四川省内江市2020届高三数学第二次模拟考试试题文[含答案]

2020年四川省内江市、广安市等九市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =1√x−1}，B ={−2,−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {−2,−1,0，1，2}B. {0,1，2，3}C. {1,2，3}D. {2,3}2. 已知i 为虚数单位，则复数z =−sin2π3−icos2π3，则z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. “x >1”是“log 2x >0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 函数f(x)=Asin(ϖx +φ)(其中A >0，ϖ>0，|φ|<π2)的图象如图，则此函数表达式为( )A. f(x)=3sin(2x +π4) B. f(x)=3sin(12x +π4) C. f(x)=3sin(2x −π4) D. f(x)=3sin(12x −π4)5. 已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m//α，n ⊂α，则m//nC. 若m ⊥n ，m ⊥α则n//αD. 若m ⊥α，n//α，则m ⊥n 6. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥03x −y −3≤0y ≥0，则z =2x +y 的最大值为( )A. −1B. 2C. 7D. 8 7. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acosC +√3csinA =b +c ，则A =( )A. π6B. π4C. π3D. 2π38. 《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦(每--卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阴爻的概率为( )A. 13B. 12C. 23D. 3149. 如图，平面四边形ACBD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥DA ，AB =AD =1，BC =√2，现将△ABD 沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA&⊥AC ，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为( )A. 8πB. 6πC. 4πD. 8√23π10. 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|，则C 的离心率为( ) A. √5 B. 2 C. √3 D. √211. 函数f(x)=ax −2与g(x)=e x 的图象上存在关于直线y =x 对称的点，则a 的取值范围是( )A. (−∞,e4]B. (−∞,e2]C. (−∞,e]D. (−∞,e 2]12. 已知抛物线C ：y 2=4x 和点D(2,0)，直线x =ty −2与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD与抛物线C 交于另一点E.给出以下判断： ①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为−2；②AE//y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切． 其中，所有正确判断的序号是( )A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知平面向量a ⃗=(m,2)，b ⃗⃗=(1,3)，且b ⃗⃗⊥(a ⃗−b ⃗⃗)，则向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角的大小为______．14. 某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间[80,100]的学生人数是______． 15. 已知sin (α+π4)=35，且π4<α<3π4，则cosα= ______ ．16. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，其导函数为f′(x)，若x >0时，f′(x)<2x ，则不等式f(2x)−f(x −1)>3x 2+2x −1的解集是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查，调查后，就顾客“购满意 不满意 男 40 40 女8040(2)若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了6人发放价值100元的购物券．若在获得了100元购物券的6人中随机抽取2人赠其纪念品，求获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率．附表及公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818. 已知等差数列{a n }满足a 1=1，公差d >0，等比数列{b n }满足b 1=a 1，b 2=a 2，b 3=a 5．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1b 1+c 2b 2+c 3b 3+⋯+cnb n =a n+1，求{c n }的前n 项和S n19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，△PAD 是边长为2的正三角形，PC =√10，E 为线段AD 的中点． (1)求证：平面PBC ⊥平面PBE ；(2)是否存在满足PF⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λFC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ>0)的点F ，使得V B−PAE =34V D−PFB？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20. 已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，其短半轴长为1，一个焦点坐标为(1,0)，点A 在椭圆C 上，点B 在直线y =√2上，且OA ⊥OB ．(1)证明：直线AB 与圆x 2+y 2=1相切； (2)求△AOB 面积的最小值．21. 已知函数f(x)=e x −xlnx +ax ，f′(x)为f(x)的导数，函数f′(x)在x =x 0处取得最小值．(1)求证：lnx 0+x 0=0；(2)若x ≥x 0时，f(x)≥1恒成立，求a 的取值范围． 22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos θy =sin θ以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立，极坐标系，设点A 在曲线C 2：ρsinθ=1上，点B 在曲线C 3：θ=−π6(ρ>0)上，且△AOB 为正三角形．(1)求点A ，B 的极坐标；(2)若点P 为曲线C 1上的动点，M 为线段AP 的中点，求|BM|的最大值．23. 已知函数f(x)=|2x +1|(1)解不等式：f(x)+f(x −2)≤6；(2)求证：f(x +a 2)−f(x −1)≤|x +2a 2+3|+|x +2a −a 2|.-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵A={x|x>1}，B={−2,−1,0，1，2，3}，∴A∩B={2,3}．故选：D．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：∵z=−sin2π3−icos2π3=−√32+12i，∴z在复平面内对应的点的坐标为(−√32,12)，位于第二象限．故选：B．求解三角函数值，得到z的坐标，则答案可求．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的求法，是基础题．3.答案：C解析：解：由log2x>0得x>1，∴“x>1”是“log2x>0”的充要条件．故选：C．根据对数不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．4.答案：B解析：解：如图所示，A=3，T4=π，可得T=4π，2πω=4π，解得ω=12，所以f(x)=3sin(12x+φ)，因为函数过(3π2,0)，代入f(x)，得3sin(12x+φ)=0，即12×3π2+φ=kπ，φ=kπ−3π4(k∈z)，当k=1时，φ=π4．所以f(x)=3sin(12x+π4)故选：B．本题考查三角函数图象问题，如图所示给出的两个点之间的距离为十分之一周期，由此可以求出ω，还可以看出此图象最高点为3，可以得出A=3，图象过点(3π2,0)，可求出φ．本题必需熟练掌握三角函数图象及五点法作图，才能找出题中隐含的条件，进而得出答案！5.答案：D解析：解：对于选项A ：若m//α，n//α，则m 和n 可能平行，相交和异面，故错误． 对于选项B ：若m//α，n ⊂α，则m 和n 可能平行也可能异面，故错误． 对于选项C ：若m ⊥n ，m ⊥α，则n 可能在α内，故错误．对于选项D ：若m ⊥α，n//α，则m ⊥n ，直接利用判定的应用求出结果，故正确． 故选：D ．直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：线面垂直和平行的判定和性质的应用，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题型． 6.答案：C解析：解：画出实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥03x −y −3≤0y ≥0表示的平面区域如图：目标函数变形为−2x +z =y ，则z 表示直线在y 轴上截距， 截距越大，z 越大，作出目标函数对应的直线L ：y =−2x ， 由{x −y +1=03x −y −3=0可得A(2,3)． 目标函数z =2x +y 线过A(2,3)时，直线的纵截距最大，z 取得最大值为z =7； 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A 时，z 取得最大值．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．是中档题． 7.答案：C解析：解：∵acosC +√3csinA =b +c ，∴由正弦定理化简得：sinAcosC +√3sinAsinC =sin (A +C)+sinC ， 可得：sinAcosC +√3sinAsinC =sinAcosC +cosAsinC +sinC ， ∴√3sinAsinC =cosAsinC +sinC ， ∵sinC ≠0，∴√3sinA =cosA +1，即sinA 1+cosA=√33， ∴tan A2=sinA1+cosA =√33， ∴A 2=π6，可得：A =π3．故选：C ．已知等式利用正弦定理化简，将sinB =sin (A +C)代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sin C 不为0，再利用万能公式化简求出tan A2的值，即可确定出A 的度数．此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值的综合应用，考查分析问题、解决问题的能力，综合性强，属于基础题．8.答案：D解析：解：八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦，从八卦中任取两卦，基本事件总数n=C82=28，这两卦的六个爻中恰有两个阴爻包含的基本事件总数有：m=C32+C31C11=6，这两卦的六个爻中恰有两个阴爻的概率为p=mn =628=314．故选：D．八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦，从八卦中任取两卦，基本事件总数n=C82=28，这两卦的六个爻中恰有两个阴爻包含的基本事件总数有：m=C32+C31C11=6，由此能求出这两卦的六个爻中恰有两个阴爻的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：折叠后AB⊥AP，AB⊥BC，PA⊥AC，AB=AP=1，BC=√2，构造长方体，把三棱锥P−ABC放到长方体中，则三棱锥P−ABC与长方体是同一个外接球，根据题意可得，长方体的外接球直径2R=√1+1+2=2，故R=1，所以S=4π．故选：C．构造长方体，把三棱锥P−ABC放到长方体中，则三棱锥P−ABC与长方体是同一个外接球，长方体的外接球直径2R即为长方体的对角线，可求．本题主要考查了三棱锥外接球的表面积的求解，放到长方体中是求解问题的关键．10.答案：C解析：【分析】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．先根据点到直线的距离求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在△F1PO中，由余弦定理可得，代值化简整理可得3a2=c2，问题得以解决．【解答】解：不妨设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0.b>0)的一条渐近线方程为y=bax，则F2到y=ba x的距离d=√a2+b2=b，在Rt△F2PO中，|F2O|=c，所以|PO|=a，所以|PF1|=√6a，又|F1O|=c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得，即3a2+c2−(√6a)2=0，得3a2=c2．所以e=ca=√3．故选C．11.答案：C解析：解：函数f(x)=e x关于直线y=x对称的函数为y=lnx，则函数g(x)=ax−2与函数y=lnx有一个交点，a≤0显然成立；当a>0时，作出函数图象如下，；设y=lnx上任一点坐标为(x0,lnx0)，因为其导函数为y=1x ，故其对应切线的斜率为：k=1x；故切线为：y−lnx0=1x0(x−x0)⇒y=1x0⋅x−1+lnx0；当切线过点(0,−2)时；−1+lnx0=−2⇒x0=1e；此时对应的切线斜率为：e；由图可知，要使函数f(x)=ax−2与函数y=lnx有一个交点，则需0<a≤e．综上可得：函数f(x)=ax−2与g(x)=e x的图象上存在关于直线y=x对称的点，则a的取值范围是(−∞,e]．故选：C．易知，函数f(x)=e x关于直线y=x对称的函数为y=lnx，由题意，函数g(x)=ax−2与函数y=lnx 有两个交点，作图观察即可得到结论．本题主要考查函数图象的运用及函数的对称性，考查数形结合思想，属于中档题．12.答案：B解析：解：如图所示，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，E(x 3,y 3)， 联立{y 2=4x x =ty −2，化为：y 2−4ty +8=0，∴y 1+y 2=4t ，y 1y 2=8．设直线BD 的方程为：x =my +2，联立{y 2=4x x =my +2，化为：y 2−4my −8=0，∴y 2+y 3=4m ，y 2y 3=−8，①直线OB 与直线OE 的斜率乘积=y 2y 3x 2x 3=y 2y 3y 224×y 324=16−8=−2，因此正确．②∵y 1y 2=8.y 2y 3=−8，∴y 1+y 3=0，∴x 1=x 3，∴AE//y 轴，因此正确．③B(x 2,y 2)，E(x 3,y 3)，设直线BD 的方程为：x =my +2， 联立{y 2=4x x =my +2，化为：y 2−4my −8=0，∴y 2+y 3=4m ，y 2y 3=−8，线段BE 的中点到抛物线的准线x =−1的距离d =x 2+x 32=m 2(y 2+y 3)+2=2m 2+2，12|BE|=12√(1+m 2)[(y 2+y 3)2−4y 2y 3]=12√(1+m 2)[16m 2+32]=2√(1+m 2)(m 2+2)≠d ， 因此以BE 为直径的圆与抛物线准线不相切．不正确． 综上：只有①②正确， 故选：B ．如图所示，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，E(x 3,y 3)，联立{y 2=4xx =ty −2，化为：y 2−4ty +8=0.设直线BD的方程为：x =my +2，联立{y 2=4xx =my +2，化为：y 2−4my −8=0，可得根与系数的关系．①直线OB 与直线OE 的斜率乘积=y 2y 3x 2x 3=y 2y 3y 224×y 324=16y 2y 3，即可判断出正误． ②利用根与系数的关系可得：y 1+y 3=0，代入抛物线方程可得：x 1=x 3，即可判断出正误．③B(x 2,y 2)，E(x 3,y 3)，利用根与系数的关系可得：线段BE 的中点到抛物线的准线x =−1的距离d =x 2+x 32，12|BE|=12√(1+m 2)[(y 2+y 3)2−4y 2y 3]，经过比较即可得出结论．本题考查了直线与抛物线的位置关系及其应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13.答案：45°解析：解：∵平面向量a⃗=(m,2)，b ⃗⃗=(1,3)， ∴a ⃗−b ⃗⃗=(m −1,−1)， ∵b ⃗⃗⊥(a ⃗−b ⃗⃗)， ∴b ⃗⃗⋅(a ⃗−b ⃗⃗)=m −1−3=0，解得m =4， ∴cos <a ⃗,b⃗⃗>=a⃗⃗⋅b ⃗⃗|a⃗⃗|⋅|b ⃗⃗|=4+6√20⋅√10=√22，∴向量a⃗⃗与b⃗⃗的夹角的大小为45°．故答案为：45°．先求出a⃗−b⃗⃗=(m−1,−1)，由b⃗⃗⊥(a⃗−b⃗⃗)，解得m=4，由此能求出向量a⃗⃗与b⃗⃗的夹角的大小．本题考查向量的夹角的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：20解析：解：总人数为：800.04×10=200，则成绩在区间[80,100]的学生人数为200×0.01×10=20．故答案为：20每一组的频数除以概率可得总人数，总人数乘以频率可得对应组的频数．本题考查频率直方图，根据频数求总人数，属于基础题．15.答案：−√210解析：解：∵π4<α<3π4，∴π2<α+π4<π，∴cos(α+π4)=−√1−sin2(α+π4)=−45．∴cosα=cos[(α+π4)−π4]=cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4)sinπ4=−45×√22+35×√22=−√210．故答案为：−√210．由π4<α<3π4，可得：π2<α+π4<π，cos(α+π4)=−√1−sin2(α+π4).利用cosα=cos[(α+π4)−π4]，展开即可得出．本题考查了同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：(−1,13)解析：解：令g(x)=f(x)−x2，则g′(x)=f′(x)−2x，∵f(x)是定义在R上的偶函数，x>0时，f′(x)<2x，∴g(x)是定义在R上的偶函数，①x>0时，g′(x)<0，∴g(x)在(0,+∞)上单调递减；②又不等式f(2x)−f(x−1)>3x2+2x−1可化为：f(2x)−(2x)2>f(x−1)−(x−1)2，即g(2x)>g(x−1)，∴由①②得：|2x|<|x−1|，两端平方，解得−1<x <13， ∴原不等式的解集为(−1,13)， 故答案为：(−1,13).构造函数g(x)=f(x)−x 2，依题意，可知g(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减；而f(2x)−f(x −1)>3x 2+2x −1可化为 g(2x)>g(x −1)，从而可求得答案． 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的解法，突出考查等价转化思想及推理运算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)因为K 2=200×(40×40−40×80)280×120×120×80=509≈5.555>5.024，所以有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．(2)由题意可知，购物体验满意的问卷顾客中男性与女性分别为40人和80人，即男：女=1：2， 所以分层抽取的6人中有2人是男性，4人是女性， 故获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率为C 41C 21C 62=815．解析：(1)结合已知数据和K 2的公式进行计算即可得解；(2)先找出随机抽取的6人中，男性与女性的数量，然后结合排列组合计算事件的概率即可．本题考查独立性检验、排列组合与概率的综合，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．18.答案：解：(1)由题意，b 1=a 1=1，b 2=a 2=1+d ，b 3=a 5=1+4d ， 根据等比中项的知识，可知 b 22=b 1b 3，即(1+d)2=1⋅(1+4d)， 整理，得d 2−2d =0，解得d =0(舍去)，或d =2．∴a n =1+2(n −1)=2n −1，n ∈N ∗． 设等比数列{b n }的公比为q ， ∵b 2=a 2=1+d =1+2=3， ∴q =b 2b 1=31=3，∴b n =1⋅3n−1=3n−1，n ∈N ∗．(2)依题意，由c 1b 1+c 2b 2+c 3b 3+⋯+cnb n=a n+1，可得c 1b 1+c 2b 2+c 3b 3+⋯+cn−1b n−1=a n ，两式相减，可得c n b n=a n+1−a n ，即cn3n−1=2(n +1)−1−2n +1=2，∴c n =2⋅3n−1，n ∈N ∗．S n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n=2⋅1+2⋅31+2⋅32+⋯+2⋅3n−1 =2⋅(1+31+32+⋯+3n−1) =2⋅1−3n1−3=3n −1．解析：第(1)题根据等差数列的通项公式和等比中项的知识可列出关于公差d 的方程，解出d 的值，即可得到数列{a n }的通项公式，进一步计算可得数列{b n }的通项公式；第(2)题由c 1b 1+c 2b 2+c 3b 3+⋯+c n b n =a n+1，可得c 1b 1+c 2b 2+c 3b 3+⋯+c n−1b n−1=a n ，两式相减，可得cnb n =a n+1−a n ，代入第(1)题的结果可得数列{c n }的通项公式，然后根据等比数列求和公式可计算出前n 项和S n ． 本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的计算，以及求通项公式和前n 项和．考查了转化与化归思想，方程思想，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题． 19.答案：(1)证明：∵底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，∴△ABD 为等边三角形，又E 为AD 的中点，∴BE ⊥AD ，而BC//AD ，则BC ⊥BE ．由△PAD 是边长为2的正三角形，得BE =√3，BC =2，则EC 2=22+(√3)2=7．又PE =√3，PC =√10，∴PE 2+EC 2=PC 2，即PE ⊥EC ． ∵PE ⊥AD ，AD ∩EC =E ，∴PE ⊥平面ABCD ，则PE ⊥BC ， 又BC ⊥BE ，且BE ∩PE =E ，∴BC ⊥平面PBE ， 而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBE ；(2)解：假设存在满足PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λFC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ>0)的点F ，使得V B−PAE =34V D−PFB ， ∵V B−PAE =V P−ABE =13S △ABE ⋅PE =13×12×2×√3×√3=1．V D−PFB =V B−PDF =λ1+λV B−PDC =λ1+λVP−BDC=λ1+λ×13×12×2×2×sin60°×√3=λ1+λ． 由1=34×λ1+λ，解得λ=−4<0．∴不存在满足PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λFC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ>0)的点F ，使得V B−PAE =34V D−PFB ．解析：(1)由底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，得△ABD 为等边三角形，结合E 为AD 的中点，得BE ⊥AD ，则BC ⊥BE ，再求解三角形证明PE ⊥EC ，得到PE ⊥平面ABCD ，则PE ⊥BC ，又BC ⊥BE ，得BC ⊥平面PBE ，由面面垂直的判定可得平面PBC ⊥平面PBE ；(2)假设存在满足PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λFC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ>0)的点F ，使得V B−PAE =34V D−PFB ，分别求出三棱锥B −PAE 的体积与三棱锥D −PFB 的体积，由已知列等式求得λ<0，说明不存在满足PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λFC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ>0)的点F ，使得V B−PAE =34V D−PFB ．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：(1)证明：由题意，椭圆C的焦点在x轴上，b=c=1，所以a=√2，所以椭圆C的方程为x22+y2=1，由点B在直线y=√2上，且OA⊥OB知OA的斜率必定存在，当OA的斜率为0，|OA|=√2，|OB|=√2，于是|AB|=2，O到AB的距离为1，直线AB与圆x2+y2=1相切，当OA的斜率不为0时，设OA的方程为y=kx，与x22+y2=1联立得(1+2k2)x2=2，所以x A2=21+2k2，y A2=2k21+2k，从而|OA|2=2+2k21+2k，而OB⊥OA，故OB的方程为x=−ky，而B在y=√2上，故x=−√2k，从而|OB|2=2+2k2，于是1|OA|2+1|OB|2=1，此时，O到AB的距离为1，直线AB与圆x2+y2=1相切，综上，直线AB与圆x2+y2=1相切，(2)由(1)可得△AOB面积为：S=12|OA||OB|=22√1+2k2=22√1+2k2=12(√1+2k2√1+2k2)≥1，上式中，当且仅当k=0等号成立，所以△AOB面积的最小值为1．解析：(1)根据题意写出椭圆C的方程，分两种情况当OA的斜率为0，当OA的斜率不为0时，分别求出|OA|，|OB|，|AB|，得到1|OA|2+1|OB|2=1，即可得到直线AB与圆x2+y2=1相切，(2)S=12|OA||OB|=22化简，利用基本不等式，即可得到答案．本题主要考查了直线与圆相切及直线与椭圆相交问题，属于中档题．21.答案：解：(1)证明：函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=e x−(lnx+1)+a，f″(x)=e x−1x，易知函数f′′(x)在(0,+∞)上为增函数，又f″(12)=√e−2<0,f″(1)=e−1>0，故函数f′′(x)存在唯一零点m∈(12,1)，使得f″(m)=e m−1m=0，且当x∈(0,m)时，f′′(x)<0，f′(x)单调递减，当x∈(m,+∞)时，f′′(x)>0，f′(x)单调递增，故函数f′(x)在x=m处取得最小值，依题意，m=x0，∴e x0−1x0=0，即e x0=1x0，两边同时取对数得x0=ln1x=−lnx0，∴lnx0+x0=0；(2)由(1)知，当x≥x0时，f′(x)=e x−(lnx+1)+a的最小值为e x0−(lnx0+1)+a=1x0+x0+a−1，①当1x 0+x 0+a −1≥0，即a ≥1−(1x 0+x 0)时，此时f(x)为[x 0,+∞)上的增函数，∴f(x)min =f(x 0)=e x 0−x 0lnx 0+ax 0=1x 0+x 02+ax 0≥1x 0+x 02+x 0[1−(1x 0+x 0)]=1x 0+x 0−1，由(1)知，12<x 0<1，故1x 0+x 0−1>1，即f(x)>1，故a ≥1−(1x 0+x 0)满足题意；②当1x 0+x 0+a −1<0，即a <1−(1x 0+x 0)时，f′(x)有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1<x 0<x 2，则f′(x 2)=e x 2−(lnx 2+1)+a =0，即a =lnx 2−e x 2+1，当x ∈(x 0,x 2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当x ∈(x 2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数， ∴f(x)min =f(x 2)，注意到f(1)=e +a =1时，a =1−e ，且此时f′(1)=e +a −1=0， (i)当a ≥1−e 时，f′(1)=e +a −1≥0=f′(x 2)， ∴0<x 2≤1，即1−x 2≥0，又f(x 2)=e x 2−x 2lnx 2+ax 2=e x 2−x 2lnx 2+(lnx 2−e x 2+1)x 2=(1−x 2)e x 2+x 2=(1−x 2)(e x 2−1)+1，而e x 2−1>0，故(1−x 2)(e x 2−1)+1>1，即f(x 2)>1， 由于在12<x 0<1下，恒有1x 0+x 0<e ，故1−e <1−(1x 0+x 0)；(ii)当a <1−e 时，f′(1)=e +a −1<0=f′(x 2)， ∴x 2>1>x 0，∴当x ∈(1,x 2)时，f(x)为减函数，∴f(x)<f(1)=e +a <1，与题设不符，故舍去． 综上，实数a 的取值范围为[1−e,+∞)．解析：(1)对函数求导可得f′(x)=e x −(lnx +1)+a ，再求导可得f ″(x)=e x −1x ，由f′′(x)的单调性及零点存在性定理可知函数f′′(x)存在唯一零点m ∈(12,1)，由此得到函数f′(x)的单调性，进而判断其最小值在x =m 处取得，且m =x 0，则e x 0−1x 0=0，再通过取对数的方式即可得证；(2)显然需f(x)在[x 0,+∞)上的最小值大于等于1，由(1)可得函数f′(x)的最小值为e x 0−(lnx 0+1)+a =1x 0+x 0+a −1，分f′(x)的最小值小于0及最小值大于等于0讨论，当f′(x)的最小值大于等于0时，易知f(x)为[x 0,+∞)上的增函数，进而易得a ≥1−(1x 0+x 0)，当f′(x)的最小值小于0时，分析可知，此时f(x)min =f(x 2)，再分a ≥1−e 及a <1−e 两种情况讨论，综合即得答案．本题主要考查函数极值与最值，不等式，导数在研究函数中的应用等基础知识，考查化归转化、分类整合等数学思想，以及运算求解，推理论证等数学能力，属于难题．22.答案：解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =cos θy =sinθ转换为直角坐标方程为x 2+y 2=1，设点A 在曲线C 2：ρsinθ=1上，即点A 满足y =1的方程，点B 在曲线C 3θ=−π6(ρ>0)上，且△AOB 为正三角形． 如图所示：所以A(0,1)转化为极坐标为(1,π2)，B(−√32,12)，转换为极坐标为(1,5π6).(2)设点P(cosθ,sinθ)，M 为线段AP 的中点， 所以M(cosθ2,1+sinθ2)，B(−√32,12)，所以|BM|=√(cosθ2+√32)2+(sinθ2)2=√14+√32cosθ+14=√√32cosθ+12．当cosθ=1时，|BM|max =√√32+12=√2√3+22．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果． (2)直接利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：解：(1)由于f(x)+f(x −2)=|2x +1|+|2x −3|，于是原不等式可化为|2x +1|+|2x −3|≤6，若x <−12，则−2x −1−(2x −3)≤6，解得−1≤x <−12； 若−12≤x ≤32，则−2x −1+(2x −3)≤6，解得−12≤x ≤32； 若x >32，则2x +1+2x −3≥6，解得32<x ≤2；综上，不等式的解集为[−1,2]； (2)证明：由已知条件，对任意x ∈R ，可得f(x +a 2)−f(x −1)=|2x +2a 2+1|−|2x −1|≤|2a 2+2|=2a 2+2，又|x +2a 2+3|+|x +2a −a 2|≥|2a 2+3−(2a −a 2)|=|3a 2−2a +3|， 由于3a 2−2a +3=3(a −13)2+83>0，∴|x +2a 2+3|+|x +2a −a 2|≥3a 2−2a +3，又由于3a 2−2a +3−(2a 2+2)=a 2−2a +1=(a −1)2≥0， ∴3a 2−2a +3≥2a 2+2，∴f(x +a 2)−f(x −1)≤|x +2a 2+3|+|x +2a −a 2|.解析：(1)问题等价于|2x +1|+|2x −3|≤6，再分类讨论解不等式即可；(2)利用绝对值不等式的性质可得f(x +a 2)−f(x −1)≤2a 2+2，|x +2a 2+3|+|x +2a −a 2|≥3a 2−2a +3>0，又3a 2−2a +3≥2a 2+2，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质，考查推理论证能力，属于基础题．。

2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第1题5分2019~2020学年重庆九龙坡区重庆外国语学校高一下学期期中第3题5分已知集合A ={x |x 2−2x −3⩽0}，集合B ={x||x −1|⩽3}，集合C ={x |x−4x+5⩽0}，则集合A ，B ，C 的关系为（ ）．A. B ⊆AB. A =BC. C ⊆BD. A ⊆C2、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第2题5分2018年浙江金华高三三模理科十二校第2题4分复数z =ai 4−3i ，其中a ∈R ，i 为虚数单位，已知|z|=5，则a =（ ）． A. 25 B. ±25 C. 5 D. ±53、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第3题5分2019~2020学年5月江西南昌西湖区南昌市外国语学校高一下学期月考第4题5分2020年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三一模理科第7题5分2019~2020学年9月湖南株洲天元区株洲市第二中学高三上学期月考理科第3题5分2019~2020学年4月陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三下学期月考理科第7题5分已知向量a →，b →满足|a →|=√2，|b →|=1，且|b →+a →|=2，则a →与b →夹角的余弦值为（ ）．A. √22B. √23C. √28D. √244、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第4题5分《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）．A. 15.5尺B. 12.5尺C. 10.5尺D. 9.5尺5、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第5题5分2019~2020学年北京东城区北京市第二十二中学高三上学期期中第6题5分南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1，S2，则“S1，S2总相等”是“V1，V2相等”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第6题5分2017年高三下学期高考模拟理科第5题5分2019年湖南湘潭高三一模理科第8题5分2020年四川成都青羊区成都市树德中学高三下学期高考模拟理科（7月）第4题5分2019~2020学年四川成都成华区四川省成都华西中学高二下学期开学考试文科第8题5分若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n(modm)，例如10=2(mod4)，下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的i等于（）．A. 4B. 8C. 16D. 327、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第7题5分在(1+x+1x2020)12的展开式中，x2项的系数为（）．A. 10B. 25C. 35D. 668、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第8题5分已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A. 6B. 6√2C. 14D. 14√29、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第9题5分2020年山东德州高三一模第5题5分函数f(x)=sin xln|2x−2−x|在区间[−3,0)∪(0,3]上的大致图象为（）．A. B.C.D.10、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第10题5分2020~2021学年12月河南郑州中原区郑州市第十九中学高二上学期月考第12题5分2017~2018学年10月山东济南平阴县平阴县第一中学高二上学期月考理科第12题5分2018年江西新余高三二模理科第11题5分已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0），F 1，F 2为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为△F 1PF 2内一点，满足3PG →=PF 1→+PF 2→，△F 1PF 2的内心为I ，且有IG →=λF 1F 2→（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =（ ）．A. 13B. 12C. 23D. √3211、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第11题5分已知函数f(x)=3x 2−1x3，若g(x)=f2(x)−(a−3)f(x)−3a有四个不同的零点，其中恰有一个为负，三个为正，则实数a的取值范围为（）．A. (−2,0)∪(0,2)B. (−1,e)C. (0,2)D. (−2,0)12、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第12题5分2018~2019学年浙江金华高二下学期期末十校联考第9题4分如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD，BD，BC的中点分别为E，F，K，连接EF，FK．现将△ABD绕对角线BD旋转，令二面角A−BD−C的平面角为α，则在旋转过程中有（）．A. ∠EFK⩽αB. ∠EFK⩾αC. ∠EDK⩽αD. ∠EDK⩾α二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第13题5分若4a=5b=100，则2(1a +2b)=．14、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第14题5分2021年湖北武汉江汉区武汉市第一中学高三二模第14题5分某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有 种（请用数字作答）．15、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第15题5分2019~2020学年上海徐汇区上海中学高一下学期期中第8题2019~2020学年上海虹口区华东师大一附中高一下学期期中第10题5分我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S =√14[(ab )2−(a 2+b 2−c 22)2]．根据此公式，若acos⁡B +(b +3c )cos⁡A =0，且a 2−b 2−c 2=2，则△ABC 的面积为 ．16、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第16题5分在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py(p >0)交于A ，B 两点，则抛物线的焦点坐标是 ，若|AF|+|BF|=4|OF|，则双曲线的渐近线方程为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第17题已知数列{a n }满足a 1=4，当n ⩾2时，a n −(a 1+a 2+⋯+a n−1)=2n+1．(1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 若b n =n+2na n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：34⩽T n <1．18、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第18题笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”，笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀（每刀100张），公司按照某种质量标准值X给宣纸确定质量等级，如下表所示：公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．(1) 估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元）．(2) 该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺，这种机器的使用寿命是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值X的频率，如下表所示：其中X为改进工艺前质量标准值X的平均值，改进工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由．19、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第19题如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD的中点，现将三角形DEF沿EF翻折成如图2所示的五棱锥P−ABCFE．(1) 求证：AC//平面PEF．(2) 若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线PB与平面PAE所成角的正弦值．20、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第20题2019~2020学年5月浙江杭州西湖区杭州师范大学附属中学高三下学期月考第21题15分已知点E在椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点F2，与y轴相交于A，B两点，且△ABE是边长为2的正三角形．(1) 求椭圆C的方程．(2) 已知圆O:x2+y2=185，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，试判断|PM|⋅|PN|是不是定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第21题已知f(x)=(x−1)cos⁡x+12x3−12x2−x+1．(1) 求f(x)⩾0的解集．(2) 求证：x2ln⁡x+cos⁡x>12．22、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第22题在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，点P的极坐标为(2,π)，倾斜角为α的直线l经过点P．(1) 写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程．(2) 设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|PA|+1|PB|的取值范围．23、【来源】 2020年四川内江市中区四川省内江市第六中学高三二模理科第23题2017~2018学年3月四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高三下学期月考文科第23题10分2017~2018学年3月四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高三下学期月考理科第23题10分2019~2020学年安徽蚌埠蚌山区蚌埠市第二中学高三上学期期中理科第23题10分2019年四川成都武侯区成都七中高新校区高三二模文科模拟第23题10分已知a>0，b>0，c>0，设函数f(x)=|x−b|+|x+c|+a，x∈R．(1) 若a=b=c=1，求不等式f(x)<5的解集．(2) 若函数f(x)的最小值为1，证明：1a+b +4b+c+9c+a⩾18(a+b+c)．1 、【答案】 D;2 、【答案】 B;3 、【答案】 D;4 、【答案】 A;5 、【答案】 A;6 、【答案】 C;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 B;13 、【答案】2;14 、【答案】56;15 、【答案】√2;16 、【答案】(0,p2);y=±√22x;17 、【答案】 (1) a n=(n+1)2n．;(2) 证明见解析．;18 、【答案】 (1) 400万元．;(2) 该公司应该购买这种设备．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2√3015．;20 、【答案】 (1) x29+y26=1．;(2) 是；185．;21 、【答案】 (1) {x|x=0或x⩾1}．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) x212+y24=1，{x=−2+tcos⁡αy=tsin⁡α（t为参数）．;(2) [√32,√62]．;23 、【答案】 (1) (−2,2)．;(2) 证明见解析．;第11页，共11页。

2020年内江市高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={0,−1,2，−3，4}，B={x|x2<12}，则A∩B=()A. {4}B. {−1,2，−3}C. {0,−1,2，−3}D. {−3,−2,−1,0，1，2，3}2.已知向量m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，则m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为()A. √13B. 8C. 8√55D. 8√13133.已知复数z满足z+iz=i，则z=()A. 12+12i B. 12−12i C. −12+12i D. −12−12i4.在等差数列{a n}中，若a1+a13=10，则(a5+a9)2+4a7=()A. 120B. 100C. 45D. 1405.已知a=e−0.3,b=log20.6,c=log3π，则()A. b<a<cB. b<c<aC. a<b<cD. c<a<b6.某地一所高中2018年的高考考生人数是2015年的1.5倍，为了更好地对比该校学生情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下条形图：则下列结论正确的是()A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了12C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数不变D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加7.(1+2x)6(1+y)4的展开式中xy2项的系数为()A. 45B. 72C. 60D. 1208.把函数的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位可以得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ的值为()A. 5π6B. π3C. π12或7π12D. 5π12或11π129.执行如图所示的程序框图，如果输入的a=918，b=238，则输出的n=()A. 2B. 3C. 4D. 3410. 如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为：( )A. 12π，4√3πB. 92π，92π C. 9π，94π D. 9π，92π11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过其右焦点F 且与渐近线y =−ba x 平行的直线分别与双曲线的右支和另一条渐近线交于A 、B 两点，且FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( )A. 32B. √2C. √3D. 212. 已知函数f(x)=x 2+1，那么f(a +1)的值为( )A. a 2+a +2B. a 2+1C. a 2+2a +2D. a 2+2a +1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据：x/106元 2 4 5 6 8 y/106元 3040605070x 与y 具有线性相关关系，线性回归方程为y ̂=6.5x +a ̂，则a^的值为____________． 14. 直线y =(ax +1)e x 在点(0,1)处的切线斜率为−2，则a =_____________． 15. 已知α∈R ，，则tan 2α=_________．16. 如图，已知正方形ABCD 的边长是2，E 是CD 的中点，P 是以AD 为直径的半圆上任意一点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a na n +3(n ∈N ∗).(1)求a 2，a 3；(2)求证：{1a n+12}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；(3)数列{b n }满足b n =(3n −1)⋅n2n ·a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式对一切n ∈N ∗恒成立，求λ的取值范围．18. 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为35，但由于体力原因，第7场获胜的概率为25． (1)求甲队分别以4:2，4:3获胜的概率；(2)设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望．19. 如图，多面体ABCDEF 中，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AB//CD ，AD ⊥CD ，AB =AD =1，CD =2． (1)证明：平面BCE ⊥平面BDE ； (2)求二面角C −BE −F 的大小．20. 已知点O 为坐标原点椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a > b >0)的右焦点为F ，离心率为12，点P ，Q 分别是椭圆C 的左顶点、上顶点，△POQ 的边PQ 上的中线长为√72．(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点直线PA 、PB 分别交直线x =2a 于M 、N 两点，求FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．21.设函数f(x)=x3−6x+5，x∈R．(Ⅰ)求f(x)的极值点；(Ⅱ)已知当x∈(1,+∞)时，f(x)≥k(x−1)恒成立，求实数k的取值范围．22.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A(1,π3),B(2√3,π6),圆C经过点A，圆心C为直线ρsin(θ+π6)=12与极轴的交点．(1)求圆C的极坐标方程;(2)若P是圆C上一动点，求线段PB长度的最大值．23.已知函数f(x)=|x|+|x−6|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤10的解集；(Ⅱ)记f(x)的最小值为m，若正实数a，b，c满足a+b+c=m，求证：√a+√2b+√3c≤m．【答案与解析】1.答案：C解析：解：集合A={0,−1,2，−3，4}，B={x|x2<12}={x|−2√3<x<2√3}，则A∩B={0,−1,2，−3}．故选：C．由二次不等式的解法，化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求集合．本题考查集合的交集的求法，同时考查二次不等式的解法，运用定义法解题是关键，属于基础题．2.答案：D解析：本题考查平面向量的数量积的坐标运算、向量的投影定义，考查运算能力，属于基础题．求出m⃗⃗⃗ ，n⃗的数量积和n⃗的模，再由m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗ ·n⃗⃗|n⃗⃗ |，代入数据计算即可得到．解：m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，，则m⃗⃗⃗ ·n⃗=1×2+2×3=8，|n⃗|=√22+32=√13，则向量m⃗⃗⃗ 在向量n⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗ ·n⃗⃗|n⃗⃗ |=√13=8√1313．故选D．3.答案：A解析：本题考查复数的运算；属于基础题；首先求出z，然后求共轭复数．解：因为复数z满足z+iz =i，则z=i−1+i=i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=1−i2，所以z=12+12i;故选A．4.答案：A解析：本题考查了等差数列的性质，属于基础题．利用等差数列的性质可得a1+a13=2a7=10⇒a7=5，则(a5+a9)2+4a7=(2a7)2+4a7即可求得答案．解：在等差数列{a n}中，a1+a13=2a7=10⇒a7=5，∴(a5+a9)2+4a7=(2a7)2+4a7=100+20=120，故选A．5.答案：A解析：本题考查比较大小，考查推理能力和计算能力，属于中档题．利用指数函数的性质和对数函数的性质即可求解．解：因为，故b<a<c，故选A．6.答案：D解析：本题主要考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是熟练掌握频率分布直方图的计算，根据已知及频率分布直方图的计算，可知结论正确的是哪个．解：设2015年该校参加高考的人数为S，则2018年该校参加高考的人数为1.5S．对于A选项，2015年一本达线人数为0.28S，2018年一本达线人数为0.24×1.5S=0.36S，所以一本达线人数增加，故A选项错误;对于B选项，2015年二本达线人数为0.32S，2018年二本达线人数为0.4×1.5S=0.6S，显然与2015，故B选项错误;年相比，2018年二本达线人数不是增加了12对于C选项，2015年和2018年艺体达线率没变，但考生人数不同，故C选项错误;对于D 选项，2015年不上线人数为0.32S ，2018年不上线人数为0.28×1.5S =0.42S ，不上线人数有所增加，故D 选项正确． 故选D ．7.答案：B解析：解：由于(1+2x)6(1+y)4=(1+12x +60x 2+160x 3+⋯+64x 6)(1+4y +6y 2+4y 3+y 4)，可得xy 2项的系数为12×6=72， 故选：B ．把所给的式子利用二项式定理展开，可得xy 2项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．8.答案：C解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律及性质，属于基础题．根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得函数g(x)=−sin(2x −2φ−π3).再根据g(x)为偶函数，可得2φ+π3=kπ+π2，k ∈Z ，结合φ的范围，求出它的值．解：把函数f(x)=sin(−2x +π3)=−sin(2x −π3)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位， 可以得到函数g(x)=−sin[2(x −φ)−π3]=−sin(2x −2φ−π3)的图象， 再根据g(x)为偶函数，可得2φ+π3=kπ+π2，k ∈Z ，即φ=kπ2+π12，k ∈Z ．因为0<φ<π， 所以φ=π12或 φ=7π12，故选C ．9.答案：A解析：解：输入a =918，b =238，n =0， r =204，a =238，b =204，n =1，r =34，a =204，b =34，n =2， r =0，输出n =2， 故选：A ．根据程序框图模拟进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和运行，比较基础．10.答案：D解析：本题考查由几何体的三视图求对应几何体的外接球的表面积和体积.关键是正确还原几何体，明确外接球的半径，然后正确计算即可．解：观察三视图，可得直观图为底面是直角三角形，高为2的三棱锥，所以其外接球是以1，2，2为长宽高的长方体的外接球， 所以外接球直径为√12+22+22=3， 所以外接球的表面积为，体积为43×π×(32)3=9π2，故选D ．11.答案：B解析：本题考查双曲线的离心率，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 确定出A 的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的离心率． 解：∵直线AB 与渐近线y =−ba x 平行，设坐标原点为O ， ∴∠BOF =∠BFO ． 设F(c,0)，则B(c 2,bc2a )， ∵FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A 是BF 的中点，即A(3c 4,bc4a )， 代入双曲线方程可得9c 216a 2−b 2c 216b 2a 2=1，即916e2−116e2=1，e>1，∴e=√2．故选：B．12.答案：C解析：∵函数f(x)=x2+1，∴f(a+1)=(a+1)2+1=a2+2a+2．故选：C．13.答案：17.5解析：本题考查线性回归方程，是一个基础题，题目的条件告诉了线性回归方程的系数，省去了利用最小二乘法来计算的过程．先求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入求出a的值．解：∵x=15×(2+4+5+6+8)=5，y=15×(30+40+60+50+70)=50，∴这组数据的样本中心点是(5,50)，∵ŷ=6.5x+â，∴把样本中心点代入得â=17.5，故答案为17.5．14.答案：−3解析：球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力．解：曲线y=(ax+1)e x，可得y′=ae x+(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为−2，可得：a+1=−2，解得a=−3．故答案为：−3．15.答案：−34解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，二倍角的正切公式，属于中档题．利用同角三角函数基本关系式，化简表达式为正切函数的形式，然后求解即可.解：由题意，平方得，所以，所以tan 2α+4tanα+4tan 2α+1=52，所以3tan 2α−8tanα−3=0， 所以tanα=3或−13．当tanα=3时，；当tanα=−13时，tan2α=2tanα1−tan 2α=2×(−13)1−(−13)2=−34．故答案为−34．16.答案：[−√5,2]解析：本题考查了三角函数的辅助角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．由三角函数的辅助角公式及平面向量数量积的运算得：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ+2sinθ=√5sin(θ+φ)，(其中tanφ=12且φ为锐角)所以θ+φ∈[π2+φ,3π2+φ]，所以当θ=π2时，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ+2sinθ=√5sin(θ+φ)取最大值2，当θ+φ=3π2即θ=3π2−φ时，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ+2sinθ=√5sin(θ+φ)取最小值−√5，即−√5≤AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，得解． 解：建立如图所示的直角坐标系，则A(0,−1)，B(2,−1)，C(2,1)，E(1,1)，D(0,1)， P(cosθ,sinθ)，θ∈[π2,3π2]，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−2,sinθ+1)， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ+2sinθ=√5sin(θ+φ)， (其中tanφ=12且φ为锐角) 所以θ+φ∈[π2+φ,3π2+φ]，所以当θ=π2时，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ+2sinθ=√5sin(θ+φ)取最大值2， 当θ+φ=3π2即θ=3π2−φ时，AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ+2sinθ=√5sin(θ+φ)取最小值−√5， 即−√5≤AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2， 故答案为：[−√5,2]．17.答案：解：(1)a 2=11+3=14,a 3=1414+3=113；(2)由a n+1=a na n +3得1an+1=a n +3a n=1+3a n，即1an+1+12=3(1a n+12)， 又1a 1+12=32，所以{1a n+12}是以32为首项，3为公比的等比数列．所以1a n+12=32×3n−1=3n 2，即a n =23n −1； (3)b n =n2n−1，，，两式相减得，∴T n =4−n+22n−1，．若n 为偶数，则，∴λ<3， 若n 为奇数，则，， ，．∴λ的取值范围为(−2,3)．解析：本题考查数列递推式，等比关系的定义，错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．掌握分类讨论的数学思想方法求解数列不等式是解题的关键，是难题．(1)利用a 1=1，a n+1=ana n +3，可求a 2，a 3；(2)把题目给出的数列递推式取倒数，即可证明数列{1a n+12}是等比数列，由等比数列的通项公式求得1a n+12，则数列{a n }的通项可求；(3)把数列{a n }的通项a n 代入b n =(3n −1)·n2n ·a n ，由错位相减法求得数列{b n }的前n 项和为T n ，对n 分类，则答案可求．18.答案：解：(1)设甲队以4:2，4:3获胜的事件分别为A ，B ，∵甲队第5，6场获胜的概率均为35，第7场获胜的概率为25， ∴P(A)=(1−35)×35=625，P(B)=(1−35)2×25=8125， ∴甲队以4:2，4:3获胜的概率分别为625和8125． (2)随机变量X 的可能取值为5，6，7，P(X =5)=35， P(X =6)=(1−35)×35=625，P(X =7)=(1−35)2×25+(1−35)2×(1−25)=425，∴随机变量X 的分布列为： X 5 6 7P35 625 425E(X)=5×35+6×625+7×425=13925．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．(1)甲队以4:2，4:3获胜的事件分别为A ，B ，甲队第5，6场获胜的概率均为35，第7场获胜的概率为25，由此能求出甲对以4:2，4:3获胜的概率．(2)随机变量X 的可能取值为5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．19.答案：解：(1)证明：取CD 中点H ，连结BH ，则四边形ADHB 为正方形，∴BC =BD =√2，∴CD 2=BD 2+BC 2，∴BC ⊥BD ， ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，DE ⊥AD ， 且，∴DE ⊥平面ABCD ， 又，∴DE ⊥BC ， ∵BD ∩DE =D ，，∴BC ⊥平面BDE ， ∵BC ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面BDE ．(2)解：由题知，DA ，DC ，DE 两两垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则C(0,2，0)，B(1,1，0)， E(0,0，1)，F(1,0，1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 设n⃗ =(x,y ，z)是平面BEF 的法向量， 则{n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +z =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +z =0, 令y =1，得n⃗ =(0,1，1)， 设m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)是平面BEC 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b +c =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b =0令a =1，得平面BCE 的法向量m ⃗⃗⃗ =(1,1，2)， 设二面角C −BE −F 的大小为θ， ∵二面角C −BE −F 为钝角， ∴cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2×√6=−√32， ∴二面角C −BE −F 为150°．解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．(1)取CD 中点H ，连结BH ，推导出BC ⊥BD ，DE ⊥AD ，从而DE ⊥平面ABCD ，DE ⊥BC ，进而BC ⊥平面BDE ，由此能证明平面BCE ⊥平面BDE ．(2)以D 为原点，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出二面角C −BE −F 的大小．20.答案：解：(1)如图所示由题意得△POQ 为直角三角形，且PQ 上的中线长为√72，所以|PQ|=√7．则{ca=12√a 2+b 2=√7a 2−b 2=c 2，解得{a =2b =√3c =1． 所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．(2)由题意，如图设直线l 的方程为：x =my +1， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则M (4,y 3)，N (4,y 4)，，联立方程{x =my +1x 24+y 23=1化简得(3m 2+4)y 2+6my −9=0．则{y 1+y 2=−6m3m 2+4y 1·y 2=−93m 2+4． 由P ，A ，M 三点共线易得y 3−04−(−2)=y 1−0x1+2，化简得y 3=6y1my 1+3，同理可得y 4=6y2my 2+3．FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,y 3)(3,y 4)=9+y 3y 4 =9+6y 1my 1+3·6y 2my 2+3=36y 1y 2m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9+9=36(−93m 2+4)m 2(−93m 2+4)2+3m((−6m 3m 2+4))+9+9=0解析：本题考查椭圆的标准方程以及圆锥曲线中向量参数问题，属于中档题． (1)利用椭圆的性质结合已知可得{ca=12√a 2+b 2=√7a 2−b 2=c 2进而求出椭圆方程；(2)联立直线和椭圆，利用韦达定理表示出FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 进而化简即可． 21.答案：解：(Ⅰ)对函数f(x)=x 3−6x +5求导，得函数f′(x)=3x 2−6． 令f′(x)>0，即3x 2−6>0， 解得x >√2或x <−√2， f′(x)<0，即3x 2−6<0， 解得√2<x <√2，∴f(x)的单调递增区间是(−∞,−√2)及(√2,+∞)， 单调递减区间是(−√2,√2)，所以x =−√2是极大值点；x =√2是极小值点． (Ⅱ)x ∈(1，+∞)时，f(x)≥k(x −1)恒成立，即是k ≤x 3−6x+5x−1恒成立，令g(x)=x 3−6x+5x−1，则g(x)=x 2+x −5，∴g(x)的最小值为−3， 即实数k 的取值范围为k ≤−3．解析：本题主要考查了利用导数求函数单调区间，极值，以及函数的极值的应用，综合性强．(Ⅰ)求出函数的导数，令导数大于0，解得函数的增区间；令导数小于0，解得函数的减区间；令导数等于0，解得函数的极值点，再根据极值点两侧的导数的正负判断是极大值还是极小值； (Ⅱ)因为x ∈(1,+∞)，所以f(x)≥k(x −1)恒成立可转化为k ≤x 3−6x+5x−1恒成立，再化简k ≤x 3−6x+5x−1，求最小值即可．22.答案：解：(1)在ρsin(θ+π6)=12中，令θ=0,得ρ=1,所以圆心C 的坐标为(1,0)． 连接AC ，因为圆C 经过点A(1,π3),所以圆C 的半径AC =1，于是圆C 过极点， 所以圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ. (2)连接OB,BC,在△OBC 中，BC =√(2√3)2+12−2×1×2√3cos π6=√7,所以PB 长度的最大值为√7+1.解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和余弦定理，是中档题．(1)令θ=0,得ρ=1,则圆心C 的坐标为(1,0).易知圆C 的半径AC =1，于是圆C 过极点，可得圆C 的极坐标方程；(2)在△OBC 中，由余弦定理可得BC ，所以PB 长度的最大值为BC +r ．23.答案：解：(Ⅰ)当x⩽0时，由−2x+6⩽10，解得−2⩽x⩽0；当0<x⩽6时，因为6<10，所以0<x⩽6；当x>6时，由2x−6⩽10，解得6<x⩽8，综上可知，不等式f(x)⩽10的解集为[−2,8]．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)的最小值为6，即m=6，所以a+b+c=6，由柯西不等式可得(a+b+c)(1+2+3)=((√a)2+(√b)2+(√c)2)((√1)2+(√2)2+(√3)2)⩾(√a+√2b+√3c)2，因此√a+√2b+√3c⩽6=m．解析：本题考查了绝对值不等式的解法及柯西不等式的应用，属于中档题．(Ⅰ)利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f(x)⩽10的解集；(Ⅱ)利用绝对值不等式，求出m，再利用柯西不等式进行证明．。

四川省内江市城北中学2020年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示，已知球O为棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD3截球O的截面面积为（）A． B．C． D．参考答案：A略2. 设（是虚数单位），则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限参考答案：D略3. 如图，已知二面角为，点，，为垂足，点，，为垂足，且，，，则的长度为 ( )A． B．C． D．参考答案：B4. 设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式的系数为（）A．-150 B．150 C．-500 D．500参考答案：B略5. 现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（）A．6 B．8 C．12 D．16参考答案：C【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求．【解答】解：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有×3=6种方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2=6种方法．综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12种，故选C．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．6. 函数的图像与函数()的图像所有交点的横坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：D略7. 已知集合S={y|y=2x}，T={x|y=lg（x+1）}，则S∩T=( )A．（0，+∞）B．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面垂直于底面，高为4，四棱锥的底面为矩形，矩形的边长分别为3、2，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面垂直于底面，高为4，四棱锥的底面为矩形，矩形的边长分别为3、2，∴几何体的体积V=×3×2×2=4．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及判断数据所对应的几何量．8. 已知z=i（1+i），则在复平面内，复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，则在复平面内，复数z所对应的点（﹣1，1）在第二象限，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是：A BC D参考答案：D10. 如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）(A) (B) -(C) - (D) +参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离线率为__________。

2020年四川省内江市第二中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是( )A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：D【考点】复数求模；复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．2. 若直线x＋ay－1＝0与4x－2y＋3＝0垂直，则二项式的展开式中x的系数为( )A．－40 B．－10 C．10 D．40参考答案：A3. 下列函数中，在上为增函数的是A、 B、 C、 D、参考答案：B4. 已知命题“或”是假命题，则下列命题：①或；②且；③或；④且；其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3D．4参考答案：C5. 已知函数，则的值为A．B． C． D．参考答案：A略6. 在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2D．2参考答案：B【考点】余弦定理．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sinA，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，∴AB?AC?sinA=，即×2×AC×=，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC?AB?cosA=1+4﹣2=3，则BC=．7. 等比数列{a n}各项均为正数，a3a8+ a4a7=18，则A.20B.36C.9D.参考答案：A8. 已知，，则（）A．2 B．C．D．1参考答案：D9. 为了得到函数的图像，只需把的图象上所有的点（A）向左平移个单位长度.u.c.o（B）向右平移个单位长度（C）向左平移个单位长度.u.c.o（D）向右平移个单位长度参考答案：C略10. 已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B等于（）A．{0} B．{2} C．{0，1，2} D．?B【考点】1E：交集及其运算．【分析】集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，∴A∩B={2}．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．参考答案：4【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故答案为：4．12. 已知且与平行，则________参考答案：4略13. 已知,则___________.参考答案：14. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是．参考答案：1615. 已知α∈（0，π），sin（α+=﹣，则tanα=．参考答案：﹣【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+）的值，可得tan（α+）的值，再利用两角差的正切公式，求得tanα的值．【解答】解：∵已知α∈（0，π），sin（α+=﹣，∴α+∈（π，），∴cos（α+）=﹣=﹣，∴tan（α+）===，∴tanα=﹣，故答案为：﹣．16. =.（用数字作答）参考答案：21017. 对于命题：如果是线段上一点，则；将它类比到平面的情形是：若是△内一点，有；将它类比到空间的情形应该是：若是四面体内一点，则有__________________________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

四川省内江市龙山中学2020年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列中，，其前n项和为的值等于A. B. C. D.参考答案：C2. 设函数满足，，则时( )(A) 有极大值,无极小值 (B) 有极小值,无极大值(C) 既有极大值又有极小值 (D) 既无极大值也无极小值参考答案：D3. 有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为A．B．C．D．42参考答案：4. 阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )A．2 B．﹣5 C．﹣D．5参考答案：B考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，i的值，当i=11时，满足条件i ＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2，i=1不满足条件i＞10，x=﹣5，i=2不满足条件i＞10，x=﹣，i=3不满足条件i＞10，x=2，i=4不满足条件i＞10，x=﹣5，i=5…观察规律可知x的取值以3为周期，故不满足条件i＞10，x=﹣，i=9不满足条件i＞10，x=2，i=10不满足条件i＞10，x=﹣5，i=11满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，i的值是解题的关键，属于基本知识是考查．5. 已知点Q（5，4），若动点P（x，y）满足，则PQ的最小值为（）A．B．C．5 D．以上都不对参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出P点的区域，求出BQ连线的斜率，求得的斜率小于1，可知过Q 点作直线x+y﹣2=0的垂线，垂足在直线上B的下方，由此可知当P在B点处PQ的距离最小．【解答】解：由约束条件足，得P（x，y）所在区域如图，联立，得B（1，1），∵，过Q点与直线x+y﹣2=0垂直的直线的斜率为1，∴过Q点作直线x+y﹣2=0的垂线，垂足在直线上B的下方，∴可行域内的点P为点B时PQ的值最小，最小值为．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是找出使PQ 值最小的点，是中档题．6. 定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）=x?e x，且，则的最大值为（）A．1 B．﹣C．﹣1 D．0参考答案：A【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】先构造函数，F（x）=，根据题意求出f（x）的解析式，即可得到=，再根据基本不等式即可求出最大值．【解答】解：令F（x）=，则F′（x）==x，则F（x）=x2+c，∴f（x）=e x（x2+c），∵f（0）=，∴c=，∴f（x）=e x（x2+），∴=，x＞0， ==≤1，∴的最大值为1，故选：A．【点评】本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题，关键是构造函数和利用基本不等式求函数的值域，属于中档题．7. 已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【分析】由题意可知f（x）在[0，+∞）为增函数，根据函数的单调性即可判断．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，∴f（x）在[0，+∞）为增函数，∵=f（﹣2）=f（2），1＜20.3＜2＜log25，∴c＞b＞a，故选：B．8. 为得到函数的图象，只需将函数的图象A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位参考答案：C因为，所以为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位，选C.9. 执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为A．243 B．363 C．729 D．1092参考答案：D10. 已知全集，集合，，则等于（）A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于函数, 给出下列四个命题:①存在, 使; ②存在, 使恒成立;③存在, 使函数的图象关于y轴对称; ④函数f(x)的图象关于点对称; ⑤若, 则.其中正确命题的序号是 .参考答案：①②③④12. 已知，则的概率为________．参考答案：13. 函数y=lg（x2﹣2x+3）的定义域为．参考答案：（﹣∞，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2＞0恒成立，从而得到定义域．解答：解：由题意得，x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2＞0恒成立，故函数y=lg（x2﹣2x+3）的定义域为（﹣∞，+∞）；故答案为：（﹣∞，+∞）．点评：本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题．14. 设i、j分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|a－i|＋|a－2j|＝，则|a＋2i|的取值范围是___________．参考答案：15. 已知均为锐角，且，则_______________.参考答案：略16. 中，若，，则参考答案：17. 已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为_____．参考答案：试题分析：由题意知，正三棱柱的主视图为长为2，宽为的矩形，故其面积为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年四川省内江市高考数学二诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,3，5，7，9}，B={0,3，6，9，12}，则A∩(∁N B)=()A. {1,5，7}B. {3,5，7}C. {1,3，9}D. {0,6，9}2.在复平面内，复数21+i对应的点与原点的距离是()A. 1B. √2C. 2D. 2√23.“φ=π2”是“曲线y=sin(x+φ)关于y轴对称”的()A. 充要条件B. 充分且不必要条件C. 必要且不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第4个数是()A. 580B. 577C. 576D. 5745.已知l、m是两条不同的直线，a是个平面，则下列命题正确的是()A. 若l//a，m//a，则l//mB. 若l⊥m，m//a，则l⊥aC. 若l⊥m，m⊥a，则l//aD. 若l//a，m⊥a，则l⊥m6.在(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中，含x2项的系数是()A. 119B. 120C. 121D. 7207.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a6=()A. 2B. 0C. −2D. −48.八卦的形成源于《河图》和《洛书》，它用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，组成八种不同形式，每一种形式都命为一卦，分别为乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑，比如乾卦是“”，坤卦是“”，坎卦是“”.在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是()A. 37B. 314C. 38D. 3169. 在△ABC 中，D 是AB 的中点，H 是CD 的中点，若AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,μ∈R)，则λ+μ=( )A. 34B. 54C. 32D. 7410. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =2√3，将△BAC 沿对角线AC 翻折成△B 1AC ，则三棱锥B 1−ACD 外接球的表面积为 ( )A. 4πB. 12πC. 16πD. 48π11. 已知关于x 的方程e x −2x −k =0有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )．A. (−∞,2−2ln2]B. (−∞,2−2ln2)C. [2−2ln2,+∞)D. (2−2ln2,+∞)12. 如图，O 是坐标原点，过E(p,0)的直线交抛物线y 2=2px(p >0)于A ，B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x =p 相交于点N.则|ME|2−|NE|2等于 ( )A. 2pB. p 2C. 2p 2D. 4p 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设x ，y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y ≥−1x −y ≤0，则z =3x −2y 的最小值为________． 14. 某中学举行电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为 0.30、0.15、10、0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数是______ ；成绩优秀的频率是______ ．15. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为点A ，直线l ：y =x +a 与其两条渐近线分别交于点B 、C ，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，O 为坐标原点，则双曲线的离心率是______． 16. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，其导函数为f′(x)，且当x <0时，2f(x)+xf′(x)<0，则不等式(x −2018)2f(x −2018)−f(−1)<0的解集为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的300名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率。