AM 2＝O 1A 2，∴ O 1M ⊥AM ．又∵ AC ∩AM ＝A ，∴ O 1M ⊥平面ACM ． ． …6分（Ⅱ）设BD 交AC 于点O ，连接OO 1，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (3，0，0)，D (0，－1，0)，D 1(0，－1，2)，M (0，1，1)， AD 1→＝(－3,－1，2)，AD →＝(－3,－1，0)，DM→ CDMC 1B 1D 1 A 1O 11＝(0，2，1)，设平面ADM 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·DM →＝0，即⎩⎨⎧－3x －y ＝0，2y ＋z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－3，23)．设AD 1与平面ADM 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AD 1→，n 〉|＝|AD 1→·n ||AD 1→||n |＝4322×4＝64， 即AD 1与平面ADM 所成角的正弦值为64．…12分（19）解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A ，则P (A )＝3×2×14×4×4＝332，两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率P ＝1－P (－A )P (－A )＝1－(1－332)2＝1831024．…5分（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320－50＝270元．若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取160，224，256，320．P (X ＝160)＝332， P (X ＝224)＝3×2×3＋3×2×1＋1×2×14×4×4＝1332，P (X ＝256)＝3×2×3＋1×2×3＋1×2×14×4×4＝1332，P (X ＝320)＝1×2×34×4×4＝332，则E (X )＝160×332＋224×1332＋256×1332＋320×332＝240．∵ 270＞240，∴第二种方案比较划算． …12分（20）解：（Ⅰ）由题意可设C (x ，y )，则G (x3，y3)，H (x ，y3)．BH →＝(x －1， y 3)，AC →＝(x ＋1，y )， 因为H 为垂心，所以BH →•AC →＝x 2－1＋y 23＝0，整理可得x 2＋y23＝1，即动点C 的轨迹Г的方程为x 2＋y 23＝1（x ·y ≠0）． …5分 （Ⅱ）显然直线AC 的斜率存在，设AC 方程为y ＝k (x ＋1)，C (x 0，y 0)．将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋y 23＝1得(3＋k 2)x 2＋2k 2x ＋k 2－3＝0，解得x 0＝3－k 23＋k 2，y 0＝6k 3＋k 2，则H (3－k 23＋k 2，2k3＋k2)．原点O 到直线AC 的距离d ＝|k |1＋k2， 依题意可得k 21＋k 2＝9－2k 2＋k49＋6k 2＋k 4，即7k 4＋2k 2－9＝0，解得k 2＝1，即k ＝1或－1， 故所求直线AC 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1． …12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝2－e x，x ＜ln 2时，f '(x )＞0；x ＞ln 2时，f '(x )＜0，所以f (x )在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减， 则当x ＝ln 2时，f (x )取得最大值2ln 2－1．…4分（Ⅱ）x ∈(0，1)时，f (x )在(0，ln 2)上单调递增，在(ln 2，1)上单调递减， 且f (0)＝0，f (1)＝3－e ＞0，所以此时f (x )＞0，因为tan x ＞0，所以当a ≤0时，af (x )≤0＜tan x ． …6分当a ＞0时，令g (x )＝tan x －af (x )，则g '(x )＝1cos 2x －a (2－e x )＝1cos 2x＋a (e x－2)，故g '(x )在(0，1)上单调递增且g '(0)＝1－a ．（ⅰ）当0＜a ≤1时，g '(0)≥0，g '(x )≥0，所以g (x )在(0，1)上单调递增， 又g (0)＝0，所以此时g (x )＞0，即af (x )＜tan x 成立；（ⅱ）当a ＞1时，g '(0)＜0，g '(1)＞0，所以存在x 0∈(0，1)使得g '(x 0)＝0， 即x ∈(0，x 0)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减，又g (0)＝0，所以此时g (x )＜0， 与af (x )＜tan x 矛盾； 综上，a 的取值范围是a ≤1．…12分（22）解：（Ⅰ）因为BF ∥CD ，所以∠EDC ＝∠BFD ， 又∠EBC ＝∠EDC ，所以∠EBC ＝∠BFD ，又∠BCE ＝∠BDF ，所以△BCE ∽△FDB . …4分 （Ⅱ）因为∠EBF ＝∠CBD ，所以∠EBC ＝∠FBD ， 由（Ⅰ）得∠EBC ＝∠BFD ，所以∠FBD ＝∠BFD ， 又因为BE 为圆O 的直径，所以△FDB 为等腰直角三角形，BD ＝22BF ＝2，因为AB 与圆O 相切于点B ，所以EB ⊥AB ，即AD ·ED ＝BD 2＝2． …10分 （23）解：（Ⅰ）半圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1（y ＞1），它的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ，φ是参数且φ∈(0，π)． (4)分（Ⅱ）设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的方程为y ＝x tan α－2，D (cos2α，1＋sin2α)，2α∈(0，π)．|AB |＝2sin α，点D 到直线l 的距离为|sin αcos2α－cos αsin2α－3cos α|＝|3cos α－sin αcos2α＋cos αsin2α|＝3cos α＋sin α，由△ABD 的面积为4得tan α＝1，即α＝ π4，故点D 为(0，2)． …10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝－2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ，x ＜－1，3－x ，－1≤x ≤1，3x －1，x ＞1．由f (x )的单调性及f (－ 43)＝f (2)＝5，得f (x )＞5的解集为{x |x ＜－ 43，或x ＞2}． …5分（Ⅱ）由f (x )≤a |x ＋3|得a ≥|x ＋1||x －1|＋|x ＋3|，由|x －1|＋|x ＋3|≥2|x ＋1|得|x ＋1||x －1|＋|x ＋3|≤ 1 2，得a ≥ 12．（当且仅当x ≥1或x ≤－3时等号成立）故a 的最小值为 12． …10分。

2022年河北省唐山市高考数学第一次模拟演练试卷（一模）1. 复数z在复平面内对应的点为，则( )A. B. C. D.2. 已知集合，，则( )A. B.C. D.3. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为( )A. 1：1B. 1：2C. 2：1D. 2：34. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则( )A. B. C. D.5. 已知向量，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.6. 已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率( )A. B. C. D. 27. 已知函数的图象关于点对称，则( )A. B. C. 1 D. 38. 在正方体中，M为棱的中点，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，，则( )A. B. C. D.9. 有一组互不相等的数组成的样本数据，，…，，其平均数为…，，若插入一个数a，得到一组新的数据，则( )A. 两组样本数据的平均数相同B. 两组样本数据的中位数相同C. 两组样本数据的方差相同D. 两组样本数据的极差相同10. 设函数，则( )A. 在上单调递增B. 在内有6个极值点C. 的图象关于直线对称D. 将的图象向右平移个单位，可得的图象11. 已知直线l：与抛物线C：交于，两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为，，则( )A. 为定值B. 为定值C. 为定值D. 为定值12. 已知，，，为函数的零点，，下列结论中正确的是( )A. B.C. 若，则D. a的取值范围是13. 设函数，若，则______.14. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则______.15. 为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量单位：根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为______.附：若随机变量Y服从正态分布则16. 已知，，是圆C：上的动点，当最大时，______；的最大值为______.17. 已知数列的各项均不为零，为其前n项和，且证明：；若，数列为等比数列，，求数列的前2022项和18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知，若，求b；若D为BC的中点，且，求的面积．19. 甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛中，甲、乙两队获胜的概率均为；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了局比赛，求随机变量的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？20. 如图，直三棱柱中，，D为BC的中点，E为棱上一点，求证：平面；若二面角的大小为，求直线CE与平面所成角的正弦值．21. 已知函数讨论的单调性；证明：22. 已知椭圆经过点，离心率为求椭圆C的方程；如图，椭圆C的左、右顶点为，，不与坐标轴垂直且不过原点的直线l与C交于M，N两点异于，，点M关于原点O的对称点为点P，直线与直线交于点Q，直线OQ与直线l交于点证明：点R在定直线上．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了复数的运算性质及几何意义，考查转化思想，是基础题．根据复数的运算性质计算即可．【解答】解：复数z在复平面内对应的点为，，故选：2.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．求出集合A，利用交集定义能求出【解答】解：集合，，故选：3.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点：圆柱的侧面积公式和球的表面积公式，属于基础题．首先求出球的表面积和圆柱的侧面积，进一步求出它们的比值．【解答】解：设圆柱的底面直径和高都为2R，故球的表面积为，圆柱的侧面积为，故：：故本题选4.【答案】D【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，考查二倍角公式的应用，是基础题．由已知利用任意角的三角函数的定义求得，的值，再由倍角公式求的值．【解答】解：点在角的终边上，，则，，故选5.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．设与的夹角为，由数量积的计算公式可得，求出的值，分析可得答案．【解答】解：根据题意，设与的夹角为，向量，则，又由，则，解可得，又由，则故选6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．由题意求出，，再由可求得，从而可求出a，进而可求得离心率．【解答】解：由题意得，双曲线的渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨设A，B均为第一象限点，当时，，得，所以，当时，，所以，因为，所以，所以，得，所以，所以双曲线的离心率为，故选：7.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的对称性，以及恒等式的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．由题意可得，由多项式的乘法公式，结合恒等式的性质解方程可得所求值．【解答】解：由函数的图象关于点对称，可得，即，即，化为，可得，且，解得，，故选8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查空间几何体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．取BC的中点N，连接MN，ND，，，则可得梯形为平面所在的截面，则为三棱台的体积，设正方体的棱长为2，先求出，从而可求出，进而可求出的值．【解答】解：如图，取BC的中点N，连接MN，ND，，，因为M为棱的中点，所以，，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，，所以，，所以梯形为平面所在的截面，则为三棱台的体积，不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为，所以，所以，所以，故本题选9.【答案】AD【解析】解：对于A，新数据的平均数为，与原数据的平均数相等，故A正确，对于B，不妨设，则原数据的中位数为，若，则中位数为，若，则中位数为，故B错误，对于C，新数据的方差为，故C错误，对于D，不妨设，则，故新数据的极差也为，故D正确．故选：根据已知条件，结合中位数和极差的定义，以及平均数和方差的公式，即可求解．本题主要考查中位数和极差的定义，以及平均数和方差的公式，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：对于函数，在上，，函数没有单调性，故A错误；在内，，函数有6个极值点，故B正确；令，可得，为最小值，可得的图象关于直线对称，故C正确；将的图象向右平移个单位，可得的图象，故D错误，故选：由题意，利用函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：由可得，，由韦达定理可得，，，对于A，为定值，即可求解，对于B，，故B正确，对于C，，不为定值，故C错误，对于D，，则为定值，故D正确．故选：由可得，，再结合韦达定理，以及斜率公式，即可依次求解．本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了函数的零点存在性定理，函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．对于A，只要利用函数零点的判断定理即可；对于B，由于有了A的结论，只要判断的范围即可；对于C，利用函数表达式，将所给的条件代入，联立方桯即可：对于D，需要将原函数转换成容易求导的解析式，再构造函数即可．【解答】解：，，故A正确；当时，，，必无零点，故，，故B错误；由，两边取对数得，所以，当时，联立方程，解得，由于，，，故C正确；考虑在第一象限有两个零点：即方程有两个不同的解，两边取自然对数得有两个不同的解，设函数，则时，，当时，，当时，，所以，要使得有两个零点，则必须，即，解得，故D正确；故选：13.【答案】1【解析】解：函数，当时，则，方程无解，故，则，解得，故答案为：由，选取相应函数解析式，进行计算即可．本题考查了分段函数求值问题，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设等差数列的公差为d，，，，，解得，，则，故答案为：利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】19【解析】解：由已知可得，，每天从生产线上随机抽取包食品中其质量在之外的包数为，而每天抽取的k包食品中其质量在之外的概率为，所以，故，解得，即k的最小值为故答案为：由已知可得每天抽取的k包食品中其质量在之外的概率为，则，再由期望公式求解可得最小值．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】【解析】解：是圆C：上的动点，，则，即，且有，，当且仅当，即时，取得最大值，，，，设，，其中，，，，当时，即时，取得最大值为，此时，解得，符合题意．故答案为：1；根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及三角函数的恒等变换和有界性，即可求解．本题主要考直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】证明：因为①所以②②-①得，因为，所以解：由得，于是，由得的公比所以，由得，由得，因此【解析】通过，，作差推出即可．求出，利用，转化求解数列的和．本题考查数列的递推关系式以及数列求和的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．18.【答案】解：因为，所以，在中，由正弦定理得，，所以在中，由余弦定理得，，所以，即①，因为D为BC的中点，所以，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，由，得②，联立①②可得，，所以的面积【解析】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．由，结合两角和的正弦公式，求得的值，再在中，由正弦定理，即可得解；在中，由余弦定理可得①，然后分别在和中，均利用余弦定理，并结合，推出②，再联立①②，求得bc的值后，根据，得解．19.【答案】解：的所有可能取值为3，4，5，，，，故的分布列为：3 4 5P，进行4局比赛的可能性最大．采用三局两胜时，甲获胜概率，采用五局三胜时，甲获胜概率，，如果我是甲队领队，采用五局三胜制．【解析】的所有可能取值为3，4，5，分别求出对应的概率，即可求解．分别求出采用五局三胜制和三局两胜制的胜率，即可求解．本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查计算能力，属于基础题．20.【答案】解：证明：在直三棱柱中，底面ABC，底面ABC，则；又，，平面，平面，于是平面，又平面，故由直三棱柱知底面ABC，底面ABC，则，又因为，平面，平面，故平面由知，又D为BC中点，故以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，设，则由知平面的法向量可取设平面的法向量，因为，，所以，取由题设得，即，解得此时，设CE与平面所成角为，因为，所以，即直线CE与平面所成角的正弦值为【解析】证明，，推出平面，得到证明，即可推出平面以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系求出平面的法向量，平面的法向量，设CE与平面所成角为，利用空间向量的数量积求解直线CE与平面所成角的正弦值．本题考查直线与平面所成角，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：的定义域为，，当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在和上单调递减，在上单调递增．证明：令，，则，所以时，，单调递增，时，，单调递减，所以的最大值为，即，从而，所以，又，所以，等号当且仅当时成立，故【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；求出，再求出，从而证明结论成立．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．22.【答案】解：由题意知，，解得，故椭圆C的方程为设，，则直线l的方程为，其中，且，将代入椭圆，整理得，由与韦达定理得，，由可知，，设，由，P，Q三点共线，得，由，N，Q三点共线，得，则，于是直线OQ的斜率为，直线OQ的方程为，联立，解得即点R在定直线上．【解析】通过点在椭圆上，列出方程组，求解a，b，即可得到椭圆C的方程．设，，则直线l的方程为，其中，且，将代入椭圆，利用韦达定理，结合，P，Q三点共线，，N，Q三点共线，推出直线OQ的方程为，然后求解x即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。

理科数学一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的.(2)34,i z i +=+ A. 12i + B. 12i -C. 2i +D. 2i - 2．下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况（单位：元）， 则销售额中的中位数是 A ．30.5 B ．31.5 C ．31 D ．323．己知集合A=2320|}{x x x -+< ，B=41{|log }2xx > ，则A ．A ∩B=∅B ．B ⊆AC ．A ∩C R B=RD ．A ⊆B 4. 832()x x- 二项展开式中的常数项为5．执行右边的程序框图，则输出的S 是A ．5040B ．2450C ．4850D ．2550 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,且132455,,24n nS a a a a a +=+=则 A ．4n-1 B ．4n-1C ．2n-1 D ．2n-17．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．6 B ．2 3 C ．3 D ．3 3 8．若1sin(),63πα-= 则2cos()3πα+= A ．-79B ．79C ．-29D ．299．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为 A ．8π B ．16π C ．32π D ．64π 10．双曲线224x y -=左支上一点P ()a b ,到直线y =x 的距离为 2 , 则a b += A ．-2B ．2C ．-4D ．411．AD, BE 分别是∆ABC 的中线，若|→AD |=|→BE |=1，且→AD 与→BE 的夹角为120°，则→AB ·→AC = A ．89B ．49C ．23D ．1312．各项均为正数的数列{}n a ,{}n b 满足：11222,2()n n n n n n a a b n b a b N +*+++=+=+∈，那么A ．11,n n n n a n N b b a *++∀∈>⇒>B ．,,n n m N n a b m *∃∈∀>>1 02 2 0 1 43 1 1 2 64 3 8C ．,,n n m N n a b m *∃∈∀>= D ．,,n n m N n a b m *∃∈∀><二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y=(2cos 1)3log ,x +22(,)33x ππ∈-的值域 . 14．设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y ≥2x －4x ＋2y ≥2, 则目标函数32z x y =-的最大值为 .15．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB|= .16．定义在R 上的函数()f x 满足：2()(),f x f x x -+= 当x ＜0时，()f x '＜x ,则不等式()f x +12≥(1)f x -+x 的解集为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且4bsinA=7a . （I ）求sinB 的值；（II ）若,,a b c 成等差数列，且公差大于0，求cosA-cosC 的值.18．（本小题满分12分）甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.（Ⅰ）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求至少有一个是乙车床加工的概率；（Ⅱ）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X ，求X 的分布列和期望．19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，O 是AC 的中点，A 1O ⊥平面ABC ，∠BCA=90°，AA 1=AC=BC.（I ）求证：A 1B ⊥AC 1;（II ）求二面角A-BB 1-C 的余弦值．20．（本小题满分12分）P 为圆A:22(1)8x y ++=上的动点，点B （1,0）.线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ．（I ）求曲线Γ的方程；（II ）当点P 在第一象限，且cos ∠BAP=223时，求点M 的坐标．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)e 1.xf x x =--. （I ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设()(),f x g x x=证明()g x 有最大值()g t ，且-2＜t ＜-1.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4―1:几何证明选讲如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD ⊥OE 于B 、C 两点． （Ⅰ）证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC 的大小．23．（本小题满分10分）选修4―4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为10,x t y t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 20ρρθ-+=.（Ⅰ）把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)将直线l 向右平移h 个单位，所对直线l ' 与圆C 相切，求h ．24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数()2(1,,)2f x x a a R g x a x +=-∈=-．（Ⅰ）若当()5g x ≤时，恒有()6f x ≤ ，求a 的最大值； (Ⅱ) 若当x R ∈时，恒有()()3,f x g x +≥ 求a 的取值范围.唐山市2013—2014学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：ABDCC DBAAB DC B 卷：DCABB CDADA CB 二、填空题： （13）(－∞，1]（14）6（15）163（16）(－∞， 12]三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由4b sin A ＝7a ，根据正弦定理得4sin B sin A ＝7sin A ，所以sin B ＝74．…4分（Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得sin A ＋sin C ＝72．①设cos A －cos C ＝x ，② ①2＋②2，得2－2cos(A ＋C )＝ 7 4＋x 2．③ …7分又a ＜b ＜c ，A ＜B ＜C ，所以0︒＜B ＜90︒，cos A ＞cos C ，故cos(A ＋C )＝－cos B ＝－ 34．…10分代入③式得x 2＝ 7 4．因此cos A －cos C ＝72．…12分（18）解：（Ⅰ）由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1，2，3．从抽取的6个零件中任意取出2个，记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工点”为A ，事件“其中至少有一个是乙车床加工的”为B ，则P (A )＝C 25C 26，P (AB )＝C 25－C 23C 26，所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 25－C 23C 25＝0.7． …5分（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2．P (X ＝i )＝C i 2C 3－i 4C 36，i ＝0，1，2．X 的分布列为…10分X 的期望为E (x )＝0×0.2＋1×0.6＋2×0.2＝1． …12分（19）解：（Ⅰ）因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC ．又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1，所以AC 1⊥BC ． …2分 因为AA 1＝AC ，所以四边形A 1ACC 1是菱形，所以AC 1⊥A 1C ． 所以AC 1⊥平面A 1BC ，所以A 1B ⊥AC 1． …5分（Ⅱ）以OC 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ， 则A (0，－1，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)，C 1(0，2，3)． AB →＝(2，2，0)，BB 1→＝CC 1→＝(0，1，3)，设m ＝(x ，y ，z )是面ABB 1的一个法向量，则m ·AB →＝m ·BB 1→＝0， 即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0，取m ＝(3，－3，1)． 同理面CBC 1的一个法向量为n ＝(0，－3，1)．…10分因为cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝277．所以二面角A -BB 1-C 的余弦值277． …12分（20）解：（Ⅰ）圆A 的圆心为A (－1，0)，半径等于22．由已知|MB |＝|MP |，于是|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，a ＝2，c ＝1，b ＝1，曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1．…5分 （Ⅱ）由cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ( 5 3，223)．…8分于是直线AP 方程为y ＝24(x ＋1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24(x ＋1)，解得5x 2＋2x －7＝0，x 1＝1，x 2＝－ 7 5．由于点M 在线段AP 上，所以点M 坐标为(1，22)． …12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝－x e x．当x ∈(－∞，0)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减．所以f (x )的最大值为f (0)＝0．…4分（Ⅱ）g (x )＝(1－x )e x －1x ，g '(x )＝－(x 2－x ＋1)e x＋1x2． 设h (x )＝－(x 2－x ＋1)e x ＋1，则h '(x )＝－x (x ＋1)e x． 当x ∈(－∞，－1)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减； 当x ∈(－1，0)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增；ABC A 1OB 1C 1xyz当x ∈(0，＋∞)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减． …7分又h (－2)＝1－7e 2＞0，h (－1)＝1－ 3e＜0，h (0)＝0，所以h (x )在(－2，－1)有一零点t ．当x ∈(－∞，t )时，g '(x )＞0，g (x )单调递增；当x ∈(t ，0)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减． …10分 由（Ⅰ）知，当x ∈(－∞，0)时，g (x )＞0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＜0． 因此g (x )有最大值g (t )，且－2＜t ＜－1． …12分 （22）解：（Ⅰ）连结OA ，则OA ⊥EA ．由射影定理得EA 2＝ED ·EO ．由切割线定理得EA 2＝EB ·EC ，故ED ·EO ＝EB ·EC ，即ED BD ＝EC EO， 又∠OEC ＝∠OEC ，所以△BDE ∽△OCE ，所以∠EDB ＝∠OCE ． 因此O ，D ，B ，C 四点共圆．…6分（Ⅱ）连结OB ．因为∠OEC ＋∠OCB ＋∠COE ＝180︒，结合（Ⅰ）得 ∠OEC ＝180︒－∠OCB －∠COE ＝180︒－∠OBC －∠DBE＝180︒－∠OBC －(180︒－∠DBC )＝∠DBC －∠ODC ＝20︒． …10分（23）解：（Ⅰ）因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＋2＝0． …4分（Ⅱ）平移直线l 后，所得直线l '的⎩⎨⎧x ＝h －10＋t ，y ＝t（t 为参数）．2t 2＋2(h －12)t ＋(h －10)2＋2＝0． 因为l '与圆C 相切，所以Δ＝4(h －12)2－8[(h －10)2＋2]＝0，即h 2－16h ＋60＝0， 解得h ＝6或h ＝10． …10分 （24）解：（Ⅰ）g (x )≤5⇔|2x －1|≤5⇔－5≤2x －1≤5⇔－2≤x ≤3； f (x )≤6⇔|2x －a |≤6－a ⇔a －6≤2x －a ≤6－a ⇔a －3≤x ≤3． 依题意有，a －3≤－2，a ≤1．故a 的最大值为1． …6分 （Ⅱ）f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋|2x －1|＋a ≥|2x －a －2x ＋1|＋a ≥|a －1|＋a ， 当且仅当(2x －a )(2x －1)≥0时等号成立．解不等式|a －1|＋a ≥3，得a 的取值范围是[2，＋∞)． …10分ABCDEO。

2024届唐山市普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数21i z =+，则z z ⋅=（）A.1i + B.1i-C.D.2【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则求出1i z =-，1i z =+，复数的乘法运算即可求解.【详解】221i 22i 22i 1i 1i 1i 1i 2z ---=⋅===-+--,所以1i z =-，1iz =+，()()21i 1i 1i 2z z ⋅=+-=-=.故选：D2.已知x ∈R ，p ：“20x x ->”，q ：“1x >”，则p 是q 的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由20x x ->，即()10x x ->，解得1x >或0x <，所以p ：“1x >或0x <”，故由p 推不出q ，即充分性不成立，由q 推得出p ，即必要性成立，所以p 是q 的必要但不充分条件.故选：B3.已知向量()3,1a =- ，()2,b x =-，若()a ab ⊥+ ，则b = （）A. B.4C. D.20【答案】A 【解析】【分析】由向量垂直的性质和向量的模长计算可得.【详解】()1,1a b x +=-，因为()a ab ⊥+，所以()311104x x ⨯-⨯-=⇒=，所以()2,4b =-r，所以b ==，故选：A4.已知函数()f x =，则()f x 的最小值为（）A.0B.2C. D.3【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】由已知得2x >，所以()22f x +===+≥当且仅当=即4x =等号成立，则()f x 的最小值为.故选：C .5.从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形，则能构成正三角形的概率为（）A.17B.114C.27D.435【答案】A 【解析】【分析】利用排列组合以及古典概型的概率公式，即可解出．【详解】从八个顶点中任选三个构成三角形的有38C 56=种结果；其中能构成正三角形的有8种结果：111111111111,,,,,,,,ACD BDC ACB BDA A C B B D A B D C A C D 故概率为：81567=，故选：A ．.6.已知抛物线E ：24y x =的焦点为F ，以F 为圆心的圆与E 交于A ，B 两点，与E 的准线交于C 、D 两点，若CD =，则AB =（）A.3B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】设点A 在第一象限，由CD =，可确定圆的半径，利用抛物线的定义求出()4,4A ，即可求得结果.【详解】由抛物线方程知：12p=，()1,0F ∴，不妨设点A 在第一象限，如图所示，直线CD 与x 轴交于点E ，由CD =，则2ED EF ==，圆的半径()222125r =+，所以5AF =，由抛物线的定义可得：52A px +=，所以4A x =，又因为点A 在抛物线上，所以()4,4A ，248AB ∴=⨯=．故选：D .7.已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为60︒，则球表面积与圆台侧面积之比为（）A.2：3B.3：4C.7：8D.6：13【答案】B 【解析】【分析】作出圆台的轴截面，利用切线长定理可得母线与半径的关系；结合60°可得圆台的上下半径以及球的半径的关系，即可利用面积公式求解.【详解】设圆台上下底面圆的半径为12,r r ，母线为,l 球的半径为,R 取圆台的轴截面ABCD ，则四边形ABCD 为等腰梯形，圆台的外接球球心为O ，则球心O 在截面ABCD 内，在截面ABCD 内，设圆O 切梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 分别于点E 、F 、G 、H ，由切线长定理可得AE AH =，DG DH =，故AD DH AH DG AE =+=+，即12l r r =+；由于60ABC ∠= ,所以2112sin 60,2GE R l r r ==-=，解得213,3r r R r ==())()22121211434π3π43r S R S rl r l r r ⨯===++球圆台；故选：B ．8.已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则（）A.()f x 在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增B.3π,08⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心C.()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为⎡⎣ D.π8x =是()f x 的一条对称轴【答案】C 【解析】【分析】由函数()f x 的最小正周期为π，求出2ω=，再代入化简()f x ，画出()f x 的图象，再对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为函数()f x 的最小正周期为π，所以2ω=，所以函数()πsin 2cos 2,π,π2sin 2cos 2πsin 2cos 2,π,ππ2x x x k k f x x x x x x k k ⎧⎡⎤+∈+⎪⎢⎥⎪⎣⎦=+=⎨⎛⎤⎪-+∈++ ⎥⎪⎝⎦⎩即()ππ2,π,π42ππ2,π,ππ42x x k k f x x x k k ⎛⎫⎡⎤+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎨⎛⎫⎛⎤⎪-∈++ ⎪ ⎥⎪⎝⎭⎝⎦⎩，作出函数()f x 的图象，如下图所示：对于A ，由图可知，()f x 在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调有增有减，故A 错误；对于B ，由图象可知，()f x 无对称中心，故B 错误；对于C ，由图象可知，()f x 为偶函数，当π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ7π2,4412x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 242x ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，π24x ⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为⎡⎣，故C 正确；对于D ，由图象可知，()f x 的对称轴为π,Z 2k x k =∈，故D 错误.故选：C .【点睛】关键点睛：由函数()f x 的最小正周期求出ω，再代入化简()f x ，画出()f x 的图象，再由三角函数的单调性，对称性，值域对选项一一判断即可得出答案.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知样本数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，则（）A.极差为8B.方差为6C.平均数为5D.80百分位数为7【答案】AC 【解析】【分析】由极差，方差，平均数，第百分位数的计算逐一判断即可.【详解】A ：极差等于最大值减去最小值，故918-=，故A 正确；C ：平均数为123959++++= ，故C 正确；B ：由方差公式计算可得()()()222152********93-+-++-== ，故B 错误；D ：第80百分位数为90.87.2⨯=，为8，故D 错误；故选：AC.10.已知函数()331f x x x =-+，则（）A.直线32y x =-是曲线()y f x =的切线B.()f x 有两个极值点C.()f x 有三个零点D.存在等差数列{}n a ，满足()155kk f a ==∑【答案】BCD 【解析】【分析】由导数的意义可知斜率为32-时，求出切点，再由点斜式判断A 错误；求导后由单调性可判断B正确；代入极值点后可判断C 正确；由等差中项可判断D 正确.【详解】()()()233311f x x x x ==+'--，A ：令()233322f x x x =-⇒'=-=±，而12f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由点斜式可知此时切线方程为32122x y ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；212f ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由点斜式可知此时切线方程为32122x y ⎛⎫⎫--=-+ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭；所以直线32y x =-不是曲线()y f x =的切线，故A 错误；B ：令()0f x '=，解得1x =±，所以函数在()(),11,∞∞--⋃+上单调递增，在()1,1-上单调递减，故=1x -时取得极大值，1x =取得极小值；故B 正确；C ：因为()()130,110f f -=>=-<，所以由单调性可知函数由三个极值点，故C 正确；D ：假设存在，即()()33551f a f a =⇒=，令0x =，可得()1f x =，方程有解，故D 正确；故选：BCD11.在透明的密闭正三棱柱容器111ABC A B C -内灌进一些水，已知14AB AA ==．如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC 于地面上，再将容器按如图方向倾斜，至侧面11ACC A 与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（）A.水面形状的变化：三角形⇒梯形⇒矩形B.当11C A α⊂时，水面的面积为 C.当B α∈时，水面与地面的距离为835D.当侧面11ACC A 与地面重合时，水面的面积为12【答案】ABC 【解析】【分析】根据题设条件得到V =水，正三棱柱的体积V =，再结合各个选项的条件，逐一分析判断，即可得出结果.【详解】由题知31634ABC V S h ==⨯⨯= 水31644V =⨯⨯=，对于选项A ，当容器按题设方向倾斜至B α∈时，水面形状是三角形，再倾斜时，水面形状是梯形，直到侧面11ACC A 与地面重合时，水面形状是矩形，所以选项A 正确，对于选项B ，如图1，当容器按题设方向倾斜至11C A α⊂时，设水面与棱1BB 的交点为M ，设1MB a =，又三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，取11B C 中点E ，连接1A E ，易知11111,A E B C A E B B ⊥⊥，又1111BB B C B = ，111,BB B C ⊂面11BCC B ，所以1A E ⊥面11BCC B ，所以1A 到平面11BCC B 的距离为1A E =，所以11111432A MBC V a -=⨯⨯⨯⨯=3a =，此时水面图形为11A MC △，又115A M C M ===，114A C =，取11A C 中点，则11HM A C ⊥，且HM ==，所以11142A MC S =⨯= ，故选项B 正确，对于选项C ，如图2，当容器按题设方向倾斜至B α∈时，设水面与棱1111,A B C B 的交点为,F G ，易知11////FG A C AC ，设11B F B G b ==，由1121111π4sin 3323B B FG B FG V S BB b -==⨯= ，得到b =因为水面始终与地面平行，AC 始终与水面平行，且AC 始终在地面上，所以水面与地面的距离，即AC 到平面的距离，取AC 中点Q ，连接,HQ BQ ，设1B H 交FG 于K ，连接BK ，易知,HQ AC BQ AC ⊥⊥，又HQ BQ Q = ，,HQ BQ ⊂面1QBB H ，所以AC ⊥面1QBB H ，又11////FG A C AC ，所以FG ⊥面1QBB H ，过Q 作QR ⊥BK 于R ，连接QR ，因为QR ⊂面1QBB H ，所以FG QR ⊥，又FG BK K = ，,FG BK ⊂面α，所以QR α⊥，即QR 为水平面到地面的距离，如图3，过K 作KP QB ⊥于P ，易知1π33B K ==，所以5BK ==，得到4sin 5KP QBR KB ∠==，又QB =4sin 55QR QB QBR =∠==，故选项C 正确，对于选项D ，如图4，当侧面11ACC A 与地面重合时，水面α为矩形1111E H N M ，设1BE t =，则由1111111211π4sin 23B M N BE H BE H V S BB t -==⨯= ，解得2t =，所以112E H =，故1111428E H N M S =⨯=，所以选项D 错误，【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C ，利用容器倾斜时始终与地面平行，边AC 始终与水面平行，将问题转化成AC 到水面的距离，再利用几何关系，即可求出结果.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在4312x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中，常数项为______．（用数字作答）【答案】8-【解析】【分析】先由二项式定理求出4312x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式的通项公式，再求出常数项即可．【详解】因为4312x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-展开式的通项公式为：()()4341241441C 212C ,0,1,2,3,4rrr r r r r r T xx r x ---+⎛⎫=-=-⋅⋅= ⎪⎝⎭，令1240r -=，解得3r =，所以常数项为：3442C 8T =-⨯=-.故答案为：8-13.在ABC 中，5,7,8AB BC AC ===，D 是AB 边上一点，CD AB ⊥，则CD =______．【答案】【解析】【分析】由余弦定理求出1cos 2A =，即可得π3A =，在Rt ACD △中，所以8sin CD A =，代入即可得出答案.【详解】因为5,7,8AB BC AC ===，所以由余弦定理可得：222642549401cos 2258802AC AB BC A AC AB +-+-====⋅⨯⨯，因为0πA <<，所以π3A =，所以在Rt ACD △中，所以π8sin 8sin 3CD A ===.故答案为：14.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交E 于A ，B 两点，()0,1C -是线段1BF 的中点，且2AB AC AC ⋅=uuu r uuu r uuu r，则E 的方程为______．【答案】22196x y +=【解析】【分析】根据中点关系可得平行，进而可得21F F AB ⊥，根据向量的坐标运算即可求解.【详解】由于()0,1C -是线段1BF 的中点，()0,0O 是线段21F F 的中点，所以2//OC F B ,故21F F AB ⊥,设椭圆焦距为2c ，则()()21,0,,0F c F c -，将x c =代入椭圆方程可得22221c ya b+=，故2b y a =，因此22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()0,1C -是线段1BF 的中点，所以222b BF a ==，故22b a =，2220,,,1b b AB AC c a a ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，由2AB AC AC ⋅=uuu r uuu r uuu r 得22222211b b b c a a a ⎛⎫⎛⎫---=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()2241212c ---=--+，解得23c =，又2222b a a c ==-，故29a =，26b =，故椭圆方程为22196x y +=，故答案为：22196x y +=四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列{}n a 是正项等比数列，其前n 项和为n S ，且2416a a =，5324S S =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记{}2log n n a a +的前n 项和为n T ，求满足2024n T <的最大整数n ．【答案】（1）12n n a -=（2）10n =【解析】【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式和前n 项和公式列方程组解出公比q ，从而可求出通项公式；（2）由（1）得2log n n a a +，然后用分组求和法即可求n T ，分别计算10T 和11T ，即可确定n 的值.【小问1详解】设{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=，因为0n a >，所以0q >，依题意可得345424a a a =⎧⎨+=⎩，即213411424a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，整理得260q q +-=，解得2q =或3q =-（舍去），所以3132n n n a a q--==.【小问2详解】由（1）可知12log 21n n n a a n -+=+-，故()()012122220121n n T n -=+++++++++- ()1212n n n -=-+显然，n T 随着n 的增大而增大，1010214510682024T =-+=<，1111215521022024T =-+=>，所以满足2024n T <的最大整数10n =.16.某项测试共有8道题，每道题答对5分，不答或答错得0分．某人答对每道题的概率都是14，每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为X ．（1）求此人得分的期望；（2）指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由．【答案】（1）10（2）此人答对2道题的可能性最大；理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件，确定18,4⎛⎫~ ⎪⎝⎭X B ，得分为5X ，求()()555210E X E X ==⨯=即可；（2）根据二项分布概率公式有()881344kkk P x k C -⎛⎫⎛⎫==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,1,28k = ，通过作商法求出19413k k p kp k--=+，与1比较大小即可确定k p 在2k =时取最大值.【小问1详解】某人答对每道题的概率都是14，则答对题目的个数X 服从二项分布，即18,4⎛⎫~ ⎪⎝⎭X B ，()1824E X =⨯=，由于每道题答对得5分，所以此人答题得分为5X ，因此，在此项测试中，此人答题得分的期望为()()555210E X E X ==⨯=.【小问2详解】设此人答对k 道题的可能性为()8813C 44k kk P x k -⎛⎫⎛⎫==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,,8k = ，记()k p P x k ==，则()()881911813C 44113C 44kkk k k k k k P X k p p P X k -----⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()8!1!8!499418!3331!9!4k k k k k k k k ⨯---===+⨯--，当94k <时，1k k p p ->，k p 随k 的增加而增加，即210p p p >>；当94k >时，1k k p p -<，k p 随k 的增加而减小，即872p p p <<< ；所以当2k =时，2p 最大，因此此人答对2道题的可能性最大.17.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为矩形，底面ABC 为等边三角形．（1）证明：11A B A C =；（2）若11AC A B ⊥，12A A AB ==，①证明：平面1A BC ⊥平面ABC ；②求平面ABC 与平面11A BC 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析，平面ABC 与平面11A BC 的夹角的余弦值为217【解析】【分析】（1）根据线线垂直可证明BC ⊥平面AOM ，即可结合中点求证，（2）根据线线垂直可得二面角的平面角，即可根据长度关系判断二面角为直角，进而可求证，（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【小问1详解】取11,BC B C 的中点为,O M ，连接1,,OM AO A O ,由于侧面11BB C C 为矩形，所以11,//,BB BC OM BB OM BC ⊥∴⊥ ,由于底面ABC 为等边三角形,所以AO BC ⊥,,,AO OM O AO MO ⋂=⊂平面AOM ，所以BC ⊥平面AOM ，由于11//,,AA OM AA OM =故四边形1AOMA 为平行四边形，故1A O ⊂平面AOM ，故1BC A O ⊥，又O 是BC 中点，所以11A B A C =，【小问2详解】①由于2,,AB BC AC AO BC ===⊥O 是BC 中点，所以3,1AO CO BO ===,又11A B A C =且11AC A B ⊥，所以11A C A B ==11A O =由于1BC A O ⊥，BC AO ⊥,故1AOA ∠为1A BC A --的平面角，由于22211A O AO A A +=,所以1π2A OA ∠=，故平面1A BC ⊥平面ABC；②由于1,,OA OA OB 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，())()()10,0,1,,0,1,0,0,1,0A A B C -,则)()1,0,1,1,CA A B ==-)11,C A CA ==设平面11A BC 的法向量为(),,m x y z =，则11100C A m y A B m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取x =)3,3m =-- ，由于平面ABC 的法向量为()10,0,1OA =,故11121cos ,7m OA m OA m OA ⋅===故平面ABC 与平面11A BC的夹角的余弦值为718.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b -=>>，()2,3A ，1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 与Γ有唯一公共点A ．（1）求Γ的方程：（2）若双曲线Γ的离心率e 不大于2，过B 的直线l 与Γ交于不同的两点M ，N ．求直线AM 与直线AN 的斜率之和．【答案】（1）221774x y -=或2213y x -=（2）4【解析】【分析】（1）依题意可得22491a b-=，再求出直线AB 的方程，联立直线与曲线方程，消元，分2240b a -=和2240b a -≠两种情况讨论，分别求出2a ，2b ，即可求出曲线方程；（2）首先由离心率分析双曲线Γ的方程为2213y x -=，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 为12y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与曲线方程，消元、列出韦达定理，再利用斜率公式计算可得.【小问1详解】依题意可得22491a b-=，又直线AB 的方程为()3032122y x --=--，即21y x =-，由2222211y x x y ab =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 整理得()2222222440b a x a x a a b -+--=，当2240b a -=时，又22491a b -=，解得274a =，27b =，所以双曲线Γ的方程为221774x y -=；当2240b a -≠，所以222444a b a-=-，即223a b =，又22491a b-=，所以23b =，21a =，此时Δ0=，符合题意，所以双曲线Γ的方程为2213y x -=；综上可得双曲线Γ的方程为221774x y -=或2213y x -=.【小问2详解】当274a =，27b =时22252c a b e a a+===>（舍去）；当23b =，21a =时22222c a b e a a+===≤，符合题意，所以双曲线Γ的方程为2213y x -=，设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 为12y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由221213y k x y x ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩，消去y 整理得()22223303k k x k x -+--=，由()242Δ43303k k k ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，可得20127k ≤<-+所以21223k x x k +=--，2122343k x x k +=--，所以12121212113333222222AM ANk x k x y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+=----()1212124323224x x k k x x x x +-⎛⎫=+-⨯⎪-++⎝⎭222222433232342433k k k k k k k k--⎛⎫-=+-⨯⎪⎝⎭+⎛⎫---+ ⎪--⎝⎭()223312239244k k k k -⎛⎫=+-⨯⎪⎝⎭--()2233122349244k k k k -⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭--，所以直线AM 与直线AN 的斜率之和为4.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.19.已知函数()tan f x x =，()()()sin 212ln cos g x x x =+-，（1）求曲线()y f x =在点π,14⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程：（2）当π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()g x 的值域．【答案】19.π2102x y -+-=20.()sin1,∞+【解析】【分析】（1）求导即可根据点斜式求解直线方程，（2）分类讨论π10,42x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭和π1π,422x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，导函数的正负，构造函数π()tan 212h x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭和()()π2cos 212212s x x x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭，利用导数判断导函数正负，进而确定函数的单调性即可求解.【小问1详解】由()tan f x x =得()2sin 1cos cos x f x x x '⎛⎫== ⎪⎝⎭'，所以π12142f ⎛⎫== ⎪⎝⎭'，所以所求切线方程为π124y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即π2102x y -+-=【小问2详解】π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()211,π+1x +∈，()()()2sin 2cos 212cos 212tan cos xg x x x x x=++=++'，当π10,42x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，π211,2x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时()cos 210,tan 0x x +>>，故()()0,g x g x '>单调递增，当π1π,422x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，π21,π12x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，接下来证明：当π1π,422x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，πtan 212x x ≥+-，令2π1()tan 21,()2,2cos h x x x h x x ⎛⎫=-+-=- '⎪⎝⎭又π()04h '=，故当()()2π1π1,,cos ,0,4242x x h x h x '⎛⎫∈->< ⎪⎝⎭单调递减，当()()2ππ1,,cos ,0,422x x h x h x ⎛⎫∈⎪⎝'⎭单调递增，故()h x 有最小值π04h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此()0h x ≥，即πtan 212x x ≥+-，()()()π2cos 212tan 2cos 212212g x x x x x '⎛⎫=++≥+++- ⎪⎝⎭，令()()()()π2cos 21221,4sin 21402s x x x s x x ⎛⎫=+++-=-++≥ '⎪⎝⎭，故()s x 单调递增，即()π142s x s ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，所以()π1π1π2cos 21221042422g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-++-+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，故()g x 在π1π,422x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭单调递增，综上可得()g x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，()0sin1g =，当()()π,sin 21sin π1sin1,2x x →+→+=而()ln cos x ∞→-，因此()g x ∞→+，所以()g x 的值域为()sin1,∞+【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21。