一元一次不等式组的竞赛题巧解举例

一元一次不等式问题解题技巧五则一、巧用不等式性质解题：例1、已知a b a ->，a b b +>，求、的取值范围．解：由a b a ->两边同减去得0b ->，∴；由a b b +>两边同减去得； ∴、的取值范围为，．例2、已知0ax a -的解集是，求的取值范围． 解：移项得ax a ，∵当时，原不等式的解集为1a xa =，∴满足条件的的取值范围为．评注：不等式的性质有——①、若，则a c b c ±>±；②、若，且，则ac bc >，a b c c >；③、若，且，则ac bc <，a b c c <．以上不等式的三个性质是解不等式的重要依据，其中性质③涉及到不等号方向的改变，解题时尤需注意．二、巧用有理数符号法则解题：例3、求不等式301x ->-的解集． 解：由30-<且301x ->-可知，代数式10x -<，即，∴原不等式的解集为． 例4、求不等式21021a x +>+的解集． 解：由20a 可得2110a +>，∵21021ax +>+，∴代数式210x +>，即12x >-，∴原不等式的解集为12x >-．评注：有理数的符号法则包括——①、有理数积的符号法则：两数相乘，同号得正，异号得负；②、有理数商的符号法则：两数相除，同号得正，异号得负．熟练掌握以上两个法则特别是商的符号法则是解决特殊类型不等式（如上例中的分式不等式等）问题的重要手段．三、巧用绝对值相关知识解题：例5、已知2112x x -=-，求的取值范围．解：∵12(21)x x -=--，即21(21)x x -=--；∴由绝对值的性质可知210x -，解之有12x ；∴满足条件的的取值范围为12x ． 例6、求下列不等式的解集：⑴、3x <；⑵、5x ；⑶、13x -． 解：⑴、原不等式即03x -<，由绝对值的几何意义可知，所求的取值范围是距离原点不足3个单位长度的所有点的集合，∴原不等式的解集为33x -<<；⑵、原不等式即05x -，由绝对值的几何意义可知，所求的取值范围是距离原点不小于5个单位长度的所有点的集合，∴原不等式的解集为5x或5x -；⑶、由绝对值的几何意义可知，所求的取值范围是距离“+1”不超过3个单位长度的所有点的集合，∴原不等式的解集为24x -． 评注：绝对值知识点包含两个方面——①、绝对值的性质：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩；②、绝对值的几何意义：从数轴上看，即表示到原点的距离．以上两方面知识既是进行绝对值化简运算的依据，也是解决绝对值方程及绝对值不等式问题的重要思想方法．四、巧用等式变形思想解题：例7、已知、满足方程230x y --=，试求：⑴、当为何值时，？⑵、当为何值时，12x <？ 解：⑴、由方程230x y --=移项得23y x =-．令得230x ->，解之得32x >，∴当32x >时，； ⑵、由方程230x y --=移项得23x y =+，∴32y x +=．令12x <得3122y +<，∴31y +<，解之得2y <-，∴当2y <-时，12x <．例8、已知方程3(2)21x a x a -+=-+的解适合不等式2(5)8x a ->，求的取值范围．解：由方程3(2)21x a x a -+=-+去括号得3621x a x a -+=-+，移项得3612x x a a -=-+-，∴512a x -=．解不等式2(5)8x a ->得54x a >+，由题意有51542a a ->+，解之得113a <-． 评注：等式的变形包括——移项、合并同类项、化系数为1等步骤，等式变形的依据是等式的两个基本性质．在方程与不等式组合型问题中，通过对方程进行合理变形，从而建立不等式进行求解是解决此类问题的一种常用思想方法．五、巧用分类讨论思想解题：例9、试判断下列代数式的大小：⑴、与x ；⑵、37x y +与28x y +． 解：⑴、x y x y +-=，①、当时，0x y x +->，∴x y x +>；②、当时，0x y x +-=，∴x y x +=；③、当时，0x y x +-<，∴x y x +<．⑵、37(28)x y x y x y +-+=-，①、当0x y ->即x y >时，37(28)0x y x y +-+>，∴3728x y x y +>+； ②、当0x y -=即x y =时，37(28)0x y x y +-+=，∴3728x y x y +=+； ③、当0x y -<即x y <时，37(28)0x y x y +-+<，∴3728x y x y +<+． 例10、解关于x 的不等式：⑴、20ax a -；⑵、1()122a x a ->-． 解：⑴、原不等式可化为2ax a ， ①、当时，原式即00x ⋅，此时可取任何有理数．②、当时，原式两边同除以得2x ；③、当时，原式两边同除以得2x．⑵、原不等式可化为11()2()22a x a ->--，易知12a ≠， ①、当即102a ->时，原不等式两边同除以1()2a -得2x >-； ②、当12a <即102a -<时，原不等式两边同除以1()2a -得2x <-． 评注：在用作差法比较代数式的大小及求解含有未知字母不等式问题的过程中，若题中涉及到的未知字母的取值范围不明确，则解决的办法通常是对其进行分类讨论．。

用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题，其主要步骤为：1、审题，设未知数；2、抓关键词，找不等关系；3、构建不等式（组）4、解不等式（组）；5、根据题意，写出合理答案。

一、打折问题：例1，一双运动鞋的进价是200元，标价400元，商场要获得不低于120元的利润，问：最低可以打几折？解析：利润 = 售价－进价。

设可以打x折，则：400×0.1x－200≥120解之得，x≥8答：最低可以打8折。

二、赛球问题：例2，甲、乙两队进行足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了12场，甲队保持不败，总得分超过26分，问：甲队至少胜了多少场？解析：甲队总得分= 甲队胜场的得分＋甲队平场的得分。

设甲队胜了x场，则：3x＋1×（12－x）＞26解之得，x＞7∴x的最小整数值是8 。

答：甲队至少胜了8场。

三、购买问题：例3，某种肥皂零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块），商场推出两种优惠销售办法。

第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售。

在购买的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买几块肥皂？解析：设需要买x块肥皂，第一种方法的购价为：2＋2×0.7×（x－1）元，第二种方法的购价为：2×0.8 = 1.6元。

则：2＋2×0.7×（x－1）＜1.6解之得，x＞3∴x的最小整数值是4 。

答：最少需要买4块肥皂。

四、分苹果问题：例4，把44个苹果分给若干名学生，若每人分苹果7个，则最后1名学生分得的苹果不足3个，求学生人数。

解析：最后1名学生分得的苹果数= 苹果总数－7（学生数－1），设学生人数为x 名，则：44－（x－1）×7＞0 ①44－（x－1）×7＜3 ②解之得，＜x＜∵x是整数，∴x=7答：学生人数是7人。

一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例 一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。

根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。

一、 巧用不等式的性质例1 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ）A.0＜a ＜1B. a ＞1C.－1＜a ＜0D. a ＜－1分析：由a 3＜a 到a 2＜a 4，是在a 3＜a 的两边都乘以a ，且a ＜0来实现的；在a 3＜a 两边都除以a ，得a 2＞1，显然有a ＜－1。

故选D点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定 a 的取值范围。

例2 已知6＜a ＜10，2a ≤b ≤a 2，b ac +=，则c 的取值范围是 。

分析：在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a ，可得23a ≤b a +≤a 3，再由6＜a ＜10可得9＜b a +＜30，即9＜c ＜30 点评：本题应用不等式的基本性质，在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a 后，直接用关于a 的不等式表示c ，再根据6＜a ＜10求出c 的取值范围。

二、 由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围例3 若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+++②m ＜x ①x ＞x 01456 的解集为4x ＜，则m 的取值范围是 。

分析：由①得 205244++x ＞x ，解之得4x ＜。

由②得 m x ＜-。

因为原不等式组的解集为4x ＜，所以4≥-m ，所以4-≤m 。

点评：本题直接解两个不等式得到4x ＜且m x ＜-。

若m -≤4，则其解集为4x ＜，若m ＞-4，则其解集为m x ＜-，而原不等式的解集为4x ＜，所以4≥-m ，即4-≤m 。

对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。

例4 若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是49x ＞，则不等式 的解集是0324b ＞a x b a -+-)( 。

第9讲 一元一次不等式组【思维入门】1．把不等式组⎩⎨⎧x ＋2>1，3－x ≥0的解集表示在数轴上，正确的是( )A BC D2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4≤8－2x ，x ＞－23的最小整数解是 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．43．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋2≥13x ＋1，3x ＜x ＋2的解是 ( )A ．－6＜x ≤1B ．－6＜x ＜1C ．－6≤x ＜1D ．－6≤x ≤14．已知点P (3－m ，m －1)在第二象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是( )A BC D5．求不等式组⎩⎨⎧7（x －1）<4x －3，6（0.5x ＋1）≥2x ＋5的整数解．6．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋5>1－x ，x －1<34x －18，并写出它的非负整数解．【思维拓展】7．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧5－2x >－1，x －a ＞0无实数解，则a 的取值范围是____．8．对非负数x 四舍五入到个位的值记为〈x 〉，即当n 为非负整数时，若n －12≤x <n ＋12，则〈x 〉＝n .如〈0.46〉＝0，〈3.67〉＝4. 给出下列关于〈x 〉的结论： ①〈1.493〉＝1； ②〈2x 〉＝2〈x 〉；③若〈12x －1〉＝4，则实数x 的取值范围是9≤x <11；④当x ≥0，m 为非负整数时，有〈m ＋2 013x 〉＝m ＋〈2 013x 〉； ⑤〈x ＋y 〉＝〈x 〉＋〈y 〉．其中，正确的结论有____(填写所有正确的序号)．9．定义新运算：对于任意实数a ，b 都有a △b ＝ab －a －b ＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4＝2×4－2－4＋1＝8－6＋1＝3，请根据上述知识解决问题：若3△x 的值大于5而小于9，求x 的取值范围．10．已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3≥－3，12（x －2a ）＋12x <0，并依据a 的取值情况写出其解集．11．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧5x ＋2y ＝11a ＋18，2x －3y ＝12a －8的解满足x >0，y >0，求实数a 的取值范围．【思维升华】12．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧2－3x ≥0，2x ＋m ＞0没有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．m <－43B ．m ≤－43C ．m ＞－43D ．m ≥－4313．已知a 是实数，关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧2x －3y ＝5a ，x ＋2y ＝1－2a 的解不可能出现的情况是( )A ．x ，y 都是正数B ．x ，y 都是负数C ．x 是正数，y 是负数D ．x 是负数，y 是正数14．已知方程组⎩⎨⎧x ＋my ＝11，x ＋3＝2y 的解都是正整数，则整数m 的值为____．15．已知a ＋b ＋c ＝0，a ≥b ≥c ，a ≠0，则ca 的最大值是 ____，最小值是____． 16．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧x <a ＋1，2x －2>a 的解集中的整数恰好有2个，求实数a 的取值范围．第9讲 一元一次不等式组【思维入门】1．把不等式组⎩⎨⎧x ＋2>1，3－x ≥0的解集表示在数轴上，正确的是( D )A BC D2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4≤8－2x ，x ＞－23的最小整数解是 ( B )A ．－1B ．0C ．1D ．43．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋2≥13x ＋1，3x ＜x ＋2的解是 ( C )A ．－6＜x ≤1B ．－6＜x ＜1C ．－6≤x ＜1D ．－6≤x ≤14．已知点P (3－m ，m －1)在第二象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是( A )A BC D5．求不等式组⎩⎨⎧7（x －1）<4x －3，6（0.5x ＋1）≥2x ＋5的整数解．解：⎩⎪⎨⎪⎧7（x －1）<4x －3，①6（0.5x ＋1）≥2x ＋5，②解不等式①，得x <43，解不等式②，得x ≥－1， ∴不等式组的解集为－1≤x <43， ∴不等式组的整数解为－1，0，1.6．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋5>1－x ，x －1<34x －18，并写出它的非负整数解．解：⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋5>1－x ，①x －1<34x －18，②解不等式①，得x >－125， 解不等式②，得x <72， ∴不等式组的解集为－125<x <72. ∴它的非负整数解为0，1，2，3.【思维拓展】7．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧5－2x >－1，x －a ＞0无实数解，则a 的取值范围是__a ≥3__．【解析】 解关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－2x ＞－1，x －a ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <3，x >a ， ∵不等式组无解，∴a ≥3.8．对非负数x 四舍五入到个位的值记为〈x 〉，即当n 为非负整数时，若n －12≤x <n ＋12，则〈x 〉＝n .如〈0.46〉＝0，〈3.67〉＝4. 给出下列关于〈x 〉的结论： ①〈1.493〉＝1； ②〈2x 〉＝2〈x 〉；③若〈12x －1〉＝4，则实数x 的取值范围是9≤x <11；④当x ≥0，m 为非负整数时，有〈m ＋2 013x 〉＝m ＋〈2 013x 〉； ⑤〈x ＋y 〉＝〈x 〉＋〈y 〉．其中，正确的结论有__①③④__(填写所有正确的序号)． 【解析】 ①〈1.493〉＝1，正确；②〈2x 〉≠2〈x 〉，例如当x ＝0.3时，〈2x 〉＝1，2〈x 〉＝0，故②错误； ③若〈12x －1〉＝4，则4－12≤12x －1＜4＋12，解得9≤x ＜11，故③正确； ④m 为整数，不影响四舍五入，故〈m ＋2 013x 〉＝m ＋〈2 013x 〉，④正确； ⑤〈x ＋y 〉≠〈x 〉＋〈y 〉，例如x ＝0.3，y ＝0.4时，〈x ＋y 〉＝1，〈x 〉＋〈y 〉＝0，故⑤错误． 综上可得①③④正确．9．定义新运算：对于任意实数a ，b 都有a △b ＝ab －a －b ＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4＝2×4－2－4＋1＝8－6＋1＝3，请根据上述知识解决问题：若3△x 的值大于5而小于9，求x 的取值范围．解：∵3△x ＝3x －3－x ＋1＝2x －2，且3△x 的值大于5而小于9， ∴5<2x －2<9，即72<x <112.10．已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3≥－3，12（x －2a ）＋12x <0，并依据a 的取值情况写出其解集．解：⎩⎨⎧－2x ＋3≥－3，①12（x －2a ）＋12x <0，②解①得x ≤3，解②得x <a ， ∵ a 是不等于3的常数，∴ 当a >3时，不等式组的解集为x ≤3； 当a <3时，不等式组的解集为x <a .11．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧5x ＋2y ＝11a ＋18，2x －3y ＝12a －8的解满足x >0，y >0，求实数a 的取值范围．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝11a ＋18，①2x －3y ＝12a －8，②①×3得15x ＋6y ＝33a ＋54③， ②×2得4x －6y ＝24a －16④，③＋④得19x ＝57a ＋38，解得x ＝3a ＋2， 把x ＝3a ＋2代入①，得5(3a ＋2)＋2y ＝11a ＋18， 解得y ＝－2a ＋4，∴方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3a ＋2，y ＝－2a ＋4，∵x ＞0，y ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2>0，－2a ＋4>0，解得⎩⎨⎧a >－23，a <2， ∴a 的取值范围是－23＜a ＜2.【思维升华】12．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧2－3x ≥0，2x ＋m ＞0没有实数解，则实数m 的取值范围是( B )A ．m <－43 B ．m ≤－43 C ．m ＞－43D ．m ≥－4313．已知a 是实数，关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧2x －3y ＝5a ，x ＋2y ＝1－2a 的解不可能出现的情况是( B )A ．x ，y 都是正数B ．x ，y 都是负数C ．x 是正数，y 是负数D ．x 是负数，y 是正数【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝5a ，①x ＋2y ＝1－2a ，②②×2－①得7y ＝2－9a ，y ＝2－9a7③，③代入②，得x ＝1－2a －2y ＝1－2a －2×2－9a 7＝4a ＋37.A.⎩⎨⎧2－9a7>0，4a ＋37>0，解得－34<a <29；B.⎩⎨⎧2－9a 7<0，4a ＋37<0，解得a >29，a ＜－34，无解；C.⎩⎨⎧2－9a7>0，4a ＋37<0，解得a <－34；D.⎩⎨⎧2－9a7＜0，4a ＋37>0，解得a >29，故选B.14．已知方程组⎩⎨⎧x ＋my ＝11，x ＋3＝2y 的解都是正整数，则整数m 的值为__－1，0或5__．【解析】 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＝11，x ＋3＝2y ，∴x ＋my －x －3＝11－2y ， 解得(m ＋2)y ＝14，y ＝14m ＋2.∵方程组有正整数解，∴m ＋2＞0，m ＞－2，又x ＝22－3mm ＋2，故22－3m ＞0，解得m ＜223，故－2＜m ＜223，整数m 只能取－1，0，1，2，3，4，5，6，7. 又x ，y 均为正整数，∴只有m ＝－1或0或5符合题意．15．已知a ＋b ＋c ＝0，a ≥b ≥c ，a ≠0，则c a 的最大值是 __－12__，最小值是__－2__． 【解析】 已知a ＋b ＋c ＝0，即c ＝－a －b ， 因为a ≥b ≥c ，必有a >0，c <0，c a ＝－a －b a ＝－1－b a ， 可知当b 与a 同号时，即b >0. 式子－1－ba 才可能取最小值．因为a ≥b ，故ba ≤1，故当b a ＝1时，式子－1－ba 取最小值为－2. 同理：当b 与a 异号时，即b <0， 式子－1－ba 才可能取最大值， a ＋b ＋c ＝0，a ＝－(b ＋c )． 因为0≥b ≥c ，即|b |≤|c |.式子－1－b a ＝－1＋b b ＋c ＝－1＋|b ||b |＋|c |，当|b ||b |＋|c |取最大值时，整个式子有最大值，|b ||b |＋|c |≤|b ||b |＋|b |＝12. 故式子－1－b a ≤－1＋12＝－12，此为最大值．16．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧x <a ＋1，2x －2>a 的解集中的整数恰好有2个，求实数a 的取值范围．解：原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ＋1，x ＞a ＋22，根据题意，有a ＋22＜x ＜a ＋1.满足原不等式组解集中的整数恰好有2个，只需 ⎩⎪⎨⎪⎧k ≤a ＋22＜k ＋1，k ＋2＜a ＋1≤k ＋3，(k 为整数) 即⎩⎪⎨⎪⎧2k －2≤a ＜2k ，k ＋1＜a ≤k ＋2.(k 为整数)(*) 关于整数k 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＜2k ，2k －2≤k ＋2有解．解得1＜k ≤4，得k 可以取2，3，4.当k ＝2时，代入(*)式，有⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ＜4，3＜a ≤4，解得3＜a ＜4；当k ＝3时，代入(*)式，有⎩⎪⎨⎪⎧4≤a ＜6，4＜a ≤5，解得4＜a ≤5；当k ＝4时，代入(*)式，有⎩⎪⎨⎪⎧6≤a ＜8，5＜a ≤6，解得a ＝6.所以，3＜a ＜4或4＜a ≤5或a ＝6即为所求．。

专题15一元一次不等式(组)特殊解法压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一含字母的不等式基本性质】 (1)【考点二解含分母的一元一次不等式(组)】 (3)【考点三分式化解与不等式结合考查】 (6)【考点四解|x|≥a型的不等式】 (9)【考点五求一元一次不等式解的最值】 (13)【考点六解特殊不等式组】 (14)【过关检测】 (18)【典型例题】【考点一含字母的不等式基本性质】【点睛】本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．【变式训练】【考点二解含分母的一元一次不等式(组)】2【答案】3x>-，数轴上表示见解析．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，其中去分母时，各项都要乘以分母的最小公倍数是解题的关键．【变式训练】【点睛】本题考查解一元一次不等式组，用数轴表示不等式组的解集，解题的关键是注意数轴上空心点与（2）解：332x x-⎧+≥+⎪⎨由②得，2x >-，∴不等式组的解集为21x -<≤，把解集在数轴上表示如图，【点睛】本题考查解一元一次不等式（组）、不等式的解集在数轴上表示，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．【考点三分式化解与不等式结合考查】∴=，x∴原式20022=--+=．【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式，理解分式有意义的条件，掌握分式混合运算的运算顺序(先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的)和计算法则是解题关键．【变式训练】【考点四解|x|≥a型的不等式】参考阅读材料，解答下列问题：【变式训练】(1)不等式()0x a a <>的解集为______；【考点五求一元一次不等式解的最值】【变式训练】【考点六解特殊不等式组】例题：（2022春·陕西安康·七年级统考期末）阅读下列关于不等式()()120x x -+>的解题思路：【变式训练】1．（2023春·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题：例：解不等式290x -<，解：因为29(3)(3)x x x -=+-，所以原不等式可化为(3)(3)0x x +-<由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①3030x x +>⎧⎨+<⎩，或②3030x x -<⎧⎨->⎩，解不等式组①得33x -<<，【过关检测】一、单选题．．．．【答案】A【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式8113x--≥，得：8x-在数轴上表示为：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．河北保定·八年级校考阶段练习）不等式B．0x<C二、填空题故答案为：5-．【点睛】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不等式的解．三、解答题（2）2192136x x -+-≤，去分母得，()()221926--+≤x x ，【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号的方向要改变．【答案】见详解【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．∴不等式组的解集为21-<≤x【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，掌握解不等式组的方法与步骤是解本题的关键．12．（2023秋·四川达州·九年级校考开学考试）先化简，再求值：参考阅读材料，解答下列问题：x-=的解为______（1）方程53x++<；（2）解不等式2219（2）2219x ++<228x +＜（3）123x x -++=，表示到1的点与到-2的点距离和为3 -2与1之间的距离为3，（4）12y x x =--+，1x -表示数x 到1的距离，【点睛】本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对关键．。

经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。

思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。

解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。

所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。

总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。

有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。

举一反三：【变式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：.【变式3】解不等式组：解析：解不等式①得：x＞－2解不等式②得：x＜－7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。

解法1：原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8。

即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。

所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。

思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。

一元一次不等式（组）●了解知识结构知识框图.●明确课标要求1.掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义；理解一元一次不等式组、不等式组的解集的概念.2.理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式.3.会用数轴表示出不等式（组）的解集.4.掌握一元一次不等式（组）的解法.5.体会运用不等式（组）解决简单实际问题的过程，渗透不等式模型思想.●把握重难点重点：一元一次不等式（组）的解法.难点：不等式组解集的几种情况，运用不等式（组）模型解决实际问题.●领悟思想方法1.类比的方法：在学习不等式的基本性质时，应将其与等式的基本性质进行类比，学习一元一次不等式的解法，应将其与一元一次方程的解法进行类比.2.数形结合的思想方法：（1）把不等式或不等式组的解集在数轴上表示出来体现了数形结合的方法；（2）利用函数图象确定不等式的解集也是数形结合思想的重要体现.3.分类讨论的思想方法：在用不等式解决一些方案决策的应用题时要经常分情况讨论.4.转化思想：有的方程组在求所含字母取值范围时，需要转化为不等式（组）进行求解.●精读知识要点一、一元一次不等式1.不等式的概念用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．如：x－1＜2，3－4≠4－3，a＞0，a2≥0等都是不等式．2.不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个使这个不等式成立的数叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．3.用数轴表示不等式的方法一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况．用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，有等号（≥ ，≤）画实心点，无等号（>，<）画空心圈．4.不等式的基本性质不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5.一元一次不等式的概念及解法一般地，只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式．一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将项的系数化为1．注意：解不等式时，上面的五个步骤不一定都能用到，并且不一定按照顺序解，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤．6.一元一次不等式组的概念及解法一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集． 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．当任何数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集．一元一次不等式组的解法：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．求不等式组公共解的一般规律：同大取大，同小取小，一大一小中间找.●掌握基本题型本部分内容的考查形式多样，中考中常常以不等式与方程、函数综合解答题型的命题形式进行考测，有时也出现于填空选择题中，考查对不等式解法的掌握情况，题量为2~3题，分值为5~10分左右.但贴近社会热点的不等式（组）应用题,一般很少以选择题、填空题出现，而以解答题出现，主要考查数形结合以及通过分析数量关系建立不等式（组）模型的解题思想.1.考查不等式的基本性质【例1】如果a ＞b ，那么下列结论中，错误的是 （ ）A 、a-3＞b-3B 、3a ＞3bC 、33b a D 、－a ＞－b 【分析】不等式的性质是解不等式的关键，只有理解了不等式的性质才能正确求出不等式（组）的解集和解决与不等式有关的一些问题.利用不等式的基本性质（1）可知A 正确；利用基本性质（2）可知B ，C 正确.解：D ．【例2】已知a>b>0，则下列不等式不一定成立的是（ ）.Ａ.ab>b 2 Ｂ.a+c>b+c Ｃ.611 a Ｄ.ac>b 【分析】 ∵ a>b>0，∴ 根据不等式的性质A 项一定成立，B 项一定成立，C 项也成立，而D 项当c>0时才成立. 解：D.【小结】 本题考查了不等式的三个性质，要求我们必须掌握.2.用数轴表示不等式的解集问题【例3】不等式2x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）解： 移项，合并，得2x≥2，将x 的系数化为1，得x≥1.故选D. 3.根据不等式（组）的解集的情况，确定字母的取值【例4】若不等式组的解集是－1＜x ＜1，则（ａ＋ｂ）2008＝___．【分析】本题应先求出不等式组的解集，再与已知解集对照比较，从而确定a 、b 的值． 解：由不等式x －a ＞2得x ＞a ＋2；由不等式b －2x ＞0得 x ＜2b ．对比题目给出的不等式组的解集为－1＜x ＜1，得 a ＋2＜x ＜2b ，所以a ＋2＝－1，2b ＝1，所以a ＝－3，b ＝2. 所以（ａ＋ｂ）2008＝（－1）2008＝1.4.综合应用类 【例5】已知且－1＜x －y ＜0，则k 的取值范围为（ ） Ａ．－1＜k ＜－21 Ｂ．0＜k ＜21 Ｃ．0＜k ＜1 Ｄ．21＜k ＜1 【分析】 解答本题只需要把不等式中的x －y 用含k 的代数式表示即可，可考虑整体思想． 解：把方程组中两方程相减得x －y ＝－2k ＋1，代入－1＜x －y ＜0中有，－1＜－2k ＋1＜0，解得21＜k ＜1，故本题应选D ． 5.考查不等式（组）的解法 【例6】解不等式31 x ≤5-x ，并把解集表示在数轴上. 解：去分母，得 x-1≤3（5-x ）.去括号，移项，得 4x≤16.系数化为1，得 x≤4.解集在数轴上表示如下：【小结】解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤相同，只是在化系数为1这一步要注意系数的正负.【例7】解不等式组并写出不等式组的正整数解.【分析】 先求出不等式组的解集，然后在解集范围内找出所有的正整数，即其正整数解. 解：解不等式①，得 x≤3.解不等式②，得 x>-2.∴ 不等式组的解集为-2<x≤3.∴ 原不等式组的正整数解是：1，2，3.6.生活应用类【例8】双蓉服装店老板到厂家选购A 、B 两种型号的服装，若销售1件A 型服装可获利18元，销售一件B 型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A 型服装的数量要比购进B 型服装数量的2倍还多4件，且A 型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？【分析】 本题的题目较长,需要仔细的读题,找到题目中的不等关系,通过设适当的未知数求解. 解：设Ｂ型服装购进ｘ件，则Ａ型服装购进（２ｘ＋４）件，根据题意，得解这个不等式组，得921≤x≤12. 因为ｘ为整数，所以ｘ＝１０，１１，１２.所以２ｘ＋４＝２４，２６，２８．所以有三种进货方案：Ｂ型服装购进１０件，Ａ型服装购进２４件；B型服装购进１１件，Ａ型服装购进２６件；Ｂ型服装购进１２件，Ａ型服装购进２８件．【例9】王女士看中的商品在甲、乙两商场以相同的价格销售，两商场采用促销方式不同.在甲商场一次性购物超过100元，超过部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？【分析】题目中要求的“多少元”是指商场中商品的标价，而在算甲商场比乙商场优惠时计算的是王女士的实际花费，理清关系可列不等式进行计算.解：设她在甲商场购物x元（x>100）就比在乙商场购物优惠.根据题意，得 100+0.8（x-100）<50+0.9（x-50），解这个不等式，得x>150.答：她在甲商场购物超过150元就比在乙商场购物优惠.7.学科综合类【例10】某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元，现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元.（1）写出m与x之间的关系式；（2）写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的范围）；（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？最大利润是多少？【分析】计算公司获得的总利润时先计算生产1吨甲产品和1吨乙产品获得的利润，其中“生产1吨甲产品获得的利润＝甲产品每吨售价－生产1吨甲产品需要的矿石费用－生产1吨甲产品需要的煤的费用－其它费用”.解：（1）根据题意，得10x+4m=300，∴ m=410300x（x≤30）．（2）生产1吨甲产品获利为：4600-10×200-4×400-400=600；生产1吨乙产品获利为：5500-4×200-8×400-500=1000；∴ y与x的函数关系式为：y=600x+1000×410300x-=-1900x+75000.（3）∵ 4x+8×410300x-≤200，∴25≤x≤30.∴当生产甲产品25吨时，公司获利最大.y最大=-1900×25+75000=27500（元）．【小结】本题是运用不等式与一次函数关系解应用题，应用函数知识解答的关键是建立函数模型，运用不等式知识求解.●剖析应考策略1.对不等式的性质和解一元一次不等式内容的学习，应复习对比等式的性质和解一元一次方程的内容，以比较异同.2.在不等式两边同乘以（或除以）一个数时，一定要慎重，特别是该数是负数时，一定不要忘记改变不等号的方向，如果不对该数加以限制，可有三种可能.3.不等式的解集x<a与x≤a（x>a与x≥a）用数轴表示时，要注意空心圆圈与实心圆点的区别.4.如果一个一元一次不等式组的各个一元一次不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解.5.近几年中考注重对“知识联系实际”的考查，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分析问题中的等量关系和不等关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识来解决.。

《一元一次不等式组的应用》典型例题例题1车站有待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，原计划用50节BA,两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A型货箱的运费为0.5万元，每节B型货箱的运费为0.8万元，甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货箱，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货箱，按此要求安排BA,两种货箱的节数，共有哪几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少？例题2幼儿园大班分苹果，若每人分3个，则余8个，若前面每人分5个，则最后一个小朋友得到的苹果数不足3个，求有多少个小朋友和多少个苹果？例题3某班需要买一些笔记本和钢笔以表扬在数学竞赛中获奖的10名学生，已知笔记本的单价是3.5元，钢笔的单价是8元，且购买奖品的金额不超过70元．问至多能买几支钢笔？例题4某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排在底楼，每间4人，房间不够，每间5人，有房间没有住满，又若安排住二楼，每间3人，房间不够，每间4人，又有房间没有住满，问宾馆底楼有客房几间？例题5幼儿园有玩具若干件，分给小朋友，如果每人3件，那么还余59件，如果每人分5件，那么最后一个小朋友少几件，来这个幼儿园有多少玩具？多少个小朋友？例题6某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A种产品需甲种原料9kg、乙种原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg、乙种原料10kg．（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组；（2）如果x是整数，有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计．例题7一条铁路线上E,,A,,各站之间的路程如图所示，单位为千米．一BDC列火车7：30从A站开出，向E站行驶，行驶速度为80km/h，每站停车时间约4min，问这列火车何时行驶在D站与E站之间（不包括D站、E站）的铁路线上．例题8某自行车厂今年生产销售一种新自行车，现向你提供以下有关信息：（1）该厂去年已备有这种自行车的车轮10000只，车轮车间今年平均每月可生产车轮1500只，每辆自行车需装配2只轮；（2）该厂装配车间（自行车生产最后一道工序的生产车间）每月至少可装配这种自行车1000辆，但不超过1200辆；（3）今年该厂已收到各地客户订购这种自行车共14500辆的订货单；（4）这种自行车出厂销售单价为500元/辆．设该厂今年这种自行车的销售金额为a万元，请你根据上述信息，判断a的取值范围．例题9某园林的门票每张10元，一次使用．考虑人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种购买个人年票的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分C,三类：A,BA类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出进入该园林的次数最多的购票方式．（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A在年票比较合算．例题10有两个学生参加四次测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数．他们又参加了第五次测验，测验后他们的平均成绩都提高到90分．问在第五次测验时，这两个学生的分数各是多少？（满分100分，得分都是整数）例题11大小盒子共装球99个，每个大盒装12个，小盒装5个，恰好装完，盒子个数大于10，问：大小盒子各多少个？参考答案例题1 分析 这是一道方案设计优化问题，要将货物运至北京，车厢的总装载重量必须大于或等于货物的总量，由此可列不等式。

第23讲一元一次不等式（组）的应用【培优训练】1．某次测验共20道选择题，答对一题记5分，答错一题记－2分，不答记0分．某同学得48分，那么他答对的题目最多是道．2．将一筐橘子分给若干个小朋友，如果每人分4个橘子．则剩下9个橘子；如果每人分6个橘子，则最后一个小朋友分得的橘子数将少于3个．由以上可推知共有个小朋友分个橘子．3．小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板．三人的体重一共为150千克．爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于千克．4．（2013，黄冈中考）为了支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表：如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．5．（2013，临沂中考）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金购买A、B 两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A、B丙种学习用品各多少件？（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？6．（2013，南京中考）某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商注：根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如．若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×（1－80%）＋30＝110（元）．（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？（2）如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？7．（2012，内江中考）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况（1）符合题意的搭配方案有几种？（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说朗选用哪种方案成本最低？最低成本为多少元？8．现计划把1240吨甲种货物和880吨乙种货物用一列货车运往某地，已知这列货车挂了A、B两种不同规格的货车车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出用A型车厢节数x表示总费用y的公式．（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？9．（2010，盐城中考）整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%.根据相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲、乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%，对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲、乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元，请问购进时有哪几种搭配方案？10.双蓉眼装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元．（1）求A、B两种型号服装每件分别为多少元？（2）销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元．根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装的数量的2倍还多4件，A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的利润不少于699元．问有几种进货方案？11.2013年某厂制定某种产品的年度生产计划，现有如下数据供参考：（1）生产此产品的现有工人为400人；（2）每名工人的年工时约计2200小时；（3）预测2014年的销售量在10万箱到17万箱之间；（4）每箱需用工时4小时，需用料10千克；（5）目前存料1000吨，2013年还需用料1400吨，到2014年年底可补充原料2000吨．试根据以上数据确定2014年可能生产的产量，并根据产量确定工人人数．【参考答案】1. 12. [提示：设他答对x 道题，答错y 道题，则524820x y x y -=⎧⎨+⎩≤，解得427x ≤1．∵x 为整数，故x 最大取12．]2. 7；37. [提示：设小朋友人数为x 人，由题意可得0≤（4x ＋9）－6（x －1）<3，解得6<x ≤7.5． 又∵人数是正整数，∴x ＝7，橘子数为4x ＋9＝4×7＋9＝37．]3. 25．[提示：设小芳的体重为x 千克，爸爸的体重为y 千克，则妈妈的体重为2x 千克，依题意得21502x x y x x y ++=⎧⎨+<⎩，解得x <25．] 4．设租用甲种货车x 辆，则租用乙种货车（6－x ）辆，依题意得45x ＋30（6－x ）≥240，解得x ≥4．则租车方案有3种．方案一：租甲种货车4辆，乙种货车2辆，总费用为4×400＋2×300＝2200元；方案二：租甲种货车5辆，乙种货车1辆，总费用为5×400＋1×300＝2300元；方案三：租甲种货车6辆，乙种货车0辆，总费用为6×400＝2400元，∴最省钱的租车方案是租用甲种货车4辆，乙种货车2辆．5．（1）设购买A 型学习用品x 件，则购买B 型学习用品（1000－x ）件．依题意得20x ＋30（1000－x ）＝26000，解得x ＝400．∴1000－x ＝1000－400＝600（件）.∴购买A 型学习用品400件，B 型学习用品600件．（2）设购买B 型学习用品a 件，则购买A 型学习用品（1000－a ）件，依题意得20（1000－a ）＋30a ≤28000，解得a ≤800.∴最多购买B 型学习用品800件．6．（1）标价为1000元的商品按80%的价格出售．消费金额为800元，消费金额800元在700元~900元之间，返还金额为150元，∴顾客获得的优惠额是1000×（1－80%）＋150＝350（元）．（2）设标价为x 元，当80%x ≤500，即x ≤625时，顾客获得的优惠额不超过625×（1－80%）＋60＝185<226;当500<80%x ≤600，即625<x ≤750时，（1－80%）x ＋100≥226，解得x ≥630.∴630≤x ≤750;当600<80%x <800×80%，即750<x ≤800时，顾客获得优惠额大于750×（1－80%）＋130＝280>226. 综上所述，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为630元．7．（1）设搭配A ，B 两种园艺造型分别为x 个，y 个，依题意得6080504200(,40703090x y x y x y x y +=⎧⎪+⎨⎪+⎩≤为正整数)≤，解得20≤y ≤23．∴符合题意的搭配方案有4种．4039383720212223x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或 （2）设A ，B 两种园艺造型分别有x 个，y 个时，成本为W 元，则W ＝1000x ＋1500y .①当x ＝40，y ＝20时，W ＝1000X 40＋1500×20＝70000元；②当x ＝39，y ＝21时，W ＝1000×39＋1500×21＝70500元；③当x ＝38，y ＝22时，W ＝1000×38＋1500×22＝71000元；④当x ＝37，y ＝23时，W ＝1000×37＋1500×23＋71500元，∴当A ，B 两种园艺造型分别为40个，20个时，成本最低，最低成本为70000元．8．（1）依题意得y ＝0.6x ＋0.8（40－x ）＝32－0.2x .（2）依题意得3525(40)12401535(40)880x x x x +-⎧⎨+-⎩≥≥，解得24≤x ≤26． ∴共有3种安排车厢的方案．方案一:A 型车厢24节，B 型车厢16节，方案二：A 型车厢25节，B 型车厢15节，方案三：A 型车厢26节，B 型车厢14节．9．（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x 元，乙种药品的出厂价格为每盒y 元．依题意得 6.65 2.2633.8x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解之得 3.63x y =⎧⎨=⎩． 5×3.6－2.2＝18－2.2＝15.8（元），6×3＝18（元）.答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元．（2）设购进甲种药品x 箱（x 为非负整数），购进乙种药品（100—x ）箱，依题意得()815%10510%1010090010040x x x ⨯⨯+⨯⨯--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥，解之得157607x ≤≤． 则x 可取：58，59，60，此时100－x 的值分别是：42，41，40.故有3种方案供选择；第一种方案：甲种药品购买58箱，乙种药品购买42箱；第二种方案：甲种药品购买59箱，乙种药品购买41箱；第三种方案：甲种药品购买60箱，乙种药品购买40箱．10．（1）设A ，B 型号服装每件分别为x 元，y 元，依题意得91018101281880x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得90100x y =⎧⎨=⎩． （2）设B 种型号服装进m 件，则A 种型号服装进（2m ＋4）件，依题意得18(24)306992428m m m ++⎧⎨+⎩≥≤，解得19122m ≤≤． ∵m 为正整数，∴m ＝10，11，12，2m ＋4＝24，26，28．∴共有3种进货方案，方案～：A 型服装进24件，B 型服装进10件；方案二：A 型服装进26件，B 型服装进11件；方案三：A 型服装进28件，B 型服装进12件．11.设2014年该厂计划年产量为x 箱，需用工人y 人，依题意得()4220040010100014002000100010100001710000x x x <⨯-+⨯⎧⎪⎨⎪⨯⨯⎩，≤≤≤，解得100000x ≤≤160000由2200≤160000×4得y ≤291；由2200≥100000×4得y ≥182；∴2014年可能生产的产量在10万箱到16万箱之间，工人人数不需要超过291人，但应不少于182人．。

一元一次不等式与一元一次不等式组的解法知识点回顾1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。

说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点）(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a b >，那么__a c b c ±±(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么__ac bc （或___a b c c） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >,0c <那么__ac bc （或___a b c c） 说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：①若a －b ＞0，则a 大于b ；②若a －b ＜0，则a 小于b ；③若a －b ≥0，则a 不小于b ；④若a －b≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号。

任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b>O ⇔a>b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b<O ⇔a<b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。

4．一元一次不等式（重点）只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b ＜0或ax+b ≤0，ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)． 5．解一元一次不等式的一般步骤（重难点）(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1．例：131321≤---x x 解不等式：6．一元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．7．一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．9．解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．（三）常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.x1+1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5D.21(x －3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为 .a 与6的和小于5； x 与2的差小于－1；1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空：a __________b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a －b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a .2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）A 、ab ＞0B 、a b >C 、a －b ＞0D 、a ＋b ＞01.与2x <6不同解的不等式是（ ）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12D.－2x <－6): (这类试题在中考中很多见)1.（2010湖北随州）解不等式组110334(1)1x x +⎧-⎪⎨⎪--<⎩≥ 2.（2010福建宁德）解不等式215312+--x x ≤1，并把它的解集在数轴上表示出来． 3.（2006年绵阳市）12(1)1,1.23x x x -->⎧⎪⎨-≥⎪⎩此类试题易错知识辨析（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集：当0a >时，b x a >（或b x a<） 当0a <时，bx a <（或b x a >）当0a <时，b x a <（或b x a>） 4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )．(A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜15 若m ＞5，试用m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______．6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是x <－1,则有（ ） A.m >2 B.m <2 C.m =2 D.m ≠27.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜3-ab，那么a 的取值范围是________. 1.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ） A.4 B.5 C.6D.无数个2.不等式4x －41141+<x 的最大的整数解为（ ） A.1B.0C.－1D.不存在|x |<37的整数解是________.不等式|x |<1的解集是________. 已知ax ＜2a (a ≠0)是关于x 的不等式，那么它的解集是( )A.x ＜2B.x ＞－2C.当a ＞0时，x ＜2D.当a ＞0时，x ＜2;当a ＜0时，x ＞21. 若x ＋y ＞x －y ，y －x ＞y ，那么（1）x ＋y ＞0，（2）y －x ＜0，（3）xy ≤0,（4）yx＜0中，正确结论的序号为________。

一元一次不等式(组)的应用【思维入门】1．王芳同学到文具店买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元，王芳带了10元钱，则可供她选择的购买方案的个数为(两样都买，余下的钱少于0.8元) ()A．6B．7C．8D．92．运动会间，李老师组织班上的同学给运动员加油助威，将手中的若干面小旗分发给若干小组，若每小组分4面小旗，还剩20面；若每小组分8面小旗，则还有一组数量不够，那么李老师一共有小旗()A．38面B．40面C．42面D．44面3．某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分，如果某班在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场？4．为推进郴州市创建国家森林城市工作，尽快实现“让森林走进城市，让城市拥抱森林“的构想，今年三月份，某县园林办购买了甲、乙两种树苗共1 000棵，其中甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵50元．根据相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%和90%.(1)若购买甲、乙两种树苗共用去了46 500元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？(2)若要使这批树苗的成活率不低于88%，则至多可购买甲种树苗多少棵？5．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．设小红在同一商场累计购物x元，其中x>100.(1)根据题意，填写下表(单位：元)：(2)当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？(3)当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？【思维拓展】6．“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．“益安”车队有载重量为8 t，10 t的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110 t沙石．(1)求“益安”车队载重量为8 t，10 t的卡车各有多少辆？(2)随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165 t以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．7．某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额：注：300～400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同．根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为400元的商品．则消费金额为320元，获得的优惠额为400×(1－80%)＋30＝110(元)．(1)购买一件标价为1 000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？(2)如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？8．某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．(1)求该校的大、小寝室每间各住多少人？(2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生，将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？9．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1 380 t.(1)该企业有几种购买方案？(2)哪种方案更省钱，说明理由．【思维升华】10．一个长方体盒子的最短边长50 cm，最长边长90 cm.则盒子的体积可能是()A．4 500 cm3B．180 000 cm3C．90 000 cm3D．360 000 cm311．已知三角形三边的长分别为a，b，c，且a，b，c均为整数，若b＝7，a<b，则满足条件的三角形的个数是()A．30 B．36 C．40 D．4512．A商品的单价是50元，B商品的单价是60元，几所学校各付款1 220元购买了这两种商品，任意2所学校购买的A商品的数量都不同．则参加这次采购的学校最多有____所．13．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2 013元，则他至少卖出了____支圆珠笔．14．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种．若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有____件．15．某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元.(1)按该公司的要求，可以有几种购买方案？(2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？一元一次不等式(组)的应用【思维入门】1．王芳同学到文具店买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元，王芳带了10元钱，则可供她选择的购买方案的个数为(两样都买，余下的钱少于0.8元)( B )A ．6B ．7C ．8D ．92．运动会间，李老师组织班上的同学给运动员加油助威，将手中的若干面小旗分发给若干小组，若每小组分4面小旗，还剩20面；若每小组分8面小旗，则还有一组数量不够，那么李老师一共有小旗( D )A ．38面B ．40面C ．42面D ．44面【解析】 设共有x 个小组，那么就有(4x ＋20)面小旗，⎩⎨⎧4x ＋20>8（x －1），4x ＋20<8x ，解得5<x <7，所以有6组． 4×6＋20＝44(面)． 所以有44面小旗．3．某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分，如果某班在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场？ 解：设这个班胜x 场，则负(28－x )场， 由题意，得3x ＋(28－x )≥43， 解得x ≥7.5.因为场次x 为正整数，故x ≥8. 答：这个班至少要胜8场．4．为推进郴州市创建国家森林城市工作，尽快实现“让森林走进城市，让城市拥抱森林“的构想，今年三月份，某县园林办购买了甲、乙两种树苗共1 000棵，其中甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵50元．根据相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%和90%.(1)若购买甲、乙两种树苗共用去了46 500元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？ (2)若要使这批树苗的成活率不低于88%，则至多可购买甲种树苗多少棵？ 解：(1)设购买甲种树苗x 棵，乙种树苗y 棵．⎩⎨⎧x ＋y ＝1 000，40x ＋50y ＝46 500， 解得⎩⎨⎧x ＝350，y ＝650，答：购买甲种树苗350棵，乙种树苗650棵；(2)设购买甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗(1 000－a )棵． 85%a ＋90%(1 000－a )≥1 000×88%， 解得a ≤400.答：至多可购买甲种树苗400棵．5．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．设小红在同一商场累计购物x 元，其中x >100. (1)根据题意，填写下表(单位：元)：(2)当x 取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？(3)当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？ 解：(1)在甲商场：271，0.9x ＋10；在乙商场：278，0.95x ＋2.5. (2)根据题意，有0.9x ＋10＝0.95x ＋2.5， 解得x ＝150，∴当x ＝150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同． (3)由0.9x ＋10<0.95x ＋2.5，解得x >150， 由0.9x ＋10>0.95x ＋2.5，解得x <150.∴当小红累计购物超过150元时，在甲商场的实际花费少．当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场的实际花费少．【思维拓展】6．“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．“益安”车队有载重量为8 t ，10 t 的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110 t 沙石． (1)求“益安”车队载重量为8 t ，10 t 的卡车各有多少辆？(2)随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165 t 以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．解：(1)设“益安”车队载重量为8 t ，10 t 的卡车分别有x 辆，y 辆，由题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝12，8x ＋10y ＝110， 解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝7.答：“益安”车队载重量为8 t 的卡车有5辆，10 t 的卡车有7辆． (2)设载重量为8 t 的卡车增加了z 辆，由题意，得 8(5＋z )＋10(7＋6－z )>165， 解得 z <52. ∵z ≥0且为整数， ∴z ＝0，1，2； ∴6－z ＝6，5，4.∴车队共有3种购车方案：①载重量为8 t 的卡车不购买，10 t 的卡车购买6辆； ②载重量为8 t 的卡车购买1辆，10 t 的卡车购买5辆； ③载重量为8 t 的卡车购买2辆，10 t 的卡车购买4辆．7．某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额：注：300～400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同．根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为400元的商品．则消费金额为320元，获得的优惠额为400×(1－80%)＋30＝110(元)． (1)购买一件标价为1 000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？(2)如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？解：(1)购买一件标价为1 000元的商品，消费金额为800元，顾客获得的优惠额为1 000×(1－80%)＋150＝350(元)． (2)设该商品的标价为x 元． 当80%x ≤500，即x ≤625时，顾客获得的优惠额不超过625×(1－80%)＋60＝185＜226； 当500＜80%x ≤600，即625＜x ≤750时， (1－80%)x ＋100≥226. 解得x ≥630. 所以630≤x ≤750.当600＜80%x ≤800×80%，即750＜x ≤800时，顾客获得的优惠额大于750×(1－80%)＋130＝280＞226.综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为630元．8．某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．(1)求该校的大、小寝室每间各住多少人？(2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生，将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？解：(1)设该校大寝室每间住x 人，小寝室每间住y 人． 可得方程组⎩⎨⎧55x ＋50y ＝740，50x ＋55y ＝730，解方程组得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝6.答：该校大寝室每间住8人，小寝室每间住6人． (2)设应安排小寝室z 间，则有 6z ＋8(80－z )≥630， 解不等式得 z ≤5，∵z 为自然数，∴z ＝0，1，2，3，4，5. 答：共有6种安排住宿方案．9．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A ，B 两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1 380 t. (1)该企业有几种购买方案？ (2)哪种方案更省钱，说明理由．解：(1)设购买污水处理设备A 型号x 台，则购买B 型号(8－x )台，根据题意，得 ⎩⎨⎧12x ＋10（8－x ）≤89.200x ＋160（8－x ）≥1 380， 解这个不等式组，得2.5≤x ≤4.5. ∵x 是整数，∴x ＝3或x ＝4.当x ＝3时，8－x ＝5；当x ＝4时，8－x ＝4.所以有2种购买方案：第一种是购买3台A 型污水处理设备，5台B 型污水处理设备； 第二种是购买4台A 型污水处理设备，4台B 型污水处理设备． (2)当x ＝3时，购买资金为12×3＋10×5＝86(万元)； 当x ＝4时，购买资金为12×4＋10×4＝88(万元)． 因为88＞86，所以为了节约资金，应购污水处理设备A 型号3台，B 型号5台． 答：购买3台A 型污水处理设备，5台B 型污水处理设备更省钱．【思维升华】10．一个长方体盒子的最短边长50 cm ，最长边长90 cm.则盒子的体积可能是( D ) A ．4 500 cm 3 B ．180 000 cm 3 C ．90 000 cm 3D ．360 000 cm 3【解析】 ∵长方体盒子的最短边长50 cm ，最长边长90 cm ， ∴长方体盒子的高h 满足50≤h ≤90， 所以其体积V 满足225 000≤V ≤405 000.11．已知三角形三边的长分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 均为整数，若b ＝7，a <b ，则满足条件的三角形的个数是( B ) A ．30B ．36C ．40D ．45【解析】 ∵三角形的三边a ，b ，c 的长都是整数，且a ＜b ，b ＝7， ∴a ＝1，2，3，4，5，6.根据三角形的三边关系，得b －a ＜c ＜b ＋a ，即7－a ＜c ＜7＋a . 当a ＝1时，6＜c ＜8，则c ＝7，此时满足条件的三角形有1个；当a＝2时，5＜c＜9，则c＝6，7，8，此时满足条件的三角形有3个；当a＝3时，4＜c＜10，则c＝5，6，7，8，9，此时满足条件的三角形有5个；当a＝4时，3＜c＜11，则c＝4，5，6，7，8，9，10，此时满足条件的三角形有7个；当a＝5时，2＜c＜12，则c＝3，4，5，6，7，8，9，10，11，此时满足条件的三角形有9个；当a＝6时，1＜c＜13，则c＝2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，此时满足条件的三角形有11个．∴满足条件的三角形一共有1＋3＋5＋7＋9＋11＝36(个)．12．A商品的单价是50元，B商品的单价是60元，几所学校各付款1 220元购买了这两种商品，任意2所学校购买的A商品的数量都不同．则参加这次采购的学校最多有__4__所．【解析】设某校购买了x件A商品，y件B商品，则有50x＋60y＝1 220，即5x＋6y ＝122，5x＜122，x＜2425，y＝122－5x6＝20－x＋2＋x6，x是除以6余4的数，所以x＝4，10，16，22，即有4个整数解，所以最多有4所学校．13．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2 013元，则他至少卖出了__207__支圆珠笔．【解析】设4元的卖x支，7元的卖y支，则4x＋7y＝2 013，x＋y<350.4x＋7y＝2 013⇒4x＝2 012－8y＋y＋1⇒x＝503－2y＋y＋1 4.令y＋14＝k⇒y＝4k－1，则x＝503－2(4k－1)＋k＝505－7k，又x＋y<350，即505－7k＋4k－1<350⇒k≥5113k≥52，y＝4k－1≥4×52－1＝207.即他至少卖了207支圆珠笔．14．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种．若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有__12__件．【解析】设共购商品2x件，9元商品a件，则8元商品为(2x－a)件，根据题意，得8(2x－a)＋9a＝172，解得a＝172－16x，∴依题意2x≥a，且a＝172－16x≥0，x为正整数，可得959≤x≤10.75，∴x＝10，则a＝12.∴9元的商品12件，故答案填12.15．某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元.(1)按该公司的要求，可以有几种购买方案？(2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？解：(1)设购买x台甲机器，则7x＋5(6－x)≤34，所以x≤2.即x取0，1，2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，4台乙机器．(2)按方案①，所需资金为6×5＝30(万元)，日产量为6×60＝360(个)；按方案②，所需资金为1×7＋5×5＝32(万元)，日产量为1×100＋5×60＝400(个)；按方案③，所需资金为2×7＋5×4＝34(万元)，日产量为2×100＋4×60＝440(个)．所以，选择方案②.。

二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a <(x a >或 )x a x a ³£或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。

说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以或除以))同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321£---x x 解不等式： 解：去分母，得解：去分母，得 6)13(2)13£---x x （（不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得去括号，得去括号，得 62633£+--x x （注意符号，不要漏乘!）移移 项，得项，得项，得 23663-+£-x x （移项，每一项要变号；但符号不改变） 合并同类项，得合并同类项，得合并同类项，得 73£-x （计算要正确）系数化为系数化为1， 得 37-³x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）三、一元一次不等式组含有同一个未知数的含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、个、33个、个、44个或更多．个或更多．四、一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <) a a a a x <ax >a x ≤a x ≥a 一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

一、引言近年来，一元一次不等式(组)特殊解法成为了数学学习者们热议的话题。

一元一次不等式(组)作为数学中的一种重要知识点，其特殊解法对于提高学习者们的解题能力和应用能力起着重要的作用。

本文将针对一元一次不等式(组)特殊解法进行深入探讨，旨在给出五种模型全攻略，使学习者对此有更加清晰的认识。

二、基本概念一元一次不等式(组)是指由若干个一元一次不等式组成的方程组。

其中，一元一次不等式是指形如y=ax+b的不等式，其中a不等于0。

在解决一元一次不等式(组)问题时，特殊解法是指通过不同的模型来解决问题。

而不同的模型对应着不同的解题思路和方法，能够帮助学习者更好地理解和掌握一元一次不等式(组)的解题技巧。

三、模型一：绝对值不等式1.绝对值不等式的定义和性质在一元一次不等式(组)中，绝对值不等式往往是一种常见的情况。

对于绝对值不等式，需注意以下性质：（1）|a|>b 和 -a>b 等价（2）|a|>=b 和 -b<=a<=b 等价绝对值不等式常常需要通过分情况讨论来解决，对于有多种情况的题目，学习者需要仔细区分每种情况，并且列出不等式的范围，进行求解。

2.实例分析本文举例讲解绝对值不等式的解法：|3x-4|>5解：由绝对值不等式的性质可知，|3x-4|=3x-4 或 -3x+4。

|3x-4|>5 等价于 3x-4>5 或 -3x+4>5。

解得 x>3 或 x<-1。

通过此实例可以看出，绝对值不等式的解题过程需要准确地利用绝对值的性质，并采用合理的分情况讨论方法来解决。

四、模型二：双边不等式1.双边不等式的概念双边不等式即含有两个未知数的不等式，通常需要对未知数进行整合后再进行求解。

2.实例分析对于双边不等式的求解，本文以实例进行详细阐述：3x+5<2 和 4x-3>7解：首先对3x+5<2进行整理，得到3x<-3，进而得到x<-1。

(1)2X-4秋+2 与X為解集为3秋詬(2)2X-1 > 1与4-2X切解集为无解(3)3X+2 >5 与5-2 羽解集为 1 VX<2(4)X - 1 V 2 与2X+3 >2+X 解集为-1 V X V 3(5)X+3 > 1 与X + 2 (X-1 ) < 解集为-2 V X<(6)2X+1 <3 与X>-3 解集为1>-3(7)2X+5 > 1 与3X+7X <0 解集为 1 冰>2(8)2X-1 >X+1 与X+8 V4X-1 解集为X>3(9)1-2 (X-1) <5与2/ (3X-2) V X+1/2 解集为-1 V 3(10)2X<4+X 与X+2 V4X-1 解集为 1 V X<1(11)2-X > 0 与2/ (5X+1 ) +1 冯/ (2X-1 ) 解集为-1 «V 2(12)1-X V0 与2/ (X-2) V 1 解集为 1 V X V4(13)2-X V3与2-X为解集为2冰> 1(14)2X+10 >-5 与6X-7 羽0 解集为X> 17/6(15)6X+6 >8 与3X+10 V 5 解集为-(3/5) > X>-3(16)6X+6X24 与10X+ (1/2) X V -42 解集为无解(17)24X-20X >4 与8X+4X <24解集为 2 冰> 1(18)9X-5X V 8 与15X+5X >80 解集为无解(19)X+X < 与2X+ (1/2) X > 100 解集为无解(20)2011X-2012X W1 与2013X-2012X 羽解集为 1 秋(21)4X-X > 6 与10X+5X V 15 解集为无解(22)-5X-6X <22 与5X-9X ^24 解集为无解 (23) (1/5)X+ (1/5 ) X > 2/5 与X+10X > 22 解集为X > 2(24)55X+55X V 220 与66X+10X V 38 解集为X V 1/2(25)70X+1 <71 与53X-13X <40 解集为X <1(26)X+1 V 7与X-1 > 10解集为无解(27)5X+5 > 5 与2X+3X > 9 解集为X > 9/5 (28) 85X-5X V 8 与50X+30X V 5 解集为X V 1/16 (29) 2X <14 与6X V 6解集为X V 1(30)15X+15 ^30与6X-8X纽解集为-2冰羽(31)2X 羽60 与4X 冯16 解集为X%0 (32) 35X-27X > 136 与20X+20X V 800 解集为20 > X > 17(33)55X <165 与56X > 112 解集为 2 V X <5(34)20X+18X身6 与2X场解集为X缎(35)59X+X > 600 与55X+35X V 1350 解集为10 V X V 15(36)60X V 120 与5X+5X V 10 解集为X V 1(37)100X V 20X+1200 与2X V 30X+10 解集为X V 5/14 ((38)50X羽00与50X为0 解集为X羽(39)25X > 250 与26X > 26解集为X > 10 (40) 2X > 2与3X V -5解集为无解。

一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。

根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。

一、 巧用不等式的性质例1 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ）A.0＜a ＜1B. a ＞1C.－1＜a ＜0D. a ＜－1例2 已知6＜a ＜10，2a ≤b ≤a 2，b ac +=，则c 的取值范围是 。

变式：1已知6＜a ＜10，2a ≤b ≤a 2，b ac －=，则c 的取值范围是 。

2已知6＜a ＜10，2a ≤b ≤a 2，b ac 3－=，则c 的取值范围是 。

二、 由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围例3 若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+++②m ＜x ①x ＞x 01456的解集为4x ＜，则m 范围是 。

例4 若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是49x ＞，则不等式 的解集是0324b ＞a x b a -+-)( 。

三、 利用不等式求代数式的最大值例5设7321x x x x ,,,, 均为自然数，且76321x x x x x <<<<< ，又159721=+++x x x ，则321x x x ++的最大值是 。

例6 在满足32≤+y x ，00≥≥y x ，的条件下，y x +2 能达到的最大值是 。

例７ 若整数c b a 、、满足不等式组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<+<<+<b c ＜a b a c ＜b a cb ac 4112535232611 试确定c b a 、、的大小关系 分析：利用不等式的性质，原不等式组可化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++<++<<++<b c ＜b a b a c ＜b a a cc b a c 4152738253617， 所以c b c a 32761738<>,， 即c c b c c a <<>>76,1617。