第5课时、有理数大小的比较
学习目标：1、结合生活常识和数轴，理解有理数的大小关系，能比较两个有理数的大小；
2、体验有理数的大小比较的探索过程。
重点：会利用绝对值或数轴进行比较大小。
难点：两个负数的大小比较。
目标导学（2分钟）
1、一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的。
2、正数的绝对值是，负数的绝对值是。
3、= ；= ；= 。
自学自研：（16分钟）
模块一、利用绝对值比较有理数的大小
阅读教材P15~16第一段话的内容，回答问题：
温度-3℃与0℃，哪个温度高？
温度0℃与3℃，哪个温度高？
温度-3℃与3℃，哪个温度高？
温度-7℃与-3℃，哪个温度高？-7的绝对值与-3的绝对值哪个大？
归纳：（1）正数负数；正数 0；0 负数。
（2）两个负数，绝对值大的反而。
例1、比较下列各组数的大小，并说明理由。
（1）-15与-1；（2）-（+）与0；（3）-与-（-1）。
变式1、在-2；0；1；3这四个数中，比0小的数是。
变式2、下列各式正确的是（）。
A、；
B、；
C、；
D、；
模块二、利用数轴比较有理数的大小
阅读教材P16剩余部分，完成下面的内容：
在数轴上表示-7；-3；0；3这四个数。
归纳：在以向右为正方向的数轴上， 右边的点表示的数比左边的点表示的数
。
例2、在数轴上标出下列各点：-3；2；0；-3.5。并用“＜”把这些数连起来。
例3、大于-2且小于3.5的所有整数是
。
例4、比较大小：- -
变式1、数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则a 、b 、0的大小关系为（ ）。
A 、a b 0；
B 、b
0；C 、0a b ；D 、a 0b 。
变式2、观察下列算式：a=-
，b=+（-0.5），c=
，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）。
A 、b ＞c ＞a ；
B 、a ＞c ＞b ；
C 、a ＞b ＞c ；
D 、c ＞b ＞a 。 交流展示：（20分钟）
按照各组分配任务进行展示探讨。 当堂检测：（5分钟）
1、比较下列每对数的大小：
① ；② ； ③
；④
； ⑤??
? ??--91 10
1
-
-； ⑥0.02 1；
⑦ ；⑧ ；
2、将有理数0，3.14，7
22
，2.7，4，0.14按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来。
3、比较大小（用“＜”连接）：。
4、下列判断正确的是（）。
A、；
B、2a＞a；
C、；
D、。
5、如果，，且a＜b，试求a，b的值。
课堂小结：
利用数轴
比较有理
数的大小
的步骤：
七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．16的算术平方根是（ ） A ．4 B ．﹣4
C ．±4
D ．2
【答案】A
【解析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：16的算术平方根是4， 故选A ． 【点睛】
本题考查了算术平方根，熟记概念是解题的关键．
2．如图，将AOB 绕点O 按顺时针方向旋转a 度后得到,COD 若137AO OD ==,，18AB =，则CD 等于（ ）
A ．7
B ．12
C ．18
D ．以上都不对
【答案】C
【解析】由旋转的性质可得CD ＝AB ＝1．
【详解】∵将△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转a 度后得到△COD ， ∴CD ＝AB ＝1 故选：C ． 【点睛】
本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 3．下列式子是完全平方式的是（ ） A ．22a ab b ++ B ．222a a ++ C ．222a a a -+ D ．221a a ++
【答案】D
【解析】完全平方公式：（a±b ）2=a 2±2ab+b 2．看哪个式子整理后符合即可．
【详解】根据完全平方公式可知A,B,C,都不符合， 符合的只有a 2+2a+1. 故选D. 【点睛】
此题考查完全平方公式，解题关键在于掌握计算公式.
43
π-，227，0.303003…，无理数有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】B
【解析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
，
3
π-，227，0.303003…，无理数有3个；
故选择：B. 【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
5x 的取值范围是( ) A ．2x > B ．2x <
C ．2x ≥
D ．2x ≤
【答案】C
【解析】根据二次根式的被开方数非负得到关于x 的不等式，解不等式即得答案. 【详解】解：根据题意，得20x -，解得，2x . 故选C. 【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式被开方数非负是解题的关键.
6．已知关于x 、y 的方程组22331
x y k x y k +=??+=-?以下结论：①当0k =时，方程组的解也是方程24
-=-x y 的解；②存在实数k ，使得0x y +=；③当1y x ->-时，1k >；④不论k 取什么实数，3x y +的值始终不变，其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④
【答案】B
【解析】①把k=0代入方程组求出解，代入方程检验即可；②方程组消元k 得到x 与y 的方程，检验即可；
③表示出y-x ，代入已知不等式求出k 的范围，判断即可；④方程组整理后表示出x+3y ，检验即可．
【详解】解：①把k=0代入方程组得：20
231x y x y +=??+=-?
，
解得：2
1
x y =-??
=?，
代入方程得：左边=-2-2=-4，右边=-4， 左边=右边，此选项正确； ②由x+y=0，得到y=-x ， 代入方程组得：31x k
x k -=??-=-?
，即k=3k-1，
解得：12
k =
， 则存在实数1
2
k =，使x+y=0，本选项正确；
③22331x y k
x y k +=??
+=-?
，
解不等式组得：321x k y k =-??=-?
，
∵1y x ->-，
∴1(32)1k k --->-， 解得：1k <，此选项错误； ④x+3y=3k-2+3-3k=1，本选项正确； ∴正确的选项是①②④； 故选：B. 【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．为了了解某校七年级800名学生的跳绳情况(60秒跳绳的次数)，随机对该年级50名学生进行了调查，根据收集的数据绘制了如图所示的频数分布直方图(每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的次数x 为：6080x ≤<，则以下说法正确的是( )
A ．跳绳次数最多的是160次
B ．大多数学生跳绳次数在140-160范围内
C ．跳绳次数不少于100次的占80%
D ．由样本可以估计全年级800人中跳绳次数在60-80次的大约有70人 【答案】C
【解析】根据图像可直接解答A 、B ；用跳绳次数不少于100次的然后除以50可判断C ；用800乘以跳绳次数在60-80次所占的百分比可判断D.
【详解】A. 跳绳次数最多的是140次至160次之间，故不正确； B. 大多数学生跳绳次数在120-140范围内，故不正确；
C. 跳绳次数不少于100次的占（10+18+12）÷50=80%，故正确；
D. 800×4
50
= 64人，故不正确； 故选C. 【点睛】
本题主要考查的是频数分布直方图的应用及用样本估计总体，能够从统计图和中获取有效信息是解题的关键．
8．下列给出4个命题:①内错角相等;②对顶角相等;③对于任意实数x ，代数式2610x x -+ 总是正数;④
若三条线段a 、b 、c 满足a b c +>，则三条线段a 、b 、
c 一定能组成三角形.其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【答案】B
【解析】①两直线平行，内错角相等，故错误； ②对顶角相等，正确；
③对于任意实数x ，代数式2610x x -+=(x ?3)2+1总是正数，正确；
④若三条线段a 、b 、c 满足a+b>c ，则三条线段a 、b 、c 一定能组成三角形，错误，
故选B.
点睛：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的三边关系等知识分别判断后即可确定正确的选项．注意：要说明一个没命题的正确性，一般需要推理、论证，二判断一个命题是假命题，只需举出一个范例即可.
9．方程组
2?
3
x y
x y
+=
?
?
+=
?
的解为
2
?
x
y
=
?
?
=
?
，则被遮盖的两个数（按从左往右的顺序）分别为（）
A．2,1 B．1,5 C．5,1 D．2,4
【答案】C
【解析】在x+y=3中，已知x=2，代入即可求得y的值，把x=2以及y的值，代入即可求得被遮盖的数．【详解】根据题意，得2+y=3，
解得：y=1，
则2x+y=4+1=5,
则第一个被遮盖的数是5，第二个被遮盖的数是1．
故选：C．
【点睛】
考查了方程组的解的定义，方程组的解就是能够使方程组中的方程同时成立的未知数的解．
10．小明同学把一个含有45°角的直角三角板放在如图所示的两条平行线m、n上，测得∠α=115°,则∠β的度数是（）
A．40°B．65°C．70°D．75°
【答案】C
【解析】根据平行线的性质得∠1＝∠2，根据三角形外角性质有∠α＝∠2＋∠3，可计算出∠2＝115°?45°＝70°，则∠1＝70°，根据对顶角相等即可得到∠β的度数．
【详解】解答：解：如图，
∵m∥n，
∴∠1＝∠2， ∵∠α＝∠2＋∠3， 而∠3＝45°，∠α＝115°， ∴∠2＝115°?45°＝70°， ∴∠1＝70°， ∴∠β＝70°． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．也考查了三角形外角性质以及对顶角的性质． 二、填空题题
11．已知，2262100x y x y ++++=，则2x y -的值为____. 【答案】5-
【解析】根据题中的式子进行变形即可求出x,y 的值，再进行求解.
【详解】∵222222
62106921(3)(1)0x y x y x x y y x y ++++=+++++=+++=
∴x=-3,y=-1, ∴2x y -=-6-(-1)=-5 【点睛】
此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形及应用.
12．如果菱形的两条对角线的长为a 和b ，且a ，b 满足（a ﹣1）2=0，那么菱形的面积等于 ． 【答案】1
【解析】由非负性求出ab 的值，再根据菱形的面积公式求解. 【详解】由题意得，a ﹣1=0，b ﹣4=0， 解得a=1，b=4，
∵菱形的两条对角线的长为a 和b ， ∴菱形的面积=1
2
×1×4=1． 故答案为1．
考点：1、非负数的性质；1、菱形的面积 13．已知 4x-y =5，用 x 表示 y ，得 y=_______． 【答案】y =45x - .
【解析】分析: 把x看作已知量，把y看作未知量，根据解一元一次方程的方法求解即可.
详解:∵4x-y=1，
∴-y=-4x+1，
解得y=4x-1．
故答案为：4x-1.
点睛: 此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握.
14．不等式4x﹣6≥7x﹣12的非负整数解为________________.
【答案】0，1，1
【解析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
【详解】解：移项得：4x－7x≥－11+6，
合并同类项得：－3x≥－6；
化系数为1得：x≤1；
因而不等式的非负整数解是：0，1，1．
【点睛】
正确解不等式，求出解集是解决本题的关键．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（1）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
15．方程组
23
26
x y
x y
?
+
?
+
?＝
＝
的解满足方程x+y-a=0，那么a的值是___________．
【答案】3
【解析】利用代入消元法求出方程组的解得到x与y的值，代入x+y-a=0求出a的值即可．
【详解】解：
32
26
x y
x y
-
?
?
+
?
＝①
＝②
，
把①代入②得：6-4y+y=6，
解得：y=0，
把y=0代入①得：x=3，
把x=3，y=0代入x+y-a=0中得：3-a=0，
解得：a=3，
故答案为：3
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解的定义和二元一次方程组的解法，熟练掌握解法是关键．
16．如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若已知∠2=65°，则∠1=______.
【答案】130°
【解析】分析: 先根据翻折变换的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论.
详解:
∵∠2=65°，
∴∠3=180°-2∠2=180°-2×65°=50°，
∵矩形的两边互相平行，
∴∠1=180°-∠3=180°-50°=130°．
故答案为130°
点睛: 本题考查的是平行线的性质，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键.
17．如图，面积2
6cm的直角三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移的距离是BC的2
cm．
倍，则图中四边形ABED的面积为__________2
【答案】24
【解析】根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积，依此计算即可．
【详解】∵平移的距离是边BC长的两倍，
∴BC=CE=EF，
∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积；
∴四边形ABED的面积=6×(1+3)=24cm2.
故答案为：24.
【点睛】
此题考查平移的性质，解题关键在于得出四边形ACED的面积是三个△ABC的面积.
三、解答题
18．（1）先完成下列表格：
a ……0.0001 0.01 1 100 10000 ……a……0.01 ______ 1 ______ ______ ……
（2）由上表你发现什么规律？
（3）根据你发现的规律填空：
33000.03
0.003136=0.056313600
【答案】（1）0.1，10，100；（2）被开方数的小数点向左或向右每移动两位开方后所得的结果相应的也向左或向右移动1位；（3）17.32，0.1732，1
【解析】（1）直接利用已知数据开平方得出答案；
（2）利用原数据与开平方后的数据变化得出一般性规律是被开方数的小数点向左或向右每移动两位开方后所得的结果相应的也向左或向右移动1位；
（3）利用（2）中发现的规律进而分别得出各数据答案．
【详解】解：（1）
a ……0.0001 0.01 1 100 10000 ……a……0.01 0.1 1 10 100 ……
（2）规律是：被开方数的小数点向左或向右每移动两位开方后所得的结果相应的也向左或向右移动1位；
（3）①∵3=1.732，∴300=17.32；
0.03=0.1732；
②∵0.003136=0.056，∴313600=1．
故答案为：①17.32；0.1732；②1．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根，正确发现数据开平方后的变化规律是解题关键．
19．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线．
（1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式；
（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？
（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？
【答案】（1）y=3x﹣30；（2）4月份上网20小时，应付上网费60元；（3）5月份上网35个小时．
【解析】（1）由图可知，当x≥30时，图象是一次函数图象，设函数关系式为y=kx+b，使用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，从图象上看，30小时以内的上网费用都是60元；
（3）根据题意，因为60＜75＜90，当y=75时，代入（1）中的函数关系计算出x的值即可．【详解】（1）当x≥30时，设函数关系式为y=kx+b，
则
3060 4090
k b
k b
+=
?
?
+=
?
，
解得
3
30 k
b
=
?
?
=-
?
，
所以y=3x﹣30；
（2）若小李4月份上网20小时，由图象可知，他应付60元的上网费；
（3）把y=75代入，y=3x-30，解得x=35，
∴若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是35小时．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数关系式，准确识图、熟练应用待定
系数法是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知A(﹣2，2)，B(2,0)，C(3，3)，P(a，b)是三角形ABC的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得三角形DEF，点P的对应点为P′(a﹣2，b﹣4).
（1）画出三角形DEF；
（2）求三角形DEF的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）1.
【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用边长分别为5和3的矩形的面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】解：（1）△DEF如图所示．
（2）S△DEF′=5×3﹣1
2
×5×1﹣
1
2
×4×2﹣
1
2
×1×3
=15﹣2.5﹣4﹣1.5
=1．
【点睛】
此题主要考查了平移变换以及四边形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
21．要围成如图所示一边靠墙的长方形封闭式菜园ABCD，已知墙长8米，用篱笆围成的另外三边总长为20米，设BC边的长为x米，AB边的长为y米．
（1）求y 与x 之间的关系式；
（2）能围成5AB =米的菜园吗？说说你的理由． 【答案】（1）1
102
y x =-
+；（2）不能围成,理由见解析． 【解析】（1）由篱笆的总长度为20米列出等式，计算整理即可求得答案； （2）将AB=5代入题目去计算，求到BC 的值与墙的长度相比较即可得出答案． 【详解】解：（1）
220x y +=，
11
(20)1022∴=-=-+y x x ，
故1
102
y x =-+．
（2）不能，理由如下： ∵5AB =， ∴1
1052
x -
+=． 解得108x =>．
故不能围成5AB =米的菜园． 【点睛】
本题考查的是一元一次方程的实际应用，解题的关键是要注意到自变量的取值范围．
22．如图，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动;同时动点Q 从点B 出发，沿线段BC 以每秒2cm 的速度向点C 运动.当点Q 到达C 点时，点P 同时停止，设运动时间为t 秒.(注：正方形的四边长都相等，四个角都是直角) (1)CQ 的长为______cm(用含t 的代数式表示);
(2)连接DQ 并把DQ 沿DC 翻折，交BC 延长线于点F ，连接DP 、DQ 、PQ. ①若ADP DFQ S S ??=，求t 的值.
②当DP DF ⊥时，求t 的值，并判断PDQ ?与FDQ ?是否全等，请说明理由.